Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd een lihtflits die aan de voorkant weerkaatst en de kogel even later treft. W en W zijn het alleen eens over de plaats in de trein waar kogel en lihtstraal elkaar treffen. De afstand tussen de voorkant en die trefplaats is een fratie, f, van de lengte L. Over de waarde van f zijn ze het eens. Over alle afstanden en tijden zijn ze het vanwege tijdrek en lengtekrimp oneens, maar omdat die aan het eind allemaal zullen wegvallen geven we daar geen vershillende namen aan. Het gaat om f. W ziet een kogel met onbekende snelheid w en een ruimteship met bekende snelheid v. Hij wil weten hoe groot w is. Volgens W geldt voor de trefplaats: via de kogel: x = w (t + t ) en via het liht: x = (t t ) Combineren leidt tot: t w ( + w) t = ( w) t t w Voor het liht geldt volgens hem ook: L + v t = t L = ( v) t en f L v t = t f L = ( + v) t Delen leidt tot: v t v w f v t v w Volgens W geldt voor de trefplaats: via de kogel: x = u (t + t ) en via het liht: x = (t t ) Combineren leidt tot: t u ( + u) t = ( u) t t u Voor het liht geldt volgens hem ook: L = t en f L = t Delen leidt tot: t u f t u Stel de twee formules voor f aan elkaar gelijk v w u ( v)( w)( u) ( v)( w)( u) v w u Werk alle haken weg w( + uv) = u v (u + v) w uv Bewijzen en toegiften / 8
= m Het bewijs in het katern is gebaseerd op de Doos van instein, dat is een bewijs dat instein zelf publieerde in Annalen der Physik, 0 (906): 66-633: Das Prinzip von der rhaltung der Shwerpunktsbewegung und die Trägheit der nergie. Later werd duidelijk dat het bewijs aangepast moet worden, want als het foton zih afzet tegen de doos komt de andere kant van de doos niet meteen in beweging. r gaat een shokgolf door de wanden van de doos naar de andere kant en die gaat véél langzamer dan het foton. In het boek van Frenh is dit bewijs te vinden: Twee massa s m en m bevinden zih in rust op een afstand L van elkaar. Het zwaartepunt van deze twee massa s bevindt zih bij Z, volgens M z = m 0 + m L. met M = m +m Op t = 0 zendt m een foton uit met energie en impuls /. Het lijkt daarbij alsof m een hoeveelheid massa m verliest; de overgebleven massa (m m) krijgt de impuls / v ( m m) Na een tijd L/ arriveert het foton bij m. Dat neemt als het ware die massa m op en de nieuwe massa (m + m) krijgt de impuls / v ( m m) Op een later tijdstip t is dit de situatie: x t ( m m) Hieruit volgt: L M z = (m m) x + (m + m) x x ( t ) L ( m m) t L L M z ( t ) ( m m) L m L m L Het zwaartepunt van het hele systeem kan niet van zijn plaats zijn gekomen, want er hebben geen uitwendige krahten gewerkt. Daaruit volgt: L M z m L m L m L m m De energie van het foton vertegenwoordigt dus een hoeveelheid massa m die berekend kan worden met m = /. Het kan nog simpeler: en atoom staat stil in de oorsprong en zendt op t = 0 een foton uit met energie en impuls /. Het atoom met massa M (ná het uitzenden van het foton) krijgt daardoor de impuls / en dus de snelheid v = /(M ). Het foton vertegenwoordigt een massa m. Het zwaartepunt van beide bevindt zih onmiddellijk na t = 0 in de oorsprong. Na de tijd t = L / heeft het atoom de afstand x afgelegd en het foton de afstand L. L x en x = L M Het zwaartepunt moet zih nog steeds in de oorsprong bevinden: M x + m L = 0 L L M x 0 m L m Bewijzen en toegiften / 8
3 De t -as en de t(x)-grafiek van de raket We kunnen de stelsels S voor W en S voor W ombineren door de lijnen voor een lihtstraal op elkaar te leggen. We moeten dan wel de rihting van de t -as gelijk maken aan die van de t(x)-grafiek van de raket. De t-as is de lijn met x = 0. Dit is de wereldlijn van de man die de raket op t = 0 ziet passeren. Op dezelfde manier is de t -as is de lijn met x = 0. Dit is de wereldlijn van de raket. Combineer je dat laatste met de lorentz-transformatie, dan krijg je vanzelf de vergelijking van de raket in stelsel S: x = 0 en x = (x t) x t = 0 x = t Beide rode assen maken dezelfde hoek met de zwarte assen; tan =. 