Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 4 4 Getijdekrachten 4.1 Getijdeverhitting van Io Io wordt verwarmd door de getijdewisselwerking met Jupiter: zo n 10 1 W. We zullen hier afleiden hoe deze verwarming in zijn werk gaat. In Figuur 1 staat een schematische afbeelding van Io, met straal a, en in tweeën gedeeld. Het centrum van ieder halfrond, P resp. Q, ligt precies 1 a van het centrum van Io, O. 2 Naar Jupiter Van Jupiter af P 1/2 a O 1/2 a Q a Figure 1: Een schematische voorstelling van Io 1. Geef aan hoe de vectoren van de getijdenkrachten in beide halfronden staan. Beiden naar buiten gericht 2. De centrifugaalversnelling op een afstand R van een deeltje in een cirkelbeweging met snelheid v kan geschreven worden als: A centri = v2 R Schrijf dit om naar een combinatie van de hoeksnelheid ω en de afstand R. A cen = ω 2 R (1). De versnelling in O en P is een evenwicht tussen de zwaartekracht aan de ene kant en de centrifugaal kracht aan de andere kant. Wat is de versnelling in O en P, als we O en P 1
beschouwen als losse punten die ieder een eigen hoeksnelhied rond Jupiter hebben? Ga hierbij uit van een afstand tussen O en het centrum van Jupiter van R en een massa van Jupiter van M J en verwaarloos de beweging van Jupiter. A O = Rω 2 0 A P = (R 1 2 a)ω2 P (R 1 2 a)2 4. De getijdekracht ontstaat doordat O en P wel in één lichaam zitten en P dezelfde hoeksnelheid zal hebben als O. De getijdeversnelling is dan dus het verschil in versnellingen tussen O en P. Wat is deze verschilversnelling, A? ω O = ω P = ω A = A P A O = (R 1 2 a)2 (R 1 2 a)ω2 + Rω 2 5. Gebruik de relatie ω 2 = (2) om de hoeksnelheid te elimineren uit de verschilversnelling. A = = = GM (R 1 J 2 a)2 GM (R 1 J 2 a)2 (R 1 2 a)ω2 + Rω 2 (R 1a) 2 (R 1a) GM (R 1 J 2 a)2 2 + 6. Je kunt nu ook de binominaal-aanname maken om de verschilversnelling nog verder te versimpelen: 1 (a b) = 1 n a (1 + n b ), () n a als b a. Wat wordt hiermee de totale verschilversnelling? A = (R 1a) GM (R 1 J 2 a)2 2 = (1 + 2 1 2 a ) (R 1a) = = a 2 + a + 1 2 a 7. Als we nu aannemen dat alle massa van het halfrond van P in P zit en dezelfde verschilversnelling ondergaat, wat wordt dan de getijdekracht in P? F = ma m = 1M 2 I F = 1M 2 I a 2 = M I a 4 2
8. Wat wordt de kracht dan in Q? En de totale getijdekracht over Io? Hetzelfde, maar tegengesteld gericht. Totale kracht is nul. 9. Om uit te kunnen rekenen wat de verhitting wordt, moeten we het een en ander aannemen over de structuur van Io. Als aanname maken we nu dat Io geen bol is, maar een kubus met ribbe 2a, die in één richting (langs de as door Jupiter en O) uitgerekt wordt. De mate van uitrekking wordt bepaald door: ɛ = F lengte Y oppervlak, (4) Hierbij is Y Youngs modulus, die afhangt van het materiaal. uitzetting ɛ? Wat wordt hiermee de ɛ = F lengte Y opp. = F 2a Y 4a 2 = F 2aY = M I 8Y 10. De rek-energie die met de uitzetting gepaard gaat is: Ψ = 1 2 F ɛ (5) Wat wordt de rek-energie Ψ uitgedrukt in de systeemparameters van Io en Jupiter? Ψ = 1 2 F ɛ = 1 M I a 2 4 2 = a 4Y ( M I 4 ) 2 M I 4Y 11. Het uitrekken van Io levert nog geen verhitting op; de structuur van Io zal zich aanpassen aan de getijdenkracht. Maar omdat de baan van Io eccentrisch is moet Io zich voorturend aanpassen aan de veranderende getijdenkracht en daarbij wordt energie gedissipeerd. De baan van Io heeft een eccentriciteit e. Wat zijn de maximale en minimale afstanden van het centrum van Io als R de gemiddelde baanafstand tot Jupiter is, en wat is R, uitgedrukt in R en e? Minimale afstand: R min = R(1 e) Maximale afstand: R max = R(1 + e) R = R max R min = R(1 + e) R(1 e) = 2eR 12. De totale interne energieverandering is het verschil in rek-energie tussen de extrema in de baanbeweging van Io: E = Ψ Rmax Ψ Rmin = Ψ = dψ R (6) dr Wat is de afgeleide van Ψ naar R? Wat wordt hiermee de uitdrukking van E?
