EXTREMUMVRAAGSTUKKEN MET

Transcriptie

1 EXTREMUMVRAAGSTUKKEN MET Luc Gheysens Roger Van Nieuwenhuyze Vakbegeleiders wiskunde Inleiding GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde, algebra en analyse combineert. Het pakket werd ontwikkeld door Marcus Hohenwarter aan de Universiteit van Salzburg. Enerzijds is GeoGebra een dynamisch meetkundepakket. Je kan constructies uitvoeren met punten, rechten, lijnstukken, vectoren en kegelsneden en je kan alle objecten daarna op een dynamische manier wijzigen. De corresponderende coördinaten en vergelijkingen van de getekende objecten verschijnen in het algebravenster. Anderzijds kunnen functies, vergelijkingen en coördinaten rechtstreeks worden ingebracht in het algebravenster via de commandolijn onderaan het scherm. De overeenkomstige objecten verschijnen meteen in het tekenvenster. Deze twee standpunten zijn typisch voor Geogebra: een uitdrukking in het algebravenster correspondeert met een object in het tekenvenster en omgekeerd. GeoGebra is een open-sourcepakket en het kan gratis gedownload worden op De Nederlandse vertaling is het werk van Beatrijs Versichel, Ivan De Winne en Pedro Tijtgat. Er is een gebruikersforum : en een voorbeeldenbank : In deze tekst pakken we een aantal extremumvraagstukken aan. GeoGebra is immers uiterst geschikt voor een dynamische aanpak van dergelijke vraagstukken : je kan het probleem visualiseren, op een schets kan je exploreren, het verschijnen van de coördinaten van de punten en de vergelijkingen van de gebruikte meetkundige objecten is een hulpmiddel om een beter wiskundig inzicht te ontwikkelen en tenslotte kan je ook het rekenwerk (dat je manueel op papier hebt uitgevoerd) controleren. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 1

2 Voorbeeld 1 De punten A en B liggen respectievelijk op 400 meter en op 800 meter van een kruispunt C en tussen deze twee punten loopt een landweg. De wegen AC en BC maken een hoek van 90 in het punt C. Boer Frans wil een rechthoekige weide EDFC afbakenen, waarbij het punt E op AC ligt, F op BC en D op de verbindingsweg tussen A en B. Waar moet hij het punt D kiezen opdat deze rechthoekige weide een zo groot mogelijke oppervlakte zou hebben? Hoe groot is die maximale oppervlakte dan? Oplossing Hieronder wordt de situatie visueel voorgesteld met behulp van GeoGebra op schaal 1: Zoals uit de onderstaande figuur blijkt zijn zowel het tekenvenster als het algebravenster actief. Dit laatste venster kan men activeren door te klikken op Beeld en daarna op Algebravenster. Je kan ook de toetsencombinatie Ctrl + A gebruiken. Nadat deze figuur in het tekenvenster was opgebouwd, hebben we de verschillende constructiestappen opgevraagd (zie onderstaande figuur). Die stappen verschijnen op het scherm door op Beeld te klikken en daarna op Overzicht constructiestappen. Het is zelfs mogelijk om de verschillende constructiestappen als een soort diamontage te laten afspelen. Hiervoor klikt men op Beeld en daarna op Navigatiebalk voor constructieoverzicht. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz.

3 Via dit overzicht kan je nu zelf gemakkelijk de figuur terug opbouwen. Door het punt D te verslepen over het lijnstuk [AB] kan je nagaan hoe de oppervlakte van de rechthoek EDFC verandert. Het punt G werd als volgt bepaald: via het commandovenster werd de opdracht G = (x(d),p) ingegeven. Hierbij is P de oppervlakte van de rechthoek EDFC. Door rechts te klikken op het punt G kan je nu kiezen voor spoor aan. Op die manier wordt bij het verslepen van het punt D de grafiek uitgetekend van de functie die het verloop van de oppervlakte van rechthoek EDFC weergeeft in functie van de x-coördinaat van het punt D. Dit blijkt een parabool te zijn met als top het punt (4,8). Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 3

