Proefexemplaar. ICT PRACTICUMBOEK (3e JAAR / ONDERBOUW) Tim Van der Hoeven Roger Van Nieuwenhuyze

Transcriptie

1 ICT PRACTICUMBOEK (3e JAAR / ONDERBOUW) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in 3 ASO (leerweg 4 en 5) 3 TSO-KSO (leerplan A - B - C) Derde jaar van het GO! Meetkunde en analytische meetkunde vraagstukken en stelsels en creatieve opdrachten in het derde jaar met GeoGebra Tim Van der Hoeven Roger Van Nieuwenhuyze

2 3 ICT practicumboek > inhoud 1 Het pakket GeoGebra 2 Meetkunde 2.1 Gelijkvormigheid van vlakke figuren en de stelling van Thales, Practicum 1: De stelling van Thales en toepassingen op de stelling van Thales > 7 Toepassing 1: De stelling van Thales in een driehoek > 8 Toepassing 2: Een lijnstuk verdelen in vijf gelijke delen > 9 Toepassing 3: De vierde evenredige construeren van drie gegeven lijnstukken > Practicum 2: Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken > 10 Toepassing 1: Gelijkvormigheidskenmerk 1 > 10 Toepassing 2: Gelijkvormigheidskenmerk 2 > 11 Toepassing 3: Gelijkvormigheidskenmerk 3 > Practicum 3: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 1 > 13 Toepassing 1: De stelling van de middenparallel > 13 Toepassing 2: Omgekeerde stelling van de middenparallel > 14 Toepassing 3: De bissectrice-eigenschap in een driehoek > Practicum 4: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 2 > 15 Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt in een driehoek > 15 Toepassing 2: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek > 15 Toepassing 3: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek > Samenhang congruentie, gelijkvormigheid en transformaties, Practicum 5: Omtrek, oppervlakte en inhoud van gelijkvormige figuren > 16 Toepassing 1: Een rechthoekige weide > 16 Toepassing 2: Een figuur vergroten of verkleinen > 17 Toepassing 3: Een ruimtefiguur vergroten of verkleinen > Practicum 6: Samenhang tussen transformaties en de coördinaten van een punt en zijn beeld > 20 Toepassing 1: Spiegelingen en coördinaten van een punt en zijn beeld > 20 Toepassing 2: Verschuivingen en coördinaten van een punt en zijn beeld > 21 Toepassing 3: Homothetieën en coördinaten van een punt en zijn beeld > Practicum 7: Isometrieën > 23 Toepassing 1: Samenstelling van twee spiegelingen met evenwijdige assen > 23 Toepassing 2: Samenstelling van twee spiegelingen met snijdende assen > De stelling van Pythagoras, Practicum 8: De stelling van Pythagoras > 24 Toepassing 1: Pythagoras zonder woorden > 24 Toepassing 2: Pythagoras volgens Henry Perigal > 25 Toepassing 3: De stelling van Pythagoras zelf controleren > Practicum 9: Toepassingen op de stelling van Pythagoras > 27 Toepassing 1: Vraagstuk van Leonardo van Pisa > 27 Toepassing 2: Eigenschap in een rechthoek > Practicum 10: Toepassingen op de stelling van Pythagoras > 30 Toepassing 1: Een afgeknakte boom > 30 Toepassing 2: Berekening van afstanden > 31 Toepassing 3: Een Pythagorasboom tekenen > 32

