Introductie van de Thermodynamica der Zwarte Gaten

Transcriptie

1 Introductie van de Thermodynamica der Zwarte Gaten Wolf Weymiens begeleider: prof. dr. E.P. Verlinde, Instituut der Theoretische Fysica, Universiteit van Amsterdam 27 augustus 27 Samenvatting In dit artikel wordt een introductie gegeven voor de thermodynamica der Zwarte Gaten. Hierbij wordt eerst iets duidelijk gemaakt over Zwarte Gaten in het algemeen. En dan worden nieuwe coördinaten systemen ingevoerd, om zo een handige manier te verkijgen voor het afleiden van de Unruh temperatuur en daarbij ook het geval voor de Hawkingstraling. En wat dat dan voor gevolgen heeft voor de theorie van de Thermodynamica der Zwarte Gaten. Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Zwarte Gaten 2 3 Innermost Stable Circular Orbit [2] 3 4 Coordinaten transformaties [2] tortoise coordinaten Eddington-Finkelstein coordinaten Kruskal-Szekeres coördinaten Thermodynamica van Zwarte Gaten [3][4][6][7] de de wet de 1 ste wet de 2 de wet de 3 de wet van Analogie naar werkelijke Thermodynamica Unruh temperatuur [1][5][8][9] Hawking straling [9][1] verdamping van Zwart Gaten Conclusie 31 1

2 1 Inleiding Zwarte Gaten, iedereen heeft er wel eens over gehoord maar weet lang niet wat het precies is. Veel mythes bestaan er over Zwarte Gaten die alles naar binnen zuigen en het er niet meer uit laten. Dit laatste is niet helemaal waar dat weten we nu wel zeker, hij zuigt het er niet in maar hij is gewoon zo enorm zwaar dat je heel veel kracht en vermogen nodig hebt om aan zijn zwaartekracht te ontsnappen, tot je voorbij de waarneemhorizon komt want dan is het onmogelijk geworden om er weer uit te komen. Ook blijkt een Zwart Gat een thermodynamische eigenschappen te hebben, dit kwam in opkomst toen Stefan Hawking zijn theorie verzon over de temperatuur en het stralen van een Zwart Gat. Maar is er nog veel meer te ontdekken aan een Zwart Gat. Zo is het het ideale onderzoeksgebied naar de Algemene Relativiteits Theorie vanwege de extreme omstandigheden, en misschien kunnen er wel bewijzen gevonden worden voor nieuwe theorien zoals Quantum Gravitatie. Dit artikel geeft een inleiding in de Thermodynamica der Zwarte Gaten, door te kijken naar de analogiën met de Thermodynamica, en te bewijzen dat een Zwart Gat Hawkingstraling produceerd. Hierdoor is het heel aannemelijk om een Zwart Gat te zien als een Thermodynamisch systeem. 2 Zwarte Gaten Zwarte Gaten worden compleet beschreven door maar 3 parameters, dit zijn de Massa van het Zwarte Gat, M, zijn totale Impulsmoment, J, en zijn Lading, Q. Als je deze drie eigenschappen van het Zwarte Gat weet, kun je alles zeggen over dat Zwarte Gat. Dit wordt ook wel het No-Hair principe genoemd. Dat maakt dat de problemen betreffende Zwarte Gaten vereenvoudigd kunnen worden door de grote mate van symmetrie. Zo is onder andere een Zwarte Gat perfect spherisch symmetrisch, waardoor je een rotationele invariantie krijgt wat zorgt voor een behoud van Impulsmoment. Bij de beschrijving van Zwarte Gaten wil je eigenlijk weten hoe test deeltjes zich gedragen in de aanwezigheid van een Zwarte Gat, dit wordt beschreven door de Metriek van zo een ruimte-tijd configuratie. Aangezien de ruimte-tijd gekromd wordt door de aanwezigheid van massa, kun je niet gebruik maken van de normale Minkowski-metriek: ds 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2 1) Met dω 2 = dθ 2 + sin θ 2 dθ 2 Maar zul je rekening moeten houden met een verandering van de metriek in aanwezigheid van een massa, dit is gedaan door Karl Schwarzschild in 1915: ds 2 = 1 2GM ) c 2 dt 2 1 2GM ) 1 dr 2 r 2 dω 2 2) Na Schwarzschild zijn er ook meer algemene oplossingen van de Einstein vergelijkingen gevonden. De metriek, rekening houdende met de lading van een Zwart Gat werd gevonden door Gunnar Nordström en Hans Reissner. Ook werd de metriek van een niet-geladen roterend Zwart Gat gevonden door Roy Kerr. Maar de totale 2

