Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M. van der Pijl.
|
|
- Rudolf de Veer
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M. van der Pijl Transfer Database
2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
3 1 Decimale getallen en breuken Decimale getallen Optellen en aftrekken van breuken Vermenigvuldigen en delen van breuken 4 2 Procenten Procenten, decimale getallen en breuken Procentuele toename Procentuele afname Berekenen van het percentage snijafval 12 3 Talstelsels Het 10-tallige of decimale stelsel Het 2-tallige of binaire stelsel Het 8-tallige of octale stelsel Het 16-tallige of hexadecimale stelsel Het optellen van binaire getallen Het aftrekken van binaire getallen 31 4 Rekenen met complexe getallen Complex getal als vector Toepassing van complexe getallen in de elektrotechniek Rekenen met complexe getallen Complexe rekenwijze bij serieschakeling Rekenen met het getal j Complexe rekenwijze bij parallelschakeling 57
4
5 1 Decimale getallen en breuken 1 Decimale getallen Decimale getallen zijn getallen met een komma. We noemen ze ook wel kommagetallen. Voorbeelden van decimale getallen zijn dus 78, 456 en 0, 34. Breuken bestaan uit een teller, een breukstreep en een noemer en schrijven we teller meestal in de vorm noemer zoals 3 4. Ook zien we de notatie teller/noemer zoals 3 / 4. Decimale getallen kunnen we omzetten in breuken. Een breuk kunnen we op eenvoudige wijze met de rekenmachine omzetten in een decimaal getal. Voordat we gaan rekenen met breuken zullen we eerst gaan oefenen met het omrekenen. Vb. 1 Reken van een decimaal getal naar een breuk of omgekeerd: a. 2, 4 b. 3 5 Oplossing a ( 2, 4 spreken we uit als 2 en 4 tiende, dus 2 4 en maakt ). b. 0, 6 (met de rekenmachine, op de display zien we 0, 6 ). Oefeningen 1 Reken van een decimaal getal naar een breuk of omgekeerd: a 2, 3 b 0, 526
6 2 Decimale getallen en breuken c 1, 23 d 1 4 e 1 25 f Optellen en aftrekken van breuken We mogen breuken alleen optellen of aftrekken als de noemers gelijk zijn. Zijn die noemers niet gelijk, dan moeten we de breuken eerst gelijknamig maken. Als nieuwe gelijke noemer nemen we het product van de oude noemers. Als we 1 bijvoorbeeld de breuken 2 en 2 willen optellen, nemen we dus als nieuwe gelijke 5 noemer 2 5 = 10. De volgende stap is het omwerken van de beide breuken tot noemer 10 : 1 =? en 2 =? We beginnen met de eerste breuk. Als we van noemer 2 naar noemer 10 gaan 2 moeten we met 5 vermenigvuldigen. We moeten dan ook de teller met 5 vermenigvuldigen dus: = = =. Bij de tweede breuk gaan we van noemer naar noemer 10, hier moeten we teller en noemer met 2 vermenigvuldigen dus: = = =. We hebben nu de twee breuken gelijknamig gemaakt, zodat we ze kunnen optellen: = = + 10 = 10.
7 Decimale getallen en breuken 3 Vb = Oplossing Eerst gaan we het gemengde getal 1 1 omzetten in een zogenaamde onechte 2 breuk (teller groter dan noemer): = = = + 2 = = De nieuwe gelijke noemer wordt = 30 dus: = = ( = = vereenvoudigen we door 49 door 30 te delen. De uitkomst is 1, dus het getal voor de komma is een 1. Er blijft dan nog = 19 over, 49 dus = 1 19.) We merken dat bewerkingen met breuken nogal veel rekenwerk vergen. Gelukkig zit er op alle wetenschappelijke rekenmachines een breukentoets waarmee alle berekeningen met breuken eenvoudig worden. Deze breukentoets herkennen we aan het a b c -symbool. We typen het voorbeeld op de CASIO fx- 82 als volgt in: + waarna in ons display verschijnt: met als uitkomst (de TI-30X geeft als antwoord 1 u 19 / 30 ). Alle opdrachten mogen we ook met de rekenmachine berekenen. 2 Oefeningen = = 7 3 2
8 4 Decimale getallen en breuken = = 3 Vermenigvuldigen en delen van breuken Vermenigvuldigen van breuken: teller1 teller2 noemer1 noemer2 = teller1 teller2 noemer1 noemer2 Delen van breuken door te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de laatste breuk: teller1 noemer1 teller2 noemer2 = teller1 noemer2 noemer1 teller2 Vb. 3 Bereken = 5 4 Oplossing = = = Vb. 4 Bereken Oplossing = = = =
9 Decimale getallen en breuken 5 6 Oefeningen = = = = 4 3
10 6 Decimale getallen en breuken 1a b Antwoorden c d 0, 25 e 0, 04 f 0,
11 2 Procenten 1 Procenten, decimale getallen en breuken We zien een procentenschaal getekend, ook wel procentenbalk genoemd. Zie figuur 1. We hebben daarin een schaalverdeling gemaakt van 5%. Op de bovenste schaal staat de procentenverdeling. Op de middelste schaal vinden we de bijbehorende decimale getallen. Op de onderste schaal zijn deze getallen omgezet in breuken. procenten decimale getallen breuken Figuur 1 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5% 15% 25% 35% 45% 55% 65% 75% 85% 95% 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0, We lezen bijvoorbeeld af dat 35% = 0, 35 =. 100 Vb % van 540 = 0, = Welk percentage is 20 van 90? Berekening: % =, %.
12 8 Procenten Oefeningen 1 Vereenvoudig de breuken uit de onderste schaal zo ver mogelijk. Zie figuur ; ; ; ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; ; ; ; ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; 1 2 Schrijf eerst als decimaal getal en daarna als meest vereenvoudigde breuk (we maken de noemer zo klein mogelijk). Voor het vereenvoudigen van breuken mag gebruik worden gemaakt van een rekenmachine. a 28% = b 34% = c 17% = d 33, 3% = e 72% = f 45% =
13 Procenten 9 Vb. 2 Hoeveel % is 19 van 54? % = 35, 2% 54 Oefeningen 3 Bereken: a 25% van 640 = b 89% van = c Hoeveel % is 125 van 875? d Hoeveel % is 27 van 45? 2 Procentuele toeame Bij een procentuele toename wordt het nieuwe getal groter: OUD + TOENAME = NIEUW. Bijvoorbeeld: 100% + 15% = 115% = 1, 15 Vb. 3 Een product van 40,- wordt 15% in prijs verhoogd, de vermenigvuldigingsfactor is dan 1, 15. De nieuwe prijs wordt: 40 1, 15 = 46 euro. Als de nieuwe prijs en het percentage bekend zijn, kunnen we de oude prijs berekenen door de bewerking om te keren: 46 1, 15 = 40 euro. Als de oude en nieuwe prijs bekend zijn, kunnen we de toename in procenten berekenen. We bepalen eerst de toename door beide prijzen van elkaar af te trekken. Vervolgens berekenen we de toename in procenten: TOENAME 100% OUD
14 10 Procenten In het laatste voorbeeld is de toename 6,- en de oorspronkelijke prijs 40,-. De toename in procenten is dan: % = % Als een waarde een aantal malen toeneemt met eenzelfde percentage, spreken we van een herhaalde toename. Vb. 4 Op een spaarrekening staat 2000,-. De rente is 8% per jaar. Om het nieuwe saldo te berekenen, moeten we dan elk jaar het saldo met 1, 08 vermenigvuldigen. Die factor 1, 08 noemen we de groeifactor. Na 5 jaar staat er dus een bedrag van , 08 1, 08 1, 08 1, 08 1, 08 = , 66 euro op de rekening. Omdat hier 5 keer met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt, kunnen we ook machtsverheffen: , 08 = 2938, 66 euro. We zien dat de exponent van de macht gelijk is aan het aantal jaren dat rente is verkregen. Oefeningen 4 Vorig jaar was de winst ,-. We verwachten dit jaar een stijging van 3%. Hoe groot zal de winst zijn? 5 Op een spaarrekening staat ,-. De rente is 7, 5%. Bereken het saldo na 8 jaar. 6 Dit jaar zijn op een school 475 eerstejaars gekomen. Vorig jaar waren er 450 nieuwe leerlingen. Met hoeveel % is het aantal eerstejaars toegenomen?
