Ogelijkhede groep 2 Jese e Muirhead Traiigsweek 8 13 jui 2009 1 Jese Defiitie covex) Zij f : R R ee fuctie. We oeme f covex op [a, b] als voor elke x, y [a, b] geldt de koorde met eidpute x, fx)) e y, fy)) bove of op de grafiek va f ligt op [x, y], oftewel f1 t)x+ty) 1 t)fx)+tfy) voor alle t [0, 1]. Defiitie cocaaf) Zij f : R R ee fuctie. We oeme f cocaaf op [a, b] als f op [a, b] covex is. Expliciet: f is cocaaf als voor elke x, y [a, b] geldt de koorde met eidpute x, fx)) e y, fy)) oder of op de grafiek va f ligt op [x, y], oftewel f1 t)x + ty) 1 t)fx) + tfy) voor alle t [0, 1]. Lemma Zij f : R R ee fuctie die tweemaal differetieerbaar is op [a, b]. i) Als f x) 0 voor alle x [a, b], da is f covex op [a, b]. ii) Als f x) 0 voor alle x [a, b], da is f cocaaf op [a, b]. Stellig Ogelijkheid va Jese) i) Zij f : R R ee fuctie die covex is op [a, b] e positief geheel. Da geldt voor alle t 1,..., t [0, 1] met i=1 t i = 1 e voor x 1,..., x [a, b] E dus geldt i het bijzoder ) x1 + + x f ft 1 x 1 + + t x ) t 1 fx 1 ) + + t fx ). fx 1) + + fx ). ii) Zij f : R R ee fuctie die cocaaf is op [a, b] e positief geheel. Da geldt voor alle t 1,..., t [0, 1] met i=1 t i = 1 e voor x 1,..., x [a, b] E dus geldt i het bijzoder ) x1 + + x f ft 1 x 1 + + t x ) t 1 fx 1 ) + + t fx ). fx 1) + + fx ). 1
We bewijze de covex -versie: Zij f : R R ee fuctie die covex is op [a, b] e positief geheel. Da geldt voor alle t 1,..., t [0, 1] met i=1 t i = 1 e voor x 1,..., x [a, b] ft 1 x 1 + + t x ) t 1 fx 1 ) + + t fx ). Voor = 2 staat hier trouwes precies covexiteit. Bewijsschets Iductie. Voor = 1 okay. Voor > 1: als t = 1, da staat hier fx ) fx ); okay. Zoiet, haal da factor 1 t ) 0 buite haakjes e schrijf ) t 1 x 1 + + t 1 x 1 + t x als volgt als tweeterm: t 1 t ) 1 1 t x 1 + + t 1 1 t x 1 + t x. Pas u achtereevolges covexiteit e de IH toe. ) t Bij het toepasse va covexiteit moete we wel zeker wete 1 1 t x 1 + + t 1 1 t x 1 [a, b]. Bewijs: Stel z.b.d.a. de x i georded zij, da zie we a x 1 = t 1 x 1 + + t x 1 t 1 x 1 + + t x t 1 x + + t x = x b dus gewoge gemiddelde blijve i [a, b]. Opgave 1.1. Laat a e b twee positieve reële getalle zij met a + b = 1. Bewijs voor elke gehele positieve geldt a + b 1 2 1. Opgave 1.2. Laat α, β e γ de hoeke va ee driehoek zij. Bewijs si α + si β + si γ 3 2 3. Opgave 1.3. Zij 2 ee geheel getal e laat a 1,..., a > 0 reële getalle zij. Bewijs a 1 a 2 a + + + a 2 + + a a 3 + + a + a 1 a 1 + + a 1 1. Opgave 1.4. Zij ee positief geheel getal e laat a 1,..., a > 0 reële getalle zij met i=1 a i = 2. Bewijs a 2 1 1 + a 2 + + a + a 2 2 1 + a 3 + + a + a 1 + + a 2 4 1 + a 1 + + a 1 3 2. Opgave 1.5. Laat a, b e c drie positieve reële getalle zij met a + b + c = 1. Bewijs a + a) 1 2 + b + 1 ) 2 + c + 1 ) 2 100 b c 3. 2
Opgave 1.6. Laat α, β e γ de hoeke va ee driehoek zij. Bewijs ta α 2 + ta β 2 + ta γ 2 3, α ) ) 2 2 β γ ) 2 ta + ta + ta 1. 2 2 2 Opgave 1.7. Laat a, b, c e d vier positieve reële getalle zij met abcd = 1. Bewijs a 3 + b 3 + c 3 + d 3 a + b + c + d. Opgave 1.8. Zij ee positief geheel getal e laat x 1,..., x, t 1,..., t reële getalle zij met i=1 t i = 1. Bewijs de gewoge rekekudig-meetkudig-gemiddelde-ogelijkheid. Dat wil zegge t 1 x 1 + + t x x t 1 1 x t. Opgave 1.9. Laat α, β e γ de hoeke va ee driehoek zij. Bewijs 1. si α si β si γ 3 8 3, 2. si α 2 si β 2 si γ 2 1 8. Opgave 1.10. Zij ee positief geheel getal e laat r 1,..., r 1 positieve reële getalle zij. Bewijs r1 r + 1 1 r 1 + 1 + + 1 r + 1. Shortlist IMO 1998 Opgave 1.11. Zij ee geheel getal 2 gegeve. Vid de miimale waarde va x 5 1 x 5 2 x 5 + + + x 2 + + x x 3 + + x + x 1 x 1 + + x 1 voor x 1, x 2,..., x positieve reële getalle met x 2 1 + + x 2 = 1. Opgave 1.12. Laat a, b e c positieve reële getalle zij. Bewijs a a2 + 8bc + b b2 + 8ca + c c2 + 8ab 1. Turkije 1997 3 IMO 2001
