SECTIE STROMINGSLEER naam en studie Nº. Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 31 januari 2006: Uitwerking. 12 m

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT In de rechterbovenhoek van FACULTEIT 3ME / WERKTUIGBOUWKUNDE elke bladzijde vermelden SECTIE STROMINGSLEER naam en studie Nº Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 31 januari 2006: Uitwerking (25) Opgave 1 Een schip van hoogte h (h is dus een vrije parameter) met een lengte L = 120 m heeft een driehoekige doorsnede zoals geschetst, die uniform is over de lengte. Het schip drijft in zeewater van dichtheid ρ W = 1030 kg/m 3, heeft een diepgang van 12 m, en heeft zelf een onbekende maar uniforme dichtheid ρ S. Voor de zwaartekrachtsversnelling geldt g = 9.78 m/s m g h α ρ S a) (5) Bepaal bij de gegeven geometrie de dichtheid ρ S en de massa van het schip, M, beiden als functie van h. Vertikaal evenwicht: Massa * g = verplaatst watervolume * dichtheid water * g, ofwel M = L*12^2 * rho_w = 17.8*10^6 Kg = 17.8 Kton De dichtheid rho_s vinden we als M/Vol_schip = M/(h^2*L) = rho_w*(12/h)^2 ρ W b) (9) Neem x als de coordinaat langs de zijwand van het schip, met x = 0 aan het wateroppervlak, zoals geschetst. Bepaal de drukverdeling p(x), en laat zien dat de opwaartse kracht gelijk is aan het gewicht van het verplaatste water. De (hydrostatische) waterdruk op een diepte z bedraagt (P_A + ) rho_w*g*z; voor een coordinaat x langs de bodem is dat dus p = rho_w*g*x*cos(45) De opwaartse kracht kan op twee manieren; via kracht loodrecht op de wand en dan de twee vectoren optellen, of via vertikale component van de kracht op de wand. 1: Kijk naar één wandpaneel: df = p(x,y).dx.dy; de druk in y-richting (langs schip) is constant, en ook de lengte van het vlakje, L. Daarmee: F = L*int (from 0 to 12sqrt(2))rho_W*g*x*cos(45)*dx = L*rho_W*g* [½x^2] 0 12sqrt(2) = L*rho_W*g*½* 2*12^2*cos(45) = L*rho_W*g*12^2* cos(45). Deze kracht is een vector onder 45 graden omhoog. Erbij optellen van de bijdrage van de andere wand (ook 45 graden omhoog maar de andere kant op, levert een vector exact omhoog van lengte: F = Fz = L*rho_W*g*12^2. Dit is inderdaad het gewicht van het schip. 2: Kijk naar één wandpaneel: dfz = p(x,y).dx.dy*sin(45); analoog voor y-richting. Daarmee: Fz = L*int (from 0 to 12sqrt(2)) rho_w*g*x*cos(45)*dx*sin(45) = L*rho_W*g*[½x^2] 0 12sqrt(2) = L*rho_W*g*½*2*12^2*cos(45)*sin(45) = L*rho_W*g*12^2* ½. Dit is inderdaad de helft van het gewicht. Met de tweede wand erbij hebben we het gewenste resultaat. Het schip wordt nu over een geringe hoek α om de lengte-as gekanteld. Vanuit de theorie weten we dat de metacenter hoogte gegeven wordt door MG = I 0 /v sub - GB, met: MG = de hoogte van het Metacentrum (M) boven het Zwaartepunt (G), GB = de hoogte van het Zwaartepunt (G) boven het Drukkings- of Buoyancypunt (B, het zwaartepunt van het verplaatste water), I 0 = traagheidsmoment van schip op waterlijn, hier 1/12*L*b 3, (b = breedte op de waterlijn), v sub = volume schip onder water. c) (6) Bepaal de maximale hoogte h, en de minimale dichtheid ρ S van het schip opdat het niet vanzelf kantelt. 1/5

