Hoofdstuk Kansen ladzijde 90 V-a Je zou 0 maal kop verwachten Het waargenomen aantal verschilt daarvan dus 0 0 en 00 c %;, %;, % d ls het aantal worpen groter wordt zal het percentage kop steeds dichter ij 0% komen te liggen V-a Het heen van twee mogelijke uitkomsten etekent nog niet dat eide uitkomsten even waarschijnlijk zijn zie a V-a Omdat een doelsteen symmetrisch is en er geen enkele voorkeur lijkt voor welk aantal ogen dan ook, is de kans op vier ogen of (wat hetzelfde is) op Twee van de zes gelijkwaardige mogelijkheden zijn hier gunstig De kans is of op c Vijf van de zes gelijkwaardige mogelijkheden De kans is dan d, dus de kans is op V-a Elk alletje heeft een even grote kans om getrokken te worden Die kans is dus Er zijn vijf alletjes met nummers eindigend op De gevraagde kans is dan 9 Er zijn even nummers, de kans is dan c lle nummers zijn lager dan 0 De kans is dan ladzijde 9 V-a Er waren katten zonder vlooien Daarvan heen 09 het middel toegediend gekregen Het gevraagde percentage is dus 09 00, % Er waren katten die het middel niet kregen toegediend Hiervan kregen vlooien Dat is 00%, % c Er kregen katten vlooien Hiervan kregen het middel niet toegediend Dat is dus 00 0, 0% en de kans is 0,00 d Er kregen katten het middel toegediend Hiervan kregen vlooien De kans daarop is dan 0, 0 e Het middel lijkt niet erg effectief ls je antwoorden ij c en d vergelijkt, dan lijkt dat het toedienen van het middel de kans op vlooien nauwelijks eïnvloedt V-a Elke kaart heeft een even grote kans om getrokken te worden Een volledig spel telt kaarten, dus is de kans op een epaalde kaart gelijk aan Er zijn hartenkaarten, dus is de kans op een hartenkaart gelijk aan Er zijn vrouwen in een spel, dus de kans op een vrouw is c Er zijn heren en oeren, samen kaarten De kans is dus d Er is maar hartenoer De kans is e Er zijn hartenkaarten en vrouwen van een andere kleur Samen zijn dat kaarten De gevraagde kans is dan Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen V-a Omdat eide doelstenen symmetrisch zijn en onafhankelijk van elkaar zullen rollen, kun je zeggen dat alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn Elk van die mogelijkheden heeft dus een kans van Uitkomst (,) is van die mogelijkheden en heeft dus een kans van c ij een som van horen de mogelijkheden (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) en (,), stuks dus ij een som van horen mogelijkheden, namelijk (, ) en (, ) d Twee mogelijkheden op gelijkwaardige mogelijkheden maakt een kans van e Een som van 9 krijg je maar op manieren, terwijl een som van (zie c) op manieren mogelijk is De kans op een som van is groter dan de kans op een som van 9 omdat er ij een som van meer gelijkwaardige mogelijkheden horen f Hierij horen (,), (, ), (, ), (,), (, ) en (,), dus mogelijkheden De kans is g Ook hierij horen mogelijkheden: (,), (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) De kans is V- Omdat eide doelstenen symmetrisch zijn en onafhankelijk van elkaar zullen rollen, kun je zeggen dat alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn Elk van die Product van de aantallen ogen kun je mogelijkheden heeft dus een kans van op manieren krijgen: (, ), (, ), (, ) en (, ) De kans is dan 9 ladzijde 9 a c d De 0 letters heen een even grote kans om getrokken te worden De kans op een E kun je dus erekenen is een weetkans Het gaat hier om een zweetkans Door langdurig oserveren kom je tot de schatting De symmetrie van een munt maakt dat kop en munt zijn even waarschijnlijk zijn als uitkomst van de toss Het gaat hier om een weetkans Een zweetkans (zie ) a euro k cent k m m k m Vier stuks: KK, KM, MK, MM c De kans op een uitkomst is per worp is steeds De kans op elk van de uitkomsten van de worpen samen is dan d PKM ( ) e PKK ( ) f P(één keer kop en één keer munt) P(KM of MK) P(KM) P(MK) a 9 mogelijkheden P(, ) 9 c P(egint met een ) P((,), (,) of (,)) P(,) P(,) P(,) ( ) ( ) ( ) Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v 9