4 Klik nu met de rechtermuisknop op G en vink spoor aan voor G uit. Als je nu D versleept, kan je gemakkelijk nagaan dat de punten C(0,0), H(, 6), J(4,8), D(6, 6) en B(8,0) op die parabool liggen. Door te klikken op het vijfde icoontje van links krijg je meteen de mogelijkheid om de kegelsnede te bepalen door deze vijf punten. Teken ook de rechte AB via het derde icoontje van links. De vergelijking van de parabool is 5x² - 00x + 50y = 0 en van de rechte 4x + 8y = 3. Door in het algebravenster op beide vergelijkingen rechts te klikken kan je achtereenvolgens het voorschrift van de parabool onder de vorm y = ax² + bx + c laten verschijnen (hier : y = -0.5x² + 4x) en de vergelijking van de rechte onder de vorm y = ax + b (hier : y = -0.5x + 4). Probeer nu ook eens dit vraagstuk op te lossen via manueel rekenwerk. Stel de vergelijking op van de rechte door de punten A(0,4) en B(0,8). Druk de oppervlakte van de rechthoek uit als een functie van de breedte x. Zoek dan de eerste afgeleide van deze kwadratische functie en bepaal hiermee de afmetingen van de rechthoek met de grootste oppervlakte. De weide van boer Frans blijkt een maximale oppervlakte van 8 hectare te hebben, nl. met afmetingen van 400 meter op 00 meter. Voorbeeld Het dak van de woning van boer Frans heeft de vorm van een gelijkbenige driehoek met een basis van 10 meter en een hoogte van 4 meter. Hierin wil hij een rechthoekige zolderkamer construeren. Op de onderstaande figuur zie je een schets op schaal 1:100. Bepaal de afmetingen van de grootst mogelijke kamer, m.a.w. bepaal de lengte en de breedte en de hoogte van de rechthoek EDGF met de grootst mogelijke oppervlakte. Zorg er ook voor dat het punt H (zie tekening) de grafiek doorloopt van de functie die de oppervlakte weergeeft in functie van de abscis van het punt G wanneer je het punt D versleept over het lijnstuk [BC]. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 4

5 Oplossing Bouw de onderstaande figuur op en toon hiermee aan dat de grootst mogelijke kamer een breedte heeft van 5 meter en een hoogte van meter. Los dit vraagstuk daarna ook op via manueel rekenwerk. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 5

6 Voorbeeld 3 Boer Frans wil een dakgoot maken met behulp van 3 identieke planken. De goot is symmetrisch opgebouwd en bovenaan open en heeft twee opstaande wanden. Hoe groot moet boer Frans de hoek tussen de grondplank en een opstaande wand kiezen opdat de goot een maximaal debiet zou hebben? Bereken ook het volume van de goot als je er een bepaalde lengte aan toekent. P geeft de hoek weer tussen de grondplank en een opstaande wand, uitgedrukt in radialen en π kan dus variëren van tot π. π Bij een hoek van is de goot balkvormig en bij een hoekgrootte π heb je eigenlijk geen goot meer want de drie planken liggen dan naast elkaar in een vlak. Het volume wordt berekend en uitgezet door middel van het punt I. Als c de breedte van een plank is en d de lengte van de goot dan is het volume: c.d.(sinx sinx.cosx) met x de hoek tussen de opstaande wand en de grondplank De kromme die hierboven getekend is geeft het verloop van het volume weer als de hoek π tussen de planken varieert van tot π. (Een deel van de grafiek is uiteraard zinloos) Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 6

7 Probeer nu zelf het vraagstuk op te lossen via manueel rekenwerk. Toon hiermee aan dat het debiet van de goot maximaal is als x = 10. Voorbeeld 4 De droogmolen van boerin Fransien bestaat uit een verticale metalen staander [AB] die m lang is. Rond het punt D scharniert een staaf [DF] van 1,80 m lengte en [AE] is een verbindingsstuk van 40 cm waarbij de vaste afstand DE 60 cm is. [AF] stelt de eigenlijke waslijn voor. Het punt D kan men vastschroeven tussen een hoogte van 1 meter en meter. Op welke hoogte moet boerin Fransien het punt D vastschroeven opdat het punt F zich zo laag mogelijk zou bevinden? Welke hoek maakt de arm [DF] dan met de verticale staander? En hoe hoog bevindt het punt F zich dan? Oplossing Bouw de figuur zelf op. Hieronder staan twee standen afgebeeld van de droogmolen waarbij het punt D respectievelijk op 1,0 m en op 1,60 m hoogte is vastgeschroefd. Telkens staat de waarde van hoek α en de hoogte van het punt F aangeduid. De figuren zijn op schaal 1:0 getekend. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 7

8 Los dit vraagstuk ook manueel op. Stel AD = x en α = ADˆ E. Bepaal via de cosinusregel in driehoek ADE een uitdrukking voor cos α in functie van x. Toon hiermee aan dat FG x² = 10 x +. x Via de eerste afgeleide van deze uitdrukking vind je dat de minimale hoogte van het punt F gelijk is aan 13,87 m voor x = 3,87 m. Dan is α = Voorbeeld 5 Franceska, het dochtertje van boer Frans en boerin Fransien drinkt dagelijks een portie karnemelk met een rietje uit een tas die de vorm heeft van een halve bol met een diameter van 10 cm. Het rietje is 1 cm lang. Wanneer het rietje in de tas valt, zal het glijden tot het zwaartepunt zo laag mogelijk ligt. Bepaal de laagste positie van het zwaartepunt. Welke hoek maakt het rietje dan met de bovenrand van de tas? Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 8

9 Oplossing Bedenk zelf een oplossing voor dit probleem. Schets hiervoor eerst de situatie met behulp van GeoGebra. Op de onderstaande figuur zijn twee posities van het rietje afgebeeld. Door het punt C te verslepen over de halve cirkelboog varieert de positie van het rietje. Bij elke stand worden de hoek α en de afstand van het zwaartepunt E van het rietje tot de bovenrand van de tas berekend. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 9

10 Los dit probleem daarna op via manueel rekenwerk en vergelijk het gevonden resultaat met de benadering die je via de simulatie hebt gevonden. Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 10

11 Addendum. Oplossingen van de extremumvraagstukken via afgeleiden. Voorbeeld 1 1 De rechte AB heeft als vergelijking y = x + 4. Kies CF = x, dan is de oppervlakte van de rechthoek EDFC gelijk aan O'(x) = -x + 4 = 0 x = 4. 1 O (x) = x² + 4x. De weide met de grootste oppervlakte heeft een lengte van 400 m en een breedte van 00 m en bijgevolg is de maximale oppervlakte gelijk aan m² of 8 ha. Voorbeeld 4 De rechte BC heeft als vergelijking y = x Kies als x de halve basis van de rechthoek EDGF, dan is de oppervlakte van deze rechthoek 4 gelijk aan O (x) = x( x + 4). 5 O'(x) = 16 x + 8 = 0 x =,5. 5 De maximale oppervlakte van de rechthoek bekomt men als de breedte gelijk is aan 5 m en de hoogte gelijk aan m. Voorbeeld 3 De vierhoek ABCD moet een zo groot mogelijke oppervlakte hebben. B+ b O(x) =.hoogte c+ e+ c O(x) =. csin x c + ccos( π x) =.csinx c ccos x =.csinx = c(1 cos x). csin x = c (sin x sin x cos x) Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 11

12 Dan is O'(x) = c (cos x cos x + sin x) = c (cos x cos x). De vergelijking O'(x) = 0 heeft als enige mogelijke oplossing voor dit probleem bijgevolg is de doorsnede van de goot maximaal als x = 10. π x = en 3 Voorbeeld 4 Kies x = AD, dan is BD = 10 x. Pas in driehoek AED de cosinusregel toe : 4 = x² + 9 6x cosα. Hieruit volgt dat 5 + x² cosα =. 6x Dan is FG = 10 x + 9 cos α x² = 10 x +. x x² 15 De eerste afgeleide hiervan is gelijk aan, waaruit blijkt dat FG een minimum x² bereikt als x = 15. Rekening houdend met de schaal 1:0 betekent dit dat de afstand AD ongeveer 77,5 cm is en dat Fransien de pin moet vastzetten op een hoogte van ongeveer 1,5 cm. 15 Dan is cos α = zodat α = 30 36'3". 9 Het punt F bevindt zich dan op ongeveer 77,5 cm boven de grond. Voorbeeld 5 EF = EB sin α = (10 cos α 6) sin α = 5 sin α 6 sin α. De eerste afgeleide hiervan is gelijk aan 10 cos α 6 cos α = 10 (cos² α 1) 6 cos α = 0 cos² α 6 cos α 10. De enige oplossing van de vergelijking 10 cos² α 3 cos α 5 = 0 die een scherpe hoek oplevert is cosα = en dan is α = 9 1'34". In dit geval is EF = 1,33. 0 Extremumvraagstukken met GeoGebra blz. 1