2 We weten dat zelfs als het zwaartepunt G van een schip boven het drukkingspunt B ligt, dat het nog altijd stabiel kan zijn voor kleine verstoringen, mits het Metacentrum M maar boven G ligt, ofwel MG moet positief zijn. Het grensgeval is daarmee MG = 0. Invullen in de formule levert: MG = 0 = I 0 /v sub - GB, ofwel stabiel met GB MAX = I 0 /v sub. De laatste vullen we in: I 0 /v sub = L*24^3/12 / L*12^2 = 8 meter Het zwaartepunt van een driehoek ligt op 2/3 van de punt, dus GB = (h-12)*2/3; daarmee h_max = 3/2 * = 24 m, en (met a) rho_min = rho_w/4 d) (5) Laat door integratie van p(x) zien dat het aangrijpingspunt van de opwaartse kracht samenvalt met het zwaartepunt van het verplaatste water, het drukkingspunt. Hint: Omdat de twee wanden loodrecht op elkaar staan, is het voldoende slechts één zijde van de romp te beschouwen; bepaal waar de werklijn van de kracht de symmetrie-as snijdt. Voor de liefhebber. (25) Opgave 2 Een kegellager is een lager dat bestaat uit een stilstaande rechte cilinder van binnenradius 20 mm voor de buitenkant, en een binnencilinder van hoogte 60 mm, met een kegelvormig verlopende buitenkant, zoals (overdreven) geschetst. Door de kegelvorm combineert dit lager een nauwe spleetbreedte (d.w.z. een nauwkeurige positionering) met enige vrijheid van hoekverdraaiing voor de gelagerde as. De spleet is gevuld met lagervet; een viskeuze vloeistof van viscositeit µ = 20 Pa.s. Vanuit het midden gezien kan de spleetbreedte d(y) beschreven worden als: d(y) = * y /30, met y de afstand tot de middenhoogte; (alle maten in mm). De binnencilinder draait met hoeksnelheid 300 RPM om z n as. a) (8) Bereken de schuifspanning op de wand als functie van y. Hint: RPM = Rotatie Per Minuut Dit bleek voor velen een lastig probleem om te starten... Echter, als je weet dat de schuifspanning op een wandelementje τ = µ* u/ r bedraagt, dan is het verder vooral rekenwerk... Omrekenen: ω = 300/60*2π = 31.4 rad/s. Omdat de buitenwand stilstaat hoeven we slechts de snelheid van de binnenwand te bepalen: u(y) = ω.r = ω.r, of ω.(r - ( * y /30)) (beiden zijn goed, het scheelt kwantitatief bijna niets, maar wel veel rekenwerk!...). Dus: τ(y) = µ*ω.r/( * y /30)), of µ*ω.(r - ( * y /30))/( * y /30). In dit probleem zijn de afmetingsmaten in millimeters, maar de viscositeit (Pa.s = Kg/m.s) in meters ). De snelheidsgradient staat als (mm/s) / (mm), dus geen problemen: bv Op y = 0: τ(y=0) = µ*ω.r/0.1 = 1.26*10^5 Pa Op y = 30mm: τ(y=30) = µ*ω.r/0.5 = 2.51*10^4 Pa 2/5

3 b) (10) Bereken hoe groot het koppel is dat nodig is om deze beweging gaande te houden. Hint: het eenvoudigst is het om het koppel op de buitenste cilinder uit te rekenen! Het koppel is de integraal over alle bijdrages aan kracht maal arm. Op een vaste hoogte y hebben we een ringetje van oppervlak 2πR*dy op de buitenncilinderwand, of R - ( * y /30)) op de binnencilinderwand. De arm waarop de kracht werkt is even lang. Je controle antwoord kan dus achteraf luiden: M = oppervlak maal arm maal tau = 2pi*R*h*R*<tau> = 11 Nm. Dit leverde ook al punten op. Maar we gaan uiteraard echt rekenen: Omdat het ding symmetrisch is nemen we alleen de bovenste helft en vermenigvuldigen met 2; ik kan dan de absoluut-tekens weglaten. Ik kies hier de lastigste variant, namelijk op de binnencilinder. Alle maten blijven in mm...: T = 2 * Int(0 to 30){τ(y)* 2π(R - ( * y /30)) (ringetje) * (R - ( * y /30))(arm) * dy(hoogte)} = = 4πµω Int(0 to 30){(R - ( *y/30))^2 * (R - ( *y/30)) / ( *y/30) * dy} = = 4πµω Int(0 to 30){(R - ( *y/30))^3 / ( *y/30) * dy} = = 4πµω Int(0 