2 Muirhead Domiate rijtjes Laat t 1,..., t e s 1,..., s twee rijtjes iet oodzakelijkerwijs gehele of positieve) getalle zij met t 1 t 2 t 3 t e s 1 s 2 s 3 s. We zegge het rijtje t i het rijtje s i domieert, otatie t i ) s i ), als het volgede geldt: 1) t 1 + t 2 + + t = s 1 + s 2 + + s ; 2) voor alle 1 k < geldt t 1 + + t k s 1 + + s k. Stellig va Muirhead Stel het rijtje t i domieert het rijtje s i. Da geldt voor alle x i > 0 de ogelijkheid x t 1 1 x t 2 2 x t x s 1 1 x s 2 2 x s. sym sym De som is over alle! mogelijke permutaties va de variabele x 1,..., x dus de som va de coëfficiëte moet! zij!). Voorbeeld Om 2, 0, 0) 1, 1, 0), geldt voor alle x, y, z > 0 2x 2 +2y 2 +2z 2 2xy +2yz +2zx, dus x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx. Om 3, 0, 0) 1, 1, 1), geldt voor alle x, y, z > 0 2x 3 + 2y 3 + 2z 3 6xyz, dus x 3 + y 3 + z 3 3xyz. Opgave 2.1. a) Wat volgt er uit 2, 0) 1, 1)? b) Wat volgt er uit 5, 0) 3, 2)? c) Wat volgt er uit 2, 2, 0) 2, 1, 1)? d) Wat volgt er uit 1, 0,..., 0) 1, 1,..., 1 )? e) Wat volgt er uit 1, 1) 0, 0)? Opgave 2.2. Laat a, b e c gegeve reële getalle zij met a 2 + b 2 + c 2 = 1. Bewijs 1 2 ab + bc + ca 1. Opgave 2.3. Laat x, y e z positieve reële getalle zij met xyz = 1. Bewijs x+y+z x 2 + y 2 + z 2. Opgave 2.4. Laat a e b positieve reële getalle zij. Bewijs b 2 a a + 2 b a + b. Opgave 2.5. Laat a, b, c e d positieve reële getalle zij met abcd = 1. Bewijs a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd 10. 4
USSR 1962 Opgave 2.6. Laat a, b e c positieve reële getalle zij. Bewijs met symmetrische somme a 3 + b 3 + c 3 a 2 + b 2 + c a + b + c ab + bc + ca 3 abc. 2 3 3 Opgave 2.7. Laat a, b e c positieve reële getalle zij. Bewijs 1 + a ) 1 + b ) 1 + c ) 2 1 + a + b + c ) b c a 3. abc Azië e Pacifisch gebied 1998 Opgave 2.8. Bewijs voor alle positieve reële getalle a, b e c geldt 1 a 3 + b 3 + abc + 1 b 3 + c 3 + abc + 1 c 3 + a 3 + abc 1 abc. Opgave 2.9. Laat x 1, x 2, x 3 e x 4 positieve reële getalle zij met x 1 x 2 x 3 x 4 = 1. Bewijs { 4 4 } 4 x 3 1 i max x i,. i=1 Opgave 2.10. Laat a, b, c positieve reële getalle zij met abc = 1. Bewijs i=1 i=1 1 a 3 b + c) + 1 b 3 c + a) + 1 c 3 a + b) 3 2. x i Ira 1998 IMO 1995 Opgave 2.11. Laat a, b e c positieve reële getalle zij. Bewijs de stellig va Schur, wil zegge a 3 + b 3 + c 3 + 3abc aba + b) + bcb + c) + cac + a). IMO 1964 Bewijs ook het algemeere geval, welk ook de stellig va Schur wordt geoemd; voor x, y e z positieve getalle e voor elke r > 0 geldt x r yz 0. sym x r+2 2 sym x r+1 y + sym 5
Opgave 2.12. Laat x, y e z positieve reële getalle zij waarvoor geldt x + y + z = 1. Bewijs 0 xy + yz + zx 2xyz 7 27. Opgave 2.13. Bewijs voor alle reële positieve a, b e c geldt b + c a) 2 c + a b)2 a + b c)2 + + b + c) 2 + a2 c + a) 2 + b2 a + b) 2 + c 3 2 5. Opgave 2.14. Laat a, b e c positieve getalle zij met abc = 1. Bewijs a 1 + 1 ) b 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. b c a IMO 1984 Japa 1997 IMO 2000 6