Gecijferdheid II Meten 1: grootheden en eenheden, metriek stelsel, referentiematen en schatten, schaalbegrip, gevarieerde berekeningen met afstand, oppervlakte, inhoud of gewicht, Reader bij cursuscode PABCIJ2 (Rotterdam) PABCIJD2 (Dordrecht)
Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE 1 LES 1 INLEIDING METEN EN REFERENTIEMATEN AFSTAND 2 1.1 Inleiding 2 1.2 Maatschappelijke relevantie van meten 2 1.3 Grootheden, eenheden 4 1.4 Referentiematen en schatten (afstanden) 5 LES 2 HET METRIEKE STELSEL EN REFERENTIEMATEN OPPERVLAKTE 7 2.1 Metrieke stelsel 1 7 2.2 Referentiematen en schatten (oppervlakte) 10 LES 3 HET METRIEKE STELSEL EN REFERENTIEMATEN INHOUD/GEWICHT 11 3.1 Metrieke stelsel 2 11 3.2 Referentiematen en schatten (inhoud) 15 LES 4 SCHAALBEGRIP, BEREKENINGEN MET OMTREK, OPPERVLAKTE 17 4.1 Schaalbegrip 17 4.2 Berekeningen met omtrek, oppervlakte 20 LES 5 BEREKENINGEN MET INHOUD EN GEVARIEERDE OPGAVEN 25 5.1 Berekeningen met inhoud 25 5.2 Gevarieerde opgaven 28 BIJLAGE 1 HET METRIEKE STELSEL 31 1
Les 1 Inleiding meten en referentiematen afstand In de eerste les van deze module wordt het onderwerp meten ingeleid. De maatschappelijke relevantie van meten wordt behandeld en de begrippen grootheid en eenheid. Ten slotte wordt een begin gemaakt met referentiematen en het schatten van maten, meer specifiek het schatten van afstanden. 1.1 Inleiding Bij meten hebben we te maken met grootheden als lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd. Aan deze grootheden kunnen meetgetallen worden toegekend: de lengte van een lat is ongeveer 90 centimeter, de oppervlakte van mijn kamer is 20 vierkante meter, over deze opgaven doe ik 4 minuten, enzovoorts. Meten is een veel omvattend domein; het is niet mogelijk om opgaven waarbij meten een rol speelt, in één categorie te plaatsen. In bijna alle andere leerstofgebieden zijn er opgaven waarbij meetactiviteiten een rol spelen. Het gaat hier vooral om: Berekeningen met omtrek, oppervlakte en inhoud. Toepassingssituaties met herleidingen binnen het Metriek Stelsel. Het kiezen van de juiste maat. Kale herleidingen binnen het Metriek Stelsel. Toepassingssituaties waarbij het begrip schaal centraal staat. Schatten en gebruiken van referentiematen 1.2 Maatschappelijke relevantie van meten Hieronder volgt een tekst uit de kennisbasis voor rekenen-wiskunde: Het gebruik van rekenen-wiskunde in het dagelijkse leven komt nadrukkelijk naar voren bij het meten. Vrijwel alle getallen waar we in de realiteit mee te maken hebben, zijn meetgetallen. Daaraan ontleent het meten zijn betekenis. Dit komt bijvoorbeeld naar voren als we op de verpakking van een willekeurige pak rijst kijken. De meetgetallen geven gewicht, tijd, datum, inhoud, vermogen en voedingswaarde aan. Van de gebruiker wordt verwacht dat deze de getallen vertaalt naar de eigen situatie. Meten doen we dagelijks, al is het vaak onbewust. We verrichten meetactiviteiten bij het omgaan met een weegschaal met geheugen, de instellingen van vrieskist, oven en magnetron, het zetten van koffie, het instellen van een tijdschakelaar of de DVD-recorder en het maken van een back-up van de computer. Verder zijn we met geld en met tijd doorlopend bezig met meetgetallen en de onderlinge relaties daartussen. Meetgetallen vindt men daarnaast veel in de media. Meten komt bijvoorbeeld naar voren bij berichten over financiën, over (voorgestelde veranderingen in de) infrastructuur, bij beschrijvingen en grafische weergaven van ontwikkelingen in de tijd en bij verslaggeving van sportevenementen. 2