Hoofdstuk - Kansen ladzijde 9 a Vier meisjes is één van de zestien mogelijkheden Elk van die mogelijkheden heeft dezelfde kans om op te treden, daarom P( meisjes) 0, 0 MJJJ, JMJJ, JJMJ en JJJM c P(JJJM) 0, 0 d P( jongens en één meisje) 0, e Elke mogelijkheid met één meisje en drie jongens heeft kans 0,0 Er zijn vier mogelijkheden De gevraagde kans is dus 0, 0 0, f Klopt g P( jongen en meisjes) 0, h Twee jongens en twee meisjes kan in volgorden voorkomen, namelijk: JJMM, a JMJM, JMMJ, MJJM, MJMJ en MMJJ Dus is P( jongens en meisjes) rood wit lauw Er zijn verschillende volgorden c P( wit en rood) P(wwr) P(wrw) P(rww) d eide kunnen in volgorden voorkomen 9 a n totaal zijn er volgorden P(,) c P(een en een ) P(,) P(,) d P(minstens één ) P(,) P(,) P(,) P(,) P(,) P(,) ladzijde 9 000 0 auto s komen langs 00 deel van de auto s ij kiest voor D Er gaan 0, dus auto s langs D Langs E gaan 0 0 9, dus 9 auto s Langs F gaan 0 0 auto s c Langs D komt 0, 0 van alle auto s ij 00 0 Langs E komt 0, 9 van alle auto s ij 00 00 00 Langs F komt 0, van alle auto s ij 00 a 0 Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen D E F totaal aantal auto s 9 0 000 gedeelte 0,0 0,9 0, d De kans dat de auto naar E gaat is 0,9 e De kans dat de auto route E volgt is 0, 00 a Mogelijke volgorden zijn: rr, rw, wr en ww wr en rw heen dezelfde kans om op te treden want 9a 0, van de allen is wit en 0, van de allen is rood n 0, van de keren dat je pakt zal de al wit zijn, dus 0, 000 00 keer n 0, van de keren dat je pakt zal de al rood zijn, dus 0, 000 00 keer c n het ovenste vakje: 0, 00 0, in het vakje daaronder 0, 00 0 n het tweede deel: 0, 00 0 wit en 0, 00 0 rood d P(ww) 0 00, 000 e Op dezelfde manier krijg je P(wr) 0,, P(rw) 0, en P(rr) 0, f P(ww) 0, 0, 00,, P(wr) 0, 0, 0,, P(rw) 0, 0, 0, en P(rr) 0, 0, 0, ladzijde 9 0a P(LL) 0, 0, 0, 0 P(LR) 0, 0, 0, 0 c lleen de tweede klant linkshandig etekent dat de eerste rechtshandig is P(RL) 0, 0, 0, 0 d P(RR) 0, 0, 0, e De som van de kansen op alle mogelijke volgorden is omdat het alle mogelijkheden etreft en verder omdat al die mogelijkheden elkaar uitsluiten (volgorden kunnen niet tegelijkertijd optreden) f P(LLL) ( 0, ) 0, 09 0, 0 g P(RLL, LRL of LLR) P(RLL) P(RLR) P(LLR) ( 0, ) 0, 0, 09 0, 0 a 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0, 0 De kans op twee mensen met loedgroep O is groter, want de afzonderlijke kans is groter 0, 0, 9 Het verschil is 0, %, 9%, % P(OO) ( ) c d P() ( ) Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen a e set e set e set / / / / / / / / / / P(, ) c P(, ) 9 9 d P(ris wint in sets) P(,, ) P(,, ) ( ) sets) P(,, ) P(,, ) ( ) e P(icolette wint in P( wint in sets) P( wint in sets) P( wint in sets) P( wint in sets) 9 9 ladzijde 9 a Langs D stroomt 0, 0, 0, 9, dus 9% van het water dat langs komt Langs E stroomt 0, 0, 0,, dus % van het water dat langs komt n het meer komt 9% % % van het water dat langs komt a e L / / V a het trekken van de eerste atterij zitten er nog maar zeven atterijen