Ψ = a ( M I ) 2 4Y 4 dψ = 6a( M I ) 2 1 dr 4Y 4 R 7 = a ( M I ) 2 1 2Y 4 R 7 E = dψ a R = ( M I ) 2 1 2eR dy 4 R 7 = 9 ae (GM 16 R 6 Y JM I ) 2 = 27ae (GM 16R 6 Y JM I ) 2 1. De hoeveelheid energie die omgezet wordt in warmte per baanperiode, P b van Io door deze getijdekrachten is: E vrij = f E, (7) waarbij f een efficientiefactor is die afhangt van het soort materiaal. f is voor korstachtig materiaal zoals op Io (en de Aarde waarbij f is bepaald uit aardbevingmetingen) ongeveer %. De hoeveelheid arbeid die verricht wordt is hiermee: E W = vrij (8) P b Bereken W als gegeven is dat de eccentriciteit van Io, e = 1 10 4, Y = 5 10 10 Nm 2, P b = 1.77 d (de rest van de gegevens kan je vinden in het boek). Hoe goed klopt dat met de waargenomen verwarming en wat vind je daarvan, gezien de versimpelingen die we hebben aangenomen? W = f27 ae (GM 16 R 6 Y P JM I ) 2 = 2.7 10 1 W met M J = 1900 10 24, M I = 89.2 10 21, R = 422 10 6, a = 1815 10 Dat klopt behoorlijk goed met de waarnemingen, gegeven de grote versimpelingen die we hebben toegepast 14. Vergelijk deze waarde met die voor de Maan (e=0.056) in haar baan rond de Aarde, maar bijvoorbeeld ook met de Aarde in haar baan rond de Zon (e=0.017), aannemende dat Y en f van de Maan en de Aarde hetzelfde zijn als van Io. Param. Maan - Aarde Aarde - Zon a 1.78 10 6 m 6.78 10 6 m e 0.056 0.017 84.4 10 6 m 0.1496 10 12 m f 0.0 0.0 P 2.6 10 6 s.156 10 7 s Y 5 10 10 5 10 10 M 1 5.976 10 24 kg 1.989 10 0 kg M 2 0.075 10 24 kg 5.976 10 24 kg W 1.10 10 10 W 1.95 10 8 W 15. Denk je dat de getijdekrachten van de Zon een belangrijke factor zijn in het opwekken van vulkanisme op Aarde? Nee, daar komt veel te weinig warmte voor vrij 4
4.2 Getijden op Aarde De getijden op Aarde worden niet alleen door de Maan veroorzaakt, maar ook door de Zon 1. Reken de verhouding uit van de sterkte van de getijdenkrachten op Aarde ten gevolge van de Maan en van de Zon. (NB. je hoeft beide krachten niet apart uit te rekenen) F M vehouding M M M M AU = 0.46 2. De invloeden van de Maan en de Zon kunnen elkaar versterken of verzwakken. Wanneer versterken de getijden van Maan en Zon elkaar? En wanneer verzwkken ze elkaar? Versterken bij volle en nieuwe maan. Verzwakken bij halve maan. Reken het verschil in sterkte uit tussen de maximale getijden (springtij) en de minimale getijden (doodtij) 1.46 vergeleken met 0.54, dus springtij is maximaal bijna drie keer zo sterk als doodtij 4. Wat wordt dit verschil als je ook de eccentriciteiten van de Maan- en Aardbaan (zie boven) meeneemt? Maximaal M /(1.017AU) + M M /(1.056R M ) = 1.14 M /AU + M M /RM Minimaal M /(0.98AU) + M M /(0.944R M ) = 0.87 M /AU + M M /RM Verschil nu: 1.46 * 1.14 = 1.66, 0.54 * 0.87 = 0.47, ruim.5 keer zo sterk 5