Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen 10 3.1 Vierkantswortel uit een reëel getal..................... 10 3.2 Vierkantsvergelijking in R......................... 12 4 De goniometrische of polaire vorm van complexe getallen 14 4.1 Overgang van goniometrische vorm naar cartesische vorm........ 16 4.2 Overgang van cartesische vorm naar goniometrische vorm........ 16 4.3 Voordelen van de goniometrische vorm.................. 16 5 De exponentiële vorm 20 6 Oplossingen 22
8-1 Inleiding Een beetje geschiedenis: Al lang worstelde men in de wiskunde met het feit dat er bij de tot dan gekende getallen geen oplossing was voor de vergelijking x 2 = 1. In 1560 rekende een Italiaans wiskundige Bombelli 1 met een nieuw soort getallen van de vorm a + b 1, maar de wiskundige fundering ontbrak en ook de 1 was enkel een mysterieus of imaginair iets waarvan het kwadraat 1 was, maar waarvan men niet goed wist of het nu bestond of niet. Deze getallen bleven in een schemerzone van de wiskunde, er werd wel mee gerekend maar ze werden niet echt aanvaard als getallen, vandaar dat men ze de misleidende naam imaginaire (denkbeeldige) getallen gaf, in tegenstelling tot de echte getallen of reële getallen. Pas in 1831 werden de complexe getallen door Gauss 2 exact gedefinieerd en werden ze algemeen aanvaard. Hij noemde ze liever complexe (= samengestelde) getallen, er was immers niets imaginairs aan. Hij voerde ze in als een wiskundig gefundeerde uitbreiding van de getallenverzameling R waarin de vergelijking x 2 + 1 = 0 een oplossing heeft, m.a.w. een getallenverzameling, met een optelling en een vermenigvuldiging en al de bijhorende eigenschappen. Waarin R op een natuurlijke manier omvat is en waar de vierkantswortel uit 1 zinvol is. Wij geven hier niet de wiskundig gefundeerde definitie, maar voeren de complexe getallen zo in dat we er onmiddellijk mee aan de slag kunnen. Hoofdstuk 5 over de exponentiële vorm wordt niet behandeld in Zomercursus A. 1 De getallenverzameling C De complexe getallen kunnen gezien worden als volgende verzameling: C = { a + bi a,b R en i 2 = 1 } Met a + bi = c + di als en alleen als a = c en b = d We voorzien deze verzameling op een natuurlijke manier van een optelling (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, 1 Rafael Bombelli (1526-1573): Italiaans wiskundige 2 Duitse wis- en sterrenkundige Carl Friedrich Gauss(1777-1855).
8-2 en een vermenigvuldiging (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bd Als z = a + bi noemt men 1 {}}{ i 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. a b het reëel deel van z, notatie: a = Re(z), het imaginair deel van z, notatie: b = Im(z), a + 0i }{{} = a een zuiver reëel getal, R is dus een deelverzameling van C, kortweg 0 + bi }{{} = bi een zuiver imaginair getal. kortweg Er geldt C, +, is een getallenverzameling. d.w.z. dat C aan volgende eigenschappen voldoet: 1. Eigenschappen van de optelling Als z,z 1,z 2,z 3 C dan is z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z + 0 = z (associativiteit). (commutativiteit). 0 is het neutraal element voor de som. Elk element z = a + bi heeft een tegengesteld element nl. z = (a + bi) = a bi waarvoor z + ( z) = 0. We spreken af z 1 + ( z 2 ) af te korten tot z 1 z 2. 2. Eigenschappen van het product Als z,z 1,z 2,z 3 C dan is z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 z 1 z 2 = z 2 z 1 z 1 = z (associativiteit). (commutativiteit). 1 is het neutraal element voor het product. Elk element a+bi 0 heeft een invers element voor het product. We noteren dit (a + bi) 1 = 1 a + bi. Zoek het invers element x+yi van a+bi. Dus zorg dat (x+yi)(a+bi) = 1.