4 De afleiding van instein voor de lorentz-transformatie De manier waarop instein de lorentz-transformatie afleidt gaat zo. In beide stelsels geldt voor het liht: in positieve rihting: x t = 0 en x t = 0 in negatieve rihting: x + t = 0 en x + t = 0 0 = 0 dus ook 0 = 0 en 0 = 0 Pas dat toe op de regels hierboven: x t = (x t) x t = x t x + t = (x + t) x + t = x + t) Via optellen en aftrekken van de regels en met ( + )/ = a en ( )/ = b krijg je: x = a x b t en t = a t b x xʹ = p (x q t) en tʹ = p (t q x) Dit lijkt al op de formule die in het katern genoemd wordt. Nu moet alleen nog bewezen worden dat p = en q =. Vul xʹ = 0 in 0 = p (x q t) x q t = 0 ofwel: x = q t xʹ = 0 is de oorsprong van stelsel Sʹ. Dit punt beweegt in stelsel S volgens: x = t Maar dat betekent dat q =. We hebben nu gevonden: xʹ = p (x t) en tʹ = p (t x) () Om p te pakken te krijgen maak je gebruik van de eis dat voor de inverse transformatie geldt: x = p (xʹ + tʹ) en t = p (tʹ + xʹ) () Deze eis volgt diret uit het eerste postulaat: voor vershillende inertiaalstelsels moeten dezelfde soort formules gelden; wordt vervangen door omdat stelsel S voor de reizigers in S naar links beweegt. Vul x en t van () in bij de formule van x bij (): x = p {p (x t)} + {p (t x)} x = p x p t + p t p x x = x (p p ) + 0 p ( ) = p Bewijzen en toegiften 3 / 8
5 De eenheden op de assen Als je bij wikipedia Minkowski intikt, vind je daar dat de lengtes van de eenheden op de assen als volgt in elkaar kunnen worden omgerekend: e e Het bewijs gaat met behulp van de lorentz-transformatie erg makkelijk. De afstand [0 ] op de x-as heeft de lengte e ; de vertiale afstand [ A] heeft daarom de lengte e. De blauw omirkelde waarden zijn dus lengtes die je in m kunt meten waarop je Pythagoras mag toepassen. Pas de lorentz-transformatie toe om de rode oördinaten van A te berekenen: x = ( ) = ( ) = / = t = ( ) = 0 Voor de lengte [0 A] op de x -as kunnen we dus shrijven: OA e e Hiermee is het bewijs voor de formule geleverd. Bewijzen en toegiften 4 / 8
6 Het dopplereffet bij liht en astronaut zendt radio(liht!)signalen uit met een periode T. Op t = 0 de signalen en en op t = T de signalen 3 en 4. Op t = 0 bevindt hij zih bij waarnemer W en op t = T bij waarnemer W. W ontvangt (met periode T ) signalen vanuit een bron die zih verwijdert en W ontvangt (met periode T ) signalen vanuit een bron die nadert. In grafiek zit dat er zo uit: Bij de berekeningen hierna heb je nodig: en γ ( ) ( ) Uit de figuur volgt voor W : T = T + T T = ( + ) T ( ) T T T en voor W : T > T en f < f T = T T T = ( ) T ( ) T T T T < T en f > f Bewijzen en toegiften 5 / 8
7 Boeiende plaatjes Deze plaatjes vond Ruud op internet. http://www.phys.vt.edu/~takeuhi/relativity/notes/index.html Dit zijn klokken in stelsel S; ze lopen allemaal gelijk. De vertiale lijnen evenwijdig aan de t-as zijn de wereldlijnen van de klokken die in stelsel S gelijk lopen. De x-as betekent: t = 0. Bewijzen en toegiften 6 / 8
Dit zijn klokken in stelsel S ; ook die lopen allemaal gelijk. De sheve lijnen evenwijdig aan de t -as zijn de wereldlijnen van de klokken die in stelsel S gelijk lopen. De x -as betekent: t = 0. Bewijzen en toegiften 7 / 8
Tijdrek Leuk plaatje, maar wel dubieus, want er worden twee soorten klokken door elkaar gehaald: de zwarte van S en de rode van S. Daarom heb ik het plaatje aangepast. Het tweede zwarte mannetje links kan niet op de rode klok naast hem kijken. Het kleine zwarte mannetje naast het kleine zwarte klokje kan dat wel. Maar die kijkt naar een rode klok op een vroeger tijdstip. Het rode mannetje in de grote auto bovenaan kan niet op de zwarte klok links onder hem kijken. Het kleine rode mannetje in het kleine autootje naast het kleine rode klokje kan dat wel. Dat kleine mannetje zit ahterin de auto. Hij kijkt naar een zwarte klok op een vroeger tijdstip. Bewijzen en toegiften 8 / 8