Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding
Onderwerpen Elementaire getaltheorie: deelbaarheid, priemgetallen, ggd, gv. Elementaire verzamelingenleer: verzameling-notatie, doorsnede, vereniging, complement, verband met propositionele connectieven, cartesisch product, eindige ardinaliteit, paradox van Russell, relaties, functies (injectief, surjectief, bijectief). Oneindigheid: definitie van gelijmachtigheid en aftelbaarheid, aftelbaarheid van de verzameling der rationale getallen, diagonaalmethode van Cantor. Relaties: eigenschappen (reflexief, symmetrisch, transitief, antisymmetrisch, lineair, functioneel), equivalentierelaties, equivalentielassen, partities, partiële ordeningen, grootste / leinste / maximaal / minimaal element, leinste / grootste benedengrens. Wisundige bewijzen: rol van logische redeneerprincipes, bewijzen uit het ongerijmde (irrationaliteit van wortel 2, oneindigheid van het aantal priemgetallen), bewijzen met volledige inductie,lineair geannoteerde bewijzen. Recurrente betreingen: oplossen van lineaire recurrenties van diepte 2. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 1
Grafen: nopen en anten, gericht en ongericht, paden, samenhang, graad, ingraad, uitgraad, isomorfie, Eulerpaden, bomen, opspannende bomen. Boole-algebra s: atomen, Boole se expressies, logische netweren. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 2
Agenda Stof per wee: 1. Hoofdstu 1, 2 (par 3-6) 2. Hoofdstu 2, 3 3. Hoofdstu 4 4. Hoofdstu 6 5. Deeltoets Hoofdstu 1 t/m 4 6. Hoofdstu 8, 10 7. Hoofdstu 11 8. Hoofdstu 13 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 3
Agenda Onderwerpen deze wee: 1. Redeneren 2. Factoren en veelvouden 3. Verzamelingen 4. Functies Discrete Structuren Wee1: Inleiding 4
Inleiding 1. Hoeveel getallen liggen er tussen 1 en n? 2. Hoeveel getallen liggen er tussen m en n? 3. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen 1 en n? 4. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 5
4. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n? Go: (n m+1) Niet slecht maar het antwoord is: n In het algemeen: m 1 x x < x +1 dus: n 1 < n n x 1 < x x (*) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 6
x < x x +1 dus: n n 1 < n x 1 < x x (*) Evenzo voor m 1 : Vermenigvuldigen met 1: m 1 m 1 1 < m 1 m 1 < m 1 m 1 +1 (**) Optellen * en **: n 1 m 1 < n m 1 < n m 1 +1 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 7
5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 8
5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t Discrete Structuren Wee1: Inleiding 9
5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t 6. Hoeveel priemgetallen liggen er tussen m en n? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 10
5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t 6. Hoeveel priemgetallen liggen er tussen m en n? ongeveer n ln n m 1 ln(m 1) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 11
Redeneerpatronen Verwijder ambiguïteit Abstraheer van speciale gevallen Gebrui specifiee voorbeelden Los speciale gevallen eerst op Verander hypothesen Gebrui geschite notatie Tel een verzameling zonder alle elementen te produceren Tel een verzameling door een verzameling van een te grote verzameling af te treen (3 anedotes: oneven=priem, heet water, tent) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 12
Factoren en producten We beschouwen alleen de natuurlije getallen (N). veelvoud deelbaarheid, factor of deler m n beteent m is een deler van n is transitief: (m n n o) = m o Theorem 1. Een natuurlij getal n groter dan 1 is priem desda 1 en n zelf de enige delers van n zijn. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 13
Factoren en producten Theorem 2. [Priemfactorontbinding] Ele natuurlij getal n groter dan 1 an op maar één manier geschreven worden als het product van priemgetallen. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 7 192 = 2 2 2 2 2 2 3 = 2 6 3 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 14
Ggd en Kgv grootste gemene deler ggd(x,y) of gcd(x,y) ggd(168,192) = ggd(2 3 3 7,2 6 3) = 2 min(3,6) 3 min(1,1) 7 min(1,0) = 2 3 3 1 = 24 leinste gemene veelvoud gv(x,y) gv(168,192) = gv(2 3 3 7,2 6 3) = 2 max(3,6) 3 max(1,1) 7 max(1,0) = 2 6 3 1 7 1 = 1344 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 15
relatief priem Theorem 3. Voor positieve natuurlije getallen m en n geldt: ggd(m,n) gv(m,n) = mn Discrete Structuren Wee1: Inleiding 16
Delingsalgoritme Stel m is een positief natuurlij getal. Voor ele natuurlij getal n zijn er uniee natuurlije getallen q en r, zodat: n = m q+r en 0 r < m Delen door m geeft: q - quotiënt r - rest n m = q + r m en 0 r m < 1 Theorem 4. Voor positieve natuurlije getallen m en n geldt: 1. ele gemeenschappelije deler van m en n is oo een deler van ggd(m,n) 2. ele gemeenschappelije veelvoud van m en n is oo een veelvoud van gv(m,n) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 17