3 ICT practicumboek > inhoud 2.4 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek, Practicum 11: Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek > 32 Toepassing 1: Definities sin, cos en tan van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek > 32 Toepassing 2: SOSCASTOA > 33 Toepassing 3: Constructievraagstuk > Practicum 12: Oplossen van rechthoekige driehoeken > 34 Toepassing 1: Schuine zijde en scherpe hoek gegeven > 34 Toepassing 2: Rechthoekszijde en scherpe hoek gegeven > Practicum 13: Oplossen van rechthoekige driehoeken > 35 Toepassing 1: Schuine zijde en rechthoekszijde gegeven > 35 Toepassing 2: Twee rechthoekszijden gegeven > Practicum 14: Oplossen van vraagstukken (rechthoekige driehoeken) > 36 Toepassing 1: Hoe hoog is de boom? > 36 Toepassing 2: Hoe hoog staat de zon boven de horizon? > 37 Toepassing 3: Hoe breed is de straat? > Vectoren, Practicum 15: Het begrip vector > 39 Toepassing 1: Gelijke vectoren > 39 Toepassing 2: Som van vectoren > 40 Toepassing 3: Scalaire vermenigvuldiging > 41 Toepassing 4: Regel van het parallellogram > Practicum 16: Toepassingen op vectoren > 42 Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek > 42 Toepassing 2: Eigenschap in een parallellogram > Practicum 17: Vector en coördinaat > 44 Toepassing 1: Coördinaat van een puntvector > 44 Toepassing 2: Parametervergelijkingen van een rechte > Practicum 18: Meetkundige eigenschappen verklaren met vectoren > 45 Toepassing 1: Eigenschap in een driehoek > 45 Toepassing 2: Eigenschap in een parallellogram > 46 Toepassing 3: Collineaire punten > 46 3 Analytische meetkunde 3.1 Reële functies, Practicum 1: Domein, beeld, nulpunt(en) en waardentabel van een functie > 47 Toepassing 1: Bepalen van het domein, het beeld en de nulpunten van een gegeven functie > 48 Toepassing 2: Opmaken van de waardentabel van een gegeven functie > Functies van de eerste graad, Practicum 2: Richtingscoëfficiënt van een rechte > 52 Toepassing 1: De betekenis van de richtingscoëfficiënt van een rechte > 52 Toepassing 2: Verband tussen de richtingscoëfficiënt van een rechte en de tangens van de hoek die deze rechte maakt met de positieve x-as > 54 Toepassing 3: De richtingscoëfficiënt bepalen van enkele bijzondere rechten > Practicum 3: Vergelijkingen van rechten bepalen die aan bepaalde voorwaarden voldoen > 58 Toepassing 1: Vergelijking van een rechte door de oorsprong > 58 Toepassing 2: Vergelijking van een rechte niet door de oorsprong en niet-evenwijdig aan de y-as > 59 Toepassing 3: Vergelijking van een rechte evenwijdig aan de x-as > 61 Toepassing 4: Vergelijking van een rechte evenwijdig aan de y-as > 62

4 3.2.3 Practicum 4: Studie van de functie met als voorschrift f(x) = m x + q > 63 Toepassing 1: Invloed van de parameters m en q op de functie f met als voorschrift f(x) = m x + q > 63 Toepassing 2: Tekenonderzoek van f(x) = m x + q > 66 Toepassing 3: Het functievoorschrift van een functie bepalen > Practicum 5: Grafieken van functies tekenen met een meervoudig functievoorschrift > 68 Toepassing 1: Grafieken van functies tekenen met een meervoudig functievoorschrift 1 > 68 Toepassing 2: Grafieken van functies tekenen met een meervoudig functievoorschrift 2 > 69 Toepassing 3: Vraagstukken oplossen met behulp van een meervoudig fucntievoorschrift > Practicum 6: Meetkundige problemen analytisch oplossen deel 1 > 72 Toepassing 1: De zwaartelijn in een rechthoekige driehoek op de schuine zijde > 72 Toepassing 2: Verband tussen de diagonalen en de zijden van een parallellogram > 74 Toepassing 3: Gelijkheid in een willekeurige driehoek > 75 Toepassing 4: De stelling van Pythagoras > Practicum 7: Meetkundige problemen analytisch oplossen deel 2 > 76 Toepassing 1: Zwaartepunt van een driehoek > 76 Toepassing 2: Gelijkheid in een willekeurige driehoek > 77 Toepassing 3: Gelijkheid in een trapezium > Practicum 8: Algemene vergelijking van een rechte > 79 Toepassing 1: Bespreking van de vergelijking ax + by + c = 0 > 79 Toepassing 2: Opstellen van de vergelijking van een rechte als één punt en de rico gegeven zijn > 80 Toepassing 3: Opstellen van de vergelijking van een rechte door twee punten > Practicum 9: Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen > 82 Toepassing 1: Verband tussen vergelijkingen van de eerste graad en eerstegraadsfuncties > 82 Toepassing 2: Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen > 83 4 Vraagstukken en stelsels oplossen 4.1 Practicum 1: Vraagstukken oplossen > 86 Toepassing 1: Een vastgebonden geit > 86 Toepassing 2: De zijden van een rechthoek > 87 Toepassing 3: Een ladder tegen een muur > 89 Toepassing 4: De zijden van een driehoek > Practicum 2: Stelsels van vergelijkingen oplossen > 91 Toepassing 1: Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden > 91 Toepassing 2: Stelsels van drie vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden > 92 Toepassing 3: Oplossen van een stelsel met parameters > 93 Toepassing 4: Een vijver in de vorm van een rechthoek > 94 5 Creatieve opdrachten 5.1 Practicum 1: Laat je creativiteit werken > 95 Toepassing 1: Zeef van Sierpienski > 95 Toepassing 2: Driehoek in driehoek > 96 Toepassing 3: Heb je hiervoor een verklaring? > 96

