Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 6 2012-2013. M. van der Pijl.

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 6 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16. ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2012. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

1 Decimale getallen en breuken 1 1.1 Decimale getallen 1 1.2 Optellen en aftrekken van breuken 2 1.3 Vermenigvuldigen en delen van breuken 4 2 Procenten 7 2.1 Procenten, decimale getallen en breuken 7 2.2 Procentuele toename 9 2.3 Procentuele afname 11 2.4 Berekenen van het percentage snijafval 12 3 Talstelsels 19 3.1 Het 10-tallige of decimale stelsel 19 3.2 Het 2-tallige of binaire stelsel 20 3.3 Het 8-tallige of octale stelsel 22 3.4 Het 16-tallige of hexadecimale stelsel 25 3.5 Het optellen van binaire getallen 30 3.6 Het aftrekken van binaire getallen 31 4 Rekenen met complexe getallen 36 4.1 Complex getal als vector 36 4.2 Toepassing van complexe getallen in de elektrotechniek 39 4.3 Rekenen met complexe getallen 43 4.4 Complexe rekenwijze bij serieschakeling 48 4.5 Rekenen met het getal j 52 4.6 Complexe rekenwijze bij parallelschakeling 57

1 Decimale getallen en breuken 1 Decimale getallen Decimale getallen zijn getallen met een komma. We noemen ze ook wel kommagetallen. Voorbeelden van decimale getallen zijn dus 78, 456 en 0, 34. Breuken bestaan uit een teller, een breukstreep en een noemer en schrijven we teller meestal in de vorm noemer zoals 3 4. Ook zien we de notatie teller/noemer zoals 3 / 4. Decimale getallen kunnen we omzetten in breuken. Een breuk kunnen we op eenvoudige wijze met de rekenmachine omzetten in een decimaal getal. Voordat we gaan rekenen met breuken zullen we eerst gaan oefenen met het omrekenen. Vb. 1 Reken van een decimaal getal naar een breuk of omgekeerd: a. 2, 4 b. 3 5 Oplossing a. 2 4 10 ( 2, 4 spreken we uit als 2 en 4 tiende, dus 2 4 en maakt 2 4 10 10 ). b. 0, 6 (met de rekenmachine, op de display zien we 0, 6 ). Oefeningen 1 Reken van een decimaal getal naar een breuk of omgekeerd: a 2, 3 b 0, 526

2 Decimale getallen en breuken c 1, 23 d 1 4 e 1 25 f 1 3 2 Optellen en aftrekken van breuken We mogen breuken alleen optellen of aftrekken als de noemers gelijk zijn. Zijn die noemers niet gelijk, dan moeten we de breuken eerst gelijknamig maken. Als nieuwe gelijke noemer nemen we het product van de oude noemers. Als we 1 bijvoorbeeld de breuken 2 en 2 willen optellen, nemen we dus als nieuwe gelijke 5 noemer 2 5 = 10. De volgende stap is het omwerken van de beide breuken tot noemer 10 : 1 =? en 2 =?. 2 10 5 10 1 We beginnen met de eerste breuk. Als we van noemer 2 naar noemer 10 gaan 2 moeten we met 5 vermenigvuldigen. We moeten dan ook de teller met 5 vermenigvuldigen dus: = = =. Bij de tweede breuk gaan we van noemer 5 1 1 5 1 5 5 2 2 5 2 5 10 naar noemer 10, hier moeten we teller en noemer met 2 vermenigvuldigen dus: 2 2 2 2 2 4 = = =. We hebben nu de twee breuken gelijknamig gemaakt, 5 5 2 5 2 10 1 2 zodat we ze kunnen optellen: 2 + 5 4 5 = 5 4 9 10 + 10 = + 10 = 10.

Decimale getallen en breuken 3 Vb. 2 4 5 2 1 1 3 + 2 = Oplossing Eerst gaan we het gemengde getal 1 1 omzetten in een zogenaamde onechte 2 breuk (teller groter dan noemer): 1 1 1 1 2 = + 2 1 2 1 2 = 3 2 + 2 = + 2 = 2 4 2 5 3 3 + 2 = De nieuwe gelijke noemer wordt 5 3 2 = 30 dus: 4 6 5 2 10 6 3 15 3 10 + 2 15 = 24 20 30 45 30 + 30 = 24 20 + 45 30 ( 49 30 = 49 30 = 1 19 30 vereenvoudigen we door 49 door 30 te delen. De uitkomst is 1, dus het getal voor de komma is een 1. Er blijft dan nog 49 1 30 = 19 over, 49 dus = 1 19.) 30 30 We merken dat bewerkingen met breuken nogal veel rekenwerk vergen. Gelukkig zit er op alle wetenschappelijke rekenmachines een breukentoets waarmee alle berekeningen met breuken eenvoudig worden. Deze breukentoets herkennen we aan het a b c -symbool. We typen het voorbeeld op de CASIO fx- 82 als volgt in: + waarna in ons display verschijnt: 4 5 2 3 + 1 1 2 met als uitkomst 1 19 30 (de TI-30X geeft als antwoord 1 u 19 / 30 ). Alle opdrachten mogen we ook met de rekenmachine berekenen. 2 Oefeningen 4 2 5 7 + 1 3 2 6 4 + 3 = 3 3 2 1 2 1 + = 7 3 2

4 Decimale getallen en breuken 4 1 3 2 5 3 + = 5 11 10 5 2 1 4 2 + 4 1 5 3 = 3 Vermenigvuldigen en delen van breuken Vermenigvuldigen van breuken: teller1 teller2 noemer1 noemer2 = teller1 teller2 noemer1 noemer2 Delen van breuken door te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de laatste breuk: teller1 noemer1 teller2 noemer2 = teller1 noemer2 noemer1 teller2 Vb. 3 Bereken 3 1 3 = 5 4 Oplossing 3 5 7 3 7 21 = = = 1 1 4 5 4 20 20 Vb. 4 Bereken 2 3 5 1 3 4 Oplossing 13 5 7 13 4 13 4 52 = = = = 4 5 7 5 7 35 1 17 35

Decimale getallen en breuken 5 6 Oefeningen 4 2 5 1 = 17 6 4 7 3 1 3 2 1 = 7 3 2 8 1 2 2 5 3 3 11 4 = 9 2 1 2 1 1 4 1 = 4 3

6 Decimale getallen en breuken 1a 2 3 10 b Antwoorden 526 1. 000 c 1 23 100 d 0, 25 e 0, 04 f 0, 33333 2 6 23 28 3 4 19 42 4 1 17 110 5 6 1 30 6 2 2 3 7 3 7 8 5 5 11 9-8 2 3

2 Procenten 1 Procenten, decimale getallen en breuken We zien een procentenschaal getekend, ook wel procentenbalk genoemd. Zie figuur 1. We hebben daarin een schaalverdeling gemaakt van 5%. Op de bovenste schaal staat de procentenverdeling. Op de middelste schaal vinden we de bijbehorende decimale getallen. Op de onderste schaal zijn deze getallen omgezet in breuken. procenten decimale getallen breuken Figuur 1 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5% 15% 25% 35% 45% 55% 65% 75% 85% 95% 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 35 We lezen bijvoorbeeld af dat 35% = 0, 35 =. 100 Vb. 1 1. 45% van 540 = 0, 45 540 = 243 2. Welk percentage is 20 van 90? Berekening: 20 100 22 2 90 % =, %.