Kennis van meten Bij het meten gaat het zowel om toepasbaarheid als om de onderliggende wiskundige structuur (Freudenthal, 1983). Het metriek stelsel is een systeem dat in de loop der jaren is ontwikkeld en in de meeste West-Europese landen in de loop van de 19 e eeuw is ingevoerd (Van der Waerden, 1961; Van Maanen, 2002; Robinson, 2007). Het metriek stelsel sluit nauw aan bij het tientallig getalsysteem. De startbekwame leerkracht doorziet deze systematiek en kan deze verklaren, ook vanuit historisch perspectief. Het metriek stelsel Relaties binnen het metriek stelsel zijn gebaseerd op betekenissen van voorvoegsels en op de maat waarmee gemeten wordt. Het voorvoegsel hecto staat voor 100 en daarom gaat het bij een hectometer om 100 meter en bij een hectogram om 100 gram. Deze voorvoegsels maken het ook mogelijk nieuwe, minder gangbare maten te construeren, zoals de decaseconde (10 seconde) of k (kilo-euro, oftewel 1000 euro). Ook de omtrek-, oppervlakteen inhoudsformules horen tot relaties binnen het metriek stelsel. De onderliggende structuur van zulke formules is die van handig en verkort tellen. Zo kan de oppervlakteformule lengte x breedte gezien worden als het handig tellen van hokjes van de standaardmaat (bijvoorbeeld cm²) in termen van zoveel rijen van zoveel hokjes (Battista, 1982). De opbouw van het metriek stelsel sluit nauw aan bij de opbouw van het tientallig getalsysteem. Zo verschillen bijvoorbeeld lengtematen (met bovenstaande voorvoegsels) onderling met een factor tien. Bij oppervlaktematen is dat een factor honderd en bij kubieke inhoudsmaten is dat een factor duizend. Bij gewone inhoudsmaten is het weer een factor tien. Een voorbeeld van een specifieke relatie is: een liter is gelijk aan een kubieke decimeter. Tussen inhoud en gewicht is geen vaste relatie (zo weegt een kubieke decimeter water bij een temperatuur van 4 graden Celsius precies een kilo, maar een liter melk weegt net wat meer dan een kilo). Van leerkrachten wordt verwacht dat ze de systematiek in het metrieke stelsel kennen en kunnen gebruiken (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen, 2008b). Grootheden en maten De leerkracht kent de grootheden rond gewicht, lengte, oppervlakte en inhoud en bijbehorende metrische maten. Hij kent ook de grootheden temperatuur, geld en tijd en daarbij behorende maten. Verder kent hij samengestelde grootheden, die zijn gebaseerd op genoemde grootheden, zoals snelheid. Samengestelde maten worden geconstrueerd om te normeren of te standaardiseren, om te situaties te vergelijken, bijvoorbeeld kilometer per uur, liter per minuut (bijvoorbeeld de waterdruk op een kraan), kilometer per liter (verbruik van een voertuig) of liter per vierkante meter (op een verfblik). Grootheden die niet binnen het metriek stelsel passen zijn tijd, geld en temperatuur. De hierbij gebruikte maten zijn anders gestandaardiseerd dan metrische maten. Maten voor tijd hebben (deels) een sexagesimaal karakter. Bij geld liggen de relaties tussen de verschillende maateenheden (valuta) nog complexer. Verschillende valuta en wisselende wisselkoersen maken dat het om wisselende relaties gaat. Geld wordt niet altijd als grootheid gezien. Temperatuur wordt (bijvoorbeeld) uitgedrukt in graden Celcius. Deze maat is wel decimaal, maar niet metrisch. Wiskundetaal bij meten Bij meettaal gaat het om: - Woorden die gebruikt worden om grootheden te vergelijken, zoals langer, korter, groter en meer. - Woorden die refereren aan natuurlijke maten, zoals stap, handspan en duim. 3
- Voorvoegsels die gebruikt worden om standaardmaten binnen het metrieke stelsel te vormen. - Aanduidingen voor kwadratische en kubische relaties, bijvoorbeeld vierkante meter of m² en kubieke centimeter of cm³. De aanduiding komt niet letterlijk overeen met de realiteit; een vierkante meter hoeft niet vierkant te zijn en een kubieke centimeter niet kubusvormig. Kennis van meten die niet geheel tot de leerstof van de basisschool hoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn van PO naar VO) betreft bijvoorbeeld de verschillende betekenissen van ton bij gewicht, geld en inhoud, het bepalen van de oppervlakte van een cirkel en dat temperatuur ook kan worden gemeten in de maat Kelvin. 