EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk is, onafhankelijk van elkaar. Indien u een bepaald onderdeel niet of slechts ten dele kunt maken, ga dan toch door met het maken van de volgende onderdelen. De gewichten van de vraagstukken zijn: 45:5:40. Exercise. Zij 0 y <. Dan heeft de verticale lijn in R gaande door het punt y, 0) een uniek snijpunt, zeg χy) R, met de cirkelboog: { x R x, 0) =, x 0 }; en er geldt χy) 0, 0). De rechte lijn door 0, 0) en χy) snijdt de verticale lijn gaande door y, 0) in een uniek punt, zeg φy) R. Maak een schets!) i) Verifieer dat geldt: φy) = y, y 3 ) y 0 y < ). ii) Laat zien dat de afbeelding φ : ] 0, [ R gegeven door y φy) een C -inbedding is. De cissoïde van Diokles is de verzameling V R gedefinieerd door: { V = y y 3 ), R < y < }. y iii) Toon aan dat V \ {0, 0)} een C -deelvariëteit in R van dimensie is. iv) Bewijs: V = g {0}), met gx) = x 3 + x )x. v) Laat zien dat g : R R surjectief is, en dat, voor elke c R \ {0}, de niveauverzameling g {c}) een C -deelvariëteit in R van dimensie is. vi) Bewijs dat V een gewone spits heeft in het punt 0, 0), en leidt hieruit af dat V in 0, 0) geen C -deelvariëteit in R van dimensie is. Exercise. Zij A : R n R n een symmetrische lineaire afbeelding, en zij f : R n R de kwadratische functie: fx) = < Ax, x > x R n ). i) Bewijs dat voor alle x R n geldt: grad fx) = A x. ii) Bewijs dat de extremale waarden van de restrictie van f tot de eenheidssfeer in R n, gelijk zijn aan een eigenwaarde van A. Aanwijzing: Denk eraan dat een continue functie op een begrensde en gesloten verzameling zijn maximum en minimum aanneemt.
Exercise 3. Definieer f : [ 0, [ U R door: U = { x R x > 0, x > 0 }, en: fy; x) = y yx + x + ) + x y [ 0, [, x U). i) Bewijs m.b.v. de Tussenwaardestelling dat, voor elke x U, er getallen y = y x) en y = y x) in R bestaan zó, dat: fy ; x) = fy ; x) = 0, en 0 < y < < y. Definieer, in de notatie van onderdeel i), nu Φ : U V door: V = { y, y ) R 0 < y < < y }, Φx) = y x), y x)). ii) Toon aan dat Φ : U V een bijectieve afbeelding is, door te bewijzen dat voor elke y V de vergelijking Φx) = y een unieke oplossing x = Ψy) U heeft, en dat geldt: Ψy, y ) = y y, y )y ) ). Aanwijzing: Beschouw de kwadratische polynoomfunctie y y y )y y ), bij gegeven y, y ) R. iii) Bewijs dat Ψ : V U een C -afbeelding is. Ga na dat geldt, als Ψy, y ) = x: det DΨy) = y y 4x x. Leid hieruit af dat zowel Ψ : V U als Φ : U V een C -diffeomorfisme is. Voor elke y I = { y R y > 0, y } introduceren we nu g y : R R, resp. V y R, door: g y x) = x y + x y, resp. V y = g y {0}). Merk op dat V y een hyperbool, resp. een ellips, is, voor 0 < y <, resp. < y. iv) Ga na: x V y fy; x) = 0. v) Bewijs m.b.v. onderdeel ii) dat elke x U op precies één hyperbool en ook op precies één ellips uit de collectie { V y y I } ligt. En omgekeerd, dat voor elke y, y ) V de hyperbool V y en de ellips V y precies één snijpunt, n.l. x = Ψy, y ), in U hebben. vi) Bewijs, voor x = Ψy, y ) U, dat de hyperbool V y en de ellips V y in het punt x loodrecht op elkaar staan. Achtergrond. De laatstgenoemde eigenschap in v) is opmerkelijk, en hangt samen met het feit dat alle kegelsneden V y hetzelfde brandpunt of focus hebben. Het element y, y ) = y x), y x)) V bestaat uit de confocale coördinaten voor het punt x U.