8 Procenten Oefeningen 1 Vereenvoudig de breuken uit de onderste schaal zo ver mogelijk. Zie figuur 1. 1 1 10 ; 3 2 5 ; 1 3 10 ; 7 4 5 ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; 1 1 1 10 ; 3 2 5 ; 1 3 10 ; 7 4 5 ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; 1 2 Schrijf eerst als decimaal getal en daarna als meest vereenvoudigde breuk (we maken de noemer zo klein mogelijk). Voor het vereenvoudigen van breuken mag gebruik worden gemaakt van een rekenmachine. a 28% = b 34% = c 17% = d 33, 3% = e 72% = f 45% =

Procenten 9 Vb. 2 Hoeveel % is 19 van 54? 19 100% = 35, 2% 54 Oefeningen 3 Bereken: a 25% van 640 = b 89% van 1. 075 = c Hoeveel % is 125 van 875? d Hoeveel % is 27 van 45? 2 Procentuele toeame Bij een procentuele toename wordt het nieuwe getal groter: OUD + TOENAME = NIEUW. Bijvoorbeeld: 100% + 15% = 115% = 1, 15 Vb. 3 Een product van 40,- wordt 15% in prijs verhoogd, de vermenigvuldigingsfactor is dan 1, 15. De nieuwe prijs wordt: 40 1, 15 = 46 euro. Als de nieuwe prijs en het percentage bekend zijn, kunnen we de oude prijs berekenen door de bewerking om te keren: 46 1, 15 = 40 euro. Als de oude en nieuwe prijs bekend zijn, kunnen we de toename in procenten berekenen. We bepalen eerst de toename door beide prijzen van elkaar af te trekken. Vervolgens berekenen we de toename in procenten: TOENAME 100% OUD

10 Procenten In het laatste voorbeeld is de toename 6,- en de oorspronkelijke prijs 40,-. De toename in procenten is dan: 6 100 15 40 % = % Als een waarde een aantal malen toeneemt met eenzelfde percentage, spreken we van een herhaalde toename. Vb. 4 Op een spaarrekening staat 2000,-. De rente is 8% per jaar. Om het nieuwe saldo te berekenen, moeten we dan elk jaar het saldo met 1, 08 vermenigvuldigen. Die factor 1, 08 noemen we de groeifactor. Na 5 jaar staat er dus een bedrag van 2000 1, 08 1, 08 1, 08 1, 08 1, 08 = 2. 938, 66 euro op de rekening. Omdat hier 5 keer met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt, kunnen we ook machtsverheffen: 5 2000 1, 08 = 2938, 66 euro. We zien dat de exponent van de macht gelijk is aan het aantal jaren dat rente is verkregen. Oefeningen 4 Vorig jaar was de winst 2. 500. 000,-. We verwachten dit jaar een stijging van 3%. Hoe groot zal de winst zijn? 5 Op een spaarrekening staat 25. 000,-. De rente is 7, 5%. Bereken het saldo na 8 jaar. 6 Dit jaar zijn op een school 475 eerstejaars gekomen. Vorig jaar waren er 450 nieuwe leerlingen. Met hoeveel % is het aantal eerstejaars toegenomen?

Procenten 11 3 Procentuele afname Bij een procentuele afname wordt het nieuwe getal kleiner: OUD AFNAME = NIEUW. Bijvoorbeeld: 100% 15% = 85% = 0, 85 Vb. 5 Een product van 70,- wordt 15% in prijs verlaagd. De vermenigvuldigingsfactor is dan 1 0, 15 = 0, 85. De nieuwe prijs wordt dus: 70 0, 85 = 59, 50 euro. Als de oude en nieuwe prijs bekend zijn, kunnen we de afname in procenten berekenen. We berekenen eerst de afname door beide prijzen van elkaar af te trekken. Vervolgens berekenen we de afname in procenten: AFNAME OUD 100% Vb. 6 Een voetbalvereniging heeft dit jaar 220 leden en vorig jaar 250. De afname is dus 250 220 = 30 leden. De afname in procenten wordt dan: 30 100 12 250 % = %. Bij een herhaalde afname treedt een daling op en is de groeifactor < 1. We rekenen verder op dezelfde manier als bij een herhaalde toename. Vb. 7 Meneer Jacobs heeft een appeltje voor de dorst. In een oude sok op zolder bewaart hij 375. 000,-. Hij neemt daar elk jaar 5% van af om extra dingen te doen. Na 1 jaar heeft hij dus nog 95% van het bedrag over. De groeifactor is dan 0, 95. 10 Na 10 jaar heeft hij nog: 375. 000 0, 95 = 224. 526 euro. Oefeningen 7 Een bedrijf maakte vorig jaar een winst van 2. 500. 000,-. De directie verwacht dit jaar een daling van 3, 5%. Hoe groot zal de winst zijn? 8 Bij een operatiepatiënt wordt 300 mg van een verdovende stof toegediend. Per half uur neemt de werking met 15% af. Hoeveel verdovende stof is er na 3 uur nog in zijn lichaam aanwezig?

12 Procenten 9 Dit jaar zijn op een school 375 eerstejaars gekomen. Vorig jaar waren er 450 nieuwe leerlingen. Met hoeveel % is het aantal eerstejaars afgenomen? 4 Berekenen van het percentage snijafval We kunnen het percentage snijafval berekenen door: 1. het verschil uit te rekenen tussen het totale oppervlak en het gebruikte oppervlak. 2. dat verschil te delen door het totale oppervlak en daarna te vermenigvuldigen met 100%. In formulevorm: totale oppervlakte gebruikte oppervlakte Percentage snijafval = 100 % totale oppervlakte Procenten ronden we af op maximaal twee cijfers. Vb. 8 25, 76% 26% 8, 12% 8, 1% 0, 0368% 0, 037% We kunnen ook een schatting maken van het percentage snijafval. Oefeningen 10 Voor het inbouwen van elektrische schakelingen gebruiken we meestal kunststof doosjes. Hiervoor wordt een plaatje kunststof met een dikte van 3 mm U-vormig gebogen. Voor een bepaalde schakeling moeten doosjes gemaakt worden. Hiervoor worden uit een plaat kunststof van 1 m bij 2 m plaatjes gezaagd van 10 cm bij 14 cm. De zaagsnede is 2 mm. a Schat hoeveel plaatjes er uit een plaat van 1 m bij 2 m gezaagd kunnen worden. b Geef een schatting van het percentage snijafval.