8-3 Besluit: (a + bi) 1 = 1 a + bi = a a 2 + b 2 + 3. Eigenschap die verbindt met + b a bi a 2 + b2i = a 2 + b 2. Als z 1,z 2,z 3 C dan is z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 is distributief t.o.v. +. Ga dit na.
8-4 Opmerkingen: Men kan aantonen dat men de verzameling C NIET totaal kan ordenen zoals Q of R (zie Oefeningen 1.1 oef 3.), d.w.z. dat we in het algemeen geen enkel beslissingscriterium kunnen vinden om te zeggen dat a + bi < c + di en dat zou voldoen aan dezelfde eigenschappen als de ongelijkheid < in R of Q. Bijgevolg kunnen we dus bijvoorbeeld niet beweren dat het complex getal 2+3i positief of negatief is. Zo mag je niet zeggen dat i positief is en i negatief, wel dat ze tegengesteld zijn. Dit is de prijs die we moeten betalen om een vierkantswortel te vinden uit 1. We zoeken nu een middel om de vrij moeilijke formule voor de inverse gemakkelijker terug te vinden en voeren hiertoe enkele definities in. Als z = a+bi een complex getal is definieert men zijn toegevoegd complex getal als volgt z = a + bi = a bi Men zegt z en z zijn complex toegevoegd. Merk op : z z = (a + bi)(a + bi) = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 positief. dit is zuiver reëel en De formule voor de inverse 1 a + bi is het snelst te vinden door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd complex getal a bi. Immers 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2. Als gevolg kan men het quotiënt van twee complexe getallen a + bi het snelst vinden c + di door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd complex getal van de noemer.
8-5 Een ander belangrijk begrip is de modulus van een complex getal. Het is een uitbreiding van het begrip absolute waarde bij reële getallen, we gebruiken er dan ook dezelfde notatie voor: a + bi = a 2 + b 2 noemt men de modulus van het complex getal a + bi Merk op : z = a + 0i R : z (modulus) = a 2 = a = z (absolute waarde) a + bi = (a + bi)(a bi) of a + bi 2 = (a + bi)(a bi) Het is eenvoudig volgende eigenschappen aan te tonen. Eigenschappen 1.1 (Toegevoegd complex getal) Stel z = a + bi,z 1,z 2 C, dan geldt 1. z = z en als z = z dan is z een reëel getal. 2. de som van twee toegevoegden is zuiver reëel, het verschil is zuiver imaginair. z + z = 2a en z z = 2bi 3. het product van twee complex toegevoegden is zuiver reëel en positief. z z = a 2 + b 2 4. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 5. z 1 z 2 = z 1 z 2 6. n N : z n = z n ( ) 1 7. = 1 z z samen met (6) leidt dit tot n Z : z n = z n ( ) z1 8. = z 1 dit is een onmiddellijk gevolg van (5.) en (7.) z 2 z 2 9. als z 1 en z 2 complex toegevoegd zijn dan is z 1 2 = z 2 2 = z 1 z 2
8-6 Oefeningen 1.1 1. Bereken (a) (4 + 8i) + (15 12i) (b) (2 + 4i) (6 7i) (c) (2 + 3i)( 5 + i) (d) (2 + i) 2 (e) (2 + i) + (3 + 2i) (f) (5 6i)(5 + 6i) 1 (g) 5 + 2i 1 + i (h) 2 + 3i (i) 1 + 2i 3 4i + 2 i 5i (j) 3 2i 2. Bewijs eigenschap 9. uit de reeks eigenschappen van het toegevoegd complex getal. 3. Bewijs uit het ongerijmde dat je de complexe getallen niet kunt ordenen tot een totaal geordende verzameling waarbij de orde aan volgende eigenschappen zou voldoen. (1) Voor elk tweetal getallen x en y geldt precies één van de volgende mogelijkheden x < y, x = y, x > y men noemt de orde totaal. (2) Voor getallen x, y en z geldt (3) Voor getallen x, y en z geldt (4) Voor getallen x, y en z geldt x < y (x + z < y + z) (x < y z > 0) xz < yz (x < y z < 0) xz > yz (x < y y < z) x < z de orde is transitief. Hint: Je stelt uit het ongerijmde dat C wel kan geordend worden. Vermits i 0 zal omwille van de totale orde (1) moet gelden dat ofwel i < 0, ofwel i > 0. Maak nu gebruik van de andere eigenschappen van de orde, om aan te tonen dat beide onderstellingen leiden tot een contradictie.
