Lia Hemerik Leerstoelgroep Wiskundige en Statistische Methoden Wageningen UR Wiskunde in model

Transcriptie

1 TeoJan van de Pol, Lia Hemeik Wiskunde in model NW 5/17 n juni TeoJan van de Pol Ictuscollege, Veenendaal tjvdpol@ictuscollegenl Lia Hemeik Leestoelgoep Wiskundige en Statistisce Metoden Wageningen UR liaemeik@wunl Ondewijs Een scoolvoobeeld van altenatieve evenwicten Wiskunde in model TeoJan van de Pol eeft twee jaa lang gewekt als Leaa in Ondezoek In die peiode wed één dag pe week et lesgeven ondeboken doo ondezoek, gefinancied doo NWO Het ondezoek was geict op wiskundige modellen die et poces van algengoei op koaal bescijven en vond plaats bij de leestoelgoep wiskundige en statistisce metoden, ondedeel van Biometis aan de Wageningen Univesiteit, onde begeleiding van Lia Hemeik Tijdens et modelleen is steeds gekeken of en waa de uitkomsten van et ondezoek in et middelbaa ondewijs kunnen woden gebuikt Te denken valt aan et domein dynamisce modellen binnen et vak wiskunde D, maa ook aan de wiskundige denkactiviteiten die in et nieuwe cuiculum van et wiskundeondewijs een gote plaats innemen Dit atikel gaat met name in op de ondedelen van et ondezoek die voo et ondewijs elevant zijn Daabij wo een aanzet gegeven voo divese wiskundige denkactiviteiten in et kade van wiskundig modelleen Wiskundig modelleen is een moeilijke wiskundige vaadigeid In et cuiculum van et vootgezet ondewijs wed tot voo kot elatief weinig aandact besteed aan deze vaadigeid Dat is jamme, omdat modelleen bij uitstek de gelegeneid bie om de opgedane kennis van analyse en algeba toe te passen op een beed scala van ondewepen Hiemee kun je de elevantie van de wiskunde voo andee wetenscappen en toepassingsgebieden illusteen In 015 zijn de wiskundige denkactiviteiten deel gaan uitmaken van et cuiculum van wiskunde op et vootgezet ondewijs (vo) Deze wiskundige denkactiviteiten woden ondevedeeld in vescillende kenaspecten, waavan modelleen e één is [, 3] Eén van de bedoelingen van deze denkactiviteiten is et stimuleen van leelingen om de opgedane wiskundekennis zelf te kunnen toepassen in nieuwe contexten Dit atikel laat zien dat et mogelijk is om et modelleen een plaats te geven in de wiskundeles De toepassing wo iebij gebuikt als vetekpunt van et wiskundig modelleen In deel 40 van de Zebaeeks [4] is dit ondewep vewekt in diect inzetbaa leelingmateiaal anleiding In et kade van een liopoject (leaa in ondezoek) is ondezoek gedaan naa wiskundige modellen die de goei van algen op koaal bescijven [6] ctegond van et ondezoek is de weeldwijde bedeiging van koaal Doo divese omstandigeden woden koaaliffen ovewoeked doo algen Deze ovewoekeing zogt e onde andee voo dat de koalen un kleu veliezen: vebleking [1] Om dit poces te begijpen en te stuen, zijn we geïnteesseed in een model voo de bescijving van algengoei In dit atikel woden divese paametes gebuikt In Tabel 1 staat een ovezict met voo elke paamete een standaadwaade ls wo afgeweken van deze standaadwaade, dan wo dit expliciet vemeld lgen op koaal, goei Leelingen leen dat een model een veeenvoudigde weegave is van de wekelijkeid Laten we dus eenvoudig beginnen Voo algengoei eb je algen nodig De goeisneleid is in de meest eenvoudige vom alleen afankelijk van de omvang van de dicteid aan algen in biomassa pe oppevlakteeeneid ( in g m ) en wo bepaald doo de elatieve goeisneleid Diffeentiaalvegelijking (1) (et goeimodel van Maltus), kan dienen als eeste uitgangspunt om met leelingen ove dit pobleem na te denken: = (1) In (1) is de enige paamete Uit (1) volgt ook diect dat de eeneid van pe dag is (dag 1 ) ls we vevolgens aannemen

