Smevtt - Wsue I Clculus Erly Trsceetls Jmes Stewrt 6th eto Sles v A. Al-Dhhr Appe A Getlle, Vermele, Oeljhee e Absolute Wre N = {0,,,, } Ntuurlje etlle Z = {,-,-,-,0,,,, } Gehele etlle Q = { } Rtole etlle R = lle oe le ecmle otwele Reële etlle C = Complee etlle,b Ope tervl [,b] Geslote tervl Hoostu Fuctes e Moelle. Fuctes, represettes Dome oer wortel/eelstreep eljstelle 0 Bere heel root/le etl ucte vulle. Eve ucte Oeve ucte. Verschllee type uctes Polyoom p 0 Mchtsucte Rtole ucte met R met R 0,, P met P e Q ls polyome Q Alebrïsche ucte = ee ucte e ut polyome ecostrueer wore met behulp v lebrïsche bewere Goometrsche uctes Epoetële ucte met 0 Lortmsche ucte =rotl s cos lo met 0 e Dome = 0, Bere=R t csc sec cot s cos - = rcs - = rccos - = rct s cos t
. Neuwe uctes ut oue uctes Vertcle e horotle verschuve: c>0 c omhoo over ee st c c oml over ee st c c r ls over ee st c c r rechts over ee st c Utree e Smerue: c> c ret vertcl ut met ctor c rut vertcl sme met ctor c c c rut horotl sme met ctor c Speele: ret horotl ut met ctor c c speelt e -s speelt e y-s Smestell v uctes.5 Epoetële uctes y y b b y y y y.6 Iverse uctes e lortme Ijecteve ucte ee horotle lj oot meer éé eer sje. Iverse - y y espeel e lj =y
Hoostu - Lmete e Aelee. De et v ee ucte Lmet = ls je mr cht eoe bj eemt, omt o cht bj L ls je mr wlt. L Ler-et ls je mr cht eoe v e lert lt ere tot, omt o cht bj L ls je mr wlt. L Rechter-et ls je mr cht eoe v e rechtert lt ere tot, omt o cht bj L ls je mr wlt. L. Lmetberee R c c c 0 mts Drect vulle stell ls ee mooe ormule-ucte s wr het etput oer probleem wore evul, moe we het et bereee oor het vulle v t etput. Lmet v ee rtoele ucte = otbe ctore voorbeel: 0 6 5 5 5 Worteltruc e rtoele ucte vermevule met het omeeere v e teller voorbeel: 7 7
Islutstell voor lle e buurt v elt: h L e L h L.5 Cotuïtet Cotu Ls-cotu Rechts-cotu Tussewrestell Als cotu s op het eslote tervl [,b] e b, bestt er voor el etl N tusse e b ee wre c,b o t: c=n.6 Lmete op oe Met ee rtoele ucte wrbj het et utomt op moet je e ucte ele oor e hooste mcht e oemer, om toch op ee et te ome..7 Aelee h h h 0.8 De elee ls ucte Als bestt, heet ereteerbr. E s oo cotu.
Hoostu Het Bereee v e Aelee. Aelee v polyome e epoetële uctes e e. Prouctreel e quotëtreel Quotëtreel = Prouctreel =. Aelee v oometrsche uctes cos cos s s t s cos cos s s cos s sec cos cos cos cos s 0 cos cos cos csc s s s s s.4 De ettreel Epoetële uctes l.6 Aelee v lortmsche uctes l lo l.0 Lere beere e eretle Lere beer Lerste v ro L csc cot
Hoostu Oee Rje e Reese.0 Tylor- e Mclur polyome e rs Tylorpolyoom v ro T e rs Tylorpolyoom v ro! T e rs Tylorpolyoom v ro T!!! Mclur-polyoom = =0 ee Tylor-Polyoom Oeljhe v Tylor =! M R. Boml-polyome! p p p Mclur-polyoom v =!!!
