Schaalinvariantie en de wetten van Kirchhoff

Transcriptie

1 1 Het belang van schaalinvariantie Schaalinvariantie en de wetten van Kirchhoff De stroo- en spanningswetten van Kirchhoff spelen een belangrijke rol als verbindingsvoorwaarden in de elektrische netwerktheorie. Deze wetten beschrijven de verdeling van de stroen en spanningen in elektrisch netwerken. Analoge wetten zijn in andere doeinen van de ingenieurswetenschappen zoals de sterkteleer en stroingsleer terug te vinden. Ze kunnen als de basis van zeer algeene energetische stellingen beschouwd worden die voor de studie van lineaire en niet- lineaire elektrische netwerken, echanische structuren, hydraulische systeen,... van belang zijn. Voorbeelden hiervan zijn de stelling van Tellegen en de stelling der virtuele arbeid. 1 Opvallend is de eenvoudige en lineaire vor van de wetten van Kirchhoff, de dualiteit van de van elkaar ontkoppelde stroo- en spanningswetten en de orthogonaliteit tussen de stroen en spanningen in een elektrisch netwerk. De ingenieurswetenschappen aken veel gebruik van wiskundige odellen. Alles wat wiskundig geldt is daaro nog niet fysisch correct. O als 'echte' wet beschouwd te worden oet een ontdekte relatie op verschillende plaatsen en tijdstippen van kracht zijn. De wiskundige forulering van wetten dient ook aan de eisen van schaalinvariantie te voldoen zodat ze niet door de keuze van de eenheden bepaald wordt. Iedere observator oet iers in een zelfde wiskundige vor geforuleerde wetten kunnen opsporen onafhankelijk van het eenhedenstelsel dat hij koos (bijvoorbeeld SI eenheden of 'Iperial units'). Indien dit niet het geval ware zou het uitwisselen van kennis probleatisch zijn en kan eigenlijk niet van objectieve kennis gesproken worden. De objectivering van de door observatoren verworven kennis vereist iers de onafhankelijkheid van de arbitraire keuzes die ze bij hun observaties aakten. Deze voorwaarde leidt tot invarianties of syetrieën zoals schaalinvariantie. 2 Ze kunnen in verband gebracht worden et de intelligibliteit van de werkelijkheid. 3 In de netwerk- en systeetheorie wordt eestal abstractie geaakt van de eenheden. Nochtans is diensionele analyse een bekende op schaalinvariantie gebaseerde ethode o te verifiëren of een wiskundig odel vanuit fysisch oogpunt in orde is. Door rekening te houden et schaalinvariantie kan en de odellen niet alleen 'unit free' aken aar ook een fysische 'content' geven. De voorwaarde van schaalinvariantie en de erop gebaseerde diensionele analyse aken het ook ogelijk o wetten af te leiden. Een ander ooi voorbeeld van het afleiden van wetten uit beschouwingen over syetrieën is de stelling van Noether. 4 In deze tekst trachten we de wetten van Kirchhoff af te leiden uit schaalinvariantie. We verwachten dat het gedrag van een elektrisch netwerk bestaande uit een aantal schaalinvariante coponenten ook schaalinvariant zal zijn voor een externe observator. Dit blijkt niet zo evident te zijn. 1 Dit zijn analoge stellingen die het behoud van energie over de ruite gezien uitdrukken. 2 Voor eer voorbeelden van syetrie zie: archive/vzw_worldviews/publications/vanbelle- inventaris.pdf 3 Op de begrijpbaarheid van de werkelijkheid wordt in het naschrift verder ingegaan. 4 In deze stelling legde Ey Noether een verband tussen syetrieën en behoudswetten. Zie:

2 2 De wetten van Kirchhoff De wetten van Kirchhoff leggen de verbindingsvoorwaarden in een elektrisch netwerk vast. Ze beschrijven de verdeling van spanningen en stroen over de eleenten waaruit het netwerk bestaat. Volgens de stroowet is de balans sluitend van de stroen die naar een knooppunt vloeien. Voor een knooppunt waarin n takken saenkoen geldt een continuïteitsprincipe: I 1 + I 2 + I I n = 0 Deze wet kan afgeleid worden uit de wet van behoud van lading. De spanningswet stelt dat de so van spanningen over de takken van een aas (gesloten lus) in een netwerk gelijk is aan nul: U 21 + U 32 + U U 1 = 0 Deze wet volgt uit de definitie van spanning als potentiaalverschil in een conservatief elektrisch veld. Beschouw het voorbeeld van een eenvoudig netwerk et twee in parallel geschakelde coponenten waarop een bron aangesloten is. De bron et spanning U stuurt een stroo I naar het netwerk. Volgens de stroowet van Kirchhoff wordt de stoo verdeeld over de twee coponenten en kunnen we schrijven (et een gepaste tekenconventie 5 ) dat: I = I 1 + I 2 Voor een parallelschakeling geldt bovendien: U = U 1 = U 2 Hieruit volgt oniddellijk: U.I = U 1. I 1 + U 2.I 2 Deze vergelijking drukt het behoud van energie over de takken van het netwerk uit en kan ook uit de stelling van Tellegen afgeleid worden 6. Op energiestellingen gebaseerde ethodes spelen een grote rol in de ingenieurswetenschappen. 7 De orthogonaliteit tussen de vectoren van spanningen en stroen wordt duidelijk indien de vorige vergelijking als volgt geschreven wordt: 5 De stoo die de bron verlaat en de stroen die de coponenten binnenvloeien worden dan als positief beschouwd. In het ogekeerde geval beschouwt en ze als negatief. 6 Zie: en archive/vzw_worldviews/publications/vanbelle- tel.htl 7 Dit is bijvoorbeeld het geval in de eindige eleenten ethode ('finite eleent ethod') voor het berekenen van echanische structuren.

3 3 U.I + U 1.(- I 1 ) + U 2.(- I 2 ) = 0 De verbindingsvoorwaarden voor een door een bron gevoede serieschakeling van twee coponenten worden volgens de stroowet en spanningswet respectievelijk gegeven door: I = I 1 = I 2 U = U 1 + U 2 Het behoud van energie en de orthogonaliteit tussen spanningen en stroen blijven geldig: U.I = U 1. I 1 + U 2.I 2 U.I + (- U 1 ).I 1 + (- U 2 ).I 2 = 0 Merk op dat de stroen en spanningen van een parallelschakeling en serieschakeling elkaars duale zijn. Als de stroen en spanningen ogewisseld worden blijven de vergelijkingen geldig. 8 Schaalinvariantie Een syetrie of invariantie van een functie is een bepaalde transforatie die deze functie niet verandert en waarvoor de functie dus invariant is. 9 Schaalinvariantie is belangrijk voorbeeld van syetrie. 10 Het syetriebegrip is buiten de fysica nog te weinig bekend. Syetrieën kunnen als kenerken van de diepere aard van de werkelijkheid beschouwd worden. In de stelling van Noether wordt aangetoond dat bepaalde syetrieën overeensteen et behoudswetten. 11 Dit wijst op een ogelijkheid o de wetten van Kirchhoff uit schaalinvariantie af te leiden. 12 Een functie y = f(x) is schaalinvariant indien ze et een functie g(λ) verschaald wordt als we de variabele x et een willekeurige factor λ verschalen: f(λ.x) = g(λ).f(x) Deze functionele vergelijking leidt tot een achtswet et een constante C en graad n: y = C.x n Inderdaad: f(λ.x) = C.( λ. x) n = C. λ n. x n = λ n.f(x) waarin λ n = g(λ) 8 Zie: 9 Zie: en 10 Zie: 11 Zie: 12 Zowel de stroowet als spanningswet kunnen als behoudswetten beschouwd worden. De balans van de stoen in een knooppunt en de spanningen in een aas van een elektrisch netwerk is iers sluitend. Dit doet ook aan het continuïteitsprincipe denken.

