Hawking Straling. Universiteit van Amsterdam. Begeleider: Prof. dr. Erik Verlinde. Auteur: Sam van Leuven,

Transcriptie

1 Universiteit van Amsterdam ITFA Bachelor project Hawking Straling Auteur: Sam van Leuven, Begeleider: Prof. dr. Erik Verlinde Tweede Begeleider: Prof. dr. Kostas Skenderis 12 EC variant. Uitgevoerd in de periode van 10 mei tot 7 juli 2010

2 Samenvatting In deze scriptie zal een korte introductie in de algemene relativiteitstheorie worden gegeven, met name om de ruimtetijd rond een statisch zwart gat te kunnen bestuderen. Ook worden een aantal basisbegrippen uit de quantumvelden theorie uitgelegd zonder al te diep in te gaan op de vrij technische wiskundige details. Dan zal al het gereedschap aanwezig zijn om het Hawking effect, straling uitgezonden door een zwart gat, af te kunnen leiden met een temperatuur: T H = 1. De gegeven afleiding 8πGM zal de quantumvelden theorie niet toepassen op de gekromde ruimte rond een zwart gat, maar zal ervan uitgaan dat de ruimtetijd in de buurt van de horizon van het zwarte gat, de plaats waar de straling vandaan komt, als vlak mag worden beschouwd. De afleiding is dan equivalent aan de afleiding van het Unruheffect in een massief scalair quantumveld. Uiteindelijk zullen gevolgen besproken worden zoals de verdamping van zwarte gaten en de informatie paradox. 1 Populair wetenschappelijke samenvatting Iedereen die zich ooit heeft geïnteresseerd in het heelal of zelfs in science fiction boeken of series, heeft wel eens gehoord van zwarte gaten. Deze zwarte gaten zijn de overblijfselen van zeer zware sterren. Elke ster in ons heelal heeft een bepaalde levensduur die wordt bepaald door de hoeveelheid brandstof (waterstof en helium) die de ster tot zijn beschikking heeft en de mate waarin hij het verbuikt. Het gebruik van deze brandstof bepaalt hoezeer de ster straalt, en zorgt ook voor de grootte van een ster. De zwaartekracht probeert de ster namelijk zo klein mogelijk te krijgen, maar er is ook een tegenwaardse druk van onder andere de straling die vrijkomt bij de verbranding die ervoor zorgt dat de ster een zekere grootte blijft houden. Wanneer een ster echter zeer zwaar is, kan het gebeuren dat na het opbranden van alle brandstof er geen enkele tegenwaardse kracht meer is om de zwaartekracht van de ster te compenseren. De kern van deze sterren reduceert dan door de enorme zwaartekracht tot een punt in de ruimte, en dit punt wordt een zwart gat genoemd. De theorie die deze zwarte gaten beschrijft, de algemene relativiteitstheorie, voorspelt dat deze zwarte gaten een horizon hebben. Dat betekent dat er een soort denkbeeldige lijn is op een bepaalde afstand van het punt, waaruit niets, zelfs licht, meer kan terugkeren als het deze lijn eenmaal is gepasseerd. Deze horizon stelt dus een soort grens voor tussen ons eigen universum en de regio rond het zwarte gat, en het is rond de horizon waar vreemde dingen gebeuren. Dat blijkt uit de theorie die het allerkleinste beschrijft, de quantumtheorie. Als je deze theorie toepast in de buurt van de horizon van een zwart gat, zoals Stephen Hawking als een van de eersten heeft gedaan, blijkt er toch een beetje licht van de zwarte gaten af te komen. Dit licht, dat door de algemene relativiteitstheorie wordt verboden, heeft voor veel problemen maar ook nieuwe inzichten in de hedendaagse natuurkunde gezorgd. Zo blijkt bijvoorbeeld dat dit licht ervoor kan zorgen dat een zwart gat uiteindelijk verdampt, aangezien het licht energie onttrekt aan het zwarte gat. Deze verdamping is de oorzaak van één van de nog steeds grootste hersenbrekers in de natuurkunde. Deze hersenbreker heet de informatie paradox, wat in het kort op het volgende neerkomt. Het lijkt erop dat als een zwart gat volledig verdampt in de vorm van Hawkingstraling, er informatie verloren gaat over de oorspronkelijke 1

3 ster en eventueel deeltjes die later het zwarte gat zijn ingevallen. Het is namelijk zo dat de Hawkingstraling zó zuiver is dat het met geen mogelijkheid alle ingewikkelde informatie kan bevatten die in de bouwstenen van de ster is opgeslagen. Het verlies van informatie lijkt op het eerste gezicht misschien helemaal niet zo ernstig, maar het is in tegenspraak met één van de belangrijkste fundamenten van de quantumtheorie. Men wil deze theorie, die zulke nauwkeurige voorspellingen doet, natuurlijk niet gelijk opgeven. Er wordt daarom nog steeds hard gewerkt aan de oplossing voor de zogeheten informatie paradox en inmiddels is er een consensus over het behoud van informatie, namelijk dat het wel degelijk behouden blijft. Hoe dat precies in zijn werk gaat is nog niet helemaal duidelijk, maar er wordt gedacht dat de informatie, in de vorm van deeltjes of licht, niet het zwarte gat in verdwijnt maar als een soort hologram op het oppervlak van het zwarte blijft plakken. Dit klinkt misschien heel raar en tegenintuïtief, maar zoals ook uitvoerig zal worden besproken in deze scriptie gebeuren er de vreemdste dingen rond zwarte gaten, wat het onderwerp ook zo ontzettend fascinerend maakt. 2

4 Inhoudsopgave 1 Populair wetenschappelijke samenvatting 1 2 Inleiding Overzicht Algemene Relativiteitstheorie Equivalentie Principe[3][4] Gravitationele Roodverschuiving[3] De Schwarzschild Oplossing[3][10] Kruskal Coördinaten[3][10] Rindler Ruimte[2][3] Quantum Velden Theorie Tweede Kwantisatie Veeldeeltjes Toestanden Bogolyubov Transformaties[2][3] Hawking Straling Motivatie Afleiding Fysische Interpretatie Gevolgen Verdamping Zwarte Gaten[7] De Informatie Paradox[8] Conclusie & Discussie 35 3