8-7 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss Voor de reële getallen hebben we een handige voorstelling nl. de getallenas. We zouden ook graag een voorstelling vinden voor de complexe getallen en daarin de reële getallenas terugvinden. We kunnen elk complex getal a+bi C zien als een koppel (a,b) van reële getallen. Dit kan voorgesteld worden door het punt in het vlak met cartesische coördinaten (a,b) (na keuze van een rechthoekig coördinatenstelsel). We spreken af dit punt als voorstelling te nemen voor het complex getal a + bi. R b z = a + bi z = a 2 + b 2 a R De vorm a + bi van de complexe getallen noemt men dan ook de cartesiaanse vorm. Het vlak wordt nu het complexe vlak of het vlak van Gauss genoemd. Zuiver reële getallen vinden hun voorstelling op de x-as, deze wordt dan ook de reële as genoemd. Zuiver imaginaire getallen vinden hun voorstelling op de y-as, deze wordt dan ook de imaginaire as genoemd. In het complexe vlak vinden we ook een mooie interpretatie voor de modulus van een complex getal: a + bi = a 2 + b 2 en geeft dus de afstand van het corresponderende punt (a,b) tot de oorsprong. Ga m.b.v. de stelling van Pythagoras na dat als z 1 = a + bi en z 2 = c + di z 1 z 2 de afstand weergeeft tussen de voorstellingen van de twee complexe getallen.
8-8 R b d b d z 1 = a + bi z 2 = c + di a c a c R z 1 z 2 = De afstand tussen a + bi en c + di = De cartesiaanse voorstelling van een complex getal is ook bijzonder handig om een meetkundig beeld te krijgen van de optelling. In dit vlak komt de optelling van a+bi en c + di overeen met de optelling van de overeenkomstige vectoren volgens de regel van het parallellogram. R b + d b z 1 z 1 + z 2 d z 2 a c a + c R Zoek ook de voorstelling van de complex toegevoegde en tegengestelde van a+bi.
8-9 R b a + bi a R Tot slot een overzicht van de eigenschappen van de modulus, we raden je aan eigenschappen 4. tot 6. zelf aan te tonen. Eigenschappen 2.1 (Modulus) Stel z,z 1,z 2 C dan geldt 1. z is de afstand van z tot de oorsprong 2. z 1 z 2 is de afstand tussen z 1 en z 2 3. z = z en z = z 4. z 1 z 2 = z 1 z 2 5. 1 z = 1 z 6. z 1 = z 1 z 2 z 2 7. MAAR meestal is z 1 + z 2 z 1 + z 2 Er geldt wel z 1 + z 2 z 1 + z 2 de driehoeksongelijkheid. Oefeningen 2.1 1. Bereken (3 + 4i)( 1 + 2i) ( 1 i)(3 i)
8-10 2. Zoek in het complexe vlak de voorstelling van volgende verzamelingen: (a) {z C z < 1} (b) {z C z i < 1} (c) {z C z i 1} (d) {z C 1 z + 2i 1 < 2} (e) {z C Im(z) 0} (f) { z C Im(z) i < 2 } (g) { z C Re(z) i < 2 } (h) {z C Re(z) > Im(z) > 0} (i) {x + iy C y > 2x + 1} 3 Vierkantsvergelijkingen 3.1 Vierkantswortel uit een reëel getal We noemen vierkantswortel van een getal r elk getal waarvan het kwadraat gelijk is aan r. Dus x is een vierkantswortel uit r indien x 2 = r. 1. r R + Uit de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x 2 r r + r kunnen we afleiden dat enkel positieve reële getallen een reële vierkantswortel hebben. Als r 0 vinden we zelfs juist twee, tegengestelde vierkantswortels. We noteren de positieve wortel uit r R + als r, de negatieve wortel is dan r. Voorbeelden:
8-11 ± 25 = ±5 zijn vierkantswortels van 25, want (±5) 2 = 25. ± 2 zijn vierkantswortels van 2, want (± 2) 2 = 2. 2. r R 0 Door de invoering van complexe getallen kunnen we het zoeken naar vierkantswortels uit strikt negatieve rëele getallen toch oplossen: Daar i 2 = 1, kan je snel berekenen dat (±5i) 2 = 25, zodat je in C wel twee tegengestelde vierkantswortels vindt van het negatief reëel getal: 25. Algemeen geldt dat als r R +, r dus een negatief reëel getal is, ±i r twee complexe vierkantswortels zijn van r. Opmerking 3.1 Het wortelteken wordt uitsluitend gebruikt voor de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal, er bestaat geen teken voor een wortel uit een negatief reëel getal. 1 wordt niet toegelaten als notatie. De notatie 1 zou immers bij onoplettend rekenwerk kunnen aanleiding geven tot foutieve resultaten. Immers 1 = 1. Wanneer men echter de (in C niet-toegelaten) rekenregel ab = a b uit R + toepast, bekomt men anderzijds 1 = ( 1) ( 1) = 1 1 = ( 1) 2 = 1. De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van een vierkantswortel. Men zou dus kunnen besluiten dat 1 = 1, wat uiteraard niet waar is! Om deze misverstanden te vermijden heeft men gekozen voor de notatie van Euler i Oefeningen 3.1 Bereken de complexe vierkantswortels uit 36 en 5.
8-12 3.2 Vierkantsvergelijking in R De vierkantsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 (a R 0,b,c R) heeft altijd oplossingen 3 in C: ( ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) a ( = a x 2 b + 2 2a x + b2 4a b2 2 4a + c ) 2 a [ ( = a x + b ) ] 2 b2 4ac 2a 4a 2 [ ( = a x + b ) 2 ( ) ] 2 d met d een vierkantswortel uit b 2 4ac = 2a 2a ( = a x + b 2a + d )( x + b 2a 2a d ) 2a ( = a x b d )( x b + d ) 2a 2a Besluit: De vierkantsvergelijking ax 2 +bx+c = 0 met a,b,c R met a 0 heeft als wortels x 1 = b + d 2a en x 2 = b d 2a waarbij d een vierkantswortel is uit de discriminant = b 2 4ac. ( ) Als > 0 dan is d = en dan zijn de twee wortels reëel en verschillend. Als = 0 dan is d = 0 en dan zijn er twee gelijke reële wortels. Als < 0 dan is d = i en dan zijn de twee wortels complex toegevoegd. Formule ( ) wordt de wortelformule genoemd. Er geldt ook ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) = ax 2 ax(x 1 + x 2 ) + ax 1 x 2. Zodat door gelijkstelling van de gelijknamige coëfficiënten van x 3 De oplossingen van veeltermvergelijkingen worden ook wortels genoemd
8-13 de som van de wortels: x 1 + x 2 = b a (1) het product van de wortels: x 1 x 2 = c a (2) Oefeningen 3.2 1. Gebruik eigenschappen (1) en (2) om, zonder de wortelformule, de oplossingen te vinden van x 2 + 5x + 6 = 0 2. Los op in C en geef de ontbinding in factoren, controleer ook (1) en (2). (a) x 2 + x 2 = 0 (b) 2x 2 10x + 13 = 0 (c) 3x 2 5x + 7 = 0 3. Zoek een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten waarvan 3 + 2i een wortel is. Vorig besluit is een illustratie van een algemeen geldende stelling die stelt dat elke veelterm van de n-de graad met complexe coëfficiënten te ontbinden is als een product van n veeltermen van de eerste graad en dus precies n complexe wortels (nulpunten) heeft. Stelling 3.2 (Hoofdstelling van de algebra: Stelling van Gauss) Zij a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 + a 0 een veelterm met coëfficiënten a i C. Dan bestaan er z 1,z 2,...,z n C, zo dat a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 + a 0 = a n (x z 1 )(x z 2 ) (x z n ) Bijgevolg zijn z 1,z 2,...,z n oplossingen (of wortels) van de vergelijking a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 + a 0 = 0 Zonder bewijs