1.3 Grootheden, eenheden Opdracht 1 Pak uit de grabbelton de verschillende grootheden? Zet achter elke grootheid een bijbehorende eenheid. grootheid Bijpassende eenheid Grabbelton (alles door elkaar) Are Temperatuur Kcal Afstand mg Oppervlakte Dam Energie C Gewicht Standaardiseren van maten: Veel maateenheden stonden vroeger niet eenduidig vast en al helemaal niet in een tientallige verhouding. Tot de Franse tijd was er geen uniformiteit in het hanteren van allerlei maten. Bijvoorbeeld een paar lengtematen (tot 1816): Duim Oude Nederlandse lengtemaat die ongeveer gelijk is aan de breedte van het bovenste kootje van de duim van een volwassen man. Een duim heeft afhankelijk van de streek een andere lengte. Amsterdamse duim is 2,573 cm Franse duim is 2,7 cm Hondsbosse en Rijpse duim is 2,4 cm Rijnlandse duim is 2,6 cm Een duim komt tegenwoordig overeen met een Engelse inch (2,54 cm). In de techniek wordt de duim nog wel eens informeel gebruikt, men spreekt dan bijvoorbeeld van een drieduims pijp. Een ander overblijfsel is het woord duimstok (Wikipedia) El Een el is een oude lengtemaat en bedroeg (althans in Nederland) circa 69,4 cm. De maat werd lokaal, in ieder belangrijk handelscentrum, vastgesteld waardoor er verschillen optraden: Amsterdamse el 68,8 cm Brabantse el 69,2 cm of 16 tailles Delftsche el 68,2 cm Haagse of gewone el 69,4 cm Twentse el 58,7 cm 4
De naam el is afgeleid van (maar niet even lang als) de lengte van de onderarm, de ellepijp. Men kon zo op een eenvoudige manier lengtes meten. Omdat niet ieders arm even lang is, werd de el in 1725 gestandaardiseerd op de Haagse el. Sinds de invoering van het metriek stelsel in 1816 raakte de el in onbruik. Voet De voet kan zowel een lengtemaat als een oppervlaktemaat zijn en heeft afhankelijk van de plaats een verschillende maat. De voet als lengtemaat: De Amsterdamse voet is 0,283 m De Brusselse voet meet 0,27575 m De Henegouwse voet meet 0,2934 m De Duitse voet is 0,326 m Het omrekenen van lengtematen van de ene eenheid naar een andere was hierbij een lastig klusje. Opdracht 2 Zoek eens uit hoeveel Amsterdamse duim in 1 Amsterdamse voet passen? Hoeveel Amsterdamse voet passen in 1 Amsterdamse el? Hoeveel Amsterdamse duimen passen dan in 1 Amsterdamse el? Opdracht 3 De film begint om 18.45 en duurt 2,5 uur. Op welk tijdstip is de film afgelopen? Siem doet: 18,45 + 2,50 = 20,95. Waarom kunnen we met tijdsmaten niet gewoon cijferen? Opdracht 4 Uit de krant: Rond 1984 was er een obscuur actiegroepje dat propaganda maakte voor decimale tijdrekening. Dus 10 sec in een minuut, 10 minuten in een uur, 10 uur in een dag en dan zo door. Natuurlijk dan wel met andere eenheden (want seconden en minuten horen bij een ander talstelsel). Op die manier zou je veel makkelijker kunnen uitrekenen hoe lang iets duurt en wanneer je geboren bent, enzovoorts. Ook het omrekenen zou veel makkelijker gaan.. Waarom is het nooit geprobeerd? Waarom is de grootheid tijd (met eenheden als seconden, uren, maanden, jaren) niet 10 tallig? (terwijl we wel vanaf hele jaren verder 10-tallig verder gaan, bijvoorbeeld het is nu 2012, dus 24 jaar geleden was het 2012 24 = 1988?) 1.4 Referentiematen en schatten (afstanden) Het opbouwen van een breed repertoire aan referentiematen is een opdracht voor elke startende leerkracht basisonderwijs. Probeer telkens weer je eigen nieuwsgierigheid te prikkelen (of die van je medestudent) als je in je omgeving iets tegenkomt waarvan je eigenlijk geen idee hebt hoeveel het ongeveer is. Door jezelf steeds uit te dagen, wordt je schatvaardigheid en matenkennis groter! Opdracht 5 Probeer bij de volgende lengtematen een voorwerp te noemen dat altijd wel ergens in de buurt aanwezig is: a) 1 cm b) 1 dm c) 1 m Opdracht 6 Probeer uit te zoeken welke lengte bij de volgende objecten past (niet gokken, maar beredeneren!) a) De lengte van jouw been b) De lengte van jouw wijsvinger c) De hoogte van een bureau d) De breedte van een deur e) De hoogte van een deur 5
Opdracht 7 Probeer in tweetallen bij elk plaatje een schatting te vinden. Als je geen idee hebt, probeer je een referentie te zoeken die je wel weet of gemakkelijk even kan uitzoeken. (Bijvoorbeeld: hoe hoog zit mijn heup? Aha! Dan kan ik ook de hoogte van een fietswiel schatten!) Schatten (is niet gokken!) lengte maten Hoe lang? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Hoe hoog? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Doorsnede? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Hoe lang? Hoe breed? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Hoe lang? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Hoe lang is de schoenveter? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Het leslokaal Hoe lang? Hoe breed? Hoe hoog? Welke referentiemaat heb je gebruikt? Eventueel extra oefenen bij deze les: Basisvaardigheden Rekenen (2 e druk): 5.1 RekenWijzer (2 e druk): vanaf blz 141 6
