GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES

GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES DOOR J. M. BURGERS, R. N. J. SAAL en C. B. BIEZENO VERHANDELINGEN DER NEDERLANDSCHE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. AFDEELING NATUURKUNDE EERSTE SECTIE. DEEL XVIII. N0. 1 1941 N.V. NOORD-HOLLANDSCHE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ. AMSTERDAM Nederl. Akad. Wet., Verh. (Eerste Sectie), Dl. XVIII, No. 1, p.1-4f, 1941

1941 Printed in Holland Copyright Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Amsterdam

INHOUD. INLEIDING HOOFDSTUK I. Principiële beschouwingen en definities HOOFDSTUK 11. Classificatie der gevallen die zich kunnen voordoen bij de deformatie van een homogeen materiaal. dat onderworpen is aan een homogene schuifspanning van constante grootte Blz. 5 8 16 HOOFDSTUK 111. Over de toepassing der ingevoerde nomenclatuur ten aanzien van deformaties. behorende bij span~ ningstoestanden afwijkende van de zuivere schuif~ spanningstoestand 27 HOOFDSTUK IV. Aanvullende definities 31 HOOFDSTUK V. Benamingen toe te passen ter onderscheiding van verschillende klassen van materialen 37 REGISTER VAN GEBEZIGDE TERMEN 42

INLEIDING. Het volgende rapport betreffende de definities en benamingen toe te passen t~n aanzien van verschillende typen van deformaties, is opgesteld in opdracht van de Viscositeitscommissie van de Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, waarvan de volgende personen lid zijn: H. R. KRUIT (Utrecht), voorzitter; J. M. BURGERS (Delft), secretaris; C. B. BIEZENo (Delft); H. G. BUNGENBERG DE JONG (Leiden); W. G. BURGERS (Delft); R. HouwlNK (Delft); G. VAN ITERSON Jr. (Delft); F. M. JAEGER (Groningen); H. J. JORDAN (Utrecht); W. H. KEES OM (Leiden); F. A. VENING MEIN'ESZ (Amersfoort); C. J. VAN NIEUWENBURG (Delft); A. VAN RossEM (Delft); R. N. J. SAAL (Amsterdam). Het probleem der nomenclatuur is behandeld in verschillende vergaderingen van de Commissie, terwijl bovendien meerdere besprekingen hebben plaats gehad tussen leden der Commissie onderling, zodat behalve de arbeid der drie auteurs ook inzichten en aanvullingen van de andere leden der Commissie in het rapport zijn verwerkt. Het spreekt vanzelf dat gebruik is gemaakt van uiteenzettingen en definities welke waren voorgesteld in het door de Commissie reeds eerder uitgegeven "First" en "Second Report on Viscosity and Plasticity" 1), ofschoon het op enkele punten wenselijk leek een verandering aan te brengen. De publicatie van het onderhavige rapport heeft ten doel het resultaat van de gevoerde besprekingen in wijdere kring bekend te maken, in de verwachting dat physici en chemici die met problemen van plastische en viskeuze deformaties in aanraking komen, hiervoor belangstelling zullen hebben en mogelijk ook van hun kant opmerkingen wensen te maken. Bij een latere uitgave van het rapport, welke toch nodig zal zijn in verband met het vaststellen van internationale vertalingen der gebezigde termen, zou daarmede eventueel dan nog rekening kunnen worden gehouden. De volgende overwegingen van algemene aard mogen aan het eigenlijke rapport voorafgaan. De ontwikkelde beschouwingen zijn vastgeknoopt aan de analyse der verschijnselen die zich kunnen voordoen bij het geometrisch eenvoudigste type van deformatie, de afschuiving. Alleen op deze wijze kan een basis worden verkregen voor de studie! der physische eigenschappen van een materiaal en voor eventueel daaraan te verbinden structuurbeschouwingen. Iedere poging om het gedrag van een materiaal bij ingewikkelder defor~ 1) "First Report on Viscosity and Plasticity", Verhand. Kon. Neder!. Akademie van Wetenschappen, Afd. Nat. (te sectie) deel XV, No. 3, (2e uitgave, 1939). "Second Report on Vlscosity and Plasticity", Verhand. idem, deel XVI, No. 4 (1938).

6 GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES maties te verstaan verlangt inzicht in hetgeen zich kan voordoen bij een eenvoudige afschuiving. In de practijk van het experimentele onderzoek is het in vele gevallen niet mogelijk te verzekeren dat in het te bestuderen proefobject een zuivere afschuiving optreedt, terwijl het dikwijls ook uitgesloten is dat men het inderdaad plaatsgrijpend~ deformatieproces op zodanige wijze zal kunnen analyseren, dat het verband tussen het gedrag van het materiaal bij de proef en dat bij een zuivere afschuiving volledig kan worden beschreven. Men behelpt zich in dergelijke gevallen veelal door een bepaalde afmeting van het proefobject - een bepaalde lengte, een dikte, een hoekmaat - in het oog te vatten, en het gedrag van deze grootheid gedurende de proef te beschrijven als functie van de tijd en van de toegepaste belastende kracht of van het koppel. De vraag kan worden gesteld of men een algemene nomenclatuur kan aangeven, die het mogelijk maakt om in al dergelijke gevallen te komen tot een classificatie van de verkregen uitkomsten. Op deze vraag moet worden geantwoord dat dit slechts in zeer beperkte mate het geval kan zijn, daar hij een dergelijke algemene opzet van het probleem elke waarneming slechts een incidenteel karakter krijgt en resultaten levert die geheel en al afhankelijk zijn van het gekozen proeftype. Men kan bv. - wanneer wij aannemen dat de uitwendig, toegepaste belasting gedurende de proef constant wordt gehouden - vaststellen of de verandering vpn de gekozen kenmerkende afmeting van begrensde grootte is of niet, en in het laatste geval.verder nagaan of zij met de tijd eenparig, dan wel vertraagd of versneld toeneemt. Een eenvoudig te om~ schrijven physische betekenis zal echter in het algemeen aan een dergelijk onderscheid niet zijn te hechten, daar het constant houden van de uit~ wendige belasting niet behoeft te garanderen dat de spanningen per eenheid van oppervlak in het inwendige van het proefobject constant blijven, zodat het begrensde of niet begrensde karakter van de waargeno~ men deformatie een gevolg kan zijn van de verandering der inwendige belasting. Verder kan in het geval van een toenemende deformatie een eenparig aangroeien van een bepaalde afmeting (bv. de lengte van het proefobject) zeer wel gepaard gaan met een niet~eenparige van een andere afmeting (bv. de dikte). Tenslotte zal in het algemeen de waargenomen verandering der afmetingen zowel elastische als blijvende veranderingen omvatten, en voor een inzicht in het gedrag van het materiaal is het nood~ zakelijk dat men tussen deze beide onderscheid kan maken. Wat zich wel bij elk proeftype laat vaststellen is in hoeverre de totaal bij de proef teweeggebrachte vormverandering van elastische of van blijvende aard was: dit volgt toch uit het gedrag van het proefstuk wanneer het aan de werking der belastende kracht wordt onttrokken. Men kan dus steeds een onderscheid maken tussen elastische en blijvende deformaties. Dientengevolge is het ook mogelijk vast te stellen of een materiaal een elasticiteitsgrens bezit: dit doet zich voor wanneer de

