Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde

2

Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip vector 1.1.1.1 Definitie Is het puntenkoppel (A, B ) het beeld van het puntenkoppel (A, B) onder een verschuiving t v dan zijn ze de vertegenwoordigers van dezelfde vector. Omgekeerd, als twee puntenkoppels dezelfde vector voorstellen dan is het ene puntenkoppel het beeld van het andere puntenkoppel onder een verschuiving. We kunnen schrijven ( ) v : t v (A, B) = (A, B ) AB = A B. Figuur 1.1: vector AB = A B 3

4 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.1.1.2 Een vector als verschil van twee plaatsvectoren Is t AO (B) = C (zie figuur 1.2) dan is de figuur OABC een parallellogram ofwel vallen de punten A, B en C langs eenzelfde rechte door O. Er geldt: Volgens de definitie van som van plaatsvectoren geldt AB = OC (1.1) OB = OA + OC OB OA = OC. (1.2) Uit 1.1 en 1.2 volgt dat AB = OB OA Figuur 1.2: vector AB = OC = OB OA 1.1.1.3 De formule van Chasles-Möbius Beschouwen we de driehoek ABC (zie figuur 1.3) dan geldt: AC + CB = ( OC OA) + ( OB OC) = OB OA = AB De formule AC + CB = AB is de formule van Chasles-Möbius. We zeggen dat we in de vector C tussenvoegen. AB het punt

1.1. HERHALING 5 Figuur 1.3: formule van Chasles Möbius 1.1.1.4 Coördinaat van een vector De coördinaat van de vector AB met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) is de coördinaat van de plaatsvector OC = AB. We mogen een vector gelijk stellen aan zijn coördinaat. AB = OC = OB OA = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) Tabel 1.1: teken de vector AB en bepaal zijn coördinaat met A( 2, 2) en B(3, 3)

6 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.1.2 Analytische uitdrukkingen in het affien vlak Richting van een rechte (l, m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a y (l 0) m l is de richtingscoëfficiënt van a ω is de richtingscoëfficiënt van a (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a Zijn A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) punten van een rechte a dan geldt a) AB is een richtingsvector van a. b) AB = OB OA = (x2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) is een stel richtingsgetallen van a. c) y 2 y 1 x 2 x 1 is de richtingscoëfficiënt van de rechte a op voorwaarde dat x 1 x 2. Vergelijking van een rechte Om een vergelijking op te stellen van een rechte zoeken we altijd eerst de vergelijking van de rechte door de oorsprong die de richting heeft van de gevraagde rechte. Vervolgens passen we een verschuiving toe met als vector de plaatsvector van een punt van de rechte. De rechte a is bepaald door een stel richtingsgetallen (l, m) en een punt P (x 1, y 1 ): a O : mx ly = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is m(x x 1 ) l(y y 1 ) = 0 De rechte a is bepaald door de richtingscoëfficiënt ω en een punt P (x 1, y 1 ). a O : y = ωx is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is (y y 1 ) = ω(x x 1 )

1.1. HERHALING 7 De rechte a gaat door (x 1, y 1 ) en is evenwijdig met b : ux + vy + w = 0. a O : ux + vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is u(x x 1 ) + v(y y 1 ) = 0 a = AB met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ): (x 2 x 1, y 2 y 1 ). is een stel richtingsgetallen van a; a O : (y 2 y 1 )x (x 2 x 1 )y = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De vergelijking van a is: (y 2 y 1 )(x x 1 ) (x 2 x 1 )(y y 1 ) = 0 x 1 x 2 y y1 = y 2 y 1 (x x 1 ) x 2 x 1 De rechte a is bepaald door zijn doorgangen p en q met resp. de x-as en de y-as. De vergelijking van a is x p + y q = 1. Bijzondere gevallen: 1. a y en A(x 1, y 1 ) a dan is de vergelijking van a: x = x 1 (y ontbreekt) 2. a x en A(x 1, y 1 ) a dan is de vergelijking van a: y = y 1 (x ontbreekt) De algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante ux + vy + w = 0 met (u, v) (0, 0). Daarin is de eenvoudige oplossing (v, u) van a 0 : ux + vy = 0 een stel richtingsgetallen van de rechte.

8 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK Voorbeelden: Tabel 1.2: teken de rechte AB met A( 2, 2) en B(4, 5) (kies x-as onderaan en de oorsprong in het midden) Stel een vergelijking op van de rechte AB van tabel 1.2. Oplossing: AB = (4, 5) ( 2, 2) = (6, 3) (2, 1) is een stel richtingsgetallen. a O : x 2 = y 1 x 2y = 0 is richtingsruimte van AB. AB is de verschuiving met vector OA( 2, 2) van a O : x + 2 2(y 2) = 0 x 2y + 6 = 0 Teken de rechte a met vergelijking 2x 3y + 12 = 0. Oplossing: Omdat 2 en 3 delers zijn van 12 is het handig de doorgangen te bepalen van de rechte met de x-as en de y-as. Daartoe brengen we de vergelijking in de gedaante x 6 + y 4 = 1 Teken nu de rechte in tabel 1.2. Hoe kan je gemakkelijk aan de hand van de vergelijkingen van de rechten AB en a van de tabel aantonen dat ze niet evenwijdig zijn. Oplossing: (1, 2) en (2, 3) zijn niet evenredig.

1.2. ORTHOGONALITEIT 9 1.2 Orthogonaliteit 1.2.1 Orthogonaliteit van richtingen Axioma s Orthogonaliteit van richtingen is een bijzondere relatie over de verzameling van de richtingen van de rechten van Π, genoteerd, waarvoor de volgende axioma s gelden: (ω 1 ) De relatie is antireflexief. Dit betekent dat geen enkele richting loodrecht staat op zichzelf. (ω 2 ) De relatie is symmetrisch. Dit betekent dat als een eerste richting loodrecht staat op een tweede richting, de tweede richting ook loodrecht staat op de eerste richting. (ω 3 ) Voor elke richting (a) bestaat juist één richting (b) die orthogonaal is met (a). 1.2.2 Loodlijnen Twee rechten van Π zijn loodlijnen als en slechts als hun richtingen orthogonaal zijn. Met symbolen: a b We vermelden nog de stellingen: STELLING 1.1 Is een rechte orthogonaal met één van twee parallelle rechten dan is ze ook orthogonaal met de andere rechte. Met symbolen: a b a a } = a b STELLING 1.2 Twee loodlijnen op eenzelfde rechte zijn evenwijdig. Met symbolen: a b a b } = b b STELLING 1.3 Door elk punt gaat juist één loodlijn op een rechte.

10 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK Figuur 1.4: loodlijnen - loodrechte projectie 1.2.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie) De loodrechte projectie van Π op een rechte a is de afbeelding van Π die met elk punt P van Π het voetpunt van de loodlijn door P op a laat corresponderen. Opmerking: Volgens stelling 1.2 is de loodrechte projectie van het vlak Π op een rechte van Π een parallelprojectie. 1.2.4 Orthogonaliteit van vectoren Twee vectoren zijn orthogonale vectoren als en slechts als hun richtingen orthogonaal zijn. We noteren: v 1 v 2 Afspraak: De nulvector is orthogonaal met elke vector.

