Can one hear the shape of several drums? Jan van Neerven, Inter TU studiedag 2016

Transcriptie

1 Can one hear the shape of several drums? Jan van Neerven, Inter TU studiedag 2016

2 Mathematics is the part of physics where experiments are cheap. V.I. Arnol d, On teaching mathematics V.I. Arnol d

3 Mathematics is the part of physics where experiments are cheap. To the question what is a French primary school pupil replied: 3 + 2, since addition is commutative. V.I. Arnol d, On teaching mathematics V.I. Arnol d

4 Het onderwerp van deze voordracht is een fraai voorbeeld van:

5 De Laplace operator = 2 x y duikt overal op: z2

6 De Laplace operator = 2 x y duikt overal op: z2 diffusievergelijking u t = u

7 De Laplace operator = diffusievergelijking u = u t duikt overal op: x 2 y 2 z 2 vloeistofmechanica u = u (u )u t

8 De Laplace operator = diffusievergelijking u = u t duikt overal op: x 2 y 2 z 2 vloeistofmechanica u = u (u )u t golfvergelijking 2u = u t 2

9 De Laplace operator = diffusievergelijking u = u t Reden? duikt overal op: x 2 y 2 z 2 vloeistofmechanica u = u (u )u t golfvergelijking 2u = u t 2

10 De Laplace operator = diffusievergelijking u = u t duikt overal op: x 2 y 2 z 2 vloeistofmechanica u = u (u )u t golfvergelijking 2u = u t 2 Reden? Symmetrie! De Laplace operator is (in zekere zin) de enige translatieen rotatie-invariante lineaire operator op C (Rn ).

11 Het verband tussen de golfvergelijking en muziek werd al opgemerkt door Pythagoras (ca v.chr.) Alles is getal Pythagoras (volgens Rafael: De Atheense School )

12 Pythagoras ontdekte het verband tussen trillingsfrequenties en toonhoogten: Harmonieuze intervallen = geheeltallige frequentieverhoudingen

13 Frequenties van een object D Eigenwaarden van op D

14 Frequenties van een object D Eigenwaarden van op D Stelling: De Laplace operator heeft een discrete rij eigenwaarden. Gevolg: Ieder object heeft een discrete rij frequenties ω n : 0 ω 1 ω 2 ω n

15 Frequenties van een object D Eigenwaarden van op D Stelling: De Laplace operator heeft een discrete rij eigenwaarden. Gevolg: Ieder object heeft een discrete rij frequenties ω n : 0 ω 1 ω 2 ω n Voorbeeld: Voor een snaar geldt ω n = n

16 Voorbeeld: Een rond membraan mode 01 ω =

20 Voorbeeld: Een rond membraan mode 21

26 Dit leidt tot een interessant wiskundig probleem: (Mark Kac, 1966): Can one hear the shape of a drum?

27 Dit leidt tot een interessant wiskundig probleem: (Mark Kac, 1966): Oftewel: Can one hear the shape of a drum? Karakteriseren de frequenties het object?

28 Dit leidt tot een interessant wiskundig probleem: (Mark Kac, 1966): Oftewel: Can one hear the shape of a drum? Karakteriseren de frequenties het object? Wiskundig uitgedrukt: Volgt uit σ( D1 ) = σ( D2 ) dat D 1 en D 2 congruent zijn?

29 Gegeven een begrensd gebied D in R n, zij σ( D ) = {λ 1, λ 2,... }, geordend volgens 0 λ 1 λ 2...

30 Gegeven een begrensd gebied D in R n, zij σ( D ) = {λ 1, λ 2,... }, geordend volgens 0 λ 1 λ 2... Laten we eens kijken naar N(λ) := #{n 1 : λ n < λ}. Voorbeeld: De kubus Q = [0, a] [0, b] in R 2.