5 6 1 > Het pakket GeoGebra GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde en algebra en analyse combineert en ontwikkeld werd door Markus Hohenwarter, een Oostenrijker die momenteel in Amerika werkt. De huidige versie van GeoGebra is GeoGebra 3.0. De vertaling naar het Nederlands gebeurde door Bea Versichel, Pedro Tytgat en Ivan Dewinne. GeoGebra is een open-sourcepakket en mag dus gratis gedownload worden. Dit kan heel eenvoudig gebeuren door op Google, GeoGebra in te typen of rechtstreeks te surfen naar: Klik op download en het volgende scherm opent zich dan: Kies voor GeoGebra Webstart, want dan zul je steeds met de meest recente versie werken. Er is ook een gebruikersforum: en een soort materialenbank: Iemand die de basistechnieken van GeoGebra nog niet onder de knie heeft kan best het ICT Practicumboek voor de 1e graad doornemen. Een strikte noodzaak is dit niet, want het boekje voor het derde jaar is zo opgevat dat er heel vaak een stappenplan voorzien is om de nodige constructies uit te voeren. Dit boekje bestaat uit 30 practicums. Elk practicum kan in principe in één les uitgewerkt worden. Als dat niet lukt, dan kunnen de resterende toepassingen als persoonlijk werk meegegeven worden. Als sommige practica niet voorkomen op het leerplan van een bepaald onderwijstype, dan kunnen deze uiteraard weggelaten worden. Bij dit boekje horen meer dan 150 bestanden.

6 l deel 2 > Basisbegrippen van de meetkunde l 2 > Meetkunde 2.1 Gelijkvormigheid van vlakke figuren en de stelling van Thales Practicum 1: De stelling van Thales en toepassingen op de stelling van Thales Open in de map Thales het bestand Stelling van Thales. Versleep het punt A. Versleep A of B of C. Blijft de verhouding AB BC MN =? NP Ja / Neen Versleep M. Krijg je dan een andere snijlijn? Ja / Neen Blijft de verhouding AB BC Formuleer de stelling van Thales in woorden: MN =? NP Ja / Neen De lijnstukken die evenwijdige rechten van een snijlijn afsnijden, zijn evenredig met de overeenkomstige lijnstukken 7

