Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat dus een verband tussen steilheid en hellingshoek: Hoe steiler de helling hoe groter de hellingshoek. Het onderstaande verkeersbord geeft aan dat het hellingspercentage van de weg 10 % is. Dat betekent dat, als we horizontaal 100 meter afleggen, we dan 10 meter omhoog gaan. a b Bij een bepaalde steilheid van de helling hoort een bepaalde hellingshoek. Om die hoek te kunnen berekenen moeten we eerst de steilheid in een getal uitdrukken. Daarvoor maken we gebruik van de bovenstaande rechthoekige driehoek. De steilheid is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde (a) tot de aanliggende rechthoekszijde (c). In ons geval is die steilheid 10 100 = 0,1. Het verband tussen de hellingshoek en de steilheid van een helling luidt: tan = steilheid tan staat voor de tangens van en is een goniometrische functie. Als we weten dat tan = 0,1 kunnen we de hellingshoek bepalen met onze rekenmachine. We spreken af dat we de hoek in graden berekenen dus zorg ervoor dat je rekenmachine ook op graden staat door het typen van [mode][mode][1]. Verder willen we het antwoord in de drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma dus zorg ook voor die instelling. Inleiding goniometrie Blz 1 van 6
We weten al hoe we bijvoorbeeld de tangens van 30 berekenen: tan(30 ) = 0,5774. Omgekeerd: als tan = 0,5774 kunnen we berekenen door de tan -1 -functie op onze rekenmachine te gebruiken. Op de CASIO fx-82 volgt [shift][tan][0,5774][=] met als antwoord 30,0021. (waarom vinden we niet precies 30?) Als tan = 0,1 berekenen we op dezelfde manier = 5,7106. Geef de antwoorden in de drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: 1 Bereken de hellingshoek in graden die hoort bij een hellingspercentage van: a) 5 % b) 20 % c) 40 % d) 100 % 2 Bepaal van de volgende hellingen door opmeting de steilheid en bereken vervolgens met je rekenmachine de hellingshoek in graden. a) b) c) d) We gaan weer even terug naar onze helling met een hellingspercentage van 10 %. Als we horizontaal 100 meter afleggen, gaan we 10 meter omhoog. Maar hoeveel meter rijden we dan precies? We moeten dan de schuine zijde van een driehoek berekenen waarvan de aanliggende zijde 100 meter is en de overstaande zijde 10 meter. Herinneren we ons nog de stelling van pythagoras b 2 = c 2 + a 2? Voor de schuine zijde b geldt dan b = (100 2 + 10 2 ) = 10100 = 100,4988 meter. Wat handig is dat onze rekenmachine een ingebouwde stelling van pythagoras bevat. Op de CASIO fx-82 volgt [Pol( ][100][,][10][ )][=] met als antwoord ook 100,4988º. Wat we eigenlijk doen is het omrekenen van rechthoek- in poolcoördinaten, we komen daar later uitgebreid op terug. Inleiding goniometrie Blz 2 van 6
Geef de antwoorden in de drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: 3 Een helling heeft een hellingspercentage van 7 %. a) Hoe groot is de hellingshoek in graden? b) Hoeveel meter moeten we rijden als we 100 meter horizontaal afleggen? c) Hoeveel meter moeten we rijden als we 350 meter horizontaal afleggen? 4 Een helling heeft een hellingspercentage van 12 %. a) Hoe groot is de hellingshoek in graden? b) Hoeveel meter moeten we rijden als we 150 meter horizontaal afleggen? c) Hoeveel meter moeten we rijden om 10 meter te stijgen? 5 Een helling heeft een hellingshoek van 4,5739. a) Bereken het hellingspercentage. b) Hoeveel meter moeten we rijden als we 250 meter horizontaal afleggen? c) Hoeveel meter moeten we rijden om 15 meter te stijgen? 6 Een zeer steile helling heeft een hellingshoek van 50. Bereken het hellingspercentage. Behalve de tangens kennen we nog meer goniometrische functies zoals de sinus, de cosinus en de cotangens, alles op een rij: sin = overstaande zijde a schuine zijde b aanliggende zijde c cos = schuine zijde b b c a tan = overstaande zijde a aanliggende zijde c aanliggende zijde c cotan = overstaande zijde a We zien dat de cotangens niets anders is dan het omgekeerde van de tangens. Inleiding goniometrie Blz 3 van 6
Dat is ook de reden dat we de cotangens niet op onze rekenmachine terug vinden. Als we bijvoorbeeld de cotan(32 ) willen uitrekenen dan bepalen we eerst de tan(32 ), gevolgd door de [x -1 ]-toets. Typ maar in: [( ][tan][32][ )][x -1 ][=]. Het resultaat is dan cotan(32 ) = 1,6003. Kennen we nog het ezelsbruggetje om te onthouden wat sinus, cosinus en tangens zijn? SOSCASTOA SOS: Sinus is Overstaande zijde gedeeld door Schuine zijde; CAS: Cosinus is Aanliggende zijde gedeeld door Schuine zijde; TOA: Tangens is Overstaande zijde gedeeld door Aanliggende zijde. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in de drijvende komma notatie met twee cijfers achter de komma: 7 Bereken in onderstaande driehoek sin, cos, tan, cotan β, sin β, cos β en cotan β. 79 35 β 87 8 Bepaal in onderstaande driehoek door opmeting de zijden en bereken vervolgens sin, tan, cos β en cotan β. Welke hulplijn moeten we trekken? Bereken ook de hoeken, β en γ. γ β Inleiding goniometrie Blz 4 van 6
In onderstaande rechthoekige driehoek geldt = 40 en zijde a = 12. We willen hoek γ en de overige zijden b en c berekenen. γ b a c β We weten + β + γ = 180 γ = 180 β = 180-40 - 90 = 50. Als we zijde c willen bepalen kunnen we een verband zoeken tussen (bekend), zijde a (bekend) en zijde c (onbekend). a 12 tan 40 12 tan = tan 40 = = kruislings vermenigvuldigen : c c 1 c 12 c tan 40 = 1 12 c = = 14,30. tan 40 De zijde b tenslotte berekenen we met de stelling van pythagoras. Op de CASIO fx-82 volgt [Pol( ][12][,][14,3][ )][=] met als antwoord b = 18,67. 9 In driehoek ABC geldt β = 90, γ = 47 en zijde c = 15. Bereken de overige hoek en zijden. 10 In driehoek ABC geldt β = 90, γ = 57 en zijde b = 20. Bereken de overige hoek en zijden. 11 In driehoek ABC geldt β = 90, = 47 en zijde b = 25. Bereken de overige hoek en zijden. Inleiding goniometrie Blz 5 van 6
Antwoorden inleiding goniometrie 1 a) 2,8624 b) 11,3099 c) 21,8014 d) 45,0000 2 a) 20,6955 b) 30,3432 c) 24,8637 d) 22,1094 3 a) 4,0042 b) 100,2447 c) 350,8565 4 a) 6,8428 b) 151,0761 c) 83,9312 5 a) 8 % b) 250,7987 c) 188,0990 6 119,1754 % 7 sin = 0,40 cos = 0,91 tan = 0,44 cotan = 2,26 sin β = 0,91 cos β = 0,40 cotan β = 0,44 8 sin 0,48 tan 0,55 cos β 0,70 cotan β 1 28,94º β 45,76º γ 105,30º 9 = 43,00º a = 13,99 b = 20,51 10 = 33,00º a = 10,89 c = 16,77 11 γ = 43,00º a = 18,28 c = 17,05 Inleiding goniometrie Blz 6 van 6