Les 2 Het metrieke stelsel en referentiematen oppervlakte 2.1 Metrieke stelsel 1 De invoering van standaardmaten (wie weet nog waar de officiële METER ligt? Is dat echt nog zo?) en het metrieke stelsel (waarbij de diverse eenheden met factoren van 10 om te rekenen zijn) maakt het rekenwerk een stuk makkelijker. Voorwaarde is wel dat het tientallig positiestelsel goed beheerst wordt en rekenen met kommagetallen routine is. Voorvoegsels: Om de factoren van tien te benoemen zijn de volgende woorden gereserveerd: Kilo Hecto Deca betekent duizend, dus 1 kilo-gram = 1 x 1000 gram = 1000 gram betekent honderd, dus 2 hecto-liter = 2 x 100 liter = 200 liter betekent tien (grapje kind van 10 jaar kan zeggen ik ben deca-jaar! ) Deze veelvouden van 10 hebben Griekse woorden gekregen, voor de tientallige breuken zij Latijnse woorden gebruikt: deci betekent een-tiende (1/10), dus 1 deci-meter = 1 x 1/10 meter = 0,1 meter centi betekent een-honderste (1/100), dus 2 centi-gram = 2 x 1/100 gram = 0,02 gram. milli betekent een-duizendste (1/1000) dus 3 milli-meter = 3 x 1/1000 meter = 0,003 meter Zie ook Basisvaardigheden Rekenen: bijlage Het metrieke stelsel. Er zijn meer voorvoegsels, zoals tera giga, mega en micro, nano, pico. Die eerste drie komen we tegenwoordig veel tegen bij aanduidingen van digitale bestanden. Opdracht 8 Wat betekent mega? (voorbeeld 1 megabyte?) a) Wat betekent giga? (Hoeveel megabyte passen in 1 gigabyte?) b) Wat betekent nano? (Kun je uitleggen wat nanotechnologie is?) Eenheden omrekenen Als je de voorvoegsels kent, heb je eigenlijk geen trappetjes of omrekenschema s nodig. Als je die wel gebruikt, dan zul je toch goed moeten nadenken of in de omrekening het getal groter, dan wel kleiner wordt en hoeveel groter of kleiner. Sommige schema s staan hulpregeltjes x10 en :10, maar in de praktijk blijkt dat die schema s vaak precies verkeer om gelezen worden. Opdracht 9 Kijk eens naar het schema Metrieke stelsel (bijlage 1) Wat betekent die x10 links bovenaan nu precies? Van kilo naar hecto is betekent van duizend naar honderd en dat is dus niet x10! Verwoord wat die x10 hier wel betekent. 7
Opdracht 10 Wissel in en noteer alle tussenliggende maten: Voorbeeld: 1 875 dm =... hm? 875 dm = 87,5 m = 8,75 dam = 0,875 hm Nu zelf: wissel in en noteer alle tussenliggende gewichtsmaten: 1 75 g =... hg 75 g = 2 7 dag =... mg 7 dag = 3 0,8 kg =... g 0,8 kg = 4 6,5 mg =... dg 6,5 mg = 5 2,08 hg =... g 2,08 hg = 6 125 cg =... hg 125 cg = 7 2345 dg =... kg 2345 dg = 8 0,32 kg =... dg 0,32 kg = 9 23 mg =... g 23 mg = 10 0,2009 kg =... mg 0,2009 kg = Opdracht 11 Wissel in en noteer alle tussenliggende maten: 1 8,9 dm =... mm 8,9 dm = 2 7,08 km =... m 7,08 km = 8
3 850 dag =... kg 850 dag = 4 567 mm =... m 567 mm = 5 975 cg =... g 975 cg = 6 2009 m =... hm 2009 m = 7 0,06 hl =... dl 0,06 hi = 8 3450 cm =... dam 3450 cm = 9 0,0095 kg =... dag 0,0095 kg = 10 7,08 dm =... mm 7,08 dm = Opdracht 12 (Tempo!) Wissel in zonder te schrijven! Vlot in het hoofd en hardop uitspreken: 45 m = cm 87 mm = dm 8,5 hm = m 84 dal = hl 0,83 l = ml 45 cl = l 17 dg = cg 511 mg = dg 0,16 kg = g 145 dm = dal 4500 dg= dag 3,05 ha = ca 9
2.2 Referentiematen en schatten (oppervlakte) Bij het schatten van een oppervlakte zul je meestal lengte en breedte moeten schatten en dan de oppervlakte uitrekenen. Probeer een aantal referenties te onthouden. Daarmee kun je dan in de toekomst sneller schatten. Opdracht 13 Schatten (is niet gokken!) oppervlaktematen Oppervlakte van het klaslokaal? Oppervlakte van de voorpagina? Oppervlakte van Terschelling? Oppervlakte van een pak hagelslag? Oppervlakte voorkant van een cd-doosje? Oppervlakte van één grijze standaard straattegel? Oppervlakte? Oppervlakte van de voorkant van het schrift? Oppervlakte van een dobbelsteen?(6 vlakken) Eventueel extra oefenen bij deze les: Basisvaardigheden Rekenen (2 e druk): 5.3 en Het metrieke stelsel RekenWijzer (2 e druk): vanaf blz 145 10
