1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7, m/s en schuift omhoog langs de helling. De helling maakt een hoek van 15 met het horizontaal vlak. Er is geen wrijving tussen blokje en helling. Na hoeveel tijd komt het blokje tot stilstand en welke verplaatsing heeft het dan gemaakt? Oplossing: Als systeem kiezen we uiteraard het blokje. De krachten op het blokje en een handig assenstelsel zijn in volgende figuur getekend: Veelgemaakte fout: Assenstelsel vergeten. Om te kunnen rekenen met x- en y-componenten van vectoren, moet je een assenstelsel tekenen. Nu moeten we de tweede wet van Newton projecteren op de assen: y-as: 0 = ma y = N G cos(15 ). Dus de normaalkracht zorgt ervoor dat de y-component van de zwaartekracht opgeheven wordt, er is immers geen beweging in de y-richting. Veelgemaakte fout: veel mensen hebben N = G gebruikt, wat niet waar is. De normaalkracht staat loodrecht op het opper- 1
vlak, en zorgt ervoor dat er geen beweging is in de richting loodrecht op het oppervlak. x-as: ma x = G sin(15 ) = mg sin(15 ). We weten nu dus dat het blokje een beweging maakt volgens de x-as, met x 0 = 0, v x,0 = 7, m/s en a x = g sin(15 ). Aangezien de versnelling een constante is, kunnen we direct de snelheid en de positie als functie van de tijd opschrijven. Voor de snelheid hebben we: v x (t) = v 0 + a x t = 7, g sin(15 )t Nu weten we dus het tijdstip t 1 waarop het blokje tot stilstand komt, want dan is v x (t 1 ) = 0, dus t 1 = 7, =, 84s. g sin(15 ) Voor de positie hebben we: x(t) = x 0 + v 0 t + a xt = 7, t g sin(15 ) t Op het moment t 1 waarop het blokje tot stilstand komt heeft het dus x(t 1 )m afgelegd. x(t 1 ) = 7,, 84 g sin(15 (, 84) ) = 10.m We kunnen het ook iets exacter uitrekenen: x(t 1 ) = 7, 7, g sin(15 ) g sin(15 ) = (7, ) g sin(15 ) = 10.1m ( 7, ) g sin(15 ) Conclusie: Het blokje komt na,8s tot stilstand en heeft dan 10,m afgelegd.
Opgave Een fysische grootheid y voldoet aan een vergelijking van de vorm dy + αy(t) = 0. Op moment t = 0 is de waarde van y gelijk aan 4. De dt tijdsconstante is 10 s. Wat is α? Maak hieronder een grafische voorstelling van de oplossing(τ is de tijdsconstante). Uit de grafiek moet duidelijk blijken dat je het begrip tijdsconstante beheerst. Oplossing : De oplossing van een dergelijke differentiaalvergelijking staat in het formularium: y(t) = Ae αt, met A een nog te bepalen constante. De constante A bepalen we uit de beginvoorwaarde: op het moment t = 0 moet y = 4, dus: 4 = y(0) = A. De constante α is gelijk aan 1, en is dus τ 0, 1s 1 We hebben dus dat y(t) = 4e 0,1t Nu moeten we een grafische voorstelling maken van de oplossing. We zien in de oplossing dat de streefwaarde gelijk is aan nul, dus weten we al hoe de grafiek ongeveer moet lopen: hij zal starten in y=-4 en dan steeds trager stijgen en dus steeds dichter bij nul komen. maar de tekening moet voldoende precies zijn, zodanig dat uit de tekening blijkt dat we het begrip tijdsconstante beheersen. Om dit te doen hebben we twee manieren. De eerste manier is om een lijn te trekken van het punt -4 op de y-as naar het punt τ op de lijn y = 0. Dit is de raaklijn van de grafiek op t = 0 (zie onderstaande figuur). De tweede manier is om de waarde van y uit te rekenen voor t = τ, τ,.... Uit de definitie van het begrip tijdsconstante volgt dat y(τ) = 4 1, 5, e y(τ) = 4 0, 5, etc, (zie onderstaande figuur). Nu hebben we genoeg e informatie om een vrij nauwkeurige grafiek te maken: 3
3 Opgave 3 Een staaf met massa 0 kg wordt door een scharnier en een kabel in horizontale stand gehouden. Bereken de spankracht in de kabel. Tip: hiervoor heb je enkel momenten nodig. Oplossing: Als systeem kiezen we de staaf. In de figuur zijn alle krachten getekend die op de staaf inwerken: De zwaartekracht, de spankracht in het touw en een kracht in het scharnierpunt. Merk op dat we de lengte L van de staaf niet kennen en dat de zwaartekracht aangrijpt in het massacentrum van de staaf (op de halve lengte). De staaf is in evenwicht, dus weten we dat de som van alle krachten op de staaf nul is en dat de som van alle krachtmomenten ten opzichte van het referentiepunt ook nul is. In de opgave staat dat je alleen met momenten moet werken, dus dat doen we dan ook: Allereerst moet duidelijk aangegeven worden wat het referentiepunt is van de krachtmomenten. In dit geval nemen we als referentiepunt het scharnierpunt, waar de staaf vastzit aan de muur. Dit is de meest logische keuze, omdat dan het krachtmoment van de onbekende kracht F nul is. Wat overblijft is dus: M G + M T = 0 Het krachtmoment van de zwaartekracht is r G, met r de vector die begint in het scharnierpunt en eindigt in de staart van G. De hoek tussen deze twee vectoren is 90. De grootte van M G is: LG sin(90 ) = mgl. De richting van het moment bepalen we met de rechterhandregel, en is in het blad gericht. 4
Het krachtmoment van de spankracht is r T, met r de vector die begint in het scharnierpunt en eindigt in de staart van T. De hoek tussen deze twee vectoren is 17. De grootte van M T is: LT sin(17 ). MT is uit het blad gericht. Als we willen dat deze twee krachtmomenten elkaar opheffen, moeten ze dezelfde grootte hebben, want ze hebben tegengestelde richtingen. We hebben dus dat mgl = LT sin(17 ) oftewel dat mg T = = 1, 8N sin(17 ) 5