1.3. AFSTAND EN SCALAIR PRODUCT 11 1.3 Afstand en scalair product 1.3.1 Afstand tussen twee punten norm van een vector Om tot het begrip afstand tussen twee punten te komen zijn er in principe axioma s vereist, de zogenaamde axioma s van congruente puntenkoppels. We beschouwen een vector e o van een rechte a O door de oorsprong en geven die een lengte 1. Elke andere vector v = AB evenwijdig met a O is een veelvoud van e. AB = v = r e We definiëren dan de absolute waarde van dat veelvoud als de afstand tussen de punten A en B. d(a, B) = r met r = Op die manier krijgen alle vectoren parallel met die vectorrechte een lengte. De axioma s van congruente puntenkoppels maken het dan mogelijk het meten van lengten van lijnstukken van de richting van a O over te plaatsen naar alle richtingen van rechten in Π. De afstand tussen twee punten A en B wordt ook de lengte van het lijnstuk [AB] genoemd of ook nog de norm van de vector AB. We noteren: d(a, B) = AB = AB. Opmerkingen: AB e * De norm van een vector wordt ook lengte van de vector genoemd. * Een vector is de nulvector als en slechts als zijn norm gelijk is aan 0. Figuur 1.5: afstand tussen twee punten

12 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.3.2 Genormeerde vector van een vector De genormeerde vector van een vector, verschillend van de nulvector, is de eenheidsvector die men bekomt door de vector te delen door zijn norm of lengte. Met symbolen: Opmerkingen: v o = v v is de genormeerde vector van v Elke richting heeft steeds twee eenheidsvectoren als richtingsvectoren. De genormeerde vector van een vector is steeds de eenheidsvector met dezelfde zin van de vector en evenwijdig met die vector. De nulvector kan niet genormeerd worden. Figuur 1.6: genormeerde vector van een vector

1.3. AFSTAND EN SCALAIR PRODUCT 13 1.3.3 Scalair product van twee vectoren 1.3.3.1 Definitie v u = v u cos α waarbij α de hoek is tussen de twee vectoren v en u. Deze hoek kan scherp, recht of stomp zijn. Met je rekenmachine kan je zien dat de cosinus van een scherpe hoek positief is en van een stompe hoek negatief. cos(36 o ) = cos(180 o 36 o ) = cos 144 o = cos(165 o ) = cos(180 o 165 o ) = cos 15 o = cos(90 o ) = cos(0 o ) = Het scalair product is een reëel getal en uit de voorbeelden kunnen we het volgende afleiden. Het scalair product is positief als de vectoren een scherpe hoek insluiten, nul als ze een rechte hoek insluiten en negatief als ze een stompe hoek insluiten. De cosinussen van supplementaire hoeken zijn tegengesteld aan elkaar. Figuur 1.7: Scalair product van twee vectoren

14 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.3.3.2 Enkele beschouwingen bij het scalair product van twee vectoren Het scalair product en projectie van een vector op een rechte We stellen v = OA en u = OB. We noemen A de projectie van het punt A op de rechte OB en α de hoek tussen OA en OB. In de rechthoekige driehoek OAA geldt: 1. In geval α scherp is 2. In geval α stomp is cos α = OA OA OA = OA cos α cos(180 o α) = OA OA OA = OA cos α Met deze beschouwing kunnen we het scalair product nog op een andere manier schrijven. 1. In geval α scherp is 2. In geval α stomp is Besluit: OA OB = OA OB cos α = OB OA OA OB = OA OB cos α = OB OA Het scalair product van twee vectoren is gelijk aan lengte van de projectie van de eerste vector op de drager van de tweede vector vermenigvuldigd met de lengte van de tweede vector voorzien van een + of een - al naargelang de hoek tussen de vectoren scherp of stomp is. Hebben twee vectoren v en u dezelfde projectie op de drager van de vector w dan is DELTA 4B 1 p.31 nr.52 2.; p.33 nr.58. v w = u w.

1.3. AFSTAND EN SCALAIR PRODUCT 15 Figuur 1.8: Scalair product van twee vectoren a.d.v. de projectie van de ene vector op de drager van de andere - twee vectoren v en u met dezelfde projectie op de drager van w Het scalair product van twee eenheidsvectoren : e 1 e 2 = e 1 e 2 cosα = cosα Besluit voor de cosinus van een hoek De cosinus van een hoek tussen twee eenheidsvectoren is gelijk aan de lengte van de projectie van de eerste eenheidsvector op de rechte door de tweede eenheidsvector met een + of een - al naargelang de hoek tussen de twee vectoren scherp of stomp is. Figuur 1.9: Scalair product van twee eenheidsvectoren

16 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK We beschouwen de driehoek ABC. We beschouwen het scalair product van de vectoren AC en CB (twee opeenvolgende vectoren in de driehoek). De hoek tussen de vectoren AC = CD en CB is de supplementaire hoek van de hoek C van de driehoek ABC. AC CB = AC CB cos(180 o C) = AC CB cos C Figuur 1.10: Scalair product van twee opeenvolgende vectoren in een driehoek Het scalair product van twee evenwijdige vectoren Als twee vectoren parallel zijn dan is de ingesloten hoek ofwel de nulhoek ofwel de gestrekte hoek. Is α = 0 o dan is het scalair product Is α = 180 o dan is het scalair product v u = v u cos0 o = v u v u = v u cos180 o = v u Besluit: Het scalair product van twee evenwijdige vectoren is gelijk aan het product van hun lengten met een + of een - al naargelang de vectoren eenzelfde of een tegengestelde zin hebben. Bijzondere gevallen Het scalair product van een vector met zichzelf v v = v 2 = v v cos0 o = v 2 Besluit: Het kwadraat van een vector is gelijk aan het kwadraat van zijn lengte.

1.3. AFSTAND EN SCALAIR PRODUCT 17 Figuur 1.11: Scalair product van een vector met een evenwijdige eenheidsvector Het scalair product van een vector met een evenwijdige eenheidsvector 1. In geval v en e dezelfde zin hebben v e = v e = v 2. In geval v en e tegengestelde zin hebben v e = v e = v Deze beschouwing geeft ons de mogelijkheid de lengte van een vector te bepalen aan de hand van het scalair product van twee vectoren. 1. In geval v en e dezelfde zin hebben v = v e 2. In geval v en e tegengestelde zin hebben v = v e Als we niet weten hoe de zin van de eenheidsvector is t.o.v. de vector v dan kunnen we schrijven v = v e (1.3) Besluit: De lengte van een vector is gelijk aan de absolute waarde van het scalair product van de vector met een evenwijdige eenheidsvector.

18 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.3.3.3 Eigenschappen van het scalair product Commutativiteit Distributiviteit v u = u v v ( u + w) = v u + v w Merkwaardige producten ( v + u) ( v + u) = ( v + u) 2 = v 2 + u 2 + v u + u v Omdat het scalair product commutatief is geldt ( v + u) 2 = v 2 + u 2 + 2 v u ( v + u)( v u) = v 2 u 2 v u + u v = v 2 u 2 Figuur 1.12: illustratie van de distributiviteit van het scalair product, v wordt geprojecteerd op resp. u + w, u en w DELTA 4B 2 p.31 nr.52 1); p.30 nr.51

1.4. DE COSINUSREGEL IN EEN WILLEKEURIGE DRIEHOEK 19 1.4 De cosinusregel in een willekeurige driehoek Figuur 1.13: Cosinusregel in een willekeurige driehoek STELLING 1.4 Als in een driehoek een hoek stomp is dan is het kwadraat van de tegenoverliggende zijde groter dan de som van de kwadraten van de twee andere zijden. Als in een driehoek een hoek scherp is dan is het kwadraat van de tegenoverliggende zijde kleiner dan de som van de kwadraten van de twee andere zijden. Als in een driehoek een hoek recht is dan is het kwadraat van de tegenoverliggende zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden (stelling van Pythagoras). Bewijs: Beschouwen we de driehoek ABC dan geldt AB = AC + CB Als we beide leden kwadrateren dan verkrijgen we AB 2 = AC 2 + CB 2 + 2AC CB AB 2 = AC 2 + CB 2 2 AC CB cos C Stel c = AB, a = CB en b = AC dan kunnen we schrijven c 2 = b 2 + a 2 2ba cos C Dit is de cosinusregel in een willekeurige driehoek. Deze regel geeft ons een verband tussen de zijden van een willekeurige driehoek en één hoek.

