Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Dictaat en vraagstukken bij LINEAIRE ALGEBRA & LINEAIRE ANALYSE 3 2Y590 J. de GRAAF Lentetrimester 2000

2 2

3 Inhoudsopgave 0 Voorkennis Vectorruimten Lineaire afbeeldingen Inwendig product Complexificatie Integratie Vectorruimten van polynomen Vectorruimten van polynomen in een reële variabele Vectorruimten van polynomen in twee reële variabelen Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen Genormeerde Vectorruimten Inproductruimten Convergentie in genormeerde ruimten Orthogonale en orthonormale stelsels in IP-ruimten Genormeerde vectorruimten die geen IP-ruimten zijn Lineaire Operatoren tussen genormeerde vectorruimten Lineaire afbeeldingen Vectorruimten van lineaire afbeeldingen Banachruimten, Hilbertruimten Volledigheid en Separabiliteit Convexiteit en projecties De representatiestelling van Riesz Operatoren in Hilbertruimten Sesquilineaire Functionalen (Zelf-)geadjungeerde Operatoren Normale Operatoren

4 4 INHOUDSOPGAVE 5.4 Projectie Operatoren Compacte Operatoren Spectrale Ontbinding van Operatoren Eigenwaarden en eigenvectoren Spectrale resolutie van compacte zelfgeadjungeerde operatoren De Fouriertransformatie als unitaire operator in L 2 (R) Opgaven Voorkennis Vectorruimten van polynomen Genormeerde vectorruimten Lineaire operatoren tussen genormeerde vectorruimten Banachruimten. Hilbertruimten Operatoren in Hilbertruimten Spectrale Ontbinding van Operatoren

5 Hoofdstuk 0 Voorkennis 0.1 Vectorruimten Definitie (Vectorruimte) Een vectorruimte (E, K, +, ) is het ensemble van een verzameling E, een lichaam K bestaande uit getallen of scalairen (in ons geval K = R of K = C), een optelling + in E en een vermenigvuldiging van vectoren met getallen; en wel zó dat voldaan is aan de acht axioma s voor een vectorruimte, zoals behandeld in het 1e jaar. Om de soort van de gebruikte scalairen te benadrukken, gebruiken we soms de notatie E K in plaats van E Voorbeelden (K N, K N ) Standaardvoorbeelden van vectorruimten zijn K N = {x = kolom[x 1,, x N ] xj K, 1 j N}, voor N N, K N = {x = kolom[x 1,, x j, ] xj K, 1 j < }. De optelling en scalaire vermenigvuldiging gaan componentsgewijs Voorbeelden (Functieruimten) Standaardvoorbeelden van functieruimten zijn C([a, b]) = {f : [a, b] K f is continu}. Hier is [a, b] een interval. Pol 1 (N) = {p: R K p is polynoom met coëf in K van hoogstens graad N}. De optelling en de scalaire vermenigvuldiging gaan puntsgewijs. Dus αf + βg wordt gedefinieerd door (αf + βg)(x) = αf(x) + βg(x), voor alle x [a, b] Definitie (Onafhankelijk stelsel) Gegeven: Een stelsel van p stuks vectoren {x 1, x 2,..., x p }. Dit stelsel heet een onafhankelijk stelsel als α 1,..., α p K : [ p α j x j = 0 ] [ α 1 =... = α p = 0 ]. j= Definitie (Opspansel) Gegeven: Een stelsel van p stuks vectoren {x 1, x 2,..., x p }. Het opspansel van dit stelsel is de verzameling x 1,..., x p = { p β j x β1 j, β 2,..., β p K}. j= Definitie (Basis) Gegeven: Een stelsel van n stuks vectoren {b 1, b 2,..., b n }. 5

6 6 Hoofdstuk 0. Voorkennis Dit stelsel heet een basis voor E als het een onafhankelijk stelsel is én bovendien b 1, b 2,..., b n = E Definitie (Dimensie) Gegeven: Een vectorruimte E. Als E = {0} dan dim E = 0. Als E een basis {b 1, b 2,..., b n } heeft, dan dim E = n. Als E {0} en E heeft geen eindige basis dan dim E = Voorbeelden dim K N = N, dim K N = Definitie (Lineaire deelruimte) Gegeven: Een deelverzameling U E. Dan heet U een lineaire deelruimte van E als (U, K, +, ) een vectorruimte is Stelling Gegeven: Een deelverzameling U E. Er geldt: U is dan en slechts dan een lineaire deelruimte van E als U én α, β K x, y U [ αx + βy U ]. Dan is ook U = U Voorbeelden Belangrijke standaard lineaire deelruimten van K N zijn: l (N) = {x x K N, M j N [ x j < M ] }. c 0 = {x x K N, lim x j = 0}. j l 2 (N) = {x x K N, x j 2 < }. j=1 l c (N) = {x x K N, x j 0 voor slechts eindig veel j N }. 0.2 Lineaire afbeeldingen Definitie (Lineaire afbeelding) Gegeven: Twee vectorruimten E en F. Een afbeelding A: E F. Dan heet A een lineaire afbeelding als α, β K x, y E [ A(αx + βy) = αax + βay ] Definitie (Nulruimte, beeldruimte) Gegeven: Lineaire afbeelding A: E F. De nulruimte of kern van A is de verzameling N(A) = A (0) = {u E Au = 0} E De beeldruimte of het bereik van A is de verzameling R(A) = A(E) = {Av F v E} F.

7 0.3. Inwendig product Stelling (Dimensiestelling) Gegeven: Lineaire afbeelding A: E F, dim E <. Dan geldt: dim N(A) + dim R(A) = dim E Definitie (Eigenwaarden/Eigenvectoren) Gegeven: Lineaire afbeelding A: E E. Een getal λ K. Dan heet λ K een eigenwaarde van A, als voor de eigenruimte E λ (A) = N([A λi]) geldt dat E λ (A) {0}. Als x E λ (A) dan heet x, x 0, een eigenvector van A en er geldt Ax = λx. 0.3 Inwendig product Definitie (inwendig product) Een inwendig product of inproduct op een vectorruimte E voegt aan elk tweetal vectoren x, y E een getal (x, y) K zodanig dat de volgende drie regels gelden: x, y, z E α, β K : (1) [ (x, x) > 0 ] [ x 0 ], (2) (x, y) = (y, x), (3) (z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y). De lengte of norm x van x is het getal (x, x). Als een vectorruimte E uitgerust is met een inproduct, dan heet E een inproductruimte of IP-ruimte Voorbeelden Het standaard inproduct op K N doet de complexe conjugatiestreep niks! is (x, y) = N x j y j. In het geval K = R Stelling (Cauchy-Schwarz) Gegeven: Een IP-ruimte E. Twee vectoren x, y E. Dan geldt: (x, y) x y. Het =teken geldt precies dan als {x, y} een afhankelijk stelsel is Definitie (Orthoplement) Gegeven: Een IP-ruimte E. Een vector a E, een deelverzameling W E. We definieren: Het orthoplement a van a, respectievelijk W van W door a = {x E (a, x) = 0 } en W = {x W a W (a, x) = 0 } Stelling Gegeven: Zie voorafgaande definitie. Er geldt: W is een lineaire deelruimte. dim E < (W ) = W (=W als W een lineaire deelruimte is). dim W + dim W = dim E. j=1

8 8 Hoofdstuk 0. Voorkennis Stelling Gegeven: Een IP-ruimte E. Een lineaire deelruimte U E, met dim U <. Een vector x E. Er geldt:! u U! v U [ x = u + v ]. De toevoeging x u is een lineaire afbeelding ( de projectie op U). Notatie u = P U x. 0.4 Complexificatie Gezien als een C-vectorruimte is dim C = 1. De deelverzameling R C is, complex gesproken, geen lineaire deelruimte. Echter, C kan ook als een R- vectorruimte worden opgevat. Dan is dim C = 2 en is, reëel gesproken, R wél een lineaire deelruimte van C. Net zo kan C N als een 2N-dimensionale R- vectorruimte worden opgevat. Hierin is dan R N een N-dimensionale lineaire deelruimte. Complex gesproken is R N wél een deelverzameling van, maar géén lineaire deelruimte van C N. De complexe vectorruimte C N heet wel de complexificatie van R N Uitgaande van een gegeven R-vectorruimrte F zullen we nu, door verdubbeling, een complexe vectorruimte bouwen: de complexificatie F C. Beschouw de verzameling F C = {z z = [x; y], x, y F} = F 2 van geordende paren van vectoren in F. In F C definieren we de optelling door [x; y] + [a; b] = [x + a; y + b]. Als γ = α + iβ C, dan definieren we γz = [αx βy; βx + αy]. De aldus ingevoerde optelling en scalaire vermenigvuldiging maken F C tot een complexe vectorruimte omdat aan de acht axiomas uit het 1e jaar voldaan is. De oorspronkelijke F identificeren we met dubbelvectoren van de vorm [x; 0]. Merk weer op dat F aldus als een deelverzameling van F C opgevat kan worden, maar geen C-lineaire deelruimte ervan is. Vectoren van de vorm [0; y] noteren we met iy zodat z = x + iy geschreven kan worden en alle vertrouwde complexe rekenregels doorgang vinden Stelling Gegeven: Een stelsel van p stuks vectoren {x 1, x 2,..., x p } F. Er geldt: Genoemd stelsel is R-onafhankelijk in F dan en slechts dan als het C-onafhankelijk is in F C Gevolg Een basis voor F is ook een basis voor F C. Omgekeerd natuurlijk niet omdat vectoren in F C meestal buiten F liggen. De (reële) dimensie van F is gelijk aan de (complexe) dimensie van F C.

9 0.5. Integratie Definitie Gegeven: Twee R-vectorruimten E en F. Een lineaire afbeelding A: E F. We definieren de complexificatie A C : E C F C van A door A C (x + iy) = Ax + iay. Aldus is A C een C lineaire afbeelding Voorbeeld De matrix B van een lineaire afbeelding B : R N lineaire afbeelding van C N naar C N. R N, definieert ook een 0.5 Integratie De bouwstenen van een integratietheorie voor functies van één reële variabele zijn Een open interval (a, b) R met a < b. Een (complexe) vectorruimte, notatie Lspec((a, b)), van (complexwaardige) functies op (a, b). De toevoeging spec wil zeggen dat de functies in Lspec((a, b)) aan zekere specificaties moeten voldoen. Voorbeelden van zulke specificaties zijn (stuksgewijs) continu, stuksgewijs constant,ćontinu differentieerbaar, polynomiaal,.... Een lineaire afbeelding I : Lspec((a, b)) C Definitie (Integratietheorie) Gegeven: Bovenstaande bouwstenen. Voorts, willekeurige f, g, h Lspec((a, b)), willekeurige α, β, γ C, willekeurige c, d (a, b). De toevoeging: I : Lspec((a, b)) C, notatie If = integraal als ze de volgende eigenschappen heeft: b a f(x) dx, heet een a) Als (c, d) (a, b) en f I : Lspec((a, b)), dan geldt voor de beperking χ (c,d) f van f tot het interval (c, d), dat χ (c,d) f Lspec((c, d)). b) c) b b b {αf(x) + βg(x)} dx = α f(x) dx + β g(x) dx. a a a (Dus I is een lineaire afbeelding) b a h(x) dx = c a h(x) dx + b c h(x) dx.

10 10 Hoofdstuk 0. Voorkennis d) b a h(x) dx b e) Als x (a, b) : a h(x) dx. x h(t) dt = 0, dan geldt a laatstgenoemde eigenschap noemen wij een niksfunctie. b a h(x) dt = 0. Een functie met Opmerkingen i) Een integratietheorie gaat NIET over het exact berekenen van integralen, dat lukt sowieso tamelijk zelden, maar over het construeren van een toevoeging I voor vectorruimten L die naast nette functies ook super discontinue viezeriken bevatten. Zo kan de Lebesgue-integraal functies aan als x χ Q (x). U weet wel, dat is die functie die gelijk 1 is als x Q en gelijk 0 is als x R\Q. Uit het 1e jaar is U min of meer bekend hoe I geconstrueerd wordt voor (stuksgewijs) continue functies, de Riemann-integraal. Alle eigenschappen in de definitie zijn U zeer vertrouwd! ii) Als L uitsluitend continue functies bevat dan is er maar één niksfunctie, namelijk de functie die overal 0 is. Binnen de Riemann-integratietheorie is een functie die slechts in een eindig aantal punten van 0 verschilt een niksfunctie. Daar zijn er heel veel van. Binnen de Lebesgue-integratietheorie is zelfs χ Q een niksfunctie. Voor χ Q werkt overigens de Riemann-constructie niet: χ Q is niet Riemann-integreerbaar.

11 Hoofdstuk 1 polynomen Vectorruimten van Er zijn twee belangrijke bestaansredenen voor dit hoofdstuk. Op de eerste plaats wordt er op een niet-triviale manier gebruik gemaakt van de wiskunde zoals die ontwikkeld is in LALA 1 en 2 en wordt de leerling van het idee afgeholpen dat lineaire algebra uitsluitend gegoochel met matrices is. Op de tweede plaats spelen de hier geconstrueerde polynomen een cruciale rol bij het vervaardigen van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen. De volgende notaties worden gebruikt: N 0 = {0, 1, 2,... } span A = { N λ k a k N N0, λ k C, a k A } k=0 1.1 Vectorruimten van polynomen in een reële variabele We beschouwen polynomen p(x) = a 0 +a 1 x+ +a N x N in een reële variabele x met complexe coëfficiënten a i, 0 i N met N N 0. Deze polynomen worden complexe polynomen genoemd. Als p(x) = N a k x k met a N 0 dan is de graad van het polynoom, gr(p(x)), k=0 gelijk aan N. Het nulpolynoom p(x) = 0 heeft, bij ons, per definitie graad 0. We merken op dat de graad van p(x) het kleinste getal N uit N 0 is met de eigenschap dat p(x) te schrijven is als N a k x k. k=0 Het nulpolynoom wordt ook met 0 zelf aangegeven. Een polynoom p(x) kunnen we ook als een functie p : R C zien. Een getal α R is een nulpunt van p(x) als p(α) = 0. De volgende stelling is fundamenteel voor de theorievorming Stelling Laat p(x) een complex polynoom van de graad N > 0 zijn. Dan heeft p(x) hooguit N verschillende reële nulpunten. Bewijs: Laat α 1,..., α N N verschillende reële nulpunten van p(x) zijn. 11

12 12 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen Dan is p(x) = c(x α 1 )... (x α N ) met c C, c 0. Laat ξ R van alle α i s verschillen. Dan is p(ξ) = c(ξ α 1 )... (ξ α n ) 0. Het getal ξ is geen nulpunt. Het nulpolynoom is het enige polynoom dat als functie gelijk is aan de nulfunctie Definitie De verzameling van complexe polynomen geven we aan met Pol 1, dus { N } Pol 1 = a i x i N N0, a 0,..., a N C. i=0 Met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging maken we Pol 1 tot een complexe vectorruimte. De vectorruimte Pol 1 heeft het nulpolynoom als nulelement. We merken op dat De lineaire combinatie a 1 p 1 (x) + + a M p M (x) is gelijk aan het nulpolynoom. impliceert dat a 1 p 1 (ξ) + + a M p M (ξ) = 0 voor alle ξ R Stelling } De verzameling monomen Mon = {x n n = 0, 1,... is een basis in Pol 1. Bewijs: We laten zien dat Mon een onafhankelijk stelsel is en Pol 1 opspant, d.w.z. span Mon = Pol 1. Laat p(x) = N a k x k een eindige lineaire combinatie van monomen zijn. Dan k=0 is p(ξ) = 0 voor iedere ξ R. Dus de graad van het polynoom p(x) kan niet groter dan 0 zijn en het polynoom p(x) is gelijk aan de constante 0. De coëfficiënten a 0, a 1,..., a N zijn gelijk aan 0. Dus Mon is een onafhankelijk stelsel. Aangezien ieder polynoom een eindige lineaire combinatie van monomen is, geldt spanmon = Pol 1. Gevolg: p(ξ) = 0 voor alle ξ R p(x) is het nulpolynoom. Omdat Mon een basis met oneindig veel elementen is, geldt dat dim Pol 1 =.