INLEIDINO 7 deformaties zuiver elastisch blijken te zijn bij belastingen beneden een zekere grenswaarde, terwijl blijvende deformaties (al of niet gepaard gaande met elastische deformaties) eerst verschijnen wanneer deze grens~ waarde door de belasting wordt overschreden. De numerieke waarde van de gevonden grens heeft daarbij echter slechts een incidentele betekenis, en geldt alleen voor het gekozen proef type. - Blijvende deformaties die pas optreden nadat een dergelijke grens is overschreden, worden plastische deformaties genoemd. Treden blijvende deformaties reeds bij de kleinst mogelijke belastingen op, zodat er geen eindige elasticiteitsgrens is aan te geven, dan worden ze drempelloos genoemd. Hiermede echter zijn de mogelijkheden van een algemene terminologie, toe te passen op hetgeen wordt waargenomen bij de bestudering van het gedrag van één enkele grootheid in een willekeurige proef. uitgeput. Men kan alleen dan verder komen, wanneer men gegevens kan krijgen over het gedrag van het materiaal bij een homogene deformatie onder de werking van een exact bekende homogene spanningstoestand: gezien de vele complicaties die zich zelfs in een dergelijk geval nog kunnen voordoen, moet men daarbij beginnen met het gedrag bij een zo eenvoudig mogelijke gedaanteverandering, en deze wordt gevonden in de homogene afschuiving. Eerst de beperking tot dit geval maakt het bv. mogelijk onderscheidingen in te voeren berustende op de snelheid van de vormverandering, zonder dat men daarbij gevaar loopt te veel gewicht te hechten aan grootheden welke slechts van secundaire betekenis zijn.. De stappen welke nodig zijn om het beschouwde deformatietype duidelijk vast te leggen, zijn weergegeven in hoofdstuk I. Hoofdstuk 11 geeft de daarop gebaseerde nomenclatuur. Nadat op deze wijze een principiële grondslag is verkregen, wordt in hoofdstuk 111 teruggekomen op de vraag in hoeverre men bij proeven waarin niet de zuivere afschuiving wordt gerealiseerd, deze nomenclatuur nog kan toepassen. Hoofdstuk IV brengt enkele aanvullingen bij de definities van hoofdstuk 11, terwijl in hoofdstuk V benamingen zijn voorgesteld voor een aantal typen van materialen op ~rond van hun gedrag bij deformatie.

HOOFDSTUK I. Principiële beschouwingen en definities. 1. Alle te ontwikkelen beschouwingen zullen betrekking hebben op materiaal~eigenschappen; geen aandacht zal worden geschonken aan het gedrag van proef~objecten, voor zover dat gedrag uitsluitend afhankelijk is van de vorm dezer objecten. De materialen waarover in de volgende uiteenzettingen zal worden gesproken, worden geacht in macroscopisch opzicht homogeen van aard te zijn. Hieronder wordt verstaan dat volume~ elementen, waarvan de afmetingen voldoende klein zijn ten opzichte van de afmetingen der gebieden die bij een proef aan een gelijkmatig kracht~ veld worden onderworpen, van dezelfde samenstelling moeten zijn, en dezelfde innerlijke structuur moeten bezitten, met overal dezelfde ruimtelijke oriëntatie der structuur wanneer deze niet isotroop mocht zijn. Het materiaal mag in microscopisch opzicht, d.w.z. wanneer een fijnere schaal van beschouwing wordt toegepast, zeer wel inhomogeen zijn, bv. holten vertonen, uit een mengsel van verschillende bestanddelen zijn samengesteld, enz.; de microscopische structuur moet dan evenwel, wanneer men tot de macroscopische beschouwing terugkeert, overal in het materiaal dezelfde oriëntatie en dezelfde schaal bezitten, en daarbij van voldoende fijnheid zijn. Wanneer de microscopische structuur~elementen niet alle dezelfde stand vertonen, of eventueel in de loop van de tijd min of meer periodiek van stand veranderen, dan wordt onder de oriëntatie der structuur hier verstaan: de statistisch gemiddelde oriëntatie, waarbij het gemiddelde genomen is over een voldoende groot volume~element en zo nodig ook over een zeker tijdsverloop. De uitdrukking "gelijkmatig krachtveld" definieert in het bovenstaande een in macroscopisch opzicht homogeen spanningsveld, d.w.z. een spanningsveld, waarin de gemiddelde spanningscomponenten, genomen over gelijk georiënteerde oppervlakten, groot in vergelijking met de even~ tueel aanwezige microscopische structuur, in alle delen van het veld dezelfde waarden bezitten. Een in macroscopisch opzicht homogeen spanningsveld zal in een in macroscopisch opzicht homogeen materiaal een in macroscopisch opzicht homogene deformatietoestand doen optreden. In het volgende zal de qualificatie "in macroscopisch opzicht" worden weggelaten, en zal dus worden gesproken van homogeen zonder meer. Bij de gewone materialen, waar afwijkingen van de homogeniteit eerst bij gebieden van moleculaire, resp. colloïde afmetingen verschijnen, is het vanzelfsprekend, dat men ze zonder meer als "homogeen" betitelt: bij