2 8 NW 5/17 n juni 016 Wiskunde in model TeoJan van de Pol, Lia Hemeik Paamete Betekenis Standaadwaade Eeneid elatieve goeisneleid 1,5 dag 1 daagkact van et systeem 0 g m c consumptiesneleid van algen 3,5 m dag 1 g m pe capita consumptiesneleid (pe ebivoo) 1 dag 1 H 1 alfvezadigingsconstante: de concentatie algen waabij de ebivoo de elft van zijn maximale consumptie aalt 1 g m Tabel 1 Gebuikte paametes in de divese modellen dat ^0 = 10 g m, moeten leelingen met un vaadigeid in diffeentiëen en integeen de oplossingfomule voo de ontwikkeling van de biomassa aan algen doo de tijd een kunnen bepalen l snel zullen leelingen tegenwepen dat zo n goeimodel niet ealistisc is Een exponentieel en ongeemd goeiende algen populatie past niet bij (un beeld van) de wekelijkeid Nu komt et eop aan dat leelingen inzict in goei kunnen vetalen in wiskundige fomules Deze stap kan voo de leelingen lastig zijn De ol van de docent zou ie moeten bestaan uit et aan bod laten komen van de divese goeimodellen met un kaakteistieken Goei is in deze context immes niet onbepekt, maa afankelijk van bijvoobeeld uimte, voedsel en lict De biomassa aan algen is gebonden aan de maximale daagkact (g m ) van et ecosysteem Het model ieop aanpassen levet diffeentiaalvegelijking () op (et goeimodel van Veulst, ook wel logistisce goei genoemd): = $ $ b1 l () fankelijk van et niveau van de goep is et mogelijk om de diffeentiaalvegelijking via beuksplitsen op te lossen, gegeven en volgens Tabel 1 en ^0 = 10 g m Dat is een goede oefening in algebaïsce vaadigeden De volgende stap is om dit model met leelingen te analyseen Vanuit de context is et inteessant om te kijken of e evenwicten zijn en of deze stabiel of instabiel zijn De begippen evenwict en stabiliteit woden doo leelingen nogal moeilijk gevonden Een voo leelingen buikbae bescijving van een evenwict is: als je in deze toestand begint, blijf je ook in deze toestand Met andee wooden: de oeveeleid algen zal dan constant blijven Een buikbae omscijving van een (lokaal) stabiel evenwict is: als je in deze evenwictstoestand bent en de toestand veandet een beetje, dan kom je altijd wee in etzelfde evenwict teug E is spake van een (lokaal) instabiel evenwict als je bij een willekeuige, kleine veandeing vanuit een evenwictstoestand, niet mee in etzelfde evenwict teugkomt Welk effect ebben veandeing van of op de goei van de biomassa aan algen of op (de stabiliteit van) de evenwicten? In plaatjes in Excel en met de applets JODE [7, 8, 9] of InteEule [10, 11] kunnen leelingen expeimenteen met et vaiëen van paametes en daa zelf conclusies uit tekken lgen op koaal, consumptie Ook nu ontbeekt e nog veel aan et model lgen goeien niet alleen, maa ze woden ook opgegeten Consumptie van algen vin plaats doo vissen en zeeegels (de zogenaamde ebivoen) Opnieuw een eenvoudige stat Leelingen begijpen dat voo consumptie van algen, algen nodig zijn Hoe mee algen, oe mee e geconsumeed kan woden Consumptie is dus afankelijk van de dicteid aan algen Gaan we uit van evenedigeid met c, de consumptiesneleid (dag 1 ), dan kijgen we Consumptie = c $ en omdat consumptie negatief wekt op de goei ontstaat diffeentiaalvegelijking (3a) Na enige eleiding ontstaat daauit diffeentiaalvegelijking (3b) = $ $ b1 l c$, (3a) = ( c) (3b) Ook dit model ondezoeken we op evenwicten Leelingen vinden