Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Vraagstuk 9.7 Voor het eerste deel, test x x + iε 1 met een testfunctie. Voor het laatste deel: vind eerst bijzondere oplosssingen door de gesuggereerde procedure toe te passen. Gebruik daarna het in vraagstuk 9.3 gevondene. Vraagstuk 9.9 Onderscheid de gevallen zoals aangegeven, en gebruik in het tweede en derde geval Stelling 9.3. Vraagstuk 9.10 Los als voorbereiding eerst het volgende probleem op. Laat zien dat er voor elke n- dimensionale multi-index α precies één veeltermfunctie p op n bestaat zo dat { 1 als β = α β δ(p) = 0 als β α Laat vervolgens zien dat de distributies α δ, voor α N n, lineair onafhankelijk zijn. Vraagstuk 11.10 Laat eerst zien: als u D () + en u = 0 dan u = 0. Bepaal vervolgens de afgeleide van χ k + en los de verkregen differentiaalvergelijkingen op. Merk hierbij op dat voor elke geldt supp f [, [ supp H f [, [. Pas het eerste deel toe voor het oplossen van u (k) = f. Bewijs de laatste formule met inductie naar k. Beschouw daarbij (ϕh) (k) (f), met f Cc (). Geef eerst een zo eenvoudig mogelijke formule voor H f als f een integreerbare functie is en merk op dat voor elke geldt: supp f [, [ supp H f [, [. Vraagstuk 11.13 Maak gebruik van de karakterisering van kansmaat in Opmerking 3.9. Maak tevens gebruik van de formule (11.15) voor het convolutie product. 1
Vraagstuk 12.1 Een integreerbare functie f : n C heet homogeen van de graad a C als f(cx) = c a f(x) voor alle c > 0. We noteren voor iedere c > 0 de vermenigvuldigingsafbeelding x cx, n n met V c. We noteren met Vc de afbeelding Cc ( n ) Cc ( n ) gegeven door Vc ϕ(x) = ϕ(cx). Toon aan dat We definiëren daarom V c [test (V c f)](ϕ) = c n [testf](v c 1ϕ). : D ( n ) D ( n ) door V c u : ϕ c n u(v c 1ϕ), voor u D ( n ). Een distributie u D ( n ) heet homogeen van de graad a indien voor alle c > 0. Vraagstuk 12.2 V c u = c a u Gebruik hierbij de fundamentele oplossing E voor de Laplaciaan op n, n 2, zoals gegeven in (12.3). In eerdere opgaven is aangetoond dat E een lokaal integreerbare functie is en aldus een distributie definieert. Bovendien is aangetoond dat de distributies j E lokaal integreerbare functies zijn, en gegeven worden door de formules voor n 3 en door j E = x j (2 n)c n x n (x 0) j E = x j π x 2 (x 0) voor n = 2. Om inzicht te krijgen in de niveaukrommen in het (x 1, x 2 )-vlak kunnen in het geval n = 3 poolcoordinaten gebruikt worden. Het geval n = 2 is gemakkelijker. Vraagstuk 12.3 De potentiaal kan daadwerkelijk uitgerekend worden in termen van een functie van x en a. Op zeker moment is het nuttig de primitieve van (1 + t 2 ) 1/2 te kennen. Via een sinh substitutie is te vinden dat een primitieve gegeven wordt door log(t + 1 + t 2 ). Uiteraard is dit ook direkt te controleren. 2