Les 3 Het metrieke stelsel en referentiematen inhoud/gewicht 3.1 Metrieke stelsel 2 Opdracht 14 Bespreek met elkaar of een rond kleedje een oppervlakte kan hebben van 1 m 2 (1 vierkante meter), terwijl het dus niet vierkant is! Kun je schatten hoe breed dat kleedje ongeveer is (de diameter?) Opdracht 15 Omrekenen bij oppervlakte (are of a) en inhoud (liter) Wissel in en noteer alle tussenliggende maten: 1 1,3 ha =... ca 1,3 ha = 2 300 a =... ca 300 a = 3 10,89 cl =... kl 10,89 cl = Je hebt in bovenstaande oefeningen gezien dat het omrekenen van oppervlakte maten als ha, are, ca en inhoudsmaten als hl, dal, l, dl, cl, ml op dezelfde wijze gebeurt als meters en grammen. De voorvoegsels geven de verhoudingen aan. Omrekenen bij oppervlakte ( vierkante ) en inhoud ( kubieke ) Bij omrekenen binnen het metrieke stelsel, waarin oppervlaktes worden uitgedrukt in eenheden als hm 2, m 2 en inhouden worden uitgedrukt in eenheden als m 3, dm 3, cm 3 moet je meer werk verrichten. Voor het meten van een oppervlakte moet je twee keer meten: de lengte en de breedte. Eigenlijk bereken je de oppervlakte door te tellen! Bij een rechthoek kun je dan snel tellen, door het aantal in de lengte x het aantal in de breedte uit te rekenen. Daarom leren veel kinderen dat rechthoekige en vierkante oppervlakten worden berekend met de formule l x b (=lengte x breedte) Het resultaat van een dergelijke berekening is dat je zogenaamde vierkante maten krijgt: mm², cm², dm², m², dam², hm², km². 11
Hierboven staat een dm² getekend: In de breedte zie je 10 vakjes van 1 cm². Daarvan heb je 10 lagen, dus 10 x 10 = 100 vakjes van een vierkante centimeter. Ander gezegd: 1 dm² = 100 cm². Als je dit gedaan hebt, begrijp je ook direct dat je berekeningen met oppervlakte (eveneens met inhoud) moet doen binnen één maat. Je kunt natuurlijk niet de berekening maken: 10 cm x 1 dm = 10?? ja wat? Je rekent ofwel 10 cm x 10 cm = 100 cm², ofwel 1 dm x 1 dm = 1 dm². Nogmaals, je rekent of in cm².of in dm²!! Voor het berekenen van een inhoud moet je drie keer meten: de lengte, breedte en hoogte. Ook hier kiezen we één maat waarmee we gaan rekenen. Met de formule lengte x breedte x hoogte kunnen we inhouden van balken en kubussen uitrekenen. De inhoud van een doos (balkvormig) is bijvoorbeeld 60 cm x 50 cm x 40 cm = 120.000 cm³. Wanneer we dit in dm hadden uitgerekend zou het resultaat zijn: 6 dm x 5 dm x 4 dm = 120 dm³. 12
Opgave 15 Wissel in en noteer alle tussenliggende oppervlakte maten: 1 2 m 2 =... cm 2 2 m 2 = 2 8,5 dm 2 =... mm 2 8,5 dm 2 = 3 0,8 km 2 =... m 2 0,8 km 2 = 4 1,7 hm 2 =... m 2 1,7 hm 2 = 5 0,8 m 2 =... mm 2 0,8 m 2 = 6 850 m 2 =... hm 2 850 m 2 = 7 150 dam 2 =... km 2 150 dam 2 = 8 0,7 are =... dm 2 0,7 are = 9 1245 ca =... ha 1245 ca = 10 0,00025 ha =... dm 2 0,00025 ha = 13
Opdracht 16 Wissel in en noteer alle tussenliggende inhoudsmaten: 1 0,18 l =... ml 0,18 l = 2 72 cl =... l 72 cl = 3 2015 ml =... l 2015 ml = 4 0,6 dal =... dl 0,6 dal = 5 645 dl =... hl 645 dl = 6 25 cm 3 =... l 25 cm 3 = 7 6,1 hl =... dm 3 6,1 hl = 8 0,08 m 3 =... l 0,08 m 3 = 9 0,092 dal =... cl 0,092 dal = 10 500 ml =... cc (Waar staat cc eigenlijk voor? cc =..) 500 ml = Opdracht 17 (Tempo!) Wissel in zonder te schrijven! Vlot in het hoofd en hardop uitspreken: 18 cm² = dm² 7 m² = cm² 38 are = m² 60 dl = dm³ 1700 cm³ = l 0,18 dm³ = cl 45 are = m 2 1,5 hg = kg 44 ml = cm 3 14
3.2 Referentiematen en schatten (inhoud) Bij het schatten van een inhoud komt het meestal aan op een aantal handige referentiematen. Literpak melk, weten hoeveel in een kopje kan, weten hoeveel 1 milliliter is (groter dan de meeste kinderen denken!) Heel soms kun je niet anders dan lengte, breedte en hoogte schatten en dan de inhoud uitrekenen. Probeer een aantal referenties te onthouden. (Kijk eens op de verpakking!) Daarmee kun je dan in de toekomst sneller schatten. Opdracht 18 Schatten (is niet gokken!) inhoudsmaten Inhoud van een huishoudemmer? Inhoud? Inhoud? Inhoud van dit zwembad? Inhoud? Inhoud van een schoenendoos? Inhoud van een regenton? Inhoud? Inhoud? 15