de evenwicten doo et oplossen van = 0, namelijk de twee oplossingen = 0 en = ( 1 c ) an deze laatste oplossing is te zien dat e (natuulijk) alleen een positieve evenwictswaade van de biomassa aan algen optee voo c < : een wiskundige ondebouwing van et vemoeden dat de consumptiesneleid kleine moet zijn dan de elatieve goeisneleid wil een populatie kunnen blijven bestaan De Monodfunctie De eede aangenomen evenedigeid tussen en c blijkt in de paktijk andes te liggen Ondezoek naa wiskundige modellen die consumptie bescijven, is onde andeen gedaan doo Holling [5] Ondezoek onde dieen eeft indedaad uitgewezen dat een toename van voedsel etoe lei dat e mee wo gegeten Daabij wo ecte ook waagenomen dat de consumptiesneleid pe ebivoo asymptotisc nadet tot een maximum (g m ) bij toenemende voedseldicteid () Dit kan woden besceven met de Monodfunctie (ook wel Holling type II functionele espons genoemd): Consumptiesneleidpe ebivoo = gm + Dit is de consumptie pe die pe dag Hiein is de biomassa aan algen waabij de ebivoo de elft van zijn maximale consumptiesneleid beeikt Voo de totale consumptie moet nog woden vemenigvuldigd met de dicteid aan ebivoen (H in aantal pe m ) Nemen we vevolgens c = g m H (c in aantal pe m pe dag) dan wo diffeentiaalvegelijking (4) ons volgende goeimodel = $ $ b1 l c $ b l + (4) Ook ie levet et oplossen van de vegelijking = 0 wee de evenwictswaaden van uitgedukt in de paametes van et model Natuulijk is e wee de oplossing = 0 Daanaast ontstaat de evenwictsvegelijking c = 0 Deze is te escijven tot de kwadatisce

3 TeoJan van de Pol, Lia Hemeik Wiskunde in model NW 5/17 n juni Figuu 1 / (vegelijking (4)) is veticaal uitgezet tegen op de oizontale as E zijn die nulpunten, waabij de algenpopulatie in evenwict is De evenwicten bij = 0 en 17, 5 zijn stabiel, die bij 15, instabiel Vanuit dit laatste punt gezien zogt een veoging van voo / 0, dus neemt vede toe, tewijl een velaging van zogt voo / 1 0 neemt dan vede af De pijllengte is een maat voo de sneleid waamee veandet in de icting van één van de stabiele evenwicten vegelijking + b l + c = 0, met als disciminant D = b l + 4 ( c) D c & = b + l 4 1 = cb + l 4 c m Hieuit is op te maken dat et aantal oplossingen (en dus et aantal evenwicten) opnieuw wo bepaald doo de atio c : ls gel dat c b l, < Figuu Opnieuw is / (vegelijking (4)) uitgezet tegen De elatieve goeisneleid is constant geouden ( = 1,5), tewijl de consumptiesneleid vaieet Een oge consumptiefacto zogt voo een lagee evenwictswaade aan de ectezijde van de figuu Ook is e een ogee statwaade van nodig om in deze oge evenwictstoestand te komen Bij de laagste consumptiesneleid (c = 1,5) lijken e nog slects twee evenwicten ove te blijven Een instabiele voo = 0, en een stabiele evenwictssituatie voo 19, Vanuit et oogpunt van ovewoekeing doo algen is dit een ongewenste situatie dan zijn e twee oplossingen, met een gelijkeidsteken is e één oplossing en andes zijn e geen oplossingen Wannee we model (4) als uitgangspunt nemen voo een vedee analyse, is et andig om met leelingen eest uit te gaan van een model met één vaiabele Een afbeelding van diffeentiaalvegelijking (4), een zogenaamd goeiplaatje [4], is gemaakt in Excel, en gegeven in Figuu 1 De evenwictswaaden van kunnen nu woden beekend Met beulp van deze figuu kunnen leelingen bovendien uitspaken doen ove de stabiliteit van deze evenwicten ls de waade van et ectelid van diffeentiaalvegelijking (4) positief is, goeit de populatie in aantal (pijltje