Procenten 13 c Bereken hoeveel kleine plaatjes we uit een grote plaat kunnen zagen. Bereken hiervan ook de totale oppervlakte. d Bereken het percentage snijafval en vergelijk het antwoord met de schatting. 11 Zie figuur. 3,5 m 3,5 m 2,4 m Figuur 2 De familie Huisman koopt 10 m vloerbedekking van 4 m breed. De kamers hebben afmetingen van respectievelijk 3, 5 m bij 3, 9 m, 3, 5 m bij 2, 7 m en 2, 5 m bij 2, 4 m. De overloop is 1, 2 m bij 3, 05 m. Zie figuur 2. a Neem de tekening over en zet er de overige maten bij. b Bereken de totale oppervlakte van de kamers en van de overloop. c Bereken de oppervlakte van de gekochte vloerbedekking. d Bereken het verschil tussen de antwoorden van b en c.

14 Procenten e Bereken het percentage snijafval. 12 In een kamer van 9, 35 m bij 4, 65 m moet een parketvloer gelegd worden. Rondom moet 2 cm vrij blijven omdat de vloer kan uitzetten. De stroken parket zijn 1200 mm bij 200 mm. Een pak bevat 6 stroken. We hoeven geen rekening te houden met het verschuiven van de stroken ten opzichte van elkaar. a Schat de oppervlakte van de vloer. b Geef een schatting van het aantal pakken parket dat nodig is. Schat hiervan ook de oppervlakte. c Schat het percentage snijafval. d Bereken de oppervlakte van de gelegde parketvloer. e Bereken de oppervlakte van 1 pak parket en hoeveel pakken er nodig zijn. f Bereken de oppervlakte van de hoeveelheid parket die gekocht is. g Bereken het percentage snijafval.

Procenten 15 13 Zie figuur. r 2 r 1 Figuur 3 In een metaalbedrijf worden stalen ringen geponst uit een staalband die 12 m lang en 25, 0 mm breed is. De buitendiameter van de ringen is 23, 0 mm; de diameter van het gat is 10 mm. Voor de ponssnede rekenen we 0, 5 mm. Voor de oppervlakte van een ring geldt de formule: A = π 2 r π r 2. Zie figuur 3. ring 2 1 a Hoeveel ringen kunnen er gemaakt worden? b Hoeveel snijafval is er? 14 Bij een elektromotor is het nuttig vermogen het deel van het totale vermogen dat gebruikt wordt om de motor te laten draaien. Door wrijving treden verliezen op, waardoor de motor warm wordt. Een elektromotor heeft een vermogen van 3000 W. Hiervan wordt 2775 W gebruikt om de motor te laten draaien. Bereken het verliespercentage. 15 Een houtbewerker moet een ronde tafelpoot maken met een lengte van 70 cm en een diameter van 65 mm. Hij gebruikt hiervoor een balk van 750 mm bij 68 mm bij 68 mm. Schat en bereken het percentage snijafval. 2 Voor de inhoud van een cilinder geldt de formule: V = π r h. cilinder

16 Procenten 16 Zie figuur. ø 30 mm ø 10 mm 107 mm 35 mm 142 mm Figuur 4 Een draaier moet een cilinder met een afgeknotte conische punt maken. Zie figuur 4. Het gestippelde gedeelte gaat eraf. Hij gebruikt hiervoor een stalen cilinder met een lengte van 160 mm en een diameter van 35 mm. Bereken het percentage snijafval. Benodigde formules: 2 Inhoud cilinder: V = π r h cilinder 1 2 Inhoud kegel: V = π r h kegel 3

Procenten 17 Antwoorden 1 2a b c d e f 1 1 10 ; 3 2 5 ; 1 3 10 ; 7 4 5 ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; 1 7 25 17 50 17 100 1 3 18 25 9 20 3a 160 b 956, 75 c 14,3% d 60% 4 2. 575. 000,- 5 44. 586, 95 6 5,6% 7 2. 412. 500,- 8 113 mg 9 16, 7% 10a - b - c 133 plaatjes met een totale oppervlakte van 1, 93 10 6 mm 2 d 3,5% 11a - b 32, 76 m 2 c 40 m 2 d 7, 24 m e 18% 2

18 Procenten 12a - b - c - 2 d 42, 9 m 2 e 1, 44 m, 30 pakken 2 f 43, 2 m g 0, 7% 13a 500 ringen b 44% 14 7, 5% 15 33% 16 45%

3 Talstelsels 1 Het 10-tallige of decimale stelsel In een advertentie wordt een bepaalde videokaart aangeboden voor 106 euro. De waarde wordt dus aangegeven met een getal ( 106 ) gevolgd door een eenheid (euro). Bij het aangeven van het getal maken we gebruik van een getalvoorstelling of talstelsel. In het dagelijks leven is het decimale talstelsel gebruikelijk. Programmeurs werken vaak met andere talstelsels, zoals het binaire, octale en hexadecimale talstelsel. Hier komen we later op terug. Talstelsels worden gekenmerkt door hun grondtal of radix. Het grondtal van het decimale talstelsel is 10. Niet alleen de grootte van de cijfers, die kunnen variëren van 0 tot en met 9, is van belang. Ook de plaats van het cijfer in het getal is belangrijk. De 1 heeft een veel grotere gewichtsfactor of groter gewicht dan de 6 in het getal 106. De 1 geeft immers het aantal honderdtallen aan en 6 het aantal eenheden. De gewichtsfactoren in een decimaal getal zijn opvolgende machten van 10. Omdat in het decimale talstelsel ieder cijfer een bepaalde gewichtsfactor heeft, spreken we van een gewogen talstelsel. Vb. 1 Schrijf 106 als een som van opvolgende machten van 10. Oplossing 2 1 0 106= 1 100 + 0 10 + 6 1= 1 10 + 0 10 + 6 10 Oefeningen 1 Schrijf de volgende getallen als een som van machten van 10. a 345123

20 Talstelsels b 95678 c 672348 d 457290 2 Het 2-tallige of binaire stelsel Vb. 2 Een ander gewogen talstelsel is het binaire of 2-tallige talstelsel dat gebruikt wordt door programmeurs. Het grondtal of de radix van het binaire talstelsel is 2. In het 2-tallige of binaire stelsel kennen we alleen de cijfers 0 en 1. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 2. Vaak geven we aan dat we met een binair getal te maken hebben door er een procentteken voor te zetten. %1101 betekent dus 1101 in het 2-tallige stelsel. Schrijf %1011011011 als decimaal getal. Oplossing Het is handig om eerst boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 te 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 zetten: % 1011011010. We kunnen dan eenvoudig bij elk cijfer de bijbehorende macht opschrijven: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 % 1011011010 = 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 4 3 2 1 0 +1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 %1011011011 = 512 + 128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 731. Oefeningen 2 Schrijf de volgende binaire getallen als decimaal getal. a %1000110