HOOFDST. I. 1-4: 9 materialen van ander karakter moet bij het gebruik vaji dit begrip steeds een bepaalde schaal voor ogen worden gehouden. 2. Een homogene spanningstoestand kan, onafhankelijk van het mate~ riaal waarin hij aanwezig is, steeds worden opgevat als de resultante van een alzijdige trek of druk (hydrostatische spanningstoestand), en een deviatorische spanningstoestand, die gekenmerkt is door de eigenschap dat de som der drie hoofdspanningen gelijk is aan nul. De hydrostatische spanning is derhalve gelijk aan het gemiddelde van de drie oorspronkelijke hoofdspanningen. Een hydrostatische spanningstoestand kan in een homogeen materiaal - onverschillig of dit materiaal isotroop dan wel anisotroop is - steeds worden te voorschijn geroepen, door een willekeurig begrensd lichaam, uit dit materiaal vervaardigd, te onderwerpen aan een in alle punten van het oppervlak even grote normale (trek~ of druk~) spanning. Een dergelijke belasting kan bij vaste lichamen worden verwezenlijkt door het lichaam te omringen met een vloeistof of een gas. en deze vloeistof of dit gas onder druk te brengen. 3. De vormverandering welke in een materiaal onder de werking van een homogeen spanningsveld optreedt, is verschillend al naarmate men te doen heeft met een isotroop, dan wel met een niet~isotroop materiaal. Waar het gedrag van een niet~isotroop materiaal veel gecompliceerder is dan dat van een isotroop. zullen wij bij het vaststellen van de belastings~ gevallen die voor ons onderwerp van belang zijn. beginnen met ons te beperken tot isotrope materialen. Naderhand in 11 zal worden aange~ geven, welk geval in beschouwing zal worden genomen bij materialen die niet isotroop zijn. 4. Een hydrostatische spanningstoestand veroorzaakt in een homogeen isotroop materiaal een naar alle richtingen gelijke specifieke lengteverande~ ring, zodat het volume verandert. Deze volumeverandering kan volkomen elastisch zijn (zij is dat meestal bij die materialen, welke homogeen zijn, zolang men niet tot moleculaire afmetingen afdaalt): zij kan echter ook geheel of gedeeltelijk blijvend zijn. Een deviatorische spanningstoestand veroorzaakt in een homogeen isotroop materiaal een gedaanteverandering, welke gekenmerkt is door het feit dat de specifieke lengteverandering niet in alle richtingen dezelfde grootte bezit, terwijl de hoeken tussen bepaalde richtingen in het algemeen veranderen. Deze gedaanteverandering kan gepaard gaan met een ver~ andering van volume: dit behoeft echter niet steeds het geval te zijn. De gedaanteverandering kan wederom hetzij volkomen elastisch zijn, dan we) geheel of gedeeltelijk blijvend. Men maakt daarom een onderscheid tussen volume~ela.sticiteit en vorm~ elasticiteit: deze beide behoeven niet samen te gaan.

10 GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES Voor de studie van de viscositeit en van de plastische verschijnselen is de vraag of een materiaal vorm~elasticiteit bezit. van veel groter belang dan die naar het al of niet aanwezig zijn van volume~elasticiteit. Met het oog daarop verdient het aanbeveling om ons in he"t volgende te beperken tot de beschouwing van het gedrag van een materiaal onder deviatonsche spanningstoestanden. Teneinde niet overal het woord vorm~elasticiteit te moeten medeslepen zullen wij vaststellen. dat de term elastisch in de volgende beschouwingen alleen gebruikt zal worden wanneer een defor~ matie. ontstaan onder invloed van een det'iatorische spanningstoestand. een elastisch karakter vertoon't. Wil men onderzoeken hoe een materiaal zich gedraagt. wanneer naast een deviatorische spanningstoestand tegelijk ook een hydrostatische spanningstoestand werkzaam is. dan zal de hydrostatische spanning of de druk als afzonderlijke parameter worden ingevoerd. op dezelfde wijze als geschiedt met de temperatuur. Een dergelijke wijze van beschrijving treedt niet in de vraag of het effect van de deviatorische spanningstoestand en dat van de hydrostatische spanningstoestand op eenvoudige wijze op elkaar gesuperponeerd zijn. of dat dit niet het geval is. 5. Ofschoon het. gelijk hierboven vermeld werd. niet uitgesloten is dat door een deviatorische spanningstoestand van voldoende intensiteit nog een volume~verandering wordt teweeggebracht. zo blijkt bij de zg. plastisch vervormbare stoffen en bij vloeistoffen (waar deformaties op~ treden welke in het algemeen veel groter zijn dan de elastische deformaties bij normale "vaste" stoffen) de specifieke volume~verandering doorgaans klein te zijn ten opzichte van de grootheden die een maat zijn voor de gedaanteverandering. Waar het ons te doen is om de bizonderheden die met deze veel grotere zg. "plastische" en "viskeuze" gedaanteveranderingen samenhangen. zullen wij ons in het volgende veroorloven eventueel daarmede gepaard gaande kleine volume~veranderingen buiten beschouwing te laten. 6. ' De algemene deviatorische spanningstoestand voert bij materialen die zich niet gedragen naar de formules der ideale elasticiteitstheorie. en ook niet als gewone vloeistoffen. tot grote. in vele gevallen nog onopgeloste complicaties. Het is daarom wenselijk bij onze verdere beschouwingen ons te beperken tot het eenvoudigste geval van een dergelijke spanningstoestand. De eenvoudigste deviatorische spanningstoestand is een twee~dimensio~ nale spanningstoestand, waarbij slechts twee hoofdspanningen vantegen~ gestelde grootte werkzaam zijn, terwijl de hoofdspanning in de derde richting de waarde nul heeft. Bezigt men een coordinatensysteem waarvan de x~ en y~assen hoeken van 45 maken met de richtingen van de twee aanwezige hoofdspanningen. terwijl de z~as loodrecht hierop staat. dan vindt men zowel in de vlakken

