D.1 Tijdrek en lengtekrimp

D. Tijdrek en lengtekrimp Opgave a De lengte van de straaljager ereken je met de formule voor de lengtekrimp. De relativistishe fator ereken je met de formule voor gammafator. v v = 0,50 (0,50 ),54 0,50 e e 5 m 5,99 m,54 Afgerond: 3 m De snelheid van de straaljager ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator ereken je met de formule voor de lengtekrimp. e 7,5 m 5 7,5,0,0 v v 0,866 v = 0,866 Afgerond: v = 0,87 Opgave a De duur van de oodshap Δt ereken je met de formule voor de tijdrek. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,60 (0,60 ) ThiemeMeulenhoff v P

0,60,5 t t e t e = 45 s t,5 45 56,5 Afgerond: t 56 s De toonhoogte volgt uit de frequentie. Voor de frequentie geldt: f T Het aantal trillingen lijft gelijk. Vanwege tijdrek wordt dezelfde oodshap gedurende een grotere tijd uitgesproken. De trillingstijd is dus groter en daardoor is de frequentie kleiner. Zijn stem klinkt dus lager. De frequentie ereken je met de tijdsduur die de ewegende waarnemer meet. De tijdsduur die de ewegende waarnemer meet, ereken je met de formule voor de tijdrek. De eigentijd ereken je met de hartslag. De hartslag is 70 slagen per minuut. De eigentijd te is 60 0,857 70 s t t,5 e (Zie vraag a) t,5 0,857 t,07 s f t f,07 f = 0,933 s Dit is 60 0,9333 = 56,00 slagen per minuut Afgerond: f = 56 min Opgave 3 a De afstand die de muonen kunnen afleggen, ereken je met de formule voor de snelheid. De snelheid ereken je met de lihtsnelheid. v = 99,9% van de lihtsnelheid v = 0,999,9979458 0 8 =,9949666 0 8 m/s s = v t t =, s =, 0 6 s (Afstemmen eenheden) s =,9949666 0 8, 0 6 = 6,5888 0 m Afgerond: s = 6,6 0 m De dikte van de atmosfeer in het ewegende stelsel l ereken je met de formule voor lengtekrimp. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,999 ThiemeMeulenhoff v P

(0,999 ),366 0,999 e e 3 0 km = 0 0 m (Afstemmen eenheden) 3 0 0,366 4,47 0 m Dit is kleiner dan 6,6 0 m Opgave 4 De snelheid ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator ereken je met de lengtekrimp. e e 50 m 00 m 00 50,333,333 v v 0,66 v = 0,66 Afgerond: v = 0,66 Opgave 5 a De afstand s is de afstand die hoort ij de heen- en weergaande eweging. Anita evindt zih in het ruststelsel van de klok. Daarij hoort figuur D.. Anita ziet dat het foton de afstand d aflegt. Er geldt: s = v t s = d v = t = TA d = TA d TA Figuur D. ThiemeMeulenhoff v P

De afstand s is de afstand die hoort ij de heen- en weergaande eweging. Brue ziet de eweging van het liht als in figuur D.. Brue ziet dat het foton de afstand x aflegt. Tegelijkertijd verplaatst de klok zih met de treinsnelheid v in de tijd TB die Brue meet. Dus de klok legt de afstand v TB af. Volgens de stelling van Pythagoras geldt: ( B) x d v T Het foton legt de afstand x af: x d ( v T ) B B x 4d v T Figuur D. Er geldt: s = v t s = v = t = TB T B x 4d v T B 4d v T T B B 4d v T d Door de twee formules T A d weg. d Uit TA volgt 4d T A Uit T B B B 4d v T B A B T T v T volgt en T B B 4d v T te omineren werk je de variaele B 4 B T d v T æ ç è - v ö T B = T A ø v T B T A TB TA v Dat is gelijk aan TB T A ThiemeMeulenhoff v P

