Praktische Wiskunde, Utrecht Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl http://www.math.uu.nl/people/sleijpen >Lectures>Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul Zegeling Department of Mathematics Voor cursusmateriaal (matlab code), achtergrondmateriaal, presentielijst http://www.math.uu.nl/people/sleijpen Programma Waarom Numerieke Wiskunde? Waarom praktisch? Studio Course Regelingen Differentiaalvergelijkingen Pijlers (exacte) wetenschap Theorie Experimenten Computer simulaties Simulaties om te testen te ontwerpen beleid te ondersteunen theorie te ontwikkelen Lab. experiment Lokaal inzicht Theorie beschrijft lokale samenhang Wiskunde & Simulatie Globale inzichten (voorheen: Wiskunde & exp. met schaalmodellen)
Zeker aspect van de werkelijkheid Oceanografie Wiskundig model (PDE) Discretizeer Gediscretizeerd model Computer model Simulaties Simulaties in geval experimenten te duur zijn ongewenst zijn onmogelijk zijn Simulaties worden aantrekkelijker door snellere computers computers met veel geheugenruimte goedkopere comuters snellere, betrouwbaardere en robustere algorithmes Computer Science Simulatie Globale oceaan circulatie Oceanografie, Mathematische Analyse fv = g h x ru + A 2 u + F 1 (NS)... u x + v y = 0 Eindige differences eindige elementen eindige volumes,...... u(x+ x) u(x x) 2 x +... Numerieke Wiskunde Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytische oplossing: oplossing is onoverzichtelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk het rekenwerk Meeste problemen zijn niet analytisch oplosbaar vb. t e s2 ds Ax = b Linearizeer Numerieke Lineaire Algebra Computer Science Simulatie
Waarom analyse? Numerieke analyse Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing Stabiliteit oplossing Convergentie Convergentiesnelheid Fouten foutenbronnen benaderingsfouten (hebben een structuur) afrondfouten doorwerking fouten Fouten beïnvloeden convergentie nauwkeurigheid Veel software is beschikbaar. Kan ik niet altijd een standaard routine gebruiken? Voor ieder wiskundig probleem zijn er diverse algorithmes. Er is geen best algorithme. Wat het beste is hangt af van de aard van het wiskundig probleem parameters in het probleem de gewenste nauwkeurigheid beschikbare computers Op welke zaken je moet letten? Moderne beroepspraktijk voor een wiskundige is teamwerk. Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht Experimentele inzichten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe Heuristiek speelt vaak een grote rol Heuristiek is gebaseerd op theoretisch inzicht gesteund door experimentele resultaten
Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer. Werkwijze Experimenten Vragen Theorie Experimenten Inzicht staat centraal. Formaliseren inzicht gebeurt thuis en op het werkcollege Waarom als Studio Course? Kennismaking practische kant numerieke wiskunde. Didactisch Zelf ervaren Zelf ontdekken Persoonlijk Vollop ruimte voor discussie Werken in eigen tempo Sjabloon Vraag Experiment Verklaring Opgave Computer practicum Thuis, werkcollege Leuk Opdracht Onderwerpen Gewone differentiaalvergelijkingen (GDVen), beginwaardenproblemen Nulpunten van functies Waarom deze onderwerpen? Doel cursus Aanleren basistechnieken genoemde onderwerpen Inzicht in begrippen die ook van belang zijn in andere context (fout, gestructureerde fout, foutvoortplanting, stabiliteit, convergentie, efficiëntie, betrouwbaarheid Omgaan met standaardpaketten, ervaren van mogelijkheden, beperkingen Voorkennis Elementaire calculus cursus (Infi) Relevant: Numerieke Wiskunde: Deel 1 theoretische numerieke wiskunde Gewone differentiaalvergelijkingen MATLAB Over MATLAB
Regelingen Samenwerken: toegestaan (zelfs aanbevolen) Voltijdse aanwezigheid computerpracticum: verplicht Aanwezigheid werkcollege: zeer sterk aanbevolen Verslag schrijven: mag door max. twee personen,echter iedereen is persoonlijk verantwoordelijk voor het hele werkstuk. Individueel punt wordt vastgesteld na een kort gesprek met docent. Practicum voorbereiden Doen Aantekeningen bijhouden van je experimenteel werk later nodig, discussie materiaal Wekelijks theoretische opgaven uitwerken en inleveren minimaal 1 uur voor het werkcollege 4-de, 8-ste week (eind hoofdstuk) opdrachten maken en verslag schrijven (inleveren: over 1, eind jaar; over 2, eind januari) portfolio Voorbereiding Differentiaalvergelijkingen Schrijf je in voor deze cursus via OSIRIS! Check in welke groep je ingedeeld bent. Instituut: koop een handleiding/diktaat. Thuis: lees/bestudeer het relevant deel van het diktaat. Practicum: haal de software op van de internet pagina en plaats die in een folder waarin je voor deze cursus wilt werken (installatie instructies worden tijdens het practicum uitgedeeld) { u (t) = f(t, u(t)) t [t 0, t 0 + T ] GDV u(t 0 ) = u 0 beginwaarde Gegeven: f, u 0 beginwaarde op. Op te lossen: u op het tijdsinterval [t 0, t 0 + T ]. Voorbeeld. Lineaire GDV u (t) = λu(t) + g(t) Exacte oplossing is bekend. Waarom voor de numerieke wiskunde interessant? Om inzichten te testen Theorie betreffende fouten te testen Fout voortplanting begrijpen
Voorbeeld. Lineaire GDV u = λu + g Voorbeeld. Meer dimensionaal { u (t) = f(t, u(t), v(t)) v (t) = g(t, u(t), v(t)) Voorbeeld. Tweede orde GDV u = αu + βu + f Vragen Is het numeriek resultaat betrouwbaar? Hoe kan je achterhalen of het numerieke resultaat betrouwbaar is? Is er een methode die voor alle GDV s werkt? Als dat niet zo is, waar hangt het van af of een methode geschikt is? Zijn er standaard paketten? Zorgen die voor een betrouwbare oplossing? Moeten er parameters gekozen worden? Waar hangen die parameters van af?