3 beschrijving met lading en met Impulsmoment, wordt gegeven door de Kerr-Newman metriek: ds 2 = ρ 2 dt a sin θ 2 dφ ) 2 + sin θ 2 Met: = r 2 2Mr + a 2 + Q 2 ρ 2 = r 2 + a 2 cos θ 2 a = J M ρ 2 [ r 2 + a 2) dφ adt ] 2 + ρ 2 dr2 + ρ 2 dθ 2 3) Voor een Zwart Gat in de Kerr-Newman metriek geldt: a 2 + Q 2 < M 2 4) Want als a te groot wordt t.o.v. M zal de middelpuntvliegende kracht groter worden dan de aantrekkende zwaartekracht, en valt het Zwarte Gat uit elkaar. Hetzelfde geldt voor de afstotende elektrische kracht t.o.v. de aantrekkende zwaartekracht. 3 Innermost Stable Circular Orbit [2] Om de eigenschappen van een Zwart gat verder te bestuderen, moeten we nog verder kijken naar het gedrag van test deeltjes in de buurt van zo een Zwart Gat. Aller eerst merken we op dat als zo een deeltje een behoorlijke tijd buiten het Zwarte Gat wil blijven, het met relativistische snelheden zal moeten bewegen om niet direct op het Zwarte Gat te vallen. Hierdoor is de energie van zo een deeltje: E = γmc 2 1 2GM ) 5) Waarin de tweede term komt van de gravitationele energie. Hieruit volgt nu dat: E = γmc ) 2 1 2GM dt = γdτ E = mc2 dt dτ 1 2GM ) Voor het bepalen van dt kijken we terug naar de geometrie van de ruimte-tijd in dit dτ probleem, en pakken er de Schwarzschild metriek vgl 2) bij, daaruit volgt namelijk: ) 2 dt = 1 2GM dτ ) 2 ) 2 dr dτ r 2 1 2GM ) ) 2 dφ + 1 2GM ) 1 6) dτ Hierbij is de symmetrie van het systeem gebruikt om de θ afhankelijkheid er uit te werken, je kunt namelijk altijd zeggen dat je tegen de evenaar θ = π/2) aan zit te kijken aangezien het Zwarte Gat toch perfect spherisch symmetrisch is. Door dit nu in te vullen in de formule voor E 2 krijg je: ) 2 E 2 = mc 2 ) 2 dt 1 2GM ) 2 dτ 3

4 Met L = mr 2 dφ dτ E m 2 c = ) 2 dr GM + L2 dτ r 2m 2 r GML2 2 m c2 7) het Impulsmoment van het deeltje. Om dit wat overzichtelijker te maken, verdelen we de energie van het deeltje in zijn rustenergie en de rest van de energie: E = mc 2 + E 8) E = 1 2 mṙ2 GMm + L2 r 2mr GML2 2 m E 2 9) 3 2mc 2 Wat een heel mooie uitkomst is voor de energie van het deeltje je ziet duidelijk een kinetische term, de tweede term komt overeen met de gravitationele energie van het deeltje. De derde term is gelijk aan de rotationele energie van het deeltje, en de laatste twee termen komen alleen voor in het relativistisch geval. Deze twee termen gaan allebei 1 waardoor ze in de niet-relativistische limiet verdwijnen zoals het c 2 hoort. Maar wat zegt dit nu over de beweging van het deeltje, je ziet dat zijn totale energie wordt opgebouwd uit zijn rustenergie zijn kinetische energie en een potentiële energie bestaande uit vier termen. Deze potentiaal van het deeltje is erg afhankelijk van zijn Impulsmoment, L, wat duidelijk te zien is in figuur 1. Figuur 1: De potentiaal die een testdeeltje voelt in de buurt van een veel zwaarder Zwart Gat, voor verschillende waardes van het impulsmoment L van het testdeeltje. Hierbij gaan de grafieken van hoog naar laag ook van meer naar minder Inpulsmoment. Je ziet daarbij dat bij een bepaalde waarde van het Impulsmoment de middelste lijn) de potentiaalpiek verdwijnt zodat het deeltje ongehinderd verder kan vallen. V r) = GMm + L2 r 2mr GML2 2 m E 2 1) 3 2mc 2 Wat nu interessant is om te bekijken is bij welke waarde van de Impulsmoment is de potentiaalpiek verdwenen en valt het deeltje direct in het Zwarte Gat. Hiervoor kijken we wanneer de twee maxima samenvallen, want bij lagere Impulsmomenten zal 4

