Inegraiepracicum III Casus I Projecevaluaie Irrigaie landbouwgronden in Ruriania Bas Beerenhou (556622) & Cliff Voeelink (554506) Deadline casus I: 2 januari 2007 TR2
Inleiding Er zijn een hoop derdewereldlanden. Om die onwikkelingslanden e helpen kunnen rijke landen op verschillende manieren hulp bieden. Één van die manieren is he inveseren (he lenen) van geld in projecen bereffende irrigaie in de landbouw, me als doel de opbrengs van de landbouwgronden e verhogen. Men zou dan bijvoorbeeld een onwikkelingsland kunnen helpen erwijl men daar zelf uieindelijk nies op verlies. In di geval bekijken we een irrigaieprojec bereffende de landbouwgronden in Ruriania. He volgende is bekend over he projec: Loopijd projec : 8 jaar (993-2000) Consrucieperiode : 2 jaar Irrigaie operaioneel : > 6 jaar 2 Te inveseren kapiaal = Bedrag lening: 460 miljoen US$, waarvan 2/3 deel in he eerse jaar en /3 deel in he weede jaar. 3 Renevoe lening: 9 % per jaar. Aflossingen en rene e bealen d.m.v. een 6-jaarlijkse annuïei, voor he eers verschuldigd aan he eind van he derde jaar. 4 Bedrijfskosen (voor he eers in he derde jaar): 23.5 miljoen US$. 5 Alle jaarlijkse ransacies vinden plaas aan he eind van he jaar.
Probleemselling De vraag is nauurlijk: moe men in di projec inveseren? Zo ja, in welke mae? Ofewel: is he projec financieel haalbaar? Er zijn namelijk een hoop onzekerheden waardoor nie direc duidelijk of de inveseerder uieindelijk zijn geld wel erugkrijg. Bijkomende verschijnselen zijn: verhoog de irrigaie in di geval daadwerkelijk de opbrengs van de landbouwgronden? Er zijn dus een hoop onzekerheden. Deze onzekerheden zijn echer geformuleerd o een bepaald wiskundig model waarmee gerekend kan worden. De volgende formules en parameers zijn gegeven: Wiskundig model We passen de volgende formules oe in he Excel shee. Aanal acres Opbrengs in Markprijs i Produc Culuurgrond onnen/acre in US$/on Koffie 70.000 0.7 2.062 2 Maïs 250.000 0.0 43 3 Cacao 90.000 0.4 3.043 Landbouwproducie van Ruriania in 993 Trend in de markprijzen van Ruriania's agrarische producen De deskundigen verwachen da de markprijzen van Ruriania's agrarische producen de komende ach jaren zich zullen onwikkelen volgens de volgende formule: P P ( b i ) i = i + ( + ei ) me =,2,...,8 voor 993,994,...,2000 i =,2,3 voor koffie, maïs, cacao P i = markprijs van produc i in jaar P i = markprijs van produc i in 993 b i = relaieve prijsoename per jaar voor produc i = nader e specificeren soringserm voor produc i in jaar e i Effec m.b.. irrigaie Jaarlijkse opbrengs oale agrarische producie zonder irrigaie: 3 R = Q i Pi =,2,...,8 i = me R = waarde oale agrarische producie in jaar in US$ Q i = A i Y i = oale jaaroogs van produc i in onnen = aanal acres culuurgrond in producie me produc i A i 2
Y i = opbrengs in onnen per acre voor produc i Jaarlijkse opbrengs oale agrarische producie me irrigaie: Q i i a i 3 = i i i= R Q P voor =3,4,,8 = A Y i i me Y = ai Yi voor i=,2,3 = oogsoename produc i door irrigaie W = loonniveau P = voor i=,3 en =3,4,,8 i P i Q2 Q2 P2 = P2 [ + c2 [ ]] voor =3,4,,8 Q2 c 2 = elasiciei van produc 2 B Jaarlijkse voordeel B van irrigaie: = R R voor =3,4,,8 Onzekerheden In de eerse plaas besaa er enige onzekerheid over de juise omvang van he oaal e inveseren kapiaal K en de jaarlijkse bedrijfskosen k. Verder is he gemiddeld loonniveau W in de komende jaren onduidelijk en liggen de specifieke opbrengsverbeeringen door irrigaie, de a i 's, nie vas. De onzekerheid in de projecies van de markprijzen word gekarakeriseerd door de soringsermen e i, maar er is ook onduidelijkheid rond de rendcoëfficiënen b i. Tensloe is ook de waarde van de elasicieiscoëfficiën van maïs onzeker. Al deze onzekerheden worden beschreven door driehoeksverdelingen me minimale waarde (min), mees aannemelijke waarde (mos) en maximale waarde (max).ondersaande abel specificeer de driehoeksverdelingen van de bovengenoemde grooheden. 3
Grooheid Min Mos max K 420 460 540 miljoen US$ k 22.5 23.5 25.0 miljoen US$ W 000 500 2000 US$ a.2.4.5 a 2..25.4 a 3.4.5.7 b -0.040-0.030-0.05 b 2-0.05 0.0 +0.05 b 3-0.02-0.04-0.009 e (alle ) -0.025 0.0 +0.025 e 2 (alle ) -0.050 0.0 +0.050 e 3 (alle ) -0.035 0.0 +0.035 c 2-0.4-0.3-0.2 Bron: De informaie van de vorige wee pagina s is afkomsig ui de opdrach: Case I 4
