Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 29 augustus 2005, uur

Transcriptie

1 Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 29 augustus 2005, uur Opgave 1 Door de buis van onbekende lengte h als hier geschetst stroomt water met een dichtheid van 998 kg/m 3. Het buisgedeelte na de flens (1) heeft een massa van ( *h) kg, en een volume van π/4*d 1 2.(h + 0.3) m 3. Ter plaatse van de flens is de binnendiameter van de buis D 1 = 8 cm; ter plaatse van de uitstroomopening is deze D 2 = 4 cm. De massastroom water bedraagt Φ W = 15.2 kg/s. g = 9.81m/s 2. a) Bepaal de doorstroomsnelheid U 1, en de uitstroomsnelheid U 2. Een eenvoudige om mee te beginnen: Phi = rho*a*u, dus U_1 = Phi/(rho*pi/4*D1^2) = 3.03 m/s; U_2 = Phi/(rho*pi/4*D2^2), of U_2 = U_1*(D1/D2)^2 = m/s; b) Als nu gegeven is dat de vloeistof wrijvingsloos is, bepaal dan de druk P 1. Voor welke lengte van de buis h is deze druk precies gelijk aan P 2 (d.w.z. atmosferisch)? Voor een wrijvingsloze vloeistof geldt de wet van Bernouilli : p + ½rho.U^2 + rho.g.z = cst, waarbij die constante dus geldt voor twee verschillende punten in de stroming. We weten dat de uitstroom in de atmosfeer is, dus zeg bij p_a. We kiezen daar voor het gemak z = 0. Dan vinden we dus: pa + ½rho.U2^2 + rho.g.0 = Cst. Deze constante invullen voor de flens levert: p1 + ½rho.U1^2 +rho.g.h = Cst = pa + ½rho.U2^2 => p1-pa = ½rho.(U2^2 U1^2) rho.g.h Nulstellen van het linkerlid: ½.(U2^2 U1^2) = g.h => h =½.(U2^2 U1^2)/g = 7.02 m c) Bepaal (als functie van P 1 ) de kracht op de flens (1) in de horizontale x-richting. We gebruiken de integrale impulsbalans, en nemen als controlevolume de rode contour. We kennen als relevante krachten: drukkracht, impulsstroom en volumekracht. Voor de x-richting: F_x = (p1-pa).a1 + rho.u1^2.a1 + rho.u2^2.a2.cos(40) =(p1-pa)*pi/4*0.08^ *3.03^2* pi/4*0.08^ *12.12^2* pi/4*0.04^2.cos(40) =(p1-pa)* ^ N. Afhankelijk van de druk bij de flens kan deze kracht zowel positief als negatief zijn! (Bij p1 - pa = kpa 37 kpa onderdruk ). d) Bepaal (als functie van h) de kracht op de flens (1) in de vertikale z-richting. Voor welke lengte van de buis h is de vertikale kracht precies nul? Voor de z-richting: F_z = -g.(m_buis+m_water) + rho.u2^2.a2.sin(40) =-g.( *h + pi/4*d1^2*(h+0.3)*rho) + rho.u2^2.pi/4.d2^2.sin(40) =-g.(2.5 + ( )*h + 1.5) + 998*.12.12^2.pi/4.0.04^2.sin(40) =-g.(2.5 + ( )*h ) + 998*.12.12^2.pi/4.0.04^2.sin(40) = *h + 118,4 N Netto vertikale kracht is nul: nulstellen: h = 1.28 m