HOOFDST. I. 4-8 11 evenwijdig aan het x, z~vlak, als in die evenwijdig aan het y, z~vlak een zuivere schuifspanning. In ieder punt van het spanningsveld zijn deze schuifspanningen gelijk aan elkaar. 7. Deformaties. - Een spanningstoestand is evenals een structuurbeeld (vastgelegd bv. door de posities van een systeem van punten) een physisch verschijnsel dat op een bepaald moment betrekking heeft, en dus voor dat moment kan worden beschreven, zonder dat daarbij een voorgeschiedenis een rol speelt. De aanwezigheid van een deformatie daarentegen laat zich slechts constateren door een vergelijking van twee configuraties, en is derhalve bepaald door het verschil in ligging van zekere punten thans ten opzichte van hun posities in een toestand welke als punt van uitgang is aangenomen. De beschrijving van een deformatie heeft dientenge.'volge in het algemeen een ander karakter dan die van een spanningstoestand. De beschrijving van een deformatie is alleen dan betrekkelijk eenvoudig, wanneer men te doen heeft met een zeer kleine deformatie, d.w.z. een deformatie waarbij de specifieke lengteveranderingen klein zijn ten opzichte van de eenheid. Hierbij speelt een rol de mogelijkheid om dergelijke kleine deformaties te superponeren, zonder dat de volgorde waarin dit geschiedt van belang is. Bij een homogene kleine deformatie zijn de verplaatsingen der punten lineaire functies van de coordinaten. Homogene kleine deformaties kunnen in elem'entaire typen worden ontbonden; de analyse waartoe men op deze wijze komt, vertoont in mathematisch opzicht grote analogie met de analyse van een homogene spanningstoestand. Van deze analogie wordt in de elasticiteitstheorie gebruik gemaakt bij het opstellen der betrekkingen tussen deformaties en spanningen. 8. Bij deformaties van eindige grootte bestaat de mogelijkheid van superpositie niet meer, daar het resultaat van de samenstelling van een aantal deformaties afhankelijk is van de volgorde, waarin deze na elkaar worden uitgevoerd. Hierdoor vervalt ook de mogelijkheid om een defor~ matie te analyseren in elementaire typen, op de wijze zoals dat met kleine deformaties kan worden gedaan. Bovendien zal men in vele gevallen met de omstandigheid te maken hebben dat de eigenschappen van het materiaal door de deformatie gewijzigd worden, isotropie overgaat in anisotropie, enz. Een eenvoudig gedrag wordt slechts gevonden bij de echte vloeistoffen, waar tengevolge van de warmtebeweging de moleculen zich voortdurend verschikken, op zodanige wijze dat zich gedurende het deformatieproces een uitsluitend van de deformatiesnelheid afhankelijk moleculair liggingspatroon instelt. Dientengevolge speelt hier de grootte van de deformatie zelf (in de zin van verschil in ligging der punten of der moleculen bij de vergelijking van oorspronkelijke en latere toestand) geen rol. en blijft van betekenis alleen de deformatie~snelheid.

12 G1WNDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUU,R DER DEFORMATIES In het bizon der bij de gewone, zg. "Newtonse" vloeistoffen kan de spanningstoestand worden beschreven door middel van lineaire functies van de componenten van de deformatiesnelheid. 9. Afschuivingen. - Met het oog op het feit dat wij in vele gevallen te doen hebben met materialen die zich niet als vloeistoffen gedragen, terwijl desniettemin de deformaties groot kunnen zijn, moeten wij onze verdere beschouwingen beperken tot een deformatie~type waarbij de grootte van de deformatie onbegrensd kan toenemen, en desniettemin de beweging een eenvoudig en overzichtelijk karakter bezit. Dit doet zich voor wanneer de beweging een zodanige is, dat men een systeem van oppervlakken kan aangeven, die zich elk in zich zelf zonder verbuigen verplaatsen (hieronder vallen o.m. platte vlakken en omwentelingscylinders ). Het meest eenvoudige type is de homogene afschuiving. welke zich als volgt laat definiëren: Een homogene afschuiving is een deformatie waarbij de punten van het materiaal zich alle in dezelfde richting (bv. evenwijdig aan de x~as) ver~ plaatst-hebben. over afstanden u. waarvan de grootte een lineaire functie is van y. Het materiaal heeft zich dan in vlakke lagen bewogen, die alle even~ wijdig zijn aan het x, z~vlak. Bij vloeistoffen doet zich dit voor bij de niet door een drukgradient beïnvloede laminaire stroming tussen twee even~ wijdige wanden, waarvan de ene zich in haar eigen vlak verplaatst t.o.v. de andere. De grootte van de deformatie op een bepaald tijdstip wordt gegeven door de afschuiving: r=oujoy. De afgeleide van r naar de tijd (dr/dt) heet de afschuifsnelheid. Wanneer de punten van het materiaal zich wel alle evenwijdig aan de x~as verplaatst hebben over afstanden u, welke alleen van y afhankelijk zijn, doch geen lineaire functie zijn van y, dan is de afschuiving niet meer homogeen. De onbegrensde voortzetting van een zuivere afschuiving is feitelijk alleen mogelijk, wanneer men te doen heeft met een materiaal van onbe~ grensde afmetingen, of met een materiaal waarmede het mogelijk is een toestand van laminaire stroming tussen twee evenwijdige wanden te bereiken. Bij het practische onderzoek van het gedrag van een stof bij afschuiving zal men zich, wanneer het bereiken van een toestand van laminaire stroming niet mogelijk is, derhalve met een benadering van de zuivere afschuiving tevreden moeten stellen. Enige andere nog betrekkelijk eenvoudige typen van deformaties zijn de volgende: a) de afschuiving in coaxiale cylindrische lagen, waarbij de punten van het materiaal zich bewegen evenwijdig aan de gemeenschappelijke as, en