D. Ruimtetijd-diagram Opgave 6 Zie figuur D.3. Het huis staat in de oorsprong van het ruimtetijd-diagram. De wereldlijn van het huis valt samen met de t-as van het ruimtetijd-diagram. De wereldlijn van de oom loopt vertiaal, omdat de oom geen snelheid heeft ten opzihte van het huis. Voor het tijdstip waarop de hond het huis passeert, geldt x = v t met v =,6 m/s en x is de afstand van de hond tot het huis. Uit figuur D.0 van het asisoek lijkt x = m. Dus =,6 t. Hieruit volgt dat de hond na t =7,5 s het huis passeert. De wereldlijn van de hond gaat dus door het punt (0,0 ; 7,5) en het punt (; 0,0). Figuur D.3 Opgave 7 a Zie figuur D.4. Het osje evindt zih in de oorsprong van het ruimtetijd-diagram. De wereldlijn van het osje valt samen met de t-as van het ruimtetijd-diagram. De luipaard ligt ahter het osje, dus egint de wereldlijn van de luipaard in de oorsprong en die van de antilope niet. De snelheid van de luipaard is groter dan die van de antilope, dus loopt de wereldlijn van de luipaard minder steil dan die van de antilope. Figuur D.4 ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.5. De antilope evindt zih in de oorsprong van het ruimtetijd-diagram. De wereldlijn van de antilope valt samen met de t-as van het ruimtetijd-diagram. De wereldlijnen van het osje en de luipaard eginnen op dezelfde plaats en links van de oorsprong. Je ziet in figuur D.4 ook dat op t = 0 de plaats van het osje en de luipaard links van de plaats van de antilope ligt. De snelheid van de luipaard ten opzihte van de antilope is kleiner dan de snelheid van de antilope ten opzihte van het osje. Dus loopt de wereldlijn van de luipaard minder steil dan die van het osje. De wereldlijn van de luipaard moet de t-as snijden omdat de luipaard de antilope inhaalt. De wereldlijn van het osje moet naar links wijzen zodat die de t-as niet kan snijden. Figuur D.5 Opgave 8 a Zie figuur D.6a. Aimee heeft een snelheid van 3,0 m/s. Dus op t =,0 s evindt ze zih op x = 3,0 m. De wereldlijn van Aimee gaat dus door de oorsprong en het punt (3,0;,0). Figuur D.6a ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.6. Geeurtenis V is het snijpunt van de wereldlijn van de al en de wereldlijn van Aimee. Zodra de al de muur ereikt, kaatst deze met dezelfde snelheid terug. Dus na t = 0,5 s loopt de wereldlijn van de al rihting het punt (0,0;,0). Op het moment dat Aimee de al heeft gevangen, staat zij stil ten opzihte van Ramon. Vanaf geeurtenis V loopt haar wereldlijn evenwijdig aan die van Ramon en dus evenwijdig aan de vertiale as. Figuur D.6 Zie figuur D.7. Ramon eweegt eerst met een snelheid van 0 m/s, en na het stuiteren van de al eweegt Ramon met een snelheid van +0 m/s ten opzihte van de al. De al ereikt na 0,5 s de muur. Dan evindt Ramon zih in het punt ( 5,0; 0,5). Na t = 0,5 s loopt de wereldlijn van Ramon rihting het punt (0,0;,0). De al eweegt met een snelheid van 0 m/s en Aimee eweegt met 3,0 m/s rihting de muur. Voor het stuiteren eweegt Aimee dus met een snelheid van 7 m/s ten opzihte van de al. Op t = 0,5 s legt Aimee dus een afstand af van 7 0,5 = 3,5 m. Na het stuiteren eweegt Aimee nog steeds rihting de muur maar de al komt met een snelheid van 0 m/s in haar rihting. Zij eweegt dus met een snelheid van 3 m/s ten opzihte van de al. Als zij zou lijven doorlopen dan legt Aimee tussen t = 0,5 en t =,0 s een afstand van 3 0,5 = 6,5 m. Na 0,5 s loopt de wereldlijn van Aimee rihting het punt (3,0;,0) Geeurtenis V vindt plaats wanneer de wereldlijn van Aimee de wereldlijn van de al snijdt. Op dat moment stopt de al met ewegen, net als Ramon en Aimee. De wereldlijnen van Ramon en Aimee lopen dan evenwijdig aan die van de al en dus evenwijdig aan de vertiale as. Figuur D.7 ThiemeMeulenhoff v P