7 8 l deel 2 > Meetkunde Toepassing 1: De stelling van Thales in een driehoek Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere zijden in evenredige lijnstukken. Gegeven is driehoek ABC en MN // BC Toon aan dat AM AN = MC NB Klik op Bestand en kies voor Nieuw venster. Klik op Beeld en vink de assen uit. Teken een driehoek ABC. Klik hiervoor op en kies voor Veelhoek. Vergeet niet als laatste punt nog eens op het beginpunt te klikken. Klik op en kies voor Nieuw punt. Teken een punt M op [AC] (pas dus de naam aan), klik op en kies nadien voor Evenwijdige rechte en teken door M de evenwijdige met BC. Klik op en kies voor Snijpunt(en) van twee objecten en klik op [AB] en op de getekende evenwijdige aan BC. Noem het snijpunt N. Klik op en kies voor Lijnstuk tussen twee punten en teken de lijnstukken [AM], [MC]... en geef ze een passende kleur. Klik hiervoor met de rechtermuisknop op een lijnstuk en ga naar Eigenschappen. In het venster dat zich dan opent, klik je eerst op het lijnstuk en kies je nadien een passende kleur. Verberg de labels a, b en c (zijden van de driehoek ABC). Bereken de gevraagde verhoudingen. Om een mooie lay-out te krijgen volg je volgende methode: o Klik op het icoontje en kies nadien voor Tekst invoegen en klik ergens in het tekenvenster. o Volgend scherm opent zich (nadat je LaTeX formule hebt aangevinkt en bovendien in het bijhorende rolmenu hebt gekozen voor a / b). +(e/f) moet je op het einde bijplaatsen. Dit zorgt voor het uiteindelijke resultaat. Bijkomende opdracht: Leg een punt D op [AM] (dit lijnstuk heeft de naam e). Teken de lijnstukken [AD] en [DC]. Bereken de verhouding AD DC. Op de plaatsen tussen de accolades moet je nu de gepaste tekst invoegen (zie hieronder). Om een verticaal streepje in te typen, druk je terzelfdertijd op de AltGr-toets en op de 1-toets, uiterst links bovenaan. De vooraan hoef je niet te typen, de computer zal deze automatisch bijplaatsen als je een tweede keer een breuk hebt ingevoerd en nadien op e en op f in het algebravenster of in het tekenvenster hebt geklikt. Uiteindelijk zou dit in je tekstvenster moeten staan: \frac{ AM }{ MC }= \frac{ + e + }{ + f + }= +(e/f)

8 Is AD AM =? Ja / Neen DC MC Is ND // BC? Ja / Neen Versleep D en zoek een gepaste plaats voor D zodat bovenstaande verhoudingen toch aan elkaar gelijk zijn. Waar moet D dan liggen? Ter controle kun je steeds in de map Thales het bestand Thales in een driehoek openen. Toepassing 2: Een lijnstuk verdelen in vijf gelijke delen. Klik op Bestand en kies voor Nieuw. Klik op en kies voor Lijnstuk tussen twee punten en teken een lijnstuk [AB]. Klik op en teken een hulprechte b door A (zie onderstaande figuur). Teken op deze hulplijn vijf cirkels met vaste straal. Kies hiervoor en nadien Cirkel met middelpunt en straal. Kies als straal steeds 3. Als middelpunt van de eerste cirkel kies je A, de andere middelpunten zijn de snijpunten van de getekende cirkels met de getekende rechte. Verbind H met B en teken door D, E, F en G de evenwijdigen met HB. Duid de snijpunten van deze evenwijdigen met [AB] aan. Sla het bestand op onder een passende naam. Ter controle kun je in de map Thales het bestand Oplossing toepassing 2 openen. 9