5 2 Inleiding De zwaartekracht is verreweg de meest bekende kracht sinds Newton geïnspireerd door een vallende appel zijn zwaartekrachtswet heeft opgesteld, als we de mythe mogen geloven. De bekendheid van de zwaartekracht is te danken aan het feit dat de kracht zich manifesteert op een menselijke schaal. Toch is het zo dat we de kernkrachten en de elektrische kracht, krachten die we veel minder opmerken in het dagelijks leven, op een fundamentelere manier kunnen beschrijven, namelijk op een quantummechanische manier. De zwaartekracht is (nog) niet compatibel met de quantummechanica, alhoewel vele wetenschappers in de theoretische fysica zich al een tijd bezig houden met het vinden van de zogenaamde quantumgravitatie. We hebben echter dankzij Einstein wel een flink sprong gemaakt in het begrijpen van de zwaartekracht op grote afstanden. Einstein beschrijft de zwaartekracht in zijn algemene relativiteitstheorie niet als een of andere kracht waarvan de oorsprong onbekend is, maar als een gevolg van de gekromde ruimte. Een zeer compacte samenvatting van de algemene relativiteitstheorie gegeven door John Wheeler geeft de essentie van de theorie weer: Matter tells spacetime how to curve, and curved spacetime tells matter how to move. Aan de wiskundige basis van de algemene relativiteitstheorie staan de Einstein vergelijkingen met als oplossingen metrieken, die de structuur (de kromming) van de ruimtetijd beschrijven als gevolg van een massa. Een belangrijke eigenschap van deze vergelijkingen, waarvan dan ook veel gebruik zal worden gemaakt, is dat ze in een coördinaat onafhankelijke manier zijn geschreven. Dat wil zeggen dat de fysica zoals beschreven in de algemene relativiteitstheorie hetzelfde blijft onder coördinaat transformaties. Deze transformaties zullen nodig zijn omdat de metrieken in bepaalde coördinaten niet altijd alles over de structuur van de ruimtetijd prijs kunnen geven. Bijvoorbeeld blijkt uit de metrieken dat er vreemde dingen gebeuren wanneer een massa krimpt tot zijn zogeheten Schwarzschild straal, r schw = 2GM c 2. Als deze limiet is bereikt door bijvoorbeeld het ineenstorten van een zware ster, is er geen kracht meer die de zelf-zwaartekracht van het object kan tegenwerken. De materie van de ster reduceert dan tot een punt in ruimte met oneindige kromming, een singulariteit in de ruimtetijd. Lang werd gedacht dat zo n singulariteit niet fysisch was, maar langzaamaan is men de algemene relativiteitstheorie beter gaan begrijpen met als gevolg dat deze singulariteiten op een gegeven moment werden erkend en sindsdien zwarte gaten worden genoemd. Zwarte gaten hebben hun naam te danken aan het feit dat wanneer iets of iemand de Schwarzschild straal passeert, de zogenaamde horizon van het zwarte gat, diegene nooit meer kan terugkeren. Zelfs licht is gedoemd verder te reizen richting de singulariteit in het centrum van het zwarte gat. Een aardige, hoewel misleidende klassieke berekening geeft ons precies de waarde van de Schwarzschild straal: we beschouwen een massa m in het gravitationele veld van een andere spherische massa M op een afstand R. De snelheid die m moet hebben om te ontsnappen aan M is te berekenen door te eisen dat de kinetische 4

6 energie groter moet zijn dan de potentiële energie: Dan volgt voor de snelheid van m: 1 2 mv2 > GMm R. v > 2GM R. Als we nu de hoogst haalbare snelheid nemen, de lichtsnelheid, en kijken bij welke straal zo n object nog net ontsnapt, vinden we precies de Schwarzschild straal. Als een object met massa M kleiner is dan deze straal en de massa m bevindt zich binnen deze straal is er dus geen mogelijkheid meer om te ontsnappen. Toch laat deze berekening niet zien dat er niets uit een zwart gat kan ontsnappen aangezien de berekening alleen leunt op constante snelheden. Een constant versnelde beweging met versnelling groter dan de gravitationele versnelling van het zwarte gat zou wel een traject kunnen zijn waarlangs je uit dit zwarte gat kan ontsnappen. Ook zouden massaloze deeltjes geen aantrekkingskracht voelen en uit het zwarte gat komen. De algemene relativiteitstheorie is echter een stuk strikter over de Schwarzschild straal en sluit uit, hoe je traject ook moge zijn, dat iets terug kan keren na het passeren van de horizon. De rechtvaardiging voor de naam van het zwarte gat komt dan ook uit de algemene relativiteitstheorie. Deze scriptie gaat over straling die afkomstig is van het zwarte gat, wat in eerste instantie een contradictie lijkt. Er kan immers niks van binnen het zwarte gat voorbij de horizon komen, en deze straling zou dan betekenen dat de algemene relativiteitstheorie niet klopt. Paradoxaal genoeg zorgt juist de horizon ervoor dat er zoiets als Hawking straling mogelijk is, zodra we de quantumvelden theorie erbij halen. De Hawking straling is af te leiden door op de achtergrond van een quantumveld een zwart gat te plaatsen, en te bestuderen hoe het veld eruit ziet voor verschillende waarnemers. Het zal blijken dat in gekromde ruimte een quantumveld op een totaal andere manier geïnterpreteerd wordt door verschillende observanten, een tegenintuïtief gegeven aangezien het ons beeld van deeltjes (excitaties in het quantumveld) in gekromde ruimtetijd verandert van een invariante grootheid naar een waarnemers afhankelijke grootheid. De afleiding en de fysische interpretatie van dit fenomeen staan centraal in deze scriptie. 2.1 Overzicht De scriptie is opgedeeld in drie hoofdstukken. In de eerste twee hoofdstukken zullen de algemene relativiteitstheorie en de quantumvelden theorie worden besproken. Er zal in het hoofdstuk over de algemene relativiteitstheorie voornamelijk worden gefocust op de structuur van de ruimtetijd rond een zwart gat. Het hoofdstuk over de quantumvelden theorie is bedoeld als korte introductie in wat een quantumveld precies voorstelt, en hoe er een deeltjes interpretatie uit volgt. Na deze twee hoofdstukken hebben we het gereedschap om de Hawking straling af te leiden, waarna de fysische interpretatie aan bod komt. Ook zullen de verstrekkende consequenties van deze straling worden besproken: de verdamping van zwarte gaten met als ultieme consequentie de informatie paradox. 5

7 In deze scriptie zullen weinig nieuwe dingen aan bod komen en is daarom een echte literatuurstudie. Aangezien de literatuur rondom het Hawking effect vaak lastig is te volgen op Bachelor niveau, is deze scriptie bedoeld om de stappen in de afleiding uitgebreid te behandelen en te motiveren zodat het voor derdejaars studenten goed te volgen is. Geprobeerd is om het verhaal zo op te bouwen dat er in principe geen voorkennis van algemene relativiteitstheorie of quantumvelden theorie nodig is. In het gehele stuk zullen eenheden worden gebuikt waarin c = = k B = 1. De gravitatie constante G zal wel expliciet neergeschreven worden aangezien het de fundamentele constante van de zwaartekracht is, die een niet onbelangrijke rol speelt. 6