Opgave 9 a De afstand die het liht aflegt, ereken je met de formule voor de snelheid. x = v t. x = 0,496 0 m (Zie BINAS tael 3) v = =,9979458 0 8 m/s 0,496 0 =,9979458 0 8 t t = 4,990 0 s 4,990 0 Dit 8,368 min 60 Afgerond: 8 minuten Je ziet de geeurtenis de zon gaat onder in Nederland als het liht vanuit Nederland je ogen ereikt. Gaat de zon onder in Nederland, dan evindt Nederland zih al in de shaduw. Het laatste liht dat in Nederland wordt weerkaatst, moet de afstand tussen de aarde en de maan afleggen, en dat kost tijd. Je neemt de geeurtenis dus later waar. Opgave 0 a De afstand lihtjaar is de afstand die het liht in jaar aflegt. De afstand,0 0 3 lihtjaar wordt door liht dus in,0 0 3 jaar afgelegd. De supernova vond dus plaats in 604,0 0 3 = 3,96 0 jaar. Afgerond: 4,0 0 jaar De supernova vond dus plaats in het jaar 4,0 0 voor Christus. Zie figuur D.8a. Je kunt een geeurtenis waarnemen als die innen de lihtkegel van de waarnemer valt. Geeurtenis A valt uiten de lihtkegel en kan hij dus niet waarnemen. Figuur D.8a ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.8. De geeurtenis supernova waarnemen is de rand van de lihtkegel in punt A. Deze lihtkegel snijdt de t-as van een waarnemer op aarde op een tijdstip later dan geeurtenis B. Dus is de zware ster al een neutronenster als de supernova wordt waargenomen. Figuur D.8 d e Zie figuur D.8. De lihtkegel van geeurtenis A snijdt zowel de wereldlijn van Pluto als de wereldlijn van een waarnemer op aarde. Het snijpunt met de wereldlijn van Pluto wordt op een later tijdstip ereikt. Zie figuur D.8. De lihtkegel van geeurtenis B snijdt de wereldlijn van Pluto later dan de lihtkegel van geeurtenis A. De afstand tussen de snijpunten op de wereldlijn van Pluto is even groot als de afstand tussen de snijpunten op de wereldlijn van de aarde. Figuur D.8 ThiemeMeulenhoff v P

D.3 Gelijktijdigheid Opgave a Zie lijn a in figuur D.9. x0 = 60 m, dus lijn a gaat door punt ( 60, 0) Voor de verplaatsing geldt s = v t met v = 0,. Hieruit volgt s = 0, t = 0,t. Dus als t = 00 m, is s = 0, 00 = 0 m Lijn a gaat dus door ( 50, 00) Zie lijn in figuur D.9. x0 = 60 m, dus lijn a gaat door punt (60, 0) v = 0,3 dus op t = 00 m is s = 0, 00 = 30 m Lijn gaat dus door (30, 00) Zie lijn in figuur D.9. x0 = 30 m, dus lijn gaat door punt (30, 0) v = 0,8 dus op t = 50 m is s = 0,8 50 = 40 m Lijn gaat dus door (70, 50) d Zie figuur D.9. x0 = 30 m, dus lijn d gaat door punt ( 30, 0) v = 0,9 dus op t = 50 m is s = 0,9 50 = 45 m Lijn a gaat dus door ( 75, 50) Figuur D.9 ThiemeMeulenhoff v P