15 Procenten 11 3 Procentuele afname Bij een procentuele afname wordt het nieuwe getal kleiner: OUD AFNAME = NIEUW. Bijvoorbeeld: 100% 15% = 85% = 0, 85 Vb. 5 Een product van 70,- wordt 15% in prijs verlaagd. De vermenigvuldigingsfactor is dan 1 0, 15 = 0, 85. De nieuwe prijs wordt dus: 70 0, 85 = 59, 50 euro. Als de oude en nieuwe prijs bekend zijn, kunnen we de afname in procenten berekenen. We berekenen eerst de afname door beide prijzen van elkaar af te trekken. Vervolgens berekenen we de afname in procenten: AFNAME OUD 100% Vb. 6 Een voetbalvereniging heeft dit jaar 220 leden en vorig jaar 250. De afname is dus = 30 leden. De afname in procenten wordt dan: % = %. Bij een herhaalde afname treedt een daling op en is de groeifactor < 1. We rekenen verder op dezelfde manier als bij een herhaalde toename. Vb. 7 Meneer Jacobs heeft een appeltje voor de dorst. In een oude sok op zolder bewaart hij ,-. Hij neemt daar elk jaar 5% van af om extra dingen te doen. Na 1 jaar heeft hij dus nog 95% van het bedrag over. De groeifactor is dan 0, Na 10 jaar heeft hij nog: , 95 = euro. Oefeningen 7 Een bedrijf maakte vorig jaar een winst van ,-. De directie verwacht dit jaar een daling van 3, 5%. Hoe groot zal de winst zijn? 8 Bij een operatiepatiënt wordt 300 mg van een verdovende stof toegediend. Per half uur neemt de werking met 15% af. Hoeveel verdovende stof is er na 3 uur nog in zijn lichaam aanwezig?
16 12 Procenten 9 Dit jaar zijn op een school 375 eerstejaars gekomen. Vorig jaar waren er 450 nieuwe leerlingen. Met hoeveel % is het aantal eerstejaars afgenomen? 4 Berekenen van het percentage snijafval We kunnen het percentage snijafval berekenen door: 1. het verschil uit te rekenen tussen het totale oppervlak en het gebruikte oppervlak. 2. dat verschil te delen door het totale oppervlak en daarna te vermenigvuldigen met 100%. In formulevorm: totale oppervlakte gebruikte oppervlakte Percentage snijafval = 100 % totale oppervlakte Procenten ronden we af op maximaal twee cijfers. Vb. 8 25, 76% 26% 8, 12% 8, 1% 0, 0368% 0, 037% We kunnen ook een schatting maken van het percentage snijafval. Oefeningen 10 Voor het inbouwen van elektrische schakelingen gebruiken we meestal kunststof doosjes. Hiervoor wordt een plaatje kunststof met een dikte van 3 mm U-vormig gebogen. Voor een bepaalde schakeling moeten doosjes gemaakt worden. Hiervoor worden uit een plaat kunststof van 1 m bij 2 m plaatjes gezaagd van 10 cm bij 14 cm. De zaagsnede is 2 mm. a Schat hoeveel plaatjes er uit een plaat van 1 m bij 2 m gezaagd kunnen worden. b Geef een schatting van het percentage snijafval.
17 Procenten 13 c Bereken hoeveel kleine plaatjes we uit een grote plaat kunnen zagen. Bereken hiervan ook de totale oppervlakte. d Bereken het percentage snijafval en vergelijk het antwoord met de schatting. 11 Zie figuur. 3,5 m 3,5 m 2,4 m Figuur 2 De familie Huisman koopt 10 m vloerbedekking van 4 m breed. De kamers hebben afmetingen van respectievelijk 3, 5 m bij 3, 9 m, 3, 5 m bij 2, 7 m en 2, 5 m bij 2, 4 m. De overloop is 1, 2 m bij 3, 05 m. Zie figuur 2. a Neem de tekening over en zet er de overige maten bij. b Bereken de totale oppervlakte van de kamers en van de overloop. c Bereken de oppervlakte van de gekochte vloerbedekking. d Bereken het verschil tussen de antwoorden van b en c.
18 14 Procenten e Bereken het percentage snijafval. 12 In een kamer van 9, 35 m bij 4, 65 m moet een parketvloer gelegd worden. Rondom moet 2 cm vrij blijven omdat de vloer kan uitzetten. De stroken parket zijn 1200 mm bij 200 mm. Een pak bevat 6 stroken. We hoeven geen rekening te houden met het verschuiven van de stroken ten opzichte van elkaar. a Schat de oppervlakte van de vloer. b Geef een schatting van het aantal pakken parket dat nodig is. Schat hiervan ook de oppervlakte. c Schat het percentage snijafval. d Bereken de oppervlakte van de gelegde parketvloer. e Bereken de oppervlakte van 1 pak parket en hoeveel pakken er nodig zijn. f Bereken de oppervlakte van de hoeveelheid parket die gekocht is. g Bereken het percentage snijafval.