HOOFDST. I. 8-10 13 waarbij de grootte van de verplaatsing u een functie is van de afstand r tot de as (een dergelijk geval doet zich voor bij de laminaire stroming van een vloeistof door een buis); b) de afschuiving in coaxiale cylindrische lagen, waarbij de punten van het materiaal zich bewegen in cirkels, welke gelegen zijn in evenwijdige vlakken loodrecht op de as van de cylinders en alle hun middelpunten hebben op deze as, terwijl de hoekverdraaiing q; langs een cirkel een functie is van de afstand r tot de as; c) de torsie. waarbij de punten van het matenaal zich eveneens be~ wegen in cirkels. gelegen in evenwijdige vlakken en alle met de middel~ punten op een gemeenschappelijke as. doch waarbij de hoekverdraaiing q; een lineaire functie is van de in de richting der as gemete~ coordinaat. In de gevallen b) en c) laat zich een onbegrensd toenemende deformatie realiseren zonder dat men over een oneindige hoeveelheid materiaal behoeft te beschikken. Veelal laat het gedrag van het materiaal bij de onder a). b) en c) genoemde deformaties zich met voldoende benadering afleiden uit dat bij de rechtlijnige homogene afschuiving. terwijl dan ook de omgekeerde herleiding mogelijk zal zijn. 10. Spanningstoestand met een homogene afschuiving gepaard gaande. Het in het inwendige van het materiaal in werking tredende m.echanisme (waaromtrent wordt ondersteld dat de isotropie tijdens het proces niet verloren gaat). gaat in alle ons bekende gevallen gepaard met het ver~ schijnen van volgens de x~as gerichte schuifspanningen in de vlakken evenwijdig aan het x. z~vlak. De grootte van deze schuifspanningen. (be~ trokken op de eenheid van oppervlak). welke in alle vlakken dezelfde is. zal met T worden aangeduid. Mechanische beschouwingen leren dat het voor het evenwicht nood~ zakelijk is. dat er dan tegelijkertijd schuifspanningen verschijnen in de vlakken evenwijdig aan het y. z~vlak. gericht volgens de y~as. en van dezelfde grootte T. Wij komen hiermede op de in 6 beschreven eenvoudig~ ste deviatorische spanningstoestand terug. Het in het inwendige van het materiaal in werking tredende mechanisme moet derhalve van dien aard zijn. dat het bij een afschuiving evenwijdig aan het x, z~vlak de beide systemen van schuifspanningen doet ontstaan. Bij de uitvoering van experimentele onderzoekingen wordt de situatie steeds zo gekozen. dat het materiaal gedwongen is zich in evenwijdige vlakken te bewegen. en dat de grootte van de schuifspanningen in de vlakken evenwijdig aan het x, z~vlak direct kan worden afgeleid uit de grootte van de van buiten op het systeem werkende krachten of koppels. terwijl de schuifspanningen in de vlakken evenwijdig aan het y. z~vlak door ondersteuningen worden opgenomen en zich verder niet bemerkbaar maken. Ook bij de toepassing van een der andere in 9 genoe.mde

14 GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES deformatie~typen spelen de analoge schuifspanningen in vlakken loodrecht op de bewegingsrichting geen rol in de waarnemingen. 11. Nu ten aanzien van isotrope stoffen is vastgesteld welk deformatie~ type zal worden beschouwd, en welke schuifspanning hierbij zal worden gemeten, kunnen wij ons de vraag voorleggên wat men zal doen in gevallen waar het te onderzoeken materiaal anisotroop is, of waar het materiaal zijn oorspronkelijke isotropie verliest tengevolge van de deformatie. Het ligt voor de hand om steeds vast te houden aan de homogene afschuiving, met beweging volgens de x~richting in lagen evenwijdig aan het x, z~vlak. Is het materiaal reeds in zijn oorspronkelijke toestand anisotroop. dan zal men moeten zorgen dat de afschuiving op een bekende wijze is georiënteerd ten opzichte van de hoofdrichtingen der anisotropie. Het is mogelijk dat de optredende spanningstoestand een ander karakter zal bezitten dan die welke hierboven is beschreven. De richting der schuif~ spanningen in vlakken evenwijdig aan het x, z~vlak kan afwijken van de x~as, terwijl daarnaast ook normaalspanningen op deze vlakken kunnen optreden. In de meeste gevallen zal er evenwel een belangrijke schuif~ spanning in de genoemde vlakken verwacht kunnen worden, en zal men dus bij het onderzoek het eerste aandacht geven aan de grootte en eventueel de richting hiervan. Een analoge opmerking geldt voor het geval. dat het materiaal wel oorspronkelijk isotroop was, doch door de deformatie van karakter is veranderd. 12. Resumerende kunnen wij derhalve zeggen: Als deformatie~type zal steeds worden beschouwd een homogene afschuiving, volgens vlakken evenwijdig aan het x, z~vlak; de grootte hiervan. op een bepaald tijdstip t, wordt beschreven door de afschuiving r = ou/dy. Is de afschuiving y een functie van de tijd, dan zal het van belang zijn tevens de grootte van de afschuifsnelheid oy/ot op te geven (welke in het algemeen ook zelf weer een functie van de tijd kan zijn). Was het materiaal reeds oorspronkelijk anisotroop, dan zal gezorgd moeten worden dat de oriëntatie van de afschuiving ten opzichte van de aan het materiaal eigen assen bekend is. De afschuiving gaat gepaard met het optreden van een spanningstoestand. Steeds wordt de schuifspanning waargenomen welke optreedt in de vlakken evenwijdig aan het x, z~vlak. Bij isotrope materialen zal deze dezelfde richting hebben als de beweging; bij niet~isotrope materialen kan de richting van de schuifspanning hiervan afwijken. In het eerste geval zal de grootte van de schuifspanning (betrokken op de eenheid van oppervlak) met l' worden aangeduid; in het tweede geval moet nader worden opgegeven of men de totale schuifspanning bedoelt, dan wel de componente in de richting der beweging. terwijl het daarnaast van belang zal zijn de hoek tussen totale schuifspanning en bewegingsrichting op te geven.