9 10 l deel 2 > Meetkunde Toepassing 3: De vierde evenredige construeren van drie gegeven lijnstukken Gegeven zijn drie lijnstukken [AB] (lengte a), [CD] (lengte b) en [EF] (lengte c). Construeer een vierde lijnstuk [PQ] zodat AB EF =. CD PQ Klik op Bestand en kies voor Nieuw. Teken drie lijnstukken. Een lijnstuk [AB] (lengte a), een lijnstuk [CD] (lengte b) en een lijnstuk [EF] (lengte c). Klik op en kies nadien voor Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte. (Klik ergens in het vlak en neem als lengte a). Er wordt een lijnstuk [GH] getekend. Teken opnieuw een lijnstuk met beginpunt (neem het eindpunt van het vorig getekende lijnstuk als beginpunt) en gegeven lengte (neem als lengte b). Teken een hulplijn door het beginpunt G van het eerst getekende lijnstuk. Teken een cirkel met middelpunt G en gegeven straal (neem als straal c). Werk verder zelf af. Ter controle kun je in de map Thales het bestand Vierde evenredige openen Practicum 2: Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken Toepassing 1: Gelijkvormigheidskenmerk 1 Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de eerste driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van de tweede driehoek. Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 1. Er is een driehoek ABC getekend. Nadien hebben we Eˆ = Aˆ getekend en Dˆ = Bˆ. De gelijke hoeken zijn met een markering aangeduid (hiervoor werd met de rechtermuisknop op één van de hoeken geklikt en dan naar Eigenschappen gegaan. Bij Markering werd een passende markering uitgekozen). De lengte van [ED] mocht vrij gekozen worden. Vervolgens hebben we driehoek EDF getekend. Als je deze constructie wil overdoen, selecteer dan een gebied (met de linkermuisknop ingedrukt) rond driehoek DEF, druk op de delete toets van je klavier en herbegin.

10 11 Onderzoek nu zelf dat: Cˆ Fˆ AB BC AC = en dat = = DE FD EF Om Ĉ te meten, klik je op, dan klik je eerst op B, dan op C en ten slotte op A (het tweede punt dat je aanklikt moet steeds het hoekpunt zijn). Om ˆF te meten, werk je analoog maar je klikt eerst op E, nadien op F en ten slotte op D. (Voor het berekenen van de verhoudingen en voor het weergeven van een mooie lay-out: zie practicum 1). Besluit: AB DE Cˆ = Fˆ = BC AC = = = FD EF Om de hoeken weer te geven in graden, minuten en seconden, open je in de map Macro s de macro gradenminsec en duid je alle hoeken nog eens aan. Ter controle kun je in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Oplossing kenmerk 1 openen. Toepassing 2: Gelijkvormigheidskenmerk 2 Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredigheid vormen en de ingesloten hoek even groot is. Gegeven is de driehoek ABC met AB = 8 cm en AC = 12 cm en  = 40. Teken nu een driehoek A B C zo dat A B = 4 cm en A C = 6 cm en  = 40. Meet de andere hoeken en de verhouding B'C' BC. Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 2. Hier is al een driehoek ABC getekend die aan de nodige voorwaarden voldoet. Teken een lijnstuk [A B ] met beginpunt A en gegeven lengte: 4 cm. Klik hiervoor op en kies nadien voor Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte. Vul in het geopende venster 4 in. Teken de hoek  = 40. Hiervoor kies je voor Hoek met gegeven grootte, klik je eerst op B en nadien op A. Vul dan 40 in en kies voor Tegenwijzerzin. Teken nadien ook nog de nodige halfrechte. Klik nu op het icoontje en kies dan voor Cirkel met middelpunt en straal. Neem als middelpunt A en als straal 6. Het snijpunt met de getekende halfrechte noem je C. Teken de driehoek A B C. Meet de hoeken (om de hoeken weer te geven in graden minuten en seconden open je in de map Macro s de macro gradenminsec). Bˆ = Bˆ ' = Cˆ = Cˆ ' = A'B' A'C' = = AB AC Bereken de verhouding B'C' BC. B'C' BC = Zijn de twee getekende driehoeken gelijkvormig? Ja / Neen Ter controle kun je in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Oplossing kenmerk 2 openen.