Analyse/mehode Verwerking van parameers in model We voeren alle gegevens in Excel in en koppelen alles via de gegeven formules van he wiskundige model. Alles is echer me elkaar verbonden via celverwijzingen. We gaan nu ui van de siuaie da alle parameers hun mees waarschijnlijke waarde hebben. Di noemen we de basissiuaie. Laer zal worden gekeken naar wa er gebeur als we de parameers wijzigen en welke invloed de wijzigingen hebben. Berekening annuïei, NPV, IRR & PBP Ons Excel model besaa ui 2 shees/abbladen. Op he eerse abblad verwerken wij de opbrengsen per produc, de markprijzen, de bekende gegevens van de landbouwproducie van Ruriania in 993 en alle onzekerheden. We berekenen voor ieder jaar de oale jaarlijkse opbrengs zonder irrigaie en voor 995 /m 2000 de oale jaarlijkse opbrengs mé irrigaie. We rekenen evens he jaarlijkse voordeel B ui, da he bedrijf heef van irrigaie. B = R R voor { 3,...,8} Voor ieder jaar voeren we vervolgens de waarde van B in, op he weede abblad. Da is namelijk he abblad waarop de NPV (ne presen value = neo conane waarde), IRR (inernal rae of reurn) en PBP (payback period) worden berekend. Allereers geven we een overzich van de benodigde gegevens voor de berekening van de NPV. We berekenen wa de leningen in jaar en jaar 2 bedragen (i.e. 2/3, respecievelijk /3 van he oaal e inveseren kapiaal K, in de sandaard siuaie gelijk aan $ 460 miljoen) en rekenen vervolgens de PV (presen value = conane waarde) ui van de lening, rekening houdend me een geldende jaarlijkse renevoe van 9%. De FV (fuure value = oekomsige waarde) van de lening in jaar 3 vorm de basis van de bepaling van de hooge van he annuiy paymen (annuïei). Deze annuiy PMT is he bedrag da jaarlijks gedurende 6 jaar (van jaar 3 o en me jaar 8) dien e worden erugbeaald aan de geldversrekker (de Wereldbank) om de lening inclusief rene af e lossen. C C Aangezien PV ( perpeuïei vanaf jaar) = en PV ( perpeuïei vanaf jaar + ) = d d( + d) me C de annuïei ( de jaarlijkse vase kassroom, in di geval bealing aan dewereldbank) en d de renevoe, C C geld da PV ( annuïei vanc van jaar / m jaar) = = C. d( + d) d d d( + d) d = 0,09 PV ( annuïei) PV ( annuïei) Hierui kunnen we afleiden da C = =. d d( + d) 0, 09 0, 09(, 09) Omda de annuiy PMT pas vanaf jaar 3 zal plaasvinden, werken we echer nie me de presen value van de annuïei, maar me de fuure value van de annuïei in jaar 3. He geheel hebben we geauomaiseerd in Excel. 5
Nu de annuiy paymen bekend is, kan een abel worden gemaak van he proces waarin de oale lening inclusief rene word afgelos. Hierin is loan o/s (ousanding) he nog e bealen deel van de hoofdsom K, is ineres de rene van 9% van de loan o/s van da jaar en geef de repaymen principal aan welk deel van de hoofdsom in da bewuse jaar word afgelos. Vanaf jaar 3 vind de annuiy paymen aan de Wereldbank plaas. In jaar 8 geld da di jaarlijkse bedrag gelijk is aan de som van de loan o/s en de rene (ineres) daarover. Na jaar 8 is alles afgelos. Om vervolgens de NPV e berekenen, dienen we eers de nie conan gemaake kassromen voor ieder jaar e bepalen. Er geld: Cash flow jaar = B Inv k (in jaar en 2 is B nie gedefinieerd). (Inv = invesering in jaar ; k = jaarlijkse bedrijfskosen) Vervolgens disconeren we he geheel naar he heden (d = renevoe van 9 %). NPV 8 8 Cash flow jaar Inv 2 B k = = Inv + = ( d) + + d = 3 ( + d) Alleen in jaar en jaar 2 word geïnveseerd. De jaarlijkse bedrijfskosen k en he jaarlijkse voordeel B zijn slechs gedefinieerd voor jaar 3 /m 8. Di verklaar de formule van de NPV. He NPV-crierium is één van de drie crieria die wij oepassen om e bepalen of he projec financieel haalbaar is. Di laase is volgens di crierium slechs he geval, wanneer de NPV groer (of gelijk aan /) dan nul is. De ne presen value geef namelijk aan wa he projec financieel oplever, gedisconeerd naar he heden. He is de huidige waarde van al he geld da he projec uieindelijk neo heef opgeleverd of gekos. Onze NPV is gegeven in US$. De weede mehode om e bepalen of he rendabel is om de invesering aan e gaan, is he IRR-crierium. De IRR is die renevoe, waarvoor geld da de NPV precies gelijk is aan nul. Di is dus he omslagpun ussen een rendabel en een nie rendabel projec. Aangezien de curve van de NPV als funcie van de renevoe d dalend word veronderseld, is he goed nieuws als de IRR groer is dan 9%. Dan geld namelijk da NPV (9%) > NPV ( IRR) = $0.00. Dus neo lever he projec geld op! Om de IRR e vinden, gebruiken we de Newon Raphson mehode. Di lever een numerieke benadering op van die renevoe, waarvoor de NPV nul is. Analyisch is de IRR namelijk onoplosbaar. De Newon Raphson mehode zi sandaard in Excel en de code om daarmee de IRR e vinden is: =@irr(values;guess) ofwel =@irr(range;d sar ). Hierin saa d sar voor de sarwaarde die zelf gekozen moe worden voor he ieraief proces van Newon Raphson. He blijk e werken om als sarwaarde e nemen: 0 + 0,0682 NPV als NPV 00 dsar =.,84 + 0,0498 NPV als NPV > 00 Di alles is door ons geauomaiseerd in Excel, waardoor me een druk op de knop de IRR word berekend. He IRR-crierium is bijna ne zo waardevol als he NPV-crierium. De mehode geef namelijk wel weer of een invesering rendabel is, maar nie hoe rendabel deze is. De derde mehode is die van de PBP (payback period). De PBP (erugverdienijd) is he minimum aanal jaar waarin de gehele invesering is erugverdiend of waarin de gehele lening is erugbeaald. De mehode is primiiever dan de andere wee mehodes, wan in de PBPmehode is de ime value of money (de conane waarde van he geld) nie verwerk. Di is een beperking. Wa er in de verre oekoms word verdiend is immers veel minder waard als we 6