in, waarvan, afhankelijk van de eerste, twee of drie lege e e / L / / L V / V / / L V c P(V, V) d P(L, L), P(L, V) e Som van de kansen is 0 en P(V, L) F P(één lege, één volle) P(L, V) P(V, L) Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen ladzijde 9 a P(r, r) 0, 0 0 9 P(witte en rode) P(w, r) P(r, w) 0, 0 9 0 9 c P(r, r) 009, en P(witte en rode) P(w, r) P(r, w) 0, 0 0 0 0 ( ) 9 ( ) ( ) a Twee keer en één keer kan in drie volgorden De gevraagde kans is P(som ) P(drie keer ) P (een, een en een ) a P(EVE) 0, 0 0 P(EVE) 0, a P(rot, rot) 0, 0 0 9 P(gaaf, gaaf) 0, 0 9 9 P(video) P(geen prijs, geen prijs, prijs) P(prijs, geen prijs, prijs) P(geen prijs, prijs, prijs) 9 9 9 9 00 99 9 00 99 9 00 99 9, 00 00 0a De getallen ij de takken zijn de kansen op deze geeurtenis tot dan toe Dus eerst een rode knikker heeft een kans Twee rode knikkers achter elkaar heeft een kans 0 van en drie rode knikkers achter elkaar heeft een kans van 0 9 0 9 Ja, zie opdracht a c P(twee rood en één groen) 0, 0 9 0 d P(twee groen en één rood) 0, 0 9 0 a e test e test e test gezakt / / 0,0 geslaagd 0,0 gezakt geslaagd 0,9 gezakt 0,0 geslaagd P(geslaagd, gezakt) 00, 0, 0 0, c P(geslaagd, geslaagd, geslaagd) 00, 0, 0 00, 0, 00 ladzijde 9 a P(,,, ) 0, 0, 0 ert wint P wint c P(,,, ) 0, 0, 0 d aar de uitslag - zijn er routes Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen e Omdat ij elke route twee keer wint en ert twee keer wint De kansen op winst in een partij zijn voor en ert steeds dezelfde f Omdat de kans op elke route steeds hetzelfde is, is het dus voldoende om de kans op één route uit te rekenen, opdracht c, en deze dan te vermenigvuldigen met het aantal routes, opdracht d P(uitslag - ) 0, 0 0, g P( wint met - ) 0, 0, a n het rooster staat de serie P(,,,, ) 0, 0, 0, 0, 0 c De uitslag kan op 0 manieren tot stand komen d P(uitslag - ) 0 0, 0, 0, ladzijde 99 a verliest 0, winst 0, P( keer winst) 0, 0, 0, Het aantal routes naar punt (,) is P( keer winst) 0, 0, 0, Om in het punt (,) uit te komen moet je stappen zetten, keer naar rechts en keer naar oven Dat kan op manieren P(punt(, )) 0, 0, 0, 0 a ij een vierkeuzenvraag zijn drie antwoorden en is één antwoord eem een stap naar rechts ij het geven van een antwoord en een stap naar oven ij het geven van een antwoord ij elk kruispunt is de kans dat je naar oven gaat 0, en dat je naar rechts gaat 0, Het punt (,) c P( en ) P( ggggff) 0, 0, 0, 0 a P( defect) P( ddg) 0, 09, 0, 0 P( ) P(ggg) 09, 0, 9 c P( en defect) P( ggggd) 09, 0, 0, a Er zijn punten, namelijk (0,) en (,) Punt (0,) kun je op manier ereiken en punt (,) op manieren P()P((0,) of (,)) 0, 0, 0, P(K)P(K(,) of K(,0)) 0, 0, 0, c De wandeling eindigt in een, een K of een S De som van de kansen is, dus P(S) P ( ) PK ( ) 0, 0, 0, d P(KS) 0, ( 0, ) 0, 0, 00 Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen 9a c Verkorte notatie: lessure, ggeen lessure Zes jaren waarvan drie jaren met lessures en drie jaren zonder lessures Dit kan op 0 verschillende manieren P( jaren geen lessures) 0 P( ggg) 0 0, 0, 0, 0 P( jaar wel lessure) P( jaar geen lessure) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 00 0, 0 Het is mogelijk een kansoom te geruiken, maar deze wordt dan wel erg uitgereid Elk jaar wordt het aantal takken twee keer zo groot, dus voor jaar kom je uit op takken Dat is niet erg overzichtelijk ladzijde 00 0 - a ijvooreeld voor een jongen de getallen 0 t/m en voor een meisje de getallen t/m 9 a ijvooreeld door alleen te kijken naar de