11 12 l deel 2 > Meetkunde Toepassing 3: Gelijkvormigheidskenmerk 3 Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen. Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 3. Er zijn drie schuifknoppen getekend en een driehoek ABC. Versleep de schuifknoppen. Wat gebeurt er als je de schuifknop m versleept? Wat gebeurt er als je de schuifknop n versleept? Teken nu een nieuwe driehoek A B C zodat A B = 2 AB en A C = 2 AC en B C = 2 BC. Teken hiervoor eerst een lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte. Geef het lijnstuk de naam [A B ]. Kies als lengte 2*m. Teken nadien cirkels met middelpunt en straal. Kies als eerste middelpunt A en neem als straal 2*n en neem nadien B als middelpunt en als straal kies je 2*p. Meet nu alle hoeken van beide driehoeken. Aˆ = Aˆ ' = Bˆ = Bˆ ' = Cˆ = Cˆ ' = Zijn de corresponderende hoeken aan elkaar gelijk? Zijn de getekende driehoeken gelijkvormig? Versleep m (of n of p). Blijven de driehoeken gelijkvormig? Verklaring: Ja / Neen Ja / Neen Ja / Neen

12 Ter controle kun je in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Oplossing kenmerk 3 openen Practicum 3: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 1 Toepassing 1: De stelling van de middenparallel Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt (een middenparallel) is evenwijdig met de derde zijde en de lengte ervan is de helft van de lengte van de derde zijde. Verberg de assen. Teken een driehoek ABC. Verberg de labels a, b en c. Neem de middens van [AC] en [AB]. Noem deze middens M en N. Teken [MN]. Teken eveneens de rechte MN en de rechte BC. Onderzoek via het commandovenster of MN // BC door het volgende in te typen: d // e. Het symbool // moet met het eerste rolmenu ingevoerd worden. In het algebravenster verschijnt er dan true. Dus is MN // BC. (een andere mogelijkheid is om te klikken op, nadien te kiezen voor Relatie tussen 2 objecten en dan te klikken op d en op e). Controleer dat MN = BC 2. Sla het bestand op onder een passende naam. openen. Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 1 het bestand Stelling middenparallel 13

13 14 l deel 2 > Meetkunde Toepassing 2: Omgekeerde stelling van de middenparallel De rechte door het midden van een zijde van een driehoek en evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van de derde zijde. Onderzoek dit volledig zelf. Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 1 het bestand Omgekeerde stelling middenparallel openen. Toepassing 3: De bissectrice-eigenschap in een driehoek De deellijn van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken die evenredig zijn met de aangrenzende zijden van de driehoek. Klik op Bestand en kies voor Nieuw. Teken een driehoek ABC. Klik op en kies nadien voor Bissectrices. Klik eerst op C, nadien op A en tenslotte op B. De deellijn van  wordt getekend. Zoek het snijpunt D van deze deellijn met [BC]. Duid nu de twee hoeken aan die in A worden gevormd. Klik nu met de rechtermuisknop op één van de hoeken en ga naar Eigenschappen. Klik nadien op Markering en kies een passende markering. Pas in Stijl ook de Afmeting aan. Teken de lijnstukken [CD] en [DB] en druk alle lengtes af op het scherm. Selecteer hiervoor met de rechtermuisknop één van de lijnstukken, ga naar Eigenschappen en klik in het nieuwe venster links bij Objecten op het woordje Lijnstuk (alle lijnstukken worden dan geselecteerd). Vink dan bij Basis Label tonen aan en kies voor Naam & waarde. Bereken de gevraagde verhoudingen: CD DB = = AC AB Zijn de verhoudingen aan elkaar gelijk? Ja / Neen Versleep A of een ander hoekpunt van de driehoek ABC. Blijven de verhoudingen aan elkaar gelijk? Ja / Neen Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 1 het bestand De bissectriceeigenschap in een driehoek openen.

14 2.1.4 Practicum 4: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 2 Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt in een driehoek Het zwaartepunt van een driehoek verdeelt elke zwaartelijn in twee stukken, waarvan het ene deel dubbel zo lang is als het andere deel. Verberg de assen. Teken een driehoek ABC. Verberg de labels a, b en c. Noem M het midden van [AB], N het midden van [BC] en P het midden van [AC]. Teken de drie zwaartelijnen in de driehoek. Teken het zwaartepunt Z (als je via het commandovenster de instructie Z=zwaartepunt[poly1] ingeeft, dan wordt het zwaartepunt onmiddellijk getekend). Teken alle nodige lijnstukken zoals [AZ], [ZN], [CZ]... Doe volgende berekeningen: ZA ZB ZC = = = ZN ZP ZM Besluit: al deze verhoudingen zijn gelijk aan: Versleep nu A of B of C. Veranderen deze verhoudingen? Ja / Neen Zijn de besluiten algemeen geldig? Ja / Neen Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 2 het bestand Eigenschap zwaartepunt driehoek openen. Toepassing 2: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde met haar loodrechte projectie op de schuine zijde. 15

15 16 l deel 2 > Meetkunde Klik op Bestand en kies voor Nieuw. Om snel een rechthoekige driehoek te tekenen, open je in de map Macro s de macro rechthoekige driehoek. Projecteer een rechthoekszijde loodrecht op de schuine zijde. Zorg ervoor dat je deze tekening krijgt: Bereken nu: AC AB 2 2 = DC. BC = = DB. BC = Typ als tekst het volgende in: AC 2 = + (b 2 ) en DC. BC = + (f * a) Versleep B. Blijven de uitdrukkingen aan elkaar gelijk? Ja / Neen Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 2 het bestand Metrische betrekkingen 1 openen. Toepassing 3: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. Werk dit volledig zelfstandig uit. Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 2 het bestand Metrische betrekkingen 2 openen. 2.2 Samenhang congruentie, gelijkvormigheid en transformaties Practicum 5: Omtrek, oppervlakte en inhoud van gelijkvormige figuren Toepassing 1: Een rechthoekige weide Boer Cyriel bewerkt een groot driehoekig stuk grond in de vorm van een rechthoekige driehoek. De basis van die driehoek meet 800 m en de hoogte 500 m. Boer Cyriel wil hierop een rechthoekig stuk weide afbakenen (zie figuur): Hoe groot is de omtrek en de oppervlakte van deze rechthoekige weide?

16 Verberg de assen. We gaan een tekening maken op schaal 1: Met hoeveel cm op schaal komt 100 m dan in werkelijkheid overeen? Teken de driehoek ABC op schaal. Teken een cirkel met als middelpunt A en als straal 5 cm. Laat de nodige loodlijnen neer en teken de rechthoekige weide die boer Cyriel wil afbakenen. Om de omtrek van deze weide te bepalen, klik je op het icoontje en kies je voor Afstand of lengte. Dan klik je willekeurig ergens binnen de rechthoek. De omtrek wordt afgedrukt. Om de oppervlakte van deze weide te bepalen, klik je op hetzelfde icoontje. Je kiest nu voor Oppervlakte en klikt dan binnen de rechthoek. De oppervlakte wordt afgedrukt. Om de omtrek weer te geven in cm, klik je met de rechtermuisknop op de tekst en je kiest voor Bewerken Je voegt dan achteraan + cm toe. Voor de oppervlakte voeg je dan + cm 2 toe (laat steeds een blanco voor cm en voor cm 2, zo is de lay-out beter). Hoe bepaal je nu de werkelijke omtrek en oppervlakte van de rechthoekige weide? De werkelijke omtrek van de weide van boer Cyriel is: De werkelijke oppervlakte van de weide van boer Cyriel is: Bereken nu volgende verhoudingen: Omtrek vande weideop schaal = Omtrek vande weidein werkelijkheid Oppervlakte vande weideop schaal Oppervlakte vande weideinwerkelijkheid = Is de figuur die op schaal getekend is gelijkvormig met de figuur in werkelijkheid? De verhouding tussen de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan De verhouding tussen de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan Ja / Neen Ter controle kun je in de map Congruentie gelijkvormigheid transformaties het bestand weide openen. Toepassing 2: Een figuur vergroten of verkleinen Klik op Bestand en kies voor Nieuw. Teken een trapezium ABCD. Gebruik hiervoor in de map Macro s de macro speciale vierhoeken. Vergroot dit trapezium met factor 2. Verklein het trapezium ABCD met factor 0,5. Teken hiervoor eerst een punt E dat je als centrum zult gebruiken en kies nadien voor het icoontje en daarna voor Homothetie. 17