20 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK Uit de cosinusregel volgt: als C > 90 o dan is cos C < 0 en er geldt AB 2 > AC 2 + CB 2 of c 2 > a 2 + b 2 want in het tweede lid van de cosinusregel laten we een positieve term vallen zodat het tweede lid kleiner wordt dan het eerste lid. als C < 90 o dan is cos C > 0 en er geldt AB 2 < AC 2 + CB 2 of c 2 < a 2 + b 2 want in het tweede lid van de cosinusregel laten we een negatieve term vallen zodat het tweede lid groter wordt dan het eerste lid. als C = 90 o dan is cos C = 0 en er geldt AB 2 = AC 2 + CB 2 of c 2 = a 2 + b 2. 1.4.1 Hoekberekening Tot nu toe beschikken we over twee manieren om een hoek te berekenen: Kennen we het scalair product van twee vectoren en hun lengten dan kunnen we de hoek tussen die vectoren berekenen. Uit de formule v u = v u cos α kunnen we de hoek α berekenen. cos α = v u v u. (1.4) Aangezien de cosinusregel een verband uitdrukt tussen de drie zijden van een driehoek en één hoek zullen we de cosinusregel gebruiken om een hoek van een driehoek te berekenen als de drie zijden gegeven zijn. Willen we de hoek C van een driehoek bepalen in functie van de lengten van de zijden dan gebruiken we de cosinusregel Hieruit volgt de hoek C: c 2 = b 2 + a 2 2ba cos C cos C = a2 + b 2 c 2. 2ab OPGAVEN 3 Bereken de stompe hoek in de driehoek waarvan de zijden 5, 4 en 7 als afmetingen hebben. 4 Als twee zijden van een driehoek een lengte 10 hebben, tussen welke waarden moet de derde zijde gelegen zijn opdat de driehoek een stompe hoek zou hebben. Bereken de stompe hoek in geval de derde zijde een lengte van 17 heeft.

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 21 1.5 Analytische uitdrukkingen in het euclidische vlak 1.5.1 Coördinatisering van het euclidisch vlak In het euclidisch vlak staan x-as en y-as loodrecht op elkaar. De ijken op x-as en y-as worden bepaald door resp. de eenheidsvectoren e 1 en e 2 gerepresenteerd vanuit de oorsprong. e 1 = e 2 = 1 Daaruit volgt e 1 2 = e 2 2 = 1 Omdat deze vectoren loodrecht op elkaar staan is hun scalair product gelijk aan 0. e 1 e 2 = 0 1.5.2 Het scalair product Zijn (l 1, m 1 ) en (l 2, m 2 ) de coördinaten van resp. de vectoren v 1 en v 2 dan kunnen we deze vectoren ontbinden in componenten, gelegen langs de x-as en de y-as. v 1 = l 1 e 1 + m 1 e 2 v 2 = l 2 e 1 + m 2 e 2 Steunend op de distributiviteit van het scalair product t.o.v. de som van vectoren kunnen we het scalair product van v 1 en v 2 berekenen. v 1 v 2 = (l 1 e 1 + m 1 e 2 )(l 2 e 1 + m 2 e 2 ) = l 1 l 2 e 2 1 + m 1 m 2 e 2 2 + l 1 m 2 e 1 e 2 + m 1 l 2 e 2 e 1 = l 1 l 2 + m 1 m 2 We onthouden de formule v 1 v 2 = (l 1, m 1 ) (l 2, m 2 ) l 1 l 2 + m 1 m 2 Bijzonder geval voor de lengte van een vector: Is v 1 = v 2 = v(l, m) dan is DELTA 4B 5 p.26 nr.43; p.27 nr.45-44 v 2 = v 2 = l 2 + m 2 v = l 2 + m 2.

22 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.3 De afstand tussen twee punten We beschouwen twee punten A en B met resp. coördinaten (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ) t.o.v. een orthonormale basis ( e 1, e 2 ). De afstand tussen de punten A en B is gelijk aan de norm van de vector AB. De vector AB heeft coördinaat (x2 x 1, y 2 y 1 ). d(a, B) = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Dit is ook onmiddellijk af te leiden uit de stelling van Pythagoras (zie figuur 1.3). Tabel 1.3: de afstand tussen 2 punten OPGAVEN 6 Gegeven de punten A en B. Bepaal de afstand tussen de punten A en B. a. A(1, 1) en B(0, 0) b. A(2, 2) en B(0, 0) c. A(0, 2) en B( 1, 2) 7 Bereken de lengte van de zijden van de vierhoek ABCD met A( 1, 0), B(3, 1), C(3, 1) en D( 1, 6). 8 Gegeven de punten A(5, 3) en B( 3, 2) en de rechte a : x 2y + 4 = 0. Bereken de coördinaat van het punt, dat tot a behoort en op gelijke afstand van de punten A en B ligt.

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 23 1.5.4 Loodrechte stand van twee vectoren We kunnen niet alleen het scalair product gebruiken om hoeken te berekenen, maar ook om loodrechte standen te onderzoeken want dan is de hoek tussen de vectoren 90 o. Twee vectoren v 1 en v 2 staan loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan nul. v 1 v 2 v 1 v 2 = 0 Zijn (l 1, m 1 ) en (l 2, m 2 ) de coördinaten van resp. de vectoren v 1 en v 2 dan geldt v 1 v 2 (l 1, m 1 ) (l 2, m 2 ) = 0 l 1 l 2 + m 1 m 2 = 0 Voorbeeld: De vector u(3, 4) is een vector loodrecht op de vector v(4, 3) omdat 3.4 4.3 = 0 is. Opmerking: De nulvector staat loodrecht op elke vector, zoals hij ook evenwijdig is met elke vector. Tabel 1.4: loodrechte stand van de vectoren u(3, 4) en v(4, 3) OPGAVEN 9 Ga na of de volgende vectoren loodrecht op elkaar staan 1. v(1, 2), u(6, 3) 2. v(12, 4), u(1, 3) 3. v(3, 2), u(4, 7) 4. v(5, 7), u(7, 5) 5. v( 3 2, 1), u(2, 3) 6. v( 5 7, 7 5 ), u(7, 5) 10 Bepaal enkele vectoren die loodrecht staan op de vector v. 1. v(8, 2) 2. v( 13, 9) 3. v( 3 5, 2) 4. v(5, 7)

24 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.5 Normaalvector van een rechte Voorbeeld: De rechte a o met vergelijking 3x 4y = 0 is een rechte door de oorsprong. P (x 1, y 1 ) a o : 3x 1 4y 1 = 0 (x 1, y 1 ) (3, 4) = 0 (x 1, y 1 ) (3, 4) Dit laatste drukt uit dat alle richtingsvectoren OP van a o loodrecht staan op de vector ON(3, 4). Eén van de richtingsvectoren van a o is (4, 3), de meest eenvoudige oplossing van 3x 4y = 0. De vector ON(3, 4) staat loodrecht op de rechte 3x 4y = 0 en op elke rechte evenwijdig met 3x 4y = 0. Algemeen beschouwen we de rechte a : ux + vy + w = 0. De richtingsruimte is a o : ux + vy = 0. ux + vy = 0 (u, v) (x, y) = 0 (u, v) (x, y) Dit betekent dat de vector P van a o. We noemen elke andere rechte evenwijdig met a. ON(u, v) loodrecht staat op de plaatsvector OP van elk punt ON(u, v) een normaalvector van de rechte a : ux + vy + w = 0 en van Opmerkingen: Tabel 1.5: normaalvectoren van de rechte 3x 4y = 0 De richting van een rechte is zowel bepaald door een richtingsvector als door een normaalvector. Zoals een rechte oneindig veel richtingvectoren heeft zo heeft ze ook oneindig veel normaalvectoren.