naa ects in Figuu 1) en bij negatieve waaden daalt de populatiegootte (pijltje naa links in Figuu 1) Evenwictspunten met pijltjes enaatoe geict zijn stabiel en die met de pijltjes evanaf zijn instabiel Dit zijn de enige biologisc elevante mogelijkeden Daanaast kunnen leelingen et model in bijvoobeeld Excel invoeen en expeimenteen met et vaiëen van paametes en daa conclusies uit tekken Constant ouden van de epoductiefacto en vaiatie van de consumptiefacto (c = 1,5, espectievelijk, 3,5 en 5) geeft een afbeelding zoals in Figuu Leelingen kijgen zo een beeld van et effect van een oge consumptiesneleid op et aantal en de ligging van de evenwicten Gezien de context is et inteessant om te zien wat e gebeut bij lage consumptie Het instabiele evenwict komt dict bij = 0 te liggen, zodat et systeem in de paktijk vijwel altijd in de oge evenwictssituatie zal komen Leelingen kunnen met de eede gegeven disciminant ondezoeken, of e wekelijk twee evenwicten ontstaan of dat e altijd, dict bij = 0, een dede evenwict blijft bestaan Hievoo kunnen ze in de evenwictsvegelijking beoend bij model (4) c vijmaken en vevolgens de evenwicten van uitzetten tegen de waade van de paamete c Dit geeft Figuu 3, een zogenaamd bifucatiediagam De omslag van een oog stabiel evenwict naa een laag stabiel evenwict (pad (1) in Figuu 3) vin plaats bij een ogee consumptie dan de omslag van een laag stabiel evenwict naa een oog (pad () in Figuu 3) Dit vescijnsel eet ysteese Figuu 3 Uit de evenwictsvegelijking c =0 is c vijgemaakt Vevolgens is uitgezet tegen c De oveige paametes zijn als in Tabel 1 Voo elke waade van c is te zien wat et aantal en de mogelijke ligging is van de evenwicten van Ook is te zien dat bij een oge consumptie (te beekenen op c 87, ) alleen et evenwict = 0 (oizontale lijn) oveblijft Het gesteepte deel van de cuves stellen de instabiele evenwicten voo en de doogetokken lijnen de stabiele evenwicten Bij veoging van c vanuit et positieve evenwict wo pad (1) gevolgd Pad () wo gevolgd bij velaging van c vanuit et lage stabiele evenwict Een constante consumptiefacto en vaiatie van de epoductiefacto geeft een afbeelding zoals in Figuu 4 De Hillfunctie Wannee ebivoen bij een lage algendicteid () ovegaan op ande voedsel of niet al et voedsel kan woden beeikt, kan de consumptie woden besceven met de Hillfunctie: Consumptiesneleidpe ebivoo = gm p p De cuve kijgt bij toenemende p een mee sigmoïdaal veloop tot et exteme geval bij gote p van een stapfunctie In et geval van vissen en zeeegels die algen eten is e spake van een Hillfunctie met p = Dit wo in de biologie de sigmoïdale functionele espons of Holling type III functionele espons genoemd Figuu 4 / (vegelijking (4)) is uitgezet tegen De consumptiesneleid is constant geouden (c = 3,5), tewijl de elatieve goeisneleid vaieet Te zien is dat een ogee elatieve goeisneleid zogt voo een snellee goei, waadoo de evenwictssituatie snelle wo beeikt E blijven die evenwicten bestaan, waavan e twee stabiel zijn en één instabiel p