Talstelsels 21 b %1110000 c %1010101 d %1000000 e %1111111 f %1100001 Vervolgens gaan we een decimaal getal omzetten naar een binair getal. We gebruiken daarvoor de deelmethode. Vb. 3 Schrijf 312 als binair getal. Oplossing We delen het om te zetten decimaal getal door 2. Dat levert een uitkomst (gedeelte voor de komma) en een rest (gedeelte na de komma vermenigvuldigd met 2). 312 2 = 156, 0 uitkomst 156 rest 0 2 = 0 De uitkomst delen we weer door 2, dat levert weer een uitkomst en een tweede rest op. We herhalen dat delen door 2 tot het gedeelte voor de komma nul is. De achtereenvolgende resten, in omgekeerde volgorde opgeschreven, bepalen dan het binaire getal: 312 2 = 156 rest 0 2 = 0 156 2 = 78 rest 0 2 = 0 78 2 = 39 rest 0 2 = 0 39 2 = 19, 5 rest 0, 5 2 = 1 19 2 = 9, 5 rest 0, 5 2 = 1 9 2 = 4, 5 rest 0, 5 2 = 1

22 Talstelsels 4 2 = 2 rest 0 2 = 0 2 2 = 1 rest 0 2 = 0 1 2 = 0, 5 rest 0, 5 2 = 1 Nu schrijven we de achtereenvolgende resten op. We doen dat van beneden naar boven, dus in omgekeerde volgorde: 312 = % 100111000. Oefeningen 3 Schrijf de volgende decimale getallen als binair getal. a 800 b 754 c 72 d 218 e 576 f 777 3 Het 8-tallige of octale stelsel Een volgende gewogen talstelsel is het octale of 8-tallige talstelsel dat gebruikt wordt bij het programmeren van PLC s. Het grondtal of de radix van het octale talstelsel is 8. In het octale stelsel werken we met de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 8.

Talstelsels 23 We geven aan dat we met een octaal getal te maken hebben door er een hekjesteken voor te zetten. # 3072 betekent dus 3072 in het 8-tallige stelsel. Vb. 4 Schrijf het octale getal # 364 als decimaal getal. Oplossing 2 1 0 Eerst schrijven we boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 : # 36 4 zodat vervolgens 2 1 0 2 1 0 # 36 4 = 3 8 + 6 8 + 4 8 = 192 + 48 + 4 = 244. Oefeningen 4 Schrijf de volgende octale getallen als decimaal getal. a #3672 b #5423 c #165 d #624 e #311 f #777

24 Talstelsels Nu gaan we een decimaal getal omzetten naar een octaal getal. Ook hierbij gebruiken we de deelmethode. We moeten nu herhaaldelijk door 8 delen. Vb. 5 Schrijf 2347 als octaal getal. Oplossing 2347 8 = 293, 375 rest 0, 375 8 = 3 293 8 = 36, 625 rest 0, 625 8 = 5 36 8 = 4, 5 rest 0, 5 8 = 4 4 8 = 0, 5 rest 0, 5 8 = 4 De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 2347 = # 4453. Oefeningen 5 Schrijf de volgende decimale getallen als octaal getal. a 1833 b 749 c 822 d 3542 e 355 f 549

Talstelsels 25 4 Het 16-tallige of hexadecimale stelsel Computerprogrammeurs gebruiken dit stelsel om binaire getallen korter voor te stellen. Het grote nadeel van het binaire stelsel is namelijk dat grote getallen heel omvangrijk worden. Zo geldt bijvoorbeeld dat 12345678 = % 101111000110000101001110 (!!!). Dergelijke grote binaire getallen zijn natuurlijk niet handig om mee te werken. We zien hierna hoe we 12345678 in het hexadecimale stelsel als $BC614 E kunnen noteren. Dat is aanzienlijk compacter dan %101111000110000101001110. We noemen het hexadecimale stelsel ook wel een notatiestelsel. Het hexadecimale stelsel heeft 16 als grondtal. We hebben dus ook 16 symbolen nodig om zo n hexadecimaal getal te kunnen voorstellen. De 16 symbolen zijn de cijfers 0 tot en met 9 en de letters A tot en met F. De letters A tot en met F hebben daarbij de getalswaarde 10 tot en met 15. We geven aan dat we met een hexadecimaal getal te maken hebben door er een dollarteken voor te zetten, zoals bij $BC614 E. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 16. Vb. 6 Schrijf $A5 D als decimaal getal. Oplossing 2 1 0 Eerst schrijven we boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 : $ A 5 D zodat vervolgens 2 1 0 2 1 0 $ A 5D = 10 16 + 5 16 + 13 16 $ A5D = 2560 + 80 + 13 = 2653. Oefeningen 6 Schrijf de volgende hexadecimale getallen als decimaal getal. a $F1C b $19E c $BCD d $1C3F

26 Talstelsels e $8E4 f $AAA Nu gaan we een decimaal getal omzetten naar een hexadecimaal getal. Ook hiervoor gebruiken we weer de deelmethode. We moeten nu herhaaldelijk door 16 delen. Vb. 7 Schrijf 2687 als hexadecimaal getal. Oplossing 2687 16 = 167, 9375 rest 0, 9375 16 = 15 F 167 16 = 10, 4375 rest 0, 4375 16 = 7 7 10 16 = 0, 625 rest 0, 625 16 = 10 A De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 2687 = $A7F Oefeningen 7 Schrijf de volgende decimale getallen als hexadecimaal getal. a 822 b 1754 c 672 d 2218 e 3576

Talstelsels 27 f 712 Het omzetten van een binair getal in het hexadecimale talstelsel is eenvoudig. Vb. 8 Zet het binaire getal %1001010011010 om in het hexadecimale stelsel. Oplossing We verdelen het binaire getal, achteraan te beginnen, in groepjes van 4. Het voorste groepje vullen we eventueel aan met nullen: % 0001 0010 1001 1010 Elk groepje zetten we afzonderlijk om naar het hexadecimale stelsel met behulp van de volgende omzettingstabel. Zie tabel 1. Dec Bin Hex 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Tabel 1 % 0001 0010 1001 1010 1 2 9 A dus % 1001010011010 = $ 129A

28 Talstelsels Oefeningen 8 Zet de volgende binaire getallen om in het hexadecimale stelsel. a %100100011 b %1110010101 c %100001111 d %10010101001 e %11110000101 f %11100101001 Het omzetten van een hexadecimaal getal in het binaire talstelsel gaat op de omgekeerde manier. Vb. 9 Zet het hexadecimale getal $3AB 7 om in het binaire stelsel. Oplossing Zet elk afzonderlijk hexadecimaal cijfer met de tabel om een groepje van 4 binaire cijfers. $ 3 A B 7 0011 1010 1011 0111 dus $ 3AB 7 = % 11101010110111 (de voorloopnullen laten we meestal weg).