31 Gegeven een begrensd gebied D in R n, zij σ( D ) = {λ 1, λ 2,... }, geordend volgens 0 λ 1 λ 2... Laten we eens kijken naar N(λ) := #{n 1 : λ n < λ}. Voorbeeld: De kubus Q = [0, a] [0, b] in R 2. Eigenfuncties: φ j,k (x, y) = sin( jπ a x) sin( kπ b y) met eigenwaarden λ j,k = ( jπ a )2 + ( kπ b )2 (j, k N)

32 Gegeven een begrensd gebied D in R n, zij σ( D ) = {λ 1, λ 2,... }, geordend volgens 0 λ 1 λ 2... Laten we eens kijken naar N(λ) := #{n 1 : λ n < λ}. Voorbeeld: De kubus Q = [0, a] [0, b] in R 2. Eigenfuncties: φ j,k (x, y) = sin( jπ a x) sin( kπ b y) met eigenwaarden λ j,k = ( jπ a )2 + ( kπ b )2 (j, k N) N(λ) = #{(j, k) N N binnen de ellips ( π a x)2 + ( π b y)2 λ}

33 Gegeven een begrensd gebied D in R n, zij σ( D ) = {λ 1, λ 2,... }, geordend volgens 0 λ 1 λ 2... Laten we eens kijken naar N(λ) := #{n 1 : λ n < λ}. Voorbeeld: De kubus Q = [0, a] [0, b] in R 2. Eigenfuncties: met eigenwaarden φ j,k (x, y) = sin( jπ a x) sin( kπ b y) λ j,k = ( jπ a )2 + ( kπ b )2 (j, k N) N(λ) = #{(j, k) N N binnen de ellips ( π a x)2 + ( π b y)2 λ} 1 λa λb 4 π = A(Q) π π 4π λ.

34 In 1912 bewees Hermann Weyl: Stelling (Weyl) In d dimensies geldt A(D) = (2π)d N(λ) lim ω d λ λ d/2 met ω d het volume van de eenheidsbol. Hermann Weyl

35 In 1912 bewees Hermann Weyl: Stelling (Weyl) In d dimensies geldt A(D) = (2π)d N(λ) lim ω d λ λ d/2 met ω d het volume van de eenheidsbol. Met andere woorden: One can hear the area of a drum! Hermann Weyl

36 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H0 1 (D) met dim(u) = n.

37 De oberservatie die schuilgaat achter deze mysterieuze formule is vrij eenvoudig: (i) De eigenvectoren u n vormen een orthonale basis voor L 2 (D); (ii) Via partiële integratie zien we dat u 2 L 2 (D) = u u = = D ( D ) (u u j ), u = j=1 u u ( ) (u u j ), u = λ j (u u j ) 2. j=1 j=1

38 De oberservatie die schuilgaat achter deze mysterieuze formule is vrij eenvoudig: (i) De eigenvectoren u n vormen een orthonale basis voor L 2 (D); (ii) Via partiële integratie zien we dat u 2 L 2 (D) = u u = = D ( D ) (u u j ), u = j=1 u u ( ) (u u j ), u = λ j (u u j ) 2. j=1 j=1 (iii) Als u u 1,..., u n 1, λ j (u u j ) 2 = λ j (u u j ) 2 λ n j=1 j=n j=n j=1 (u u j ) 2 = λ n (u u j ) 2 = λ n u 2 L 2 (D).

39 De oberservatie die schuilgaat achter deze mysterieuze formule is vrij eenvoudig: (i) De eigenvectoren u n vormen een orthonale basis voor L 2 (D); (ii) Via partiële integratie zien we dat u 2 L 2 (D) = u u = = D ( D ) (u u j ), u = j=1 u u ( ) (u u j ), u = λ j (u u j ) 2. j=1 j=1 (iii) Als u u 1,..., u n 1, λ j (u u j ) 2 = λ j (u u j ) 2 λ n j=1 j=n j=n Hieruit volgt het minimax lemma gemakkelijk: (u u j ) 2 = λ n j=1 (u u j ) 2 = λ n u 2 L 2 (D). : iedere n-dimensionale U bevat een vector u 0 met u u 1,..., u n 1; : neem een n-dimensionale U die u n bevat.

40 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H0 1 (D) met dim(u) = n.

41 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H 1 0 (D) met dim(u) = n. Er geldt D D = λ n λ n wegens H 1 0 (D ) H 1 0 (D).

42 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H0 1 (D) met dim(u) = n. Er geldt D D = λ n λ n wegens H0 1(D ) H0 1(D). Weyl geldt voor kubussen.