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 25 1.5.6 Hoek tussen twee vectoren Uit de formule 1.4 volgt dat de hoek tussen twee vectoren v 1 (l 1, m 1 ) en v 2 (l 2, m 2 ) gegeven wordt dmv. de cosinus l 1 l 2 + m 1 m 2 cos α = l 2 1 + m 2 1 l. 2 2 + m 2 2 Voorbeeld: Beschouw de vectoren v(2, 3) en u(5, 2). Er geldt: v u = (2, 3) (5, 2) = 10 6 = 4 v = 4 + 9 = 13 u = 25 + 4 = 29 cos α = 4 13 29 = 0.20601 α = 78 o 6 41 Tabel 1.6: hoek tussen de twee vectoren v(2, 3) en u(5, 2) OPGAVEN 11 Bepaal de hoek tussen de vectoren v(5, 3 2 ) en u( 5 2, 3). DELTA 4B 12 p.27 nr.46-47-48-49.

26 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.7 De hoek tussen twee rechten De hoek tussen twee rechten is de scherpe hoek tussen de rechten. De hoek tussen twee rechten is de hoek tussen hun resp. richtingsvectoren of tussen hun resp. normaalvectoren of het supplement ervan al naargelang de hoek tussen de vectoren scherp is of stomp. Voorbeelden: Bepaal de hoek tussen de rechten y = 2x 6 en 3x + 4y 3 = 0. De richtingsgetallen zijn resp. (1, 2) en (4, 3). cos α = 1.4 2.3 1 + 4 16 + 9 waaruit volgt α = 79 o 41 43 Bereken de hoeken van de driehoek ABC met A(1, 3), B(4, 1) en C( 3, 2). We bepalen de richtingsvectoren AB, AC en BC. AB = OB OA = (4, 1) (1, 3) = (3, 4) AC = OC OA = ( 3, 2) (1, 3) = ( 4, 5) BC = OC OB = ( 3, 2) (4, 1) = ( 7, 1) cos a = (3, 4) ( 4, 5) 9 + 16 16 + 25 = cos b = cos c = a = 75 o, 89 3( 4) + ( 4)( 5) 5 41 (3, 4) (7, 1) 9 + 16 49 + 1 = 21 4 5 50 = 17 25 2 b = 61 o, 26 (4, 5) (7, 1) = 28 + 5 = 33 16 + 25 49 + 1 41 50 5 82 c = 43 o, 21 = 8 5 41

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 27 Bereken de hoek tussen de rechten 4x 6y = 12 en x + 2y = 1. We berekenen de hoek tussen de normaalvectoren (4, 6) en (1, 2). cos α = (4, 6) (1, 2) = 4 12 = 4 16 + 36 1 + 4 52 5 65 α = 119 o, 75 = 180 o 60 o, 26 De hoek tussen de gegeven rechten is 60 o, 26. Tabel 1.7: hoek tussen de twee rechten 4x 6y = 12 en x + 2y = 0 OPGAVEN 13 Bereken de hoek tussen de rechten 5x 6y + 3 = 0 en 7x + 5y = 1. 14 Bereken de hoek tussen de rechten y = 1, 8x + 32 en y = 10x + 400. DELTA 4B 15 p.32 nr.55

28 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.8 De loodrechte stand van twee rechten Twee rechten staan loodrecht op elkaar als hun resp. richtingsvectoren loodrecht op elkaar staan of als hun resp. normaalvectoren loodrecht op elkaar staan. 1. Zijn de rechten a en b gegeven met hun resp. vergelijkingen u 1 x + v 1 y + w 1 = 0 en u 2 x + v 2 y + w 2 = 0 dan zijn (u 1, v 1 ) en (u 2, v 2 ) de respectieve normaalvectoren. De rechten staan loodrecht op elkaar als geldt Voorbeelden: Zijn volgende rechten loodlijnen? u 1 u 2 + v 1 v 2 = 0 2x 3y + 5 = 0 en 3x + 2y 8 = 0; ja want 2.3 + ( 3).2 = 0. 5x + 4y + 7 = 0 en 8x 10y 9 = 0; ja want 5.8 + 4.( 10) = 0. Bepaal de loodlijn door de oorsprong op de rechte a : 2x 3y + 5 = 0. De loodlijn door O op a is de rechte met vergelijking 3x + 2y = 0. Bepaal de loodlijn door het punt (1, 2) op de rechte a : 2x 3y + 5 = 0. Deze loodlijn is evenwijdig met 3x + 2y = 0 en gaat door het punt (1, 2): 3(x 1) + 2(y + 2) = 0 3x + 2y + 1 = 0. Bepaal de loodlijn door het punt (5, 6) op de rechte AB met A(1, 2), B( 3, 4). De vector AB( 3 1, 4 2) = ( 4, 2) ( 2, 1) is een normaalvector van de gevraagde loodlijn. De vergelijking is 2(x 5) + (y 6) = 0 2x + y + 4 = 0 Tabel 1.8: de loodlijn door het punt (2, 4) op de rechte AB met A(1, 2), B( 3, 4)

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 29 2. Als de richtingscoëfficiënten van de rechten gegeven zijn dan kunnen we het best werken met de orthogonaliteit van de richtingsvectoren. Zijn ω 1 en ω 2 de richtingscoëfficiënten van de rechten dan zijn (1, ω 1 ) en (1, ω 2 ) koppels richtingsgetallen. De rechten staan loodrecht op elkaar als Met woorden: 1 + ω 1 ω 2 = 0 ω 1 ω 2 = 1 Twee rechten staan loodrecht op elkaar als en slechts als het product van de richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1 of als de richtingscoëfficiënten elkaars omgekeerde en tegengestelde zijn. De rich- Voorbeeld: De loodlijn door het punt (2, 1) op de rechte y = 3x + 9. 4 tingscoëfficiënt van de loodlijn is 4. De vergelijking is 3 y 2 = 4 3 (x 1) y = 4 3 x + 10 3 DELTA 4A 16 p.109 nr.16-18; p.110 nr.19-20-21 OPGAVEN 17 Controleer of de rechten a en b loodrecht op elkaar staan. a : x y + 2 = 0 en b : 2x + 2y 3 = 0 a : 2x y + 7 = 0 en b : 3x + 4y + 5 = 0 a : x + 2 = 0 en b : y = 3 a : y = 3x en b : y = 1 3 + 2 18 Stel de vergelijking op van de loodlijn uit het punt ( 9 2, 1) op de rechte 3x + 2y 5 = 0. 19 Gegeven is een driehoek ABC met A(3, 1), B(1, 5) en C( 1, 1). Stel de vergelijkingen op van de hoogtelijnen van de driehoek en toon aan dat ze concurrent zijn (door eenzelfde punt gaan). Bepaal de coördinaat van het hoogtepunt. 20 Gegeven is een driehoek ABC met A(4, 2), B(2, 4) en C( 2, 2). Stel de vergelijking op van de hoogtelijnen van de driehoek en toon aan dat ze concurrent zijn (door eenzelfde punt gaan). Bepaal de coördinaat van het hoogtepunt. 21 Gegeven is een driehoek ABC met A(3, 1 3 ), B(4, 1 4 ) en C(5, 1 5 ). Bepaal de coördinaten van de snijpunten van de zijlijnen van de driehoek met de x-as en de y-as. Stel de vergelijkingen op van de loodlijnen in die snijpunten op de zijlijnen van de driehoek en toon aan dat ze concurrent zijn (door eenzelfde punt gaan). Bepaal de coördinaat van het snijpunt.