19 Procenten Zie figuur. r 2 r 1 Figuur 3 In een metaalbedrijf worden stalen ringen geponst uit een staalband die 12 m lang en 25, 0 mm breed is. De buitendiameter van de ringen is 23, 0 mm; de diameter van het gat is 10 mm. Voor de ponssnede rekenen we 0, 5 mm. Voor de oppervlakte van een ring geldt de formule: A = π 2 r π r 2. Zie figuur 3. ring 2 1 a Hoeveel ringen kunnen er gemaakt worden? b Hoeveel snijafval is er? 14 Bij een elektromotor is het nuttig vermogen het deel van het totale vermogen dat gebruikt wordt om de motor te laten draaien. Door wrijving treden verliezen op, waardoor de motor warm wordt. Een elektromotor heeft een vermogen van 3000 W. Hiervan wordt 2775 W gebruikt om de motor te laten draaien. Bereken het verliespercentage. 15 Een houtbewerker moet een ronde tafelpoot maken met een lengte van 70 cm en een diameter van 65 mm. Hij gebruikt hiervoor een balk van 750 mm bij 68 mm bij 68 mm. Schat en bereken het percentage snijafval. 2 Voor de inhoud van een cilinder geldt de formule: V = π r h. cilinder
20 16 Procenten 16 Zie figuur. ø 30 mm ø 10 mm 107 mm 35 mm 142 mm Figuur 4 Een draaier moet een cilinder met een afgeknotte conische punt maken. Zie figuur 4. Het gestippelde gedeelte gaat eraf. Hij gebruikt hiervoor een stalen cilinder met een lengte van 160 mm en een diameter van 35 mm. Bereken het percentage snijafval. Benodigde formules: 2 Inhoud cilinder: V = π r h cilinder 1 2 Inhoud kegel: V = π r h kegel 3
21 Procenten 17 Antwoorden 1 2a b c d e f ; ; ; ; 9 2 ; 5 ; 10 ; 5 ; 10 ; a 160 b 956, 75 c 14,3% d 60% , , ,6% , mg 9 16, 7% 10a - b - c 133 plaatjes met een totale oppervlakte van 1, mm 2 d 3,5% 11a - b 32, 76 m 2 c 40 m 2 d 7, 24 m e 18% 2
22 18 Procenten 12a - b - c - 2 d 42, 9 m 2 e 1, 44 m, 30 pakken 2 f 43, 2 m g 0, 7% 13a 500 ringen b 44% 14 7, 5% 15 33% 16 45%
23 3 Talstelsels 1 Het 10-tallige of decimale stelsel In een advertentie wordt een bepaalde videokaart aangeboden voor 106 euro. De waarde wordt dus aangegeven met een getal ( 106 ) gevolgd door een eenheid (euro). Bij het aangeven van het getal maken we gebruik van een getalvoorstelling of talstelsel. In het dagelijks leven is het decimale talstelsel gebruikelijk. Programmeurs werken vaak met andere talstelsels, zoals het binaire, octale en hexadecimale talstelsel. Hier komen we later op terug. Talstelsels worden gekenmerkt door hun grondtal of radix. Het grondtal van het decimale talstelsel is 10. Niet alleen de grootte van de cijfers, die kunnen variëren van 0 tot en met 9, is van belang. Ook de plaats van het cijfer in het getal is belangrijk. De 1 heeft een veel grotere gewichtsfactor of groter gewicht dan de 6 in het getal 106. De 1 geeft immers het aantal honderdtallen aan en 6 het aantal eenheden. De gewichtsfactoren in een decimaal getal zijn opvolgende machten van 10. Omdat in het decimale talstelsel ieder cijfer een bepaalde gewichtsfactor heeft, spreken we van een gewogen talstelsel. Vb. 1 Schrijf 106 als een som van opvolgende machten van 10. Oplossing = = Oefeningen 1 Schrijf de volgende getallen als een som van machten van 10. a
24 20 Talstelsels b c d Het 2-tallige of binaire stelsel Vb. 2 Een ander gewogen talstelsel is het binaire of 2-tallige talstelsel dat gebruikt wordt door programmeurs. Het grondtal of de radix van het binaire talstelsel is 2. In het 2-tallige of binaire stelsel kennen we alleen de cijfers 0 en 1. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 2. Vaak geven we aan dat we met een binair getal te maken hebben door er een procentteken voor te zetten. %1101 betekent dus 1101 in het 2-tallige stelsel. Schrijf % als decimaal getal. Oplossing Het is handig om eerst boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 te zetten: % We kunnen dan eenvoudig bij elk cijfer de bijbehorende macht opschrijven: % = % = = 731. Oefeningen 2 Schrijf de volgende binaire getallen als decimaal getal. a %
25 Talstelsels 21 b % c % d % e % f % Vervolgens gaan we een decimaal getal omzetten naar een binair getal. We gebruiken daarvoor de deelmethode. Vb. 3 Schrijf 312 als binair getal. Oplossing We delen het om te zetten decimaal getal door 2. Dat levert een uitkomst (gedeelte voor de komma) en een rest (gedeelte na de komma vermenigvuldigd met 2) = 156, 0 uitkomst 156 rest 0 2 = 0 De uitkomst delen we weer door 2, dat levert weer een uitkomst en een tweede rest op. We herhalen dat delen door 2 tot het gedeelte voor de komma nul is. De achtereenvolgende resten, in omgekeerde volgorde opgeschreven, bepalen dan het binaire getal: = 156 rest 0 2 = = 78 rest 0 2 = = 39 rest 0 2 = = 19, 5 rest 0, 5 2 = = 9, 5 rest 0, 5 2 = = 4, 5 rest 0, 5 2 = 1
26 22 Talstelsels 4 2 = 2 rest 0 2 = = 1 rest 0 2 = = 0, 5 rest 0, 5 2 = 1 Nu schrijven we de achtereenvolgende resten op. We doen dat van beneden naar boven, dus in omgekeerde volgorde: 312 = % Oefeningen 3 Schrijf de volgende decimale getallen als binair getal. a 800 b 754 c 72 d 218 e 576 f Het 8-tallige of octale stelsel Een volgende gewogen talstelsel is het octale of 8-tallige talstelsel dat gebruikt wordt bij het programmeren van PLC s. Het grondtal of de radix van het octale talstelsel is 8. In het octale stelsel werken we met de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 8.
27 Talstelsels 23 We geven aan dat we met een octaal getal te maken hebben door er een hekjesteken voor te zetten. # 3072 betekent dus 3072 in het 8-tallige stelsel. Vb. 4 Schrijf het octale getal # 364 als decimaal getal. Oplossing Eerst schrijven we boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 : # 36 4 zodat vervolgens # 36 4 = = = 244. Oefeningen 4 Schrijf de volgende octale getallen als decimaal getal. a #3672 b #5423 c #165 d #624 e #311 f #777
28 24 Talstelsels Nu gaan we een decimaal getal omzetten naar een octaal getal. Ook hierbij gebruiken we de deelmethode. We moeten nu herhaaldelijk door 8 delen. Vb. 5 Schrijf 2347 als octaal getal. Oplossing = 293, 375 rest 0, = = 36, 625 rest 0, = = 4, 5 rest 0, 5 8 = = 0, 5 rest 0, 5 8 = 4 De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 2347 = # Oefeningen 5 Schrijf de volgende decimale getallen als octaal getal. a 1833 b 749 c 822 d 3542 e 355 f 549
29 Talstelsels 25 4 Het 16-tallige of hexadecimale stelsel Computerprogrammeurs gebruiken dit stelsel om binaire getallen korter voor te stellen. Het grote nadeel van het binaire stelsel is namelijk dat grote getallen heel omvangrijk worden. Zo geldt bijvoorbeeld dat = % (!!!). Dergelijke grote binaire getallen zijn natuurlijk niet handig om mee te werken. We zien hierna hoe we in het hexadecimale stelsel als $BC614 E kunnen noteren. Dat is aanzienlijk compacter dan % We noemen het hexadecimale stelsel ook wel een notatiestelsel. Het hexadecimale stelsel heeft 16 als grondtal. We hebben dus ook 16 symbolen nodig om zo n hexadecimaal getal te kunnen voorstellen. De 16 symbolen zijn de cijfers 0 tot en met 9 en de letters A tot en met F. De letters A tot en met F hebben daarbij de getalswaarde 10 tot en met 15. We geven aan dat we met een hexadecimaal getal te maken hebben door er een dollarteken voor te zetten, zoals bij $BC614 E. De plaats van het cijfer bepaalt weer de gewichtsfactor. De gewichtsfactoren zijn hier opvolgende machten van 16. Vb. 6 Schrijf $A5 D als decimaal getal. Oplossing Eerst schrijven we boven de cijfers opvolgende getallen vanaf 0 : $ A 5 D zodat vervolgens $ A 5D = $ A5D = = Oefeningen 6 Schrijf de volgende hexadecimale getallen als decimaal getal. a $F1C b $19E c $BCD d $1C3F
30 26 Talstelsels e $8E4 f $AAA Nu gaan we een decimaal getal omzetten naar een hexadecimaal getal. Ook hiervoor gebruiken we weer de deelmethode. We moeten nu herhaaldelijk door 16 delen. Vb. 7 Schrijf 2687 als hexadecimaal getal. Oplossing = 167, 9375 rest 0, = 15 F = 10, 4375 rest 0, = = 0, 625 rest 0, = 10 A De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 2687 = $A7F Oefeningen 7 Schrijf de volgende decimale getallen als hexadecimaal getal. a 822 b 1754 c 672 d 2218 e 3576
31 Talstelsels 27 f 712 Het omzetten van een binair getal in het hexadecimale talstelsel is eenvoudig. Vb. 8 Zet het binaire getal % om in het hexadecimale stelsel. Oplossing We verdelen het binaire getal, achteraan te beginnen, in groepjes van 4. Het voorste groepje vullen we eventueel aan met nullen: % Elk groepje zetten we afzonderlijk om naar het hexadecimale stelsel met behulp van de volgende omzettingstabel. Zie tabel 1. Dec Bin Hex A B C D E F Tabel 1 % A dus % = $ 129A
32 28 Talstelsels Oefeningen 8 Zet de volgende binaire getallen om in het hexadecimale stelsel. a % b % c % d % e % f % Het omzetten van een hexadecimaal getal in het binaire talstelsel gaat op de omgekeerde manier. Vb. 9 Zet het hexadecimale getal $3AB 7 om in het binaire stelsel. Oplossing Zet elk afzonderlijk hexadecimaal cijfer met de tabel om een groepje van 4 binaire cijfers. $ 3 A B dus $ 3AB 7 = % (de voorloopnullen laten we meestal weg).