Vraagstuk 12.5 Het gemakkelijkst is het om de eerste aanwijzing uit het diktaat te gebruiken. Bepaal eerst de gesuggereerde (lineaire) substitutie van variabelen. De tweede aanwijzing is ook goed bruikbaar. Daarbij probeer je een vectorveld f = (f 1, f 2 ) te vinden zo dat f 1 t + f 2 x = 2 φ t 2 φ 2 x 2 Vraagstuk 12.8 We geven een aanwijzing voor het laatste deel, waarbij g j D ( n ). Gebruik de aanwijzing uit het diktaat om te laten zien dat voor ieder geheel getal N 1 een distributie f N D ( n ) bestaat zo dat j f N = g j op de bol B(0; N). Laat vervolgens zien dat voor p < q de distributies f p en f q op B(0; p) een constante verschillen. Toon vervolgens aan dat de distributies f N zo aangepast kunnen worden dat f N = f 1 op B(0; 1). Gebruik tenslotte de plakstelling voor distributies. Vraagstuk 14.8 In deze aanwijzing wordt vraagstuk 14.8 nader uitgewerkt. f : gedefinieerd door f(x) = e x. We beschouwen de functie (a) Toon aan dat ˆf(ξ) = 1 1+ξ 2. Laat zien dat Ff L 1 (). Zij ϕ C0 () zo dat ϕ 0 en ϕ(x) dx = 1. Zoals gewoonlijk definiëren we ϕ ε (x) = ε 1 ϕ(x/ε). (b) Toon aan dat F(ϕ ε )(ξ) 1 voor alle ξ. Toon voorts aan dat F(ϕ ε ) 1 uniform op elk compactum. Hint: toon eerst aan dat F(ϕ ε )(ξ) = Fϕ(εξ). (c) Toon aan dat voor ε 0. ˆϕ ε ˆf ˆf L 1 0 (d) Toon aan dat voor elke ε > 0 geldt dat ϕ ε f S(). (e) Beredeneer dat uit het bewijs van Stelling 14.10 in het dictaat volgt dat er een constante c > 0 bestaat zo dat Lψ(0) = Fψ(ξ) dξ = cψ(0). voor alle ψ S(). 3
(f) Laat zien dat voor alle ε > 0 geldt ˆϕ ε (ξ)ff(ξ) dξ = c[ϕ ε f](0). (g) Toon aan dat c = Ff(ξ) dξ en bepaal de constante c. Uitwerking bij vraagstuk 12.3 De aanwijzingen volgend vinden we de formule u a (x) = log(t + 1 + t 2 ) β(a,x) β( a,x), met β(a, x) = ρ 1 (a + x 1 ), ρ = x 2 2 + x 2 3, voor (x 2, x 3 ) 0. Hieruit volgt dat exp u a (x) = β(a, x) + 1 + β(a, x) 2 β( a, x) + 1 + β( a, x) 2 en door teller en noemer te vermenigvuldigen met ρa 1 leiden we af dat exp u a (x) = 1 + x 1a 1 + ρ 2 a 2 + (1 + x 1 a 1 ) 2 1 + x 1 a 1 + ρ 2 a 2 + ( 1 + x 1 a 1 ) 2. Van deze uitdrukking zoeken we voor a de Taylor ontwikkeling in machten van a 1 vinden. Hiertoe merken we op dat Derhalve geldt Dus ρ2 a 2 + (±1 + x 1 a 1 ) 2 = 1 + h = 1 + h 2 h2 8 + O(h3 ), (h 0). 1 ± 2x 1 a 1 + (ρ 2 + x 2 1)a 2 = 1 ± x 1 a 1 + [ 1 2 ρ2 + ( 1 2 1 2 )x2 1]a 2 + O(a 3 ). exp u a (x) = 2 + 2x 1a 1 + O(a 2 ) 1 2 ρ2 a 2 + O(a 3 ) = 4a 2 ρ 2 [1 + x 1 a 1 + O(a 2 )]. 4
Hieruit blijkt dat u a (x) voor a. In het bijzonder geldt exp u a (e 3 ) = 4a 2 + O(1). Het probleem is dat de potentiaal niet op nul geijkt is in een vast punt. We kunnen dit ondervangen door in plaats van u a de potentiaal v a := u a u a (e 3 ) te beschouwen. Dan geldt voor x 3 met ρ = x 2 2 + x 2 3 > 0 dat exp v a (x) = exp u a(x) exp u a (e 3 ) = 4a2 ρ 2 [1 + x 1 a 1 + O(a 2 )] 4a 2 + O(1) waaruit volgt dat = ρ 2 [1 + O(a 1 )], v a (x) = 2 log ρ + log[1 + O(a 1 )] = 2 log ρ + O(a 1 ). Dus lim v a(x) = 2 log ρ = log(x 2 2 + x 2 3). a Extra aanwijzing bij Vraagstuk 12.8 We beschouwen distributies g j met k g j = j g k voor alle j, k. Zij ϕ C0 ( n ) zo dat ϕ = 1 op een open omgeving van de gesloten bol rond 0 met straal. Beschouw nu g j = ϕg j en definieer n f = j E g j. j=1 (a) Toon aan dat waarbij h k = j k f = gk + h k, j E ( k ϕ g j j ϕ g k ). (b) Laat zien dat singsupp (h k ) n \B(0; ) (gebruik de bekende fundamentele oplossing). (c) Laat zien dat j h k = k h j voor alle j, k. (d) Beredeneer dat er een H C (B(0; )) bestaat zo dat voor elke k. k H = h k 5
(e) Toon aan dat f = f H een distributie op B(0; ) definieert, die op de genoemde bol voldoet aan k f = g k. (f) Voltooi het vraagstuk met de eerder gegeven aanwijzing. 6