HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling X is, nl. een deelgroep G van de groep (S(X), ) van alle permutaties van X. I.h.b. is de canonische injectie (G, ) (S(X), ) dan een groepshomomorfisme. We veralgemenen deze situatie als volgt. Zie ook hoofdstuk 10 in [J]. Definitie 1. Zij (G, ) een groep en X een verzameling. Een actie (of een werking) van G op X is een groepshomomorfisme α : (G, ) (S(X), ) : g α g. We zeggen ook dat G ageert (of werkt) op X d.m.v. α. Opmerking 1. Het beeld van g G door de actie α noteert men meestal α g i.p.v. α(g). De homomorfisme-eigenschap betekent dus dat α g1 g 2 = α g1 α g2 g 1, g 2 G In vele boeken definieert men acties op een andere manier en maakt men onderscheid tussen linkse en rechtse acties. Definitie 1. Een linkse actie van een groep (G, ) op een verzameling X is een afbeelding: λ : G X X die voldoet aan (i) g, h G, x X : λ(gh,x) = λ(g,λ(h,x)) (ii) x X : λ(e,x) = x (e neutraal element van G) Gelukkig bepaalt elke actie een linkse actie en omgekeerd: (bewijs als oefening) α : G S(X) actie λ : G X X : (g,x) α g (x) linkse actie λ : G X X l. a. α : G S(X) : g (α g : X X : x λ(g,x)) actie Onderzoek zelf de rechtse acties (zie literatuur) en het verband met (linkse) acties. Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) Elke permutatiegroep G op een verzameling X definieert een actie G S(X) : g g 1

HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 2 Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) Elke groep G werkt op zichzelf o.a. door (1). G S(G) : g (L g : G G : x gx) (werking door linker-translaties) (2). G S(G) : g ( R g 1 : G G : x xg 1) (werking door rechter-translaties; waarom niet g R g?) (3). G S(G) : g ( σ g : G G : x gxg 1) (werking door inwendige automorfismen) Voorbeeld 3. (verifieer als oefening) De orthogonale groep O(R 2 ) werkt niet alleen op R 2 (vgl met het 1 e voorbeeld), maar ook op de eenheidscirkel S 1 = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 = 1 } door O(R 2 ) S(S 1 ) : F ( F S 1: S 1 S 1) Definitie 2. Een actie α : G S(X) van een groep G op een verzameling X heet getrouw indien α injectief is, m.a.w. indien Ker α = {e} Voorbeeld 4. (verifieer als oefening) De acties in voorbeelden 1, 2 (1), 2(2) en 3 zijn getrouw. Voorbeeld 5. (verifieer als oefening) De actie σ g : G G : x gxg 1 uit voorbeeld 2(3) heeft als kern Ker σ = {g G σ g = 1 G } = {g G x G : gx = xg} = Z(G), het centrum van G. Zoek een eenvoudig voorbeeld waar Z(G) {e} en dus σ niet getrouw is. Voorbeeld 6. (verifieer als oefening) Zij α : G S(X) een actie en q : G G/Ker α het quotiënthomomorfisme. Bewijs dat er juist één actie α : G/Ker α S(X) bestaat zodanig dat α q = α. Bewijs dat α getrouw is. 0.2 Transitieve acties en banen van een actie Definitie 1. Een actie α : G S(X) van een groep G op een verzameling X heet transitief indien x, y X : ( g G : α g (x) = y) en heet strikt transitief indien x, y X : (!g G : α g (x) = y) Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) De acties G S(G) : g L g (zie voorbeeld 0.1.2 (1)) en G S(G) : g R g 1 (zie voorbeeld 0.1.2 (2)) zijn strikt transitief.

HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 3 Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) De actie σ : G S(G) : g ( σ g : G G : x gxg 1) (zie voorbeeld 0.1.2 (3)) is niet transitief zodra #G > 1. Inderdaad, neem e (neutraal element van G) en x G \ {e}, dan geldt: g G : σ g (e) = geg 1 = e x Voorbeeld 3. (verifieer als oefening) De groep S 3 = S({1, 2, 3}) werkt transitief op {1, 2, 3} maar niet strikt transitief. In bepaalde gevallen impliceert transitief vanzelf ook strikt transitief: Stelling 1. Zij α : G (X) een getrouwe transitieve actie van een abeliaanse groep G op een verzameling X. Dan is α strikt transitief. Bewijs. Zij x, y X en g, h G zodanig dat α g (x) = α h (x) = y. Dan geldt: z X : α g (z) = α g (α k (x)) voor een zekere k G (α transitief) = α gk (x) = α kg (x) G commutatief = α k (α g (x)) = α k (α h (x)) door keuze van g, h G = α kh (x) = α hk (x) G commutatief = α h (α k (x)) = α h (z) Dus is Vermits α getrouw is, en dus ook injectief, is α g = α h g = h α is strikt transitief. Met een actie van G op X en een element x van X kan men een bijzondere deelgroep van G en een bijzondere deelverzameling van X associëren. Definitie 2. Zij α : G S(X) een actie van een groep G op een verzameling X. Zij x X. De stabilisator (of isotropiegroep) van x is de deelgroep G x = {g G α g (x) = x} van G. De baan van x is de deelverzameling G(x) = {α g (x) g G} van X. Opmerking 1. Verifieer dat G x inderdaad een deelgroep is van G. Voorbeeld 4. (verifieer als oefening) α : G S(X) een actie van G op X is transitief x X : G(x) = X α is strikt transitief x X : G x = {e} (Geldt ook?) Voorbeeld 5. (verifieer als oefening) Zij (G, ) een groep, H een deelgroep van G en X = {xh x G} (de verzameling van linkernevenklassen van H in G). Zij α : G S(X) : g (α g : X X : xh (gx)h) Toon aan dat α een actie is van G op X. Bepaal de stabilisator en de baan van xh X. Is α transitief, strikt transitief?

HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 4 0.3 De orbit-stabilizer -stelling Is G een eindige groep, dan zijn #G, #G x en #G(x) door een elegante formule verbonden. Stelling 1. ( Orbit-stabilizer -stelling ) Zij α : G S(X) een actie van een eindige groep G op een verzameling X en zij x X. Dan is G(x) een eindige verzameling en geldt #G = (#G x ) (#G(x)) Bewijs. G eindig G x eindig. De stelling van Lagrange levert: #G = (#G x ) #{linker nevenklassen van G x in G} Het aantal linker nevenklassen van G x in G (d.i. de index van G x in G) is dus ook eindig en het volstaat nu een bijectie µ : {gg x g G} G(x) te vinden. Stel nu µ(gg x ) = α g (x) µ is goed gedefinieerd, want gg x = hg x h 1 g G x α h 1 g(x) = x (α h ) 1 (α g (x)) = x α g (x) = α h (x) µ is injectief, want µ (gg x ) = µ (hg x ) α g (x) = α h (x) (α h ) 1 (α g (x)) = x α h 1 g(x) = x h 1 g G x gg x = hg x µ is surjectief, want y G(x) g G : α g (x) = y, d.w.z. y = µ (gg x )

HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 5 Gevolg 1. Zij α : G S(X) een transitieve actie van een eindige groep G op een verzameling X en zij x X. Dan geldt #G = (#G x ) (#X). Opmerking 1. In het ZSC-B staat een video (nr. VW-203B) over deze orbit-stabilizer theorem. Duur: 24 minuten. Een aanrader. 0.4 Oefeningen bij hoofdstuk 0 1. Zij ρ : G S(X) een actie en stel K := Kerρ. Bewijs dat (a) K = x X G x (b) indien de actie van G transitief is, dan x X : K = g 1 G x g 2. Zij G een groep en beschouw de afbeelding α : G G S(G) : (x,y) ( α (x,y) : G G : g xgy 1) g G (a) Is α een actie van G G (direct product) op G? (b) Wanneer is α getrouw? (c) Vergelijk dit met de actie van G op zichzelf door inwendige automorfismen. De hierboven beschreven actie noemt men de diagonaalactie van G op zichzelf. 3. Zij G een groep en H een deelgroep van G. Noteer X = {xh x G} de verzameling van linker nevenklassen van H in G. (a) Toon dat de afbeelding λ : G X X : (g,xh) (gx)h een linkse actie definieert van G op X. (b) Geef een voorschrift van de met λ geassocieerde actie α. (c) Is α getrouw, transitief? (d) Als H G, is dan α getrouw of niet? Verklaar. 4. Beschouw een ruimtelichaam (zoals bijvoorbeeld een kubus). (a) Wat versta je onder automorfisme van een ruimtelichaam? (b) Bepaal de orde van de automorfismengroep van de kubus. (c) Bepaal de orde van de automorfismengroep van de dodecaëder.

HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 6 (d) Bewijs dat de icosaëder evenveel automorfismen heeft als de dodecaëder. (e) Kan je een verklaring geven voor (d)? Wat verwacht je voor de grootte van de automorfismengroep van de octaëder? 5. In het algemeen kan eenzelfde groep op verschillende verzamelingen ageren. Deze acties kunnen nuttig zijn om de structuur van G te achterhalen. (a) Bestudeer de actie van de automorfismengroep van de kubus op de zijvlakken van de kubus en bewijs dat deze groep een deelgroep heeft van index 6. (b) Zij V een K-vectorruimte. De automorfismengroep van V noteert men GL(V). Deze groep heeft een natuurlijke actie op de punten van V, maar ageert ook op de verzameling deelruimten van V. Bewijs dit. Toon aan dat deze actie de dimensie bewaart. Beschouw de verzameling X van alle 1-dimensionale deelruimten van V en beschrijf de actie van GL(V) hierop. Bepaal de kern van deze actie. Is deze actie getrouw? Bepaal een groep die trouw ageert op X. Deze groep noteert men PGL(V) en noemt men projectieve groep. Hij zal later in de cursus nog optreden. We zagen hier een voorbeeld van geïnduceerde actie. Zij α : G S(X) een actie. Een deel D X heet G-invariant indien g G : α g (D) D. Op een G-invariant deel kan men een actie definiëren door α D : G S(D) : g α g D Verifieer dat α D wel degelijk een actie is. Men noemt dit de geïnduceerde actie van G op D. Is er een verband tussen de grootte van de stabilisator van een deel D en het G-invariant zijn van D? 6. Zij α : G S(X) een transitieve actie, x een element van X en H een deelgroep van G. Bewijs dat de actie α H transitief is als en slechts als {hg h H,g G x } = G. 7. Zij H een deelgroep van een groep G. Stel X := G\\H, de verzameling der linkernevenklassen van H in G. Definieer, zoals in voorbeeld 0.2.5, α : G S(X) : g ( α g : G\\H G\\H : xh (gx)h ) Bewijs volgende stellingen: (a) De kern van α is de grootste normaaldeler van G die omvat is in H. (b) Als H een deelgroep is van index n, dan bestaat er een normale deelgroep K van G die in H omvat is en waarvan de index in G een deler is van n!. (c) Als p het kleinste priemgetal is dat de orde van G deelt en er bestaat een H G van index p, dan is H normaal in G. (d) In een p-groep is elke deelgroep van index p een normaaldeler. (e) In elke groep is elke deelgroep van index 2 normaal.