33 Talstelsels 29 Oefeningen 9 Zet de volgende hexadecimale getallen om in het binaire talstelsel. a $58D3 b $B56F c $29C3 d $BB4F e $72CF f $60C3! Omzetten van grote decimale getallen in het binaire stelsel Met de deelmethode moeten we herhaaldelijk door twee delen, maar dat kan voor grote getallen wel heel erg lang duren. Sneller is de methode om het decimale getal eerst in het hexadecimale stelsel om te zetten. Dat vereist aanzienlijk minder delingen. Het omzetten van hexadecimaal in binair kan dan weer eenvoudig. Zie tabel 1. Als we veel getallen in een ander stelsel moeten omzetten, kunnen we programmeerbare rekenmachines gebruiken. Daarin zetten we dan een omrekeningsprogramma. Ook kennen we virtuele rekenmachines: computerprogramma s waarmee we een rekenmachine op het beeldscherm simuleren. De meest bekende is de standaardrekenmachine in Windows. Als voorbeeld gaan we $4A8D omzetten in het octale stelsel.
34 30 Talstelsels We kiezen de wetenschappelijke stand, klikken op Hex en typen 4A8D in. Zie figuur 1. Figuur 1 Klikken op Oct levert het getal het octale talstelsel. Zie figuur 2. Figuur 2 Dus $ 4A8D = # Het optellen van binaire getallen Net als in het decimale talstelsel kunnen we ook in andere talstelsels optellen. We bespreken nu het optellen van binaire getallen. In het decimale stelsel gaat dit als volgt: onthouden In het binaire stelsel zullen we nu een aantal getallen gaan optellen. Voor de duidelijkheid laten we tijdelijk het % -teken weg = 10 % 1 + % 1 = % 10 want = 2 ( ) = = = = = 1000 Het is eenvoudiger om de getallen onder elkaar te zetten en daarna op te tellen.
35 Talstelsels 31 Vb. 10 Tel op in het binaire stelsel en schrijf de berekening op: Oplossing Oefeningen 10 Tel op in het binaire stelsel en schrijf de berekening op. a b c d e f Het aftrekken van binaire getallen Aftrekken is de inverse of omgekeerde bewerking van het optellen. Bij het binaire aftrekken bepalen we eerst de inverse van het getal dat we moeten aftrekken. De inverse a van een binair getal a krijgen we door alle nullen en enen te verwisselen. Vervolgens tellen we het inverse getal op. Let op: het onderste getal heeft evenveel cijfers als het bovenste getal. Dit kunnen we doen door nullen voor dit
36 32 Talstelsels getal te plaatsen. Als laatste stap halen we de voorste 1 weg en tellen deze op bij het restant van de uitkomst. Dus: Stappenplan Stap 1 Bepaal de inverse van het onderste (af te trekken) getal. Stap 2 Tel de inverse op bij het eerste getal. Stap 3 Haal de voorste 1 weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst. Vb. 11 Bereken in het binaire stelsel en schrijf de berekening op: Oplossing Stappenplan Stap 1 Bepaal de inverse van het onderste getal = Stap 2 Tel de inverse op bij het eerste getal Stap 3 Haal de voorste 1 weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst Oefeningen 11 Bereken in het binaire stelsel en schrijf de berekening op. a b
37 Talstelsels 33 c d e f
38 34 Talstelsels Antwoorden a b c d a 70 b 112 c 85 d 64 e 127 f 97 3a % b % c % d % e % f % a 1978 b 2835 c 117 d 404 e 201 f 511 5a #3451 b #1355 c #1466 d #6726 e #543 f #1045 6a 3868 b 414 c 3021 d 7231 e 2276 f 2730
39 Talstelsels 35 7a $336 b $6DA c $2A0 d $8AA e $DF8 f $2C8 8a $123 b $395 c $10F d $4A9 e $785 f $729 9a % b % c % d % e % f % a b c d e f a 10 b 1011 c d 1101 e 101 f 10110
40 4 Rekenen met complexe getallen 1 Complex getal als vector In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de getallen die we al kennen. Normaal gesproken rekenen we met gehele getallen, breuken of getallen met daarin een komma. Dit noemen we reële getallen. Nu gaan we rekenen met complexe getallen. Bij een complex getal onderscheiden we naast het reële deel een zogenaamd imaginair deel. Dat imaginaire deel herkennen we aan de aanwezigheid van de letter i van imaginair. Voorbeelden van complexe getallen zijn 2+ i 3 en 5+ i 2. Omdat echter in de elektrotechniek de letter i al gereserveerd is als symbool voor stroom, gebruiken we meestal in de techniek de letter j. We schrijven dan 2+ j 3 en 5+ j 2. Een complex getal kunnen we als een vectorvoorstelling weergegeven. We noteren dit als v = a + j b waarbij a het reële deel en b het imaginaire deel van het getal is. We kunnen dit tekenen in een assenstelsel met een reële as en een imaginaire as. De imaginaire as noemen we ook wel de j-as. Zie figuur 1. Im-as b v 0 ϕ a Re-as Figuur 1 Bij toepassingen van de complexe rekenwijze zijn de lengte v en de hoek ϕ met de positieve reële as van belang. De lengte noemen we ook de modulus van het complexe getal. De hoek ϕ noemen we vaak het argument van het complexe getal. Voor ϕ geldt dat 180 < ϕ 180, dat wil zeggen dat we ϕ noteren als een hoek tussen 180 en 180.
41 Rekenen met complexe getallen 37 Vb. 1 Gegeven Het complex getal v = 3 + j 2. Gevraagd a. Teken v in een rechthoekig assenstelsel. b. Bereken de lengte van v. c. Bereken tan ϕ. d. Bereken de hoek ϕ. Oplossing a. j-as 3 2 v = 3 + j2 1 ϕ getal-as -2-3 Figuur 2 b. De lengte van v berekenen we met de stelling van Pythagoras en noteren we als v. v 2 2 = v = 13 = 3, 61 overstaande zijde 2 c. tan ϕ = = = 0, 667 aanliggende zijde 3 d. ϕ = 33, 7 of ϕ = , 7 = 213, 7 Uit de tekening zien we dat ϕ = 33, 7.! Om ϕ te bepalen, moeten we altijd weten in welk kwadrant de vector ligt. Voor bijvoorbeeld v = 3 j 2 (derde kwadrant) geldt namelijk 2 dat de tangens ook 0, 667 bedraagt (tan ϕ = = 0, 667 ). 3 Dus ϕ = 33, 7 of ϕ = , 7 = 213, 7. We zien met een tekening dat we hier voor ϕ = 213, 7 moeten kiezen. Omdat voor het argument geldt dat 180 < ϕ 180 noteren we ϕ = 213, = 146, 7.
42 38 Rekenen met complexe getallen! We kunnen v en ϕ ook eenvoudig met onze rekenmachine bepalen: Op de CASIO fx-82: POL( [3], [2] ) levert 3, 61 waarna RCL F de hoek 33, 7 geeft. Op de TI-30X: 2nd kies R Pr [3], (-) [2] ) geeft 3,61 waarna het intypen van 2nd kies R P Θ [3], (-) [2] ) de hoek 33, 7 levert. Het probleem in de vorige opmerking doet zich met deze methode niet voor. Bij v = 3 j 2 volgt: POL( (-) [3], (-) [2] ) levert 3, 61 waarna RCL F de hoek 146,3 geeft. Oefeningen 1 Bereken de modulus v en het argument ϕ van de volgende complexe getallen (maak eventueel een tekening). a v = 3 + j 4 b v = 3 j 4 c v = j 5 d v = 8 j 5
43 Rekenen met complexe getallen 39 e v = j 6 f v = 36 + j 15 g v = 5 + j 12 2 Toepassing van complexe getallen in de elektrotechniek De totale weerstand of ook wel de impedantie z van een spoel of een condensator kunnen we weergeven met een vectorvoorstelling. X L (Ω) b z = a + jb X C (Ω) ϕ a R (Ω) ϕ a R (Ω) -b z = a - jb Figuur a 3a bfiguur 3b
44 40 Rekenen met complexe getallen We zien een weerstandsvoorstelling van een spoel getekend. Zie figuur 3a. Op de reële as is de ohmse weerstand R van de spoel uitgezet. Op de imaginaire as vinden we de inductieve weerstand X L. z = a + j b is de totale weerstand of de impedantie van de spoel. Hetzelfde is gedaan voor een condensator. Zie figuur 3b. Op de imaginaire as is nu de capacitieve weerstand X C uitgezet. Op de reële as vinden we de ohmse weerstand R van de condensator. z = a j b stelt de impedantie van de condensator voor. Vb. 2 Gegeven Een spoel heeft een ohmse weerstand R = 15 Ω en een inductieve weerstand X L = 20 Ω. Gevraagd a. Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b. Bereken de grootte van z. c. Bereken tan ϕ. d. Bereken de hoek ϕ. Oplossing a. z = 15 + j b. z = = 625 = 25 Ω X 20 Ω c. tan ϕ = tan ϕ = = 1, 33 R 15 Ω d. ϕ = 53, 1 of ϕ = 53, = 233, 1 Met een tekening volgt ϕ = 53, 1. Oefeningen 2 Een spoel heeft een ohmse weerstand R = 9 Ω en een inductieve weerstand X L = 12 Ω. a Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b Bereken de grootte van z.
45 Rekenen met complexe getallen 41 c Bereken tan ϕ. d Bereken de hoek ϕ. 3 Een condensator heeft een ohmse weerstand R = 6 Ω en een capacitieve weerstand X C = 8 Ω. a Schrijf de impedantie z in de complexe notatie. b Bereken de grootte van z. c Bereken tan ϕ. d Bereken de hoek ϕ. 4 Een spoel heeft een impedantie z = 7 + j 24. a Hoe groot is de ohmse weerstand?
46 42 Rekenen met complexe getallen b Hoe groot is de inductieve weerstand? c Bereken de grootte van z. d Bereken tan ϕ. e Bereken de hoek ϕ. 5 Een impedantie Z is gegeven als: z = 16 + j 8 a Hoe groot is de ohmse weerstand? b Hoe groot is de inductieve weerstand? c Bereken de grootte van z.
47 Rekenen met complexe getallen 43 d Bereken tan ϕ. e Bereken de hoek ϕ. 3 Rekenen met complexe getallen Het is ook mogelijk dat de lengte van een vector en de hoek met de reële as bekend zijn. We kunnen door gebruik te maken van de sinus en de cosinus de reële en de imaginaire component berekenen. Een assenstelsel is getekend met hierin een vectorvoorstelling. Zie figuur 4. Im-as b v 0 ϕ a Re-as Figuur 4 a b Er geldt: cos ϕ = a = v cos ϕ en sin ϕ = b = v sin ϕ v v
48 44 Rekenen met complexe getallen Vb. 3 Gegeven Een complex getal waarvoor geldt: v = 13 en ϕ = 62, 56. Gevraagd a. De grootte van het imaginaire en het reële deel. b. Noteer v als een complex getal. Oplossing a. Imaginair deel: b = v sin ϕ b = 13 sin 62, 56 = 11, 6 Reële deel: a = v cos ϕ a = 13 cos 63, 56 = 6 b. v = 6 + j 11, 6!! We kunnen de grootte van het imaginaire en het reële deel ook eenvoudig met onze rekenmachine bepalen: Op de CASIO fx-82: SHIFT POL( [13], [61.56] ) levert de waarde van a = 6 waarna RCL F de waarde van b = 11, 5 geeft. Op de TI-30X: 2nd kies P Rx [13], [62.56] ) geeft a = 6 waarna het intypen van 2nd kies P Ry [13], [62.56] ) de waarde van b = 11, 5 levert. De aanduidingen op onze rekenmachine, P = Pol = Polair en R = Rec = Rectangular, slaan op het noteren van vectoren in poolcoördinaten ( v en ϕ ) of in rechthoekscoördinaten (a en b). Op elke wetenschappelijke rekenmachine kunnen we deze twee notaties zoals we zien eenvoudig in elkaar omrekenen. Oefeningen 6 Voor een complex getal geldt: v = 50 en ϕ = 16, 26. Bereken: a De grootte van het imaginaire en het reële deel. b Noteer v als een complex getal.
49 Rekenen met complexe getallen 45 7 Voor een complex getal geldt: v = 20 en ϕ = 53, 13. Bereken: a De grootte van het imaginaire en het reële deel. b Noteer v als een complex getal. 8 Een spoel heeft een impedantie ϕ t ; ϕ = 22, 62. a Bereken R. b Bereken X L. c Noteer z als complex getal. 9 Een spoel heeft een impedantie van 23 Ω; de hoek is 29, 56. a Bereken R.
50 46 Rekenen met complexe getallen b Bereken X L. c Noteer z als complex getal. 10 Een condensator heeft een impedantie j 7 ; ϕ = 270. a Bereken R. b Bereken X C. c Noteer z als complex getal.
51 Rekenen met complexe getallen 47 Vb. 4 Gegeven z 1 = 2 + j en z 2 = 2 + j 3 Gevraagd a. z1 + z2 b. z1 z2 Oplossing a. 2 + j j 3 + dus z 1 + z 2 = 4 + j j 4 b. 2 + j j 3 0 j 2 dus z1 z2 = j 2 Oefeningen 11 Bereken z1 + z2 als: a z 1 = 2 j 3 en z 2 = 3 + j 2 b z 1 = 2 j en z 2 = 2 j c z 1 = j 3 en z 2 = 2 d z 1 = 5 j 7 en z 2 = 5 j
52 48 Rekenen met complexe getallen 12 Bereken z1 z2 als: a z 1 = 2 + j 3 en z 2 = 3 j 2 b z 1 = 4 j en z 2 = 3 j 4 c z 1 = 3 en z 2 = j 2 d z 1 = 2 + j en z 2 = 2 j 3 4 Complexe rekenwijze bij Serieschakeling Oefeningen 13 Een ohmse weerstand R 1 = 10 Ω wordt in serie geschakeld met een spoel. Deze spoel heeft een inducieve weerstand X L = 8 Ω en een ohmse weerstand R 2 = 6 Ω. Zie figuur 5. X L = 80 Ω R 1 = 10 Ω R 2 = 6 Ω Figuur 5
53 Rekenen met complexe getallen 49 a Schrijf de impedantie z 1 van de weerstand R 1 als complex getal. b Schrijf de impedantie z 2 van de spoel als complex getal. c Bereken zt = z1 + z2. d Bereken z t. e Bereken tan ϕ t en ϕ t. 14 Een condensator met een capacitieve weerstand X C = 7 Ω wordt in serie geschakeld met een ohmse weerstand R = 11 Ω. Zie figuur 6. X C = 7 Ω R = 11 Ω Figuur 6 a Schrijf de impedantie z 1 van de condensator als complex getal.
54 50 Rekenen met complexe getallen b Schrijf de impedantie z 2 van de ohmse weerstand als complex getal. c Bereken zt = z1 + z2. d Bereken z t. e Bereken tan ϕ t en ϕ t. 15 Een spoel met een ohmse weerstand R 1 = 20 Ω en een inductieve weerstand X L = 40 Ω worden in serie geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 30 Ω. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken tan ϕ t en ϕ t.
55 Rekenen met complexe getallen Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 18 Ω wordt in serie geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 15 Ω. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken ϕ t. 17 Een serieschakeling bestaat uit een weerstand van 50 Ω en een spoel met z = 50 Ω en cos ϕ = 0, 8. a Bereken zt = z1 + z2. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t.
56 52 Rekenen met complexe getallen 18 Drie impedanties zijn in serie geschakeld: z 1 = ( 8 + j 3) Ω, z 2 = 20 Ω en z 3 = j 8 Ω. a Bereken zt = z1 + z2 + z 3. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 5 Rekenen met het getal j We zien een assenstelsel met een reële en een imaginaire as getekend. Zie figuur 7. Op het positieve deel van de reële as bevindt zich een vector v = 1. Im-as j j j -1 v 1 Re-as j j Figuur 7 -j Als we de vector met j vermenigvuldigen, dan draait de vector 90 linksom: v = 1 j = j.
57 Rekenen met complexe getallen 53 Als we de vector nog een keer met j vermenigvuldigen, dan draait de vector weer 90 linksom: v = j j = j 2 We zien dat we dan uitkomen bij 1. Zie figuur 6. Dus: j 2 = 1 Als we de vector nog een keer met j vermenigvuldigen, dan draait de vector weer 90 linksom: v = 1 j = j Nu vermenigvuldigen we voor de laatste keer met j, dan draait de vector nogmaals 90 linksom: v = j j = j 2 = ( 1) = 1 Met behulp van de gelijkheid j 2 = 1 kunnen we nu complexe getallen vermenigvuldigen. Vb. 5 Bereken ( 2 + j 3)( 5 j 6). Oplossing Stappenplan Stap 1 Maak een vermenigvuldigingstabel. maal 2 j j 15 j 6 j 12 j 2 18 Tabel 1 Stap 2 Bereken j j 18 = ( j 18) = ( 18) = 18. Stap 3 Tel de reële delen en de imaginaire delen bij elkaar op. Reële delen: = 28 Imaginaire delen: j 15 j 12 = j 3 Dus: ( 2 + j 3)( 5 j 6) = 28 + j 3
58 54 Rekenen met complexe getallen Oefeningen 19 Bereken: a ( 1 + j 3)( 5 j 3) b ( 7 j 2)( 2 j 3) c ( 5 + j 2)( 5 j 2) d ( 1 j)( 2 + j 3) e ( 2 j 4)( 1 + j 5) f ( 1 j)( 1 + j) g ( 1 j 2)( 1 j 2) h ( 4 j 6)( 2 + j) i ( 3 + j 8)( 3 j 8) j ( 2 j 5)( 2 + j 5)
59 Rekenen met complexe getallen 55 Als we een term hebben met een complex getal in de noemer van een breuk, moet dit complex getal weggewerkt worden uit de noemer. Hierbij maken we gebruik van de zogenoemde complex toegevoegde waarde. De complex toegevoegde waarde van v = a + j b is v = a j b. De reële gedeelten van v en v zijn dus gelijk en de imaginaire gedeelten van v en v zijn tegengesteld. Zoals we bijvoorbeeld bij oefening 19c hebben gezien is het product van een complex getal en zijn toegevoegd complexe waarde reëel: 2 2 v v = ( a + j b)( a j b) = a + b. Teller en noemer vermenigvuldigen we daarom met de complex toegevoegde van de noemer. Vb. 6 1 Herleid: 2 j j 3 Oplossing: = 2 j 3 2 j j 3 We werken eerst de teller uit: maal 2 j j 3 Tabel 12 Dus: 1 ( 2 + j 3) = 2 + j 3 Daarna werken we de noemer uit: maal 2 j j 6 j 3 j 6 j 2 9 Tabel Uit j 9 = ( j 9) = ( 9) = 9 volgt: ( 2 j 3)( 2 + j 3) = = = + j j = + = 0, 15 + j 0, 23 2 j ! Het uitwerken van de noemer kan zoals hiervoor met een vermenigvuldigingstabel. Het is eenvoudiger om gebruik te maken van de eigenschap 2 v v = ( a + j b)( a j b) = a + b In dit geval volgt: ( 2 j 3)( 2 + j 3) = = 13
60 56 Rekenen met complexe getallen Oefeningen 20 Herleid: 5 a 1 + j 3 b 1 1 j c 10 2 j d j 2 e j 3 j 4 f 5 j j 5 g 2 j 2 + j
61 Rekenen met complexe getallen 57 h 1 + j 2 1 j 2 i 4 1 j 2 j j 6 Complexe rekenwijze bij parallelschakeling De complexe rekenwijze kunnen we ook gebruiken bij parallelschakeling van weerstanden, spoelen en condensatoren. Er is een parallelschakeling getekend van een ohmse weerstand R = 10 Ω en een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 4 Ω. Zie figuur 8. R = 10 Ω X L = 4 Ω Figuur 8 De totale impedantie z t van deze schakeling berekenen we met de formule: z t = z z z z 1 2
62 58 Rekenen met complexe getallen Vb. 7 Gegeven De parallelschakeling. Zie figuur 8. Gevraagd Bereken: z t z t cos ϕ t en ϕ t Oplossing a. z z = z z + z 10 j 4 j 40 j j 4 = z = z = 10 + j j j 4 10 j 4 t 1 2 t t 1 2 We werken eerst de teller uit: maal 10 j 4 j 40 j 400 j Tabel Uit j 160 = ( j 160) = ( 160) = 160 volgt: j 40 ( 10 j 4) = j = j 400 Daarna werken we de noemer uit: 2 2 ( 10 j 4)( 10 + j 4) = = = 116 j j j Dus = = = 1, 38 + j 3, j dus z t = 1, 38 + j 3, b. z t = 1, , 45 = 3, 67 Ω 1, 38 c. cos ϕ t = = 0, 376, dus ϕ t = 67, 9 3, 67
63 Rekenen met complexe getallen 59 Oefeningen 21 Een weerstand R = 8 Ω en een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 6 Ω worden parallel geschakeld. Zie figuur 9. R = 8 Ω X L = 6 Ω Figuur 9 a Bereken: z t b z t c cos ϕ t en ϕ t 22 Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 12 Ω en een weerstand R = 9 Ω zijn parallel geschakeld. Bereken: a z t b z t
64 60 Rekenen met complexe getallen c cos ϕ t en ϕ t 23 Een spoel met een ohmse weerstand R = 8 Ω en een inductieve weerstand X L = 6 Ω wordt parallel geschakeld met een weerstand R = 20 Ω. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 24 Een spoel met een ohmse weerstand R = 4 Ω en een inductieve weerstand X L = 3 Ω wordt parallel geschakeld met een spoel met een ohmse weerstand R = 5 Ω en met een inductieve weerstand X L = 4 Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de weerstand op. a Bereken z t. b Bereken z t.