Opgave a Zie figuur D.0a. Geeurtenissen die in het stelsel van William op dezelfde plek plaatsvinden, liggen op een lijn evenwijdig aan de t-as van William. Geeurtenissen A en D vinden plaats op dezelfde plek in het stelsel van William. Figuur D.0a Zie figuur D.0. Geeurtenissen die in het stelsel van William gelijktijdig plaatsvinden, liggen op een lijn evenwijdig aan de ruimte-as van William. Geeurtenissen C en E zijn dus gelijktijdig in het stelsel van William. Figuur D.0 ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.0. Geeurtenissen die in het stelsel van Jurgen op dezelfde plek plaatsvinden, liggen op een lijn evenwijdig aan de t-as van Jurgen. Deze valt samen met de wereldlijn van Jurgen. Geeurtenissen B en D vinden plaats op dezelfde plek in het stelsel van Jurgen. Dat geldt ook voor de geeurtenissen E en F en de geeurtenissen A en C. Figuur D.0 Zie figuur D.0d. Geeurtenissen die in het stelsel van Jurgen gelijktijdig plaatsvinden, liggen op een lijn evenwijdig aan de ruimte-as van Jurgen. De hoek tussen de ruimte-as van het stelsel van Jurgen en de ruimte-as van William is even groot als de hoek tussen de t-assen. In figuur D.0d is de ruimte-as van Jurgen met een streeplijn aangegeven. Geeurtenis C en F zijn dus gelijktijdig in het stelsel van William. Figuur D.0d ThiemeMeulenhoff v P

Opgave 3 a Voor de verplaatsing van Bart geldt s = v t. v v Hieruit volgt s t t Als t = 00 dan geldt s = 30 m Dus 30 v 00 v = 0,30 De steilheid van de wereldlijn van Auke is gelijk aan die van Bart. De snelheid van Auke is dus ook 0,30 Zie figuur D.a. De hoek tussen de ruimte-as van Auke en de ruimte-as van Yuen is gelijk aan de hoek tussen de t-assen van Auke en Yuen. De t-as van Auke valt samen met de wereldlijn van Auke in diagram D.a. Figuur D.a ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.. Geeurtenis A vindt plaats op x = 30 m. Geeurtenis B vindt in het stelsel van Bart en Auke gelijktijdig plaats. Geeurtenissen A en B liggen dus op een lijn die evenwijdig is aan de ruimte-as van Auke. Figuur D. d Geeurtenissen die in het stelsel van Yuen gelijktijdig zijn, liggen op een lijn die evenwijdig is aan de ruimte-as van Yuen. In het referentiestelsel van Yuen vindt geeurtenis A vindt eerder plaats dan geeurtenis B. Dus kunnen in het referentiestelsel van Yuen de twee inslagen niet tegelijkertijd plaatvinden. Opgave 4 a De tijd ereken je met de formule voor de snelheid. x = v t. x = 80 m v = 0,7 = 0,7,998 0 8 = 8,09 0 7 m/s 80 = 8,09 0 7 t t = 9,88 0 7 s Afgerond: t = 9,9 0 7 s De afstand in het referentiestelsel van de kogel ereken je met de formule voor de lengtekrimp. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,7 ThiemeMeulenhoff v P

(0,7 ),039 0,7 e e 80 m 80,039 77,0 m Afgerond: 77 m Zie figuur D.. Mogelijke gevolgen van geeurtenis X evinden zih in de lihtkegel van geeurtenis X. Dat is niet het geval, dus de shutter kan geen gelijk heen. Figuur D. Opgave 5 a Geeurtenissen die in het referentiestelsel van Lola gelijktijdig plaatsvinden, liggen op een lijn die evenwijdig is aan de ruimte-as van Lola. Geeurtenissen A en B zijn in het stelsel van Lola dus gelijktijdig. Geeurtenissen die in het referentiestelsel van Buzz gelijktijdig plaatsvinden, liggen op een lijn die evenwijdig is aan de ruimte-as x van Buzz. Geeurtenissen A en A zijn in het stelsel van Buzz dus gelijktijdig. In het referentiestelsel van Lola duurt de reis 5,3 jaar. De tijd komt overeen met de afstand OB. In het referentiestelsel van Buzz komt de duur van de reis overeen met de afstand OA. Afstand OA is kleiner dan afstand OB. Dus is de reistijd in het referentiestelsel van Buzz kleiner dan 5,3 jaar. ThiemeMeulenhoff v P