HOOFDST. I. 10---14 15 Men zou verder kunnen nagaan of er behalve schuifspanningen in vlakken evenwijdig aan het x, z~vlak ook nog normaalspanningen optreden. Bij de meeste der gebruikelijke proefopstellingen kunnen dergelijke normaal~ spanningen echter niet worden gemeten. 13. Bij het uitvoeren van een experimenteel onderzoek worden de te beschouwen schuifspanningen in het materiaal opgewekt door de uitwendige belastingen waaraan het materiaal wordt onderworpen. Bij alle door ons te behandelen gevallen wordt ondersteld dat deze uitwendige belastingen op een dusdanige wijze worden aangebracht, dat de schuifspanning in het materiaal monotoon stijgend van de waarde nul op de verlangde grootte komt. Het moet dus uitgesloten zijn, dat het materiaal tijdelijk onder de invloed komt van een grotere schuifspanning. dan die welke in de eigenlijke proef zal worden toegepast. Waar verschillende materialen onder het deformeren van eigenschappen veranderen. moet bovendien in principe worden verlangd dat de belasting in een dusdanig tempo op de vereiste grootte wordt gebracht. dat zij haar definitieve waarde heeft aangenomen voordat in het materiaal een blijvende deformatie is opgetreden. welke in grootte vergelijkbaar is met de bij de eigenlijke proef te beschouwen blijvende deformaties. Het is waar dat onder bepaalde omstandigheden het te snel aanbrengen van een belasting aanleiding kan geven tot het verschijnen van inertiële (massa~traagheids~) reacties en eventueel tot trillingen. Dit moet worden vermeden. en men zal dus bij elke proef dat tempo moeten uitzoeken. dat veroorlooft zo goed mogelijk beide moeilijkheden tegelijk te omzeilen. 14. Zolang men niet ingaat op de "microscopische" of eventueel op de moleculaire. resp. colloïde structuur van het materiaal waarbij de be~ schouwde deformatie is waargenomen. en men zich beperkt tot een phenomenologische beschrijving. kan men aan de op een bepaald moment waargenomen deformatietoestand geen andere kenmerken toekennen. dan die welke worden uitgedrukt door de grootheden r en or/ot. in verbinding met de schuifspanning 't'. Wil men zonder in te gaan op structuurkwesties de beschrijving verder ontwikkelen. dan kan dit geschieden door de waargenomen deformatie~ toestand te vergelijken met andere toestanden. die daarmede op eenvoudige wijze in verband kunnen worden gebracht. De toepassing van deze gedachte geeft de mogelijkheid om te komen tot een indeling van de meest belangrijke gevallen. die zich bij de studie van deformaties kunnen voordoen. In de volgende bladzijden zal deze indeling worden beschreven.

HOOFDSTUK D. Classificatie der gevallen die zich kunnen voordoen bij de deformatie van een homogeen materiaal dat onderworpen is aan een homogene schuif.. spanning van constante grootte. 15. Men kan de gevallen van deformatie welke kunnen optreden onder de werking van een homogene schuifspanning van constante grootte, die in voldoend snel tempo monotoon stijgend van de waarde nul op de te beschouwen grootte is gebracht, indelen naar de volgende criteria: I. Het al of niet verdwijnen van de deformatie, na het wegnemen der uitwendige belasting welke op het materiaal werkte; 11. De wijze waarop de deform~tie met de tijd verandert, wanneer de schuifspanning constant wordt gehouden; 111. De betekenis van eventuele drempelwaarden welke de schuifspanning te boven moet gaan~ om de beschouwde deformatie te doen verschijnen. 16. (ad IJ. Wanneer men de uitwendige belasting welke op het materiaal werkte, geheel wegneemt, zal de deformatie hetzij onveranderd blijven,. hetzij geheel of gedeeltelijk verdwijnen. Dat gedeelte van de deformatie dat na het ontlasten verdwijnt (eventueel na een nader te omschrijven wachttijd), zal elastisch worden genoemd; het gedeelte dat niet verdwijnt, is de blijvende deformatie. Verdwijnt' de deformatie na het ontlasten geheel, dan spreekt men van een volkomen elastische deformatie. Treedt daarentegen in het geheel geen terugvering op, dan heef.t men te doen met een volkomen blijvende defor.. matie. Is de terugvering gedeeltelijk, dan kim men, al naar dat de nadruk wordt gelegd op het elastische, dan wel op het blijvende gedeelte, de deformatie aanduiden als een onvolkomen elastische deformatie, of als een onvolkomen blijvende deformatie. 17. In verband met bovenstaande definities kunnen de volgende opmer.. kingen worden gemaakt. 1 ) Met het wegnemen van de uitwendige belasting neemt de gemid.. delde schuifspanning T, gemeten overeenkomstig hetgeen in 1 is vast.. gesteld over oppervlakten welke voldoende groot zijn ten opzichte van de microscopisch~ structuur, de waarde nul aan. Daarmede behoeft niet gezegd te zijn, dat het materiaal bij microscopische beschouwing dan volkomen vrij zal zijn van inwendige spanningen; het is bv. denkbaar dat wanneer men een vlak evenwijdig aan het x, z.. vlak beschouwt, in bepaalde gebiedjes