8-14 Dit is eigenlijk een spectaculair resultaat. Bij elk van de verschillende getallenverzamelingen N Z Q R,... vind je telkens een veelterm met coëfficiënten in die getallenverzameling, maar zonder wortel in de verzameling zelf. Zo is x + 1 een veelterm met coëffciënten in N maar zonder wortels in N, wel in Z. Maar ook daar vind je bijvoorbeeld de veelterm 5x 2 met coëfficiënten in Z maar zonder wortels in Z, wel in Q. x 2 2 is een veelterm met coëfficiënten in Q maar zonder wortels in Q, wel in R... Men stelde zich dus uiteraard de vraag of er ook een veelterm te vinden was met coëfficiënten in C maar zonder wortels in C. Gauss heeft dus het antwoord gegeven op die vraag. In C is alles opgelost, elke veeltermvergelijking heeft er een oplossing! Men is dus aan het einde van de zoektocht, men zegt dat C algebraïsch gesloten is. Men hoeft geen grotere getallenverzameling meer te zoeken om veeltermvergelijkingen op te lossen. Let wel, de stelling verzekert ons enkel het bestaan van oplossingen, vele generaties wiskundigen hebben zich het hoofd gebroken om expliciete formules te vinden voor de wortels van veeltermvergelijkingen van hogere graad. Het is hun gelukt voor vergelijkingen tot en met de 4-de graad en uiteindelijk bewees Galois 4 dat er geen algemene formules kunnen bestaan voor 5-de en hogere graadsvergelijkingen! 4 De goniometrische of polaire vorm van complexe getallen We kennen de complexe getallen in hun cartesiaanse vorm a+bi. Dankzij de voorstelling van a + bi in het complexe vlak, hebben we een visueel beeld gekregen van bepaalde begrippen zoals zuiver reële en zuiver imaginaire getallen, van de modulus, van de som van twee complexe getallen, van het tegengestelde en het toegevoegde complex getal. Maar hoe zit het met het product van twee getallen, de n-de macht (n N) of de inverse van een complex getal? Kunnen we die ook meetkundig terugvinden in het complex vlak? Om dit probleem op te lossen voeren we voor een complex getal een andere vorm in dan de cartesiaanse vorm. Naast cartesiaanse coördinaten kunnen we ook poolcoördinaten 5 gebruiken om een punt in het vlak vast te leggen. Een punt in het vlak is nu volledig bepaald door zijn modulus r = de afstand tot de oorsprong van het vlak en zijn argument, d.i. de hoek θ (in radialen en slechts bepaald op een geheel veelvoud van 2π na) die de overeenkomstige vector met de positieve reële as maakt en die gemeten wordt in tegenwijzerzin (zie volgende figuur). Stel z = a + bi, uit de goniometrie kennen we het verband tussen de cartesische 4 Evariste Galois (1811-1832): Frans wiskundige 5 Zie Module Poolcoördinaten