4 84 NW 5/17 n juni 016 Wiskunde in model TeoJan van de Pol, Lia Hemeik ten Deze nulpunten kunnen de leelingen ook zelf beekenen met beulp van de evenwictsvegelijking $ $ b1 l c $ d n = 0 Dit levet de tiviale oplossing = 0 en een dedegaadsvegelijking Figuu 5 De gafiek van / (vegelijking (5)) uitgezet tegen Leelingen zien iein de vie nulpunten en kunnen van ieuit vede ondezoeken wat de stabiliteit van deze evenwicten is Dit deel van et model zal doo leelingen waascijnlijk niet zelf woden gevonden E is volgens ons ecte niets op tegen om na een vekenning van de Monod en de Hillfunctie (ondezoek et veloop, wat gebeut e bij eg gote p, (bijvoobeeld p 10) dit deel van et model gewoon te geven Begazing wo vede nog bepaald doo et aantal ebivoen pe m (H) iezen we in de totale begazing c = g m H, dan wo begazing besceven doo: begazing = c $ d n Wannee ten slotte goei en begazing in één model woden samengenomen, kijgen we et volgende (nog steeds stek veeenvoudigde) model: 1 = $ $ b l c $ d n (5) Wannee diffeentiaalvegelijking (5) met de standaadpaametes wo uitgezet tegen kijgen we een goeiplaatje, zie Figuu 5 Hiein zien leelingen dat de gafiek van vie nulpunten eeft, de evenwic 3 + c + cm+ = 0 Invullen van de standaadpaametes geeft: 3 0, , 3, , = 0, met als oplossingen 0, 5376,, 1488 en 17, 3136 We zijn opnieuw geïnteesseed in de stabiliteit van deze evenwicten an de and van de gafiek is te beedeneen dat et tiviale evenwict ( = 0) instabiel is De andee evenwicten zijn in oplopende gootte espectievelijk stabiel, instabiel en stabiel Ook nu is vaiatie van paametes mogelijk om leelingen inzict te geven in de betekenis van deze paametes voo et ecosysteem Vaiatie van de consumptiesneleid c levet Figuu 6a en 6b op Ook vaiatie van de elatieve goeisneleid laat zien dat de populatie zowel lage als oge stabiele evenwicten eeft ltenatieve evenwicten en bifucatie Wannee we in de vegelijking $ b1 l c $ c m = 0 de vaiabele c vijmaken, kijgen we ] g^ c = + Met de ingevulde standaadwaaden ontstaat de vegelijking 1 c = 0, , 0, , Figuu 6 Opnieuw is / (vegelijking (5)) uitgezet tegen De elatieve goeisneleid is constant geouden ( = 1,5), tewijl de consumptiesneleid vaieet (a) Een oge consumptiesneleid zogt voo een lagee evenwictswaade aan de ectezijde van de figuu Ook is e een ogee statwaade van nodig om in deze oge evenwictstoestand te komen (b) is een uitvegoting van (a) Figuu 7 fbeelding van de vegelijking c = 0, , 1 0, ,, met de biomassa aan lgen in g m uitgezet tegen de consumptiesneleid c in dag 1 Zie Figuu 3 voo de betekenis van de stijl van de lijn en de paden (1) en () In de figuu is ook et instabiele evenwict = 0 getekend (de oizontale lijn) De gafiek ievan is getekend in Figuu 7, waabij opnieuw is uitgezet tegen c Voo de ele cuve in Figuu 7 gel = 0 De gafiek geeft dus bij een gegeven consumptiesneleid c de mogelijke evenwictswaaden van Hievan zijn, zoals we eede zagen, sommige evenwicten stabiel en andee instabiel Deze figuu laat zien dat e een plotselinge ovegang van et ene evenwict naa een ande kan plaatsvinden Wannee de consumptie toeneemt, van c = tot c = 7,5 zal de evenwictswaade van geleidelijk afnemen Voo c 76, is et systeem niet mee in staat om zic ieaan voldoende aan te passen De evenwictswaade van stot dan in (zie pijl 1 in Figuu 7) Het systeem kantelt dan van een situatie met een oge stabiele evenwictswaade van naa een situatie met een lage stabiele evenwictswaade van Voo de koalen betekent dat een ovegang van een situatie met veel algen naa een situatie met weinig algen Wannee vevolgens de consumptie wo teuggebact tot onde de 7,6 zogt dat ecte niet diect voo een estel van de oude situatie Een velaging tot c =,85 zogt maa voo een eel geinge toename van de evenwictswaade van Bij een vedee velaging van c, tot onde c 84, zien we opnieuw een plotselinge omslag opteden (zie pijl in Figuu 7) Consumptie van algen is daa op zo n (laag) niveau gekomen dat de evenwictswaade van plotseling veel oge komt te liggen Ook ie is dus spake van een kantelpunt naa een ande evenwict We zien ie dat de ovegang van een oog naa een laag stabiel evenwict (et kantelpunt) op een andee plaats ligt dan