D.4 Energie Opgave 6 a Zie figuur D.3. De kinetishe energie volgt uit E E m kin tot Figuur D.3 Als de snelheid van een deeltje met massa in de uurt van de lihtsnelheid komt, dan neemt de energie asymptotish toe tot oneindig. Er is dus oneindig veel energie nodig om de lihtsnelheid te ereiken, en dat is onmogelijk. Opgave 7 a De snelheid van een proton ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator ereken je met de formule voor de totale energie. Etot m Etot = 7,0 TeV = 7,0 0 ev (Afstemmen eenheden) m = 938,7046 MeV = 938,7046 0 6 ev (Zie BINAS tael 7) 7,0 0 ev = γ 938,7046 0 6 γ = 7,46 0 3 v 3 7,46 0 v v 0,999 Het proton heeft dus ijna de lihtsnelheid. Het aantal protonen in een undel ereken je met de totale energie van een undel en de kinetishe energie van een personenauto. De kinetishe energie van de personenauto ereken je met de formule voor de kinetishe energie. ThiemeMeulenhoff v P

E k m v m = 00 kg 90 v 90 km/h = 5 m/s (Afstemmen eenheden) 3,6 k 5 E 00 5 3,75 0 J De energie van één proton is 7,0 TeV = 7,0 0,60 0 9 =, 0 6 J. Er evinden zih dus Afgerond: 3,3 0 5 3,750, 0 6 3,34 0 protonen in een undel. Opgave 8 a De rustenergie ereken je met de formule van Einstein. E = m m = 4,006 u (Zie BINAS tael 5A) m = 4,006,6605 0 7 = 6,685 0 7 kg (Zie BINAS tael 7) =,9979 0 8 m/s E = 6,685 0 7 (,9979 0 8 ) E = 6,008 0 0 J Afgerond: E = 6,0 0 0 J Je moet met relativistishe mehania rekenen als de kinetishe energie in de uurt komt van de rustenergie. De kinetishe energie is het vershil tussen de totale energie en rustenergie. Ek = Etot Erust = 3,5 nj 6,0 0 0 = 3,5 0 9 6,0 0 0 =,9 0 9 J De kinetishe energie is zelfs groter dan de rustenergie, dus je moet relativistishe mehania geruiken. De snelheid van de protonen ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator ereken je met de formule voor de totale energie. Etot m Etot = 3,5 nj = 3,5 0 9 J m = 6,0 0 0 J 3,5 0 9 = γ 6,0 0 0 γ = 5,833 (Afstemmen eenheden) v 5,833 v 0,985 v = 0,99 v ThiemeMeulenhoff v P

Opgave 9 a De toename in proenten volgt uit de relativistishe fator in de formule voor de totale energie van het ruimteship. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,0 (0,0 ),006 Etot m Etot,006 m De totale energie is dus toegenomen met %. De snelheid van het ruimteship ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator volgt uit de formule voor de totale energie. Etot m Als Etot verdueld is, dan is de totale energie twee keer de rustenergie. Etot = m Dus de gammafator is,0 v,0 v v 0,866 v = 0,87 Opgave 0 a De energie die ij een kernreatie vrijkomt, ereken je met het massadefet. Δm = mvoor mna mvoor =,040 = 4,0804 u (Zie BINAS tael 5) mna = 4,00603 u (Zie BINAS tael 5) Δm = 4,0804 4,00603 = 0,0560 u u komt overeen met 93,49406 MeV (Zie BINAS tael 7) E = 0,0560 93,49406 = 3,847 MeV Afgerond: E = 3,8 MeV Het aantal kg zeewater ereken je uit de enodigde energie en de energie die deuterium in,0 kg zeewater kan leveren. De energie die deuterium in,0 kg zeewater kan leveren ereken je uit de energie die vrijkomt ij de kernreatie en het aantal deuteriumatomen in,0 kg zeewater. ThiemeMeulenhoff v P