2 Opgave 2 De geschetste glazen U-vormige buis van slechts enkele millimeters diameter draait met een constante hoeksnelheid om de middellijn van de linkerbuis. De U-buis is gedeeltelijk gevuld met water van dichtheid 1000 kg/m 3, en gedeeltelijk met kwik, van dichtheid kg/m 3. De zwaartekrachtsversnelling bedraagt 9.81 m/s 2, de luchtdruk 1.013x10 5 Pa ( 1013mbar ). Hint: RPM = Rotations Per Minute. a) In de buitenste buis staat het kwikoppervlak, zoals geschets, scheef. Laat in een schets zien hoe dit komt, en bepaal de hellingshoek. Hint: voor een roterend systeem geldt: dp/dr = ρ.a, met a de lokale versnelling. Door de hoekversnelling werkt er ook een centrifugaalkracht naar buiten, ter grootte van rho.v^2/r (= Omega^2*R). Omega omrekenen naar radialen per seconde: Omega = 150/60*2pi = rad/s; helling is Fhori/Fverti = Omega^2*R/g = = tan alpha, ofwel alpha = 68.3 graden t.o.v. horizontaal. b) Bepaal de druk ter plekke van de stop; zowel als de buis niet roteert (Ω = 0), als bij de gegeven Ω. Je mag de dichtheid van de lucht verwaarlozen. Eerst voor de twee vertikale benen: hydrostatisch vinden we: Buitenkant: p_(bodem, buiten) = p_a+ rho_kwik*g*h_buiten Binnenkant: p_stopje = p_(bodem, binnen) - rho_kwik*g*h_binnen rho_water*g*h_water. - In stilstand is de druk over de bodem constant; dus p_(bodem, buiten) = p_(bodem, binnen): Dus p_stopje = p_a - rho_kwik*g*(h_binnen - h_buiten) - rho_water*g*h_water = 10.8kPa onderdruk = 90.5 kpa absoluut. - Roterend werkt er ook een kracht in de radiële richting: dp/dr is rho_kwik*omega^2*r =>Delta_P = p_(bodem, buiten) - p_(bodem, binnen) = int (from 0 to R_buiten) rho_kwik*omega^2*r dr = rho_kwik*½*(omega*r_buiten)^2 = 16.8 kpa. Omdat er aan het buitenbeennniets verandert, is dit dus een extra onderfdruk in het linkerbeen; de druk op de stop bedraagt nu dus 73.7kPa absoluut. c) (facultatief) Als gegeven is dat de dampspanning van water bij deze temperatuur 16.5 kpa bedraagt, bepaal dan de maximale waarde van Ω waarbij de stroming stabiel is. Wat gebeurt er bij hogere waarden? Als de druk in een vloeistof lager wordt dan de dampdruk, dan gaat deze koken (bijv. voor water bedraagt de verzadigde dampdruk bij 100graden Celsius 1 bar...). Gaan we onze buis sneller draaien, dan verandert er niets aan de vertikale benen, maar de onderdruk vanwege de rotatie verandert. Dus rho_kwik*½*(omega_max*r_buiten)^2 = (P_A dp_benen P_damp). => Omega_max^2 = ( ).10^3 /( ½R_buiten^2 * rho_kwik). => => Omega_max = 33 rad/s of 315 RPM Bij een hoger toerental verdampt er water, en zakt de vloetsofspiegel in de binnenste buis, en stijgt deze in de buitenste; tot een nieuw evenwicht.