Uitwerking van Eerste Deeltentamen Analyse C van 0 november 990. De onderstaande uitwerkingen zijn langer dan het werk dat studenten redelijkerwijs gedurende een tentamen kunnen produceren. Dat komt doordat geen gebruik is gemaakt van telegramstijl, etc., maar ook omdat volledigheidshalve is ingegaan op details die bij de beoordeling van het ingeleverde werk gewoonlijk niet aan de orde kwamen. Om de beoordeling 0 te behalen, kon men gemeenlijk volstaan met werk met minder kwaliteit dan men hier zal aantreffen. Uitwerking. i) Een punt x op de verticale lijn { x R x = y } is van de gedaante x = y, ). Verder is een punt x op de cirkelboog te schrijven als x = + w, w ) voor een geschikt gekozen w R met w. In een snijpunt geldt: w = y ; en daarom is een snijpunt uniek, en wordt het gegeven door: χy) = y, y ) y 0 y < ). Voor 0 y < geldt χy) 0, 0). De rechte lijn door 0, 0) en χy) heeft een parametervoorstelling { t χy) R t R }. Deze lijn snijdt de verticale lijn { x R x = y } in precies één punt; noem dat punt φy). In φy) geldt t y, ) = y, ). Derhalve hebben we: Dit bewijst onderdeel i). t = y ; dus φy) = y, y y 3 ). y ii) De functie : [ 0, [ R is continu, en een C -functie op het open interval ] 0, [. Voor y ] 0, [ is y > 0, en dus is y y aldaar een C -afbeelding. Derhalve is y φy) een C -afbeelding als compositie van dergelijke afbeeldingen. Door te letten op de eerste component y van φy) en omdat y > 0, zien we dat φ injectief is. Voorts geldt: ) y Dφy) = : R R ; en het is duidelijk dat deze afbeelding injectief is. Tenslotte is de afbeelding φy) y de compositie van de continue afbeeldingen: φy) φ y) = y en y y; en bijgevolg is deze afbeelding continu. Derhalve is: φ φ ] 0, [ ) : φ ] 0, [ ) ] 0, [ continu. Aan alle eisen voor een C -inbedding is nu voldaan door φ : ] 0, [ R. iii) M.b.v. Corollarium 4.3. volgt uit onderdeel ii) dat φ ] 0, [ ) een C -deelvariëteit in R van dimensie is; en dus is V \ {0, 0)} dat ook, omdat deze verzameling de disjuncte vereniging is van φ ] 0, [ ) en de gespiegelde van φ ] 0, [ ) t.o.v. de x -as. iv) Voor x V, geldt x = y y 3 en x =. Er volgt y x = y6 y = x3. Dus x x )x = x3 ; ofwel gx) = 0. Stel nu omgekeerd dat gx) = 0; dan geldt dus x )x = 3
x 3. Allereerst volgt hieruit 0 x want 0 > x impliceert x >, en dus 0 >, een tegenspraak), en op analoge wijze volgt x <. Dus kunnen we schrijven x = y waarbij < y < x 3 y 3. Verder geldt dan x = ± = x, m.a.w. x V. y v) Er geldt: gx, 0) = x 3 ; en x x 3 is een surjectie van R op R. Derhalve volgt dat g : R R surjectief is. Verder hebben we: en dus is Dgx) surjectief tenzij: Dgx) = 3x + x, x )x ) : R R; 3x + x = 0 en x )x = 0. Hieraan wordt alleen voldaan door x = x = 0; en er geldt g0, 0) = 0. Voor alle x R met gx) = c 0, is dus g een submersie in x; en m.b.v. de Submersiestelling volgt dat g {c}) een C -deelvariëteit in R van dimensie is. vi) We hebben: y = y) = + Oy)), y 0; en dus vinden we: φy) = y, y 3 + Oy 4 )), y 0. De beweringen uit onderdeel