he disconeren naar he heden. Daar willen we och wel zich op hebben! Eveneens heef men geen zich op de inkomsen ná de payback period. Da is dus verkeerd, alhoewel he PBPcrierium wél kan voldoen bij kleine inveseringen. Aangezien de invesering ui deze opdrach groo is, is he dus van belang om nie al e srik e kijken naar he advies da de PBP-mehode oplever. We gaan liever ui van he IRR-crierium en bij voorkeur he NPVcrierium. Om acher de PBP e komen, bekijken we allereers de nie gedisconeerde jaarlijkse kassromen in jaar /m 8. Per jaar laen we Excel vervolgens de cumulaieve kassroom o en me da jaar berekenen. He eerse jaar waarin de cumulaieve kassroom groer of gelijk aan nul dollar is, vorm de PBP. In he Excel model waarin we hebben gesimuleerd, is ook he proces van he bepalen van de PBP volledig geauomaiseerd. Indien de payback period nie groer is dan 8 jaar, kunnen we op grond van di crierium zeggen da he projec financieel haalbaar is. In 8 jaar is de hele lening immers erugbeaald aan de Wereldbank. Neo is er in die 8 jaar dus een posiieve kassroom gewees. Indien de PBP groer is dan 8 jaar, dan kan he projec beer nie worden uigevoerd, aangezien he klaarblijkelijk nie mogelijk is om binnen de ermijn de oale lening af e lossen. He projec is dan financieel nie haalbaar. Basissiuaie Zonder irrigaie Ten eerse bekijken we he model zonder irrigaie. We berekenen daarvoor als eerse alle P i s, di zijn de markprijzen van produc i in jaar, voor alle i en me de volgende gegeven formule. P ( ) i = P b i + i ( + ei ). Excel bereken deze auomaisch me deze formule en me de sandaardwaarden van b en e i i. Vervolgens bepalen we alle Q i = A i Y i = oale jaaroogs van produc i in onnen. Excel bereken deze auomaisch me deze formule en me de mos-likely-waarden van A i en Y i. Nu hebben we alle gegevens om de R s, de jaarlijkse opbrengs van de oale agrarische producie zonder irrigaie in jaar, e bepalen. deze auomaisch me de voorgaande gegevens. R = 3 i= Q P =,2,...,8. Excel bereken Me irrigaie We hebben nu he geval zonder irrigaie bekeken. Om di geval e kunnen vergelijken me he geval me irrigaie moeen we eers he geval me irrigaie analyseren. We gaan uieraard nog seeds ui van de basissiuaie (dus alle parameers hebben nog seeds hun moslikely waarden. Als men ui gaa van een andere siuaie, dan kan men nie vergelijken.) We berekenen daarvoor als eerse alle P i s, di zijn de markprijzen van produc i in jaar me irrigaie, voor alle i en me de volgende gegeven formules: P i = Pi voor i=,3 en =3,4,,8. Q2 Q2 Voor de andere gevallen geld: P2 = P2 [ + c2 [ ]] voor =3,4,,8. Q2 Excel bereken di auomaisch als we de voorgaande formules invoeren. i i 7
De volgende sap is he berekenen van Q i = Ai Yi = oale jaaroogs van produc i in onnen me irrigaie. Bovendien is Y i = ai Yi. Excel bereken di auomaisch gegeven de voorgaande formules. We hebben nu genoeg informaie om de R s, de jaarlijkse opbrengs van oale agrarische producie me irrigaie, e bepalen. We bepalen R me de behulp van de volgende formule: 3 R = Qi Pi voor =3,4,,8. i= De vergelijking (me of zonder irrigaie) Nu we beide gevallen, da wil zeggen: zowel zonder irrigaie als me irrigaie, hebben onderzoch kunnen we he jaarlijkse voordeel berekenen in de basissiuaie me de formule: B = R R. Excel bereken di voor = 3,4,...,8. Er zal nauurlijk geen jaarlijks voordeel zijn voor =, 2 omda de irrigaie pas he derde jaar begin. Gevoeligheidsanalyse Zojuis is de basissiuaie bekeken. We zijn nauurlijk benieuwd wa er gebeurd me de NPV als we een bepaalde parameer wijzigen. We maken daarbij gebruik van een ornadodiagram. De mehode werk als volg: we wijzigen één parameer naar de minimale of maximale waarde erwijl alle andere parameers hun basiswaarden (mos likely waarden) behouden. We bekijken voor elk uieinde van een parameer de corresponderende NPV, deze noeren we in een abel. Deze mehode herhalen we vervolgens voor alle andere parameers. Nu hebben we voor elke parameer NPV max en de NPV min. We berekenen vervolgens de verschillen ussen beiden NPV s als een specifieke parameer p haar minimale respecievelijk maximale waarde heef. He verschil berekenen we me de volgende formule: Verschil = NPVp,max NPVp,min waarbij p de parameer is die gewijzigd word. Di herhalen we voor alle parameers. De consrucie van een Tornadodiagram