Talstelsels 29 Oefeningen 9 Zet de volgende hexadecimale getallen om in het binaire talstelsel. a $58D3 b $B56F c $29C3 d $BB4F e $72CF f $60C3! Omzetten van grote decimale getallen in het binaire stelsel Met de deelmethode moeten we herhaaldelijk door twee delen, maar dat kan voor grote getallen wel heel erg lang duren. Sneller is de methode om het decimale getal eerst in het hexadecimale stelsel om te zetten. Dat vereist aanzienlijk minder delingen. Het omzetten van hexadecimaal in binair kan dan weer eenvoudig. Zie tabel 1. Als we veel getallen in een ander stelsel moeten omzetten, kunnen we programmeerbare rekenmachines gebruiken. Daarin zetten we dan een omrekeningsprogramma. Ook kennen we virtuele rekenmachines: computerprogramma s waarmee we een rekenmachine op het beeldscherm simuleren. De meest bekende is de standaardrekenmachine in Windows. Als voorbeeld gaan we $4A8D omzetten in het octale stelsel.

30 Talstelsels We kiezen de wetenschappelijke stand, klikken op Hex en typen 4A8D in. Zie figuur 1. Figuur 1 Klikken op Oct levert het getal het octale talstelsel. Zie figuur 2. Figuur 2 Dus $ 4A8D = # 45215. 5 Het optellen van binaire getallen Net als in het decimale talstelsel kunnen we ook in andere talstelsels optellen. We bespreken nu het optellen van binaire getallen. In het decimale stelsel gaat dit als volgt: 1 1 1 5 6 7 7 1 8 1 2 8 5 + onthouden In het binaire stelsel zullen we nu een aantal getallen gaan optellen. Voor de duidelijkheid laten we tijdelijk het % -teken weg. 1 + 1 = 10 % 1 + % 1 = % 10 want 1 + 1 = 2 ( ) 11 + 1 = 100 100 + 1 = 101 101 + 1 = 110 110 + 1 = 111 111 + 1 = 1000 Het is eenvoudiger om de getallen onder elkaar te zetten en daarna op te tellen.

Talstelsels 31 Vb. 10 Tel op in het binaire stelsel en schrijf de berekening op: 11011 + 10111. Oplossing 1 1 1 1 1 11011 10111 + 110010 Oefeningen 10 Tel op in het binaire stelsel en schrijf de berekening op. a 1101 + 111011 b 11111 + 10011 c 11011 + 11101 d 10001 + 10111 e 1111 + 1111 f 110101 + 101101 6 Het aftrekken van binaire getallen Aftrekken is de inverse of omgekeerde bewerking van het optellen. Bij het binaire aftrekken bepalen we eerst de inverse van het getal dat we moeten aftrekken. De inverse a van een binair getal a krijgen we door alle nullen en enen te verwisselen. Vervolgens tellen we het inverse getal op. Let op: het onderste getal heeft evenveel cijfers als het bovenste getal. Dit kunnen we doen door nullen voor dit

32 Talstelsels getal te plaatsen. Als laatste stap halen we de voorste 1 weg en tellen deze op bij het restant van de uitkomst. Dus: Stappenplan Stap 1 Bepaal de inverse van het onderste (af te trekken) getal. Stap 2 Tel de inverse op bij het eerste getal. Stap 3 Haal de voorste 1 weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst. Vb. 11 Bereken in het binaire stelsel en schrijf de berekening op: 11001100 0101011 Oplossing Stappenplan Stap 1 Bepaal de inverse van het onderste getal. 01001011 = 10110100 Stap 2 Tel de inverse op bij het eerste getal. 1 1 1 1 1 1 1 1001100 10110100 + 110000000 Stap 3 Haal de voorste 1 weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst. 10000001 Oefeningen 11 Bereken in het binaire stelsel en schrijf de berekening op. a 10011 10001 b 11001 1110

Talstelsels 33 c 11110 1101 d 11111 10010 e 10000 1011 f 101111 11001

34 Talstelsels Antwoorden 5 4 3 2 1 0 1a 3 10 + 4 10 + 5 10 + 1 10 + 2 10 + 3 10 4 3 2 1 0 b 9 10 + 5 10 + 6 10 + 7 10 + 8 10 5 4 3 2 1 0 c 6 10 + 7 10 + 2 10 + 3 10 + 4 10 + 8 10 5 4 3 2 1 0 d 4 10 + 5 10 + 7 10 + 2 10 + 9 10 + 0 10 2a 70 b 112 c 85 d 64 e 127 f 97 3a %1100100000 b %1011110010 c %1001000 d %11011010 e %1001000000 f %1100001001 4a 1978 b 2835 c 117 d 404 e 201 f 511 5a #3451 b #1355 c #1466 d #6726 e #543 f #1045 6a 3868 b 414 c 3021 d 7231 e 2276 f 2730

Talstelsels 35 7a $336 b $6DA c $2A0 d $8AA e $DF8 f $2C8 8a $123 b $395 c $10F d $4A9 e $785 f $729 9a %101100011010011 b %1011010101101111 c %10100111000011 d %1011101101001111 e %111001011001111 f %110000011000011 10a 1001000 b 110010 c 111000 d 101000 e 11110 f 1100010 11a 10 b 1011 c 10001 d 1101 e 101 f 10110

4 Rekenen met complexe getallen 1 Complex getal als vector In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de getallen die we al kennen. Normaal gesproken rekenen we met gehele getallen, breuken of getallen met daarin een komma. Dit noemen we reële getallen. Nu gaan we rekenen met complexe getallen. Bij een complex getal onderscheiden we naast het reële deel een zogenaamd imaginair deel. Dat imaginaire deel herkennen we aan de aanwezigheid van de letter i van imaginair. Voorbeelden van complexe getallen zijn 2+ i 3 en 5+ i 2. Omdat echter in de elektrotechniek de letter i al gereserveerd is als symbool voor stroom, gebruiken we meestal in de techniek de letter j. We schrijven dan 2+ j 3 en 5+ j 2. Een complex getal kunnen we als een vectorvoorstelling weergegeven. We noteren dit als v = a + j b waarbij a het reële deel en b het imaginaire deel van het getal is. We kunnen dit tekenen in een assenstelsel met een reële as en een imaginaire as. De imaginaire as noemen we ook wel de j-as. Zie figuur 1. Im-as b v 0 ϕ a Re-as Figuur 1 Bij toepassingen van de complexe rekenwijze zijn de lengte v en de hoek ϕ met de positieve reële as van belang. De lengte noemen we ook de modulus van het complexe getal. De hoek ϕ noemen we vaak het argument van het complexe getal. Voor ϕ geldt dat 180 < ϕ 180, dat wil zeggen dat we ϕ noteren als een hoek tussen 180 en 180.

Rekenen met complexe getallen 37 Vb. 1 Gegeven Het complex getal v = 3 + j 2. Gevraagd a. Teken v in een rechthoekig assenstelsel. b. Bereken de lengte van v. c. Bereken tan ϕ. d. Bereken de hoek ϕ. Oplossing a. j-as 3 2 v = 3 + j2 1 ϕ -3-2 -1 0 1 2 3 4-1 getal-as -2-3 Figuur 2 b. De lengte van v berekenen we met de stelling van Pythagoras en noteren we als v. v 2 2 = 3 + 2 v = 13 = 3, 61 overstaande zijde 2 c. tan ϕ = = = 0, 667 aanliggende zijde 3 d. ϕ = 33, 7 of ϕ = 180 + 33, 7 = 213, 7 Uit de tekening zien we dat ϕ = 33, 7.! Om ϕ te bepalen, moeten we altijd weten in welk kwadrant de vector ligt. Voor bijvoorbeeld v = 3 j 2 (derde kwadrant) geldt namelijk 2 dat de tangens ook 0, 667 bedraagt (tan ϕ = = 0, 667 ). 3 Dus ϕ = 33, 7 of ϕ = 180 + 33, 7 = 213, 7. We zien met een tekening dat we hier voor ϕ = 213, 7 moeten kiezen. Omdat voor het argument geldt dat 180 < ϕ 180 noteren we ϕ = 213, 7 360 = 146, 7.

38 Rekenen met complexe getallen! We kunnen v en ϕ ook eenvoudig met onze rekenmachine bepalen: Op de CASIO fx-82: POL( [3], [2] ) levert 3, 61 waarna RCL F de hoek 33, 7 geeft. Op de TI-30X: 2nd kies R Pr [3], (-) [2] ) geeft 3,61 waarna het intypen van 2nd kies R P Θ [3], (-) [2] ) de hoek 33, 7 levert. Het probleem in de vorige opmerking doet zich met deze methode niet voor. Bij v = 3 j 2 volgt: POL( (-) [3], (-) [2] ) levert 3, 61 waarna RCL F de hoek 146,3 geeft. Oefeningen 1 Bereken de modulus v en het argument ϕ van de volgende complexe getallen (maak eventueel een tekening). a v = 3 + j 4 b v = 3 j 4 c v = j 5 d v = 8 j 5

Rekenen met complexe getallen 39 e v = j 6 f v = 36 + j 15 g v = 5 + j 12 2 Toepassing van complexe getallen in de elektrotechniek De totale weerstand of ook wel de impedantie z van een spoel of een condensator kunnen we weergeven met een vectorvoorstelling. X L (Ω) b z = a + jb X C (Ω) ϕ a R (Ω) ϕ a R (Ω) -b z = a - jb Figuur a 3a bfiguur 3b

40 Rekenen met complexe getallen We zien een weerstandsvoorstelling van een spoel getekend. Zie figuur 3a. Op de reële as is de ohmse weerstand R van de spoel uitgezet. Op de imaginaire as vinden we de inductieve weerstand X L. z = a + j b is de totale weerstand of de impedantie van de spoel. Hetzelfde is gedaan voor een condensator. Zie figuur 3b. Op de imaginaire as is nu de capacitieve weerstand X C uitgezet. Op de reële as vinden we de ohmse weerstand R van de condensator. z = a j b stelt de impedantie van de condensator voor. Vb. 2 Gegeven Een spoel heeft een ohmse weerstand R = 15 Ω en een inductieve weerstand X L = 20 Ω. Gevraagd a. Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b. Bereken de grootte van z. c. Bereken tan ϕ. d. Bereken de hoek ϕ. Oplossing a. z = 15 + j 20 2 2 b. z = 15 + 20 = 625 = 25 Ω X 20 Ω c. tan ϕ = tan ϕ = = 1, 33 R 15 Ω d. ϕ = 53, 1 of ϕ = 53, 1 + 180 = 233, 1 Met een tekening volgt ϕ = 53, 1. Oefeningen 2 Een spoel heeft een ohmse weerstand R = 9 Ω en een inductieve weerstand X L = 12 Ω. a Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b Bereken de grootte van z.

Rekenen met complexe getallen 41 c Bereken tan ϕ. d Bereken de hoek ϕ. 3 Een condensator heeft een ohmse weerstand R = 6 Ω en een capacitieve weerstand X C = 8 Ω. a Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b Bereken de grootte van z. c Bereken tan ϕ. d Bereken de hoek ϕ. 4 Een spoel heeft een impedantie z = 7 + j 24. a Hoe groot is de ohmse weerstand?

42 Rekenen met complexe getallen b Hoe groot is de inductieve weerstand? c Bereken de grootte van z. d Bereken tan ϕ. e Bereken de hoek ϕ. 5 Een impedantie Z is gegeven als: z = 16 + j 8 a Hoe groot is de ohmse weerstand? b Hoe groot is de inductieve weerstand? c Bereken de grootte van z.

Rekenen met complexe getallen 43 d Bereken tan ϕ. e Bereken de hoek ϕ. 3 Rekenen met complexe getallen Het is ook mogelijk dat de lengte van een vector en de hoek met de reële as bekend zijn. We kunnen door gebruik te maken van de sinus en de cosinus de reële en de imaginaire component berekenen. Een assenstelsel is getekend met hierin een vectorvoorstelling. Zie figuur 4. Im-as b v 0 ϕ a Re-as Figuur 4 a b Er geldt: cos ϕ = a = v cos ϕ en sin ϕ = b = v sin ϕ v v

44 Rekenen met complexe getallen Vb. 3 Gegeven Een complex getal waarvoor geldt: v = 13 en ϕ = 62, 56. Gevraagd a. De grootte van het imaginaire en het reële deel. b. Noteer v als een complex getal. Oplossing a. Imaginair deel: b = v sin ϕ b = 13 sin 62, 56 = 11, 6 Reële deel: a = v cos ϕ a = 13 cos 63, 56 = 6 b. v = 6 + j 11, 6!! We kunnen de grootte van het imaginaire en het reële deel ook eenvoudig met onze rekenmachine bepalen: Op de CASIO fx-82: SHIFT POL( [13], [61.56] ) levert de waarde van a = 6 waarna RCL F de waarde van b = 11, 5 geeft. Op de TI-30X: 2nd kies P Rx [13], [62.56] ) geeft a = 6 waarna het intypen van 2nd kies P Ry [13], [62.56] ) de waarde van b = 11, 5 levert. De aanduidingen op onze rekenmachine, P = Pol = Polair en R = Rec = Rectangular, slaan op het noteren van vectoren in poolcoördinaten ( v en ϕ ) of in rechthoekscoördinaten (a en b). Op elke wetenschappelijke rekenmachine kunnen we deze twee notaties zoals we zien eenvoudig in elkaar omrekenen. Oefeningen 6 Voor een complex getal geldt: v = 50 en ϕ = 16, 26. Bereken: a De grootte van het imaginaire en het reële deel. b Noteer v als een complex getal.