to 30){[R^3-3R^2*( *y/30) + 3R*( *y/30)^2 - ( *y/30)^3] / ( *y/30) * dy} = = 4πµω Int(0 to 30){[R^3/( *y/30) - 3R^2 + 3R*( *y/30) - ( *y/30)^2]dy} = = 4πµω [R^3 * 30/0.4*ln( *y/30) - 3R^2 y + 3R*(0.1y+0.4*½y^2/30) - (0.1*y+0.08*½y^2/ *1/3y^3/900 )] 0 30 = = 4πµω (R^3 * 30/0.4*ln(5) - 90*R^2 + 3R*(3+6) - ( ) = = 4πµω (600*10^3*ln(5) - 36*10^ *10^3-5.8 = 4πµ (48.3*10^ ) = approx 4πµω (929*10^3) = 7.34*10^9 Kijken we naar de eenheden, dan stonden hier Pa*oppervlak (mm^2) * arm(mm). Alles in meters wordt dus 7.34*10^9 /10^9 = 7.34 N.m. Dit is inderdaad de goede orde grootte vergeleken met het controle antwoord. Had je alles op de buitencilinder betrokken, dan was alles een stuk eenvoudiger; we hadden dan alleen de eerste term overgehouden; M = 4πωµ [R^3 * 30/0.4*ln( *y/30)] 0 30 = 7.62 N.m c) (7) Door de vervorming wordt het smeervet warmer. Bepaal hoeveel warmte we per seconde moeten afvoeren om de temperatuur van het vet constant te houden. Na al dit geweld is dit wellicht gemakkelijker dan gedacht: Het vermogen benodigd om de beweging aan te drijven is koppel maal hoeksnelheid. In een thermisch evenwicht wordt ook juist deze warmte afgevoerd: Daarmee dus P =7.34*31.4 = 230 Watt 3/5

4 (25) Opgave 3 Een rond vat met diameter 40 cm loopt via een gat van diameter 6 cm in de onderkant leeg, en wordt tegelijkertijd aan de bovenkant door een pijp van diameter 4 cm onder een hoek van 30 graden continu bijgevuld. Het vat is gemonteerd aan een tweecomponents krachtopnemer. We mogen de vloeistof van dichtheid ρ = 870 kg/m 3 als wrijvingsloos beschouwen. Voor de zwaartekrachtsversnelling geldt g = 9.81 m/s cm g 36 cm Q In 6 cm 4 cm 30 o F X, F Z a) (6) Bepaal de uitstroomsnelheid van het water, U Uit, en tevens het van boven af U Uit instromende waterdebiet, Q In, als het wateroppervlak constant op 36 cm hoogte blijft. Voor deze wrijvingsloze vloeistof geldt de wet van Bernouilli: p + ½ rho V^2 + rho gz = Cst. Bij zowel uitstroom als oppervlak is de druk atmosferisch, pa; kies bijv. z = 0 aan de onderkant, we vinden dan pa + ½ rho.u_uit^2 + rho.g.0 = pa + ½ rho.u_opp^2 + rho.g.z_opp. Verwaarlozing van U_Opp (40 cm >> 6 cm) levert ½ U_Uit^2 = g.h_opp; ofwel U_uit = sqrt(2.g.h_opp). Invullen levert U_Uit = 2.66 m/s Het in- en het uitstromend waterdebiet zijn aan elkaar gelijk als het niveau constant blijft: Q_in = Q_uit = pi/4*0.06^2*u_uit = 7.51*10-3 m 3 /s = 7.51 l/s b) (12) Het lege vat heeft een massa van 3.5 kg. Bepaal de krachten F X en F Z die de krachtopnemer aangeeft. Kies een controlevolume om de buitenkant van het vat heen, zoals in rood aangegeven: Voor de x-component: F_x + Instromende impuls = 0: F_x = -U_in*A_in*-rho.U_in*cos(30) = -Q_in*-rho.U_in*cos(30) Uit Massabalans volgt U_in = U_uit*A_uit/A_in = 5.98 m/s, en dus F_x = N Voor de z-component: F_z + Gewicht + Instromende impuls - Uitstromende impuls = 0: F_z = -(M_vat + rho.vol_water)*-g - Q_in*rho*(-U_in*sin(30) + U_uit) = F_z = -( *pi/4*0.4^2*0.36)* *10^-3*870*(-5.98*sin(30) ) = F_z = ( )* = N We zien dat voor de vertikale component de impulsflux niet echt relevant is tov het gewicht; voor de horizontale component is het de enige term! c) (7) Op tijdstip t=0 wordt de toevoer stopgezet, en het vat loopt langzaam leeg. Bepaal hoe lang het duurt voordat het vat leeggelopen is. Het vat loopt nu leeg; dus het wateroppervlak daalt: de volumestroom bedraagt A_vat * -dh/dt; deze is dus gelijk aan Q_uit. Deze laatste is niet 7.51 l/s, maar zelf afhankelijk van de hoeveelheid water in het vat! We vinden dat: A_vat*-dh/dt = A_uit*U_uit; dus pi/4*d_vat^2*dh/dt = pi/4*d_uit^2*sqrt(2*g*h); dus dh/dt = (d_uit/d_vat)^2 * sqrt(2g) * -sqrt(h). = -C*sqrt(h) Deze differentiaalvegelijking lost op (via dh/sqrt(h) = -C*dt) tot: 2.sqrt(h(t)) = (2sqrt(h_0) - C*t), ofwel h(t) = (sqrt(h_0) - C*t/2)^2. h(t) = 0 als (C*t/2) = sqrt(h_0), ofwel T_leeg = 2/C*sqrt(h_0) = sec 4/5

5 (15) Opgave 4 Beschouw een centrifugaal pomp met de volgende karakteristieke parameters: Afmeting waaier D, hoeksnelheid waaier ω, pompvermogen P. De vloeistof heeft dichtheid ρ en viscositeit ν. Met behulp van dimensie analyse gaan we afleiden hoe het volume debiet Q van deze pomp zal afhangen van bovengenoemde grootheden. a) (5) Leidt af dat je dit probleem kan beschrijven met de volgende dimensieloze vergelijking: Π 1 = f 1 (Π 2, Π 3 ). Hierin zijn de Π s dimensieloze kentallen. Basisdimensies van de parameters : D, ω, P, ρ, ν, Q: D = m ω = 1/s P = Watt = J/s = Kg.m^2/s^3 ρ = kg/m^3 ν = m^2/s Q = m^3/s We hebben dus 6 parameters met drie basisdimensies; dat levert 3 Π-groepen op b) (5) Bepaal de Π s dusdanig dat het volumedebiet Q alleen in Π 1, het vermogen P alleen in Π 2 en de viscositeit uitsluitend in Π 3 voorkomt. We willen Q in Π_1 stoppen: Dat is eenvoudig; in Q geen kg, en met D en ω redden we het dus: Π_1 = Q/(D^3.ω). We reduceren door Q verder uit te sluiten. We zoeken nu dus twee groepen afhankelijk van D, ω, P, ρ en ν: Er wordt gevraagd om P in Π_2, dus: [P/ρ] = m^5/s^3; verder met D en ω: Π_2 = P/(ρ.D^5.ω^3). We reduceren weer door P verder uit te sluiten. We zoeken nu dus één groep afhankelijk van D, ω, ρ en ν: Er wordt gevraagd om ν in Π_3, dus: Π_3 = ν./(d^2.ω) We reduceren weer door ν verder uit te sluiten. We zoeken nu dus nul groepen afhankelijk van D, ω en ρ. Inderdaad deze zijn dimensioneel allemaal verschillend; hier is géén groep meer van te vormen... Als dimensie voor de (kinematische) viscositeit ν werd ook vaak die van de dynamische viscositeit η genomen: Π_3 = η./(d^2.ω.ρ).volgt dan. Dat antwoord is uiteraard ook goed gerekend. Voor lage waarden van de viscositeit blijkt dat het debiet niet meer van de viscositeit afhangt. We blijken nu een gereduceerde vergelijking: Π 1 = f 2 (Π 2 ), Veronderstel nu dat de functie f 2 (Π 2 ) gegeven is door: f 2 (Π 2 ) = Π 2 * (1 - Π 2 /Π 2Max ). Voorts is gegeven dat D = 0.5 m, ω = 5000 RPM, ρ = 1000 kg/m 3 en P varieert tussen 0 en 100 kw. c) (5) Laat zien dat het maximale debiet dat de pomp kan leveren 14.4 liter/s bedraagt. Er geldt dus dat Q/(D^3.ω) = P/(ρ.D^5.ω^3) * (1 - P/(ρ.D^5.ω^3)/ P/(ρ.D^5.ω^3)_MAX) Omrekenen RPM naar rad/s: ω = 5000/60*2π = rad/s We bepalen eerst Π_2_max = P/(ρ.D^5.ω^3)_Max als 100 KWatt/(1000*0.5^5*523.6^3) = 2.229*10^-5 Het maximum van Π_1 is daar waar df_2 / d Π_2 = 0: ofwel bij ½ Π_2_MAX; de functie f_2 = Π_1_MAX is daar ¼ Π_2_MAX = 5.57*10^-6, Invullen Π_1_MAX = Q_Max/(D^3.ω) ofwel Q_Max = D^3*ω* 5.57*10^-6 = 0.37 l/s. Ook docenten kunnen zich dus vergissen. Herhalen we alles voor ω = 5000/60 = 83.3 (dus het aantal omwentelingen per seconde), dan vinden we Π_2_max = 5.53*10^-3; f_2 = ¼ Π_2_MAX = 1.38*10^-3, en Q_Max = D^3*ω* 1.38*10^-3 = 14.4 l/s. 5/5