Vervolgens kunnen we een zogenaamd ornadodiagram maken. Op de x-as saa dan NPV en op de y-as saan alle parameers. We ekenen zogenaamde horizonale lijnen. Op de hooge van de hoogse y-waarde eken men de corresponderende punen van de gewijzigde parameer waarvan verschil ussen de NPV s maximaal is. Teken vervolgens de korse lijn ussen die wee punen. Op een ies lagere hooge eken men de corresponderende punen van de gewijzigde parameer waarvan verschil ussen de NPV s op één na maximaal is. Di proces herhaal zich oda we bij de parameer komen waarvan verschil ussen de NPV s minimaal is. Deze corresponderende punen worden uieraard op de laagse hooge van y geekend. De vorm die he diagram heef is de vorm van een soor ornado. Vandaar da he een ornadodiagram word genoemd. Excel doe di alles echer auomaisch me een gedownloade plugin van inerne. Waarde van een Tornadodiagram De lenge van een lijn (of balk) geef aan hoeveel invloed de gewijzigde parameer heef op de NPV. Hoe langer deze lijn, hoe groer de invloed van deze parameer. Bovendien zien we ook welke waarden de NPV kan aannemen in de uierse waarden van de gewijzigde parameer. Men kan dus zien hoeveel invloed elke parameer heef op de NPV. 8
Naar aanleiding hiervan van deze gegevens kan men conclusies rekken over de risico s van de invesering. Ook zien we voor welke parameers we behoefe hebben deze beer e schaen. Di zijn de parameers die de NPV zowel posiief, als negaief kunnen maken. Dus door een nauwkeuriger schaing van de minimale en maximale waarden van die parameers e maken, kunnen we beer uispraken doen over of de NPV posiief is en he projec dus financieel haalbaar is. Mone Carlo Simulaie & kansverdelingen NPV, IRR en PBP Me behulp van Mone Carlo Simulaie, ingebouwd in he sofwarepakke @RISK, zullen we de cumulaieve verdelingen van de NPV, IRR en PBP acherhalen. Eveneens werpen we een blik op hisogrammen die de ligging van de kansmassa voor de verschillende grooheden illusreren. De werkwijze is als volg. In Excel hebben we alle berekeningen geauomaiseerd en er zelfs voor gezorgd da aan he eind van iedere simulaie Excel zelf advies uibreng over de financiële haalbaarheid van he projec. He moge duidelijk zijn da reeds in de basissiuaie de NPV, IRR en PBP auomaisch zijn bepaald door e verwijzen naar cellen in zowel he eerse als he weede abblad. Die bewuse cellen (waarnaar word verwezen), waarin de onzekerheden (K, k, W, a, a 2, a 3, b, b 2, b 3, e (alle ), e 2 (alle ), e 3 (alle ) en c 2 ) saan vermeld en/of worden berekend, hebben wij veranderd. In plaas van de minimale, mees aannemelijke of maximale waarde e nemen van de onzekerheden bij de berekening van de NPV, IRR en PBP, hebben we nu voor iedere onzekerheid een driehoeksverdeling genomen als waarde. De parameers van deze driehoeksverdeling zijn elkens minimale waarde onzekerheid, mees aannemelijke waarde onzekerheid en maximale waarde onzekerheid. He invoeren van een driehoeksverdeling gaa in Excel als volg: =RiskTriang(min;mos;max). Op de plaas van min, mos en max, word verwezen naar de cellen waarin de minimale, mees aannemelijke en maximale waarden saan van de bewuse onzekerheid. Vervolgens seleceren we de drie cellen me daarin de waarden van de grooheden waarvan we de kansverdeling willen ween (di zijn de NPV, IRR en PBP). In @RISK voegen we deze grooheden oe als oupus, erwijl alle onzekerheden de inpus vormen. Bij de Simulaion Seings geven we aan da we een Mone Carlo simulaie willen uivoeren en da he aanal ieraies da we willen doen gelijk is aan 00.000. Overigens hebben we ook gesimuleerd me.000.000 ieraies, maar de resulaen zullen ongeveer he zelfde blijken e zijn (alleen is.000.000 ieraies uivoeren nauurlijk ies nauwkeuriger, omda de seekproefgrooe dan in feie meer is), daarom hebben we alleen de simulaie me honderdduizend ieraies in he verslag opgenomen. Elke ieraie besaa ui he doen van een rekking voor alle parameers (de onzekerheden) en de berekening van de NPV, IRR en PBP. Nada de simulaie is uigevoerd, word een overzich gegeven van de meingen, fouen, sandaardafwijkingen, gemiddelden ec. Tevens kunnen hisogrammen van de meingen en cumulaieve kansverdelingen worden gemaak voor elk van de drie oupus. Op grond van deze omvangrijke simulaie, kunnen we uispraken doen over de kans da de NPV posiief is, de kans da de IRR groer of gelijk aan 9% is en de kans da de PBP maximaal 8 jaar is. Di is erg nuig voor de beslissing of er wel of nie geïnveseerd dien e worden. 9