5 er dan geen plek meer zijn op de potentiaal die geschikt is voor het deeltje om daar te blijven hangen er is geen vlak stukje meer). Voor het vinden van de maxima kijken we naar: dv r) dr = 11) r ± = c2 L 2 ± cl cl) 2 12GMm) 2 2GMm 2 c 2 12) Al stel je deze twee oplossingen aan elkaar gelijk vind je: L min = 2 3GMm 13) c Dus voor deze waarde voor de Impulsmoment van het deeltje zal er net nog een plek bestaan in de potentiaal waar hij zich kan bevinden zonder direct het Zwarte Gat in te vallen, deze komt overeen met: r min = 6 GM c 2 14) Dit alles betekend dus dat er geen enkel deeltje met minder Impulsmoment dan L min een stabiele baan kan beschrijven om een Zwart Gat, en een deeltje met precies impulsmoment L min kan nog net een stabiele cirkelbaan volgen op r = r min. Deze laatste stabiele baan wordt ook wel de Innermost Stable Circular Orbit ISCO) genoemd. En is geobserveerd bij accretie schijven rond heel zware objecten zoals Zwarte Gaten maar ook rond neutronensterren zoals te zien in figuur 2. Figuur 2: een artist impression van een accretieschijf rond een neutronenster Maar wat interessant is om even te bekijken is de energie van het deeltje dat nog net in die laatste stabiele baan blijft hangen: V r min) = 1 18 mc2 15) Dit betekend dat het deeltje 1 van zijn rustmassa-energie die hij op oneindig nog 18 had is kwijt geraakt tijdens het invallen op het Zwarte Gat. Dit is hij kwijt geraakt op het moment dat hij ook impulsmoment moest veliezen om steeds dichter bij het Zwarte Gat te komen. Dit kan onder andere gebeurd zijn door wrijving met andere deeltjes in de accretie schijf. 5

6 4 Coordinaten transformaties [2] Tot nu toe is onze kennis over de eigenschappen van Zwarte Gaten beperkt gebleven tot fenomenen buiten de Scwarzschildstraal, in dit gebied kunnen we zonder problemen gebruik maken van de bekende metrieken. Maar wat als we nu dichterbij het Zwarte Gat willen kijken, dan is het misschien opgevallen dat er iets mis gaat met de metriek zelf: Bij r = 2GM/c 2 wordt de tijd-coëfficiënt nul en de radiële-coëfficiënt oneindig, wat men een coördinaten singulariteit noemt. Door de keuze van onze coördinaten kunnen we wel iets zeggen over hoe dat punt er vanuit oneindig uitziet, maar verteld dat ons in feite niets over de werkelijke gebeurtenissen rond dat punt. Als je kijkt naar een radieel invallend foton, daarvoor geldt: θ en φ zijn constant, dθ = dφ = vanwege de radiëliteit van de baan En ds 2 = omdat het een foton is. Hierdoor wordt de Schwarzschild metriek: = 1 2GM ) c 2 dt GM ) 1 dr 2 16) Waaruit we kunnen zien dat: dt dr = ± 1 2GM ) 1 1 c 17) Dit geeft je dus de wijdte van de lichtkegel in een ruimte-tijd diagram van het t-r vlak. Je ziet dat bij hele grote r de helling gewoon ± 1 is, maar naar mate c r richting 2GM gaat zal de helling van de lichtkegel steeds steiler worden, totdat c 2 dt 2GM = ± bij r = zie figuur 3). Zo lijkt het erop dat het foton nooit de dr c 2 Schwarzschilstraal kan bereiken, maar in feite is het zo dat het foton helemaal niets merkt van de Schwarzschildstraal en het gewoon recht door vliegt. Figuur 3: In Schwarzschildcoördinaten lijkt het alsof lichtkegels zich sluiten als we r = 2GM/c 2 naderen 6