HOOFDST. 11, 15-17 17 hiervan, van microscopische of submicroscopische afmetingen, positieve schuifspanningen werken, en in andere gebiedjes negatieve; de resultante dezer schuifspanningen, over een voldoende groot oppervlak genomen, moet dan echter nul zijn. 2) De woorden: "eventueel na een nader te omschrijven wachttijd" zijn in de definitie van de elastische deformatie opgenomen, daar in vele ge~ vallen de terugkeer tot de oorspronkelijke vorm door verschijnselen van inwendige wrijving wordt vertraagd (vergelijk beneden 36---38). Men zal dus wanneer eerst na enige tijd terugverjng optr,eedt het gedrag van het materiaal nog als elastisch beschouwen, en als elastisch gedeelte van de deformatie dat gedeelte aanmerken, hetwelk in een zeker voorgeschreven tijdsverloop na de ontlasting is verdwenen. 3) Er kunnen zich ook gevallen voordoen waarin bepaalde inwendige wrijvingsverschijnselen de volledige terugkeer tot de oorspronkelijke vorm verhinderen, en de derormatie geheel of gedeeltelijk als het ware.. blokkeren", terwijl het toch mogelijk blijkt te zijn door middel van zekere bewerkirtgen (bv. het onderwerpen van het materiaal aan snel wis~ selende kleine belastingen of aan kleine stoten; het brengen op een hogere temperatuur; of het blootstellen van het materiaal aan de inwer~ king van sommige oplos~ of zwelling smid delen en derg.) deze blokkering op te heffen en een verdere terugkeer tot de oorspronkelijke gedaante te verkrijgen. Men heeft dan met een groep van verschijnselen te maken, die men kan karakteriseren door te zeggen, dat de deformatie in. een dergelijk geval een latent elastisch karakter bezit. Daarbij moeten natuurlijk de middelen kunnen worden aangegeven welke nodig zijn om de latente terugvering te bewerkstelligen. De volgende benamingen kunnen hierbij worden toegepast: de gedeel~ telijke terugvering welke na het ontlasten vanzelf verschijnt, wordt de spontane elastische terugvering genoemd; de verdere terugvering, welke verschijnt na het toepassen van zekere hulpmiddelen,,heet de latente terugvering. Is de totale terugvering (d.i. de som van de spontane en de latente terugvering ) zo groot, dat de deformatie tot nul is terug~ gekomen, dan kan men nog spreken van een volkomen elastisch gedrag van het materiaal. zij het met een latente terugvering. Het geval kan zich echter eveneens voord,oen,,dat ook na het opheffen der blokkering nog een blijvende deformatie resteert; het elastisch gedrag van het mate~ riaal is dan onvolkomen (men moet hier zeggen dat zowel de spontane als de latente terugvering onvolkomen zijn). 4) Wanneer een materiaal zich voor een zeker gebied van belastingen volkomen elastisch gedraagt, dan moet daarmede gepaard gaan dat bij elke waarde van de schuifspanning in dat gebied een volkomen, bepaalde waarde van de afschuiving behoort. Er doen zich echter ook gevallen voor, waarin blokkeringseffecten reeds een rol spelen bij het aanbrengen van de belasting, hetgeen zich 2

18 GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES dan uit in het feit dat de deformatie bij het enkel aanbrengen van een bepaalde schuifspanning niet steeds ondubbelzinnig bepaald blijkt te zijn. en de toepassing van bepaalde hulpmiddelen (bv. van wisselspanningen of van kleine stoten) nodig is om zekere wrijvingsverschijnselen te over~ winnen. en het materiaal te brengen tot die afschuiving waarvan de elas~ tische reactie beschouwd mag worden als zo goed mogelijk in evenwicht te zijn met de toegepaste schuifspanning. Bij de beschrijving van de deformatie moet zulks dan worden vermeld. 18. Wanneer men de gewone vloeistoffen terzijde laat. blijkt het dat een materiaal dat een blijvende deformatie heeft aangenomen. in vele gevallen zodanige inwendige veranderingen heeft ondergaan. dat de eigenschappen van het materiaal zijn gewijzigd. Wordt het materiaal dan aan een hernieuwde belasting onderworpen. dan kan de hierbij optre~ den de deformatie een ander karakter vertonen. dan de bij de eerste proef waargenomen deformatie. De toepassing van een herhaalde belasting valt echter niet onder het begrip van een belasting. die overeenkomstig het in IS geëiste. monotoon stijgend van de waarde nul op de te be~ schouwen grootte is gebracht. zodat men hier in een andere categorie van verschijnselen treedt. In de gedachtengang die aan de hier voorgestelde classificatie der defor~ matietoestanden ten grondslag ligt. is het 't eenvoudigste een herhaling van de belasting te beschouwen als een proef op een nieuw materiaal. Het bij een dergelijke proef te voorschijn tredende gedrag zal volgens het door ons ingenomen gezichtspunt van geen betekenis zijn voor de termi~ nologie. welke ten aanzien van de bij de oorspronkelijke proef waarge~ nomen deformatie zal worden toegepast. Hetzelfde geldt met betrekking tot bepaalde wijzen van "voorbehandeling", waaraan een materiaal onderworpen geweest kan zijn. 19. (ad II). De verdere indeling van deformaties heeft uitsluitend betrekking op blijvende deformaties. respectievelijk op het blijvende ge~ deelte van een deformatie, welke ook gedeeltelijk elastisch was. Men kan. het materiaal gedurende lange tijd onderwerpen aan een constante schuifspanning. en nagaan of en hoe de grootte van de blijvende deformatie gedurende die tijd verandert. Opgemerkt moet worden. dat de uitvoering van een dergelijk onderzoek in vele gevallen het verrichten van een serie proeven kan vereisen, waarbij. monsters van hetzelfde materiaal gedurende verschillende tijden worden belast. en waarbij voor elk tijdsverloop wordt nagegaan welke grootte de blijvende deformatie heeft verkregen. Ter onderscheiding van het elastische en het blijvende gedeelte van een deformatie zullen de letters Ye en YP worden gebezigd; voor de totale afschuiving Y geldt dan de hetrekking: Y=Ye + Yp