Opdracht 19 Gewicht juist schatten is veel mensen niet gegeven. Hoe goed ben jij? Leer wat referenties uit je hoofd en je word een stuk sterker in het schatten van gewichten. Schatten (is niet gokken!) gewicht Gewicht? Gewicht? Gemiddeld gewicht van een pasgeboren baby? Wat weegt een kippenei? Gewicht van een volwassen olifant? Gewicht? Gewicht van een volwassen konijn? Gewicht? Gewicht? Wat weegt een brood? (Een student verzuchtte hier: Wat een onmogelijke vraag! Dat weet toch niemand! De volgende week kwam hij langs en zei: nou jaaa, het staat gewoon op het etiket! ) Eventueel extra oefenen bij deze les: Basisvaardigheden Rekenen (2 e druk): 5.4 RekenWijzer (2 e druk): vanaf blz 145 16
Les 4 Schaalbegrip, berekeningen met omtrek, oppervlakte 4.1 Schaalbegrip Bij veel filmproducties worden de decors op schaal geproduceerd. Bijvoorbeeld een compleet kasteel met bergen eromheen. Het is dus veel kleiner dan het in werkelijkheid zou moeten zijn. Later worden dan met de computer de spelers in dit decor geplakt, zodat het net lijkt of zij echt over de muren van het kasteel rennen. Ook hebben veel kinderen (en volwassenen) veel plezier in het spelen met modellen, dat zijn bijvoorbeeld miniatuur auto s, vliegtuigen of boten die exact lijken op de echte modellen, maar dan een stukje kleiner. De verhouding tussen beide situaties wordt schaal genoemd. Maar dat is een lastig begrip. Want als op de kopieermachine een plaatje 200 % wordt afgedrukt, dan zeggen we twee keer zo groot, maar slaat dat dan op de oppervlakte of op de lengte? Formeel hanteren wij in het onderwijs het volgende: met schaal wordt de verhouding aangegeven met betrekking tot de afstanden! Een tekening van een plattegrond van een pretpark met schaal 1 : 100 (spreek uit één op honderd ) betekent dat alle afstanden op de kaart in het echt 100 keer zo groot zijn. Dus 1 cm op de kaart is 100 cm in het echt (elke meter wordt dus als 1 cm getekend!) Maar elke dm op de kaart is 100 dm in het echt! Een schaal geeft dus eigenlijk een verhouding weer tussen bijvoorbeeld een model of kaart en de werkelijkheid. Enkele tips: De getallen in een schaalnotatie staan altijd in centimeters. Het eerste getal is de afmeting in het model of op de kaart/tekening. Het tweede getal is de afmeting in werkelijkheid. Gebruik bij het oplossen van een schaalprobleem een verhoudingstabel. Bedenk: 100 cm = 1 m, 1000 m = 1 km Voorbeeld 1 Van een schip is een schaalmodel gemaakt met een schaal van 1 : 250. Het model is 120 cm lang. Reken uit hoe lang het schip in werkelijkheid is. model 1 cm 120 cm werkelijkheid 250 cm = 2,5 m m Het schip is dus 2,5 m x 120 = 300 m lang Voorbeeld 2 Een schaalmodel van een toren van 96 m is 1,6 m hoog. Op welke schaal is het model gemaakt? model 1,6 m = 160 cm : 160 1 cm werkelijkheid 250 cm = 2,5 m : 160 m Voorbeeld 3 Op een kaart met schaal 1 : 125.000 tekent Bob een fietstocht van 24 cm. Hoe lang is de tocht in werkelijkheid? kaart 1 cm x 24 24 cm werkelijkheid 125.000 cm = 1250 m = 1,25 km x 24 30 km 17
Voorbeeld 4 Een autotocht van 240 km is op de kaart 15 cm. Wat is de schaal van de kaart? kaart 15 cm : 15 1 cm werkelijkheid 240 km : 15 16 km = 1.600.000 cm De schaal van de kaart is dus 1 : 1.600.000 Opgave 20 Kim is 180 cm lang. Haar moeder heeft een foto van haar waar zij precies op past. De foto is 15 bij 10 cm. Wat is de schaal van de foto? Opgave 21 a. Rick tekent een plattegrond van zijn kamer op schaal 1 : 60. Zijn bed is 210 x 90 cm. Wat zijn de afmetingen van het bed op de tekening? b. Als de plattegrond klaar is, vindt hij de tekening te klein. Daarom begint hij opnieuw. Hij tekent nu alles twee keer zo groot. Wat is de schaal van zijn nieuwe tekening? Opgave 22 Op een bouwtekening van een woonhuis is de woonkamer 12 cm bij 15 cm. De schaal van de bouwtekening is 1 : 50. Wat zijn de afmetingen van de woonkamer in werkelijkheid? Opgave 23 Een model van een treinwagon van 18 m is 24 cm. Op welke schaal werd het model gemaakt? Opgave 24 Op een kaart met schaal 1 : 1.250.000 is de afstand van Adorp naar Beestad 15 cm. Hoe groot is de afstand in werkelijkheid? Opgave 25 Op een wandelkaart is de afstand van Bosdorp naar Boomvliet 30 cm. In werkelijkheid is deze afstand 24 km. Op welke schaal is deze kaart getekend? Opgave 26 De afmetingen van de garage op de bouwtekening zijn 1,4 cm bij 2,5 cm. De schaal van de tekening is 1 : 300. Bereken de oppervlakte van de garagevloer. Opdracht 27 Hiernaast een plaatje van een tafel. De pootjes zijn in werkelijkheid 60 cm hoog Op welke schaal is de tafel getekend? Hoe breed is de tafel in werkelijkheid? 1 cm Opdracht 28 Zoek eens in paren uit: Als we dit klaslokaal op de schaal van duplo-poppetjes zouden willen bouwen, hoe lang en breed wordt dan dit lokaal? Op welke schaal moet dat lokaal dan gebouwd worden? 18