Het aantal deuteriumatomen in,0 kg zeewater volgt uit het aantal deuteriumatomen in,0 kg water. Het aantal deuteriumatomen in,0 kg water ereken je met aantal mol water in,0 kg water en het getal van Avogadro. Het aantal mol water in,0 kg ereken je met de molaire massa van water. De molaire massa van water is 8,05 g/mol. (Zie BINAS tael 98),0 0 Dus in,0 kg water zit 55,5 mol HO 8,05 3 55,5 mol HO evat 55,5 6,0 0 3 = 3,34 0 5 moleulen HO en dus 3,34 0 5 =6,685 0 5 atomen waterstof In BINAS tael 5A staat dat 0,05% van de waterstof op aarde deuterium is.,00 kg water evat dus 6,685 0 5 0,0005 = 7,688 0 atomen deuterium. Dat komt overeen met 7,688 0 3,8 =,89 0 3 MeV. Dit is,89 0 3 0 6,60 0 9 =,93 0 0 J. Het aantal kg zeewater dat nodig is om 30 PJ = 30 0 5 J te leveren is dus gelijk aan 5 30 0 6,03 0 kg 0,930 Afgerond:,0 0 6 kg ThiemeMeulenhoff v P

D.5 Zwarte gaten Opgave a De ontsnappingssnelheid ereken je met de formule voor de ontsnappingssnelheid. vontsnapping G M r G = 6,67384 0 N m kg (Zie BINAS tael 7) M = 0,9,9884 0 30 kg (Zie BINAS tael 3C) r = 0,3 6,963 0 8 m (Zie BINAS tael 3C) v 30 6,67384 0 0,9,9884 0 5 5,97 0 m/s 0,36,963 0 ontsnapping 8 Afgerond: vontsnapping = 6,0 0 5 m/s De shwarzshildstraal ereken je met de formule voor de shwarzshildstraal. G M Voor de shwarzshildstraal geldt Rs G = 6,67384 0 N m kg (Zie BINAS tael 7) M = 0,9,9884 0 30 kg (Zie BINAS tael 3C) =,9979 0 8 m/s (Zie BINAS tael 7) 30 6,67384 0 0, 9,9884 0 Rs 8,5630 m 8,9979 0 Afgerond: Rs = 8,6 0 m Opgave G M a Voor de shwarzshildstraal geldt Rs De shwarzshildstraal is alleen afhankelijk van de massa van de zon en niet van de straal. Dus de shwarzshildstraal lijft gelijk als de straal van de zon toeneemt. Een ster is een zwart gat wanneer de straal van de ster kleiner is dan de shwarzshildstraal. De shwarzshildstraal van de neutronenster is,95 km, omdat de massa gelijk is aan de massa van de zon. De straal van de neutronenster is 0 km en is dus groter dan,95 km. De neutronenster is dus geen zwart gat. G M R Wordt de shwarzshildstraal keer zo groot, dan wordt volgens de formule s de massa ook keer zo groot. Omdat de dihtheid onstant is, wordt het volume dus 3 ook keer zo groot. Voor het volume van een ol geldt V 4 r. d Als de straal toeneemt met 6%, dan wordt het volume,6 3 =,00 keer zo groot. Als de neutronenster zijn massa verduelt, dan is zijn straal slehts 6% groter geworden. De massa neemt dus sneller toe dan de straal. Op een gegeven moment is de shwarzshildstraal dus groter dan de straal van de neutronenster. En dan is hij een zwart gat. Opgave 3 a Voor de straal van een ol geldt m Voor de dihtheid geldt V V 4 3 r Voor de massa M van de ster geldt dus 3 4 3 π M V r De straal r is gelijk aan de shwarzshildstraal RS. 4 3 G M M π R 3 S met RS= 3 3 ThiemeMeulenhoff v P