Rekenen met complexe getallen 45 7 Voor een complex getal geldt: v = 20 en ϕ = 53, 13. Bereken: a De grootte van het imaginaire en het reële deel. b Noteer v als een complex getal. 8 Een spoel heeft een impedantie ϕ t ; ϕ = 22, 62. a Bereken R. b Bereken X L. c Noteer z als complex getal. 9 Een spoel heeft een impedantie van 23 Ω; de hoek is 29, 56. a Bereken R.

46 Rekenen met complexe getallen b Bereken X L. c Noteer z als complex getal. 10 Een condensator heeft een impedantie j 7 ; ϕ = 270. a Bereken R. b Bereken X C. c Noteer z als complex getal.

Rekenen met complexe getallen 47 Vb. 4 Gegeven z 1 = 2 + j en z 2 = 2 + j 3 Gevraagd a. z1 + z2 b. z1 z2 Oplossing a. 2 + j 1 2 + j 3 + dus z 1 + z 2 = 4 + j 4 4 + j 4 b. 2 + j 1 2 + j 3 0 j 2 dus z1 z2 = j 2 Oefeningen 11 Bereken z1 + z2 als: a z 1 = 2 j 3 en z 2 = 3 + j 2 b z 1 = 2 j en z 2 = 2 j c z 1 = j 3 en z 2 = 2 d z 1 = 5 j 7 en z 2 = 5 j

48 Rekenen met complexe getallen 12 Bereken z1 z2 als: a z 1 = 2 + j 3 en z 2 = 3 j 2 b z 1 = 4 j en z 2 = 3 j 4 c z 1 = 3 en z 2 = j 2 d z 1 = 2 + j en z 2 = 2 j 3 4 Complexe rekenwijze bij Serieschakeling Oefeningen 13 Een ohmse weerstand R 1 = 10 Ω wordt in serie geschakeld met een spoel. Deze spoel heeft een inducieve weerstand X L = 8 Ω en een ohmse weerstand R 2 = 6 Ω. Zie figuur 5. X L = 80 Ω R 1 = 10 Ω R 2 = 6 Ω Figuur 5

Rekenen met complexe getallen 49 a Schrijf de impedantie z 1 van de weerstand R 1 als complex getal. b Schrijf de impedantie z 2 van de spoel als complex getal. c Bereken zt = z1 + z2. d Bereken z t. e Bereken tan ϕ t en ϕ t. 14 Een condensator met een capacitieve weerstand X C = 7 Ω wordt in serie geschakeld met een ohmse weerstand R = 11 Ω. Zie figuur 6. X C = 7 Ω R = 11 Ω Figuur 6 a Schrijf de impedantie z 1 van de condensator als complex getal.

50 Rekenen met complexe getallen b Schrijf de impedantie z 2 van de ohmse weerstand als complex getal. c Bereken zt = z1 + z2. d Bereken z t. e Bereken tan ϕ t en ϕ t. 15 Een spoel met een ohmse weerstand R 1 = 20 Ω en een inductieve weerstand X L = 40 Ω worden in serie geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 30 Ω. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken tan ϕ t en ϕ t.

Rekenen met complexe getallen 51 16 Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 18 Ω wordt in serie geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 15 Ω. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken ϕ t. 17 Een serieschakeling bestaat uit een weerstand van 50 Ω en een spoel met z = 50 Ω en cos ϕ = 0, 8. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t.

52 Rekenen met complexe getallen 18 Drie impedanties zijn in serie geschakeld: z 1 = ( 8 + j 3) Ω, z 2 = 20 Ω en z 3 = j 8 Ω. a Bereken zt = z1 + z2 + z 3. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 5 Rekenen met het getal j We zien een assenstelsel met een reële en een imaginaire as getekend. Zie figuur 7. Op het positieve deel van de reële as bevindt zich een vector v = 1. Im-as j j j -1 v 1 Re-as j j Figuur 7 -j Als we de vector met j vermenigvuldigen, dan draait de vector 90 linksom: v = 1 j = j.

Rekenen met complexe getallen 53 Als we de vector nog een keer met j vermenigvuldigen, dan draait de vector weer 90 linksom: v = j j = j 2 We zien dat we dan uitkomen bij 1. Zie figuur 6. Dus: j 2 = 1 Als we de vector nog een keer met j vermenigvuldigen, dan draait de vector weer 90 linksom: v = 1 j = j Nu vermenigvuldigen we voor de laatste keer met j, dan draait de vector nogmaals 90 linksom: v = j j = j 2 = ( 1) = 1 Met behulp van de gelijkheid j 2 = 1 kunnen we nu complexe getallen vermenigvuldigen. Vb. 5 Bereken ( 2 + j 3)( 5 j 6). Oplossing Stappenplan Stap 1 Maak een vermenigvuldigingstabel. maal 2 j 3 5 10 j 15 j 6 j 12 j 2 18 Tabel 1 Stap 2 Bereken j 2 18 2 2 j 18 = ( j 18) = ( 18) = 18. Stap 3 Tel de reële delen en de imaginaire delen bij elkaar op. Reële delen: 10 + 18 = 28 Imaginaire delen: j 15 j 12 = j 3 Dus: ( 2 + j 3)( 5 j 6) = 28 + j 3

54 Rekenen met complexe getallen Oefeningen 19 Bereken: a ( 1 + j 3)( 5 j 3) b ( 7 j 2)( 2 j 3) c ( 5 + j 2)( 5 j 2) d ( 1 j)( 2 + j 3) e ( 2 j 4)( 1 + j 5) f ( 1 j)( 1 + j) g ( 1 j 2)( 1 j 2) h ( 4 j 6)( 2 + j) i ( 3 + j 8)( 3 j 8) j ( 2 j 5)( 2 + j 5)

Rekenen met complexe getallen 55 Als we een term hebben met een complex getal in de noemer van een breuk, moet dit complex getal weggewerkt worden uit de noemer. Hierbij maken we gebruik van de zogenoemde complex toegevoegde waarde. De complex toegevoegde waarde van v = a + j b is v = a j b. De reële gedeelten van v en v zijn dus gelijk en de imaginaire gedeelten van v en v zijn tegengesteld. Zoals we bijvoorbeeld bij oefening 19c hebben gezien is het product van een complex getal en zijn toegevoegd complexe waarde reëel: 2 2 v v = ( a + j b)( a j b) = a + b. Teller en noemer vermenigvuldigen we daarom met de complex toegevoegde van de noemer. Vb. 6 1 Herleid: 2 j 3 1 1 2 + j 3 Oplossing: = 2 j 3 2 j 3 2 + j 3 We werken eerst de teller uit: maal 2 j 3 1 2 j 3 Tabel 12 Dus: 1 ( 2 + j 3) = 2 + j 3 Daarna werken we de noemer uit: maal 2 j 3 2 4 j 6 j 3 j 6 j 2 9 Tabel 13 2 2 Uit j 9 = ( j 9) = ( 9) = 9 volgt: ( 2 j 3)( 2 + j 3) = 4 + 9 = 13 1 2 3 2 3 = + j j = + = 0, 15 + j 0, 23 2 j 3 13 13 13! Het uitwerken van de noemer kan zoals hiervoor met een vermenigvuldigingstabel. Het is eenvoudiger om gebruik te maken van de eigenschap 2 v v = ( a + j b)( a j b) = a + b. 2 2 2 In dit geval volgt: ( 2 j 3)( 2 + j 3) = 2 + 3 = 13

56 Rekenen met complexe getallen Oefeningen 20 Herleid: 5 a 1 + j 3 b 1 1 j c 10 2 j d 3 1 + j 2 e j 3 j 4 f 5 j 4 4 + j 5 g 2 j 2 + j

Rekenen met complexe getallen 57 h 1 + j 2 1 j 2 i 4 1 j 2 j 1 1 + j 6 Complexe rekenwijze bij parallelschakeling De complexe rekenwijze kunnen we ook gebruiken bij parallelschakeling van weerstanden, spoelen en condensatoren. Er is een parallelschakeling getekend van een ohmse weerstand R = 10 Ω en een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 4 Ω. Zie figuur 8. R = 10 Ω X L = 4 Ω Figuur 8 De totale impedantie z t van deze schakeling berekenen we met de formule: z t = z z z 1 2 + z 1 2

58 Rekenen met complexe getallen Vb. 7 Gegeven De parallelschakeling. Zie figuur 8. Gevraagd Bereken: z t z t cos ϕ t en ϕ t Oplossing a. z z = z z + z 10 j 4 j 40 j 40 10 j 4 = z = z = 10 + j 4 10 + j 4 10 + j 4 10 j 4 t 1 2 t t 1 2 We werken eerst de teller uit: maal 10 j 4 j 40 j 400 j 2 160 Tabel 24 2 2 Uit j 160 = ( j 160) = ( 160) = 160 volgt: j 40 ( 10 j 4) = j 400 + 160 = 160 + j 400 Daarna werken we de noemer uit: 2 2 ( 10 j 4)( 10 + j 4) = 10 + 4 = 100 + 16 = 116 j 40 160 + j 400 160 j Dus = = + 400 = 1, 38 + j 3, 45 10 + j 4 116 116 116 dus z t = 1, 38 + j 3, 45 2 2 b. z t = 1, 38 + 3, 45 = 3, 67 Ω 1, 38 c. cos ϕ t = = 0, 376, dus ϕ t = 67, 9 3, 67

Rekenen met complexe getallen 59 Oefeningen 21 Een weerstand R = 8 Ω en een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 6 Ω worden parallel geschakeld. Zie figuur 9. R = 8 Ω X L = 6 Ω Figuur 9 a Bereken: z t b z t c cos ϕ t en ϕ t 22 Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 12 Ω en een weerstand R = 9 Ω zijn parallel geschakeld. Bereken: a z t b z t

60 Rekenen met complexe getallen c cos ϕ t en ϕ t 23 Een spoel met een ohmse weerstand R = 8 Ω en een inductieve weerstand X L = 6 Ω wordt parallel geschakeld met een weerstand R = 20 Ω. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 24 Een spoel met een ohmse weerstand R = 4 Ω en een inductieve weerstand X L = 3 Ω wordt parallel geschakeld met een spoel met een ohmse weerstand R = 5 Ω en met een inductieve weerstand X L = 4 Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de weerstand op. a Bereken z t. b Bereken z t.

Rekenen met complexe getallen 61 c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 25 Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 12 Ω wordt parallel geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 10 Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de condensator op. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 26 Een weerstand R = 16Ω wordt parallel geschakeld met een capacitieve weerstand X C = 12Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de weerstand op. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t.

62 Rekenen met complexe getallen Antwoorden 1a 5, 126, 9 b 5, 53, 1 c 5, 90 d 9, 4, 32 e 6, 90 f 39, 22, 6 g 13, 67, 4 2a 9 + j 12 b 15 Ω c 1, 33 d 53, 1 3a 6 j 8 b 10 Ω c 1, 33 d 53, 1 4a 7 Ω b 24 Ω c 25 Ω d 3, 43 e 73, 7 5a 16 Ω b 8 Ω c 17, 9 Ω d 0, 5 e 26, 6 6a 14 en 48 b v = 48 + j 14 7a 16 en 12 b v = 12 + j 16 8a 36 Ω b 15 Ω c 36 + j 15 9a 20 Ω b 11, 3 Ω c 20 + j 11, 3

Rekenen met complexe getallen 63 10a 0 Ω b 18 Ω c j 18 11a 5 j b 4 j 2 c 3 + j 3 d j 8 12a 1 + j 5 b 1 + j 3 c 3 j 2 d j 4 13a 10 b 6 + j 8 c 16 + j 8 d 17, 9 Ω e 0, 5 en 26, 6 14a j 7 b 11 c 11 j 7 d 13 Ω e 0, 636 en 32, 5 15a 20 + j 10 b 22, 4 Ω c 0, 5 en 26, 6 16a j 3 b 3 Ω c 90 17a 90 + j 30 b 94, 9 Ω c 0, 949 en 18, 4 18a 28 j 5 b 28, 4 Ω c 0, 984 en 10, 1

64 Rekenen met complexe getallen 19a 14 + j 12 b 20 j 25 c 29 d 5 + j e 22 j 6 f 2 g 3 j 4 h 2 + j 16 i 73 j 29 20a 0, 5 j 1, 5 b 0, 5 + j 0, 5 c 4 + j 2 d 0, 6 j 1, 2 e 0, 16 + j 0, 12 f 0, 08 j 0, 88 g 0, 6 j 0, 8 h 0, 8 + j 0, 8 i 0, 8 + j 1, 6 j 0, 5 j 0, 5 21a 2, 88 + j 3, 84 b 4, 8 Ω c 0, 6 en 53, 1 22a 5, 76 + j 4, 32 b 7, 2 Ω c 0, 8 en 36, 9 23a 20 en 8 + j 6, z t = 2, 68 + j 2, 93 b 3, 97 Ω c 0, 675 en 47, 6 24a 4 + j 3 en 5 + j 4, z t = 2, 22 + j 1, 72 b 2, 81 Ω c 0, 791 en 37, 8 25a j 12 en j 10, z t = j 60 b 60 Ω c 0 en 270 26a 16 en j 12, z t = 5, 76 j 7, 68 b 9, 6 Ω c 0, 6 en 53, 1