7 Het is een artefact van het coördinaten stelsel dat we gebruiken, aangezien wij op oneindig steeds kijken naar fotonen die uitgezonden worden door het invliegende foton en door de grote aantrekkingskracht van het Zwarte Gat komen deze fotonen steeds met grotere tussenposen bij ons aan. Waardoor het lijkt alsof het foton wordt afgeremd tot het een oneindige tijd duurt voor het volgende foton bij ons aankomt wanneer het invallende foton de Schwarzschilstraal passeert. 4.1 tortoise coordinaten Om toch iets te kunnen zeggen over het werkelijke gedrag van bijvoorbeeld fotonen rond de Schwarzschildstraal kunnen we beter over gaan naar een ander coördinatenstelsel waarin de tijd-coördinaat langzamer loopt langs nul-geodeten wereldlijnen van fototen): t = ±r + constante 18) Met de tortoise coördinaat, r : r r ) = r + 2GM ln 2GM 1 19) Hierdoor veranderd de Schwarzschild metriek naar: ds 2 = 1 2GM ) dt 2 + dr 2) + r 2 dω 2 2) Waar r nu een functie is van r. Dit ziet er al beter uit, er zijn geen coëfficiënten meer die naar oneindig gaan bij r = 2GM/c 2, en de licht kegels worden niet meer smaller bij het invallen van het foton zie figuur 4). Figuur 4: Schwarzschild licht kegels in tortoise coördinaten, hier blijven de licht kegels netjes hetzelfde Echter is nu wel het oppervlak waar we naar wilden kijken verplaatst van r = 2GM/c 2 naar r =. 7

8 4.2 Eddington-Finkelstein coordinaten Om ons coordinaten stelsel nu nog overzichtelijker te maken, gaan we ze op zo een manier aanpassen aan nul-geodeten dat die er op een natuurlijke wijze in voorkomen. Daarvoor nemen we: v = t + r u = t r 21) Nu zie je mooi dat invallende nul-geodeten voldoen aan v = constant en uitgaande nul-geodeten voldoen aan u = constant. Als je dit nu om schrijft naar een coördinatensysteem met weer de originele radiële coördinaat, r, en de tijdsafhankelijkheidscoördinaat vervangen voor de v-coördinaat. Krijg je de Eddington-Finkelstein coördinaten, met nu als metriek de Eddington-Finkelstein metriek: ds 2 = 1 2GM ) dv 2 + dvdr + drdv) + r 2 dω 2 22) Dit ziet er al een stuk beter uit, als je bijvoorbeeld kijkt naar de vergelijkingen voor de nul-geodeten in deze coördinaten: dv dr = invallend) 2 ) 1 2GM 1 uitgaand) zie je dat er de lichtkegels zich netjes gedragen bij r = 2GM/c 2 en dat het inderdaad een artefact was van het voormalige coördinatenstelsel dat er een singulariteit te zien was. En nu is ook het betreffende oppervlak niet meer op oneindig maar op een eindige coördinaat waarde. Maar er is wel wat bijzonders te zien als je ook kijkt naar figuur 5, in plaats van dat de lichtkegels dicht vouwen als ze de Scwarzschildstraal naderen roteren ze nu steeds verder tot dat ze bij r = 2GM/c 2 zo gekanteld zijn dat alle mogelijke toekomst gerichte paden naar afnemende straal gericht zijn. Er is dus geen mogelijkheid, zelfs niet met de lichtsnelheid, om na het passeren van de Schwarzschildstraal nog terug te keren naar grotere r, dit is de waarneemhorizon van een Zwart Gat. Figuur 5: Schwarzschild licht kegels in v, r) coördinaten, in deze coördinaten kun je heel goed de toekomst gerichte paden volgens zelfs voorbij r = 2GM/c 2 8