4 G M M π 3 M 3 3 4 8G M π 3 6 6 3 3 3 3π G M De minimale dihtheid ereken je met de gegeven formule. De massa van een zwart gat ereken je met de formule voor de shwarzshildstraal. G M Voor Rs RS =,0 m =,0 0 m (Afstemmen eenheden) G = 6,67384 0 N m kg (Zie BINAS tael 7) =,9979 0 8 m/s (Zie BINAS tael 7),0 0 6,67384 0 8 M = 6,733 0 4 kg,9979 0 M 8 6 3,9979 0 4 30 3,607 0 kg/m 3 3π 6,67384 0 6,733 0 Afgerond: ρ =,6 0 30 kg/m 3 Opgave 4 a De satelliet staat op grote afstand van het aardoppervlak. Daar is de sterkte van het zwaartekrahtveld veroorzaakt door de aarde kleiner dan die op het aardoppervlak. Een klok aan oord van de satelliet loopt voor een waarnemer op aarde sneller. De satelliet eweegt ten opzihte van een waarnemer op aarde. Daardoor is er sprake van tijdrek: de klok aan oord van de satelliet loopt voor een waarnemer op aarde langzamer. Omdat de twee effeten tegengesteld zijn, geldt voor het totale vershil: Δttot = Δtzw Δttijdrek 39 = Δtzw 8 Het tijdvershil is dus 4 μs. Het effet van de zwaartekraht op de tijd is groter dan het effet van de tijdrek. De zwaartekraht zorgt ervoor dat de klok aan oord van de satelliet sneller loopt voor waarnemers op aarde. De klok loopt dus sneller. Opgave 5 a Uit figuur D.4 van het katern lijkt dat de verhouding tussen het tijdsinterval gemeten in de sonde en het tijdsinterval gemeten op aarde altijd kleiner is dan. Het tijdsinterval dat op aarde wordt gemeten is dus groter dan die in de sonde. Voor de frequentie geldt f T De gemeten frequentie op aarde is dus kleiner dan 6,5 0 8 Hz. De afstand tot de kern van het zwarte gat ereken je met de shwarzshildstraal en de verhouding van de tijdsintervallen. De tijdsintervallen ereken je met de formule voor de frequentie. De shwarzshildstraal ereken je met de formule voor de shwarzshildstraal. G M R De shwarzshildstraal ereken je met s 35 6,67384 0 6,0 0 8 Rs 8,90 m 8,9979 0 ThiemeMeulenhoff v P

De frequentie is omgekeerd evenredig met de tijd. Er geldt dus: 8 tzw f 4, 0 0,646 t f 8 zw 6,5 0 In figuur D.4 van het katern lees je dan af: r =,7RS. De sonde evindt zih dus op,7 8,9 0 8 =,5 0 9 m. Afgerond:,5 0 9 m Uit figuur D.4 uit het katern lijkt dat wanneer de afstand r in de uurt van de shwarzshildstraal Rs komt, de verhouding tussen de tijd aan oord van de sonde en de tijd voor een waarnemer op aarde zeer klein wordt. Een signaal dat aan oord slehts kort duurt, zal op aarde veel langer duren. Als deze verhouding naar nul gaat, dan duurt het op aarde oneindig lang om een signaal te waarnemen. Het signaal wordt dus niet waargenomen. ThiemeMeulenhoff v P