cijfers t/m en de andere cijfers te negeren aar verwachting zal hij 0 keer een zes krijgen ladzijde 0 a etekent: rechts links rechts, dus komt de hamster ij uit cd - e poort D aantal keer 0 percentage,,,, a Met toevalsgetallen ijvooreeld: 0,,,: Kramnik wint;,,: Ponomariov wint;,,9: het wordt remise Of met een kanstol met sectoren: Een sector van 0 : Kramnik wint; een sector van 0 0 : Ponomariov wint; de rest van de kanstol (sector van 0 0 ): het wordt remise a ee, het is toeval Het is heel mogelijk dat er twee jongens worden gekozen c P(J, J) En zo klein is deze kans niet ladzijde 0 a P(E, ) 0, 0, 0, P(twee klanten na elkaar van hetzelfde type) P(E, E) P(H, H) P(, ) 0, 0, 0, 0, c P(E, H, ) 0, 0, 0, 00, d De drie types kunnen in volgorden verkocht worden P(elk type één keer) PEH (,, ) 00, 0, Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen a 0 0 0 0 0 0 9 0 Het aantal verschillende wandelingen van stappen is 09 ij elke stap he je twee mogelijkheden, naar oven of naar rechts 0 c P(punt(0,)) P( rrrrrrrrrr) ( ) ( ) 0, 0009 d P( ) ( ) 0, 0, 00000 P( ) ( ) 0, 0, 0000 P(0 ) 0, 0009 (zie opdracht c) e P( ) 0, 0, 0, ladzijde 0 9a P(gekleurde fles komt terecht) 0, Van de 00 flessen zijn er 0 wit, deze komen dus terecht, de andere 0 zijn gekleurd en daarvan zal de helft terecht komen, dus n totaal komen 0 van de 00 flessen terecht, dit is % c P(gekleurde fles komt ) P(fles is ruin en in ak ruin) P(fles is groen en in ak groen) 0, 0, 00, 0, 0, 0a P(test groep negatief) 09, ~ 0, P(test groep positief) 0, 9 0, want de test is positief als minimaal één van de vijf positief is c Het percentage lijders aan syfilis is ongeveer % Dus 00 proeven zullen naar verwachting positief zijn 0 d ij een groep van 0 personen is P(test groep negatief) 09, 0, 9 P(test 0 groep positief) 0 9 0, 0 0000 man getest Het aantal groepstesten is dan 000 Hiervan zijn er naar verwachting 0, 0 00 0 positief Vervolgens moeten dan 00 mannen persoonlijk worden getest n totaal dus 00 testen voor 0000 personen ladzijde 0 -a Voorspellingen: 0 keer kop: % dus keer; keer kop 0% dus 0 keer; keer kop %, dus keer c - d Voorspellingen: 0 keer kop: % dus 00 keer; keer kop 0% dus 00 keer; keer kop %, dus 00 keer e De munten zijn eerlijk, er is dus geen voorkeur voor kop of munt lle mogelijkheden heen dus een even grote kans De te schatten kans zal 0, zijn Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen - 0, c 0, d 0, e 0,0 ladzijde 0 -a c d Een weetkans Een zweetkans Hier kun je alleen een uitspraak over doen als je heel lang metingen van de temperatuur in mei ijhoudt De omstandigheden waaronder een lekke and voorkomt zijn niet onder controle te houden Je zou niet weten hoe een experiment herhaald moet worden om aan een empirische kans (zweetkans) te komen n ieder geval geen weetkans en waarschijnlijk geen zweetkans Dat is onzin Docenten kunnen ook allemaal aanwezig zijn Een zwetskans dus -a e draai e draai Er zijn in totaal 9 volgorden Omdat de kans op een, een en een even groot zijn c P(twee keer een ) 9 d P(eginnen met ) -a c d Er zijn takken en elke tak heeft dezelfde kans De kans op een tak is dus 0, 0 JJJM, JJMJ, JMJJ, MJJJ Er zijn vier takken waarij een gezin met jongens en een meisje hoort Die kans is dus 0, 0 Er zijn volgorden met twee jongens en twee meisjes Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen -a Het is geen regelmatig oomdiagram ij elk van de uitkomsten van horen niet maar uitkomsten van P(,) c P(een en een ) P(, ) P(, ) d P(minstens één ) - P(geen ) ndere mogelijkheid: P(minstens één ) P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) ladzijde 0 -a 000 0 auto s komen langs 00 0, dus auto s langs D Langs E gaan 0 0 9, dus 9 auto s Langs F gaan 0 0 auto s c Langs D komt 0, 0 van alle auto s ij 00 0 Langs E komt 0, 9 van alle auto s ij 00 00 00 Langs F komt 0, van alle auto s ij 00 D E F totaal aantal auto s 9 0 000 gedeelte 0,0 0,9 0, d De kans dat de auto naar E gaat is 0,9 e De kans dat de auto route E volgt is 0, 00 -a RR, RW, WR, en WW De kans op rood is 0, omdat er van de knikkers rood zijn De kans op een witte knikker is 0, c RW en WR -9a Omdat de kans op een witte knikker 0, is ls de eerste al rood is (dat is 00 van de 000 keer zo) dan is de kans dat je vervolgens weer een rode al pakt opnieuw 0, Dus in 0% van die gevallen pak je weer een rode al, dus in 0, 00 0 gevallen pak je rode allen Op dezelfde manier : in 0, 00 00 gevallen pak je witte allen c P(twee keer wit) 0,0 d P(eerst wit dan rood) P(eerst rood dan wit) 0, en P(twee keer rood) 0, e 0, 0, 00, ; 0, 0, 0, ; 0, 0, 0, en 0, 0, 0, -0a e klant e klant 0, L 0, 0, L R 0, R 0, 0, L R Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen P(LL) 0, 0, 0, 0 c P(LR) 0, 0, 0, 0 d lleen de tweede klant linkshandig etekent dat de eerste rechtshandig is P(RL) 0, 0, 0, 0 e P(RR) 0, 0, 0, -a 0, 0,09 0,0 0, O 0, 0,09 0, 0,09 0,0 0, O 0,0 0, 0, 0,09 0,0 0, O O 0, 0,09 0,0 0, O P(OO) ( 0, ) 0, 0 c De kans op twee mensen met loedgroep O is groter, want de afzonderlijke kans is groter d P(O) 009, 0, 0, 00 en P(O) 0, 0, 09 0, 00 e P(O)P(O) 0, 0, 0, 0, 0, -a P(twee keer een en één keer een ) 0, 9 P(,, ) P(,, ) P(,, ) P(,, ) P(,, ) P(,, ) P(,, ) ( ) 0, 9 -a e set e set e set / / / / / / / / / / P(, ) c P(, ) 9 9 d P(ris wint in sets) P(,, ) P(,, ) ( ) e sets) P(,, ) P(,, ) ( ) P(icolette wint in P( wint in sets) P( wint in sets) P( wint in sets) P( wint in sets) 9 9 Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v 9
Hoofdstuk - Kansen ladzijde 0 T-a e / / / e / / / / / / / / / e etc / / / Er zijn in totaal volgorden mogelijk c P(,, ) ( ) d Er zijn drie volgorden met twee keer en één keer e Met, en zijn er volgorden f P(drie verschillende letters) 9 T-a e e e / / / / / / / / / / / / / / P( ) Pfgg ( ) 9 c P(0 ) P( ggg) ; P( ) P( ffg) ; P( ) P( fff) T-a defect 0,0 0 0,9 P(twee defect) P ddgggg ( ) ( ) P(zes ) P( gggggg) ( 09, ) 0, ( ) 0, 0 0, 9 0, 00 T-a 0 eem steeds twee cijfers naast elkaar, dan he je 00 t/m 99, dus 00 mogelijkheden De getallen 00 t/m 9 vat je op als rildragers, de rest draagt dan geen ril geen ril 0,0 0 rildrager 0, P(twee van de tien mensen geen ril) P( gg) 0, 0, 0, 000 Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v
Hoofdstuk - Kansen ladzijde T-a Hier is sprake van een zweetkans, de uitspraak kan alleen op experimentele wijze onderouwd worden X aantal geslaagden P(X ) 0, 0, 0, 09 c Met twee munten is de kans op kop - kop: P(k, k) ( ) Dus werp twintig keer met eide munten: kop - kop is zakken, de rest geslaagd d Steeds twee cijfers naast elkaar nemen 00 t/m is zakken, t/m 99 is slagen T-a P(echtpaar Karsten) P(man K en vrouw K) P(één van de echtparen) P(echtpaar Karsten) c P(geen echtpaar) P(een echtpaar) T-a Keuze : P(Hans en Edith winnen) Keuze : P(Hans en Edith winnen) P(Ger en Grethe verliezen en Hans en Edith winnen) Het maakt dus niets uit n eide gevallen is de kans dat geen van eide koppels de auto wint gelijk aan Moderne wiskunde 9e editie Havo deel oordhoff Uitgevers v