9 4.3 Kruskal-Szekeres coördinaten Om een nog beter inzicht te krijgen in de werkelijke geometrie van de ruite-tijd in en rond een Zwart Gat bekijken we het Zwarte Gat nogmaals alleen dan in weer een wat ander coördinatenstelsel: het zogenaamde Kruskal-Szekeres coördinatenstelsel. Het lijkt er niet mooier op te worden maar uiteindelijk geeft het toch weer extra informatie over de ruimte-tijd, ze laten wel de θ en φ coördinaten zoals ze waren maar vervangen de t en r coördinaten voor nieuwe V en U coördinaten die als zolgt zijn gedefineerd met G = c = 1): U = r 1) 1/2 e r/4m cosh ) t 2M 4M V = r 1) 1/2 e r/4m sinh ) t 2M 4M U = 1 V = 1 ) r 1/2 e r/4m sinh ) t 2M 4M ) r 1/2 e r/4m cosh ) t 2M 4M r > 2M r < 2M Met deze transformaties veranderd natuurlijk ook weer de Schwarzschild metriek: ds 2 = 32M 3 e r/2m dv 2 + du 2) + r 2 dω 2 23) r waar nu r weer een functie is van U en V, die impliciet volgt uit de definities van U en V : r ) 2M 1 e r/2m = U 2 V 2 24) Ook aan deze Kruskal-Szekeres metriek zie je dat er geen singulier punt is bij r = 2M, wat dus nogmaals bewijst dat de singulariteit uit de Schwarzschild metriek een gevolg is van de coördinaten keuze. Wat het grote voordeel van de Kruskal-Szekeres coördinaten zijn is dat de bij behoordende Kruskal-diagrammen veel inzicht geven in de ruimte-tijd rond een Zwart Gat, zie figuur 6. In deze diagrammen zijn lijnen van constante r getekend als hyperbolen waarvoor geldt: U 2 V 2 = constant zoals volgt uit vergelijking 24. Voor de specifieke waarde van r = 2M zal gelden: U 2 V 2 = en dus V = ±U wat overeenkomt met de diagonalen uit figuur 6. Voor de waarde van r =, de singulariteit, zal gelden U 2 V 2 = 1 en dus: V = + U ) Maar er is nog meer te zien, als we kijken naar de tijdsafhankelijkheid in de Kruskaldiagrammen, uit de definities van U en V volgt dat: ) t tanh = V, r < 2M 26) 4M U ) t tanh = U, r > 2M 27) 4M V En dus geldt voor lijnen met constante t dat het rechte lijnen zijn door de oorsprong, met de ene diagonaal U = V ) overeenstemmend met t = en de andere U = V ) overeenstemmend met t =. Ook kun je zien dat t = op U = ligt 9

10 Figuur 6: Er zijn twee figuren getoont van een twee dimensionale schijf van de Schwarzschild geometrie weergegeven in Kruskal-Szekeres coördinaten. In het linker figuur zijn lijnen van constante r en t getekend, namelijk de hyperbolen met constante r-waardes;, 1.75M, 2M, 2.25M, 2.75M en 3.25M. En rechte lijnen met constante t-waardes;, ±M, ±2.25M, ±3M en ±3.25M. Het witte gebied komt overeen met de Schwarzschildcoördinaten 2M < r < en < t < +, dit is het gebied waar wij leven. Alleen het deel van het diagram waarvoor geldt V > U wordt gedekt door de Eddington-Finkelstein coördinaten < r < +, < v < + ). De grijze gebieden onder en boven de r = hyperbolen zijn helemaal geen deel van de ruimte-tijd. In het rechter figuur is een invallende tijdachtige wereldlijn te zien, met een aantal licht kegels. Radiële lichtbundels bewegen langs 45 lijnen in een Kruskal-diagram voor r < 2M en op V = voor r > 2M. Het mooie ook van de Kruskal-Szekeres coördinaten is dat ze veel meer kunnen beschrijven dan de vorige twee coördinatenstelsels, aangezien de Schwarz-schildcoördinaten maar het kwart van het Kruskal-diagram, U > U < V < U, kunnen beschrijven wat overeenkomt met < t <, 2M < r <. Ook de Eddington-Finkelstein coördinaten beschrijven niet zo veel, aangezien zij maar de helft V > U) dekken. Dit komt dan overeen met < v < en < r <. Een andere nadeel aan de Schwarzschild coördinaten is dat de metriek veranderd bij r = 2M, want de toenemende t is een tijdachtig richting voor r < 2M maar ruimteachtig voor r > 2M, zo ook is toenemende r een ruimteachtige richting voor r < 2M en een tijdachtige richting voor r > 2M. Ook hier heb je geen last meer van in de Kruskal-Szekeres coördinaten, want dan is de richting langs V altijd tijdachtig en de richting langs U altijd ruimteachtig. 1

11 Verder is het ook makkelijker om wereldlijnen van deeltjes of fotonen in en rondom een Zwart Gat te bekijken, aangezien alle lichtkegels rechtop staan met hoeken van 45 ten opzichte van de V -as. Daarom zullen fotonen altijd aan: V = ±U + constante 28) voldoen. Ook is duidelijk zichtbaar dat zelfs fotonen niet meer bij een verre waarnemer op vaste straal kunnen komen als ze eenmaal de schwarzschild straal zijn gepasseerd, zie figuur 7. Figuur 7: in het figuur zijn twee wereldlijnen getekend; een van een verre waarnemer op vast straal de hyperbool), en een van een vrij vallende waarnemer richting de singulariteit de rechte lijn, met de bolletjes). Lichtbundels bewegen zich langs 45 lijnen en zijn weergegeven als gestreepte lijntjes, heel duidelijk is te zien dat de fotonen uitgezonden door de vrij vallende waarnemer steeds met grotere tussenposen worden ontvangen door de verre waarnemer. Totdat de vrij vallende waarnemer de Schwarzschildstraal overschreidt het foton op dat moment uitgezonden komt pas op t = + aan bij de verre waarnemer 5 Thermodynamica van Zwarte Gaten [3][4][6][7] Stel je voor dat je een brok massa in een Zwart Gat laat vallen, dan kun je naderhand niet meer zien wat voor materie het was. Het enige wat je kan vertellen over de materie waar het Zwarte Gat oorspronkelijk uit ontstaan is, is de massa, het impulsmoment en de lading van de ingevallen materie. Dit wordt ook wel de No-Hair principe van een Zwart Gat genoemd zie paragraaf 2). Wat er ook moet zijn gebeurt bij het absorberen van de het brok materie is de toename van de entropie van het Zwarte Gat, want zo een brok materie heeft altijd entropie, en volgens de tweede wet der Thermodynamica moet de entropie in een gesloten systeem altijd toenmenen of gelijk blijven. 11