3 Opgave 3 voor-aanzicht 3m zij-aanzicht g 2m scharnieren vergrendeling Een noodvoorraadtank met water is een van boven open betonnen bak met aan één zijde een vertikaal staande driehoekige deur, waarvan de vorm is als hierboven geschetst: 2.0 meter hoog, aan de bovenzijde 3.0 m breed). De deur (gearceerd) hangt aan twee scharnieren aan de bovenzijde; op het onderste punt is de deur vergrendeld. Het water heeft een dichtheid van 998 kg/m 3, en mag als wrijvingsloos beschouwd worden. Neem g = 9.81 m/s 2, en het niveau z = 0 ter hoogte van de scharnieren tevens ter hoogte van het wateroppervlak. a) Bepaal de totale kracht die het water op de deur uitoefent. Kracht is druk geintegreerd over het oppervlak. We nemen z = 0 aan het wateroppervlak, en positief naar beneden otegaand. We kijken naar een element van het deuroppervlak dz*dx. Het hydrostatisch drukverschil tussen binnen en buiten hierop bedraagt rho_water*g*z (binnen) - rho_lucht*g*z (buiten). We verwaarlozen de laatste term, want de dichtheid van lucht nemen we als verwaarloosbaar. De strips hebben een breedte dx = 3-3/2 *z. De totale kracht F bedraagt dan dus: F = int (from 0 to 2) rho_w*g* z * (3-3/2z) dz = rho_w*g* int (from 0 to 2) (3z -3/2z^2) dz = rho_w*g* [3/2z^2-1/2z^3] = rho_w*g* [3/2(2)^2-1/2(2)^3] = = rho_w*g*(6 4) = = rho_w*g*2 = kn. Je had dit ook (sneller) kunnen vinden met kracht is oppervlak maal druk in het zwaartepunt ; Dus: opp = 3m^2; zwaartepunt van een driehoek is 1/3 * hoogte gerekend vanaf de basis = 2/3 m... b) Bepaal de kracht op de vergrendeling. Krachten door afdichtstrips mogen uiteraard verwaarloosd worden. Om in evenwicht te zijn moet er ook een momentenevenwicht zijn. We weten nu wel de kracht op de deur, maar deze grijpt niet aan in het zwaartepunt! Het is het eenvoudigst om een momentenbalans te maken tov de scharnieren (want dan hoeven we daar de kracht niet te kennen!). Moment is kracht maal arm. We nemen weer een element van het deuroppervlak dz*dx. Het moment geleverd door de hydrostatisch druk op het vlakje bedraagt (rho_water*g*z)*(dx*dz)*(z). Het totale moment M bedraagt dan dus: M = int (from 0 to 2) rho_w*g* z * (3-3/2z) * z dz = rho_w*g* int (from 0 to 2) (3z^2-3/2z^3) dz = rho_w*g* [z^3-3/8z^4] = rho_w*g* [(2)^3-3/8(2)^4] = = rho_w*g*(8 6) = = rho_w*g*2 = kn.m. Di moment wordt opgevangen door de vergrendeling die een arm heeft tov het draaipunt van 2m. Derhalve is de kracht hier F_grendel = 9.8 kn. Y

4 c) (Voor de liefhebbers, deze is lastig!) Om het water te kunnen verversen wordt de tank elke maand een keer gespoeld. Uiteraard wordt de deur dan niet vol open gezet, maar wordt de vergrendeling slechts DY = 5 cm gelost. Bepaal de volumestroom aan water die er door de ontstane spleet ontsnapt. Hint: De spleetbreedte neemt lineair met de afstand tot het scharnier toe! Hint: Je mag de aanstroomsnelheid verwaarlozen. Dit doen we in twee stappen: Bij een druk p = rho*g*z hoort een uitstroomsnelheid mbv Bernouiili van 0.5*rho*v^2, ofwel v = sqrt(2*g*z). (bijv onderaan op z = 2 is dat ruim 6 m/s). Het totale debiet vinden we door over de hele spleet te integreren: Q = integraal (over spleet) v.da Een oppervlakteelementje