30 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.9 Middelloodlijn van een lijnstuk De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van de punten van het vlak die op gelijke afstand liggen van de eindpunten van het lijnstuk. Omdat een middelloodlijn een verzameling is van punten die aan een gegeven meetkundige voorwaarde voldoet, wordt de middelloodlijn van een lijnstuk een meetkundige plaats genoemd. Een eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk is dat het een rechte is die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat. Vandaar de naam van deze meetkundige plaats. We kunnen de vergelijking van de middelloodlijn bepalen op twee verschillende manieren, als meetkundige plaats of volgens de eigenschap. Voorbeeld: Bepaal de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A( 1, 2) en B(2, 4). Als meetkundige plaats Een punt P (x, y) behoort tot de middelloodlijn van [AB] als en slechts als P A = P B P A 2 = P B 2 (x + 1) 2 + (y 2) 2 = (x 2) 2 + (y 4) 2 6x + 4y 15 = 0 Als loodlijn door het midden Het midden van [AB] is ( 1+2, 4+2) = ( 1, 3) en de vector 2 2 2 AB(2 + 1, 4 2) = (3, 2) is normaalvector van de loodlijn. De vergelijking van de middelloodlijn is 3(x 1 15 ) + 2(y 3) = 0 3x + 2y 2 2 = 0 6x 4y 15 = 0. OPGAVEN 22 Gegeven de punten A( 1, 2) en B(0, 1). Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van [AB]. 23 Stel de vergelijking op van de middelloodlijn van het lijnstuk bepaald door de punten A(5, 3) en B( 3, 1). DELTA 4A 24 p.111 nr.22-23; p.112 nr.25-26.

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 31 Figuur 1.14: De afstand van een punt tot een rechte a 1.5.10 Afstand van een punt tot een rechte De afstand van een punt P tot een rechte a is de afstand van P tot de loodrechte projectie P van P op a. We noteren: d(p, a) = P P De coördinaat (x 1, y 1 ) van P is gegeven alsook de vergelijking ux + vy + w = 0 van de rechte a. De coördinaat van P noemen we (x, y ). We moeten zeker uitdrukken dat P een punt is van a. De coördinaat van P voldoet aan de vergelijking van a. Er geldt: P a ux + vy + w = 0. (1.5) We drukken de afstand P P uit door middel van het scalair product van de vector P P en een evenwijdige eenheidsvector e (zie bladzijde 17). De genormeerde vector van de normaalvector ON(u, v) van a is een evenwijdige eenheidsvector van P P. ON ON = e (a) De coördinaat van P P is (x x 1, y y 1 ). (b) De coördinaat van. ON ON is (u, v) u2 + v = ( u 2 u2 + v, v 2 u2 + v ) 2

32 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK Nu kunnen we het scalair product analytisch uitdrukken. P P = P P e. P P e = (x x 1, y u y 1 ) ( u2 + v, v 2 u2 + v ) = u v 2 u2 + v 2 (x x 1 )+ u2 + v 2 (y y 1 ) P P = u(x x 1 ) + v(y y 1 ) u2 + v 2 = ux ux 1 + vy vy 1 u2 + v 2 Uit 1.5 volgt dat en we verkrijgen ux + vy = w P P = ux 1 vy 1 w u2 + v 2 = ux 1 + vy 1 + w u2 + v 2 De afstand P P is de afstand d(p, a) van het punt P tot de rechte a. We onthouden de formule d(p, a) = ux 1 + vy 1 + w. u2 + v 2 Met woorden: Om de afstand te bepalen van een punt P (x 1, y 1 ) tot een rechte a : ux + vy + w = 0 gaan we als volgt te werk: 1) we herleiden de vergelijking van de rechte op nul als dat nog niet het geval is; 2) we substitueren de coördinaat van het punt in het eerste lid van de vergelijking van de rechte; 3) we nemen de absolute waarde van deze uitdrukking en we delen door de lengte van de normaalvector (u, v) behorende bij de vergelijking van a. Voorbeelden: Bepaal de afstand van het punt P ( 5, 2) tot de rechte a : 3x 2y + 6 = 0. d(p, a) = 3( 5) 2(2) + 6 9 + 4 = 13 13 = 13 3, 6

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 33 Bepaal de afstand van het punt P (1, 1) tot de rechte a : y = 2x + 1. Let goed op dat je steeds de vergelijking van de rechte herleidt op 0 alvorens de formule van de afstand toe te passen. d(p, a) = 2 + 1 1 4 + 1 = 2 5 0, 89 OPGAVEN 25 Bereken de hoogte van de driehoek ABC met basis [AB] met A( 1, 2), B(0, 3) en C(2, 0). Bepaal dan de oppervlakte van driehoek ABC. 26 Bepaal de coördinaat van het punt van de rechte a : 51x + 7y 357 = 0 waarvan de afstand tot de rechte b : 7x y + 1 = 0 gelijk is aan 50. 27 Bereken de afstand tussen de evenwijdige rechten a : 2x + 3y 9 = 0 en b : 4x 6y + 13 = 0. Ga eerst na of de rechten wel degelijk evenwijdig zijn. 28 Bereken de hoogte van de driehoek ABC met basis [AB] met a : x + y = 0, b : x 7y + 4 = 0 en c : y = x 3. Bepaal dan de oppervlakte van driehoek ABC. Oplosingen: 25 AB : 5x y + 3 = 0 en d(c, AB) = 5.2+3 13 25+1 = 2 2, 55; 26 d(p (x, y), b) = 7x y+1 49+1 = 50 b 1 : 7x y + 1 = 50 b 2 : 7x y + 1 = 50, b 1 a = {(7, 0)} en b 2 a = {(0, 51)}; 27 A a is bvb. A(0, 3), d(a, b) = 18+13 16+36 = 5 2 0, 7; 13

34 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.11 Bissectrices en middenparallel We zoeken de meetkundige plaats van de punten die op gelijk afstand liggen van twee verschillende rechten. Beschouwen we de rechten a : u 1 x + v 1 y + w 1 = 0 en b : u 2 x + v 2 y + w 2 = 0. We zoeken de analytische voorwaarde waaraan het punt P (x, y) moet voldoen opdat het op gelijke afstand van a en b zou gelegen zijn. d(p, a) = d(p, b) u 1 x + v 1 y + w 1 u 2 1 + v 2 1 = u 2x + v 2 y + w 2 u 2 2 + v 2 2 (1.6) Als de absolute waarden van twee getallen aan elkaar gelijk zijn dan zijn de getallen zelf ofwel gelijk aan elkaar ofwel tegengesteld aan elkaar. De voorwaarde 1.6 valt uiteen in twee delen u 1 x + v 1 y + w 1 u 2 1 + v 2 1 = u 2x + v 2 y + w 2 u 2 2 + v2 2 u 1x + v 1 y + w 1 u 2 1 + v1 2 = u 2x + v 2 y + w 2. u 2 2 + v2 2 Deze twee voorwaarden geven aanleiding tot de vergelijkingen van twee rechten als de gegeven rechten snijdend zijn en tot de vergelijking van één rechte als de gegeven rechten evenwijdig zijn. De twee rechten waarvan de punten op gelijke afstand liggen van twee snijdende rechten worden de bissectrices van het paar snijdende rechten genoemd en de rechte waarvan de punten op gelijke afstand liggen van de twee evenwijdige rechten wordt de middenparallel van het paar evenwijdige rechten genoemd. Voorbeelden: Bepaal de verzameling van de punten op gelijke afstand van de rechten a 1 : 3x + 4y = 0 en a 2 : x y = 2. Oplossing: De gegeven rechten zijn snijdend omdat de normaalvectoren (3, 4) en (1, 1) niet evenwijdig zijn. 3x + 4y = x y 2 3x + 4y = x y 2 9 + 16 1 + 1 9 + 16 1 + 1 2(3x + 4y) = 5(x y 2) 2(3x + 4y) = 5(x y 2)

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 35 (3 2 5)x + (4 2 + 5)y + 10 = 0 (3 2 + 5)x + (4 2 5)y 10 = 0 De twee rechten zijn de bissectrices van de gegeven snijdende rechten. We kunnen hier gemakkelijk aantonen dat de bissectrices loodrecht op elkaar staan. Inderdaad het scalair product van de normaalvectoren is gelijk aan nul. (3 2 5)(3 2 + 5) + (4 2 5)(4 2 + 5) = 0 Bepaal de verzameling van de punten op gelijke afstand van de rechten a 1 : 2x + 3y 1 = 0 en a 2 : 4x + 6y + 5 = 0. Oplossing: De gegeven rechten zijn evenwijdig omdat de normaalvectoren (2, 3) en (4, 6) evenwijdig zijn. 2x + 3y 1 4 + 9 = 4x + 6y + 5 2x + 3y 1 4x + 6y + 5 = 16 + 36 4 + 9 16 + 36 52(2x + 3y 1) = 13(4x + 6y + 5) 52(2x + 3y 1) = 13(4x + 6y + 5) (2 52 4 13)x + (3 52 6 13)y 52 5 13 = 0 (2 52 + 4 13)x + (3 52 + 6 13)y 52 + 5 13 = 0 Omdat 52 = 2 13 verkrijgen we 0x + 0y 7 13 = 0 8 13x + 12 13y + 3 13 = 0 m : 2x + 3y + 3 4 = 0 Deze vergelijking is de vergelijking van de middenparallel m van de gegeven rechte (de eerste vergelijking is strijdig en levert geen punten op die aan de voorwaarde voldoen). Opmerkingen: De middenparallel van twee evenwijdige rechten is evenwijdig met deze rechten. Zijn de vergelijkingen van de gegeven evenwijdige rechten en van de middenparallel gegeven met dezelfde normaalvector dan is de constante term in de vergelijking van de middenparallel het rekenkundig gemiddelde van de constante termen van de vergelijkingen van de gegeven rechten. In het voorgaande voorbeeld zijn de vergelijkingen van de 3 rechten t.o.v. dezelfde normaalvector als volgt: a 1 : 2x + 3y 1 = 0, a 2 : 2x + 3y + 5 en m : 2x + 3y + 3. Daarin is 2 4 inderdaad 3 = 1( 1 + 5). 4 2 2

36 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK OPGAVEN 29 De zijlijnen van een driehoek ABC hebben als vergelijkingen 3x 4y + 72 = 0, 15x + 8y 60 = 0 en 3x + 4y + 24 = 0. Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek alsook de vergelijkingen van de binnen- en buitenbissectrices van de driehoek. Welke bissectrices zijn concurrent? DELTA 4A 30 p.120 nr.45; p.121 nr.46 1.5.12 De cirkel 1.5.12.1 Vergelijking van een cirkel De verzameling van de punten van het vlak die op een vaste afstand r liggen van een vast punt M is een cirkel met middelpunt M en straal r. De cirkel is een meetkundige plaats. We zoeken de analytische voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt P (x, y) moet voldoen om op de cirkel c(m; r) met middelpunt M(x o, y o ) en straal r te liggen. P (x, y) c P M = r P M 2 = r 2 (r > 0) Dit is een vergelijking van de cirkel c(m; r). (x x o ) 2 + (y y o ) 2 = r 2. (1.7) Opstellen van een vergelijking van een cirkel Om een vergelijking van een cirkel op te stellen, bepalen we het middelpunt en de straal van de cirkel. In het bijzonder kunnen we een vergelijking bepalen van de omgeschreven cirkel van een driehoek. We bepalen dan de middelloodlijnen van twee zijden van de driehoek. Het snijpunt van deze middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. de ingeschreven cirkel van de driehoek. We bepalen de binnenbissectrices van twee hoeken van de driehoek. Het snijpunt van deze bissectrices is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De straal van de cirkel bekomen we door de afstand tussen het middelpunt en één van de hoekpunten te berekenen. Voorbeelden:

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 37 Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt M(3, 1) en rakend aan de rechte a : 3x 4y + 2 = 0. We kennen reeds het middelpunt van de cirkel. De straal van de cirkel is de afstand van het middelpunt M tot de rechte a. r = d(m, a) = 3 3 4( 1) + 2 9 + 16 = 3 De vergelijking van de cirkel is (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 9. Bepaal de vergelijking van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC met A(3, 3), B( 1, 1) en C(2, 0). We bepalen de middelloodlijnen van [AC] en [BC]. De middelloodlijn van [AC] gaat door M b ( 5, 3 ) en heeft als normaalvector 2 2 CA(3 2, 3 0) = (1, 3) en de middelloodlijn van [BC] gaat door M a ( 1, 1) en 2 2 heeft als normaalvector BC(2 ( 1), 0 1) = (3, 1). De vergelijkingen van de middelloodlijnen zijn: x 5 2 + 3(y 3 ) = 0 x + 3y 7 = 0 2 en 3(x 1 2 ) (y 1 ) = 0 3x y 1 = 0 2 De coördinaat van het middelpunt is oplossing van het stelsel: M { x + 3y 7 = 0 3x y 1 = 0 { x + 3y 7 = 0 9x 3y 3 = 0 { x + 3y 7 = 0 10x 10 = 0 { x = 1 y = 2 De straal van de cirkel is MC = (2 1) 2 + (0 2) 2 = 5. De vergelijking van de cirkel is (x 1) 2 + (y 2) 2 = 5. Opmerking: We zien dat de twee middelloodlijnen loodrecht op elkaar staan. Dit betekent dat de driehoek rechthoekig is in C. Als we vooraf weten dat de driehoek rechthoekig is, is het gemakkelijk om het middelpunt te bepalen, nl. het middelpunt is het midden van de schuine zijde van de driehoek. Ga hier na dat de gegeven driehoek inderdaad rechthoekig is in C en dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel het midden is van [AB].

38 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK Bepaal de vergelijking van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC met A(2, 1), B( 2, 5) en C( 6, 1). We bepalen de binnenbissectrices van de hoeken A en B. Om de bissectrices te vinden van de hoek A moeten we de vergelijkingen opstellen van de rechten AB en AC. x 2 AB : 2 ( 2) = y 1 1 5 x + y = 3 AC : y = 1 Een punt P (x, y) ligt op één van de bissectrices als d(p, AB) = d(p, AC) x + y 3 2 = y 1 1 x + y 3 = 2 y 1 De vergelijking valt uiteen in twee vergelijkingen. x + y 3 = 2(y 1) x + y 3 = 2(y 1) x + (1 2)y 3 + 2 = 0 x + (1 + 2)y 3 2 = 0 Op de tekening zien we dat de binnenbissectrice van de de hoek A van de driehoek ABC een negatieve richtingscoëfficiënt heeft. De gezochte bissectrice is dus: x + (1 + 2)y 3 2 = 0 Aangezien de driehoek gelijkbenig is met top B is de binnenbissectrice van hoek B tevens de middelloodlijn en zwaartelijn op [AC]. De vergelijking is x = 2. De coördinaat van het middelpunt van de ingeschreven cirkel is oplossing van het stelsel { { x + (1 + 2)y 3 2 = 0 y = 5+ 2 1+ = 4 2 3 2 x = 2 x = 2 De straal van de cirkel is MA = (2 ( 2)) 2 + (1 4 2 + 3) 2 = De vergelijking van de cirkel is (x + 2) 2 + (y 4 2 + 3) 2 = 4 2 2. 4 2 (1 + (1 2) 2 ) = 4 4 2 2

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 39 OPGAVEN 31 Stel de vergelijking op van elke cirkel die raakt aan de x-as en de y-as en die door het punt P (1, 2) gaat. 32 Stel de vergelijking op van de cirkel met straal 10 en die raakt aan de rechte a : 4x 3y + 7 = 0 in het punt P ( 1, 1). 33 Stel de vergelijking op van de cirkel die raakt aan de rechte a en gaat door de punten A en B. (i) a : x y + 1 = 0, A(1, 0), B(0, 1); (ii) a : y = 2x, A(0, 0), B(2, 0); (iii) a : x y + 4 = 0, A(6, 6), B(2, 2); 34 Bepaal de vergelijking van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC met A(3, 4), B(6, 0) en C(0, 0). 35 Bepaal telkens de vergelijking van de cirkel 1. die gaat door de punten A(0, 2) en B(3, 0) en die van de x-as een koorde met lengte 4 afsnijdt; 2. die gaat door het punt A(1, 1) en raakt aan de y-as in de oorsprong; 3. die raakt aan de x-as en de y-as en die een straal gelijk aan 1 heeft; 4. die gaat door het punt A(1, 1) en die het punt M(2, 0) als middelpunt heeft; 5. die gaat door de oorsprong en het punt A(0, 1) en die als straal 2 heeft; 6. die gaat door het punt A(4, 8) en die raakt aan x-as en y-as; 7. die gaat door de punten A(3, 3) en B(5, 7) en waarvan het middelpunt op de rechte a : x y 5 = 0 ligt; 8. die gaat door het punt A(4, 1) en die raakt aan de x-as in het punt B(2, 0); 9. die gaat door het punt A(1, 1) en die raakt aan de rechte a : 2x + y 12 = 0 in het punt B(4, 4); 10. die gaat door de oorsprong, als straal 5 heeft en waarvan het middelpunt op de rechte a : x y 1 = 0 ligt; 11. die de oorsprong als middelpunt heeft en die de rechte a : x + y 5 = 0 snijdt in twee punten waarvoor het product van de eerste coördinaatgetallen 6 is; 12. die raakt aan de x-as en aan de rechte a : y = x + 4 en waarvan het middelpunt op de rechte b : y x = 0 ligt; 13. die gaat door het punt A(1, 2), die raakt aan de rechte a : x 3y + 1 = 0 en die de x-as snijdt in twee punten waarvan de som van de eerste coördinaatgetallen 4 is (oplossen met DERIVE); 14. die gaat door de punten A(1, 0) en B(0, 12) en die raakt aan de rechte a : 3x y 20 = 0 (oplossen met DERIVE). DELTA 4A 36 p.104 nr.11; p.111 nr.24; p.118 nr.45; p.121 nr.47; p.122 nr.48-49-50; p.124 nr.58; p.126 nr.67

40 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 37 Gegeven de driehoek ABC met A( 5, 3), B(1, 5) en C(7, 3). (a) Bepaal de coórdinaten van de middens M A, M B en M C van de drie zijden ; (b) Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaat van het hoogtepunt H; (c) Bepaal de coördinaten van de drie voetpunten H A, H B en H C van de hoogtelijnen; (d) Bepaal de coördinaten van de middens M 1, M 2 en M 3 van resp. [AH], [BH] en [CH]. (e) Toon aan dat de negen punten M A, M B, M C, H A, H B, H C, M 1, M 2 en M 3 op eenzelfde cirkel liggen, nl. de zogenaamde negenpuntscikel van Euler. Bepaal het middelpunt en de straal van deze cirkel. 1.5.12.2 Algemene vergelijking van een cirkel Een algemene vergelijking van een cirkel bekomen we door de vergelijking 1.7 uit te werken en te rangschikken naar de machten van de onbekenden x en y: De vergelijking is van de gedaante x 2 + y 2 2x o x 2y o y + x 2 o + y 2 o r 2 = 0 x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 met (a, b, c) R Wordt een vergelijking van een cirkel gegeven in deze gedaante dan kunnen we de coördinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsen in onafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 1.7 te bekomen. (x 2 + 2ax + a 2 ) + (y 2 + 2by + b 2 ) = a 2 + b 2 c (x + a) 2 + (y + b) 2 = a 2 + b 2 c Deze vergelijking stelt een cirkel voor op voorwaarde dat het tweede lid groter is dan 0. Dit is als de parameters a, b en c voldoen aan de volgende ongelijkheid: Besluit: De vergelijking a 2 + b 2 c > 0 x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 is een algemene vergelijking van een cirkel als en slechts als a 2 + b 2 c > 0.

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 41 Het middelpunt is het punt met coördinaat M( a, b) en de straal is gelijk aan r = a 2 + b 2 c. 1.5.12.3 Vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong We bekomen een vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong als we een cirkel met middelpunt M(x o, y o ) onderwerpen aan de verschuiving met vector MO( x o, y o ). De transformatieformules zijn { x o = x x o y o = y y o De vergelijking gaat door deze verschuiving over in (x x o ) 2 + (y y o ) 2 = r 2 (x ) 2 + (y ) 2 = r 2. 1.5.12.4 Raaklijnen in een punt aan een cirkel Om de vergelijking te bepalen van een raaklijn in een punt aan een cirkel maken we gebruik van de eigenschap dat de raaklijn in een punt aan de cirkel loodrecht staat op de verbindingslijn van het middelpunt en het raakpunt. Voorbeeld: Stel de vergelijking op van de raaklijn in het punt P (0, 8) aan de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 6x 8y = 0. Oplossing: Het middelpunt van de cirkel is M(3, 4). MP (0 3, 8 4) = ( 3, 4) is normaalvector van de raaklijn in P aan de cirkel. De vergelijking van de raaklijn is 3(x 0) + 4(y 8) = 0 3x + 4y 8 = 0. OPGAVEN 38 Stel de vergelijking op van de raaklijn in het punt P (3, 4) aan de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = 25. 39 Stel de vergelijking op van de raaklijn in het punt P (2, 6) aan de cirkel c : x 2 + y 2 + 4x 6y 12 = 0. 40 Zoek de coördinaten van de snijpunten van de rechte a : 2x + 3y = 2 6 met de cirkel c : x 2 + y 2 + 2 3x 2 2y = 0. Stel dan de vergelijkingen op van de raaklijnen in deze snijpunten aan de gegeven cirkel.