12 Men heeft ook geprobeerd een manier te bedenken om de entropie van een Zwart Gat te bepalen [4], hiervoor moet je bedenken dat materie volgens de Quantummechanica beschreven kan worden door zijn golffunctie, en dat deze golffuncties begrensd worden door de grootte van de Schwarzschild straal. Maar zoals bekend is worden opgesloten golven staande golven, en aangezien je niets kunt zeggen over alle materie afzonderlijk in een Zwart Gat zal een Zwart Gat gevult zijn met staande golven in alle soorten en maten. De enige eigenschap van al die staande golven die we tot uiting zien komen is de energie van de golven, namelijk in de totale massa-energie van een Zwart Gat. Als men nu de massa-energie) van een Zwart Gat weet, weet men ook de totale energie in de staande golven, die bepaald worden door de frequentie en de amplitude van de golven. Onder de aanname dat elke soort golf met bepaalde amplitude en frequentie met even grote waarschijnlijkheid voor komt, kun je het aantal mogelijke toestanden in een Zwart Gat bepalen. En daarmee kun je iets zeggen over de entropie van het Zwarte Gat. Maar als een systeem entropie bevat, heeft het volgens de thermodynamica ook een temperatuur. Maar als iets een temperatuur heeft zal het ook straling uitzenden, en dat terwijl ze dachten dat alles werd geabsorbeerd door een Zwarte Gaten, dus ook straling met een lagere temperatuur dan de temperatuur van het Zwarte Gat. In hoeverre bestaat er nu een analogie met de Thermodynamica, laten we daarvoor eerst eens kijken naar de basis van de Thermodynamica. De vier wetten der Thermodynamica: 5.1 de de wet De nulde wet van de Thermodynamica luidt: Als twee systemen of delen van hetzelfde systeem in thermisch evenwicht verkeren, dan hebben ze dezelfde temperatuur. Deze wet heeft dus te maken met het constant zijn van een grootheid in een bepaald systeem. Nu weten we dat als een object perfect sferisch symetrisch is met alle massa exact in het midden gelocaliseerd de singulariteit), zal de oppervlakte gravitatie overal op het oppervlak de waarneemhorizon) even groot zijn. Dus de nulde wet van de Thermodynamica der Zwarte Gaten luidt: Als een Zwart Gat in evenwicht is dus niet tijdens het in elkaar vallen van de ster) zal de oppervlakte gravitatie κ) constant zijn over het hele oppervlak. Dus van de nulde wet is er in ieder geval wel een analoge wet voor Zwarte Gaten. 5.2 de 1 ste wet De eerste wet is als volgt: 12

13 De totale energie in een gesloten systeem is behouden. Dit is een hele algemene wet, en het is niet moeilijk te bedenken om ook het behoud van energie van toepassing te laten zijn in een systeem met een Zwart Gat. Maar een andere vorm van de eerste wet heeft een mooiere analogie met Zwarte Gaten, namelijk de Thermodynamische Identiteit: T ds = de + pdv 29) De verandering van de entropie maal de temperatuur is gelijk aan verandering van energie plus de arbeid verricht op het systeem. Nu valt er voor Zwarte Gaten een analoge vergelijking op te stellen, daarvoor kijken we naar de Kerr-Newman metriek vgl. 3) maar stellen voor het gemak het impulsmoment J) gelijk aan nul waardoor we eigenlijk de Reissner-Nordström metriek gebruiken: ds 2 = 1 2GM ) + Q2 dt GM ) 1 r 2 + Q2 dr 2 + r 2 dω 2 3) r 2 Nu zijn we benieuwd naar de eigenschappen op de horizon van dit Zwart Gat. Om de horizon te vinden stellen we de tijd-coëfficiënt, f, gelijk aan nul. En zien dat er een quadratische vergelijking in r uit volgt G = c = 1): f = 1 2M r + Q2 r 2 = 31) Zo een vergelijking heeft twee oplossingen, wat betekend dat er twee horizonnen zijn. We nemen voor de horizon die we willen bekijken de buitenste, welke zich op straal r + bevindt. Nu expanderen we de functie f rond r = r + en willen dat ook deze gelijk aan nul is: hiervoor stellen we: fr) fr +) + r r +)f r +) + O r r +) 2) = 32) dfr +) = [ ] df df df dr + dq + dr dq dm dm = 33) r=r + waarin: hieruit volgt dus dat: df dq = 2Q 34) r 2 df dm = 2 35) r df 2Q r+)dr+ = dq + 2 dm 36) dr r+ 2 r + r+ df 2 dr r+)dr+ = Q dq + dm 37) r + df r 2 ) dr r+)d + = Q dq + dm 38) 4 r + 13