13 1.2. Vectorruimten van polynomen in twee reële variabelen Definitie Pol 1 (n) is de lineaire deelruimte van Pol 1 bestaande uit alle polynomen van hoogstens graad n. We merken op dat {1, x,..., x n } een basis is voor Pol 1 (n) en vinden dim Pol 1 (n) = n Vectorruimten van polynomen in twee reële variabelen We beschouwen de complexe polynomen p(x, y) = N M a i,j x i y j in twee reële variabelen x en y met N, M N 0, a i,j C. Zo n polynoom is een eindige lineaire combinatie van monomen x i y j. De graad van een polynoom p(x, y) geven we met gr(p) of gr(p(x, y)) aan en, per definitie, { } gr(p(x, y)) = max( i + j a i,j 0 of (i, j) = (0, 0) ). De graad van het nulpolynoom p(x, y) = 0 is gelijk aan 0. Polynomen p(x, y) zijn te beschouwen als functies p : R 2 C Definitie De verzameling van complexe polynomen in twee reële variabelen x en y geven we aan met Pol 2, dus { N } M Pol 2 = a i,j x i y j N, M N0, a i,j C. i=0 j=0 Met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging maken we Pol 2 tot een complexe vectorruimte. Het nulelement van Pol 2 is het nulpolynoom p(x, y) = 0 met gr(p(x, y)) = 0. De vectorruimte Pol 1 is een lineaire deelruimte van Pol 2 zodat we kunnen concluderen dim Pol 2 =. Een polynoom p(x, y) kan ook geschreven worden als p(x, y) = M p l (x)y l l=0 i=0 j=0

14 14 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen met p l (x) een polynoom van hoogstens graad N. Er geldt dat p l (x) = N a k,l x k k= Stelling } De verzameling monomen Mon = {x n y m n, m N0 is een basis in Pol 2. Bewijs: We laten zien dat Mon onafhankelijk is en dat spanmon = Pol 2. N M Laat p(x, y) = a i,j x i y j, een eindige lineaire combinatie van monomen, i=0 j=0 gelijk zijn aan het nulpolynoom. Er zijn polynomen p l (x) Pol 1 zodanig dat p(x, y) = Voor alle ξ, η R geldt nu p(ξ, η) = Het complexe polynoom p(ξ, y) = M p l (ξ)η l = 0. l=0 M p l (x)y l. l=0 M p l (ξ)y l in de reële variabele y met l=0 complexe coëfficiënten p l (ξ) is gelijk aan 0. Op grond van stelling geldt voor de coëfficiënten: p 0 (ξ) = p 1 (ξ) = = p M (ξ) = 0. Omdat ξ een willekeurig element uit R is, geldt voor de polynomen p l (x): p 0 (x) = p 1 (x) = = p M (x) = 0. Stelling garandeert dat alle coëfficiënten a i,j, 0 i N en 0 j M gelijk aan 0 zijn. De verzameling Mon is een onafhankelijk stelsel. Het is eenvoudig in te zien dat spanmon = Pol 2. Gevolg : p(ξ, η) = 0 voor alle ξ, η R p(x, y) = Definitie Pol 2 (n) is de lineaire deelruimte van Pol 2 bestaande uit alle polynomen van hoogstens graad n. } Het stelsel {x k y l k, l N, 0 k + l n is een basis in Pol 2 (n). Deze basis bevat (n + 1) = ( ) n+2 2 elementen.

15 1.2. Vectorruimten van polynomen in twee reële variabelen Definitie Laat m N 0. Een m - homogeen polynoom p(x, y) is een polynoom waarvoor geldt dat p(λx, λy) = λ m p(x, y). Het nulpolynoom p(x, y) = 0 is m - homogeen voor iedere m N Stelling Voor een m - homogeen polynoom p(x, y) geldt dat p(x, y) = a i,j x i y j. i+j=m Bewijs: Laat p(x, y) = N i=0 M a i,j x i y j. j=0 Dan geldt voor willekeurige λ dat p(λx, λy) = N i=0 Het samennemen van gelijke machten van λ geeft ( L p(λx, λy) = λ ) l a i,j x i y j l=0 i+j=l M a i,j λ i+j x i y j. waarbij L = gr(p(x, y)) en a i,j = 0 voor i > N of j > M. De homogeniteit van p(x, y) geeft de betrekking L ( l L λ m a i,l i x i y l i = λ ) l a i,j x i y j. l=0 i=0 l=0 i+j=l Voor willekeurige ξ en η R, ingevuld voor x en y, vinden we de volgende gelijkheid voor twee polynomen in λ: L ( L λ m a i,j ξ i η j = λ ) l a i,j ξ i η j. l=0 i+j=l l=0 i+j=l Aangezien {1, λ,..., λ L } een onafhankelijk stelsel is, vinden we dat voor de coëfficiënten van λ l, l m geldt: a i,j ξ i η j = 0. i+j=l j=0

16 16 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen Omdat ξ en η ieder willekeurig getal in R kunnen zijn, vinden we dat voor l m i+j=l a i,j x i y j = 0. Op grond van stelling kunnen we concluderen dat a i,j = 0 voor alle i en j, i + j m en dat p(x, y) = a i,j x i y j. i+j=m Gevolg: Als een m - homogeen polynoom p(x, y) ongelijk 0 is, dan is gr(p(x, y)) gelijk aan m Definitie HomPol 2 (n) is de lineaire deelruimte van Pol 2 bestaande uit alle n - homogene polynomen. Uit stelling volgt onmiddelijk dat HomPol 2 (m), 0 m n, lineaire deelruimten van Pol 2 (n) zijn. Omdat het stelsel {x n, x n 1 y,..., xy n 1, y n } een basis in HomPol 2 (n) is, is dim HomPol 2 (n) = n + 1. Ieder polynoom p(x, y) Pol 2 (n) is éénduidig te schrijven als een som van m - homogene polynomen, 0 m n: p(x, y) = n ( k a l,k l, x l y k l) k=0 l=0 } {{ } k - homogeen. De ruimte Pol 2 (n) is de directe som van de lineaire deelruimten HomPol 2 (k), 0 k n: Pol 2 (n) = HomPol 2 (0) HomPol 2 (1) HomPol 2 (n 1) HomPol 2 (n). Hieronder staan enkele veel voorkomende lineaire afbeeldingen op Pol 2. Deze afbeeldingen hebben de eigenschap dat ze de lineaire deelruimten Pol 2 (n) in Pol 2 (n) zelf afbeelden. Soms beschouwen we hen ook als afbeeldingen in Pol 2 (n).

17 1.2. Vectorruimten van polynomen in twee reële variabelen 17 De Euleroperator E = (x, ) = x x + y y Alle k N 0 zijn eigenwaarden van E. Bij eigenwaarde k hoort HomPol 2 (k) als eigenruimte. De operator L = x y y x L beeldt HomPol 2 (k) in HomPol 2 (k) af. De Laplace-operator = 2 x y 2 kan ook opgevat worden als operator : Pol 2 (n) Pol 2 (n 2), n 2 operator : HomPol 2 (n) HomPol 2 (n 2), n 2 De monomen x k y l zijn eigenvectoren van E. Om de andere twee operatoren te bestuderen introduceren we een nieuw onafhankelijk stelsel van polynomen Stelling Het stelsel {(x + iy) n, (x + iy) n 1 (x iy),..., (x + iy)(x iy) n 1, (x iy) n } is een basis in HomPol 2 (n). Bewijs: Omdat het aantal elementen van het stelsel (n + 1) is en omdat dim HomPol 2 (n) = (n+1) is, is het voldoende om te laten zien dat het stelsel onafhankelijk is. n Veronderstel dat a k (x + iy) n k (x iy) k = 0. k=0 Substitutie van x = r cos(ϕ) en y = r sin(ϕ) levert r n n k=0 a k e i(n 2k)ϕ = 0. Vermenigvuldigen van de laatste gelijkheid met e i(2l n) met 0 l n geeft r n n k=0 a k e i(2l 2k)ϕ = 0 en integreren levert π π ( r n ) n a k e i(2l 2k)ϕ dϕ = r n k=0 n a k k=0 π π e i(2l 2k)ϕ dϕ = r n a l 2π. Omdat a l = 0 voor 0 l n vinden we dat het stelsel onafhankelijk is Stelling De verzameling {(x + iy) n (x iy) m n, m = 0, 1,... } is een basis van Pol 2.

18 18 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen De volgende resultaten zijn eenvoudig na te rekenen Stelling Voor k, l = 0, 1,... geldt: E(x + iy) k (x iy) l = (k + l)(x + iy) k (x iy) l L(x + iy) k (x iy) l = i(k l)(x + iy) k (x iy) l (x + iy) k (x iy) l = 4kl(x + iy) k 1 (x iy) l 1 De operatoren E en L commuteren op Pol 2, d.w.z. dat ELp = LEp voor alle p Pol 2. De polynomen (x + iy) k (x iy) l vormen in Pol 2 een basis van gemeenschappelijke eigenvectoren van beide operatoren. Aan u = (x + iy) k (x iy) l, k, l = 0, 1,... voldoet het polynoom u part = 1 4(k + 1)(l + 1) (x + iy)k+1 (x iy) l+1. De afbeelding (x 2 + y 2 ) is een lineaire afbeelding van HomPol 2 (n) naar HomPol 2 (n), n N 0 vast gekozen. Eigenvectoren van deze afbeelding zijn (x + iy) k (x iy) l bij eigenwaarden 4kl met k + l = n Definitie Lineaire deelruimten van harmonische polynomen: HarmPol 2 = N ( ) HarmPol 2 (n) = N ( ) Pol 2 (n) HarmHomPol 2 (n) = N ( ) HomPol 2 (n) Aangezien de polynomen 1, (x + iy), (x + iy) 2,... een onafhankelijk stelsel vormen en aangezien (x + iy) k = 0, geldt dat dim HarmPol 2 =. Beschouw nu als een lineaire afbeelding : HomPol 2 (n) HomPol 2 (n 2) met n > 0. Op grond van stelling is de afbeelding surjectief, d.w.z. R( ) = HomPol 2 (n 2). De lineaire deelruimte HarmHomPol 2 (n) is de nulruimte van de afbeelding. Op grond van de dimensiestelling weten we dat dim HomPol 2 (n) = dim N ( ) + dim R( ) en dit impliceert dat dim HarmHomPol 2 (n) = 2. Een basis voor HarmHomPol 2 (n) is {(x + iy) n, (x iy) n }. De resultaten aangaande de eindige dimensies zetten we bij elkaar:

19 1.3. Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen Stelling dim Pol 2 (n) = ( n+2 2 dim HarmPol 2 (n) = 2n + 1 dim HomPol 2 (n) = n + 1 dim HarmHomPol 2 (n) = ) = 1(n + 1)(n + 2) 2 { 2, n > 0 1, n = Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen We beschouwen complexe polynomen p(x, y, z) = N i=0 M j=0 k=0 L a i,j,k x i y j z k in drie reële variabelen x, y en z met N, M, L N 0, a i,j,k C. Zo n polynoom is een eindige lineaire combinatie van monomen x i y j z k. De graad van een polynoom p(x, y, z) geven we weer met gr(p) of gr(p(x, y, z)) aan en, per definitie, { } gr(p(x, y, z)) = max( i + j + k a i,j,k 0 of (i, j, k) = (0, 0, 0) ). De graad van het nulpolynoom p(x, y, z) = 0 is weer gelijk aan 0. Polynomen p(x, y, z) zijn te beschouwen als functies p : R 3 C Definitie De verzameling van complexe polynomen in drie reële variabelen x, y en z geven we aan met Pol 3, dus { N } M L Pol 3 = a i,j,k x i y j z k N, M, L N0, a i,j,k C. i=0 j=0 k=0 Met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging maken we Pol 3 tot een complexe vectorruimte. Het nulelement van Pol 3 is het nulpolynoom p(x, y, z) = 0. De vectorruimte Pol 2 is een lineaire deelruimte van Pol 3 zodat we kunnen concluderen dim Pol 3 =.

20 20 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen Een polynoom p(x, y, z) kan geschreven worden als p(x, y, z) = L p k (x, y)z k k=0 met p k (x, y) een polynoom van hoogstens graad N + M. Er geldt dat p k (x, y) = N M a i,j,k x i y j i=0 j= Stelling } De verzameling monomen Mon = {x i y j z k i, j, k N0 is een basis in Pol 3. Bewijs: Zie het bewijs van stelling Gevolg : p(ξ, η, ζ) = 0 voor alle ξ, η, ζ R p(x, y, z) = Definitie Pol 3 (n) is de lineaire deelruimte van Pol 3 bestaande uit alle polynomen van hoogstens graad n Definitie Laat m N 0. Een m - homogeen polynoom p(x, y, z) is een polynoom waarvoor geldt dat p(λx, λy, λz) = λ m p(x, y, z) Stelling Voor een m - homogeen polynoom p(x, y, z) geldt dat p(x, y, z) = i+j+k=m a i,j,k x i y j z k. Bewijs: Zie het bewijs van stelling Definitie HomPol 3 (n) is de lineaire deelruimte van Pol 3 bestaande uit alle n - homogene polynomen.

21 1.3. Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen 21 Uit stelling volgt onmiddelijk dat HomPol 3 (m), 0 m n, lineaire deelruimten van Pol 3 (n) zijn. Ieder polynoom p(x, y, z) Pol 3 (n) kan éénduidig geschreven worden als een som van m - homogene polynomen, 0 m n: p(x, y, z) = n ( m=0 i+j+k=m a i,j,k x i y j z k) } {{ } m - homogeen. De ruimte Pol 3 (n) is de directe som van de lineaire deelruimten HomPol 3 (m), 0 m n: Pol 3 (n) = HomPol 3 (0) HomPol 3 (1) HomPol 3 (n 1) HomPol 3 (n). Opmerking: HomPol 3 (n) = HomPol 3 (n) = Stelling Voor alle n N 0 geldt: { } p 0 (x, y)z n + p 1 (x, y)z n p n (x, y) p l (x, y) HomPol 2 (l) { i+j+k=m a i,j,k x i y j z k ai,j,k C (1) dim HomPol 3 (n) = (n + 1) = ( n+2 2 ) ( + + n+2 ) (2) dim Pol 3 (n) = ( 2 2) + ( ) = ( n+3 3 Bewijs: (1) De dimensie van HomPol 3 (n) is gelijk aan de dimensie van Pol 2 (n). (2) De dimensie van Pol 3 (n) is de som van de dimensies van de deelruimten van m - homogene polynomen, dus dim Pol 3 (n) = } ) n m=0 Met behulp van de driehoek van Pascal is deze som te bepalen. (dim HomPol 3 (m)). Veel voorkomende lineaire afbeeldingen op Pol 3 die ook als lineaire afbeeldingen op Pol 3 (n) beschouwd kunnen worden: De Euleroperator E = (x, ) = x x + y y + z z Alle k N 0 zijn eigenwaarden van E. Bij eigenwaarde k hoort HomPol 3 (k) als eigenruimte.

22 22 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen De operatoren L z = x y y x, L x = y z z y en L y = z x x z Deze operatoren beelden HomPol 3 (k) in HomPol 3 (k) af. De Laplace-operator = 2 x y z 2 De monomen x i y j z k zijn eigenvectoren van E. Om de andere operatoren te bestuderen voeren we een nieuwe basis van polynomen in Stelling Het stelsel {(x + iy) j (x iy) k z l j, k, l N0 } is een basis in Pol 3. Bewijs: We merken op dat {(x + iy) j (x iy) k z l j + k + l = n } een basis is in HomPol 3 (n) Stelling Voor k, l, m = 0, 1,... geldt: Stelling E(x + iy) k (x iy) l z m = (k + l + m)(x + iy) k (x iy) l L z (x + iy) k (x iy) l z m = i(k l)(x + iy) k (x iy) l z m (x + iy) k (x iy) l z m = 4kl(x + iy) k 1 (x iy) l 1 z m + m(m 1)(x + iy) k (x iy) l z m 2 Alle n N 0 zijn eigenwaarde van E met eigenruimte HomPol 3 (n). is een lineaire afbeelding van HomPol 3 (n) op HomPol 3 (n 2), n > 2. x 2 is een lineaire afbeelding op HomPol 3 (n). L z is een lineaire afbeelding op HomPol 3 (n) Definitie Lineaire deelruimten van harmonische polynomen:

23 1.3. Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen 23 HarmPol 3 = N ( ) HarmPol 3 (n) = N ( ) Pol 3 (n) HarmHomPol 3 (n) = N ( ) HomPol 3 (n) Stelling Een polynoom p(x, y, z) HarmHomPol 3 (n) met p n (x, y) + p n 1 (x, y)z n p 0 (x, y)z n wordt volledig bepaald door p n (x, y) HomPol 2 (n) en p n 1 (x, y) HomPol 2 (n 1). Bewijs: Uit 0 = ( n p l (x, y)z n l ) volgt l=0 0 = n n 2 (p l (x, y))z n l + (n l)(n l 1)p l (x, y)z n l 2 l=2 l=0 en door gelijke machten van z bij elkaar te nemen vinden we p l 2 (x, y) = 1 (n l + 2)(n l + 1) (p l(x, y)), 2 l n. Gevolgen: Een polynoom p(x, y, z) HarmHomPol 3 (n) wordt volledig bepaald door de polynomen p(x, y, 0) en p,z (x, y, 0). Laat p n (x, y) HomPol 2 (n). Dan geldt p n (x, y) z2 2! p n(x, y)+ z4 4! 2 p n (x, y) +( 1) k z2k (2k)! k p n (x, y) = = cos(z )p n (x, y) HarmHomPol 3 (n) met n 1 2k n. Merk op dat k p n (x, y) = 0 als k > n/2.

24 24 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen Stelling Laat p n 1 (x, y) HomPol 2 (n 1). Dan geldt zp n 1 (x, y) z3 3! p n 1(x, y) + z5 5! 2 p n 1 (x, y) + +( 1) k z 2k+1 (2k + 1)! k p n 1 (x, y) = = sin(z ) p n (x, y) HarmHomPol 3 (n) met n 2 2k n 1. Merk op dat k p n (x, y) = 0 als k > (n 1)/2. dim HarmHomPol 3 (n) = 2n + 1 dim HarmPol 3 (n) = (n + 1) 2 De lineaire afbeelding beeldt HomPol 3 (n) surjectief af op HomPol 3 (n 2), n 2. Bewijs: Op grond van stelling geldt dat dim HarmHomPol 3 (n) = dim HomPol 2 (n)+dim HomPol 2 (n 1) = 2n+1. De dimensie van HarmPol 3 (n) is de som van de dimensies van HarmHomPol 3 (m), n 1 m n. Nu is (2m + 1) = (n + 1) 2. m=0 Beschouw als een lineaire afbeelding van HomPol 3 (n) op HomPol 3 (n 2). De dimensiestelling luidt: dim HomPol 3 (n) = dim N ( ) + dim R( ). Gevolg: dim R( ) = ( ) ( n+2 2 (2n + 1) = n ) 2 = dim HomPol3 (n 2). Omdat R( ) HomPol 3 (n 2) vinden we dat R( ) = HomPol 3 (n 2). Gevolg: De vergelijking u = f met f HomPol 3 (n 2) heeft een oplossing u HomPol 3 (n). We introduceren polynomen Q l,m, l m l met m Z en l N 0. Hierbij wordt stevig gebruik gemaakt van het feit dat [ϕ(z)ψ(x, y)] = ϕ (z)ψ(x, y) + ϕ(z) (ψ(x, y)).

25 1.3. Vectorruimten van polynomen in drie reële variabelen 25 We kiezen een l N 0. Bij deze l worden nu 2l+1 polynomen Q l,m (x, y, z) gemaakt. Deze polynomen zijn in twee klassen in te delen en wel de polynomen met even respectievelijk oneven machten van z. Anders gezegd: polynomen die even respectievelijk oneven t.o.v. het (x,y)-vlak zijn. Laat l = 0, 1,.... Bij iedere l horen (l + 1) polynomen met even machten van z. Q l,l = (x + iy) l Q l,l 2 = (x + iy) l 1 (x iy) 1 2! 4 (l 1) 1 z2 (x + iy) l 2 Q l,l 4 = (x + iy) l 2 (x iy) 2 1 2! 4 (l 2) 2 z2 (x + iy) l 3 (x iy) ! 42 (l 2)(l 3) 2 1 z 4 (x + iy) l 4 Q l, (l 2) = (x + iy)(x iy) l 1 1 2! 4 1(l 1)z2 (x iy) l 2 Q l, l = (x iy) l Merk op dat de koptermen van deze polynomen gelijk zijn aan (x+iy) 1 2 (l+m) (x iy) 1 2 (l m) met m = l, l + 2,..., l. Bij iedere l horen l polynomen met oneven machten van z. Q l,l 1 = z(x + iy) l 1 Q l,l 3 = z(x + iy) l 2 (x iy) 1 3! 4 (l 2) 1 z3 (x + iy) l 3 Q l,l 5 = z(x + iy) l 3 (x iy) 2 1 3! 4 (l 3) 2 z3 (x + iy) l 4 (x iy) ! 42 (l 3)(l 4) 2 1 z 5 (x + iy) l 5 Q l, (l 3) = z(x + iy)(x iy) l 2 1 3! 4 1(l 2)z3 (x iy) l 3 Q l, (l 1) = z(x iy) l 1 Merk op dat hier de koptermen gelijk zijn aan z(x+iy) 1 2 (l 1+m) (x iy) 1 2 (l 1 m) met m = l + 1, l + 3,..., l 1 zijn Stelling De polynomen Q l,m, l m l, vormen een basis in HarmHomPol 3 (n). Bewijs: Het aantal polynomen is gelijk aan de dimensie van HarmHomPol 3 (l).

26 26 Hoofdstuk 1. Vectorruimten van polynomen Het volstaat dus de onafhankelijkheid te bewijzen. Veronderstel dat er getallen λ l,m C zijn, zodat λ l,l Q l,l + λ l,l 2 Q l,l λ l, l Q l, l + λ l,l 1 Q l,l 1 + λ l,l 3 Q l,l λ l, (l 1) Q l, (l 1) = 0. Neem z = 0, dan volgt λ l,l = λ l,l 2 = = λ l, l = 0 wegens de onafhankelijkheid van (x + iy) k (x iy) l. We vinden dus λ l,l 1 Q l,l 1 + λ l,l 3 Q l,l λ l, (l 1) Q l, (l 1) = 0. Deel door z en laat z 0. Dan, simili modo, λ l,l 1 = = λ l, (l 1) = 0. Opmerking: EQ l,m = lq l,m L z Q l,m = imq l,m De polynomen Q l,m zijn, op een normeringsconstante na, bepaald door de quantumgetallen l en m. Opmerking: In cylindercoördinaten x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ) en z = z vinden we Q l,l = r l e ilϕ Q l,l 1 = zr l 1 e i(l 1)ϕ [ ] Q l,l 2 = r l (l 1) 1 4 z 2 r l 2 e i(l 2)ϕ 2! etc. Opmerking: In bolcoördinaten x = ρ sin(ϑ) cos(ϕ), y = ρ sin(ϑ) sin(ϕ) en z = ρ cos(ϑ) vinden we Q l,m = c l,m ρ l P l,m (ϑ)e imϕ, l m l. Hierin is P l,m (ϑ) een polynoom van de graad l in sin(ϑ) en cos(ϑ). Voorts is c l,m een later geschikt te kiezen normeringsconstante. Tenslotte: De functies Y l,m (ϑ, ϕ) = P l,m (ϑ)e imϕ worden in de literatuur wel Spherische Harmonischen of Surface Harmonics genoemd.

27 Hoofdstuk 2 Genormeerde Vectorruimten 2.1 Inproductruimten Ons uitgangspunt is een (complexe) vectorruimte E die voorzien is van een (complex) inproduct. Uitgaande van dit inproduct voeren we op E een afstandsbegrip in. Tenslotte kijken we nog naar vectorruimten die voorzien zijn van een afstandsbegrip dat niet van een inproduct afkomstig is Definitie Gegeven: Een complexe vectorruimte E. We noemen de afbeelding (, ) : E E C, een inwendig product op E, als x, y, z E α, β C geldt: a) (x, y) = (y, x), b) (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), c) (x, x) 0 en [ ] (x, x) = 0 x = 0. Een (complexe) vectorruimte E die voorzien is van een inwendig product (, ) heet wel inproductruimte, IP-ruimte, pre-hilbertruimte en ook wel eens unitaire ruimte Voorbeelden (Inproductruimten) a) De verzameling C kan als een 1 dimensionale complexe vectorruimte worden opgevat. Een inproduct op C wordt gegeven door (x, y) = xy. b) Een inproduct op C N = {x = kolom[x 1,, x N ] wordt gegeven door (x, y) = N x j y j = x T y. j=1 27 x j C, 1 j N},

28 28 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten c) Een inproduct op l 2 (N) = {x = kolom[x 1,, x j, ] x j C, 1 j <, x j 2 < }, wordt gegeven door (x, y) = x j y j. In dit geval is het inproduct dus de j=1 som van een reeks. Deze reeks is convergent omdat ze gemajoreerd wordt door 1 { x 2 j 2 + y j 2 }. j=1 d) Het voorafgaande voorbeeld is een zgn rijtjesruimte waarin als index de natuurlijke getallen N gebruikt zijn. Vaak is het, op boekhoudkundige gronden handig om in plaats van N een andere indexverzameling, zeg I, te nemen. Van I wordt dan wel geeist dat het een aftelbare verzameling is, dat wil zeggen in een-op-een - correspondentie met N staat. Simpel gezegd betekent dit dat de namen in I in een rij met een begin, onder de natuurlijke getallen, gezet kunnen worden. Voor ons belangrijke voorbeelden van indexverzamelingen zijn N, de gehele getallen Z, paren van natuurlijke getallen N 2, paren van gehele getallen Z 2 en oneindige deelverzamelingen hiervan. Een voorbeeld van de laatstgenoemde is A = {(k, m) k N, k m k}. Verzamelingen van quantumgetallen. Een inproduct op l 2 (I) = {x = [, x α, ], x α C, α I j=1 x α 2 < }. α I wordt gegeven door (x, y) = α I x α y α. In dit geval is het inproduct weer de som van een reeks. Net als in het l 2 (N) geval volgt de convergentie door majoreren. Omdat de reeks ook hier absoluut convergent is, doet de sommatievolgorde over I er niet toe. Elke gekozen sommatievolgorde leidt tot eenzelfde antwoord. In theoretisch opzicht is er geen verschil tussen l 2 (N) en l 2 (I). e) Een belangrijke lineaire deelruimte van l 2 (N) wordt gegeven door l c (N) = {x = kolom[x 1,, x j, ] slechts eindig veel der x j zijn 0}. Als inproduct voor l c (N) nemen we dat van l 2 (N). Volkomen analoog hieraan kan ook l c (I) ingevoerd worden. Merk op dat, op hun beurt, alle ruimten C N als deelruimten van l c (N) opgevat kunnen worden door aan de kolomvectoren in C N een oneindige staart van nullen te hangen.

29 2.1. Inproductruimten 29 f) Bovenstaande rijtjesruimten kunnen opgevat worden als functieruimten, ze bevatten functies over een discrete verzameling I. We willen nu functieruimten gaan invoeren over intervallen (a, b) met a < b + en ook over meerdimensionale gebieden. Een inproduct op een ruimte van stuksgewijs continue functies L 2,stc ((a, b)) = {f b f is stuksgewijs continu op (a, b), f(x) 2 dx < } a wordt gegeven door (f, g) = b a f(x) g(x) dx. De integraal in het inproduct is convergent want de integrand wordt absoluut gemajoreerd door 1 2 { f(x) 2 + g(x) 2 }. We gaan na of ons inwendig product eigenschap 2.1.1c heeft: (f, f) = 0 betekent b a f(x) 2 dx = 0. Dus f is een niksfunctie, maar hoeft geen nulfunctie te zijn! Gelukkig kan alleen f(x) 0 als x een punt is waar f niet continu is. En zulke punten zijn er niet zo veel als f stuksgewijs continu is. We stellen ons nu op het practische standpunt dat we twee functies als dezelfde beschouwen als ze slechts in wat losse punten van elkaar verschillen. Conclusie: Er is niet in stricte zin voldaan aan 2.1.1c, maar daar hebben we verder geen last van. g) Enkele belangrijke lineaire deelruimten van L 2,stc ((a, b)) zijn: L 2,cont ((a, b)) = {f f is continu, b a f(x) 2 dx < }. Merk op dat in deze ruimte wél in stricte zin aan 2.1.1c is voldaan. Onder een trapfunctie op (a, b), verstaan we een functie die op een eindig aantal begrensde deelintervallen van (a, b) een constante waarde aanneemt, en daarbuiten gelijk is aan 0. We definieren: L 2,trap ((a, b)) = {f f is een trapfunctie, b a f(x) 2 dx < },

30 30 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten Tenslotte, laat a c < d b. De functieruimten L 2,stc ((c, d)) kunnen als lineaire deelruimten van L 2,stc ((a, b)) opgevat worden als je hun functies buiten het interval (c, d) met 0 voortzet. h) In de beschouwingen onder f) en g) kunnen we het interval (a, b) vervangen door R 2, R 3, R n of ook door deelgebieden in R n, n N. Voor wiskundig gevorderden: Onder een stuksgewijs continue functie van een of meerdere variabelen verstaan we een functie die continu is in alle punten van een open en dichte deelverzameling van haar definitiegebied Definitie Gegeven: Een (complexe)vectorruimte E. De afbeelding : E [0, ), heet een norm op E, als x, y E λ C geldt: a) x = 0 x = 0, b) λx = λ x, c) x + y x + y ( De Driehoeksongelijkheid). Het getal d(x, y) = x y heet de afstand tussen x en y. Een (complexe) vectorruimte E die voorzien is van een norm heet Genormeerde Vectorruimte. Merk op dat x > 0 als x 0. De volgende stellingen geven enkele verbanden tussen inproducten, normen en afstanden in een inproductruimte Stelling Gegeven: Een inproductruimte E. Notatie: x y betekent: (x, y) = 0. Dan geldt x, y E: i. x y (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) (Pythagoras) ii. (x, y) 2 (x, x)(y, y). (Cauchy-Schwarz) Bewijs. i. Schrijf het linkerlid uit en maak gebruik van (x, y) = 0.

31 2.1. Inproductruimten 31 ii. Voor y = 0 is de bewering blijkbaar correct. Veronderstel y 0. λ R geldt 0 (x + λy, x + λy) = Re(x + λy, x + λy) = (x, x) + 2λ Re(x, y)+λ 2 (y, y). Als functie van λ is deze kwadratische uitdrukking 0. Dit heeft als gevolg dat de discriminant 0 moet zijn. In formule: Re(x, y) 2 (x, x)(y, y). Merk op dat het complexe getal (x, y) geschreven kan worden als (x, y) e iθ met θ R. Doe bovenstaande beschouwing nu over met y vervangen door z = e iθ y. Onder toepassing daarvan komt er (x, y) 2 = Re(x, z) 2 (x, x)(z, z) = (x, x)(y, y) Stelling Gegeven: Een inproductruimte E. Dan geldt: De toevoeging x x = (x, x) is een norm. Voorts geldt x, y, z E : i) x y x + y 2 = x 2 + y 2 (Pythagoras) ii) (x, y) x y. (Cauchy-Schwarz) iii) De driehoeksongelijkheid: x y x + y x + y. iv) Geformuleerd met afstanden luidt de driehoeksongelijkheid: d(x, z) d(z, y) d(x, y) d(x, z) + d(z, y). v) De Parallellogramwet geldt: ) x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2 Bewijs. i.) Zie i) in vorige stelling. ii.) Zie ii) in vorige stelling. iii.) Omdat Re(x, y) (x, y) x y, geldt x 2 2 x y + y 2 (x, x) + 2 Re(x, y) + (y, y) x x y + y 2. Worteltrekken levert de te bewijzen bewering. iv.) Vervang in iii) x door x z en y door y z.

32 32 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten v.) Schrijf uit. De gemengde inproducten blijken weg te vallen Opmerking In reële inproductruimten wordt de hoek θ tussen twee vectoren x en y gedefinieerd door θ = arccos{ (x,y) }. Voor complexe inproducten x y wordt dit niet gedaan. Het begrip orthogonaal (=loodrecht) blijft echter gehandhaafd. 2.2 Convergentie in genormeerde ruimten Analoog aan de gang van zaken in R en in eindig dimensionale ruimten definieren we gesloten deelverzamelingen en limieten van rijen Definitie Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E, een punt a E, een getal r > 0. Dan heten de verzamelingen B(a, r) = {x E x a < r}, B(a, r) = {x E x a r}, S(a, r) = {x E x a = r}, respectievelijk open bal, gesloten bal, sfeer, met middelpunt a en straal r Definitie Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een deelverzameling W E. We noemen W een begrensde deelverzameling als geldt R > 0 [ W B(0, R) ] Definitie Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een rij punten {x n } n=0 E. Een punt a E. We zeggen: {x n } convergeert naar a, of ook x n a, als geldt x n a 0, als n. Equivalent hiermee is de uitspraak ε > 0 N N n > N [ x n a < ε ]. We zeggen: {x n } is een convergente rij, als er een punt a E is, zodat x n a. Het punt a heet de limiet van de rij {x n }.

33 2.2. Convergentie in genormeerde ruimten Stelling Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Twee convergente rijen in E: x n x en y n y. Twee convergente rijen in C: λ n λ en µ n µ. Dan geldt: {x n } is een begrensde verzameling, λ n x n λx, (λ n x n, µ n y n ) (λx, µy), λ n x n λx. x n +y n x+y, Bewijs. We bewijzen hier alleen de tweede bewering. Doe de overige zelf. We schatten: λ n x n λx = (λ n λ)x n + λ(x n x) λ n λ x n + + λ x n x. Omdat x n x, geldt voor n voldoende groot dat x n x +1. Beide termen naderen dus naar 0 als λ n λ en x n x Definitie Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een deelverzameling W E. We noemen W een gesloten deelverzameling van E als uit {x n } W en x n x altijd volgt dat ook x W. Een deelverzameling van E die niet gesloten is, kunnen we afsluiten, dat wil zeggen alle limietpunten toevoegen. Preciezer: Definitie (Afsluiting) Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een deelverzameling U E. We definieren de afsluiting U van U door U = {x E {x n } U met x n x}. Een verzameling U is dus gesloten als U = U. De eerder ingevoerde gesloten bal heet terecht zo! Stelling De afsluiting van een lineaire deelruimte is weer een lineaire deelruimte. Bewijs. Laat U een lineaire deelruimte in E zijn. Neem x, y U. Laat {x n } U en {y n } U convergente rijen zijn met x n x en y n y. Omdat U een lineaire deelruimte is, is voor willekeurige α, β C de rij {αx n + βy n } U. Tenslotte geldt op grond van Stelling αx n + βy n αx + βy. Dus αx + βy U Definitie (Dichte deelverzamelingen) Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een deelverzameling W E. We zeggen: W is dicht in E als voor de afsluiting W van W geldt W = E. Een equivalente formulering is: x E ε > 0 [ B(x, ε) W ].

34 34 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten Voorbeelden a) l 2,c (N) is dicht in l 2 (N). b) L 2,trap ((a, b)) is dicht in L 2,cont ((a, b)) en ook in L 2,stc ((a, b)). c) L 2,cont ((a, b)) is dicht in L 2,stc ((a, b)) Definitie (Compacte deelverzamelingen) Gegeven: Een genormeerde vectorruimte E. Een deelverzameling W E. We zeggen W is compact als iedere rij {x n } W een convergente deelrij bevat, met limiet in W Stelling Compacte verzamelingen zijn gesloten en begrensd. Bewijs. i) Laat W E een compacte deelverzameling zijn. Laat {x n } W een rij zijn met limiet x E. Elke deelrij van {x n } is dan eveneens convergent met limiet x. Op grond van de compactheid is dan x E. Blijkbaar is W gesloten. ii) Veronderstel eens dat W E onbegrensd is. Dan bevat W een rij {y n } met y n > n. Elke deelrij van deze rij is dan eveneens onbegrensd en kan dus niet convergent zijn. Bijgevolg kan een onbegrensde verzameling nooit compact zijn Voorbeelden a) In R N en C N zijn verzamelingen die zowel gesloten als begrensd zijn ook altijd compact. In dit geval geldt dus de omkering van voorafgaande stelling. b) De gesloten bal B(0, 1) l 2 (N) is zowel gesloten als begrensd. Echter de rij {e n }, met e n de kolom die op de n-de positie een 1 heeft en verder overal nullen, bevat geen convergente deelrij. Conclusie: In -dimensionale genormeerde ruimten geldt de omkering van laatstgenoemde stelling in het algemeen NIET. 2.3 Orthogonale en orthonormale stelsels in IPruimten Het begrip orthonormale basis uit de theorie van eindig dimensionale vectorruimten wordt hier uitgebreid naar -dimensionale inproductruimten. Omdat hier oneindige sommen een rol spelen zal het convergentie-begrip, en dus ook het afstandsbegrip, in de betreffende IP-ruimte een wezenlijke rol spelen.

35 2.3. Orthogonale en orthonormale stelsels in IP-ruimten Definitie (Orthonormale stelsels) Gegeven: Een IP-ruimte E, een stelsel S E zodat 0 / [ S. ] Het stelsel S heet een orthogonaal stelsel als x, y S x y x y. Het stelsel S heet een orthonormaal stelsel als bovendien x, S [ x = 1 ]. We spreken van een orthonormale rij als S = {e n } n I, meestal is I = N of I = Z. Dan geldt dus { 0, m n (e n, e m ) = δ nm = 1, m = n. Merk op dat van een orthogonaal stelsel S een orthonormaal stelsel S 1 gemaakt kan worden door te stellen S 1 = { x x S} Stelling Orthogonale stelsels zijn lineair onafhankelijke stelsels. Bewijs. Een (oneindig) stelsel vectoren heet (algebraisch) onafhankelijk als ELK eindig deelstelsel dat is. Veronderstel dat N α j x j = 0 en dat alle x j ongelijk 0 zijn en onderling loodrecht. Dan volgt uit het nemen van inproducten met respectievelijk x k, 1 k N, dat alle coëfficienten α j gelijk 0 moeten zijn Voorbeelden (Orthonormale Stelsels) x j=1 a) In l 2 (N) is {e n = kolom[0,, 0, 1, 0, ] n N, 1 op n-e positie en verder 0-en} een orthonormaal stelsel. b) Zowel in L 2,stc (( π, π)) als in L 2,cont (( π, π)) vormen de functies {φ n (x) = 1 2π e inx n Z} een orthonormaal stelsel. c) De rij functies { 1 2π, sin x π, cos x π, sin 2x π, cos 2x π, } is een orthonormale rij, zowel in L 2,stc (( π, π)) als in L 2,cont (( π, π)).

36 36 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten d) De rijen functies 1 { π, 2 { sin x, π cos x, π cos 2x, π cos 3x, }, π 2 2 sin 2x, π sin 3x, }, π zijn beide orthonormale rijen, zowel in L 2,stc ((0, π)) als in L 2,cont ((0, π)). e) De Legendre polynomen P n, n = 0, 1, 2, worden gedefinieerd door P 0 (x) = 1, P n (x) = 1 d n (x 2 1) n. Zowel in L 2 n n! dx n 2,stc (( 1, 1)) als in L 2,cont n (( 1, 1)) vormen de functies { + 1P 2 n(x) n = 0, 1, 2,, } een orthonormaal stelsel. f) De Hermite polynomen H n, n = 0, 1, 2, worden gedefinieerd door H n (x) = ( 1) n e x2 d n e x2. Het stelsel functies dx n 2 1 {Ψ n (x) = 2 H n (x) n = 0, 1, 2 } vormt een orthonormaal 2 n n! π e x stelsel in zowel L 2,stc (R) als in L 2,cont (R). g) De Spherische Harmonischen Stelling (Pythagoras) Gegeven:Een orthogonaal stelsel S = {x n } n N in een IP-ruimte E. Dan geldt N x k 2 = k=1 N x k 2. k=1 Bewijs. Schrijf het inproduct (x x N, x x N ) uit. Vanwege de orthogonaliteit zijn alle gemengde inproducten Stelling (Ongelijkheid van Bessel) Gegeven:Een orthonormale rij {e n } n N in een IP-ruimte E. Dan geldt x E N N a) x N (e k, x)e k 2 = x 2 k=1 N (e k, x) 2. k=1

37 2.3. Orthogonale en orthonormale stelsels in IP-ruimten 37 b) N (e k, x) 2 x 2. k=1 c) (e k, x) 2 x 2. k=1 Dus het rijtje complexe getallen {(e n, x)} n N l 2 (N). In plaats van N kan natuurlijk een willekeurige aftelbare indexverzameling I genomen worden. Bewijs. a) Voor willekeurige complexe getallen α k geldt x N α k e k 2 = x 2 N (e k, x) 2 + N (e k, x) α k 2. k=1 k=1 Neem nu α k = (e k, x). b) Volgt uit a) door op te merken dat het linkerlid, dus ook het rechterlid, 0 is. c) Neem in b) de limiet voor N. Deze limiet bestaat omdat de rij van partiële sommen monotoon niet-dalend is en van boven begrensd wordt door x 2. k= Definitie (Gegeneraliseerde Fourierreeks) Gegeven: Een orthonormale rij {e n } n N in een IP-ruimte E. Een vector x E. Dan heet de reeks x (e k, x)e k de (gegeneraliseerde) Fourierreeks voor x. k=1 De interessante vraag is natuurlijk: Onder welke omstandigheden wordt x door genoemde reeks voorgesteld? Definitie (Orthonormale Basis) Gegeven: Een orthonormale rij {e n } n N in een IP-ruimte E. We zeggen: {e n } n N is een orthonormale basis in E, als x E [ ] x = (e n, x)e n, n=1

38 38 Hoofdstuk 2. Genormeerde Vectorruimten met andere woorden x E [ lim x N (e n, x)e n = 0 ]. N n= Opmerking Als {Ψ n } een orthonormale basis is in L 2,stc ((a, b)) en f is een functie in dezelfde ruimte, dan betekent f = (Ψ n, f)ψ n, dat hierin is b lim f(x) N a α k = b a N α n Ψ n (x) 2 dx = 0, n=1 Ψ k (t)f(t) dt Stelling (Parseval) Gegeven: Een orthonormale rij {e n } n N in een IP-ruimte E. Dan geldt: [ ] a) {e n } n N is een orthonormale basis = [ [ ] n N (e n, x) = 0 [ x = 0] ]. b) {e n } n N is een orthonormale basis in E, dan en slechts dan als geldt: [ x E (e k, x) 2 = x ]. 2 k=1 c) {e n } n N is an orthonormal base in E, dan en slechts dan als geldt n=1 opspansel{e n } n N is dichte deelverzameling in E. Bewijs. a) Als x kan worden voorgesteld door x = (e n, x)e n en als n N (e n, x) = 0, dan moet wel gelden x = 0. b ) Als in de uitdrukking a) van Stelling het linkerlid 0 als N, dan moet ook het rechterlid 0 als N. Deze laatste limiet is precies n=1

39 2.4. Genormeerde vectorruimten die geen IP-ruimten zijn 39 de Parsevalidentiteit. b ) Als in de uitdrukking a) van Stelling het rechterlid 0 als N, dan moet ook het linkerlid 0 als N. Dit laatste zegt precies dat {e n } n N een orthonormale basis in E is. c ) Als {e n } een orthonormale basis, dan is blijkend Definitie iedere x E willekeurig dicht te benaderen door een eindige lineaire combinatie der e n s. c ) Als {e n } geen basis is dan is blijkens de ongelijkheid van Bessel en deel b) van deze stelling x 2 (e k, x) 2 = δ 2 > 0, voor zekere x E. k=1 Met de eerste formule uit het bewijs van Stelling a vinden we dat voor willekeurige complexe getallen α k geldt x N α k e k 2 = δ 2 + (e k, x) 2 + N (e k, x) α k 2 > δ 2. k=1 k=n+1 Dit zegt dat we met eindige lineaire combinaties van e n s altijd tenminste op afstand δ van x blijven. Dit is in strijd met de v eronderstelling dat het opspansel der e n s dicht zou liggen. k= Opmerkingen a) Deel a) van de stelling zegt: Als een vector x loodrecht staat op alle vectoren van een orthonormale basis (en dus op het opspansel van die basisvectoren) dan kan x alleen de nulvector zijn. b) We zullen later nog zien dat, onder een extra voorwaarde op E, ook de omkering van deel a) van de stelling geldt. c) De Parsevalidentiteit (deel b van de stelling) kan worden gezien als de dimensionale versie van de stelling van Pythagoras Stelling Alle in Voorbeelden (2.3.3) genoemde orthonormale rijen/stelsels zijn ook orthonormale bases. 2.4 Genormeerde vectorruimten die geen IP-ruimten zijn In sectie 1.1 hebben we van IP-ruimten genormeerde vectorruimten gemaakt door een norm in te voeren volgens x = (x, x). Onze beschouwingen over begrensdheid, ballen, convergentie in sectie 2.2 maakten alleen gebruik van het normbegrip in Definitie en niet van het achterliggende inproduct.