Resulaen Basissiuaie Zoals uigelegd bij Analyse/mehode, laen we Excel auomaisch de waarden van de ne presen value, inernal rae of reurn en payback period berekenen. In de basissiuaie bekijken we slechs he geval da alle onzekerheden de mees aannemelijke waarde hebben aangenomen. Di beeken he volgende. Onzekerheden Grooheid Mees aannemelijke waarde Op grond van deze waarden én de bekende waarden van renevoe d (9%), Y K $ 460 miljoen i, A i en p i (voor i =, 2, 3), berekenen we op he eerse k $ 23.5 miljoen abblad van he Excel model voor alle W $,500 i {, 2, 3} p i, Q i en R voor alle {,...,8} a.4 en berekenen we Y i, p i, Q i, R en B voor a 2.25 alle { 3,...,8}. De resulaen van deze a 3.5 berekeningen zijn in abel 3 /m 9 weergegeven. b -0.030 b 2 0.0 In abblad 2 van he model, gebruiken we de resulaen ui he eerse abblad om de NPV, b 3-0.04 IRR en PBP ui e rekenen. Allereers bekijken e 0.0 we wa de leningen in jaar en 2 bedragen. e 2 0.0 Lening jaar $306.666.666,67 e 3 0.0 Lening jaar 2 $53.333.333,33 c 2-0.3 Toaal e inveseren kapiaal $460.000.000,00 Tabel Tabel 2 Pi i \\ 2 3 4 5 6 7 8 $2.062,00 $2.000,4 $.940,4 $.88,93 $.825,47 $.770,7 $.77,59 $.666,06 2 $43,00 $43,00 $43,00 $43,00 $43,00 $43,00 $43,00 $43,00 3 $3.043,00 $3.000,40 $2.958,39 $2.96,97 $2.876,4 $2.835,87 $2.796,7 $2.757,02 Tabel 3 Prijzen in US$ per on Produc i Ai = # Acres Culuurgrond Yi = Opbrengs in onnen/acre Qi = AiYi, 70000 0,7 49000 2 250000 0 2500000 3 90000 0,4 36000 Tabel 4 Q i is de oale jaaroogs van produc i (in onnen) R $568.086.000,00 2 $563.52.88,00 3 $559.068.78,6 4 $554.725.752,20 5 $550.489.57,9 6 $546.356.37,55 7 $542.323.95,33 8 $538.389.79,3 i Yi Qi 0,98 68600 2 2,5 325000 3 0,6 54000 Tabel 6 Y i in onnen/acre en Q i in onnen Tabel 5 0
Pi i \\ 2 3 4 5 6 7 8 $2.062,00 $2.000,4 $.940,4 $.88,93 $.825,47 $.770,7 $.77,59 $.666,06 2 $43,00 $43,00 $32,28 $32,28 $32,28 $32,28 $32,28 $32,28 3 $3.043,00 $3.000,40 $2.958,39 $2.96,97 $2.876,4 $2.835,87 $2.796,7 $2.757,02 Tabel 7 Prijzen in US$ per on R 2 3 $706.205.88,99 4 $699.976.537,84 5 $693.898.289,30 6 $687.967.04,48 7 $682.79.065,46 8 $676.530.364,90 Tabel 8 B = R-R B Jaarlijks Voordeel B 2 B 3 $47.37.00,38 B 4 $45.250.785,64 B 5 $43.409.32,0 B 6 $4.60.966,93 B 7 $39.855.50,2 B 8 $38.40.573,59 Tabel 9 Nada we hebben uigerekend wa de leningen in jaar en 2 bedragen, laen we Excel de PV lening jaar 2 van de lening berekenen. PV ( oale lening) = lening jaar + = $447,339,449.54. + 0.09 Aan de hand van de FV berekenen we vervolgens de annuiy paymen. 2 FV jaar 3( lening) = PV ( lening)( + 0.09) = $53.484.000,00 $53.484.000,00 Annuiy PMT = = $8.478.298,0 6 0,09 0,09(,09) He schema van schuldaflossing aan de wereldbank zie er als volg ui, wanneer er van jaar 3 o en me jaar 8 jaarlijks de annuïeibealing plaasvind. Year loan o/s ineres annuiy PMT repaymen principal $306.666.666,67 $27.600.000,00 $0,00 -$27.600.000,00 2 $487.600.000,00 $43.884.000,00 $0,00 -$43.884.000,00 3 $53.484.000,00 $47.833.560,00 $8.478.298,0 $70.644.738,0 4 $460.839.26,90 $4.475.533,57 $8.478.298,0 $77.002.764,53 5 $383.836.497,36 $34.545.284,76 $8.478.298,0 $83.933.03,34 6 $299.903.484,02 $26.99.33,56 $8.478.298,0 $9.486.984,54 7 $208.46.499,48 $8.757.484,95 $8.478.298,0 $99.720.83,5 8 $08.695.686,33 $9.782.6,77 $8.478.298,0 $08.695.686,33 Tabel 0 De volgende sap is he berekenen van de NPV (ne presen value) om e kijken of he projec financieel haalbaar is. Deze berekening hebben wij geauomaiseerd in Excel. Di proces is weergegeven in abel.
Year Invesering (abs.) R R B Bedrijfskosen (abs.) Cash flow Conane waarde cash flow $306.666.666,67 $0,00 $568.086.000,00 $0,00 $0,00 -$306.666.666,67 -$306.666.666,67 2 $53.333.333,33 $0,00 $563.52.88,00 $0,00 $0,00 -$53.333.333,33 -$40.672.782,87 3 $0,00 $706.205.88,99 $559.068.78,6 $47.37.00,38 $23.500.000,00 $23.637.00,38 $04.062.873,82 4 $0,00 $699.976.537,84 $554.725.752,20 $45.250.785,64 $23.500.000,00 $2.750.785,64 $94.03.945,36 5 $0,00 $693.898.289,30 $550.489.57,9 $43.409.32,0 $23.500.000,00 $9.909.32,0 $84.946.652,22 6 $0,00 $687.967.04,48 $546.356.37,55 $4.60.966,93 $23.500.000,00 $8.0.966,93 $76.764.024,47 7 $0,00 $682.79.065,46 $542.323.95,33 $39.855.50,2 $23.500.000,00 $6.355.50,2 $69.378.774,33 8 $0,00 $676.530.364,90 $538.389.79,3 $38.40.573,59 $23.500.000,00 $4.640.573,59 $62.72.39,60 Tabel NPV $44.539.40,26 De neo conane waarde (NPV) is posiief. Dus op grond van di crierium is he projec financieel haalbaar. Omgerekend naar de waarde van he geld in he heden, is he neo resulaa namelijk posiief. Over 8 jaar bekeken, is de cumulaieve gedisconeerde cashflow groer dan nul. He projec lever dus geld op en inveseren wanneer we ons in deze basissiuaie bevinden, is op grond van he NPV-crierium zinvol/rendabel. He IRR-crierium geef eveneens een posiief advies af om e gaan inveseren. Aangezien de NPV groer is dan 00 dollar, gebruiken we als sarwaarde van de Newon Raphson mehode: dsar = {,84 + 0,0498 NPV = 22806,025. Excel bereken hiermee de IRR ( =@irr(range;d sar ) ). IRR basissiuaie =,7 %. Aangezien onze renevoe d 9% bedraag en de NPV als funcie van d geach word e dalen, beeken di dus da NPV (9%) > NPV ( IRR) = $0.00. Dus de NPV van he projec is in ieder geval posiief. Volgens he IRR-crierium dienen wij dus ook e inveseren, aangezien he projec financieel haalbaar schijn e zijn. Als laase bekijken we he PBP-crierium. De payback period is de kleinse periode waarin de gehele lening afgelos kan zijn. We werken me nie conan gemaake cash flows. Bekijken we vervolgens de cumulaieve cash flow voor ieder jaar, dan geld da he eerse jaar waarvoor geld da deze cumulaieve cash flow posiief is, de payback period vorm. Inveseren is alleen rendabel indien de PBP kleiner of gelijk is aan 8 jaar. Year Cash flow Cumulaieve cash flow Lening afbeaald? -$306.666.666,67 -$306.666.666,67 nee 2 -$53.333.333,33 -$460.000.000,00 nee 3 $23.637.00,38 -$336.362.899,62 nee 4 $2.750.785,64 -$24.62.3,97 nee 5 $9.909.32,0 -$94.702.98,87 nee 6 $8.0.966,93 $23.407.985,06 ja 7 $6.355.50,2 $39.763.35,8 ja 8 $4.640.573,59 $254.403.708,77 ja 9 0 2 Tabel 2 Hier bevind zich he omslagpun. Vanaf jaar 6 is de cumulaieve cash flow posiief. Dus de payback period is 6 jaar. 2
In abel 2 is e zien da de PBP gelijk is aan 6 jaar, aangezien pas vanaf jaar 6 de cumulaieve cash flow posiief is. Bovensaande mehode om de PBP e bepalen werk alleen indien de PBP maximaal 8 jaar is. Voor jaar 9 en verder kunnen we namelijk nie de cash flow s bepalen. We hebben slechs gegevens o en me jaar 8. Daarna zijn R, R en B namelijk nie meer gedefinieerd. Gelukkig is di hier echer geen probleem. De PBP is kleiner dan 8 jaar, dus op grond van he PBP-crierium is he projec financieel haalbaar. Samenvaend kan worden geconcludeerd wa beref de basissiuaie (waarin alle parameers de mees aannemelijke waarde hebben), da he projec financieel haalbaar is. Di word zowel duidelijk aan de hand van he PBP-crierium, als aan de hand van he IRR-crierium en he NPV-crierium. Vooral aan de laase wee crieria hechen we zoals gezegd veel waarde. Inveseren is dus rendabel. Gevoeligheidsanalyse In basissiuaie, de siuaie da alle parameers hun mos likely waarde hebben, heef de NPV de waarde 44.539.40. We hebben, zoals eerder vermeld, een abel gemaak me de waarden van NPV s als een bepaalde parameer (variabele) zijn maximale respecievelijk minimale waarden aanneem. Daarnaas saa he verschil ussen beiden gevonden NPV s. De resulaen vind u in abel 3. Variabele Mos Max Min Difference a 2 44.539.40 55.990.039-86.774.294 242.764.333 a 3 44.539.40 29.488.770 2.064.325 27.424.445 K 44.539.40-33.259.025 83.438.223 6.697.248 a 44.539.40 8.2.342-28.625.263 09.746.605 c 2 44.539.40 90.57.234 -.438.953 9.956.87 W 44.539.40 23.635.025 65.443.255 4.808.230 b 2 44.539.40 59.633.390 30.308.262 29.325.29 e 2 44.539.40 56.033.664 33.044.67 22.989.047 b 44.539.40 54.243.684 38.382.66 5.86.068 e 3 44.539.40 5.972.233 37.06.048 4.866.85 b 3 44.539.40 49.7.339 38.279.57 0.837.823 k 44.539.40 38.365.858 48.654.662 0.288.804 e 44.539.40 48.97.360 40.880.920 7.36.440 Tabel 3 Me deze gegevens kan men een ornado diagram opsellen. Deze vind u als figuur A. 3
Variabele a2 a3 K a c2 W b2 e2 b e3 b3 k e -00.000.000-50.000.000 0 50.000.000 00.000.000 50.000.000 200.000.000 Figuur A We kunnen concluderen da a 2 = oogsoename produc 2 door irrigaie, verreweg de groose invloed heef op de NPV. Ook kunnen concluderen da e = nader e specificeren soringserm voor produc i in jaar, nauwelijks invloed heef op de NPV. Nie e vergeen is da de parameers a 3, K = e inveseren kapiaal, a en c 2 = elasiciei van produc 2, ook een vrij groe invloed hebben op de waarde van de NPV. We zijn nauurlijk geïneresseerd in de vraag: wanneer is NPV > 0 en welke parameers hebben daar invloed op? We rekken de vericale lijn NPV = 0. Als NPV > 0 is, dan is he namelijk zinvol om e inveseren. De resulaen vind u in figuur B, op de volgende bladzijde. 4
Figuur B We rekken de volgende conclusies: a 2 heef de groose invloed heef op de NPV < 0. Ook K en a hebben een behoorlijk groe invloed op he fei da de NPV kleiner dan 0 kan zijn. De invloed van c 2 op he fei da de NPV kleiner dan 0 kan zijn is echer vrijwel e verwaarlozen. Concluderend He is essenieel da a 2 beer gescha word, deze parameer heef op alle fronen de groos mogelijke invloed op de NPV en heef dus ook de groose invloed op he fei da men gaa inveseren of nie. Ook de parameers K en a zijn van belang. Deze hebben ook een zeer groe invloed en vanwege he fei da hun invloed op NPV < 0 zo groo is, is he ook cruciaal om deze parameers beer e schaen. De parameer a 3 is ies minder van belang omda deze in zijn laagse waarde nooi de NPV < 0 kan krijgen. He is echer slim om deze parameer ook ies beer schaen vanwege zijn groe invloed op de NPV > 0. Verder onderzoek is dus nodig. Daarom gaan we nu kijken naar de Mone Carlo Simulaie. 5