4 4 Een achtswet blijkt de enige oplossing te zijn. 13 Merk op dat achtswetten op verschillende niveaus van de werkelijkheid en in verschillende wetenschappen opduiken. 14 Men heeft het sos over 'universality'. 15 Ook een functie van de vor y = F(x 1, x 2, x 3,...) kan schaalinvariant zijn. Daartoe is echter vereist dat de functie hoogeen is zodat we voor alle waarden van λ ogen schrijven dat 16 : F(λ.x 1, λ.x 2, λ.x 3,...) = λ. F(x 1, x 2, x 3,...) Een hoogene veelter is een voorbeeld van een hoogene functie. De teren van een hoogene veelter zijn van dezelfde graad. 17 Dit geldt bijvoorbeeld voor de hoogene veelter: y = (x 1. x 2. x 3 ) + ( x 1 2. x 2 ) + x 3 3 Als voor een hoogene veelter geldt dat: F(x 1, x 2, x 3,...) = 0 dan is ook: F(λ.x 1, λ.x 2, λ.x 3,...) = 0 Een niet- hoogene veelter kan door het invoeren van een bijkoende veranderlijke gehoogeniseerd worden. 18 De niet- hoogene veelter F(x 1, x 2, x 3,...) wordt dan ogevord tot de hoogene veelter: h F(x 0, x 1, x 2, x 3,...) = x 0 q. F(x 1 /x 0, x 2 /x 0, x 3 /x 0,...) waarin x 0 de bijkoende veranderlijke voorstelt en q de graad van de veelter. 13 Zie: invariance- and- the- power- law.htl 14 Zie: archive/vzw_worldviews/publications/vanbelle- schaal.pdf 15 Het begrip 'universality' of 'universaliteit' kan als volgt verduidelijkt worden: In physics, atheatics, statistics, and econoics, scale invariance is a feature of objects or laws that do not change if scales of length, energy, or other variables, are ultiplied by a coon factor, thus represent a universality. Zie: 16 Zie: en 17 Zie: en 18 Zie:

5 5 De niet- hoogene veelter et graad 3: (x 1. x 2. x 3 )+ ( x 1. x 2 ) + 5 wordt na hoogenisering: x 0 3 [(x 1 /x 0. x 2 /x 0. x 3 /x 0 ) + (x 1 /x 0. x 2 /x 0 ) + 5] = (x 1. x 2. x 3 ) + (x 0. x 1.x 2 ) + 5 x 0 3 Een gehoogeniseerde veelter kan 'gedehoogeniseerd' worden door de bijkoende veranderlijke x 0 gelijk aan 1 te stellen: F(x 1, x 2, x 3,...) = h F(1, x 1, x 2, x 3,...) Het is voor de stroowet en spanningswet duidelijk dat voor alle waarden van de factor λ respectievelijk geldt dat: λ.i 1 + λ.i 2 + λ.i λ.i n = 0 λ.u 21 + λ.u 32 + λ.u λ.u 1 = 0 De verbindingsvoorwaarden van een elektrisch netwerk kunnen dus door hoogene veelteren beschreven worden en zijn schaalinvariant. Afleiding van de wetten van Kirchhoff uit schaalinvariantie (1) Beschouw een eenvoudig elektrisch netwerk bestaande uit twee coponenten die door een bron gevoed worden. Deze coponenten kunnen in parallel of serie geschakeld zijn. De spanningen over de takken van dit netwerk zijn een functie van de stroen die door deze takken vloeien: U 1 = f 1 (I 1 ) (1) U 2 = f 2 (I 2 ) (2) U = f(i) (3) We neen aan dat dit netwerk beschreven kan worden door de vergelijking: G(U 1, I 1, U 2, I 2, U, I) = 0 Dit leidt rekening houdend et (1), (2) en (3) tot: G[f 1 (I 1 ), I 1, f 2 (I 2 ), I 2, f(i), I] = 0 Deze vergelijking kan herleid worden tot: H(I 1, I 2,I) = 0 Hieruit kunnen we afleiden dat :

6 6 I = F(I 1, I 2 ) (4) Bovendien neen aan dat de coponenten een schaalinvariant gedrag vertonen en dus door een achtswet geodelleerd kunnen worden : n I 1 = C 1.U 1 I 2 = C 2.U 2 (5) (6) Het is ook niet onredelijk o te stellen dat dit netwerk vanuit de bron gezien zich ook schaalinvariant gedraagt en het gedrag van de bron dan beschreven wordt door : I = C.U p (7) De vergelijking (4) kan rekening houdend et de achtswetten (5), (6) en (7) ogevord worden tot: C.U p = F(C 1.U 1 n, C 2.U 2 ) (8) Als het linkerlid schaalinvariant is oet ook het rechterlid dit zijn. Deze voorwaarde wordt voldaan indien het rechterlid van de vergelijking een hoogene functie is. 19 Een hoogene functie is iers ook schaalinvariant. Een veelter van de vor C 1.U 1 n + C 2.U 2 is een eenvoudige functie die onder bepaalde voorwaarden aan de eis van hoogeniteit kan voldoen. Als deze veelter in de vergelijking (8) ingevoerd wordt vinden we: C.U p = C 1.U 1 n + C 2.U 2 (9) O schaalinvariant te zijn oet deze vergelijking voor alle waarden van de factor λ voldoen aan: C.(λ.U) p = C 1.(λ.U 1 ) n + C 2.( λ.u 2 ) Het is duidelijk dat het rechterlid van de vergelijking (9) slechts een hoogene veelter is als: n = Het gaat dan o twee coponenten van hetzelfde type aar eventueel een andere waarde van de constante C 1 en C 2. De hoogene veelter van het rechterlid en de achtswet in het linkerlid kunnen slechts et elkaar overeenkoen indien: p = n = (10) Uit de vergelijking (9) volgt dan dat: 19 Zie:

7 7 C.U p = C 1.U 1 p + C 2.U 2 p (11) In het geval van een parallelschakeling worden de twee coponenten door de bron op dezelfde spanning U aangesloten zodat de volgende voorwaarde opgelegd wordt: U = U 1 = U 2 (12) Bovendien geldt in dit geval volgens (11) dat: C.U p = C 1.U p + C 2.U p (13) Onder de voorwaarden (10) en (12) worden de vergelijkingen (5) en (6): I 1 = C 1.U p I 2 = C 2.U p Bovendien geldt de vergelijking (7): I = C.U p Rekening houdend et deze achtswetten volgt uit (13) dat: I = I 1 + I 2 (14) De twee coponenten en de bron zijn in twee knooppunten et elkaar verbonden. Voor deze knooppunten geldt volgens (14): I + (- I 1 ) + (- I 2 ) = 0 en: (- I) + I 1 + I 2 = 0 Mits een aangepaste tekenconventie voor de stroen leiden deze vergelijkingen oniddellijk tot de stroowet van Kirchhoff voor een knooppunt et drie takken: I 1 + I 2 + I 3 = 0 Merk op dat de gevolgde bewijsvoering alleen geldt indien de coponenten en de bron lineair zijn of een gelijkaardig type van niet- lineair gedrag vertonen. Afleiding van de wetten van Kirchhoff uit schaalinvariantie (2) Zoals aangetoond werd kan het gedrag van een elektrisch netwerk et twee coponenten en een bron die zich schaalinvariant gedragen beschreven worden door de vergelijking (9): C.U p = C 1.U 1 n + C 2.U 2

8 8 Deze vergelijking kot overeen et de veelter: C.U p - C 1.U 1 n - C 2.U 2 = 0 die slechts hoogeen in het bijzonder geval dat de teren van dezelfde graad zijn en p = n =. De vorige aannaes van schaalinvariantie en hoogeniteit leiden dus niet tot een algeene afleiding van de stroowet van Kirchhoff uit schaalinvariantie. Een algeene oplossing voor het problee is te vinden door de eis van hoogeniteit niet op te leggen aan: C.U p - C 1.U 1 n - C 2.U 2 = 0 aar aan de gehoogeniseerde vor van deze veelter: C. U 0 q- p. U p - C 1. U 0 q- n.u 1 n - C 2. U 0 q-.u 2 = 0 et U 0 als bijkoende veranderlijke en q als de graad van deze veelter. De gehoogeniseerde veelter kan als een veralgeening van de overeensteende niet- hoogene veelter beschouwd worden. Door de bijkoende veranderlijke U 0 gelijk aan 1 te stellen vinden we iers de oorspronkelijke veelter terug. Voor een parallelschakeling is: U = U 1 = U 2 waaruit volgt dat: C. U 0 q- p. U p - C 1.U 0 q- n.u n - C 2. U 0 q-.u = 0 Deze vergelijking kan rekening houdend et de achtswetten voor de bron en de coponenten: I = C.U p I 1 = C 1.U p I 2 = C 2.U p herleid worden tot: U 0 q- p. I - U 0 q- n.i 1 - U 0 q-.i 2 = 0 Stellen we de bijkoende veranderlijke: U 0 = 1 dan bekoen we de stroowet van Kirchhoff:

9 9 I = I 1 + I 2 Op een gelijkaardige anier kunnen we de spanningswet van Kirchhoff afleiden voor een serieschakeling. Deze redering kan geakkelijk uitgebreid worden voor elektrische netwerken et eer dan twee in parallel of serie geschakelde coponenten. Door een netwerk te beschouwen als een cobinatie van parallel- en serieschakelingen en het als het ware stap voor stap op te bouwen kan en de wetten van Kirchhoff nog eer algeeen afleiden. Merk op dat schaalinvariantie en hoogeniteit ook uitgangspunten zijn van diensionele analyse 20. De voorwaarde van hoogeniteit die we aannaen is echter inder streng. In diensionele analyse wordt een eis van diensionele hoogeniteit gesteld die de hoogeniteit van de wiskundige odellen voor elk van de fundaentele eenheden oplegt. 21 De gebruikte ethode van hoogeniseren vertoont ook een overeenkost et 'nondiensionalization', het diensieloos aken van diensionele vergelijkingen. 22 De bijkoende veranderlijke doet ook aan een verborgen veranderlijke ('hidden variable') denken. Naschrift Mijn verwondering over de eenvoudige en lineaire vor van de wetten van Kirchhoff, de dualiteit van de van elkaar ontkoppelde stroo- en spanningswetten en de orthogonaliteit tussen de stroen en spanningen in een elektrisch netwerk was het uitgangspunt voor het schrijven van deze tekst. De wetten van Kirchhoff en andere analoge verbindingswetten voren de basis van de krachtige energetische ethodes uit de ingenieurswetenschappen die zowel voor lineaire als niet- lineaire systeen gelden. Ik ben op zoek naar een zo algeeen ogelijke afleiding van de wetten van Kirchhoff uitgaande van syetrieën of invarianties die niet op fysische principes aar op eerder filosofische beschouwingen gebaseerd zijn. Het is iers blijkbaar ogelijk o natuurwetten af te leiden uit fundaentele, kwalitatieve beginselen. Ik tracht daarbij uit te gaan van voorwaarden die het voor verschillende observatoren ogelijk aken o objectieve kennis te verwerven. Deze zoektocht leidde tot diverse benaderingen. 23 De diepere aard van de werkelijkheid roept heel wat vragen op. Denk bijvoorbeeld aan de herhaling van dingen en verschijnselen in ruite en tijd, het bestaan van wetatigheden, de 'onredelijke 20 Zie: en (p. 12) 21 Zie: De zogenaade 'epirische wetten' zijn niet diensioneel hoogeen en dus afhankelijk van de gekozen eenheden. 22 Zie: en Thoas A. McMahon en John Tyler Bonner, De aat van het leven. Hoe de natuur haar eigen wetten gehoorzaat, Natuur en Techniek, Maastricht, 1987, p Zie: archive/vzw_worldviews/publications/kirchhoff.pdf, archive/vzw_worldviews/publications/kirchhoff2.pdf en archive/vzw_worldviews/publications/kirchhoff3.pdf

10 10 effectiviteit van de wiskunde' 24, het succes van de reductionistische ethodes, het belang van syetrieën, de ogelijkheid o wetten uit syetrieën af te leiden, de overal opduikende achtswetten, de eenvoudige vor van de verbindingsvoorwaarden, de zeer algeene energetische ethodes en de analogie tussen verschillende wetenschappen. Syetrieën doen aan de eeuwige voren van Plato denken. Ze spelen een grote rol in de kwantuechanica en deeltjesfysica. Soige fysici beschouwen de fysica zelfs als een speurtocht naar syetrieën. In de ingenieurswetenschappen wordt het belang van syetrieën, schaalinvariantie en achtswetten nog onvoldoende onderkend. Ze bieden nochtans toepassingsogelijkheden in het oeilijk toegankelijk doein van de niet- lineaire systeen. Wetten en syetrieën laten in feite toe o de verworven kennis te coprieren. Het is ook operkelijk dat het ogelijk blijkt o wetten af te leiden uit syetrieën die volgen uit de eis dat kennis oet kunnen geobjectiveerd worden. De coplexe en diverse realiteit blijkt zo te zijn dat objectieve kennis ogelijk is en de werkelijkheid voor een deel door de ens begrepen kan worden. Deze intelligibiliteit blijkt een erkwaardige karakteristiek van de diepere aard van de werkelijkheid te zijn en is een groot ysterie. Het is alsof de ens als observator centraal staat in het 'universu' van wetenschappelijke kennis. Op de uiteindelijke vragen over de werkelijkheid is de binnen de wetenschap geen antwoord te vinden. Ze worden naar de 'last desk' van filosofie en theologie verwezen. Hubert Van Belle 2/05/ /03/ Naar het boek van Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Matheatics in the Natural Sciences. Zie: