(re)creatieve wiskunde. Jaap Top

Transcriptie

1 (re)creatieve wiskunde Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT 10 mei 2014 (alumnidag, Groningen) 1

2 (re)creatief?! wiskunde vraagt creativiteit wisconst (de kunst van zeker weten. Simon Stevin ) creëren = scheppen, maken. re -creëren... recreatie: ontspanning, vermaak 2

3 Recreatieve wiskunde is populair Uit artikel van H.W. Lenstra (2005): Profinite integers do not enjoy widespread popularity among mathematicians. They form an important technical tool in several parts of algebraic number theory and arithmetic geometry, but their recreational virtues have never been recognized. 3

4 Er zijn heel veel boeken over recreatieve wiskunde. 4

5 Een van de klassiekers is gepubliceerd in 1612: Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres (aangename en verrukkelijke problemen over getallen) Claude Gaspard Bachet de Méziriac ( ) 5

6 Een Nederlandstalig boek over recreatieve wiskunde verscheen in 1636 (vele malen herdrukt) Auteur: Wynant van Westen, kerkorganist te Nijmegen Het boek is een bewerkte vertaling van Récréations Mathématiques (1624) van de Franse Jezuïet Jean Leurechon (onder het pseudonym Hendrik van Etten). Grotendeels bestaat het uit minder moeilijke problemen uit het boek van Bachet. 6

7 7

8 Een voorbeeld uit Mathematische Vermaecklyckheden (pp ): 8

9 9

10 10

11 11

12 Wynant van Westen legt uit, dat de oplossing verstopt zit in de (klinkers van de) versregel populeam virgam, mater regina tenebat In een Engelse vertaling van Leurechons boek: from numbers aid and art, never will fame depart [Opgave: bedenk een passend Nederlands analogon!] 12

13 Nu een eigentijds stukje recreatie: de meest significante decimaal van een positief getal. Voorbeeld: n n Geen 7 of 9?!

14 14

15 15

16 16

17 Eerst die statistiek. Dalende rij: 1 1 > 1 2 > 1 3 > 1 4 > 1 5 > 1 6 > 1 7 > 1 8 > 1 9. Alles met 1 ophogen geeft 2 1 > 3 2 > 4 3 > 5 4 > 6 5 > 7 6 > 8 7 > 9 8 > Vervolgens 10 log nemen: 10 log(2) > 10 log(3/2) > 10 log(4/3) >... > 10 log(9/8) > 10 log(10/9). Deze negen getallen zijn positief en tellen op tot 1. 17

18 Definitie. Een rij positieve getallen (a n ) n 1 voldoet aan de wet van Benford als voor elke j {1, 2, 3,..., 9} geldt lim N #{n N : a n heeft meest signif. decimaal j} N = 10 log( j + 1 ). j Voorbeeld. Volgens de OEIS voldoet de rij (2 n ) n 1 aan de wet van Benford. 18

19 Waarom? Schrijf 2 = 10 x, dan 2 n = 10 nx. Hier is x R en x Q. Schrijf nx = {nx} + [nx] met 0 < {nx} < 1 en [nx] Z. De meest significante decimaal van 2 n = 10 {nx} 10 [nx] hangt alleen af van {nx} = nx mod Z R/Z: 2 n heeft eerste cijfer j j 10 {nx} < j log(j) {nx} < 10 log(j + 1). 19

20 Leopold Kronecker bewees in 1884 dat voor elke a R \ Q de getallen ({na}) n 1 dicht liggen in [0, 1]. Hermann Weyl gaf hier in 1911 een sterker resultaat over: Stelling. Voor elke a R \ Q en elke Riemann-integreerbare f : [0, 1] C geldt 1 0 f(t) dt = lim N 1 N n n=1 f({na}). Toepassen op f(t) := { 1 als 10 log(j) t < 10 log(j + 1) 0 anders toont aan dat (2 n ) n 1 aan de wet van Benford voldoet. 20

21 H. Weyl

22 Een recreatieve vraag over eerste decimale cijfers draagt de naam van Gel fand. Israel M. Gel fand ( ) 22

23 23

24 De blogger en wiskundige John D. Cook rekende in de zomer van 2013 na: Voor 1 < n < geldt: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en alle m, m, m, m, m, m, m, m komen niet voor als rij eerste cijfers van 2 n, 3 n, 4 n,..., 9 n. 24

25 De bachelorscriptie van onze alumnus Jaap Eising (2013) bevat de volledige antwoorden op Gel fand s Question : Vraag 1 hebben we al beantwoord. Vraag 2 en 3 hebben beide als antwoord: NEE. Ongeveer tegelijk met het afronden van Eisings scriptie gaf blogger/wiskundige David Radcliffe eveneens dit antwoord. 25

26 Jaap Eising (en de rest van het bestuur van de Fysisch-Mathematische Faculteitsvereniging, 2014) 26

27 Om vraag 2 te beantwoorden: schrijf 2 n = α n 10 m voor een niet negatief geheel getal m, en 1 < α n = 10 {nx} < 10. Het eerste cijfer van 2 n krijg je dan door α n naar beneden af te ronden. Hetzelfde doen we met 5 n : dus 5 n = γ n 10 k met k geheel en 1 < γ n < 10. Omdat 2 n 5 n = 10 n, moet wel gelden α n γ n = 10. Zou voor n > 1 gelden dat [α n ] = 2 is en [γ n ] = 5, dan is α n meer dan 2 (maar minder dan 3) en γ n zit tussen 5 en 6, dus dan zou hun product meer dan 10 (en minder dan 18) zijn! Conclusie: α n en γ n met die afronding bestaan niet. 27

28 Eenzelfde soort argument werkt voor Vraag 3: Zou het eerste cijfer van elk van 2 n tot en met 9 n hetzelfde zijn, dan weer vanwege α n γ n = 10 plus het gegeven dat α n en γ n afgerond hetzelfde zijn, volgt 3 < α n, γ n < 4, dus datzelfde eerste cijfer is 3. Maar 4 n = 2 n 2 n = α 2 n 10 2m heeft dan als eerste cijfer een 9 of een 1, dus geen 3. Conclusie: allemaal hetzelfde eerste cijfer komt niet voor! 28

29 Hoeveel verschillende rijtjes eerste cijfers in 2 n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n, 8 n, 9 n? Hoogstens 9 8 = mogelijkheden. In werkelijkheid veel minder! Noteer 2 n = 10 {nx} 10 m en 3 n = 10 {ny} 10 k. Het rijtje eerste cijfers van 2 n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 8 n, 9 n hangt alleen af van a = {nx} en b = {ny}. Immers, 4 n = 2 n 2 n en 5 n = 10 n /2 n en 6 n = 2 n 3 n en 8 n = 2 n 2 n 2 n en 9 n = 3 n 3 n. 29

30 Voorbeeld: eerste cijfers van 2 n,..., 6 n, 8 n, 9 n gelijk aan 8, 9, 8, 1, 8, 7, 9. Dan moet 8 10 a < 9, 9 10 b < 10, a < 90, a < 2, a+b < 90, a < 800, b < 100. Oplossing: 0, < a < 0, en 0, 9772 < b < 1 voldoen. 30

31 De mogelijke condities op a = {nx} delen R/Z op in 55 intervallen. Idem: de condities op b = {ny} delen R/Z op in 24 intervallen. Voor (a, b) R/Z R/Z levert dat = 1320 rechthoekjes. Dan zijn er de condities die het eerste cijfer van 6 n, oftewel van 10 {nx+ny} bepalen. 31

32 32

33 De getekende grenzen in de (a, b)-torus bij de ongelijkheden voor 10 a en 10 b en 10 a+b verdelen het gebied in 1955 stukjes. Samen met het speciale geval n = 1 en met de 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer van 7 n = 10 {nz} 10 l, met z = 10 log(7): volgt dan dat er maximaal = rijtjes kunnen voorkomen als eerste cijfers van 2 n t/m 9 n. Als toepassing van het 3-dimensionale analogon van de eerder genoemde resultaten van Kronecker en Weyl, volgt dat behalve de eerste rij 2, 3, 4,..., 9, die allemaal voor oneindig (4 ) veel waarden van n voorkomen! 33

34 De details hierover verschijnen binnenkort in de American Mathematical Monthly: 34

35 Tot slot mag organist Wynant van Westen nog een keer alle registers opentrekken... (het huidige Königorgel in zijn kerk) 35

36 36