Hoostu 4 Eeschppe e Toepsse v e Aelee 4. Mmle e mmle wre bsoluut o lobl mmum cd ls c voor lle D bsoluut o lobl mmum cd ls c voor lle D locl o relte mmum cd ls c voor lle e buurt v c locl o relte mmum cd ls c voor lle e buurt v c Etreme Wre Stell = Ee cotue ucte eemt op ee eslote tervl ee bsoluut mmum e ee bsoluut mmum. Stell Fermt = Als ee lol mmum o mmum heet c e s ereteerbr c el c=0 4. Melwre-stell Stell Rolle ls : Cotu s op [,b] Dereteerbr s op,b = b D bestt er ee met c=0 Melwre Stell ls : Cotu s op [,b] Dereteerbr s op,b D bestt er ee met c b b 4. Lole etrem e bupute Als > 0 op ee tervl,b, stjt op,b. Als < 0 op ee tervl,b, lt op,b. Als op ee tervl,b e rlje e re v oer e re le, heet coc r bove. Als op ee tervl,b e rlje e re v bove e re le, heet coc r beee. Als cotu s c e e re v verert c v coc r bove r coc r beee o ersom, heet c ee buput v. 4.4 Reel v L Hosptl Als er bj ee etberee ee v het volee ut omt moet je e Reel v L Hosptl toepsse: bj ee reel ereteer je e teller e oemer LET OP: et e breu eretëre
Hoostu 5 Iterle 5. Oppervlte e ste Ler-eput-methoe = ee beer v e oppervlte. We ele e -s stujes e me stjes op e hoote t het ler-ut-put v het stje e re rt. E bereee we e oppervlte v lle stjes sme. Rechter-eput-methoe = elj e ler-eput-methoe mr met het rechter put v het stje. Melput-methoe = elj e ler-eput-methoe mr met het meput v het stje. 5. De beple terl Prtte = het elje stue verele v ee tervl. Rem-som = Oppervlt e t b Beple terl = Iter = Iterteree = e b Cotu uctes j tereerbr Oppervlte s het ebe t wort eslote oor: De re v De -s De lje = e =b 5. De hoostell v Clculus Hoostell v Clculus = Als ee cotue ucte s op het tervl [,b]. D s e ucte eeeer oor: 5.4 De obeple terl t t. Cotu op [,b] e ereteerbr op,b Obeple terl = F = ee ucte Beple terl = etl Ee ucte heet oe veel prmteve, us bj e prmteve ucte moet er o +C chter Strprmteve e e C C l cos s C s cos C
t C cos s C t C s cos s s cos cos cos 5.5 Substtutereel b s Substtutereel = b u u us met verere. De ter verer. De eretl verert. De terteree verere Eve ucte Oeve ucte = 0 0
Hoostu 7 Itertetechee 7. Prteel terere Als e ereteerbr j, elt het prteel terere: Voorbeel: cos s s s cos C u v uv v u 7.8 Oeelje terle Type = terle over ee oe terte-tervl Als e ete herv best hete e terle coveret Als e ete et best o r ± hete e terle veret Type = terle v uctes e ee scotuïtet hebbe op het terte-tervl Als cotu s op [,b mr scotu b, b b, e terl heet coveret. t t b t e t b
Appe G Complee Getlle Complee etlle heet het reële eel y heet het mre eel = - Moulus bsolute wre v y 4 Polre vorm = cos + s y = rumet v y t Reereels: s cos s cos s cos cos s s cos Formule v Euler s cos e 0 e
Dereteverelje Ee ereteverelj s ee verelj wr ee relte tusse opeevolee elemete v ee rj vstele wort. De ore v ee ereteverelj s elj het tl elemete v e rj wr X uterut wore. De lemee oploss v ee vl s e vermel v lle rje e e vl voloe. Ee bewreprobleem BWP s ee vl met bevoorwre. e ore ereteverelj b Als = 0 heet e vl homoee, ers homoee Krterstee verelj b 0 Alemee reële oploss 6 0 ; h c c c, c C 0 5 0