Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden zijn even lang. c 17.1 RECHTHOEKIGE DRIEHOEKEN a Oppervlakte vlag is 80 15 = 10.000 cm. b Oppervlakte blauw is 10.000 : = 5000 cm. 3 A: 1 6 4 = 1 cm E: 1 6 5 = 15 cm B: 1 4 4 = 8 cm D: 1 3 6 = 9 cm C: 1 6 = 6 cm F: 1 3 5 = 7 1 cm 4 Oppervlakte gazon is 600 1 10 5 5 abc 1 10 15 1 10 5 1 10 10 = 45 m. a + b + c = 180 (gestrekte hoek). Omdat a + b = 90 geldt dat c = 90. Dus alle vier de hoeken zijn 90. c Oppervlakte oranje totaal is 4 1 4 3 = 4. d Oppervlakte blauwe vierkant is 49 4 = 5. e Een vierkant met oppervlakte 5 heeft zijden van lengte 5. 8 a 50 5 = 50 ; 50 4 = 00 ; 50 3 = 150 b Afstand is 0 5 = 100 cm. c De hoek is kleiner dan 90. d De afstand is meer dan 100 cm. 9 a Oppervlakte kleinere vierkant is 17 4 1 5 1 = 169. b Lengte is 13, want 13 13 = 169. 10 a Oppervlakte kleinere vierkant is 3 4 1 8 15 = 89 b Lengte is 17, want 17 17 = 89. d Grootste oppervlakte is 1 4 4 = 8 cm. 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m 11 a Het vierkant in het midden heeft oppervlakte 41 4 1 0 1 = 841. Dus de lengte van de schuine zijde is 9. b De driehoeken zijn gelijkvormig. De vergrotingsfactor is. De lengte van de schuine zijde is dus 9 = 58. 17. DE STELLING VAN PYTHAGORAS B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm 1 A B C D 3-4-5 9 16 9 + 16 = 5 5 5-1-13 5 144 5 + 144 = 169 169 8-15-17 64 5 64 + 5 = 89 89 0-1-9 400 441 400 + 441 = 841 841 de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1
13 a Oppervlakte kleinere vierkant is 3 4 1 1 = 5. Klopt b Oppervlakte derde vierkant is 5 4 1 3 = 13. c A: 4; 4; 8 B: ; 4; 10 C: ; 8; 10 D: 5; 10; 17 d A en C 14 a = 3; b = 1; c = ; d = 6; e = 6; f = 5; g = 3 15 Berekening x: 16 + x = 34 x = 900 x = 30 Berekening y: y + 60 = 61 y = 11 y = 11 16 a x = 84 + 13 = 75 x = 85 dm b y + 36 = 85 y = 599 y = 77 dm 17 x = 5 + 1 = 169 Dus x = 13. De foto is 13 bij 18 cm. 18 ab Zie plaatje voor letter. x + 10 = 6 x = 576 x = 4 hoogte boom is 4 + = 6 m. 17.3 SCHERP, RECHT OF STOMP 19 a c = 1 + 8 = 15, dus c = 35 b Voor het linker plaatje geldt: a + b > c Voor het rechter plaatje geldt: a + b < c 0 7 + 4 = 65 > 8 De driehoek is scherphoekig. 1 30 + 16 = 1156 34 = 1156 De driehoek is rechthoekig. 17.4 WORTELS a c = + 3 = 13 b Ja, langer dan 3,6 cm want 1,96 < 13. 3 3 3 = 6 3 3 = 3 3 = 3 = 1 4 = 168 168 4 a x = 1 + 1 = x = b ; 3 5 7 + 5 = 74 Dus de lengte van de schuine zijde is 74 8,60 6 a y = 14 10 = 96, dus y = 96 9,80 b z = y + = 96 + 4 = 100, dus z = 10 7 a x = 1 9 = 63, dus x = 63 y = 14-9 = 115, dus y = 115 b AB = x + y = 63 + 115 18,7 8 a = 1 + 3 = 10, dus a = 10 b = a + 1 = 11, dus b = 11 c = b + 1 = 1, dus c = 1 d = c + 1 = 13, dus d = 13 17.5 SPECIALE DRIEHOEKEN 9 a 1 (de helft vanwege symmetrie) b BC = 1 3 c De tweede driehoek is de eerste uitvergroot met factor 8, de zijden zijn dus: 8, 16, 8 3. d De tweede driehoek is de eerste uitvergroot met factor a, de zijden zijn dus: a, a, a 3. de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO
30 a 4, de vergrotingsfactor is namelijk 4. b a 31 figuur A: 45, 7, 7 figuur B: 30, 5, 5 3 figuur C: 90, 5, 5 figuur D: 60, 6 3, 1 figuur E: 90, 3 3, 6 3 c b + b = x = 15,986 b = 15,986 : = 61,993 b = 61,993... 5 cm 38 Zie plaatje voor letters. y = + 5 = 9 x + y = 15, dus x + 9 = 5 x = 196 = 14 m 17.6 DE RUIMTE IN 3 a 1 + 9 = 5, dus links: 8 bij 5 15 1 + 8 = 08, dus midden: 9 bij 08 9 + 8 = 145, dus rechts: 1 bij 145 b x = 1 + 9 = 5 z = 8 + x = 64 + 5 = 89 z = 89 = 17 c y = 8 + 9 = 145 z = 1 + y = 89 z = 89 = 17 33 Zie plaatje voor letters. x = 4 + 7 = 65 y = x + 4 = 81, dus y = 9 34 a Mark rond tussentijds twee keer af. b y = + = 8 x = y + 1 = 9 dus y = 9 = 3 dm precies! 35 3 4 1 169 13 dm 17.7 GEMENGDE OPGAVEN 39 a BC = 15 9 = 144, dus BC = 144 = 1 BD = 0 1 = 56, dus BD = 56 = 16 b AD = 5, dus AD = AC + CD, dus C is recht. c De zijden van driehoek ABC zijn 9, 1 en 15. De zijden van driehoek ACD zijn 1 3 keer zo groot, dus de driehoeken ABC en ACD zijn gelijkvormig. Hieruit volgt dat C recht is. 40 linker figuur: 41 x = 19 17 = 7, dus x = 7 y = 18 17 = 35, dus y = 35 rechter figuur: x = 0 = 84, dus x = 84 z = x + y, dan z = 5 0 = 5 x + y = 5 = 15, dus y = 15 84 5,8 balk: x = + 3 = 13, dus x = 13 y = 6 + x = 49, dus y = 7 36 6 6 7 11 11 37 a π x = 110, dus x = 110 : π 35,01 cm b Zie plaatje voor letters. x = 6 + 6 = 7 h + x = 17, dus h + 7 = 89 dus h = 17 14,7. b + 30 = x, dus b = 35,986 b = 35,986 18 cm 4 a AB = 7 + 1 = 50, dus AB = 50 AC = 6 + 3 = 45, dus AC = 45 de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 3
AD = 5 + 4 = 41, dus AD = 41 AE = 5 + 5 = 50, dus AE = 50 AF = 4 + 6 = 5, dus AF = 5 b Geldt: AB = AC + BC? BC = 1 + = 5, dus AB = 50 = 45 + 5 = AC + BC, dus ACB is recht. 43 a Zie plaatje voor letters. x = 5 0 = 304, dus x = 48 y = 9 0 = 441, dus y = 1 dus x + y = 69 cm 1 40 69 = 1380 cm b 44 a ABC = 180 30 105 = 45 b DB = en BC = (driehoek BCD is een 45-45 -90 -driehoek) AD = 3 = 3 en AC = = 4 (driehoek ACD is een 30-60 -90 -driehoek) Dus AB = + 3 5,5, AC = 4 en BC =,8 45 a Ada: 10 10 30 0 Bart: 00 1300 50,198 meter 10 0 0 0 500 800 50,645 meter De route van Bart is 4 dm langer. b AB = 40 30 500 = 50 meter 46 a Omtrek grondcirkel is 1 3 π 7 56 cm. b de straal van de grondcirkel van de kegel is 1 π 7 : π = 9 cm 3 hoogte = 7 9 = 648 dus hoogte 5,46 cm rechter figuur: x + (x) = 10 x + 4x = 5x = 100 x = 0 dus x = 0. 49 a Dat is de stelling van Pythagoras in driehoek ACD. b h = 13 x (stelling van Pythagoras in driehoek BDC) c 13 x = 400 (1 x) 169 x = 400 (441 4x + x ) 169 x = -41 + 4x x 4x = 10 x = 5 d h = 13 5 = 144, dus h = 1, oppervlakte = 1 1 5 + 1 1 16 = 16. SUPER OPGAVEN 3 bovenste driehoek: 1 a b = 1 ab onderste driehoek: 1 x 6x = 6x 6 A: 6a 6a 4 1 a 5a = 36a 10a = 6a B: 6a 6a 4 1 a 4a = 36a 16a = 0a C: 6a 6a 4 1 3a 3a = 36a 18a = 18a 10 (1 x + x) 4 1 x (1 x) = 1 x(1 x) = 1 x + x 16 Volgens de stelling van Pythagoras geldt: x + 45 = (75 x) x + 05 = 565 150x + x 150x = 3600 x = 4 0 Zie plaatje voor letters. 47 a Nee b AP = 16 + 48 = 560 dus AP = 560 50,6 cm. 48 linker figuur: 3 + (x + 1) = 5 dus (x + 1) = 16 zodat x + 1 = 4 dus x = 1,5. AD = 35 300 = 15.65, dus AD = 15 BD = 780 300 = 518.400, dus BD = 70 dus AB = 15 + 70 = 845 AB = 845 = 714.05 AC + BC = 35 + 780 = 714.05 Dus driehoek ABC is rechthoekig. 6 AB = 3 + = 13, dus AB = 13 de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 4
7 De lengte van de zijde van het grote vierkant is 15 cm. Elk van de vijf stukken heeft een oppervlakte van 5 cm. De lengte van de zijde van een klein vierkant is dus 5 cm. Dus de breedte van het L-vormige stuk is 15 10 cm. 31 40 Stel de hoogte is h dm, dan zijn de lengte en de breedte h dm. Hieruit volgt dat lichaamsdiagonaal = h + (h) + (h) = 9h = 15 = 5. Hieruit volgt dat h = 5, en dus h = 5 dm. 4 AC = 1 + = 3 dm AB = 1 dm AC = 3 1 = 8 dm. Dus het bankje is 8 dm hoog. Driehoek BCD is een 45-45 -90 -driehoek, dus BD = 4. Driehoek ABD is een 30-60 -90 -driehoek, dus x = AD = 1 3 = 1 3 35 a Aangezien de inhoud van de kubus 7 cm 3 is, zijn de ribben 3 cm lang. De lengte van de lichaamsdiagonaal is 3 3 3 = 7. b Lengte lichaamsdiagonaal is a a a = c Alleen voor a = 3. 3a. 36 a Oppervlakte voorgevel is 1 4 4,8 = 9,6 m. b Hiernaast is één van de acht dakvlakken getekend. x is de schuine kant van de voorgevel. Dus x = + 4,8 = 7,04 zodat x = 5,. Oppervlakte dakvlak is 1 5, = 5, m. Oppervlakte dak is 8 5, = 41,6 m. c Dakgoot is schuine zijde van dakvlak. x + = 7,04 + 4 = 31,04, dus de goot is 31,04 5,6 m. d De hokjes zijn 1 cm bij 1 cm. 45 a AC = 55 136 = 89 m. b Driehoek BQC is gelijkvormig met driehoek ABC. De vergrotingsfactor is 136 89 = 8 17. 47 Dus CQ = AP = 8 17 136 = 64. Dus PQ = 89 64 = 161. De eiken staan 161 m uit elkaar. S is de positie van de spin, V de positie van de vlieg. SV is de kortste route. SH = 1 + 0 + = 3 en HV = + 3 = 5, dus SV = 3 5 3,5 m. Dus de lengte van de kortste route is ongeveer 3,5 m. 17.9 EXTRA OPGAVEN 1 a AC = 6 + 8 = 100, dus AC = 10 DB = 17 8 = 5, dus DB = 15 AB = AD + DB = 6 + 15 = 1 b AB = 1 = 441 AC + BC = 10 + 17 = 389 441 > 389, dus ACB is stomp a Opp. ABC is 3 7 1 6 1 1 3 1 1 7 = 10. b AB = 3 + 1 = 10, dus AB = 10 BC = 7 + 1 = 50, dus BC = 50 AC = 6 + = 40, dus AC = 40 c Er geldt: AB + AC = BC, dus BAC is recht. de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 5
3 3 14 = 4 8 8 = 8 8 = 4 8 = 3 4 14 9 = 3 4 x = 4 + 4 = 16 + 16 = 3, dus x = 3 5,66 y = 5 + x = 5 + 3 =57, dus y = 57 7,55 5 linker driehoek: 3 en 4 want een 30-60 -90 -driehoek middelste driehoek: 4 3 en 4 want een 30-60 -90 -driehoek rechter driehoek: 10 en 10 want een 45-45 -90 -driehoek ABC = 90 en ACB = 1 10 = 60 Driehoek ABC is dus een 30-60 -90 driehoek, dus AB is de helft van de korte diagonaal = 0 3. De lengte van de korte diagonaal is dus 40 3. b Driehoek ADE is een gelijkzijdige driehoek, dus de lengte van de lange zijde is 40 3. c Driehoek ABE is een 30-60 -90 -driehoek, dus BE = 60 zodat CE = 80. De oppervlakte van de vlieger is 1 80 40 3 = 1600 3. 10 Zie plaatje voor letters. x = 1 (5 30) = 11 h = 61 11 = 3600 dus h = 60. 6 Lengte lichaamsdiagonaal is 18 13 6 = 3 cm. De breinaald past dus niet in de doos. 7 a h = ( 1 ) 1 = 4 dus h = 1 1. b Oppervlakte driehoek is 1 1 = 3. 8 ab 11 a a = (7 1 ) + 30 1 = 956 4 dus a 30,9 cm b b = π 7 1 = 15π 47,1 cm 1 Zie plaatje voor letters. c lengte route 1 is 30 5 95 lengte route is 0 15 65 lengte route 3 is 5 10 75 Dus route is het kortst. 9 a Zie plaatje voor letters. Teken de hoogtelijn CD. We krijgen zo twee 30-60 -90 -driehoeken, namelijk driehoek ADC en driehoek BCD. Dus BC = 1 3 = 3. De oppervlakte van driehoek ABC is 1 6 3 = 3 3 ( 5,). 13 AE = + 3 = 13, dus AE = 13 Driehoek ABC en driehoek EDC zijn gelijkvormig. De overeenkomstige zijden verhouden zich als : 3. Dus AC = 5 AE = 5 13. de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 6