da kunnen we vinden uit een stapje dz door een lineair oplopende spleetbreedte en de helling : da = DY*z/2( breedte ) * dz/cos(arctan(3/4)) ( hoogte ) (met de laatste term = 5/4, want dit is een driehoek!). Ofwel: Q = 2( twee zijden )*int (from 0 to 2) v(z).da = = 2*int (from 0 to 2) sqrt(2*g) * sqrt(z) * 5/4 * z/2* DY = = 5/4*DY* sqrt(2*g) * int (from 0 to 2)(z)^1.5 = = 5/4*DY* sqrt(2*g) * [2/5*(z)^2.5] = = ½*DY* sqrt(2*g) * [(2)^2.5] = = DY* sqrt(g) * 4 = m^3/s De gemiddelde snelheid aan de binnenkant is dan van de orde Q/A_deur = 0.2 m/s; veel kleiner dan de typische uitstroomsnelheid, wat de aanname van snelheid nul aan de binnenkant rechtvaardigt. Opgave 4 a) Experimenteel is bekend dat het luchtdrukverschil tussen R 1,p 1 R 2,p 2 binnen en buitenkant van een zeepbel, p, uitsluitend afhangt van de oppervlaktespanning van het zeepvlies σ en R 12 =? de straal van de bel, R. Hint: [σ] = Kg/s 2. Voor een bepaald zeep-water mengsel hebben we gemeten dat p voor een bel van R = 2 cm 5.2 Pa bedraagt. We hebben nu twee zeepbellen tegen elkaar aan geplakt, zoals rechts geschetst, met stralen R 1 = 7 cm, en R 2 = 4 cm. Bepaal: 1. De drukken p 1 en p 2. Hint: op grond van de dimensies is er een direct verband tussen de gegeven grootheden. 2. De kromtestraal van het zeepvlies tussen de twee zeepbellen. Let hierbij op; bol naar links betekent een positieve, bol naar rechts een negatieve kromtestraal. Oppervlaktespanning in een zeepvlies kan geïnterpreteerd worden als een trekkracht (per meter lengte) die het vlies op een contactlijn uitoefent. Welke hoeken maken de drie oppervlakken ([luchtbel 1], [lucht-bel 2] en bel1-bel2] onderling? Schets! Dimensieanalyse levert drie parameters met : [ p] = Pa = N.m -2 = Kg.m -1.s -2, [σ] = Kg.s -2, [R] = m. Hier uit volgt dat p = C*σ/R, met C een dimensieloze constante. 1 Voor de referentiebel volgt dat C*σ = R.dP = 0.104, dus voor bellen 1 en 2: p 1 = p A Pa; p 2 = p A Pa. 2 Het zeepvlies tussen de twee bellen gedraagt zich natuurlijk niet wezenlijk anders dan de twee buitenliggende. Het staat dan ook bol, en wel met de bolling naar de laagste druk, dus naar links. De bijbehorende kromtestraal is dus naar rechts, en positief. Analoog aan het voorgaande vinden we voor de kromtestraal R 12 = C*σ/dP = 0.104/( ) = 9.3 cm.

5 3 De waarde van de oppervlaktespanning is niet zomaar te bepalen. Wel kunnen we de trekkracht meten die het vlies uitoefent. Een stukje vlies oefent deze uit óf op het naastliggend stukje, dat net zo hard terugtrekt (en dus niet in beweging komt) óf op een contactlijn. In ons geval zijn er drie zeepvliezen met elk dezelfde oppervlaktespanning, het enige mogelijk evenwicht is dat elk onder 120 graden met de ander in verbinding staat, zoals hier geschetst. Kijk zelf thuis maar eens tijdens de afwas. 