8-15 coördinaten a en b en de poolcoördinaten r en θ, nl. cos θ = aanliggende zijde schuine zijde en sin θ = overstaande zijde schuine zijde cos θ = a r en sin θ = b r R b = r sin θ z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) r = z θ a = r cos θ R Opmerking: Indien z = 0, stellen we per conventie θ = 0 + 2kπ, met k Z. Er geldt z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) Deze laatste voorstelling van z noemt men de polaire of goniometrische voorstelling. Let op: omdat θ niet uniek bepaald is, heeft elk complex getal dus oneindig veel polaire voorstellingen! In polaire vorm wordt de gelijkheid van complexe getallen: r 1 (cosθ 1 +i sin θ 1 ) = r 2 (cos θ 2 +i sin θ 2 ) r 1 = r 2 en θ 1 = θ 2 +2kπ, met k Z
8-16 4.1 Overgang van goniometrische vorm naar cartesische vorm r,θ gekend a = r cos θ b = r sin θ 4.2 Overgang van cartesische vorm naar goniometrische vorm De afleiding van volgende formules vind je in de module uit Zomercursus A: Poolcoördinaten. r = a 2 + b 2 θ = arctan b a als a > 0 a,b gekend = ( arctan b ) + π als a < 0 a = π/2 als a = 0 en b > 0 = π/2 als a = 0 en b < 0 Oefeningen 4.1 Zoek de goniometrische schrijfwijze van volgende complexe getallen 1, 1, i, i, 1 i, 3 + i, 3 + i, cos π 4 + i sin 3π 4, cos π 3 i sin π 3 4.3 Voordelen van de goniometrische vorm 1. Het product van complexe getallen De goniometrische vorm leent zich goed om het product van complexe getallen uit te rekenen en meetkundig te interpreteren:
8-17 Stel z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ) en z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ), dan is z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Besluit: Eigenschap 4.1 Het product van twee complexe getallen heeft als argument: de som van de argumenten van de factoren als modulus: het product van de moduli van de factoren. Kies twee getallen z 1,z 2 in het complex vlak en zoek dan de voorstelling van hun product z 1 z 2 : 2. De inverse van een complex getal Toepassing van de formule voor de inverse van een complex getal (p.2) op de goniometrische schrijwijze levert volgende formule. (Ga dit na!) [r(cos θ + i sin θ)] 1 = 1 r [cos( θ) + i sin( θ)] Eigenschap 4.2 De inverse van een complex getal heeft als argument: het tegengestelde argument als modulus: het omgekeerde van de modulus.
8-18 Kies een z in het complex vlak en zoek dan de voorstelling van z 1 = 1 z. 3. De macht van een complex getal Vorige twee resultaten leiden tot volgende formule gekend als: Eigenschap 4.3 (De formule van De Moivre ) Voor alle n Z geldt [r(cos θ + i sin θ)] n = r n [cos(nθ) + i sin(nθ)] Deze formule stelt ons in staat op een eenvoudige manier machten van complexe getallen te berekenen door over te gaan naar hun goniometrische vorm. Voorbeeld 4.4 ( 3+i) 3 = ( 2( 3/2+i 1/2) ) 3 = ( 2(cosπ/6+i sin π/6) ) 3 DeMoivre = 2 3 (cos π/2+sinπ/2) = 8 Dit zou je ook kunnen bekomen door gebruik te maken van het Binomium van Newton. Maar als de macht veel groter is, wordt dit moeilijker. Ook binomiaalvergelijkingen zijn met De Moivre op te lossen. Dit zijn vergelijkingen van de vorm: z n = a + bi met n Z. Oplossingsmethode zet z en a + bi om in polaire vorm, pas de Moivre toe op het linkerlid en de gelijkheid van complexe getallen in polaire vorm. Voorbeeld 4.5 Zoek alle vierdemachtswortels uit 1.