Mone Carlo Simulaie & kansverdelingen NPV, IRR en PBP In di onderdeel van ons onderzoek willen we kanshisogrammen maken en zich krijgen op de cumulaieve verdelingen van de NPV, IRR en PBP, wanneer de onzekerheden gesimuleerd worden door Excel. Zoals gezegd reken Excel de drie grooheden nu nie meer ui aan de hand van minimale, maximale of mees aannemelijke waarden van de onzekerheden, maar aan de hand van driehoeksverdelingen die de waarden van de onzekerheden bepalen. Op he eerse abblad ui he Excel model is een en ander veranderd. De onzekerheden (K, k, W, a, a 2, a 3, b, b 2, b 3, e (alle ), e 2 (alle ), e 3 (alle ) en c 2 ) zijn nu verdeeld volgens de driehoeksverdeling me parameers minimale-, mees aannemelijke- en maximale waarde van de onzekerheid. Di beeken da ook de ui e rekenen grooheden, zoals R en B, verdeeld zijn volgens een bepaalde kansverdeling. Maar nie alleen deze grooheden worden nu bepaald door he oeval, ook de NPV, IRR en PBP zijn sochasen geworden. Iedere keer da een simulaie word uigevoerd, word in he Excel documen auomaisch de siuaie weergegeven die is onsaan ui een rekking van waarden ui de driehoeksverdeling voor alle onzekerheden. Zo kan he voorkomen da de NPV de ene keer posiief is, erwijl deze de andere keer negaief uival. Evenzo flucueren de waarden van de IRR en de PBP. Wij hebben Excel zo geprogrammeerd, da deze auomaisch zelf een advies uibreng.a.v. he al dan nie moeen uivoeren van he projec, i.v.m. de financiële haalbaarheid ervan. Excel breng di advies ui op grond van elk van de drie grooheden NPV, IRR en PBP. Wij hebben een simulaie uigevoerd die besaa ui 00.000 ieraies. Op deze manier krijgen we een nauwkeurig beeld van de kansverdeling van de drie belangrijke grooheden (de oupus NPV, IRR en PBP). In he programma @RISK word allereers een overzich gegeven van de belangrijkse resulaen van de simulaie. Hierin zijn inpu, 2 en 3 achereenvolgens onzekerheden b, b 2 en b 3. Tabel 4 Summary Saisics 6
Na he uivoeren van 00.000 ieraies (j), blijk dus he volgende e gelden. 00,000 7 NPV 00,000 = NPVj = 3.727630 $3, 727, 630 00, 000 j= 00,000 IRR00,000 = IRRj = 0.305562 3.06% 00, 000 j= 00,000 PBP00,000 = PBPj = 6.483062 6.48 jaar 00, 000 j= Dus gemiddeld genomen over de 00.000 rekkingen, is de NPV posiief, de IRR groer dan 9 procen en de PBP kleiner dan 8 jaar. Di beeken da gemiddeld genomen he projec financieel haalbaar is op grond van elk van de drie crieria. Da is posiief om e ween. Toch illusreer de kleins behaalde NPV in één van de rekkingen hoe slech he geseld kan zijn me de neo conane waarde. We mogen er dus zonder meer nie direc vanui gaan da he projec en alle ijden financieel haalbaar is. Om de kansverdelingen van de NPV, IRR en PBP zichbaar e maken, hebben we kanshisogrammen opgeseld in @RISK. Figuur C Kanshisogram van NPV 7
Figuur C2 Figuur D Figuur E In figuur C2, D en E saan gegevens over de kansverdelingen van respecievelijk de NPV, IRR en PBP. De sandaarddeviaie van de NPV is ongeveer 69 miljoen US$. Di beeken da he risico da de NPV afwijk van de verwache waarde, vrij groo is. Zoals is e zien in figuur C, is de kans op een posiieve NPV 67,0 %. Di is een aanzienlijk percenage, dus op grond van he NPV-crierium is he waarschijnlijk da he projec financieel haalbaar is. Figuur D2 Kanshisogram van IRR 8
Ui figuur D2 blijk da de kans op een IRR groer dan 9 % zeer groo is. Gemiddeld is de IRR ongeveer 3 %. Aangezien de NPV als funcie van de renevoe d dalend word geach, kunnen we ui figuur D2 concluderen da de NPV van onze renevoe (9 %) in de meese gevallen groer is dan NPV(IRR) = $ 0.00. Dus de neo conane waarde is in die gevallen 2 posiief, wa een financieel haalbaar projec impliceer. De sandaarddeviaie is 2.760. Di is ongeveer 2,7 % (vrij klein dus). Wanneer we eenmaal de sandaarddeviaie van he seekproefgemiddelde afrekken, zien we nog seeds op een IRR groer dan 9 %. Me een groe berouwbaarheid is dus e zeggen da he projec financieel haalbaar is op grond van he IRR-crierium. Figuur E2 Kanshisogram van PBP In figuur E2 vind u he kanshisogram van de payback period. Duidelijk is e zien da de kans op een PBP van 6 jaar he groos is. De kans op een PBP van 7 jaar is ook redelijk groo. He seekproefgemiddelde da @RISK heef uigerekend bedraag ongeveer zeseneenhalf jaar. Al me al kan worden gezegd da de kans da de PBP maximaal 8 jaar is, zeer groo is. Di beeken da de lening naar alle waarschijnlijkheid op ijd kan worden afgelos en da he projec dus financieel haalbaar is. De sandaarddeviaie is overigens 0,64 jaar (i.e. 235 dagen). De PBP noeren wij alijd in gehele jaren. Wanneer we di in ogenschouw nemen is een sandaarddeviaie van 235 dagen redelijk klein e noemen. Alles duid er wederom op da he projec financieel haalbaar is, dimaal kijkend naar de kansverdeling van de payback period. 9