8 3 Algemene Relativiteitstheorie 3.1 Equivalentie Principe[3][4] Het equivalentie principe van Einstein staat aan de basis van de Algemene Relativiteitstheorie, en leidt tot de beschrijving van zwaartekracht als kromming van de ruimte. Er zijn verscheidene vormen van het equivalentieprincipe, waarvan de twee belangrijkste hier zullen worden toegelicht: Het zwakke equivalentiepincipe (ZEP) Het sterke equivalentieprincipe (SEP) Kort gezegd stelt het ZEP dat de inertiële massa m i uit de tweede wet van Newton F = m i a gelijk is aan de gravitationele massa m g uit de gravitatiewet van Newton F g = GMm g r 2 ˆr. In de klassieke mechanica is deze gelijkheid een vreemd experimenteel gegeven. Zwaartekracht is klassiek gezien een kracht en krachten koppelen aan een bepaalde eigenschap van een object, zoals bijvoorbeeld de elektrische kracht aan lading. Echter, de eigenschap waar zwaartekracht aan koppelt is precies de inertiële massa van het object. Er is dus een equivalentie tussen twee parameters van twee schijnbaar totaal losstaande wetten. De stap die Einstein heeft gezet is de gelijkheid tussen de twee massa s als gegeven te beschouwen (mede gemotiveerd door experimenten die de gelijkheid tot op zeer hoge nauwkeurigheid hebben kunnen testen), en daaruit volgt de theorie van zwaartekracht, niet meer als kracht maar als gevolg van de geometrie van de ruimtetijd. Om de interpretatie van zwaartekracht als effect van de geometrie van de ruimtetijd toe te lichten kunnen we kijken wat de gevolgen zijn van deze equivalentie. Er volgt direct uit de twee wetten van Newton dat de versnelling die vrijvallende objecten in een zwaartekrachtsveld ondervinden onafhankelijk is van hun massa, een resultaat dat ook al aan Galileo bekend was. Anders gezegd heeft ieder object of deeltje, in tegenstelling tot bijvoorbeeld de elektrische kracht, een zelfde gravitationele lading. Er bestaan dus ook geen zwaartekrachts neutrale deeltjes, wat ons ertoe zet zwaartekracht als een onontsnapbare kracht te zien. In deze zin kan je zwaartekracht beschouwen als eigenschap van de achtergrond waarin deze deeltjes leven, de ruimtetijd. Met dit gegeven in het achterhoofd is er een equivalente formulering van het ZEP: Deeltjes waar geen externe krachten op werken, i.e. deeltjes in vrije val, met gelijke begincondities (plaats en snelheid) zullen in ruimtetijd een zelfde pad volgen. Deze paden van vrij vallende deeltjes worden inertiaal genoemd. Een gevolg hiervan is dat we in aanwezigheid van massa niet meer kunnen spreken over een globaal inertiaal systeem, zoals dat wordt gedaan in de speciale relativiteitstheorie. Dit is in te zien door bijvoorbeeld twee skydivers te beschouwen, eentje boven de evenaar en de ander boven de zuidpool. Omdat beiden aangetrokken worden richting het centrum van de aarde is het onmogelijk een (vrijvallend) systeem te vinden zonder dat één van de duikers ten opzichte van dat systeem accelereert. Omdat inertiaal systemen essentieel zijn 7

9 voor het spreken over relativiteit van bijvoorbeeld de ruimtetijd voor verschillende waarnemers, voeren we het concept van een lokaal inertiaalsysteem in: als we maar dicht genoeg (wiskundig gezien betekent dicht genoeg de limiet van de afstand naar nul nemen) bij een skydiver zitten, zullen we in vrije val hetzelfde pad volgen en zitten we dus in hetzelfde inertiaalsysteem. Een bekend gedachteexperiment om het ZEP te illustreren is als volgt: stel je voor dat je je in een afgesloten lift bevindt, en je wilt weten of er buiten de lift een zwaartekrachtsveld is. Dit kan je doen door te bekijken hoe objecten vallen in je lift. Als je je bevindt in een zwaartekrachtsveld zal het object met de gravitationele versnelling naar beneden vallen. Maar als je lift met dezelfde versnelling naar boven versnelt, zul je precies hetzelfde waarnemen. Het is dus onmogelijk het verschil tussen een ruimte in een zwaartekrachtsveld of in constante versnelling te bepalen door te kijken hoe een deeltje valt, oftewel m i = m g. Opgemerkt dient te worden dat ook deze stelling slechts geldt in klein genoege regio s van ruimtetijd, omdat in een grote lift het zwaartekrachtsveld bovenin de lift minder sterk zal zijn dan op de bodem, dat zorgt voor een niet constante versnelling over de lengte van de lift. Het SEP stelt dat je niet alleen het verschil tussen een constant accelererend frame en gravitationeel veld met behulp van het laten vallen van massieve objecten kunt bepalen, maar dat elk denkbaar fysisch experiment dit verschil niet kan bepalen. Dit betekent dus dat ook (massaloos) licht in een gravitationeel veld valt. Ook dit is weer te illustreren met het voorbeeld van de versnellende lift. Stel dat een lichtstraal in een rechte lijn door een lege ruimte beweegt. Als de experimentatoren in de lift hun positie zo timen dat de lichtstraal aan de ene kant van de lift net onder het plafond naar binnen komt, zullen ze, omdat ze accelereren, de lichtstraal via een gebogen baan naar beneden zien bewegen. Het equivalentieprincipe zegt dan dat de lichtstraal hetzelfde doet in een gravitationeel veld. Aangezien het licht altijd over de kortste weg door de ruimtetijd reist, en dit niet meer een rechte lijn blijkt te zijn, kunnen we het zwaartekrachtsveld beschrijven met behulp van een gekromde ruimtetijd. Het SEP is een baanbrekende gedachtesprong geweest en is later ook experimenteel bevestigd aan de hand van effecten die worden besproken in de volgende sectie. Samengevat is de kromming van ruimtetijd een elegante beschrijving van de zwaartekracht, waarbij het feit dat m i = m g juist wordt gebruikt als hint hoe we de zwaartekracht moeten beschouwen in plaats van als een toevallig experimenteel gegeven. 3.2 Gravitationele Roodverschuiving[3] Een belangrijk gevolg van het equivalentieprincipe is de zogenaamde gravitationele roodverschuiving. Een foton dat wordt uitgezonden met golflengte λ 0 in een zwaartekrachtsveld Φ ondervindt een Dopplerverschuiving van λ = λ 0 Φ. Een foton dat zich van het zwaartekrachtscentrum af beweegt wordt roodverschoven, terwijl een foton in de richting van een toenemend zwaartekrachtsveld juist wordt blauwverschoven. Gezien het equivalentieprincipe is dit intuïtief duidelijk te maken. Een massief object, bijvoorbeeld een voetbal, remt af wanneer die omhoog wordt 8

10 geschoten aangezien kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie. We weten echter dat licht niet kan afremmen, maar zoals net besproken kan licht ook niet ontsnappen aan de zwaartekracht. De enige manier waarop licht dan in lege ruimte energie kan verliezen, zodat energie behouden blijft, is door een grotere golflengte aan te nemen, oftewel gravitationele roodverschuiving. Ook in de beschrijving van de kromming van ruimtetijd is het effect in te zien. Omdat de tijdsdimensie nabij een massa meer gekromd is dan verder weg, legt het licht nabij de massa kleinere afstanden af dan verder weg in hetzelfde tijdsinterval. Omdat de lichtsnelheid constant is, volgt dat de golflengte van het licht kleiner moet zijn nabij de massa in vergelijking met de golflengte verder weg. Een bijkomend effect is dat klokken op verschillende afstanden van een zwaartekrachtsbron niet om gelijke intervallen zullen tikken. Dit is in te zien aan de hand van een simpele berekening. Stel dat je op de begane grond en de vijftigste verdieping van een flatgebouw een klok ophangt. Als de klok beneden een constante lichtstraal afstuurt op de klok boven en zo is geprogrammeerd dat hij elke keer tikt als er een gehele golflengte is verstuurd, zal er om het tijdsinterval t bg = c λ bg een tijdseenheid verstrijken en zal er een nieuwe golflengte van de begane grond komen. Boven registreert de sensor om het tijdsinterval t 50 = c λ 50 een nieuwe golflengte licht. Aangezien λ 50 > λ bg volgt dat t 50 > t bg. We zien dat een tijdsinterval voor iemand boven in het flatgebouw groter is dan een tijdsinterval op de begane grond, dus lijkt het alsof een klok op de begane grond langzamer loopt dan de klok boven in het flatgebouw. Gravitationele roodverschuiving is een experimenteel bevestigd fenomeen en toont eens te meer de relativiteit van de ruimtetijd voor verschillende waarnemers. Het fenomeen zal in de komende sectie nog een belangrijke rol spelen als we gaan kijken naar de geometrie rond een zwart gat, niet geheel verrassend aangezien de zwaartekracht nergens krachtiger is dan bij een zwart gat. 3.3 De Schwarzschild Oplossing[3][10] De meest algemene bolsymmetrische oplossing in het vacuüm van de Einstein vergelijkingen is de Schwarzschild metriek: ( ds 2 = 1 2GM ) ( dt GM ) 1 dr 2 + r 2 dω 2 (1) r r dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 waarin G de gravitatieconstante is en M de massa van het bolvormige lichaam. Deze metriek vertelt hoe de structuur van de ruimtetijd in elkaar zit buiten een niet roterend lichaam met massa M. De metriek is bijvoorbeeld van toepassing (in goede benadering) op het gravitationele veld gecreëerd door de aarde of andere objecten met sferische symmetrie en een niet al te grote rotatiesnelheid. Het is eenvoudig in te zien dat zowel in de limiet M 0 als in r de Schwarzschild metriek reduceert tot de (vlakke) Minkowski metriek: ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2. (2) Dit was te verwachten omdat het zwaartekrachtsveld en dus de kromming van de ruimte gecreëerd door een massa afneemt naarmate de afstand toeneemt en asymptotisch naar nul gaat. 9

11 Figuur 1: Banen van in- en uitgaande lichtstralen in de buurt van r = 2GM. Naarmate een waarnemer in de buurt van de Schwarzschild straal komt, lijken zijn lichtkegels te versmallen. Er valt echter ook iets verontrustends op aan de metriek; die heeft namelijk een singulariteit op r = 0 en op r = 2GM, i.e. de componenten g tt en g rr gaan naar nul of oneindig. Het zal blijken dat de singulariteit op r = 0 onontkoombaar is, maar die op r = 2GM een coördinaat afhankelijke singulariteit is. Dat wil zeggen dat de singulariteit slechts een gevolg is van de keuze voor bepaalde coördinaten. Deze singulariteit zouden we kunnen vermijden door over te stappen op nieuwe coördinaten, dat niets aan de fysica zoals geformuleerd in de algemene relativiteitstheorie verandert. Een vergelijkbaar probleem is de azimuthale hoek φ in bolcoördinaten op de punten θ = 0 en θ = π. Daar is de coëfficiënt van dφ 2, g φφ, gelijk aan nul waardoor φ daar niet goed gedefinieerd is, terwijl het duidelijk is dat er in Cartesische coördinaten niets misgaat bij de beschrijving van diezelfde punten. Meer concreet heeft deze singulariteit gevolgen voor de causale structuur van de ruimtetijd, zoals we kunnen nagaan door de radiële banen van licht te bestuderen die de lichtkegels definiëren. Voor radieel bewegend licht geldt: ds 2 = 0, dω 2 = 0. Uit de metriek (1) volgt dan de bewegingsvergelijking voor het licht: ( dt dr = ± 1 2GM ) 1. (3) r In figuur 1 zijn twee paren van banen van in- en uitgaande lichstralen te zien. In de regio waar r groot is ten opzichte van de Schwarzschildstraal krijgen de banen een helling van dt dr = ±1, zoals we die in de Minkowski ruimte kennen. Het blijkt echter dat de lichtkegels van punten in de ruimtetijd steeds meer versmallen naarmate de afstand van een punt dichter bij de r = 2GM komt en op r = 2GM zelf gaat de helling (3) naar oneindig. Het versmallen van 10

12 de lichtkegels is een gevolg van een verkeerde coördinaten keuze. De gebruikte coördinaten zijn namelijk geschikt voor de beschrijving van een wereldlijn gezien vanuit een observant op r =. Stel bijvoorbeeld dat de observant op r = een collega observant richting het zwarte gat stuurt, en afspreekt dat zijn collega om een vast tijdsinterval een lichtsignaal verzendt als blijk dat alles goed gaat. Zoals in figuur 1 is te zien, zal het tijdsinterval tussen twee ontvangen lichtsignalen vanuit de observant op r = gezien steeds langer duren aangezien de lichtkegels versmallen wanneer de collega het zwarte gat nadert. Uiteindelijk zal het lijken alsof zijn collega stilstaat op r = 2GM tot in het oneindige. Dit alles is puur een effect van gravitationele roodverschuiving zoals uitgelegd in sectie 3.2, waarbij de roodverschuiving divergeert nabij r = 2GM. Gevolg is dat we in deze coördinaten niets kunnen zeggen over de ruimtetijd in de regio 0 < r < 2GM, terwijl we weten dat de ruimtetijd er lokaal altijd als een Minkowski ruimte uitziet. We zouden daarom niet verwachten dat er vanuit de vallende observant gezien opeens een muur opdoemt; de observant zou simpelweg het verschil niet zien tussen het passeren van de horizon en een ander gedeelte van de ruimte. Mede gemotiveerd door dit argument geven we de hoop iets te weten te komen over deze duistere regio niet op. Duidelijk is dat de metriek (1) ons niet verder kan helpen, dus zullen we moeten overgaan op bijvoorbeeld een nieuwe tijdscoördinaat die niet naar oneindig gaat als de straal in buurt van de r = 2GM komt. Om zo n coördinaat te vinden, kijken we eerst naar de vorm van t zodat we de oorsprong van de mathematische singulariteit kunnen onderzoeken. Als we (3) oplossen, krijgen we twee oplossing voor t: t = ± (r 2GM + 2GM log (r 2GM)) (4) De divergentie waar we vanaf willen komt van de logaritme, dus (4) inspireert ons twee nieuwe tijdscoördinaten te introduceren, de zogenaamde in- en uitgaande Eddington-Finkelstein coördinaten: t ± = t ± 2GM log (r 2GM) (5) De twee nieuwe metrieken die uit deze coördinaat transformatie volgen, worden gegeven door: ds 2 = 2GM r ( d t ± ± dr ) 2 d t 2 ± + dr 2 + r 2 dω 2 (6) Het valt direct op dat de coëfficiënten van de metriek geen singulariteit meer hebben op het punt r = 2GM. We moeten ons echter wel beseffen dat we de singulariteit eigenlijk alleen maar hebben verplaatst naar de nieuwe (tijds)coördinaten. De gevolgen hiervan zullen hieronder duidelijk worden. Ik zal dit voor de ingaande coördinaat toelichten, voor de uitgaande coördinaat is het verhaal analoog. Om de ruimtetijd te bestuderen in deze nieuwe coördinaten is het handig weer te bekijken hoe de lichtkegels eruit zien. Het is snel in te zien dat wanneer t + + r = constant we radiële ingaande lichtstralen zien met d t + dr = 1 op elke waarde van r. Anders gezegd laten deze coördinaten zien dat een lichtstraal zonder problemen de horizon kan passeren. Dit is een mooi resultaat en geeft al 11