Opdracht 29 Op een wandelkaart staat een route getekend voor een sportieve wandeling van ongeveer 2 uur. De route is op de kaart totaal ongeveer 26 cm lang. De schaal is niet goed te lezen, er zit een vieze vlek op. Er staat schaal 1 : 4 Bespreek met elkaar het juiste antwoord: Er moet staan: a) 1 : 4 b) 1 : 40 c) 1 : 400 d) 1 : 4.000 e) 1 : 40.000 f) 1 : 400.000 19
4.2 Berekeningen met omtrek, oppervlakte Opdracht 23 Zorg er voor dat elk figuur uitsluitend hele ruitjes bevat. a. Teken op het ruitjespapier 4 verschillende figuren, met een omtrek van 12 cm. b. Rechtsonder zie je een figuur (A) met omtrek 10. Teken zelf een niet-rechthoekig figuur met omtrek 8 cm. c. Teken een niet-rechthoekig figuur met omtrek 14 cm. d. Verklaar waarom een omtrek van een oneven aantal centimeters niet lukt!? A Opgave 24 Jarna heeft een schoenendoos van 30 cm lang, 20 cm breed en 15 cm hoog. Zij knoopt op drie verschillende manieren een touw om de doos. Hoeveel touw heeft zij voor elke manier nodig? Reken telkens 20 cm touw voor de knoop. 20
Opgave 25 Een voetbalveld is ongeveer 105 meter lang en 65 meter breed. Maak een nauwkeurige schatting van de totale lengte van alle krijtlijnen op het speelveld. Opgave 26 Teken op het ruitjespapier 4 verschillende figuren, met een oppervlakte van achtereenvolgens 6 cm 2, 11 cm 2, 14 cm 2, 21 cm 2. Zorg er voor dat elk figuur uitsluitend hele ruitjes bevat. 21
Opgave 27 Jarna heeft een schoenendoos van 30 cm lang, 20 cm breed en 15 cm hoog. Zij beplakt de doos nauwkeurig met gekleurd papier. Bereken hoeveel cm 2 papier zij minstens nodig heeft. Opgave 28 Bereken de oppervlakte van onderstaande figuren in cm 2. DUS GEEN HOKJES TELLEN! Verdeel de figuur eerst in halve rechthoeken of Teken een rechthoek om de figuur, bereken de oppervlakte van de halve rechthoeken om de figuur, en dan de oppervlakte van het figuur. A B C C D A: C: B: D: 22
Opgave 29 Bereken van elk deel de oppervlakte: A E B C D A: B: C: D: E: Opgave 30 Bereken van elk deel van het vierkant de oppervlakte. Elk ruitje is 1 cm x 1 cm. Opgave 31 Ons rechthoekige schooltuintje heeft een oppervlakte van 180 m 2 en is 6 meter breed. a) Wat is de lengte van het schooltuintje? b) Teken hieronder het schooltuintje op schaal 1 : 300 23
Opgave 32 Bereken van elk figuur de oppervlakte in cm 2 met behulp van hele en halve rechthoeken. Eventueel extra oefenen bij deze les: Basisvaardigheden Rekenen (2 e druk): 5.2 en 10.4 RekenWijzer (2 e druk): blz 122 t/m 126 en 152 t/m 161 24
Les 5 Berekeningen met inhoud en gevarieerde opgaven 5.1 Berekeningen met inhoud Opgave 32 Jarna heeft een schoenendoos van 30 cm lang, 20 cm breed en 15 cm hoog. Bereken de inhoud van de schoenendoos in dm 3. Opgave 33 Teken zo nauwkeurig mogelijk op het ruitjespapier een bouwplaat van twee verschillende doosjes, elk met een inhoud van 48 cm 3. Teken op ware grootte. Voorbeeld van een bouwplaat kubus: 25
Opgave 34 John koopt een nieuw aquarium van 50 cm lang, 30 cm breed en 40 cm hoog. 34.a) Maak een schets van het aquarium en zet de maten er bij. 34.b) Hoeveel liter water kan er hoogstens in het aquarium? 34c) John vult het aquarium tot 4 cm onder de rand. Hoeveel liter water zit er nu in het aquarium? 34.d) Hij giet het tot 4 cm onder de rand gevulde aquarium over in zijn oude aquarium van 40 cm lang, 40 cm breed en 40 cm hoog. Kan dat? Stroomt het oude aquarium over? Licht je antwoord toe met een berekening. 26