120 o 120 o 120 o We hebben een gasbel (of een bel van een lichte vloeistof) (liq. 1) in een vloeistof (liq. 2) van respectievelijk dichtheden ρ 1 en ρ 2, en viscositeiten µ 1 en µ 2. Verder is er een grensvlakspanning tussen de twee fluïda σ, zwaartekracht g, en het volume van de bel, Vol. De bel rust tegen het wateroppervlak, en neemt daarbij een bepaalde vorm aan. We willen deze via de afplatting van de bel beschrijven door naar de maximale hoogte h te kijken. Hint: rusten tegen betekent zoveel als: er is nog een zeer dunne film van het zeep-watermengsel tussen de bel en de lucht er boven. b) Maak een dimensieloze parameter Π 1 uit h en Vol. Geef een dimensieloze vorm Π 1 = f 1 (Π 2... Π n ), en bepaal n. Construeer onafhankelijke Π-groepen zodanig dat er maar één enkele Π afhankelijk is van µ 1, één enkele Π afhankelijk van ρ 1 en één enkele Π afhankelijk van σ. Hint: [µ] = Pa.s Dimensieanalyse levert acht parameters: [ρ 1 ] = [ρ 2 ] = Kg.m -3 [µ 1 ] = [µ 2 ] = Pa.s = Kg.m -1.s -1 [σ] = Kg.s -2 [g] = m.s -2 [Vol] = m 3 [h] = m Met drie basisdimensies (Kg, m, s) levert dit volgens Buckingham dus 8 3 = 5 Pi-parameters. De eerste is uniek bepaald door de vraagstelling: Π 1 = h/vol^1/3. We schrappen h. (we moeten bij elke Pi een grootheid schrappen die we niet meer voor de volgende Pi s gebruiken). Met de twee andere vereisten maken we eenvoudig Π 2 = ρ 1 /ρ 2 en Π 3 = µ 1 /µ 2, en we schrappen ρ 1 en µ 1. Laten we de viscositeit van de stroop dimensieloos gaan maken in Π 4 ; bijvoorbeeld met de dichtheid: [µ 2 /ρ 2 ] = m 2.s -1. Delen door g^0.5: [µ 2 /(g 0.5.ρ 2 )] = m 3/2. Dus: Π 4 = Vol 1/2.µ 2 /(g 0.5.ρ 2 ), en we schrappen µ 1. Blijft over σ: Ook hier gaan eerst de kilogrammen er uit m.b.v. dichtheid: [σ/ρ 2 ] = m 3.s -2 ; delen door g: [σ/g.ρ 2 ] = m 2 ; Dus: Π 5 = σ/(g.ρ 2.Vol 2/3 ). Ofwel: h/vol 1/3 = f 1 (ρ 1 /ρ 2, µ 1 /µ 2, Vol 1/2.µ 2 /(g 0.5.ρ 2 ), σ/(g.ρ 2.Vol 2/3 )).

6 c) Maak aannemelijk dat Π 1 noch van µ 1, noch van µ 2 afhankelijk kan zijn, en geef een gereduceerde vorm Π 1 = f 2 (Π 2... Π n-2 ). Als ρ 1 = ρ 2, (een luchtbel in een afwassopje), bepaal en/of schets dan hoe Π 1 af zou kunnen hangen van je σ-afhankelijke Π-parameter; beschouw hiervoor een heel klein belletje en een hele grote. Het feit dat de viscositeit een eigenschap is van de vloeistof betekent nog niet dat deze van belang is voor het proces dat we bekijken. Bijvoorbeeld als we een voorwerp in lucht loslaten, dan hangt de versnelling ook niet van de dichtheid of de massa van het voorwerp af. Nu weten we dat viscositeit leidt tot schuifkrachten in een vloeistof wanneer de vloeistof vervormd wordt (stroomt); en dat grensvlakspanning leidt tot normaalkrachten wanneer het grensvlak vervormd is. In ons geval ligt de druppel stil, dus zijn er geen schuifkrachten; het grensvlak is echter niet vlak, dus zijn er wel oppervlaktekrachten. We kunnen dan ook twee parameters met viscositeiten schrappen, en we houden over: h/vol 1/3 = f 2 (ρ 2 /ρ 1, σ/(g.ρ 1.Vol 2/3 )). - In het geval dat de oppervlaktespanning domineert, valt te verwachten dat de druppel erg rond zal blijven, m.a.w. h/vol^1/3 = h/(pi/6.h^3)^1/3 = (6/pi)^1/3 approx 1.25 Volle punten - In het geval dat de oppervlaktespanning erg klein, is, dan is deze kracht niet in staat de bel tegen de zwaartekracht in rond te houden, en zal deze dus aan de onderkant plat worden (een grote zeepbel op je afwassop?). In het extreem wordt de bel precies een halve bol, m.a.w h/vol^1/3 wordt = h/(4/6pi.h^3)^1/3 = (3/2pi)^1/3 approx 0.8 Bonuspunten.