43 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H0 1 (D) met dim(u) = n. Er geldt D D = λ n λ n wegens H0 1(D ) H0 1(D). Weyl geldt voor kubussen. Weyl geldt voor eindige verenigingen van kubussen.

44 Stelling van Weyl, schets van het bewijs: Minimax lemma: De n-de eigenwaarde wordt gegeven door de formule ( u 2 ) L λ n = inf sup 2 (D) dim(u)=n u U u 2 L 2 (D) waarbij het supremum wordt genomen over alle deelruimten U van H0 1 (D) met dim(u) = n. Er geldt D D = λ n λ n wegens H0 1(D ) H0 1(D). Weyl geldt voor kubussen. Weyl geldt voor eindige verenigingen van kubussen. Benader D met eindige verenigingen van kubussen.

45 Terug naar de kubus Q = [0, a] [0, b] Herinner de bovengrens N(λ) 1 λa λb 4 π π π.

46 Terug naar de kubus Q = [0, a] [0, b] Herinner de bovengrens N(λ) 1 λa λb 4 π π π. Als we de ellips één unit naar links en één unit naar beneden verschuiven krijgen we de ondergrens N(λ) 1 λa λb λa λb 4 π π π π π

47 Terug naar de kubus Q = [0, a] [0, b] Herinner de bovengrens N(λ) 1 λa λb 4 π π π. Als we de ellips één unit naar links en één unit naar beneden verschuiven krijgen we de ondergrens N(λ) 1 λa λb λa λb 4 π π π π π = A(Q) 4π λ L(Q) λ 2π (met A = oppervlak, L = omtrek).

48 Ake Pleijel bewees in 1954: Stelling. Voor een domein D R 2 met gladde rand geldt, als λ : N(λ) = A(D) 4π λ L(D) λ + O(1) 4π

49 Ake Pleijel bewees in 1954: Stelling. Voor een domein D R 2 met gladde rand geldt, als λ : N(λ) = A(D) 4π λ L(D) λ + O(1) 4π Met andere woorden: One can hear the circumference of a drum

50 Ake Pleijel bewees in 1954: Stelling. Voor een domein D R 2 met gladde rand geldt, als λ : N(λ) = A(D) 4π λ L(D) λ + O(1) 4π Met andere woorden: One can hear the circumference of a drum In combinatie met de isoperimetrische ongelijkheid L 2 4πA volgt ook: One can hear whether a drum is circular

51 Het blijkt makkelijker de eigenwaarden te tellen aan de hand van de warmtehalfgroep e t : Voor t 0 geldt de spoorformule tr(e t D ) = A(D) 4πt 1 4 L(B) 4πt + O(1). Dit is slechts een topje van de ijsberg! Tal van diepe verbanden met andere delen van de wiskunde.

52 Mark Kac gaf in 1966 een heuristisch argument voor de formule: Stelling. Voor D R 2 samenhangend met gladde rand geldt, als λ : tr(e t D ) = A(D) 4πt met g het aantal gaten in D. 1 4 L(B) + 1 (1 g) + o(1) 4πt 6 Een bewijs werd in 1967 gevonden door McKean en Singer.

53 Mark Kac gaf in 1966 een heuristisch argument voor de formule: Stelling. Voor D R 2 samenhangend met gladde rand geldt, als λ : tr(e t D ) = A(D) 4πt met g het aantal gaten in D. 1 4 L(B) + 1 (1 g) + o(1) 4πt 6 Een bewijs werd in 1967 gevonden door McKean en Singer. One can hear the number of holes in a drum

54 Mark Kac gaf in 1966 een heuristisch argument voor de formule: Stelling. Voor D R 2 samenhangend met gladde rand geldt, als λ : tr(e t D ) = A(D) 4πt met g het aantal gaten in D. 1 4 L(B) + 1 (1 g) + o(1) 4πt 6 Een bewijs werd in 1967 gevonden door McKean en Singer. One can hear the number of holes in a drum Voor domeinen met hoeken draagt iedere hoek een extra factor bij.