In de drie kansverdelingen val een en ander op. Wij kregen wa beref de verdeling van de NPV he vermoeden da de sochas wel eens normaal verdeeld zou kunnen zijn. Figuur F (een area graph i.p.v. he al eerder geekende hisogram van de NPV) laa zien da di vermoeden nie zo gek is. De kromme die geplo is, lijk zeer veel op die van een normale kansdichheid. De symmerie val er direc aan op. He is prachig da di evenueel een conclusie zou kunnen zijn, wanneer we bedenken door hoe veel onzekerheden de NPV o sand is gekomen. Om meer zich e krijgen op de kansverdeling van de NPV, maar ook op die van de IRR en PBP, hebben we @RISK grafieken laen ekenen van de cumulaieve verdelingen (expecaion curves) van deze grooheden. De cumulaieve verdelingen vind u in figuur G o en me I. Figuur F Area graph NPV Figuur G Cumulaieve verdeling NPV Figuur H Cumulaieve verdeling IRR 20
De cumulaieve verdeling van de NPV zie er ne zo ui als een cumulaieve verdeling van een normaal verdeelde sochas. Figuur G verserk dus onze hypohese da de NPV normaal is verdeeld. De cumulaieve verdeling van de IRR doe ons denken aan die van een Bèa of een Gamma verdeelde sochas. Kijkend naar de area graph van de IRR (figuur J), worden we in ons vermoeden geserk. Ook de kansdichheid lijk op die van een Bèa of een Gamma verdeelde sochas. Over de cumulaieve verdeling van de PBP is verder weinig e zeggen. De PBP is een discree verdeelde sochas, Figuur I Cumulaieve verdeling PBP waarvoor de kans op een payback period van 6 jaar he groos is. Hier onder vind u de area graph van de inernal rae of reurn, precies gelijkend op de kansdichheid van een Bèa of een Gamma verdeelde sochas. Figuur J Area graph IRR Samenvaend kan gezegd worden da de uigebreide en nauwkeurige simulaie (00.000 ieraies) heef aangeoond da he projec naar alle waarschijnlijkheid financieel haalbaar is, omda de kans hierop groo is (afhankelijk van de waarden van de onzekerheden) bij alle crieria. De kans op een posiieve NPV is circa 67 % en de kansen op een IRR groer dan 9 % en een PBP van maximaal 8 jaar zijn ook erg groo. We kunnen deze conclusie rekken, omda de simulaie erg berouwbaar is gezien he groe aanal ieraies. 2
Conclusie Wanneer alle parameers hun mees aannemelijke waarde hebben aangenomen, is de ne presen value gelijk aan $ 44,539,40.26, is de inernal rae of reurn,7 % en is de payback period 6 jaar. Aangezien de NPV posiief is, de IRR groer is dan 9 % en de PBP kleiner is dan 8 jaar, geef elk van de drie crieria posiief uisluisel bereffende de vraag of he projec financieel haalbaar is. Dus wanneer men zich in deze basissiuaie bevind, zou men moeen inveseren. Gevoeligheidsanalyse oon aan da onzekerheden a 2, K en a (en wellich ook c 2 ) de enige parameers zijn die invloed hebben op he al dan nie posiief zijn van de NPV. Dus de minimale en maximale waarden van elk van deze parameers, van evoren redelijk subjecief bepaald, dienen bij voorkeur op objeciever wijze e worden vasgeseld. Deze waarden zijn namelijk van cruciaal belang bij de beslissing al dan nie e inveseren, afhankelijk van of he projec financieel haalbaar is. Overigens spelen de waarden van a 3 en c 2 wel degelijk een groe rol in de hooge van de NPV, maar kunnen zij er grof gezegd nie (in he geval van c 2 nauwelijks ) voor zorgen da de NPV negaief word. He kan als posiief worden beschouwd da slechs 3 (à 4) onzekerheden (van de 3) de NPV in hun eenje negaief zouden kunnen maken, aangezien di beeken da de NPV doorgaans naar alle waarschijnlijkheid groer dan nul zal zijn en he projec dus financieel haalbaar is. Een groe en berouwbare simulaie van 00.000 ieraies heef aangeoond da gemiddeld genomen de NPV gelijk is aan $3,727,630. Di is veel groer dan nul, dus gemiddeld genomen is op grond van he NPV-crierium he projec financieel haalbaar. We hebben gezien da de kans op een posiieve NPV 67,0 % bedraag! De kans op een IRR groer dan 9 procen en een PBP van maximaal 8 jaar zijn eveneens groo. De seekproefgemiddelden van de IRR en PBP zijn respecievelijk 3 % en 6,5 jaar. Dus ook op grond van deze wee crieria is he projec gemiddeld genomen financieel haalbaar. De NPV lijk overigens normaal verdeeld e zijn, de IRR waarschijnlijk Bèa of Gamma. Concluderend geld da zowel ui de basissiuaie (me alle parameers op hun mees aannemelijke waarde), als ui de gevoeligheidsanalyse en de simulaie die we hebben uigevoerd, volg da he projec financieel haalbaar is. Aan he NPV- en IRR-crierium hechen we de meese waarde, maar zelfs ui he PBP-crierium volg deze posiieve aanbeveling om e inveseren. Daar val nie meer aan e wijfelen! 22