65 Rekenen met complexe getallen 61 c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 25 Een ideale spoel met een inductieve weerstand X L = 12 Ω wordt parallel geschakeld met een condensator met een capacitieve weerstand X C = 10 Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de condensator op. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t. 26 Een weerstand R = 16Ω wordt parallel geschakeld met een capacitieve weerstand X C = 12Ω. Schrijf de complexe notatie van de spoel en de weerstand op. a Bereken z t. b Bereken z t. c Bereken cos ϕ t en ϕ t.
66 62 Rekenen met complexe getallen Antwoorden 1a 5, 126, 9 b 5, 53, 1 c 5, 90 d 9, 4, 32 e 6, 90 f 39, 22, 6 g 13, 67, 4 2a 9 + j 12 b 15 Ω c 1, 33 d 53, 1 3a 6 j 8 b 10 Ω c 1, 33 d 53, 1 4a 7 Ω b 24 Ω c 25 Ω d 3, 43 e 73, 7 5a 16 Ω b 8 Ω c 17, 9 Ω d 0, 5 e 26, 6 6a 14 en 48 b v = 48 + j 14 7a 16 en 12 b v = 12 + j 16 8a 36 Ω b 15 Ω c 36 + j 15 9a 20 Ω b 11, 3 Ω c 20 + j 11, 3
67 Rekenen met complexe getallen 63 10a 0 Ω b 18 Ω c j 18 11a 5 j b 4 j 2 c 3 + j 3 d j 8 12a 1 + j 5 b 1 + j 3 c 3 j 2 d j 4 13a 10 b 6 + j 8 c 16 + j 8 d 17, 9 Ω e 0, 5 en 26, 6 14a j 7 b 11 c 11 j 7 d 13 Ω e 0, 636 en 32, 5 15a 20 + j 10 b 22, 4 Ω c 0, 5 en 26, 6 16a j 3 b 3 Ω c 90 17a 90 + j 30 b 94, 9 Ω c 0, 949 en 18, 4 18a 28 j 5 b 28, 4 Ω c 0, 984 en 10, 1
68 64 Rekenen met complexe getallen 19a 14 + j 12 b 20 j 25 c 29 d 5 + j e 22 j 6 f 2 g 3 j 4 h 2 + j 16 i 73 j 29 20a 0, 5 j 1, 5 b 0, 5 + j 0, 5 c 4 + j 2 d 0, 6 j 1, 2 e 0, 16 + j 0, 12 f 0, 08 j 0, 88 g 0, 6 j 0, 8 h 0, 8 + j 0, 8 i 0, 8 + j 1, 6 j 0, 5 j 0, 5 21a 2, 88 + j 3, 84 b 4, 8 Ω c 0, 6 en 53, 1 22a 5, 76 + j 4, 32 b 7, 2 Ω c 0, 8 en 36, 9 23a 20 en 8 + j 6, z t = 2, 68 + j 2, 93 b 3, 97 Ω c 0, 675 en 47, 6 24a 4 + j 3 en 5 + j 4, z t = 2, 22 + j 1, 72 b 2, 81 Ω c 0, 791 en 37, 8 25a j 12 en j 10, z t = j 60 b 60 Ω c 0 en a 16 en j 12, z t = 5, 76 j 7, 68 b 9, 6 Ω c 0, 6 en 53, 1
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Wet van Ohm J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Weerstand J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Spanning. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Spanning J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en
Nadere informatieNoorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Stroom J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie
Nadere informatieZelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie
Zelfstandig werken Ajodakt Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie 9 789074 080705 Informatieverwerking Groep 7 Antwoorden Auteur P. Nagtegaal ajodakt COLOFON Illustraties
Nadere informatieWerkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden
Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden COLOFON Auteurs Frank Pollet Illustraties Liza-Beth Valkema Basisvormgeving LS Ontwerpers bno, Groningen Omslag illustratie Metamorfose ontwerpen BNO, Deventer
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl.
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: NIVEAU: WISKUNDE MAVO-D / VMBO-gt EXAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.
Nadere informatieDe uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin.
Rekenmachine 1. Rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Onze rekenmachine geeft het resultaat
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 2. Antwoorden. Taalmeesters 2. Zelfstandig werken. Antwoorden. Groep 4. Taal COLOFON COLOFON
Taalmeesters 2 Antwoorden COLOFON Taalmeesters 2 Stenvert Zelfstandig werken Taal Groep 4 Antwoorden Auteurs Evelien Klok, Michelle Kraak, Hans Vermeer Conceptontwerp omslag: Metamorfose ontwerpers BNO,
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8
Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieStenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7
Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieTransfer Polytechniek 4. Wiskunde. Docentenhandleiding
Transfer Poltechniek Wiskunde Docentenhandleiding Colofon Auteurs G.J. Flim J. Feringa H. Frericks S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs,
Nadere informatie4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld
Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni 2001 4,7 331 keer beoordeeld Vak Wiskunde Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je
Nadere informatieExact periode = 1. h = 0, Js. h= 6, Js 12 * 12 = 1,4.10 2
Exact periode 1.1 0 = 1 h = 0,000000000000000000000000000000000662607Js h= 6,62607. -34 Js 12 * 12 = 1,4. 2 1 Instructie gebruik CASIO fx-82ms 1. Instellingen resetten tot begininstellingen
Nadere informatie2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13
REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieDomeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Nadere informatie42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees?
42 blok 6 C1 Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. C2 Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? Hoeveel pakken brokken? Hoeveel bakjes water? Fido 3 2 1 4
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D VAK: NIVEAU: EXAMEN: WISKUNDE MAVO 2001-I D De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.
Nadere informatieDocentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis
tr@nsfere Docentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis Leerwerkboek S.J. Kuipers redactie S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatie1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden
Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i
Nadere informatieWerken met de rekenmachine
Werken met de rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine van de nieuwe generatie met een twee-regelig display zoals de fx-82tl of de afgebeelde fx-82ms. Onze rekenmachine
Nadere informatieEXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.
EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.
Nadere informatiePraktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.
Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs
Nadere informatieSAMENVATTING BASIS & KADER
SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieKlokboek A Werkboek. Groep 4-5
Klokboek A Werkboek Groep 4-5 Klokboek A WERKBOEK COLOFON Auteurs redactie Stenvert Conceptontwerp omslag: Metamorfose ontwerpers BNO, Deventer Ontwerp omslag: Eduardo Media Illustraties Egbert Koopmans
Nadere informatie1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatie2A LEERLIJN. leerjaar 1. tellen. optellen en aftrekken GROEPEREN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN. plaats en waarde. handig rekenen 1 ORDENEN EN UITSPREKEN
2A LEERLIJN leerjaar 1. 1. tellen 1.1 Tellen in groepjes 1.2 Vooruittellen en terugtellen 7. optellen en aftrekken 7.1 Optellen 7.2 Aftrekken 2. GROEPEREN 2.1 Groeperen en inwisselen 2.2 Springen met grotere
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieHoofdstuk 1: Basisvaardigheden
Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieRekenkunde, eenheden en formules voor HAREC. 10 april 2015 presentator : ON5PDV, Paul
Rekenkunde, eenheden en formules voor HAREC 10 april 2015 presentator : ON5PDV, Paul Vooraf : expectation management 1. Verwachtingen van deze presentatie (inhoud, diepgang) U = R= R. I = 8 Ω. 0,5 A =
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieRekenen Oefenboek (2) Geschikt voor LVS-toetsen van CITO 3.0 Groep 6
Rekenen Oefenboek (2) Geschikt voor LVS-toetsen van CITO 3.0 Groep 6 2019 Junior Einstein bv Enschede, the Netherlands Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets
Nadere informatieReken zeker: leerlijn kommagetallen
Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde
Nadere informatieOnthoudboekje rekenen
Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieBasisvaardigheden rekenen voor de pabo
Basisvaardigheden rekenen voor de pabo Basisvaardigheden rekenen voor de pabo Ed de Moor Willem Uittenbogaard Sieb Kemme eindredactie Noordhoff Uitgevers Groningen Houten Eventuele op- en aanmerkingen
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieNiveauproef wiskunde voor AAV
Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet
Nadere informatieHexadecimale en binaire getallen
Bijlage G Hexadecimale en binaire getallen Binaire en andere talstelsels De getallen waar wij gewoonlijk mee werken zijn genoteerd volgens het decimale stelsel. Het decimale stelsel is een zogenoemd positiestelsel.
Nadere informatieNiveau 2F Lesinhouden Rekenen
Niveau 2F Lesinhouden Rekenen LES 1 Begintest LES 2 Getallen Handig optellen en aftrekken Handig vermenigvuldigen en delen Schattend rekenen Negatieve getallen optellen en aftrekken Decimale getallen vermenigvuldigen
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieBijlage 11 - Toetsenmateriaal
Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatiei n s t a p h a n d l e i d i n g
jaargroep 7 reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs i n s t a p h a n d l e i d i n g k o l o m s g e w i j s d e l e n Inleiding Het programma laat de leerlingen kennismaken met vernieuwende elementen
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 3. Zelfstandig werken Taal Groep 5-6 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 3 Antwoorden Groep 5-6
Zelfstandig werken Taal Groep 5-6 Antwoorden Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 3 Antwoorden Groep 5-6 Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek uit de serie Taalmeesters van
Nadere informatieAlgebra Nadruk verboden 1 Opgaven. 5 ; 3 ; 7. antwoord: coëfficiënten resp. 5, 3 en 7
Algebra Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Wat zijn de coëfficiënten en wat is de graad van de volgende vormen? 5 ; 3 ; 7. antwoord: coëfficiënten resp. 5, 3 en 7 graad resp. 3, 5 en 9. 2. Hoeveel termen heeft
Nadere informatieREKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur
REKENTOPPERS 4 Rekenen en wiskunde Antwoordenboek Auteur Pascal Goderie KAART KAART 2. Zet de getallen op de goede plaats 2 7. Sjoelen Elke behaalt 4 punten. Willem: veertig punten 4 3 5 8 6 9 2. Pijltjes
Nadere informatieSamenvatting Moderne wiskunde - editie 8
Samenvatting door een scholier 2288 woorden 16 mei 2010 5.7 213 keer beoordeeld Vak Wiskunde Samenvatting Moderne wiskunde - editie 8 4 vmbo gemengd theoretisch H1 Grafieken en vergelijkingen Verbanden
Nadere informatieTHEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal)
THEORIE TALSTELSELS De binaire code Het geheugenelement van de computer kan slechts twee verschillende waarden bevatten. De schakelingen uit de computer werken daarom met een tweetallig ofwel binair stelsel.
Nadere informatieInleiding goniometrie
Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat
Nadere informatie2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16
Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieINSIGHT Rekentoets. Spoorboekje. Tijd voor rekenen!
INSIGHT Rekentoets Spoorboekje Tijd voor rekenen! Colofon Titel: Subtitel: Uitgave door: Adres: Insight Rekentoets Spoorboekje AMN b.v. Arnhem Oude Oeverstraat 120 6811 Arnhem Tel. 026-3557333 info@amn.nl
Nadere informatieGetallen. 1 Doel: een getallenreeks afmaken De leerlingen maken de getallenreeks af met sprongen van 150 000.
Getallen Basisstof getallen Lesdoelen De leerlingen kunnen: een reeks afmaken; waarde van cijfers in een groot getal opschrijven; getallen op de getallenlijn plaatsen; afronden op miljarden; getallen in
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieReken zeker: leerlijn breuken
Reken zeker: leerlijn breuken B = breuk H = hele HB = hele plus breuk (1 1/4) Blauwe tekst is theorie uit het leerlingenboek. De breuknotatie in Reken zeker is - anders dan in deze handout - met horizontale
Nadere informatieHoofdstuk 1 : REKENEN
1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen
Nadere informatie0,6 = 6 / 10 0,36 = 36 / 100 0,05 = 5 /100 2,02 = 2 gehelen en 2 / 100
Breuken 8 teller breukstreep 9 noemer Breukvorm - kommagetal 0,6 6 / 10 0,36 36 / 100 0,05 5 /100 2,02 2 gehelen en 2 / 100 Breuken en gehelen 1) Hoeveel keer gaat de noemer in de teller? 2) Hoeveel is
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 4. Zelfstandig werken Taal Groep 6 Antwoorden. ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ ǁĞƌŬĞŶ ͻ ^ƚğŷǀğƌƚ ͻ Taal ͻ Taalmeesters 4 ͻ Antwoorden ͻ Groep 6
Zelfstandig werken Taal Groep 6 Antwoorden ^ƚğŷǀğƌƚ ŵăăŭƚ ĚĞĞů Ƶŝƚ ǀĂŶ dśŝğŵğdğƶůğŷśžī ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ ǁĞƌŬĞŶ Ϳ ŝƚ ďğɛƚăăƚ Ƶŝƚ ĞĞŶ ŐƌŽŽƚ ĂƐƐŽƌƟ ŵğŷƚ ůğğƌŵŝěěğůğŷ ǀŽŽƌ ĂůůĞ ůğğƌ ũăƌğŷ KƉ ŽŶnjĞ ͲƐŝƚĞ ǀŝŶĚƚ Ƶ Ăů
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek
Inleiding Digitale Techniek Week 2 Binaire getallen, BCD, Gray, ASCII, 7-segment Jesse op den Brouw INLDIG/205-206 Decimaal talstelsel Ons talstelsel is een zogenaamd positioneel talstelsel. Een getal
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatieKennemer College Beroepsgericht Programma van Toetsing en Afsluiting schooljaar Proefwerk 60 min 3 Ja Schriftelijk.
Kennemer College Beroepsgericht Programma van Toetsing en Afsluiting schooljaar 2017 2018 Wiskunde 4 Basis Periode Wat moet je kennen en kunnen? (deel)taken Toets-vorm Duur Weging Herkan sing Wijze van
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatiei n s t a p h a n d l e i d i n g
jaargroep 7 reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs i n s t a p h a n d l e i d i n g k o l o m s g e w i j s v e r m e n i g v u l d i g e n Inleiding Het programma laat de leerlingen kennismaken
Nadere informatie