Hoofdtuk Complexe getall. Herhalingopgav a We plit het getal in twee del: lni ln i e e e e ln e (o( π) iin( e ( i ) e i i i i i i i i Samgevoegd levert dit e omplex getal op met e reëel deel ( ) e e e imaginair deel ( ) e e : i = i e e e e b i arg( i ) π, 0 0 ( i ) arg( i ) 0arg( i ) π π π (modulo π ) 0 0 i arg( i) π, 8 8 9 ( i) arg( i) 8arg( i) π π π (modulo π ) 8 8 0 ( i ) ( i ) 8 8 ( i) ( i) 0 ( i ) 0 ( i ) arg 8 π π π ( i) We kunn hrijv ( i) i arg( i) π, ( i) arg( i) arg( i) π π (modulo π ) i arg( i) π, ( i) arg( i) arg( i) π π (modulo π ) 8 0 o π iin π i
We kunn hrijv ( i) ( i) o π π i in π π (o(π) i in (=. De beide getall amgevoegd levert e omplex getal met e reëel deel 8 e imaginair deel : 8 i. a Stel r arg( ) i i r arg(i ) arg i arg π moet geld r r 0 π π π 0 Het gaat hierbij om het gebied in het omplexe vlak, dat begrd wordt door de twee irkel met middelpunt O tral repetievelijk, in het vierde kwadrant ( π 0 ). Alle de rand van de irkel met traal telt mee vanwege het gelijktek in r. b Stel Re( ) x arg( ) x Re( ) i Verder moet geld 0 π Het gaat hierbij om het gedeelte van de lijn x in het omplexe vlak, dat begrd wordt door de x-a ( 0 ) de lijn y x ( ). Stel r arg( ) r arg( ) arg π moet geld r 7 r π π 8 π π Het gaat hierbij om het gebied in het omplexe vlak, dat begrd wordt door de twee irkel met middelpunt O tral repetievelijk de lijn π repetievelijk π. 8 Wat de rand van het gebied betreft: alle de rand van de irkel met traal telt mee (vanwege het gelijktek in r ) het gedeelte van de lijn (vanwege het gelijktek in π π). 8 d Stel Re( ) x Im( ) y i i x iy i i x iy x i( y ) x i( y) x ( y ) ( x) ( y) x ( y ) ( x) ( y) Uitwerk leidt tot x y 0y 8x x 9 y y 8x y 0 x y 0 Het gaat hierbij om de lijn y x in het omplexe vlak. a Stel Re( ) x, Im( ) y arg( ) i 0 x iy i x i( y ) 0 8 π Hieruait volgt ( x ) ( y ) 0 ( x ) ( y ) 00 ()
Ook gegev i: arg( ) π arg π π, x 0 () y 0 ( ligt op de poitieve imaginaire a). () ingevuld in () levert: ( y ) 00 y 99 y (alle de poitieve oploing geldt, omdat y 0 ). Conluie: ( )i. Het beeldpunt van ligt op de imaginaire a. b Het beeldpunt van i t opihte van het beeldpunt van gepiegeld t opihte van de reële a. Het beeldpunt van i krijg we uit het beeldpunt van door het over e hoek van arg(i) te draai in poitieve rihting (het komt op de negatieve reële a te ligg). Controle: ( )i a i 0 i 0 Kwadraatafplit leidt tot i i i ( )i ( ). ( i) i 0 ( i) b Stel w w iw 0 Kwadraatafplit leidt tot ( w i) ( i) 0 ( w i) Hieruit volgt w i i w i of w i w i of w i i (o( π k π) i in( π k (o( π k π) i in ( π k voor k 0,, o( π) i in( π) i o( π) i in( π) i o( π) i in( π) i 9 9 i (o( π k π) i in( π k (o( π k π) i in ( π k voor k 0,, o( π) i in( π) i o( π) i in( π) ( i) 7 7 o( π) i in( π) ( i)
i i ( i) 0 ( i) 0 i ( i) i 0 0 Kwadraatafpit leidt tot ( ( i)) ( i) 0 ( ( i)) i i i 9 (o(arg( i) iin(arg( i)) (o(,900) iin(,900)) ( i) (o (,.. kπ) iin (,.. k voor k 0, Conluie: i,89888(o, 779 i in, 779) i,89888 0, 8978,89888 0,9709i,0,87i i,89888(o(, 779 π) i in(, 779 i,89888 ( 0, 8978),89888 ( 0,9709)i 0, 97 0,87i d Stel w w ( i) w i 0 Kwadraatafplit leidt tot ( w ( i)) ( ( i)) i 0 ( w ( i)) ( i ) i i i (o( π kπ) iin( π k Hieruit volgt w ( i) (o( π kπ) iin( π k voor k 0, w i o( π) i in( π) i ( ) i( ) i of w i o( π) i in( π) i ( ) i( ) Split we op: i (o( π k π) i in( π k (o( π k π) i in ( π k voor k 0,, o( π) i in( π) i o( π) i in( π) i 9 9 o( π) i in( π) i (o(π k π) i in(π k (o( π k π) i in ( π k voor k 0,, o( π) i in( π) i o(π) i in(π) o( π) i in( π) i
a i De faevetor van f () t i π f e o( π) i in( π) i De faevetor van g( t) in(t π) o( t π) o( t π) o(t π) i i π o( π) i in( π) g e i De faevetor van h( t) o(t π) o(π t π)=o( t π) o(t π) i i π h e o( π) i in( π) i i b f g h i i i i( ) 0,878,987i Hiervan i de modulu ( 0,878) (,987), 080,987 het argumt arg( ) artan, 7898 0,878 (we moet π aftrekk want ligt in het derde kwadrant). Voor f ( t) g( t) h( t) i het reële deel van f( t) g( t) h ( t),080e e,080e Het reële deel hiervan i i(t,7898) Re,080e,080o( t,7898) a du v( t) in dt in t 0 0 o π ( t) 0 o t 0 t π m/ dv a( t) o dt o π 0 t t t 0 9 t o π m/ of o π m/ f t g t h t i ( ) ( ) ( ) e t i(,7898) it i(t,7898) 0 0 9 9 b 0 De faevetor van u(t) i 0e 0 (op de poitieve reële a). u i( π) 0 0 De faevetor van v(t) i e i (op de poitieve imaginaire a, over π gedraaid v t opihte van de faevetor met e fator vermigvuldigd). u 0 iπ 0 9 e t 9 De faevetor van a(t) i (op de negatieve reële a, weer over π gedraaid met e fator a vermigvuldigd, maar nu t opihte van de faevetor v ).