5 TeoJan van de Pol, Lia Hemeik Wiskunde in model NW 5/17 n juni Conclusie In dit atikel ebben we geïllusteed dat et mogelijk is om de leelingen opgedane wiskundige vaadigeden te laten toepassen Het vijmaken van c, invullen van paametes en eleiden, zijn stappen die vallen onde algebaïsce vaadigeden, die doo leelingen uit de bovenbouw van et vwo zelfstandig moeten kunnen woden uitgevoed Hetzelfde gel voo et zoeken van de waaden van c en voo et kantelpunt, met beulp van de afgeleide van naa c Ondetussen ebben we ze bij et modelleen aan de and genomen om uit te leggen waaom e bepaalde stukjes van de vegelijkingen zijn toegevoegd Tevens ebben we de leelingen, als belangijkste toegevoegde waade, laten ontdekken oe ze stabiele en instabiele evenwicten kunde ovegang van een laag naa een oog stabiel evenwict Dit kan veklaen waaom et estel van een vestood systeem vaak een fose ingeep vaagt Evaingen Inmiddels is et ekenen aan en bestudeen van kantelpunten enkele keen uitgepobeed in de wiskundelessen De evaing is enezijds eel positief Leelingen in vwo 6 (wiskunde B) zijn positief veast dat de wiskundige kennis die zij in enkele jaen ebben opgedaan, toepasbaa en buikbaa is binnen ele divese contexten ndezijds blijkt et voo leelingen eel lastig om zonde stuing et bescikbae wiskundige geeedscap in te zetten binnen nieuwe contexten Met name et vetalen van goeikaakteistieken naa wiskundige fomules blijkt een flinke obbel te zijn, maa ook et intepeteen van goeicuves in elatie tot de stabiliteit van evenwicten wo niet eenvoudig gevon den Hie zit ook een gote uitdaging voo de wiskundige denkactiviteiten nen intepeteen We doen dit doo in et goeiplaatje te laten zien dat als je bij een stabiel evenwict begint je daa blijft, tewijl beginnen bij een instabiel evenwict evoo zogt dat je wegloopt naa een ande evenwict We open met dit voobeeld een bijdage te leveen aan et besef bij leelingen van de bede toepasbaaeid van de wiskunde Daanaast leveen deze toepassingen uit de paktijk de docenten in et vootgezet ondewijs andvatten om aan de slag te gaan met wiskundige denkactiviteiten We doen bij deze dan ook een opoep aan collegawiskundigen aan andee univesiteiten om mee van deze buikbae toepassingen te leveen voo et wiskundeondewijs op de scolen voo vootgezet ondewijs In een peiode waain et tekot aan bètastudenten goot is, kunnen wellict ook dit soot illustaties ingezet woden om vwoleelingen te inteesseen voo een exacte studie s Refeenties 1 D R Bellwood, T P Huges, C Folke en M Nystom, Confonting te coal eef cisis, Natue 49 (004), ctwo, Rijk aan betekenis, Visie op venieuwd wiskundeondewijs, ctwo, Utect P Dijves, Denken ove wiskunde, ondewijs en ICT, Oatie, Feudental Instituut, Univesiteit Utect, L Hemeik, E van Nes en T J van de Pol, antelpunten en altenatieve evenwicten, Zeba 40, Epsilon Uitgaven, C S Holling, Some caacteistics of simple types of pedation and paasitism, Canadian Entomologist 91 (1959), M Sceffe, E H van Nes, M Holmgen en T P Huges, Pulsediven loss of topdown contol: Te citicalate ypotesis, Ecosystems 11 (008), ttp://jodesoucefogenet/downloadpp 8 ttp://soucefogenet/pojects/jode/files/ 9 ttp://wwwmatutgesedu/~sontag/jode/ manualtml 10 ttp://wwwfismescienceuunl/toepassingen/ 001/ 11 ttp://wwwfiuunl/wisweb