D.6 Afsluiting Opgave 6 a De snelheid van het pion ereken je met de formule voor de gammafator. De gammafator volgt uit de formule voor de totale energie. De rustmassa van een pion ereken je met de rustmassa van een elektron. Erust,pion = 64 Erust,elektron Erust,elektron = 0,50998 MeV (Zie BINAS tael 7) Erust,pion = 64 0,50998 MeV = 34,9 MeV Etot m Etot = 0 MeV m = 34,9 MeV 0 = γ 34,9 γ =,556 v,556 v 0,766 v Het pion heeft dus een snelheid die 77% van de lihtsnelheid is. De afstand die het pion aflegt, ereken je met de formule voor de snelheid. De snelheid ereken je met de lihtsnelheid. De tijd ereken je met de formule voor de tijdrek. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,77 (0,77 ),567 t t e t 7 e = 8,4 0 s 7 6 t,567 8, 4 0,36 0 s = v t v = 0,77 = 0,77,9979 0 8 =,308 0 8 m/s s =,308 0 8,36 0 6 = 3,037 0-8 m Afgerond: s = 3,0 0-8 m ThiemeMeulenhoff v P

Zie figuur D.4. De wereldlijn van het pion loopt tot aan x = 3,0 0 8 m en t =,9979 0 8,36 0 6 = 3,95 0 8 m. De wereldlijn van een foton staat onder een hoek van 45 omdat het met de lihtsnelheid eweegt. In figuur D.4 ewegen ze in tegengestelde rihting. Figuur D.4 d Zie figuur D.5. Het pion staat stil in zijn eigen stelsel. Op t =,9979 0 8 8,4 0 7 =,5 0 8 m vervalt het pion in twee fotonen. Figuur D.5 ThiemeMeulenhoff v P

Opgave 7 a Een lihtjaar is de afstand die liht aflegt in een jaar. Een lihtjaar is dus gelijk aan 365,5 4 3600,9979 0 8 = 9,46 0 5 m. Volgens BINAS tael 3B is de afstand tot Altair gelijk aan 5,8 0 6 m. de 5,8 0 Dat is gelijk aan 9,460 6 5 6,7 lihtjaar. De tijd die Evelien onderweg is in het stelsel van Gert, ereken je met de formule voor snelheid. Druk je de afstand uit in lihtjaar en de snelheid in delen van lihtsnelheid, dan is de tijd in jaar. x = v t x = 6,7 lihtjaar = 33,4 lihtjaar v = 0,80 33,4 = 0,80 t t = 4,75 jaar (Raket gaat heen en weer) Gert is dus 9 + 4,75 = 60,75 jaar wanneer Evelien terugkomt. Afgerond: 6 jaar In het referentiestelsel van Evelien verloopt de tijd langzamer dan in het referentiestelsel van Gert vanwege tijdrek. De tijdrek ereken je met de formule voor de tijdrek. De tijd van Evelien ereken je met de formule voor de tijdrek. De relativistishe fator ereken je met de formule voor de gammafator. v v = 0,80 (0,80 ),666 4,666 t e t e = 5, jaar Evelien is dus 7 + 5, = 5, jaar wanneer ze terugkomt. d Ze is dus jonger dan Gert. Zie figuur D.6a. De t -as van Evelien valt samen met de lijn met ijshrift Evelien. De hoek tussen x -as van Evelien en de x-as van Gert is even groot als de hoek tussen de t -as van Evelien en de t-as van Gert. De hoek tussen x -as van Evelien en de x-as van Gert komt overeen met hoek α. De hoek tussen de t -as van Evelien en de t-as van Gert komt overeen met hoek β. x -as van Evelien loopt dus door de punten A en A De geeurtenissen A en A liggen op de x -as van Evelien. De geeurtenissen A en A zijn dus gelijktijdig in het stelsel van Evelien. ThiemeMeulenhoff v P

Figuur D.6a e Zie figuur D.6. Het vershil in reistijd Δt volgt uit de afstand van A tot A. Figuur D.6 ThiemeMeulenhoff v P