Opgave 35 l=45 cm, b=20 cm, h=35 cm l=60 cm, b=30 cm, h=40 cm l=40cm, b=20 cm, h=30 cm Welke koffer heeft de grootste inhoud? Opgave 36 1 m 1 m Je ziet hier een bak met een inhoud van 1 m³ a. Hoeveel bakjes van 10 bij 10 cm passen er in deze bak? b. Hoeveel liter gaat er dus in 1 m³? c. Hoeveel emmers met 20 liter water zou je in deze bak kunnen legen? 1 m Opgave 37 Mijn koelkast heeft als binnenmaten: 60 cm breed, 5 dm diep en 1,60 m hoog. a. Voor de koelkast koop ik drie glasplaatjes. Het glas kost 120,- per vierkante meter. Wat moet ik betalen? b. Bereken de inhoud van de koelkast in liters. 27
5.2 Gevarieerde opgaven Opgave 1 Hier zie je de plattegrond van een basisschool (donkere vlak) met een schoolplein (lichte vlakjes) Om het plein staat een hek. De tekening is op schaal 1 : 800. a. Bereken de lengte van het hek. b. Het schoolplein wordt 25 cm opgehoogd. Hoeveel zand moet worden besteld? c. Hoeveel vrachtwagens met zand zijn dat ongeveer? Opgave 2 Een rechthoekig stuk land van 60 x 45 m wordt omheind met palen en prikkeldraad. Je hebt daarvoor. dam prikkeldraad nodig. Opgave 3 In een emmer gaat 8 liter. Hoeveel emmers heb je nodig om een aquarium van 1,5 m lang, 60 cm breed en 7 dm hoog te vullen? Licht je antwoord duidelijk toe. 28
Opgave 4 Omtrek cirkel: 2 π r π = 3,14 r = straal De doorsnede van deze boomstronk is 100 cm. Hoeveel meter touw heb je nodig om dit helemaal rond de boom te spannen? Licht je antwoord duidelijk toe. Opgave 5 Hieronder zie je de 4 wieken van een molen. Hoeveel vierkante meter zeildoek is er nodig om de 4 wieken te bespannen? Elk ruitje is 1 meter lang en 1 meter breed. 29
Opgave 6 Er is net een mooie zandbak gemaakt. De lengte is 3,50 m. De breedte is 12 dm. De hoogte is 30 cm. Hoe vaak moet je met een kruiwagen (inhoud 80 liter) lopen, als je de zandbak tot 5 cm onder de rand wilt vullen? Opgave 7 Vandaag hebben 3,5 km gewandeld. Gelukkig konden we gebruik maken van onze wandelkaart met een schaal van 1 : 25.000. Hoe groot is de gelopen afstand op de kaart weergegeven? Licht je antwoord duidelijk toe. Opgave 8 Sjaak wil een hek om zijn tuin zetten met paaltjes ertussen. Zijn tuin is 10 m bij 10 m. Hij gebruikt daarvoor telkens twee latten van 25 dm bij 10 cm bij 2 cm boven elkaar, en een paaltje ertussen. De paaltjes zijn 1 meter hoog, 2 dm breed en 2 dm lang (zie foto hieronder). Hoeveel kubieke meter hout heeft hij nodig voor zijn hek? Licht je antwoord duidelijk toe. Opgave 9 In een rechthoekig stuk bos wordt een groot aantal bomen gekapt. De oppervlakte van het bos is daarna nog maar de helft van wat het eerst was. De breedte van het bos is gehalveerd. Wat betekent dat dan voor de lengte?. Kies uit (en licht toe) : a) De lengte is nu nog net zo groot als voor de kap. b) De lengte moet nu ook gehalveerd zijn. c) De lengte is nog maar een kwart van wat het was voor de kap. Opdracht 10 Wissel in (zonder alle tussenliggende maten te noteren) 1 7,5 dm =... mm 2 0,08 are =... m 2 3 2300 dam =... km 4 560 mm 2 =... dm 2 5 975 cm 2 =... m 2 6 2009 are =... hm 2 7 0,06 ml =... cm 3 8 3450 cl =... dal 9 0,0095 m 3 =... l 10 78 dag =... kg Eventueel extra oefenen bij deze les: Basisvaardigheden Rekenen (2 e druk): 5.5 en 5.6 RekenWijzer (2 e druk): blz 164 t/m 167 30
Bijlage 1 Het Metrieke Stelsel Lengte maten x 10 Km hm dam meter dm cm mm : 10 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Oppervlakte maten x100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 : 100 1.000.000 m 2 10.000 m 2 100 m 2 1 m 2 0,01 m 2 0,000.1 m 2 0,000.001 m 2 ha are ca Inhoudsmaten x 10 Kl hl dal liter dl cl ml : 10 1.000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l x 1.000 m 3 dm 3 cm 3 : 1.000 cc Gewichten x 10 Kg hg dag gram dg cg mg : 10 1.000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g 31
km kilometer kl kiloliter kg kilogram hm hectometer hl hectoliter hg hectogram dam decameter dal decaliter dag decagram m meter l liter g gram dm decimeter dl deciliter dg decigram cm centimeter cl centiliter cg centigram mm millimeter ml milliliter mg milligram ca centi-are: centiare kilo- 1000 of duizend deci- 0,1 of tiende a are hecto- 100 of honderd centi- 0,01 of honderdste ha hecto-are: hectare deca- 10 of tien milli- 0,01 of duizendste cc kubieke centimeter 32