42 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK 1.5.12.5 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel Om de onderlinge ligging van een rechte en een cirkel te bepalen kunnen we op twee manieren te werk gaan: Meetkundig : we berekenen we de afstand d van het middelpunt van een cirkel c tot een rechte a en vergelijken dat met de straal r van de cirkel. We noemen A en B de eventuele snijpunten van a en c. Voor de onderlinge ligging van een rechte en een cirkel geldt: d 0 r a c A B A B A = B φ onderlinge snijdend snijdend rakend uit elkaar ligging AB = 2r AB = 2 r 2 d 2 liggend Algebraïsch : we beschouwen het stelsel met de vergelijking van de cirkel en de vergelijking van de rechte en zoeken de eventuele oplossingen van het stelsel. OPGAVEN 41 Bepaal de onderlinge ligging van de rechte a : 2x+y 5 = 0 en de cirkel c : x 2 +y 2 = 5. 42 Bepaal de onderlinge ligging van de rechte a : x+y +1 = 0 en de cirkel c : x 2 +y 2 6x 6y 31 = 0. 43 Toon aan dat de rechte a : 3x 4y + 2 = 0 raakt aan de cirkel c : 25x 2 + 25y 2 150x + 100y 36 = 0. Bepaal de coördinaat van het raakpunt. DELTA 4A 44 p.105 nr.12-13; p.117 nr.39-40; p.118nr.41 Oplossingen: 31 M 1 (1, 1), r 1 = 1 en M 2 (5, 5), r 2 = 5; 41 d(m, a) = 5 4+1 = 5 = r dus de rechte raakt aan de cirkel; 42 d(m, a) = 3+3+1 2 43 M(3, 2) en d(m, a) = 9+8+2 9+16 = = 7 2 < r = 7 dus de rechte snijdt de cirkel, snijpunten ( 4, 3) en (3, 4); 361 25 = 19 5 = r dus de rechte raakt aan de cirkel;

1.5. ANALYTISCHE UITDRUKKINGEN IN HET EUCLIDISCHE VLAK 43 1.5.12.6 Onderlinge ligging van twee cirkels Om de onderlinge ligging van een rechte en een cirkel te bepalen kunnen we op twee manieren te werk gaan: Meetkundig : we berekenen de stralen r 1 en r 2 van resp. de cirkels c 1 en c 2 en de afstand d tussen de middelpunten. We noemen A en B de eventuele snijpunten van de cirkels. Voor de onderlinge ligging van twee cirkels geldt: d 0 r 1 r 2 r 1 + r 2 c 1 c 2 φ φ A = B A B A = B φ onderlinge con- in elkaar inwendig snijdend uitwendig uit elkaar ligging centrisch liggend rakend rakend liggend Algebraïsch : we beschouwen het stelsel met de vergelijkingen van de cirkels en zoeken de eventuele oplossingen van het stelsel. Het stelsel zal steeds gelijkwaardig zijn met een stelsel waarvan de ene vergelijking de vergelijking is van één van de cirkels en de andere vergelijking de vergelijking is van een rechte. Het bepalen van de doorsnede van twee cirkels herleidt zich dus tot het bepalen van de doorsnede van een cirkel en een rechte (zie voorgaande paragraaf). Deze rechte is de meetkundige plaats van de punten die dezelfde macht hebben t.o.v. beide cirkels en wordt daarom de machtlijn van de twee cirkels genoemd. DELTA 4A 45 p.106 nr.14 HERHALINGSOEFENINGEN DELTA 4A 46 p.122 nr.51; p.123 nr.52; p.124 nr.57; p.126 nr. 68.

44 HOOFDSTUK 1. HET EUCLIDISCHE VLAK

Hoofdstuk 2 Goniometrie en driehoeksmeting 2.1 Herhaling 45

46 HOOFDSTUK 2. GONIOMETRIE EN DRIEHOEKSMETING 2.2 Goniometrie 2.2.1 Georiënteerde hoeken We nemen een werkblad in Cabri. We bepalen een punt O in het vlak en trekken een horizontale halfrechte x met beginpunt O. We zetten rechts in het werkblad een getal. We laten het beeld l tekenen van deze halfrechte voor een draaiing over een hoek waarvan het maatgetal in graden aangegeven wordt door het getal rechts in het werkblad. We noemen x en l resp. het beginbeen en het eindbeen van de zogenaamde georiënteerde hoek. Het getal kan elke reële waarde aannemen. Is de waarde bijvoorbeeld 410 dan is dat een maatgetal van de georiënteerde hoek van (410 360) o = 50 o. We merken op dat het maatgetal van de georiënteerde hoek positief is als we de hoek doorlopen in tegenwijzerszin en negatief als we hem doorlopen in wijzerszin. Op die manier heeft elke georiënteerde hoek oneindig veel maatgetallen. Dit laatste kunnen we bekijken op het bestand Maatgetal van hoeken.fig op Cabri. Figuur 2.1: scherpe georiënteerde hoek met een positief maatgetal en een negatief maatgetal Figuur 2.2: stompe georiënteerde hoek met een positief maatgetal en een negatief maatgetal

2.2. GONIOMETRIE 47 Besluit: Een georiënteerde hoek is volledig bepaald door het beginbeen en het eindbeen. Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel positieve en negatieve maatgetallen. Een positief maatgetal bekomen we als we vertrekkend van het beginbeen de hoek doorlopen in tegenwijzerszin om het eindbeen te bereiken. De waarde van dat maatgetal hangt dan af van hoeveel omwentelingen we maken om het eindbeen te bereiken. Een negatief maatgetal bekomen we als we vertrekkend van het beginbeen de hoek doorlopen in wijzerszin om het eindbeen te bereiken. De waarde van dat maatgetal hangt dan af van hoeveel omwentelingen we maken om het eindbeen te bereiken. Geef in de volgende tabel het maatgetal van de gegeven georiënteerde hoek aan met de kleinste positieve waarde en met de kleinste absolute waarde. Georiënteerde hoek met kleinst positief met kleinst maatgetal maatgetal in absolute waarde 210 o 680 o 210 o 560 o 440 o 1320 o 1305 o 660 o 270 o 720 o 1105 o

48 HOOFDSTUK 2. GONIOMETRIE EN DRIEHOEKSMETING 2.2.2 De goniometrische cirkel We vullen de tekening in Cabri aan met een cirkel met middelpunt O en straal 1 (eenheidscirkel). We nemen x als een vaste halfrechte die we beschouwen het als beginbeen van elke georiënteerde hoek. We bepalen het snijpunt A van het eindbeen l met de eenheidscirkel. Zo komt met het eindbeen van een georiënteerde hoek α een punt A op de eenheidscirkel overeen en omgekeerd komt met elk punt A op de eenheidscirkel het eindbeen van een georiënteerde hoek α overeen. Daarom noemen we deze eenheidscirkel de goniometrische cirkel. We spreken af om het maatgetal van α aan te duiden bij het eindbeen van deze georiënteerde hoek dus bij het corresponderend punt A op de goniometrische cirkel. We tekenen in Cabri twee rechten x en y die loodrecht op elkaar staan. De eerste rechte x leggen we langs de vaste halfrechte x en de tweede rechte y door O loodrecht op x. De hoeken waarvan het kleinste positief maatgetal, uitgedrukt in graden, ligt tussen 0 en 90, 90 en 180, 180 en 270, 270 en 360 noemen we georiënteerde hoeken van resp. het eerste kwadrant (I), tweede kwadrant (II), derde kwadrant (III) en vierde kwadrant (IV). De hoeken van het eerste en vierde kwadrant zijn scherpe hoeken, de hoeken van het tweede en derde kwadrant zijn stompe hoeken. We beschouwen tevens de maatgetallen van de georiënteerde hoeken in radialen. Zoals de hoek van 1 graad de middelpuntshoek is die overeenstemt met een 360ste deel van een cirkelomtrek, zo is de hoek van 1 radiaal de middelpuntshoek die overeenstemt met een 2πde deel van een cirkelomtrek (dus iets minder dan een 6de deel van een cirkelomtrek). We maken nu ook een tabel met bijzondere georiënteerde hoeken zowel in graden als in radialen. Hierbij stellen we deze bijzondere hoeken voor op de goniometrische cirkel. We vinden een tekening in het bestand Maatgetal van georiënteerde hoek.fig op Cabri.