13 Figuur 2: Ingaande Eddington-Finkelstein coördinaten. Rechte lijnen zijn de ingaande lichtstralen, de krommes geven de banen van de uitgaande lichtstralen. Merk op dat wanneer een lichtstraal is terechtgekomen in de regio 0 < r < 2GM, hij nooit meer kan ontsnappen. Deze regio zullen we later aanduiden als regio III. een hint dat de regio 0 < r < 2GM wel degelijk een gedeelte is van de ruimtetijd. Om de lichtkegels te vinden moeten we ook weten hoe uitgaande lichtstralen zich gedragen (N.B. uitgaande lichtstralen in de ingaande coördinaten). Hier komt de adder onder het gras vandaan: de oplossing van de bewegingsvergelijking voor de uitgaande lichtstralen, verkregen door (4) met (5) te combineren, luidt: t + = r 2GM + 4GM log (r 2GM). In figuur 2 is goed te zien wat er met de lichtkegels gebeurt. Naarmate je dichterbij de horizon komt, kantelt je toekomstige lichtkegel steeds meer richting de singulariteit r = 0. Zodra je de horizon r = 2GM passeert, wijst je toekomstige lichtkegel geheel richting r = 0. Het is dus onmogelijk, zelfs voor een lichtstraal, om ooit nog terug te keren uit een zwart gat wanneer de horizon eenmaal is gepasseerd langs een toekomstig pad. Dit is precies de reden waaraan het zwarte gat zijn naam dankt. Zoals gezegd kan er een analoog verhaal worden opgehangen over de ruimtetijd met als nieuwe tijdscoördinaat t. In deze coördinaten zitten de uitgaande lichtstralen natuurlijk ingebouwd in de metriek en zijn het de ingaande lichtstralen die zorgen voor het kantelen van de lichtkegels. In plaats van een zwart gat beschrijft deze metriek in de regio 0 < r < 2GM een wit gat, zo genoemd om de reden dat licht, eenmaal ontsnapt buiten de Schwarzschildstraal, nooit meer terug kan keren naar de regio binnen de Schwarzschildstraal. Zie figuur 3 voor de lichtkegels. We zullen later zien dat deze regio niet fysisch is, desalniettemin kan hij ons toch de ruimtetijd rond een zwart gat beter doen laten begrijpen. Samenvattend hebben we in deze sectie met behulp van een coördinaten transformatie proberen uit te vinden hoe de ruimtetijd eruit ziet binnen de 12

14 Figuur 3: Uitgaande Eddington-Finkelstein coördinaten. Rechte lijnen zijn de uitgaande lichtstralen, de krommes geven de banen van de ingaande lichtstralen. Merk op dat wanneer een lichstraal is ontsnapt uit de regio 0 < r < 2GM, hij nooit meer kan terugkomen. Deze regio zullen we later aangeven als regio IV. Schwartzschildstraal van een zwart gat. Wat bleek is dat we niet één, maar twee nieuwe fysisch verschillende regio s hebben gevonden, regio s III en IV. Waar je in regio III kunt komen door, zoals we gewend zijn, via een toekomstig pad richting het zwarte gat te reizen, zul je regio IV slechts kunnen bereiken door een pad richting het verleden te nemen. De tegenintuïtieve conclusie die we trekken is dat je blijkbaar op fysisch verschillende plekken terecht komt afhankelijk van de tijdsrichting van het pad waarmee je de horizon oversteekt. Belangrijk om op te merken is verder nog dat in beide coördinatenstelsels de regio r > 2GM fysisch gezien echter wel hetzelfde is, en deze regio, de regio waarin wij leven, zal regio I worden genoemd. 3.4 Kruskal Coördinaten[3][10] Om een goed beeld te krijgen van de connectie tussen de verschillende regio s hierboven genoemd, zouden we kunnen proberen regio s I, III en IV te beschrijven met slechts één coördinatenstelsel. Het zal blijken dat dit mogelijk is door zogenaamde Kruskal coördinaten te gebruiken, waarmee ook nog eens de (schijn)singulariteit op r = 2GM voorgoed verdwijnt. Door het introduceren van deze coördinaten zal er nog een nieuwe regio bijkomen, regio II. De gedachte waarmee we beginnen is dat we willen proberen een metriek te ontwikkelen waarin zowel ingaande als uitgaande Eddington-Finkelstein coördinaten zitten. Zoals al eerder opgemerkt hebben we met de transformatie naar Eddington- Finkelstein coördinaten de singulariteit slechts gemaskeerd. Omdat de oorzaak van de singulariteit een logaritme is, is het een logische stap nieuwe coördinaten te definiëren die exponentieel gerelateerd zijn aan de oorspronkelijke coördinaten, 13

15 ofwel het soort transformatie x i x i = exp x i. Meer precies definiëren we: x = e ( t ++r)/4gm (7) y = e ( t r)/4gm waarbij we in de exponent in plaats van t ± er nog ±r bij hebben gevoegd vanwege het a posteriori argument dat de uiteindelijke metriek een stuk inzichtelijker is met deze definitie. In deze nieuwe coördinaten wordt de Schwarzschildmetriek gegeven door: ds 2 = 32G3 M 3 e r/2gm dxdy + r 2 dω 2 (9) r In deze metriek worden de radiële lichtstralen gegeven door x = constant, Ω = constant en y = constant, Ω = constant. Zo hebben x en y de rollen overgenomen van respectievelijk t + + r en t r zoals verwacht. In principe hebben we nu het Kruskal coördinaten systeem opgebouwd, maar alles wordt net wat overzichtelijker door de twee lichtcoördinaten te vervangen door een tijdachtige en ruimteachtige coördinaat zodat de vergelijking met het {t, r} coördinatenstelsel duidelijker is. De nieuwe coördinaten worden dan: ( ) T = ( r 2GM ) 1/2 t e r/4gm sinh (10) 4GM ( ) R = ( r 2GM ) 1/2 t e r/4gm cosh (11) 4GM met weer een nieuwe metriek, nu gegeven door: ds 2 = 32G3 M 3 e r/2gm ( dt 2 + dr 2) + r 2 dω 2 (12) r In deze metriek moet de oorspronkelijke radiële coördinaat gelezen worden als een functie van de Kruskal coördinaten R en T, i.e. r = r(r, T ), die door (10) en (11) impliciet is gedefinieerd als: T 2 R 2 = ( 1 r 2GM (8) ) e r/2gm (13) Het eerste dat opvalt aan (12) is dat we de singulariteit op r = 2GM kwijt zijn, zowel in de metriek als in de definitie van de coördinaten R en T. De horizon van het zwarte gat komt nu overeen met de oppervlakken T = ±R. Radiële in- en uitgaande lichtstralen voldoen nu simpelweg aan T = ±R + constante dus zien de lichtkegels er in het Kruskaldiagram overal hetzelfde uit als in vlakke Minkowski ruimte. We zien aan (13) dat lijnen van constante r overeenkomen met hyperbolen T 2 R 2 = constant in het Kruskaldiagram. Een uitdrukking voor lijnen van 14

16 constante t zijn te verkijgen uit (10) en (11) door de twee definities door elkaar te delen: ( ) T t R = tanh. 4GM We zien dus dat lijnen van constante t rechte lijnen door de oorsprong beschrijven, waarbij de horizon T = ±R overeenkomt met de Schwarzschild tijd t = ±. Al deze details zijn samengevat in de figuur 4. We zien de nieuwe regio II tevoorschijn komen als we voor de nieuwe radiële coördinaat een minteken introduceren. Dan volgt dat de tijd hier precies in de tegenovergestelde richting staat. Zoals gemakkelijk na te gaan is met het tekenen van de lichtkegels is het onmogelijk informatie uit te wisselen voor waarnemers uit regio s I en II. Ook zien we in het diagram het eerdere resultaat dat het onmogelijk is, eenmaal binnen de horizon van een zwart gat gekomen, informatie uit te wisselen met een waarnemer buiten het zwarte gat terwijl het onmogelijk is informatie te verzenden naar het witte gat. Figuur 4: Het Kruskal diagram. Aangegeven zijn de 4 regio s en lijnen die overeenkomen met constante Minkowskicoördinaten r en t. Lichtkegels zijn in dit diagram allemaal zoals in vlakke ruimte. Regio II beschrijft een parallel universum, dat causaal is afgesloten van regio I. De Schwarzschild tijdscoördinaat loopt in tegenovergestelde richting in regio II ten opzichte van regio I. De gedeeltes van de ruimte onder en boven de hyperbolen van r = 0 maken geen deel uit van de ruimtetijd en dienen genegeerd te worden. Verder komen de diagonalen overeen met r = 2GM en t = ±. Hoe spannend dit diagram er ook uit moge zien, namelijk een compleet 15

17 nieuwe ruimtetijd (regio II) waar we misschien ooit wel met een wormhole naartoe zouden kunnen warpen, we moeten ons wel beseffen dat er enige onrealistische aannames zitten in het tekenen van het Kruskaldiagram. De aanname is namelijk dat het zwarte gat niet is ontstaan op een bepaald tijdstip door het ineenstorten van een ster, maar al eeuwig bestaat. We zien namelijk dat het Kruskaldiagram een singulariteit beschrijft op t =, terwijl de ster nooit een horizon of singulariteit heeft gekend voordat hij ineenstortte tot een zwart gat. We concluderen dat regio s III en IV niet bestaan bij een fysisch zwart gat. Alsnog zal dit diagram nuttig blijken voor de afleiding van Hawkingstraling. 3.5 Rindler Ruimte[2][3] Nu we de ruimtetijd rond een zwart gat enigzins in kaart hebben gebracht kunnen we het doel van deze scriptie weer voor ogen halen, namelijk bestuderen hoe een quantumveld eruit ziet in de buurt van een zwart gat. Cruciaal voor de afleiding die gegeven zal worden is de centrale regio van het Kruskaldiagram. Daar zitten we immers dichtbij de horizon van het zwarte gat en het is daar waar we quantumvelden theorie willen toepassen. Aangezien de centrale regio slechts een klein gedeelte is van de ruimtetijd, is het gerechtvaardigd deze regio als vlak te beschouwen. Lokaal ziet de ruimtetijd er immers vlak uit, vergelijkbaar met het feit dat wij op aarde niet zien dat de aarde bolvormig is. De reden dat we graag over willen gaan op een vlakke ruimte is omdat het de berekeningen in de quantumvelden theorie een stuk simpeler maakt. Vanwege het equivalentie principe is een waarnemer op vaste afstand van een zwart gat in Kruskal coördinaten equivalent aan een constant versnellende waarnemer in een vlakke ruimte (vlak betekent geen zwaartekracht). Een vrijvallende observant in het Kruskaldiagram wordt op zijn beurt beschreven door een inertiële waarnemer in vlakke ruimte. De coördinaten die de inertiële waarnemer beschrijven zijn de gewone Minkowski coördinaten. Een coördinatenstelsel dat meebeweegt met de versnellende waarnemer wordt het Rindlerstelsel genoemd. Ter introductie van de Rindlercoördinaten zullen we eerst het pad van een constant versnellende waarnemer bekijken in Minkowski ruimte, en vervolgens coördinaten kiezen waarin deze waarnemer in rust is. We kiezen de versnelling met grootte α van de waarnemer in de positieve x-richting. Het pad van deze waarnemer in Minkowski ruimte wordt dan geparametriseerd door: t(λ) = 1 sinh (αλ), α x(λ) = 1 cosh (αλ). (14) α zoals na te gaan is door de grootte van de versnelling te bepalen. Banen van constante acceleratie zien er in Minkowski ruimte uit als hyperbolen van de vorm x 2 t 2 = 1 α 2. Een belangrijk detail om op te merken is dat de baan van de versnelde waarnemer zich bevindt binnen de regio x > t (de Rindlerwig) met de zogenaamde 16

18 Rindlerhorizonnen op x = ±t. Zoals is te zien in figuur 5 gedragen de versnellende waarnemers zich in de Rindlerwig exact hetzelfde als waarnemers in regio I op constante afstand van de horizon van het zwarte gat. Ook zijn de twee tegenover elkaar liggende regio s (I & II) causaal van elkaar afgesloten, zoals na te gaan is met de lichtkegels. Figuur 5: Het Rindler diagram. Regio s I en II en lijnen van constante τ en σ zijn aangegeven. De Rindlerhorizon komt overeen met τ = ± en σ =. De tijdscoördinaat van regio I is van richting omgedraaid in regio II. De regio s zijn causaal van elkaar afgesloten zoals is na te gaan aan de hand van lichtkegels. Kijkend naar (14) definiëren we de Rindlercoördinaten σ en τ impliciet via: t = 1 a eaσ sinh (aτ), (15) x = 1 a eaσ cosh (aτ). (16) (y, z) = (ỹ, z) r (17) waarbij x, y, z en t de gewone Minkowski tijds- en ruimtecoördinaten voorstellen. Deze definities doen sterk denken aan die van de Kruskalcoördinaten T en R, waarbij t en r overeenkomen met respectievelijk τ en σ. Zo zijn de lijnen van constante τ in de Minkowski coördinaten lijnen door de oorsprong met helling t = arctan (aτ) x en lijnen met constante σ beschrijven hyperbolen x 2 t 2 = e 2aσ. 17

19 We zien dat de coördinaten τ en σ de waarden < τ, σ < aannemen in de Rindlerwig, dus de Rindlercoördinaten overdekken slechts een kwart van de gehele Minkowski ruimte. Ook is goed in te zien waarom de Rindler coördinaten de constant versnellende waarnemer goed beschrijven door te kijken naar het pad van de waarnemer in deze coördinaten. Door de versnelling α = a te kiezen volgt: τ(λ) = λ, σ(λ) = 0. (18) De tijdscoördinaat τ is rechtevenredig met de parameter λ en de plaatscoördinaat σ is constant, waardoor de Rindlercoördinaten een constant versnellende waarnemer op dezelfde manier beschrijven als de Minkowski coördinaten een waarnemer in rust. Alhoewel de Rindlercoördinaten zijn beperkt tot een kwart van de Minkowski ruimte, kunnen we met dezelfde coördinaten ook regio II beschrijven door in (15) en (16) een minteken in te voegen: t = 1 a eaσ sinh (aτ), (19) x = 1 a eaσ cosh (aτ). (20) In deze nieuwe definitie overdekken de Rindlercoördinaten precies het spiegelbeeld (in de t-as) van regio I. Opgemerkt dient te worden dat de coördinaten hier in richting precies omgekeerd zijn ten opzichte van de coördinaten in regio I: τ neemt nu toe in negatieve t richting en σ neemt toe in de negatieve x richting. Net als in het Kruskal diagram is het onmogelijk voor waarnemers in regio I en II om te communiceren, en kan een waarnemer in regio I geen signalen ontvangen van regio III en geen signalen verzenden naar regio IV. Het zal blijken dat wanneer we quantumvelden theorie gaan toepassen in deze vlakke ruimte de twee verschillende waarnemers het niet eens zullen zijn over de toestand waarin het quantumveld zich bevindt, dat aan de basis ligt voor de afleiding van het Hawking effect. Voordat we hieraan kunnen beginnen is een kleine introductie in de quantumvelden theorie vereist. 18

20 4 Quantum Velden Theorie De quantumvelden theorie is de natuurlijke extensie van de quantummechanica waarbij er van enkele systemen, i.e. één deeltje in een bepaalde potentiaal, wordt overgegaan naar de quantummechanische beschrijving van velden. Het verschil tussen een veld en een enkel systeem is dat een veld een oneindige verzameling is van enkele systemen die zich op ieder punt van de ruimte bevinden. De quantumvelden theorie is ook de oplossing voor de incompatibiliteit van de quantummechanica met de speciale relativiteitstheorie. Het probleem van de unificatie van de quantummechanica met de speciale relativiteitstheorie uit zich in het feit dat quantummechanica geen rekening houdt met het relativistische effect van annihilatie en creatie van deeltjes. In de quantumvelden theorie is verandering van het aantal deeltjes wel toegestaan, en is daarom consistent met de speciale relativiteitstheorie. 4.1 Tweede Kwantisatie Door klassieke velden te kwantiseren krijgen we de quantumveldentheorie. In deze sectie zullen we slechts het simpelste veld kwantiseren, een reëel scalair veld Φ( r, t) dat voldoet aan de Klein-Gordon vergelijking. De Klein-Gordon vergelijking wordt gegeven door: µ µ Φ( r, t) = m 2 Φ( r, t) (21) Een handige truc om oplossingen van deze vergelijking te bepalen is door het veld te ontbinden in zijn impulsmodes via een Fourier transformatie: Φ( r, t) = d k (2π) 3 ei k r Φ( k, t). (22) Door deze nieuwe uitdrukking in te vullen in de Klein-Gordon vergelijking vinden we voor iedere waarde van k de volgende vergelijking: ( 2 t + k 2 + m 2 )Φ( k, t) = 0. (23) We merken op dat dit precies de differentiaalvergelijking van de harmonische oscillator is met hoekfrequentie ω k = k 2 + m 2. Nu willen we een analogie maken tussen het veld, te beschouwen als oneindige verzameling van harmonische oscillatoren in de impulsruimte, en de gewone quantummechanische oscillator. De quantummechanische oscillator konden we volledig beschrijven in termen van de ladderoperatoren a en a, die als volgt zijn gerelateerd aan plaats en impuls: x = 1 mω 2mω (a + a ), p = i 2 (a a ). We schrijven het veld Φ( r, t) en zijn geconjugeerde impuls π( r, t) (= Φ( r, t)) op een zelfde manier in termen van deze ladderoperatoren, in acht nemend dat we nu voor iedere mode k een afzonderlijke harmonische oscillator hebben: Φ( r, t) = d k 1 (a( (2π) 3 k)e i k r + a ( ) k)e i k r (24) 2ω k 19

21 π( r, t) = d k (2π) 3 ( i) ω k ( a( 2 k)e i k r a ( ) k)e i k r (25) Voor de precieze rechtvaardiging van bovenstaande uitdrukkingen verwijs ik naar [7]. Aangezien we een theorie kunnen kwantiseren door de verschillende observabelen zoals plaats en impuls als operator op te vatten, is het natuurlijk om voor de kwantisatie van een veld de velden als operatoren te beschouwen. Door de kanonieke commutatierelaties voor het veld en zijn impuls op te schrijven in analogie met de gewone plaats en impuls, [Φ( r), π( r )] = iδ( r r ) (26) [Φ( r), Φ( r )] = [π( r), π( r )] = 0, (27) vinden we voor de operatoren a( k) en a( k) : [ a( k), a ( ] k ) = (2π) 3 δ 3 ( k k ) (28) [ a( k), a( ] [ k ) = a ( k), a ( ] k ) = 0. (29) We zien dat de a( k) en a ( k) zich precies zo gedragen als de ladderoperatoren van de quantummechanische harmonische oscillator, en daarmee is het gerechtvaardigd deze operatoren als creatie- en annihilatie operatoren te beschouwen. De stap waarin we de velden als operatoren opvatten wordt de tweede kwantisatie genoemd. 4.2 Veeldeeltjes Toestanden Interessant is nu om te bekijken wat er precies wordt gecreëerd door a ( k) en geannihileerd door a( k). We weten dat de operatoren de energietoestand van het veld verlagen of verhogen, maar aan de quanta waarin deze energie wordt gecreëerd/geannihileerd hangt een subtielere interpretatie. Deze interpretatie kunnen we vinden door te kijken wat de energie is van verschillende toestanden. Als eerst definiëren we, weer in analogie met de quantum mechanische harmonische oscillator, een grondtoestand waarvoor moet gelden: a( k) 0 0 k (30) De Hamilton operator van het Klein-Gordon veld wordt na renormalisatie in termen van a( k) en a ( k) gegeven door [7]: Ĥ = d k (2π) 3 ω k a ( k) a( k) (31) Het is na te gaan dat wanneer de Hamilton operator werkt op een willekeurige toestand 1 (a ) n ki 0 ki i 1 Voor het gemak van notatie is een aftelbare verzameling impulsen aangenomen, dat niet het geval hoeft te zijn. 20

22 een energie wordt verkregen van E = ω k1 + ω k Dit resultaat geeft aan dat de energiequanta van het veld precies overeenkomen met de relativistische energie van een deeltje. Dit motiveert ons om de energiequanta van het veld als deeltjes te beschouwen. We kunnen dus zeggen dat de Hilbertruimte van een veld bestaat uit veeldeeltjes toestanden. Deze ruimte heeft een eigen naam gekregen: de Fockruimte. Een belangrijke, misschien wel dé belangrijkste, operator in deze interpretatie is de teloperator, n k = a ( k) a( k), die telt hoeveel deeltjes er in een bepaalde toestand k zitten. Deze operator is te herkennen in de Hamiltoniaan van hierboven (31), en maakt de uitdrukking voor de Hamiltoniaan intuïtief duidelijk. De Hamilton operator telt voor elke k namelijk hoeveel deeltjes er in de betreffende toestand zitten en kent er dan een energie ω k aan toe. Over alle waardes van k wordt geïntegreerd en duidelijk is dat we dan de totale energie van de toestand van het veld hebben berekend. 4.3 Bogolyubov Transformaties[2][3] We hebben in de vorige sectie gezien dat de veeldeeltjes toestanden een Hilbertruimte opspannen, de zogenaamde Fockruimte. De basis voor deze ruimte wordt gegeven door B = (a ( k)) n k 0 n k N, k R 3. k De generatoren van de toestanden van een quantumveld worden gegeven door de creatie- en annihilatie operatoren. Een Bogolyubov transformatie is een transformatie van één set creatie- en annihilatie operatoren naar een nieuwe set. De wiskundige formulering hiervan zal hieronder kort uitgelegd worden. Zoals gezien in sectie 4.1 kunnen we een veld ontbinden in zijn impulsmodes (modefuncties). Algemeen ziet dat eruit als: Φ = d k (a( k)f k + a ( ) k)f k. (32) Hierbij is f k de impulsmode die in de uitdrukking voor het veld in sectie 4.1 gegeven werd door e i k r. Voor het doel in deze sectie houden we de impulsmodes algemener, beschreven door f k. Verder zijn a( k) en a ( k) de gewone creatie- en annihilatie operatoren met de grondtoestand 0 a. Belangrijk is nu dat de modefuncties niet uniek zijn [7], wat in de context van de algemene relativiteitstheorie niet verwonderlijk is aangezien de fysica daarin beschreven onafhankelijk is van het coördinatensysteem dat je gebruikt [2]. In nieuwe coördinaten zien de modefuncties er anders uit, en is het dus mogelijk om een tweede set impulsmodes te vinden waarin we het veld kunnen ontbinden: Φ = d ( k b( k )g k + b ( ) k )g k. (33) 21

23 Voor de nieuwe operatoren b( k ) en b ( k ) gelden dezelfde commutatie relaties als voor de oude operatoren. Ook is er een grondtoestand, deze keer geannihileerd door de nieuwe annihilatie operator: b( k ) 0 b 0 k. Omdat de twee sets modefuncties slechts een andere basis vormen voor dezelfde ruimte, kunnen we de modefunctie g k neerschrijven als lineaire combinatie van f k en f k : g k = d ) k (α kk f k + β kk f k (34) Door nu (34) in te vullen in (33) en te vergelijken met (32) volgen de relaties tussen de creatie- en annihilatie operatoren a( k) en a ( k) én b( k) en b ( k): a( k) = d ( k α kk b( k ) + βkk b ( ) k ) (35) met inverse transformatie: b( k ) = d ( k αkk a( k) βkk a ( ) k). (36) Uit de commutatie relaties van b( k ) en b ( k ) volgen de vergelijkingen voor de Bogolyubov coëfficiënten α kk en β kk : dk α kk 2 β qk 2 = δ(k q) (37) dk α kk β qk β kk α qk = 0 (38) Kort samenvattend hebben we het veld in twee verschillende sets impulsmodes ontbonden en daarmee relaties gevonden tussen de coëfficiënten (de operatoren). Nu kunnen we zien wat we fysisch hebben gedaan door de toestanden gegenereerd door de ene set operatoren te vergelijken met de toestanden gegenereerd door de andere set. In het bijzonder volgt dat het vacuum 0 a in het algemeen niet gelijk is aan het vacuum 0 b : b( k ) 0 a = d k βkk 1 k a 0 voor βkk 0. Op het eerste gezicht lijkt het vreemd om een nieuwe set operatoren te definiëren omdat je zou zeggen dat er één echt vacuum is dat voor alle waarnemers er hetzelfde uitziet, namelijk een ruimte zonder deeltjes. Het zal echter in de volgende secties blijken dat er wel degelijk een verschil is tussen de interpretatie van de toestand van het quantumveld voor verschillende waarnemers. De fysische interpretatie van het verschil in vacua voor verschillende waarnemers komt later aan bod, maar dat deeltjes niet zo goed gedefinieerd zijn voor verschillende waarnemers is enigzins in te zien door te bedenken dat wanneer een deeltje met een welgedefinieerde energie en dus impuls wordt gecreëerd, hij vanwege het onzekerheidsprincipe een slecht gedefinieerde plaats heeft. Dit maakt één juiste interpretatie van een deeltje voor verschillende waarnemers op verschillende plaatsen en/of tijden al moeilijk. Bovendien zullen we zien dat het feit dat sommige waarnemers een horizon hebben ten opzichte van andere waarnemers een groot effect kan hebben op de interpretatie van de toestand van het veld. 22

24 5 Hawking Straling Het doel van deze sectie is om te beschrijven hoe een quantumveld in de buurt van de horizon van een zwart gat eruit ziet voor verschillende waarnemers. Het zal blijken dat een waarnemer op vaste afstand van de horizon straling zal waarnemen afkomstig van de horizon van het zwarte gat. De afleiding hiervan is een combinatie van twee van de meest fundamentele theorieën in de natuurkunde, en bijna vanzelfsprekend levert dit interessante resultaten op. Een veel gezochte, maar niet gevonden theorie is die voor quantumzwaartekracht. Om hier ideeën en intuïtie voor te ontwikkelen is het geen rare gedachte om het meest extreme object wat zwaartekracht betreft te combineren met de quantumtheorie. De afleiding die wordt gegeven, volgt [10] en [9] zeer nauw, maar geeft meer motivatie en uitleg over de verschillende stappen. 5.1 Motivatie Zoals reeds beargumenteerd kunnen we een quantumveld in de buurt van de horizon van een zwart gat bestuderen door over te gaan op een vlakke ruimte. De vrijvallende waarnemer wordt dan vervangen door een waarnemer in rust in de Minkowskiruimte en de waarnemer op constante afstand van het zwarte gat door een constant versnellende waarnemer. Nu hebben we al gezien dat de ruimtetijd toegankelijk voor de Rindlerwaarnemer slechts een kwart uitmaakt van de Minkowski ruimtetijd. We kunnen alleen al om die reden verwachten dat het veld, dat op de gehele ruimte is gedefinieerd, op een andere manier wordt geobserveerd door de Rindlerwaarnemer dan door de Minkowskiwaarnemer. Om te zien in welke toestand een veld zich bevindt voor de verschillende waarnemers kunnen we de Hamilton operators voor beide waarnemers opstellen, die aangeven, werkend op een toestand van het veld, in welke energietoestand en dus deeltjestoestand het veld zit. We beginnen met het opschrijven van de Hamiltoniaan voor de Minkowski waarnemer. Deze Hamiltoniaan kan worden geschreven als een integraal over de Hamiltoniaanse dichtheid: H M = H( r)d r (39) Door te bedenken dat de Rindler Hamiltoniaan wordt gegeven door de operator i τ, kunnen we de Rindler Hamiltoniaan schrijven in termen van de Minkowski Hamiltoniaan (= i t ) door τ te vervangen voor de Minkowski coördinaten: τ = t τ t + x τ x = x t + t x H R = H R ( r)d r = (x H( r) + t x ) d r (40) Wat opvalt is dat de Rindler Hamiltoniaan in Minkowski coördinaten geschreven de generator van ruimte-tijd rotaties is, oftewel de generator van Lorentztransformaties. Dit gegeven zal aan het einde van de afleiding gebruikt worden om Lorentzinvariantie van toestanden in de Minkowskiruimte te bepalen. 23