HOOFD ST. 11, 17-21 19 Wanneer het blijvende gedeelte van de afschuiving yp onder de wer~ king van de constante schuifspanning met de tijd aangroeit, wordt gezegd dat het materiaal vloeit. Voor de afgeleide naar de tijd van yp zal de letter D worden gebezigd: deze grootheid wordt de vloeisnelheid genoemd. 20. Op grond van het gedrag van de deformatie als functie van de tijd bij constant gehouden schuifspanning kan men thans de volgende indeling opstellen: 1 ) Begrensde deformaties, waarbij de grootte van de blijvende defor~ matie y p een eindige grenswaarde niet overschrijdt. Deze deformaties kunnen nog verder worden onderverdeeld, al naar gelang de grenswaarde voor y p in een eindig tijdsverloop wordt bereikt (na afloop hiervan is dan D = dy p/ dt gelijk aan nul geworden), dan ~l dat yp asymptotisch tot deze grenswaarde nader:t in een on~ eindig tijdsverloqp. 2) Onbegrensd voortkruipende deformaties. waarbij de grootte van YP op de duur elke eindige waarde te boven gaat, doch waarbij de vloéi~ snelheid D = dyp/dt voortdurend afneemt. Ter bekorting kunnen deze deformaties ook als kruipende deformaties worden aangeduid. 3) Eenparige deformaties, waarbij de vloeisnelheid D een constante waarde aanneemt. 4) Versnellende deformaties. waarbij de vloeisnelheid D in de loop van de tijd,toeneemt (welk proces veelal tot breuk zal kunnen leiden). 21. De onder 3) genoemde eenparige deformaties onderscheiden zich daardoor, dat bij een constante waarde van de schuifspanning l' een con~ stante waarde van de vloeisnelheid D optreedt. Men kan dientengevolge voor deze deformaties D.1'~iagrammen geven waarin de tijdfactor geen rol speelt. (Voor alle andere gevallen zou men diagrammen met meerdere variabelen moeten construeren, bv. D,1',y~diagrammen). De grootte van het quotient 1'/D van bij elkaar behorende waarden van schuifspanning en vloeisnelheid bepaalt de viscositeit van het materiaal. In het algemeen heeft dit quotient -:- ook bij constante temperatuur - geen vaste waarde, doch is het een functie van de schuifspanning (of van de vloeisnelheid ); men dient dus te spreken van de viscositeit v~n het beschouwde materiaal bij die bepaalde schuifspanning (of bij die bepaalde vloeisnelheid). Alleen wanneer het D,1'~diagram voor een materiaal een door de oorsprong gaande rechte lijn is, is voor zulk materiaal de viscositeit bij gegeven temperatuur een constante grootheid.

20 GRONDSLAGEN VOOR EEN NOMENCLATUUR DER DEFORMATIES De reciproke waarde van de viscositeit, het quotient Dj'C, heet mobiliteit. Als synoniem met "eenparige deformaties" zal ook de term "viskeuze deformaties" worden gebezigd. 22. (ad lil). Het derde criterium bij de classificatie van deformaties wordt verkregen door,de beschouwde deformatie,te bezien in verband met de deformaties welke hetzelfde materiaal vertoont bij andere waarden van 'C, dan de waarde welke een rol speelde in het oorspronkelijk beschouwde geval. Een dergelijke vergelijking leert of er voor de schuifspanning zekere drempelwaarden bestaan, waarbij het gedrag van het materiaal in karakteristiek opzicht verandert. In verband md de omstandigheid dat vele materialen gedurende het deformeren van,eigenschappen veranderen, dient ook hier te worden vastgesteld dat men bij het onderzoek naar de aanwezigheid van dergelijke drempelwaarden in het algemeen zal moeten werken met series van proeven, op zodanige wijze dat in elke proef het materiaal slechts aan de werking van een schuifspanning van één bepaalde sterkte is onderworpen. - In herinnering wordt gebracht dat bij elke proef de te bezigen schuifspanndng in voldoende sndtempo op de verlangde grootte moet worden gebracht: bovendien kan het - gelijk ["eeds is opgemerkt in 19 - ter beantwoording van de vraag of de blijvende deformatie van een materiaal ohder een constante schuifspanning met de tijd aangroeit, nodig zijn, dat ook series proeven worden uitgevoerd, waarbij het materiaal aan een zelfde schuifspanning gedurende verschillende tijdsduren is onderworpen. 23. De belangrijkste drempelwaarde (A) is die welke als volgt wordt gedefinieerd: Wanneer een materiaal bij belasting met schuifspanningen 'C beneden een waarde 'Cl slechts elastische deformaties vertoont, terwijl de deformaties gedeeltelijk of geheel blijvend zijn wanneer 'C> 'Cl, dan wordt de drempelwaarde 'C I genoemd de zwichtschuifspanning (afgekort: zwichtspanning ) van het materiaal. Volgens deze definitie is de zwichtspanning derhalve de grens tussen het gebied waar het materiaal zich volkomen elastisch gedraagt, en het gebied waar blijvende deformaties optreden en het materiaal vloeiingsverschijnselen vertoont. Vandaar dat deze grens ook betiteld kan worden als "elasticiteitsgrensschuifspanning" of "vloeigrensschuifspanning" (afgekort: "elasticiteitsgrens" of "vloeigrens"). De termen "elasticiteitsgrens" en "vloeigrens" worden door ons als identiek beschouwd. Naast de elasticiteitsgrens kan men de volgende verdere drempelwaarden invoeren: (8) De drempelwaarde 'Cc welke moet worden overschreden opdat de kruipende deformaties kunnen verschijnen (kruipgrens ). (C) De drempelwaarde T. welke moet worden overschreden opdat viskeus vloeien (met constante vloeisnelheid D) kan intreden (drempelwaarde voor viskeus vloeien).