Verzamelingen N = {0,1,2,3,...} P = {1,2,3,...} { : } Deelverzameling: S is een deelverzameling van T, (notatie: S T) als: x(x S = x T) Echte deelverzameling: S is een echte deelverzameling van T, (notatie: S T) als: S T en S = T Russell-paradox: V = {x : x / x} P N Z Q R Discrete Structuren Wee1: Inleiding 18
Intervallen van R.: [a,b] = {x R : a x b} (a,b) = {x R : a < x < b} [a,b) = {x R : a x < b} (a,b] = {x R : a < x b} (,a] = {x R : x a}... Discrete Structuren Wee1: Inleiding 19
De machtsverzameling P(S) van S is: Voorbeeld: Als S = {a,b,c} dan is: P(S) = {T : T S} P(S) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c} } De grootte van een verzameling S noteren we met S De grootte van de machtsverzameling P(S) is een exponentiële functie van S : P(S) = 2 S Discrete Structuren Wee1: Inleiding 20
Talen Alfabet - niet-lege eindige verzameling (letters of symbolen): Σ. Woord - een eindige string letters van Σ. Σ - de verzameling van alle woorden van Σ Iedere deelverzameling van Σ is een taal. Lege-woord, null-woord, null string, notatie λ Voorbeeld: Als Σ = {a} dan is: Σ = {λ,a,aa,aaa,aaaa,...} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 21
Verzamelingenoperaties Vereninging: A B = {x : x A of x B of beide} Doorsnede: A B = {x : x A en x B } Complement: A c = {x : x / A } Relatief complement: A \B = {x : x A en x / B } Discrete Structuren Wee1: Inleiding 22
Verzamelingenoperaties Symmetrisch verschil: A B = {x : x A of x B maar niet in beide} Universum - U. Absoluut complement: A c = {x U : x / A} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 23
Verzamelingen-wetten Commutativiteit Associativiteit Distributiviteit Idempotentie Identiteit Complement Dubbel Complement Relatie Universum - Lege Verzameling De Morgan Discrete Structuren Wee1: Inleiding 24
Verzamelingen-wetten-2 Commutativiteit A B = B A (idem ) Associativiteit (A B) C = A (B C) (idem ) Distributiviteit A (B C) = (A B) (A C) (idem van over ) Idempotentie A A = A (idem ) Identiteit A = A (4 stus) Complement Dubbel Complement A A c = U en A A c = (A c ) c = A Relatie Universum - Lege Verzameling U c = en c = U De Morgan (A B) c = A c B c (+ duale variant) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 25
Cartesisch Product Geordend paar: (s, t) (s 1,t 1 ) = (s 2,t 2 ) desda s 1 = s 2 en t 1 = t 2 Product: Geordend n-tupel: (s 1,s 2,...s n ) S T = {(s,t) : s S en t T} Productverzameling: S 1 S 2...S n = {(s 1,s 2,...s n ) : s S voor [1,n]} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 26
Functies Definition 1. [Functie] Een functie f : S T ent aan el element x in in de verzameling S een uniee waarde in de verzameling T toe. f : S T S - domein T - codomein Discrete Structuren Wee1: Inleiding 27
Functies Beeld: Im(f) = {f(x) : x Dom(f)} De graaf van een functie f : S T is een deelverzameling van S T: Graaf(f) = {(x,y) S T : y = f(x)} Karateristiee functie: χ A (x) = { 1 indien x A, 0 indien x S \ A. (1) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 28
Functiecompositie Compositie: (g f)(x) = g(f(x)) voor alle x S Twee functies commuteren als: f g = g f Discrete Structuren Wee1: Inleiding 29
Stel de functies f, g en h beelden R op R af: f(x) = x 4, g(y) = y 2 +1, h(z) = z 2 +72 (h (g f))(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = h(g(x 4 )) = h( x 8 +1) = ( x 8 +1) 2 +72 = x 8 +73 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 30
En oo: ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = x 8 +73 Compositie is associatief. Stel f : S T,g : T U en h : U V dan: h (g f) = (h g) f Discrete Structuren Wee1: Inleiding 31
Injectie (one-to-one function). a,b A : f(a) = f(b) = a = b Surjectie (onto function). b B a A : f(a) = b Discrete Structuren Wee1: Inleiding 32
Bijectie (One-to-one correspondence). is zowel injectief als surjectief Discrete Structuren Wee1: Inleiding 33
Inverse Definition 2. [Inverse] De inverse van een functie f : S T is een functie f 1 : T S zo dat: f 1 (f(x)) = x voor alle x S f(f 1 (y)) = y voor alle y T Theorem 5. De functie f : S T is inverteerbaar desda f is een bijectie van S naar T. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 34
Beelden Definition 3. [Beeld] Gegeven de functie f : S T. Stel A S Dan is het beeld van A onder f: f(a) = {f(x) : x A} Definition 4. [Inverse Beeld] Gegeven de functie f : S T. Stel B T Dan is het inverse beeld van B onder f (pre-image): f (B) = {x S : f(x) B} f (B) = {f 1 (y) : y B) = f 1 (B) Voor y T schrijven we f (y) voor f ({y}) f (y) = {x S : f(x) = y} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 35