8-19 We zoeken dus alle oplossingen van de binomiaalvergelijking z 4 = 1. Stellen we z = r(cos θ + i sin θ). Verder weten we dat 1 = 1(cos 0 + i sin 0). Door toepassing van De Moivre wordt de vergelijking nu: r 4 (cos 4θ + i sin 4θ) = 1(cos 0 + i sin 0) Gelijkheid van complexe getallen in polaire vorm leert ons dat r 4 = 1 met r R + en 4θ = 0 + 2kπ met k Z. Zodat r = 1 en θ = kπ/2 met k Z. Dit levert slechts vier verschillende wortels. z 1 = 1(cos 0 + i sin 0) = 1, z 2 = 1(cosπ/2 + i sin π/2) = i, z 3 = 1(cosπ + i sin π) = 1, z 4 = 1(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = i. In het complex vlak liggen al deze wortels op de eenheidscirkel rond de oorsprong, ze vormen de hoekpunten van een vierkant met één hoekpunt in het punt z = 1. R i 1 1 R i Merk op: dit voorbeeld kan je veel sneller oplossen door z 4 1 te ontbinden in factoren. Immers z 4 1 = (z 2 1)(z 2 + 1), De nulpunten hiervan zijn inderdaad ±1, ±i. Maar bij andere binomiaalvergelijkingen zoals bijvoorbeeld z 5 = 1 werkt de eerste methode volledig analoog, terwijl het ontbinden in factoren minder eenvoudig is. Oefeningen 4.2 1. Bereken ( 1 i) 20. 2. Bereken (1 + i) 21. 3. Bereken ( 3 + i) 5.
8-20 4. Neem een willekeurig getal z in het complex vlak. Teken nu z 2,z 3,z 4,... Hoe liggen alle punten als z < 1, z = 1 en z > 1? Voor welke z krijg je slechts een eindige verzameling punten? 5. Zoek alle vijfdemachtswortels uit 1, vind hun voorstelling in het complexe vlak. Kan je dit veralgemenen voor een willekeurige n-de machtswortel uit 1, met n N? 6. Los de binomiaalvergelijking z 3 = 1 + i op. Stel de oplossingen voor in het complex vlak. 7. Beschouw een z C met z = 1. ( ) 2 1 + z (a) Toon aan dat = z. 1 + z (b) Kan je dat resultaat ook meetkundig verklaren? Teken daartoe z (ergens op de eenheidscirkel), waar ligt dan 1 + z en 1 + z 1 + z...? 8. Zoek alle complexe wortels van volgende vergelijking (x 2 + 5)(x 3 + x 2) = 0. 9. Gebruik de formule van de Moivre en het Binomium van Newton 6 om de goniometrische formules voor cos 3θ en sin 3θ te vinden in functie van cosθ en sin θ. 10. Beschouw een veelterm P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 + a 0 met reële coëfficiënten a 0,a 1,,a n. Toon aan: als c C een wortel is van P (dus als P(c)) = 0), dan is ook de complex toegevoegde c een wortel van P. Hint: vul c in in P en gebruik de eigenschappen over complexe toevoeging om aan te tonen dat P(c) = P(c) = 0 = 0. Machten, producten van complexe getallen en binomiaalvergelijkingen kunnen we ook berekenen met een derde vorm voor complexe getallen, die ook gebruik maakt van poolcoördinaten. 5 De exponentiële vorm Dit onderdeel wordt niet behandeld in Zomercursus A Om twee complexe getallen in goniometrische vorm met modulus één te vermenigvuldigen moeten we hun argumenten optellen zoals blijkt uit de formule (cos θ 1 + i sin θ 1 ) (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ) 6 Zie module: Het sommatieteken en de faculteit.