vi) volgen nu m.b.v. Lemma 5.3.0. Uitwerking. i) Vanwege de symmetrie van A geldt, voor x, h R n : fx + h) fx) = < Ax + h), x + h > < Ax, x > = = < Ah, x > + < Ax, h > + < Ah, h > = < Ax, h > + < Ah, h >. M.b.v. de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz volgt: < Ah, h > Ah h A Eucl. h. Op grond van de definitie van afgeleide hebben we, voor alle x, h R n : en dit bewijst onderdeel i). < grad fx), h > = Dfx)h) = < Ax, h >; ii) We zoeken extrema van x fx) onder de nevenconditie: x S n = { x R n gx) := < x, x > = 0 }. Passen we onderdeel i) toe met A = I, dan volgt dat grad gx) = x. Overeenkomstig de Aanwijzing heeft f beperkt tot S n, een maximum en een minimum; zeg dat zo een extremum wordt aangenomen in x 0 S n. Krachtens de multiplicatorenmethode van Lagrange bestaat dan λ R zó, dat: grad fx 0 ) = λ grad gx 0 ). Ax 0 = λ x 0, en < x 0, x 0 > =. Bijgevolg is x 0 een eigenvector voor A en λ de bijbehorende eigenwaarde. Maar dan geldt: fx 0 ) = < Ax 0, x 0 > = < λx 0, x 0 > = λ. 4
Uitwerking 3. i) Omdat x > 0 en x > 0, voor elke x U, geldt: f0; x) = x > 0; f; x) = x x +x = x < 0; fx +x +; x) = x > 0. Toepassing van de Tussenwaardestelling op de continue functie y fy; x) op de intervallen [ 0, ], en [, + x + x ] resp., geeft dat er getallen y = y x), en y = y x) resp., bestaan zó, dat: fy x); x) = 0, 0 < y x) < ; fy x); x) = 0, < y x). ii) Vanwege de definities is Φ een afbeelding van U naar V. Om de surjectiviteit van Φ te bewijzen is het nodig om bij gegeven y, y ) V een element x U te vinden zó, dat y en y wortels zijn van het kwadratische polynoom fy; x). Anderzijds zijn y en y wortels van het monische polynoom: y y )y y ) = y yy + y ) + y y. Coëfficiëntvergelijking geeft dus: y + y = x + x +, y y = x. x = y + y x = y y + y + y = y )y ). Er bestaan dus oplossingen x > 0 en x > 0, n.l.: x = y y, x = y )y ); en bovendien zijn dit de enig mogelijke. Dus Φ : U V is bijectief, met de gegeven Ψ : V U als de inverse. iii) De functie : [ 0, [ R is continu, en een C -functie op het open interval ] 0, [. Omdat y y > 0 en y )y ) > 0, voor y V, is Ψ een C -afbeelding. Er geldt: Dus: DΨy, y ) = y y y y y y y y )y ) y y )y ) 4 det DΨy, y ) = y y ) + y y ) y y y )y ) = y y y + y y y y y y )y ) = y y x x. Hieruit volgt det DΨy, y ) > 0, en dus impliceert de Globale Inverse-functiestelling dat Ψ : V U een C -diffeomorfisme is. Maar dan is Φ : U V het ook. iv) Er geldt: yy )g y x) = fy; x), terwijl yy ) 0, voor y I. v) Voor gegeven x U bestaat volgens onderdeel ii) een uniek element y, y ) V zó, dat: 0 < y <, g y x) = 0; < y, g y x) = 0.. x V y met V y hyperbool; x V y met V y ellips. 5
Anderzijds volgt ook uit ii) dat bij gegeven y, y ) V er een unieke x = Ψy, y ) U bestaat zó, dat: g y x) = 0 en g y x) = 0. V y V y U = {x}. vi) Er geldt: Dus volgt m.b.v. ii) dat: x grad g yj x) =, y j ) x y j j =, ). 4 < grad g y x), grad g y x) > = x x + y y y )y ) = = 0. De bewering volgt nu omdat T x V yj = < grad g yj x) >). 6