55 Carolyn Gordon, David Webb en Scott Wolpert (1992): One cannot hear the shape of a drum!

56 Carolyn Gordon, David Webb en Scott Wolpert (1992): One cannot hear the shape of a drum! Twee niet-congruente isospectrale gebieden

57 Nog een voorbeeld:

58 Bewijs van isospectraliteit via paper folding :

59 Bewijs van isospectraliteit via paper folding : Gegeven een eigenfuctie φ = λφ voor gebied 1 construeren we een eigenfunctie ψ = λψ voor gebied 2 door plakken en knippen

60 Bewijs van isospectraliteit via paper folding : Gegeven een eigenfuctie φ = λφ voor gebied 1 construeren we een eigenfunctie ψ = λψ voor gebied 2 door plakken en knippen Bijvoorbeeld: ψ tegel 1 := φ tegel 1 + φ tegel 2 φ tegel 4

61 Bewijs van isospectraliteit via paper folding : Gegeven een eigenfuctie φ = λφ voor gebied 1 construeren we een eigenfunctie ψ = λψ voor gebied 2 door plakken en knippen Bijvoorbeeld: ψ tegel 1 := φ tegel 1 + φ tegel 2 φ tegel 4 = ψ = λψ op het inwendige van iedere tegel (want: idem dito voor φ; ψ = 0 op de rand van gebied 2 (want: cancelling op de vouwen).

62 Steve Zelditch (2009): One can hear the shape of a drum wanneer die: een gladde rand heeft, convex is, en een symmetrie-as bezit. Steve Zelditch

63 Tot slot: Can one hear the shape of several drums? Play

64 Tot slot: Can one hear the shape of several drums? Play A.k.a. Cocktail Party Problem: Is het mogelijk reconstrueren wat iedereeen zegt uit het geroezemoes op een cocktailparty?

65 Wiskundige formulering: Een frame in een Hilbertruimte H is een verzameling (f i ) i I met de eigenschap dat voor alle f H A f 2 i I (f f i ) 2 B f 2. Gegeven een frame (f i ) i I, is het mogelijk om f te reconstrueren uit de aboslute waarden (f fi ) van de coëfficienten van f?

66 Wiskundige formulering: Een frame in een Hilbertruimte H is een verzameling (f i ) i I met de eigenschap dat voor alle f H A f 2 i I (f f i ) 2 B f 2. Gegeven een frame (f i ) i I, is het mogelijk om f te reconstrueren uit de aboslute waarden (f fi ) van de coëfficienten van f? N.B.: Fourieranalyse laat zien hoe f uit de coëfficienten (f f i ) gereconstrueerd kan worden.

67 Met behulp van methoden uit de algebraïsche meetkunde bewezen Balan, Casazza, Edidin in 2006: Stelling. Voor een generiek frame met minstens 2n 1 elementen in een n-dimensionale Hilbertruimte is bijectief. ±f { (f f i ) } i I

68 Met behulp van methoden uit de algebraïsche meetkunde bewezen Balan, Casazza, Edidin in 2006: Stelling. Voor een generiek frame met minstens 2n 1 elementen in een n-dimensionale Hilbertruimte is bijectief. ±f { (f f i ) } i I Het cocktail party probleem heeft diepe verbanden met het in 2013 opgeloste Kadison-Singer probleem uit de kwantummechanica.

69 Ondertussen, in de deep karaoke community:

70 Ondertussen, in de deep karaoke community: Let dus op wat u zegt over deze voordracht tijdens de borrel!

71 Literatuur: W. Arendt, R. Nittka, W. Peter, F. Steiner, Weyl s law: spectral properties of the Laplacian in mathematics and physics, in: Mathematical Analysis of Evolution, Information, and Complexity (2009), R. Balan, P. Casazza, D. Edidin, On signal reconstruction without phase, Appl. Comput. Harm. Anal. 20 (2006), O. Giraud, K. Thas, Hearing shapes of drums: mathematical and physical aspects of isospectrality, Rev. Mod. Phys. 82 (2010), C. Gordon, D.L. Webb, and S. Wolpert, One cannot hear the shape of a drum, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), Kac, Mark. Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly 73 (1966), H. Weyl, Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte, Nachr. Gesellschaft Wissensch. Göttingen, Math.-Phys. Klasse (1911), S. Zelditch, Inverse spectral problem for analytic domains. II. Z 2-symmetric domains, Ann. of Math. 170 (2009),

72 Dank voor uw aandacht!