8-21 Dus als je de functie f : θ f(θ) definieert met f(θ) = cosθ + i sin θ, dan geldt f(θ 1 ) f(θ 2 ) = f(θ 1 + θ 2 ). Deze eigenschap geldt ook typisch bij de exponentiële functie x e x. Ook hier geldt voor x 1,x 2 R e x 1 e x 2 = e x 1+x 2. De analogie is niet zo verwonderlijk, men kan een complexe exponentiële functie 7 x e x definiëren en er zal blijken dat e iθ = cosθ + i sin θ met θ R. De formule van Euler. (1) Zo komen we via de goniometrische vorm en de formule van Euler tot a + bi = re iθ de exponentiële vorm van het complex getal, waarbij r de modulus is en θ een argument van het complex getal. Er geldt ook r 1 e iθ 1 = r 2 e iθ 2 r 1 = r 2 en θ 1 = θ 2 + 2kπ met k Z. Merk op dat alle complexe getallen van de vorm e iθ met θ R, in het complex vlak liggen op de eenheidscirkel rond de oorsprong. In exponentiële vorm leiden de formules voor product, inverse en een macht (De Moivre) van een complex getal die we in vorig hoofdstuk vonden tot veel evidentere formules. (a + bi)(c + di) = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) (a + bi) 1 = (re iθ ) 1 = r 1 e i( θ) (3) (a + bi) n = (re iθ ) n = r n e i(nθ) met n Z (4) De exponentiële vorm stelt ons in staat op een eenvoudige manier binomiaalvergelijkingen op te lossen. Dit zijn vergelijkingen van de vorm: z n = a + bi. Oplossingsmethode zet z en a + bi om in exponentiële vorm, pas formule (4) toe op het linkerlid en de gelijkheid van complexe getallen in exponentiële vorm. 7 Hiervoor verwijzen we naar cursussen Analyse. (2)
8-22 Oefeningen 5.1 Je kan Oefeningen 4.2 van 1. tot 6. opnieuw maken door de exponentiële vorm te gebruiken. Referenties [1] P. Gevers, J. Anseeuw, J. De Langhe, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta, 5/6 Complexe Getallen(6-8 uur), Leuven, Wolters Plantyn, 1994. [2] E. Jennekens, G. Deen, Wiskunde 68, Wiskunde 5, Deel A, Matrices en complexe getallen, Antwerpen, De Sikkel, 1972. [3] J. Quaegebeur, Basisbegrippen en basistechnieken uit de wiskunde, Leuven, Acco, 2004. 6 Oplossingen 1.1 2.1 1. (a) 19 4i 2. 3. (b) 4 + 11i (c) 13 13i (d) 3 + 4i (e) 5 i (f) 61 (g) 5 2i 29 (h) 5 i 13 (i) 2 5 (j) 13 1. 5 2
8-23 2. 3.1 ±6i en ± 5i 3.2 4.1 1. x 1 = 2 en x 2 = 3 2. (a) x 1,2 = 1±i 7, de ontbinding is x 2 + x 2 = 1(x 1+i 7)(x 1 i 7) 2 2 2 (b) x 1,2 = 5±i, de ontbinding is 2 2x2 10x + 13 = 2(x 5+i 5 i )(x ) 2 2 (c) x 1,2 = 5±i 59 6, de ontbinding is 3x 2 5x + 7 = 3(x 5+i 59 6 )(x 5 i 59 6 ) 3. x 2 6x + 13 = 0 1 = cos 0 + i sin 0 1 = cosπ + i sin π i = cos(π/2) + i sin(π/2) i = cos( π/2) + i sin( π/2) 3 + i = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) 3 + i = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) cos(π/4) + i sin(3π/4) = cos(π/4) + i sin(π/4) cos(π/3) i sin(π/3) = cos( π/3) + i sin( π/3). 9 cos 3θ+i sin 3θ = (cosθ+i sin θ) 3 = cos 3 θ+3(cos 2 θ sin θ)i 3 cos θ sin 2 θ (sin 3 θ) i Besluit: cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ en sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ 4.2 1. 1024 2. 1024 1024i 3. 16 3 + 16i 4. 5. De vijdemachtswortels zijn de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel rond de oorsprong en met één hoekpunt in het punt z = 1 van het complexe vlak. Voor een n-de machtswortel uit 1, wordt dit een regelmatige n-hoek.
8-24 6. 7. 8. ± 5 i, 1, 1 ± 7 i 2 9.