Studiewijzer Deeltjesfysica 1

Transcriptie

1 Studiewijzer Deeltjesfysica 1 Atomen, molekulen en kernen Januari 000 Docent: Dr. W. Ubachs Vrije Universiteit Amsterdam

2 Informatie over tijd en plaats van hoorcollege, werkcollege en tentamen Het college deeltjesfysica 1 wordt in het nieuwe dakpan-rooster gegeven in de maand Januari van het tweede jaar, gedurende 5 weken. Nog meer dan voorheen moeten de studenten rekening houden met een grote informatiestroom in een korte tijd. Per week zal 4 uur college worden gegeven en is er een werkcollege van 1 uur. De precieze tijden zijn aangegeven in het studierooster. Het leerboek Bij het college wordt gebruik gemaakt van het boek "Introduction to the Structure of Matter" van Brehm en Mullin. Dit boek kan gekocht worden bij AIK. Uit het leerboek zullen in grote lijnen de hoofdstukken 3, 5-10, 14 en 15 worden behandeld (zie de opmerkingen bij de aparte hoofdstukken welke onderdelen overgeslagen mogen worden). Algemene studieaanwijzingen Vergeleken met het propadeuse jaar ligt het tempo van behandeling hoger. Elk hoofdstuk beslaat zo'n zestig(!) bladzijden en wordt besproken in gemiddeld drie college uren. Dit houdt in dat op college niet alle details uitputtend behandeld kunnen worden, dat niet alle formules kunnen worden afgeleid en dat veel aan de zelfwerkzaamheid wordt overgelaten. Er worden, vooral in het begin van het college, in hoog tempo vele nieuwe begrippen en formules ingevoerd en er wordt van je verwacht dat je snel met deze nieuwe begrippen vertrouwd raakt en ze kunt toepassen. Dat is geen gemakkelijke opgave! Bonusregeling en werkwijze werkcollege Het is van groot belang deel te nemen aan het werkcollege, aangezien daar opgaven worden behandeld over de leerstof. Tijdens het werkcollege zullen de opgaven worden bekeken in groepjes van a 3 studenten (zorg er voor dat een ieder inbreng heeft), waarbij de docent aanwijzigingen geeft, indien nodig. Tot drie werkdagen na het werkcollege kunnen uitwerkingen van de opgaven ingeleverd worden op kamer U38 bij I. Velchev (liefst in de Engelse taal). Ook als de opgaven gezamenlijk zijn opgelost dan is het toch de bedoeling dat eenieder zijn eigen uitwerkingen maakt. Onze ervaring heeft geleerd dat de argumentaties bij de oplossingen soms slordig en in slechte zinnen worden weergegeven en dat die gewoonte wordt voortgezet op tentamen. Probeer dit te voorkomen! Een goede verslaggeving is ook hier van belang. De docent zal een beoordeling bijhouden van de werkcollege-opgaven en bij het tentamen maximaal 1 punt bijtellen. Ook zelfwerkzaamheid tijdens hoorcollege Het afgelopen jaar is er geexperimenteerd met het laten voorbereiden van college-onderdelen door studenten. Dit jaar is het ook weer de bedoeling dat elke student, die het college volgt en tentamen wil doen, een keer een presentatie van minuten geeft over een bepaald detailonderwerp. - -

3 Voorbereiding op het hoorcollege Zorg er voor dat je globaal weet wat er op het college behandeld zal gaan worden. De samenvattingen per hoofdstuk in deze studiewijzer kunnen daarbij goede diensten bewijzen. Kijk ook de paragrafen die behandeld gaan worden alvast door. Probeer de techniek onder de knie te krijgen om door oppervlakkig lezen een beeld te krijgen van de inhoud van een hoofdstuk of paragraaf. Ga bijvoorbeeld na wat de belangrijkste alinea's zijn in een bepaalde paragraaf en wat "toelichting" is. Het is een goede oefening om vooraf al een korte samenvatting te maken van wat er het volgende college behandeld gaat worden. Wanneer je door omstandigheden een college mist, zul je zelf de gemiste leerstof moeten bestuderen. Stel dit niet uit, want dan loop je het risico ook de volgende colleges niet meer te begrijpen. Uitwerking van het hoorcollege Doe dit liefst nog dezelfde dag of op zijn laatst de volgende ochtend. Concentreer je op die onderdelen waarbij je tijdens het college een notitie gemaakt hebt, omdat je het toen niet begreep. Kijk de samenvatting die je vooraf hebt gemaakt nog eens door en ga na of die samenvatting inderdaad de essentiële onderdelen van de behandelde stof bevatte. Tijdens het college zal de docent niet elke afleiding uitvoerig behandeld hebben. Ga na of je deze afleidingen zelf kunt volgen. Een goede student neemt niets zomaar aan! Elke redenering en afleiding zul je in ieder geval één keer gecontroleerd moeten hebben. Reken gemiddeld op 1 uur uitwerking per week. Tentamen De behandelde stof wordt getoetst door middel van een schriftelijk tentamen. Dit tentamen zal plaatsvinden begin februari 000. Degenen die een 6 of meer halen zijn geslaagd; voor degenen die een 5 halen bestaat de mogelijkheid een mondeling tentamen te doen over een gedeelte van de stof. Rond de zomer zal de gelegenheid geboden worden voor een schriftelijk herkansingstentamen, waaraan gekoppeld weer een mogelijkheid tot een mondeling als een 5 gescoord wordt. Er is geen mogelijkheid tot het doen van mondelinge tentamens gedurende het jaar, los van bovenstaande regeling. Voorbereiding van het tentamen Als je de hoor- en werkcolleges regelmatig gevolgd hebt, moet je al een duidelijk beeld hebben van de leerstof. Je zult ook de nodige routine hebben gekregen in het oplossen van vraagstukken. Zorg ook hier ervoor dat je een goede planning maakt. Het is heel vervelend als je vlak voor het tentamen moet constateren dat je weliswaar de eerste hoofdstukken perfect beheerst maar helaas geen tijd meer hebt om de rest goed te bestuderen. Neem de hoofdstukken eerst globaal door voor je ze in detail gaat bestuderen. Bij het tentamen gaat het vooral om het toepassen van kennis bij het oplossen van vraagstukken van een vergelijkbaar nivo als in het werkcollege. Aangezien het bij dit college ook gaat om belangrijke begrippen zal ook gevraagd worden naar een omschrijving of uitleg - 3 -

4 van deze begrippen. De belangrijkste afleidingen behoren ook tot de tentamenstof. Reken op een voorbereidingstijd voor het tentamen van zo'n zestig uur

5 Collegestof Deeltjesfysika 1 Introductie; Quantumstructuur van atomen, Brownse beweging en Rutherfordverstrooiing; Balmer en Rydberg series, Bohr model van atoom; Karakteristieke Röntgenstralen; Stralingsevenwicht in twee-nivo-systeem, Einstein-coefficienten en de Laser. Hoofdstuk 3 BM. Introductie en herhaling belangrijke concepten uit de quantummechanika. Hoofdstuk 5 BM. Waterstof atoom; Radiele golffuncties, Y lm hoekgolffuncties; quantumgetallen voor het waterstof atoom; Energienivos; Selectieregels. Hoofdstuk 7 BM (enkele concepten uit Hoofdstuk 6). Impulsmomenten, Baanimpuls, Zeeman effect. Electron spin. LS-koppeling. Hyperfijnstructuur. (evt. Relativistisch effect en Lamb shift). Hoofdstuk 8 BM. Complexe atomen; onafhankelijk electron model en schillen; Pauli principe en electron anti-symmetrie; Helium atoom; x-rays; Hund s regels. Atoombouw en periodiek systeem. Hoofdstuk 9 BM. Molekulen. Born-Oppenheimer benadering en concept van potentiaal curves. Rotatie van diatomen. Vibraties in harmonische en anharmonische oscillator model. Spectra. puur rotationeel, vibrationeel en electronisch. P en R branches. Impulsmomentkoppeling; Q-branch. Fortrat diagrammen. Franck-Condon principe. Selectieregels. Hoofdstuk 10 BM met enkele uitbreidingen (de Appendix hoort er ook bij). Kernen, introduktie; g-factoren. Semi-empirische massa formule. Deuteron. Magic numbers. Kernschil model. (evt. fijnstructuur in schillen). Hoofdstuk 14 BM. Radio-aktiviteit, introductie. Exponentieel verval en levensduur. α, β, en γ verval. Hoofdstuk 15 BM.

6 Hoofdstuk 3 Atoommodel van Rutherford en Bohr Dit is behandeld bij quantumfysica. Voor dit college is van belang: (de afleiding van Rutherford verstrooiing hoef je niet te kennen). Bedoeling is dat je hierna het volgende weet / kunt: - waarom Rutherford met zijn experimenten kon concluderen dat er in een atoom een kleine pit van positieve lading met afmeting in de orde van m moest zitten, - welke experimentele gegevens Bohr tot zijn model bracht, - welke 3 postulaten Bohr gebruikte bij zijn model, - weten wat K α, L β etc. Röntgenlijnen zijn en hoe ze ontstaan, - de golflengten / energieën van overgangen in waterstofachtige systemen, zoals bijv. Li ++, en van Röntgenovergangen kunnen uitrekenen. Probeer ook zelf de essentiële elementen, zoals nieuwe begrippen, definities en formules uit dit hoofdstuk samen te vatten. Hoofdstuk 5 Quantummechanica Dit is grotendeels bij quantumfysica behandeld. Haal (zo nodig) je kennis op met name ten aanzien van: - de Schrödingervergelijking ( 5.1) - waarschijnlijkheids interpretatie ( 5.) - eigenwaarden en eigenfuncties ( 5.3, 5.6) - operatoren en verwachtingswaarden ( 5.7) - toepassingen op een één-dimensionale doos ( 5.4); één-dim. harmonische oscillator ( 5.5), tunneling ( 5.9) en 3-dim. doos ( 5.11) 5.8 en 5.10 zijn nieuw maakt plausibel dat als een systeem overgaat van toestand n naar toestand n, via uitzending van (elektrische) dipoolstraling, dat dan de overgangs-waarschijnlijkheid evenredig is met het kwadraat van de z.g.n. overgangsamplitudo; x n n, = ψ n ( x) x ψ n ( x)dx legt uit dat - de golffunctie van twee onafhankelijke deeltjes (dus de potentiële energie bevat géén wisselwerkingsterm tussen 1 en ) het produkt is van de golffuncties van deeltje 1 en

7 apart (en de energie gewoon de som van de energieën van beide deeltjes) - je bij identieke deeltjes een golffunctie moet maken die symmetrisch is bij verwisseling van 1 en, of antisymmetrisch. Hoofdstuk 6 De 3-dimensionale Schrödingervergelijking met een centrale potentiaal Dit is grotendeels bij Quantumfysica behandeld. Lees dat deel van het dictaat dus door als voorbereiding op dit college. Doel van wat beschreven wordt in dit hoofdstuk is een quantummechanische behandeling van een 3-dimensionaal systeem, zoals het waterstofatoom (maar er zijn zeer veel andere dergelijke systemen, zoals een nucleon in een kern, een quark in een nucleon, de rotatie van een molecuul etc.) te geven. Nieuw t.o.v. het 1-dimensionale probleem, zoals behandeld in hoofdstuk 5, is: impulsmoment (hiervoor heb je nl. minstens twee dimensies nodig). Dit blijkt gerelateerd te zijn aan het θ,φ deel van de Schrödingervergelijking, als je die in bolcoördinaten schrijft. Er blijken dan quantumgetallen te komen: m en,, gerelateerd resp. aan de z-component van het impulsmoment en de grootte van het impulsmoment. Het radiale deel van de Schrödingervergelijking leidt dan tot een quantumgetal n, dat de opvolgende discrete energietoestanden nummert. Als voorbeeld geven we voor dit hoofdstuk een uitgebreide samenvatting. Zo'n samenvatting kan je helpen om een overzicht te krijgen van de voornaamste punten van een hoofdstuk, wat weer enorm van belang is als je de stof na het college en voor het tentamen bestudeert. Maak dus zelf zulke samenvattingen voor de andere hoofdstukken! Binnen de klassieke mechanica wordt formule (6-) afgeleid, waarmee we het 3-dimensionale probleem, door gebruik te maken van het impulsmoment L (in wezen L ), teruggebracht hebben tot een één-dimensionaal probleem (zie formule 6-4). De stappen zijn: 6.1 Binnen de klassieke mechanica wordt formule (6-) afgeleid, waarmee we het 3- dimensionale probleem, door gebruik te maken van het impulsmoment L (in wezen L ), teruggebracht hebben tot een één-dimensionaal probleem (zie formule 6-4). - Een twee-deeltjessysteem met centrale kracht is equivalent aan een één-deeltjessysteem in de relatieve coördinaat r met als massa de gereduceerde massa. - Het klassieke impulsmoment L is constant, dus de beweging ligt in een vlak. - Splits de impuls in een deel langs r en een deel loodrecht daarop, en schrijf de kinetische energie in termen van p r en L (= rp ). Dit levert (6-) (en (6-4)).

8 6. Ga nu over op een quantummechanische beschrijving met de Schrödingervergelijking, die we daartoe in bolcoördinaten schrijven. Nodig zijn daarbij de operator vorm van p r en L uit formule (6-). Deze worden als volgt afgeleid/berekend: - De vorm van p r wordt afgeleid m.b.v. een golffunctie die alleen van r en t (dus niet van θ en φ) afhangt. Dit levert de vorm (6-9) (bekijk ook de twee mogelijke schrijfwijzen in (6-8)). - Berekening van L z levert een heel simpele formule op: (6-10). N.B.: Deze formule bevat r niet! Vanuit de wiskunde is dat te zien omdat teller en noemer van L z = i x y y x beide r bevatten. Fysisch is er een analogie met p x : p x is als operator i verbonden met differentiëren naar de coördinaat die bij de beweging hoort. De beweging die bij L z hoort is x rotatie om de z-as, met als bijbehorende coördinaat φ. - Op soortgelijke wijze vind je (6-11) voor L x en L y en vervolgens (6-1) voor L (let op dat L x etc. operatoren zijn als je L x uitrekent!) - Hiermee kan de (tijdafhankelijke) Schödingervergelijking als quantummechanisch analogon van (6-) geschreven worden in de vorm (6-13). En vervolgens de tijdonafhankelijke vorm (6-16). 6.3 Dit is een eenvoudige toepassing op een rotatie in het x-y vlak (dus eigenlijk een - dimensionaal probleem!) - De klassieke energie-formule (6-17) is eenvoudig evenals de bijbehorende Schrödingervergelijking. - Met de randconditie (6-18) (éénduidigheid van ψ) krijg je quantumgetal m (geheel getal) en golffunctie (6-1). N.B.: de golffunctie is tegelijkertijd een eigenfunctie van de totale energie (T + V) en van L z. Op p. 311 worden dan nog wat kanttekeningen voor fijnproevers gemaakt. - Het voorbeeld op p. 31 is hoe je rotaties in 3 dimensies moet beschrijven. De eigenfuncties ψ(θ, φ) zijn de Y,m (θ, φ) die in 6.4 behandeld worden (zie het voorbeeld op p. 33). 6.4 Oplossing van de Schrödingervergelijking in bolcoördinaten d.m.v. scheiding van variabelen (kan doordat V alleen van r afhangt). - Scheid ψ in r afhankelijk en (θ, φ) afhankelijk deel zoals in (6.) en breng alles dat r- afhankelijk is naar links en alles dat (θ, φ)-afhankelijk is naar rechts. Beide leden moeten dan gelijk zijn aan een constante, λ genoemd, wat leidt tot een differentiaalvergelijking voor R(r) en één voor Y(θ, φ). - Herhaal de truc door θ en φ te scheiden. Zie (6-6) en (6-7). Dit leidt tot een constante, die vanwege wat we geleerd hebben in 6.3 gelijk m genoemd is. - de Φ vergelijking (6-8) is al in 6.3 opgelost en we weten dat m geheel moet zijn. - De Θ vergelijking (6-9) bevat,en m en is alleen oplosbaar (d.w.z. de functie Θ blijft - 8 -

9 eindig) als λ =,(,+1) met, geheel en, m. - De eigenfuncties Y (zie (6-33) voor de vorm plus (6-34) en (6-35) voor de differentiaalvergelijking waar ze aan voldoen) kunnen dus gelabelled worden met de quantumgetallen, en m en heten bolfuncties (spherical harmonics). Enkele voorbeelden van Y,m (θ, φ) staan in tabel Fysische interpretatie van de (θ, φ) operatoren en de bijbehorende eigenfucties Y,m (θ, φ) Omdat L = - Λ en L z = -i zijn de Y,m eigenfuncties van deze beide operatoren tegelijk met eigenwaarden resp.,(,+1) en m (, geheel en m,). φ - p. 31/3 vertellen dat bij gekozen z-as alleen L z een bepaalde (verwachtings)waarde heeft, maar dat L x en L y onbepaald zijn, wat heel vreemd is. Kennelijk kun je volgens de quantummechanica alleen over de grootte van een impulsmoment en één van zijn componenten (waarvoor we altijd die langs de z-as kiezen) spreken. Dit heeft te maken met Heisenberg : bij oneindig scherpe L z hoort totaal onbepaalde φ. Dit kun je ook zien aan Y,m (θ, φ), die een φ-onafhankelijke waarschijnlijkheidsdichtheid oplevert. Bekijk hiervoor ook het voorbeeld. - In fig. 6-8 staat Y,m (θ, φ) = Θ,m (θ) uitgezet in een polair diagram: voor elke θ is de afstand tot de oorsprong de grootte van Θ,m (θ). Omdat er geen φ-afhankelijkheid is, mag je het plaatje geroteerd denken rond de z-as. 6.6 Pariteit van de Y,m - De pariteitsoperatie r r betekent: r r, θ π θ, φ φ + π. Het blijkt dat Y,m (π θ, φ+π) = (-1), Y,m (θ, φ), dus PY,m (θ, φ) = (-1), Y,m (θ, φ), zodat de pariteit van de Y,m gelijk is aan (-1),. 6.7 De radiale vergelijking en quantisatie van de energie - De radiale vergelijking (6-4) (vgl. (6-4); λ =,(,+1) is al ingevuld) is in wezen een ééndimensionale vergelijking, waarvan we weten (zie hoofdstuk 5), dat bij elke, er een set oplossingen R n, (r) (n=1,, 3,...) is met bijbehorende eigenwaarden E n,. N.B. De energie hangt i.h.a. zowel van n als van, af, maar niet van m (mag niet, want we kunnen de z-as en daarmee de waarde van m kiezen zoals we willen). De totale golffunctie (6-46) is dus een eigenfunctie van de totale energie E=T+V, maar tegelijk ook van L en L z, en heeft pariteit (-1),. N.B. Verschillende fysische systemen verschillen alleen in de vorm van V(r), dus in R n, (r) en E n,, het (θ,φ) deel (en dus L en L z ) is universeel! 6.8 Wat nuttige observaties/opmerkingen, maar in wezen niet iets echt nieuws. - Radiale (6-53) en totale (6-54) waarschijnlijkheidsdichtheid - Voorbeelden van verwachtingswaarden - Verwachtingswaarden van operatoren, waarvan de golffuncties eigenfuncties zijn, zoals L en L z (maar bijv. ook de energie!), zijn gelijk aan de eigenwaarden [(6-60) en (6-6)] - Orthogonaliteit (6-63) en (6-64). Examples kunnen overgeslagen worden

10 Hoofdstuk 7 Het één-elektron atoom Dit hoofdstuk behandelt de radiale Schrödingervergelijking voor het geval dat de centrale potentiaal V(r) de Coulombpotentiaal is. Hieruit blijken dan de Bohr-energieën (met quantumgetal n) te komen! Een belangrijk verschil met het oude Bohr-model is dat er nog meer quantumgetallen zijn: l en m (zie hfdstuk 6) en dat de banen kennelijk niet alleen cirkels zijn (er zijn verschillende waarden van l!). (Sommerfeld had het Bohr model al uitgebreid tot ellipsbanen). Ook kun je de baan van het electron niet meer als een cirkel of ellips tekenen: er is nu een waarschijnlijkheidsdichtheid, het electron kan 'overal' zitten (met wel een concentratie bij de Bohr waarden voor de straal). Op college zullen we alleen de voornaamste punten aanstippen. In wezen wordt er niets nieuws geintroduceerd, maar is dit hoofdstuk een toepassing op een speciaal (en heel belangrijk) geval, wat natuurlijk zeer nuttig is om de ingevoerde begrippen te oefenen aan een concreet voorbeeld. Bestudeer de stof dus zelf met de volgende punten als aanwijzingen. 7.1 De radiale Schrödingervergelijking met Coulombpotentiaal wordt opgelost voor het meest simpele geval l=0 (en dus ook m=0). De laagste energietoestand blijkt precies de Bohrenergie voor n=1 te hebben. 7. Hier wordt behandeld hoe je de algemene vergelijking (7-3) of (7-9) (dus voor l 0 en allerlei energietoestanden) oplost. Kijk naar de randcondities voor R(r). In de praktijk gaat men over op de functie F(ρ), met randconditie (7-14), die een eindig polynoom in ρ moet zijn. Dit leidt tot (7-16), wat een quantisatie van de energie betekent, waarbij het getal n (geheel, n 1) de orde van het polynoom aangeeft. De energie E hangt dus maar van één quantumgetal af, en niet van twee. Dit is een speciale eigenschap van de Coulombpotentiaal en geldt niet algemeen. NB. In 6.7 werd het quantumgetal n gedefinieerd als het getal, dat het aantal knopen van R nl (r) aangaf. De n van Bohr blijkt hier het getal te zijn dat de orde van het polynoom F aangeeft. Het aantal knopen is n-l. Zie de opmerking op p.351. Ga dit na in tabel 1. Vraag: bij welke waarde start n bij de Coulombpotentiaal als l=3, en bij welke waarde in het algemene geval zoals gedefinieerd in 6.7? 7.3 Omdat de energie alleen van n afhangt zijn de nivo s ontaard naar l en m. Bekijk fig.7- goed of je alles snapt: de schaal en onderlinge ligging van de nivo's, de bijbehorende quantumgetallen, etc. Vergelijk dit met het Bohr plaatje. 7.4 Waarschijnlijkheidsdichtheden; zie de plaatjes in figuur 7-4 (gebruikte coordinaten zijn r en θ ). Hier geeft de witting de waarschijnlijkheidsdichtheid ψ( r, θ, φ)

11 aan. Verwar dit niet met fig. 7.3 waar ψ lm ( θ, φ) uitstaat als de lengte van een voerstraal. Kijk of je de plaatjes voor bijv. (p m=0), (3d m=1) en (s m=0) op p.385 snapt (gebruik tabel 7-1 en tabel 6-1). 7.5 Vorm elektrische dipooloperator en daaruit volgende selectieregels voor elektrische dipoolstraling. De laatste zijn te begrijpen en makkelijker te onthouden door je te realiseren dat electrische dipoolstraling een impuls moment 1 en pariteit -1 meeneemt. Haal je kennis van 5.8 op en generaliseer dat tot het 3-dim. geval door x te vervangen door r. Reken dan het θ,φ deel uit. Dat levert (7-41) en (7-4). Fig. 7-6 en 7-7 moet je nu kunnen snappen. Hoofdstuk 8 Intrinsieke spin en magnetische effecten In dit hoofdstuk worden nieuwe zaken behandeld: a) wat gebeurt er als je een (waterstof)atoom in een magnetisch veld zet (Zeemaneffect), en b) elektronen blijken ook een intrinsiek impulsmoment, spin genaamd, te hebben, dat beschreven wordt met een halftallig quantumgetal (s). Het totale impulsmoment is de vectorsom van het baanimpulsmoment en het intrinsieke impulsmoment. De energie van een niveau wordt nu (heel gering) afhankelijk van de hoek tussen de laatste twee (spin-baan wisselwerking). Kernpunten zijn: 8.1 Klassieke theorie van bewegend elektron in (extern) magneetveld. Kan in eerste instantie overgeslagen worden. T.z.t. een keer doorlezen. 8. Wisselwerkingsenergie tussen magnetisch moment van het atoom en uitwendig magneetveld (8-4). Relatie (baan)beweging van geladen elektron en magnetisch moment t.g.v. deze beweging (8-5). Geldt algemeen (zowel in klassieke als quantummechanica). Definitie van g-factor. Larmor precessie t.g.v. wisselwerking met uitwendig magneetveld. Dit is een klassiek beeld, naar quantummechanische behandeling geeft zelfde formule voor bijdrage ω aan de energie. 8.3 Opsplitsing niveau s naar m l in uitwendig magneetveld, (8-10) tot (8-1). Omdat opsplitsing niet afhangt van soort niveau, splitst spectraallijn zich in drieën vanwege de m l = 0, ± 1 selectieregel

12 8.4 Experimentele aanwijzingen voor bestaan intrinsiek magnetisch moment plus hypothese van intrinsiek impulsmoment (spin). Voornaamste is: zelfs in de grondtoestand blijkt het waterstofatoom een magnetisch moment te hebben, dat twee mogelijke z-componenten heeft. (Waarom zijn beide observaties heel vreemd, c.q. niet te verklaren met de tot nu toe behandelde theorie?) 8.5 Formalisme spin volkomen naar analogie van gewoon impulsmoment. Intrinsiek 1 impulsmoment (spin) beschreven met quantumgetallen s (s= -- ) en m s (m s = ) (8-16) voor resp. de grootte van S 1 ±-- en voor S z [(8-17) en (8-15)]. Daarbij behorend magnetisch moment heeft g-factor g s = (8-0). 8.6 Alleen doorlezen. 8.7 Overslaan. Dit heeft alles te maken met: als je systeem selecteert met bepaalde S z, wat vind je dan voor S x of S y (vgl. de discussie over <L x > en <L y > in 6.5). 8.8 Samenstellen van L en S tot J (vector-relatie!). Behandeling J geheel analoog aan L en S, zie formules onder formule (8-7). Leidt tot quantumgetallen j en m; (halftallig!). j loopt van l-s, l-s +1,..., l+s, dus heeft, omdat s= --, maar mogelijke waarden l- -- (mits l>0) en l+ --. m j loopt van -j tot +j. NB.: m l (en m s ) hebben niet meer één waarde; alleen de som m l +m s = m j ligt vast. Kun je je voorstellen zoals in fig. 8-. Spectroscopische notatie (wordt later uitgebreid): voor één elektron in een atoom volstaat het de waarden van n, l en j te geven, dus bijv. 3p 1/ Energieverschil tussen toestanden met j = l ± -- t.g.v. spin-baanwisselwerking: wisselwerking van intrinsiek magnetisch moment van het elektron met het inwendige magneetveld t.g.v. zijn baanbeweging. Het magneetveld t.g.v. de baanbeweging is evenredig met L en het magnetisch moment van de spin is evenredig met S. Hangt dus af van de onderlinge hoek tussen L en S, in formule: van L. S. Afleiding mag overgeslagen worden; vorm formules (8-3) en (8-33) wel begrijpen en wat boven formule (8-37) staat. De hele rekenarij voor <1/r 3 > na (8-34) kun je als kennisgeving aannemen. (8-36) is na (8-33) globaal goed te snappen (ga bijv. na 1 1 waar teller en noemer vandaan komen), terwijl toepassing op j = l + -- en j = l - -- boven (8-37) essentieel is (zie fig. 8-8) Overslaan Combinatie µ l en µ s tot µ j : omdat g l = 1 en g s =, ligt in het algemeen µ l + µ s niet langs J. µ j is projectie hiervan op J as. Bijbehorende g jg (zie 8-51) hangt dan af van relatieve bijdrage l en s deel (en hun orientatie), dus j hangt af van l, s en j. Wisselwerkingsenergie, zie (8-53), (8-54). Omdat g j toestandsafhankelijk is, nu veel overgangen van verschillende energie als atoom in uitwendig magneetveld geplaatst wordt. Bekijk voorbeeld en fig Doorlezen t.z.t. 1 cm waterstoflijn is van groot belang in sterrenkunde. Oorsprong daarvan dus wel kennen

13 Hoofdstuk 9 Complexe atomen Uitbreiding beschrijving tot atomen met meer dan één elektron. Niet exact op te lossen ==> benaderingen nodig: gemiddelde veld benadering ==> in eerste instantie elektronen als onafhankelijke deeltjes (geen wisselwerking) te beschrijven. Eis dat golffunctie antisymmetrisch moet zijn voor wisselwerking van elektronen is nieuw element; leidt tot Pauli-principe en periodiek systeem der elementen. Lees als voorbereiding m.n. 9.1, 9.5 en 9.6 door omdat daarin nieuwe dingen voorkomen. 9. en 9.3 zijn niet moeilijk en grotendeels bekend. 9.4 is toepassing van hoofdstuk 7 en 8 over één-elektron toestanden, gebruik makend van De aantrekkende Coulombkracht tussen de elektronen en de kern plus de afstotende kracht tussen de elektronen onderling (zie 9-4) kan benaderd worden met een gemiddelde Coulomb potentiaal voor elk elektron apart, met een Z eff die van r afhangt (zie 9-5). Hiermee is het veel-elektron probleem teruggebracht tot Z keer een één-elektronprobleem (zie 9-6 en 9-7). De golffunctie voor alle elektronen samen kan dan geschreven worden als het product van de golffuncties van de aparte elektronen (9-8), en de energie als de som van de energieën van de afzonderlijke elektronen (vergelijk het één-dimensionale geval, 5.10). Let wel: dit is een benadering: de kracht tussen de elektronen is slechts gemiddeld verdisconteerd. Bij bijv. een -elektronprobleem beïnvloedt de rest van de wisselwerking wel degelijk de ligging van energienivo s (zie blz. 475). Doordat V(r) geen zuivere Coulomb potentiaal meer is, gaat de energie van een elektron in een bepaalde baan ook van l afhangen, zie formule (9-10) en fig. 9-4 (zonder spin-baan wisselwerking). 9. / 9.3 Het Pauli uitsluitingsprincipe en daarmee de opbouw van de elektronenwolk van de diverse elementen: niet meer dan één elektron per toestand, gekarakteriseerd door de kwantumgetallen: {n, l, (s), m l, m s } of {n, l, (s), j, m j } (de manier van karakteriseren beinvloedt het aantal mogelijke toestanden niet; ga dit zelf na voor de n=3 schil door het aantal mogelijke toestanden te tellen in het (m l, m s ) schema en in het (j, m j ) schema). 9.4 Wat betreft de absorptie spectra is fig. (9-10) met bijbehorende uitleg essentieel en wat emissie spectra betreft fig. (9-14). N.B. Fig. 9-9 suggereert dat het opgesplitst zijn van de K α lijn het gevolg is van een opsplitsing van de L schil in s en p. Dit is niet zo! Zie de correcte uitleg bij fig Ga na wat er in het atoom gebeurt, als je door fig wandelt (begin links): waarom neemt µ toe, waarom zulke terugvallen, waarom slechts één bij K, drie bij L,... bij M etc. Kijk of je de ligging / opsplitsing van de energienivo s van

14 binnenelektronen in fig. 9-1 kunt verklaren (waarom p hoger dan s, waarom p 3/ hoger dan p 1/ ). Met behulp van de selectieregels (welke en waarom) moet fig dan geen probleem zijn. 9.5 Een golffunktie van deeltjes moet symmetrisch (bij bosonen = deeltjes met heeltallige spin) of antisymmetrisch (bij fermionen = deeltjes met halftallige spin) zijn voor verwisseling van de deeltjes, zie formules (9-15) en (9-16). Een antisymmetrische golffunctie kan geschreven worden als in (9-17) (voor fermionen) of algemeen als een zgn. Slaterdeterminant (9-19). 9.6 Voor toestanden van de elektronen in Helium kan je de antisymmetrische golffunctie op manieren maken: ruimtelijk symmetrisch en spin antisymmetrisch, zoals in de grondtoestand (zie formule (9-1)), waarbij de totale spin van de elektronen S = 0 is, of ruimtelijk antisymmetrisch en spin symmetrisch (waarbij S = 1), zie de formules (9-) - (9-6), met als concreet voorbeeld de golffuncties voor de (1ss) 1 S 0 en (1ss) 3 S 1 toestanden, formules (9-7) en (9-8). NB De spectroscopische notatie zoals gegeven op pag. 474 (onderaan) en pag. 475 (bovenaan) is enigzins onvolledig, omdat ze hier alleen het geval behandelen waarbij het 1e elektron in de 1s baan blijft. De volledige schrijfwijze is er één waarbij je van alle elektronen vertelt in welke (n,l) baan ze zitten en daarna hoe ze hun impulsmomenten koppelen tot totale L, S en J. Dus bijv. voor de eerste aangeslagen toestand van He: (1ss) 3 S 1. Kijk goed naar (9-5) en (9-6) hoe een spingolffunctie gemaakt wordt door elektronen. Dit is het eenvoudigste voorbeeld van koppelen van twee impulsmomenten (vergelijk p. 406). Net zoals we L + S tot J gekoppeld hebben, kun je ook twee spins S 1 en S tot een totale S = S 1 + S koppelen, waarbij het kwantumgetal S, behorend bij S, de waarden s 1 -s, s 1 -s + 1,..., s 1 +s kan aannemen, dus voor het geval s 1 = s = 1 -- : S = 0 of 1. De bijbehorende golffuncties zijn die van formules (9-5) en (9-6). Daarin kun je ook zien, dat voor het geval m s = 0, je niet kunt zeggen welk elektron 1 1 spin up (m s = + -- ) of spin down ( (m s = - -- ) heeft. Vergelijk de opmerkingen over m l en m s op blz S = 0 of S = 1 heeft indirect invloed op de energie van de toestanden omdat de bijbehorende ruimtelijke golffunctie anders is en daarmee de potentiële energie t.g.v. de afstotende Coulomb wisselwerking tussen de twee elektronen. Elektrische dipoolovergangen zijn er niet tussen S = 1 en S = 0, omdat de elektrische dipool operator alleen iets met de ruimtelijke golffunktie doet. 9.7 Volle gesloten schillen mogen weggelaten worden omdat ze toch hebben (waarom?). L = S = J = 0 Met de Z eff (r) Coulombpotentiaal en de spin-baansplitsing is dan fig. (9-0) geheel te verklaren. N.B. Voor zo n (effectief) één-elektron atoom gebruik je het {l, (s), j, m j } schema, omdat de spin-baan wisselwerking (na de gemiddelde Coulomb wisselwerking) de belangrijkste wisselwerking is (zie de discussie op blz. 48 over het relatieve belang van V ee en V SL. Bij een één-elektron atoom is V ee = 0, dus is V SL altijd de dominante). 9.8 Twee interacties bepalen de energienivo s van atomen met meer dan één elektron

15 buiten een gesloten schil: de restwisselwerking V ee (9-39) en de spin-baan wisselwerking V SL (9-40). V ee koppelt de verschillende L i aan elkaar, terwijl V SL L i en S i aan elkaar koppelt. Omdat meestal V ee belangrijker is dan V SL koppelt men eerst alle L i s tot een totale L (9-41) en alle S i s tot een totale S (9-4) en dan uiteindelijk J = L + S (LS koppeling). Let op de regels voor de kwantumgetallen l en j behorend bij L en J, formules (9-44), (9-45). Realiseer je dat dit weer nieuwe voorbeelden zijn van de algemene regel dat als je twee impulsmomenten J 1 en J tot J = J 1 + J koppelt, voor de mogelijke waarden van het quantumgetal j behorend bij J geldt: j = j 1 j, j 1 j + 1,, j 1 + j. 9.9 We hebben de drie regels van Hund alleen globaal behandeld: 1) grootste S geeft laagste energie ) grootste L geeft laagste energie 3) laagste J geeft laagste energie (t.g.v. spin-baan wisselwerking) bij minder dan half gevulde schillen Hiermee is de linkerhelft van fig. (9-4) te verklaren. Als beide elektronen in dezelfde ruimtelijke baan zitten, vallen er vanwege het Pauli-principe bepaalde toestanden uit (zie rechterhelft van fig. 9-4). Fijnproevers kunnen dat nagaan aan de hand van p. 489 en tabel 9-. Anderen mogen het als kennisgeving aannemen. Probeer nu zelf fig. (9-5) te verklaren (optreden van nivo s en energie). Kijk ook naar de selectieregel voor overgangen tussen nivo s (p. 493 onderaan tot p. 495 bovenaan). Let op dat j, l en s hier op het hele atoom slaan dus effectief op de actieve elektronen. Vandaar dat l = 0 nu kan. Het elektron dat de sprong maakt moet nog wel l ± 1 hebben. De rest gaat over het (anomale) Zeemaneffect en is in wezen gelijk aan wat je daarover bij één elektron geleerd hebt (zie 8-11) met als enige verschil dat l, s en j nu de quantumgetallen van het hele atoom zijn. Hoofdstuk 10 Molekulen We beperken ons in het algemeen tot twee atomige molekulen, waarbij de kernen zich op afstand R van elkaar bevinden. Deze zijn al ingewikkeld genoeg. Bedenk dat waar het gaat over rotaties, dat we als vanzelfsprekend de rotatie om een enkele traagheidsas beschouwen. Voor grotere molekulen zin rotaties om meerdere assen mogelijk. Nieuw ten opzichte van atomen is: hoe zijn molekulen gebonden en welke nieuwe excitatie-mogelijkheden zijn er naast springen van de elektronen naar een andere baan ook vibraties en rotaties mogelijk

16 Lees als voorbereiding door: - De inleiding De Coulomb potentiaal voor één elektron in H ziet eruit als fig. 10-, de twee mogelijke golffuncties zoals in fig. 10-3; kwalitatief is dat te snappen: het elektron kan links of rechts zitten met gelijke waarschijnlijkheidsdichtheid, dus de golffunctie mag links of rechts gelijk of tegengesteld teken hebben. Al die formules maar even overslaan Met overslaan van de formules zie ik hier dat gepaarde elekronen in bonding orbitals de covalente binding geven Ionenbinding ken ik nog wel uit de scheikunde In de eerste paar alinea s staat waar het om gaat; de rest met preciese berekening geloof ik wel Komt later nog wel eens Ah.. dat wist ik al; rotaties van een molekuul zijn precies hetzelfde als voor een elektron in het waterstofatoom. Dus de eigenfuncties zijn Y lm ( θφ) En vibraties gaan als een harmonische oscillator. Dat weet ik gelukkig ook En hier komen de selectieregels weer. Die spectra moet ik nog maar eens bekijken na het college. Kernpunten zijn: 10.1 Born-Oppenheimer (of adiabatische) benadering: de elektronen bewegen zo veel sneller dan de kernen, dat je voor het oplossen van de elektronen beweging de kernen als vast ten opzichte van elkaar mag beschouwen. Je kunt zo de elektronenenergie (van alle elektronen tezamen) berekenen als funktie van R. Als daar minimum in zit, heb je binding. Bekijk ook de Appendix. Toepassing op H + : (10-3a/b) is probeer golffunktie (is geen exacte oplossing van (10-1), maar goede benadering). Invullen in (10-1) met definities zoals op pag. 505 levert 3 soorten bijdragen tot de energie (zie 10-7): i) (als je elektron in 1s baan stopt): energie van het elektron t.g.v. aantrekking door de eigen kern, ii) G: energie van het elektron t.g.v. de aantrekking door de andere kern plus de onderlinge afstoting van de kernen en iii) + S: een interferentie of tunnelterm, die het product van de golffuncties en φ b ε 1s bevat. Teken van deze term hangt af van het teken in de golffunctie (10-3a/b). De grootte van de termen G en S hangt af van R, zie fig ψ + blijkt bonding orbital te zijn, ψ - antibonding. 10. (10-1) is probeer golffunktie voor de elektronen in H molekuul, die aan Pauli principe voldoet (ruimtelijk symetrisch, voor spin antisymetrisch (S = 0). Analoog aan 10.1 levert (10-1) binding en (10-16) juist niet. Een betere golffunktie is (10-19), waarbij er 4% ( γ = 0. φ a ) kans is dat beide

17 elektronen of bij het ene of bij het andere H atoom zitten ( ionenbinding dus) Ionenbinding ontstaat als de balans van de energie die het kost om een ion te maken kleiner is dan de energie die vrijkomt bij maken van een ion plus de aantrekking tussen de X + en Y - ionen via de Coulombkracht. Overslaan: laatste alinea op pag. 513 tot bijna onderaan op pag Van der Waals-kracht is de kracht tussen twee elektrische (geïnduceerde) dipolen. Daardoor 1/R 6 afhankelijkheid. Overslaan: vanaf 9 e regel op pag. 519 tot en met formule (10-35) Leuk om te lezen. Legt chemische binding uit Schrödingervergelijking voor de kernen in een twee-atomige molekuul (10-39) is volkomen analoog aan die voor waterstofatoom. Voor vaste afstand R geeft hoekdeel de energie, die dan geheel rotatie-energie is: (10-43) Omdat snelheid van rotaties en vibraties (en daarmee de corresponderende energieën) zeer sterk verschillen, mag je voor beschrijving van vibraties de rotatie (energie) constant nemen (zie onderaan pag. 54). Dat leidt tot een harmonische-oscillator vergelijking voor de radiale differentiaalvergelijking: (10-44). NB Ga na hoe rotatie en vibratie-energie van de gereduceerde massa µ afhangen. Is van belang als je molekulen van verschillende isotopen vergelijkt, bijv. H 35 Cl en H 37 Cl De selectieregels zijn van belang. Samen met de energieformule (10-51) geeft dat de lijnen in de emissie of absorptie spectra. Onderscheid tussen gevallen waarbij traagheidsmoment niet verandert [(10-55,56)] en waarbij wel [(10-58,59)]. Behalve de P en R takken kan er ook een Q tak bestaan, waarvoor geldt: j rot = 0, maar waarbij de j = ± 1 uit de verandering van het kwantumgetal van een elektron komt (hierbij moet er dus een elektron van baan veranderen). Y - X + Aangezien de molekulen in het boek van Brehm en Mullen erg summier behandeld worden zijn er toevoegingen gegeven in de Appendix van deze studiewijzer. - Betere afleiding van de Born-Oppenheimer benadering - Potentiele energiekrommen - Afeleiding van rotatie en vibratieniveaus en golffuncties - Het Franck-Condon principe Deze stof hoort ook bij het college/tentamen

18 Hoofdstuk 14 Eigenschappen van kernen en kernmodellen Lees alvast en 14.9 zelf door. Het meeste is al bekend en goed te volgen Opbouw kernen uit protonen en neutronen, eigenschappen van p en n (massa, lading, spin, magnetisch moment/g-factor), en grootte van kernen. R = r 0 A 1/3 geeft constante dichtheid van een kern, onafhankelijk van de grootte Massa s van kernen en bindingsenergie (= energie die vrijkomt bij vorming kern uit losse protonen en neutronen, of die je moet toevoeren om kern te splitsen in losse p en n). Bindingsenergie is gedefinieerd in termen van kern- en nucleonmassa s (zie 14-7), maar kan uitgedrukt worden in atomaire massa s (zie 14-8). Separatie-energie van proton/neutron (= bindingsenergie laatste proton/neutron): (14-10) Semi-empirische massa / bindingsenergie formule (zie 14-1, 14-13) met 5 termen. Zeer belangrijk: bindingsenergie oneindig grote kern (de a 1 term) is evenredig met aantal nucleonen A, niet met aantal paren 1 / A (A-1): verzadiging van de kernkracht t.g.v. zijn korte dracht (elk nucleon ziet alleen zijn naaste buren). De symmetrieterm (a 4 ) is gevolg van Pauli principe (zie 14.6) Opbouw kernen rekening houdend met Pauli principe: p en n gaan opvolgende banen vullen. Overslaan van bovenaan pag. 696 tot In closing.. op pag Eigenschappen van de kernkracht o.g.v. onder andere gemeten eigenschappen van het deuteron: Sterk, korte dracht, aantrekkend, maar op zeer korte afstand weer afstotend, ladingsonafhankelijk, spinafhankelijk (geen gebonden pn systeem met I=0), ten dele niet centraal (deuteron heeft quadrupool moment). V NN ( r) = V o ( r) + V spin ( r) + V tensor ( r, s p, s n ), waarbij V spin ( r) geschreven kan worden als V spin ( r) = V 1 ( r)s p S n. Deuteron golffunctie heeft l=0 en l= deel (anders quadrupoolmoment niet te verklaren) Doorlezen, met overslaan van pag. 708 tot Our model... op pag Diverse aanwijzingen voor magische getallen (ga na welke!)

19 14.10 Plaatje 14-4 met de energieën en kwantumgetallen van de diverse banen komt beetje uit de lucht vallen. Daarom hier een kleine uitbreiding van wat in het boek staat. De potentiaalput (14-34) kan aardig benaderd worden met die voor een 3- dimensionale harmonische oscillator: 1 V HO ( r) = V o + --kr. Hiervan zijn de oplossingen analytisch te beschrijven. De radiale golffuncties R nl (r) zijn een combinatie van een polynoom en een e-macht. Let op: het radiale kwantumgetal n, dat 1,, 3,... etc. kan zijn, is louter een tellertje (n-1 is het aantal nulpunten van R nl (r)) en beperkt op generlei wijze de waarde van l. De energie wordt gegeven door E = V 0 +(N + 3 met N = (n -1) + l. -- ) ω 3 1 De -- ω is te herkennen als 3 x -- ω, omdat een 3-dim. harmonische oscillator te schrijven is als de som van h.o. in de x, y en z richting, dus 3 x een ééndimensionale h.o, zoals beschreven in 5.5. N is dus het totale aantal oscillatorkwanta. Op deze wijze krijg je dus de volgende banen: N = 0 n = 1 l = 0: 1s N = 1 n = 1 l = 1: 1p N = n = 1 l = : 1d + n = l = 0 : s N = 3 n = 1 l = 3: 1f + n = l = 1 : 1p s, 1d zijn ontaard qua energie. Dit geldt voor een zuivere h.o. potentiaal. Laat je V(r) --> 0 gaan voor r --> i.p.v. naar zoals bij de h.o., dan zakt de 1d baan wat t.o.v. s en krijg je de banen zoals getekend in fig NB Verwar het hoofdkwantumgetal n in het Bohrmodel niet met het radiale kwantumgetal n hier (vergelijk de opmerkingen bij 7.): a) gezien de energieformule is n Bohr veel meer te vergelijken met N b) aantal knopen in R nl (r) bij het waterstofatoom is n - l - 1 en hier n - 1 c) zoals al gezegd: bij waterstofatoom beperking op l bij gegeven n: l < n (vgl. opm. b), dus eerste p baan is p. Bij 3-dim. h.o. zijn n en l geheel onafhankelijk, dus bijv. 1s, 1p, 1d, 1f,... s, p, d, etc. banen. Dit leidt uiteindelijk, met de spinbaan wisselwerking, tot fig. 14-7, met (nlj) waarden van de banen en de magische getallen Spin (en pariteit) van kernen bepaald door laatste ongepaarde nucleon(en). Volle schillen geven automatisch J=L=S=0. Paren protonen of paren neutronen koppelen (in de grondtoestand van een kern) tot I π = 0 +. Alle even-even ker

20 nen hebben dus I π = 0 +. M.b.v. een formule geheel analoog aan die voor g j bij elektronen in een atoom (formule 8-5) kun je magnetisch moment voor proton/neutron in een baan uitrekenen, zie (14-43), (14-44). Afleiding op pag. 74 alleen overlezen Energieniveauschema van bijv. 3 isobaren zoals geschetst in fig leidt geheel naar analogie van de gewone spin tot invoering van de grootheid isospin, aangeduid met T, met z-component T z. De bijbehorende kwantumgetallen zijn: T = 1 / voor het nucleon, met T z = + 1 / voor het proton en T z = - 1 / voor het neutron. Voor een NN systeem krijg je dus de mogelijkheden (zie p.733/734): pp: T = 1, T z = 1 pn: T = 1, T z = 0 of T = 0, T z = 0 nn: T = 1, T z = 1 S = 0 T = 1 S = 1 T = 0 pp pn nn T z = 1 T z = 0 T z = -1 Omdat de kernkrachten ladingsonafhankelijk zijn, hangt de energie van een kernniveau (afgezien van de bijdrage van de Coulombkracht) niet van de waarde van T z af

21 Hoofdstuk 15 Radioactief verval e.d α, β en γ verval met bijbehorende reactievergelijkingen. Let erop dat bij β- verval (p. 743) nog niet over neutrino s gesproken wordt. Ouderdomsbepaling met behulp van verval 14 C. 15. Definitie gemiddelde levensduur τ en relatie met desintegratieconstante γ (bij anderen vaak aangeduid met λ) en halveringstijd T 1/. Algemene oplossing samengesteld verval (vergl. 15-7): γ 1 N ( t) N 1 ( 0) (e γ t = γ 1 γ e γ 1t ) Ga (door redenering en vanuit deze formule) na dat als γ 1 >>γ eigenlijk eerst N 1 geheel overgaat in N, waarna N vervalt en dat als γ 1 << γ er snel evenwicht ontstaat, waarbij γ 1 N 1 = γ N en ze beide met e γ 1t afnemen Massabalans (15-8) in combinatie met de BE/A kromme (fig. 14-1) en de relatief hoge BE/A van het α-deeltje leidt ertoe dat α-verval mogelijk is bij zware kernen (Q moet groter dan nul zijn). Q wordt verdeeld over de A-4 kern en het uitgezonden α-deeltje (15-10). Het tunnel argument verklaart dan de levensduur en het feit dat bijvoorbeeld 1 C verval in de praktijk niet optreedt, hoewel het energetisch wel kan. p. 755 van Other conservation... tot The most remarkable... overslaan Argumenten voor uitzending (anti) neutrino. Let op: op p. 761 worden de symbolen β - en β + gebruikt om elektron + antineutrino (of positron plus neutrino) aan te duiden, terwijl gebruikelijk is om met β - en β + alleen het elektron resp. positron aan te duiden. Massabalans en Q-waarde (verschillend op atoommassa niveau voor β -, β + en elektronvangst), zie de formules (15-14), (15-15) en (15-17). Ga nu na of je fig en begrijpt Overlezen tot onderaan p Dan overslaan tot p. 769 let us consider.... Toegestaan verval is verval waarbij e - + v geen baanimpulsmoment meenemen (l=0). Verboden overgangen hebben l > Selectieregels: i * = i + k - 1 -

22 π i π f = (-) k voor E straling π i π f = (-) k + 1 voor M straling k (bij meeste auteurs L) is totaal impulsmoment van de straling. E straling waarschijnlijker dan M straling. Waarschijnlijkheid neemt af met k (levensduur neemt toe). Pas dit toe op bijv > + verval (vgl. het example op p. 778) Invloed terugstoot energie K bij emissie en absorptie. Verhouding K t.o.v. Γ van belang. M.b.v. Dopplershift te compenseren of terugstootvrij werken (Mössbauer) 15.8, 9 Overslaan Massa/energiebalans en massaverdeling bij splijting (vgl. BE/A kromme). Splijtingsproducten neutronrijk --> β - verval. Kettingreactie. Overslaan p. 799 vanaf Let us introduce... tot p. 801 Let us turn.... Fig wel begrijpen Massa/energiebalans bij fusie (vgl. BE/A kromme). Alleen principe van de diverse cycli kennen. Rest lezen. Omdat het niet in het boek behandeld wordt en maatschappelijk van groot belang is, hier wat over: dosimetrie. De energie afgifte van straling in materie wordt uitgedrukt in Joule per kg. De eenheid hiervoor is 1 Gray = 1 J/kg. Een oudere eenheid is de rad: 1 rad = 10 - Gray. Het biologische effect van de afgegeven hoeveelheid energie hangt af van de soort straling. Hiervoor is ingevoerd het R(elatieve) B(iologische) E(ffect) getal. RBE is 1 voor γ en elektron (E > 30keV) straling, voor elektron met E < 30keV, 10 voor protonen, neutronen en α-deeltjes en 0 voor zware ionen (zwaarder dan He). Oorzaak is dat snelle afremming tot meer schade leidt. De eenheid voor biologische dosis is de Sievert. Dus bijvoorbeeld 0.1 Gray bij α-straling komt overeen met 1Sv. Oudere eenheid is de rem: 1 rem = 10 - Sv. Natuurlijke achtergrondstraling komt gemiddeld overeen met msv / jaar, maar vliegreizen, wintersport, Röntgenfoto s en het soort huis waarin je woont hebben ook invloed. 5Sv geeft sterftekans van 50%. - -

23 1. De Born-Oppenheimer benadering Appendix Molekuulfysika De Hamiltoniaan voor een systeem van kernen en elektronen kan geschreven worden als: H = m i M A + V ( R, r) A i A waarbij de sommatie i refereert aan de elektronen en A aan de kernen. Hier correspondeert de eerste term aan de rechterkant met de kinetische energie van de elektronen, de tweede term met de kinetische energie van de kernen en de derde term met de Coulomb energie a.g.v. van de electrostatische aantrekking en afstoting tussen de elektronen en de kernen. De potentiele energie term is gelijk aan: V ( R, r) = A, i Z A e Z A Z B e + 4πε 0 r Ai πε 0 R A R B A > B De negatieve termen geven aantrekking weer, terwijl de positive termen Coulomb-afstoting beschrijven. Merk op dat een behandeling met deze Hamiltoniaan een niet-relativitische beschrijving van het molekuul geeft, waarin dus ook alle spin-effecten zijn weggelaten. Neem nu aan dat de golffunktie van het gehele molekulaire systeem separabel is en geschreven kan worden als: i > j e πε 0 r ij Ψ mol ( r i, RA) = ψ el ( r i ; R)χ nuc ( R) waarbij ψ el de elektronische golffunctie representeert en χ nuc de kerngolffunktie. In deze beschrijving is ervan uitgegaan dat de elektronische golffunktie uitgerekend kan worden bij een bepaalde kernafstand R. Dan is: i ψel χ nuc = χ nuc i ψel Aψel χ nuc = ψ el Aχnuc + ( A ψ el )( A χ nuc ) + χ nuc Aψel De Born-Oppenheimer benadering houdt nu in dat de afgeleide van de elektronische golffunktie naar de kerncoordinaten klein is, d.w.z. A ψ el is verwaarloosbaar klein. In woorden uitgedrukt betekent dit dat de kernen stationair zijn, en de electronen hun posities instantaan aanpassen aan het potentiaalveld van de kernen. De rechtvaardiging hiervoor vindt zijn oorsprong in het feit dat de massa van de elektronen enkele duizenden malen kleiner is dan de massa van de kernen. Inderdaad is de BO-benadering het minst goed voor het lichte H -molekuul. Als we nu de separabele golffunktie invullen in de golfvergelijking: HΨ = EΨ

24 dan volgt: e HΨ mol χ nuc m Z i A e = πε 0 r ij 4πε 0 r ψel + Ai i i > j A, i Z ψ A Z B e + el πε 0 R A R B M A χnuc = E total Ψ mol A A > B A De golfvergelijking voor het elektronische deel kan nu apart geschreven en opgelost worden: m i + i i > j e πε 0 r ij A, i Z A e πε 0 r ψel ( r i ; R) = E el ( R)ψ el ( r i ; R) Ai en wel voor iedere waarde van R. De resulterende elektronische energie kan dan ingevuld worden in de golfvergelijking die de kernbeweging beschrijft: A M A + A A > B Z A Z B e πε 0 R A R χnuc ( R) + E el ( R)χ nuc ( R) = E total χ nuc ( R) B We hebben dus nu in zekere zin twee gescheiden problemen gebaseerd op twee golfvergelijkingen. De eerste behelst het elektronische deel, waarbij het gaat om een elektronische golffunktie ψ el ( r i ; R) en een energie E el ( R). Deze energie is gerelateerd aan de elektronische struktuur van het molekuul naar analogie van die van atomen. Merk op dat het hier gaat om een (oneindige) serie van energieniveaus, een grondtoestand en aangeslagen elektronische toestanden, afhankelijke van de configuraties van alle elektronen. Door de eigenwaarden te zoeken van de elektronische golfvergelijking voor iedere waarde van R vinden we een functie voor de elektronische energie, niet een enkele waarde. Oplossing van het kerndeel geeft dan eigenfunkties χ nuc ( R) en eigenenergieen: E nuc = E total E el ( R) = E vib + E rot. Potentiele energie curven De elektrostatische afstoting tussen de positief geladen kernen: Z V N ( R) A Z B e = πε 0 R A R A > B B is een functie van de internukleaire afstand(en) net als de elektronische energie. Deze twee ter