14 De coëfficiënt voor dq is, op een normalisatrie constante elektrische potentiaal φ. En omdat c = 1 is de = dm: 1 4πɛ na, gelijk aan de df r 2 ) dr r+)d + = φdq + de 39) 4 Een verschil nog met de Thermodynamische Identiteit is de soort van arbeid in het systeem. De arbeid van de druk op het volume, is vervangen door de arbeid van het elektrisch veld op de lading. Maar wat er aan de linker kant staat moet dan iets te maken hebben met T ds, laten we het eens wat physischer proberen te maken: waarin dus: en, df r 2 ) dr r+)d π T = 1 π df dr r+)d πr ) 4) df r+) 41) dr S = πr2 + = A 42) 4 16 met A de oppervlakte van de waarneemhorizon. Er is wel een manier om te laten zien dat df r+) te maken heeft met de temperatuur, door de metriek om te schrijven in dr zo een vorm dat het overeen komt met de metriek van een thermisch bad met bepaalde de temperatuur, maar dat geeft je meteen het bewijs dat het ook echt een temperatuur is. Ik wil graag dat bewijs op een andere manier tot stand laten komen in paragraaf 5.5.2, zodat ook meteen de relatie geimpliceerd door de de wet meteen duidelijk is, dus daarom laat ik het er nu bij. 5.3 de 2 de wet De Entropie van een systeem dat niet in evenwicht is zal altijd toenemen: ds 43) in paragraaf 5.2 hebben we al gezien dat de entropie samen hangt met de oppervlakte van de waarneemhorizon en dus ook van de Massa van het Zwarte Gat: S = 1 16 A 44) = 1 4 πr2 s 45) = G2 M 2 c 4 46) Wat we weten van de massa van een Zwart Gat is dat het alleen maar kan toenemen aangezien niets uit een Zwart Gat kan komen, zelfs niet met de lichtsnelheid, en er wel dingen in kunnen vallen. Dus de oppervlakte van de waarneemhorizon kan alleen maar toenemen: da 47) 14

15 5.4 de 3 de wet En ook voor de laatste wet is er een analogie gevonden, de derde wet van de Thermodynamica luidt: Een systeem met nul entropie wordt alleen bereikt wanneer de temperatuur van het systeem gezakt is tot het absolute nulpunt T = K). Daarbij komt wel dat het onmogelijk is om de temperatuur van een systeem in een eindig aantal stapjes naar nul te krijgen, zo ook is het onmogelijk om de entropie van een systeem nul te laten worden in een eindig aantal stapjes. In oneindig aantal stapjes zou het wel kunnen maar dat is een beetje lastig te realiseren. De analogie van de temperatuur hebben we al gevonden in paragraaf 5.1, namelijk de oppervlaktge gravitatie κ). Het is dus niet mogelijk om de oppervlakte gravitatie in een eindig aantal stapjes naar nul te laten gaan. Voor het verduidelijken van dit kijken we naar een simpel Schwazschild Zwart Gat, waarbij: κ = 1 4GM Je ziet hierbij dat de oppervlakte gravitatie afneemt naar mate er meer massa in het Zwart Gat verdwijnt, maar je zou wel een oneindige hoeveelheid massa moeten hebben om de oppervlakte gravitatie naar nul te laten gaan. Wat meer algemeen geldt: met: 48) κ = 4πµ/A 49) A = 4π[2MM + µ) Q 2 ], µ = M 2 Q 2 J 2 /M 2 ) 1/2 5) Hier zie je dat κ ook nul kan worden als µ nul wordt, zo een Zwart Gat wordt een extreem Zwart Gat genoemd. Maar zo een Zwart Gat heeft wel A = 4π2M 2 Q 2 ) en dus ook entropie. Dus voor een extreem Zwart Gat wordt er niet aan de bovenstaande vorm van de derde wet van de Thermodynamica voldaan. Maar laten we eens kijken hoe we sowieso een extreem Zwart Gat moeten krijgen, dan moet namelijk: M 2 Q 2 J 2 /M 2 = 51) gelden. Hiervoor moet je dus steeds meer lading of impulsmoment toevoegen om het totaal dichter bij nul te laten komen. Laten we eens kijken wat er gebeurt als je een lading q met massa m laat vallen op een geladen niet roterend Zwart Gat, met massa M en lading Q < M. Om te proberen de totale lading gelijk te krijgen aan de totale massa: Q + q = M + m, en zo µ = te verkrijgen. Maar al moet het deeltje in het Zwarte Gat komen moet de gravitationele aantrekking wel groter zijn de elektrostatische afstoting, dus: mm > qq en dus ook: q/m < M/Q, en deze ongelijkheid verteld je dat Q + q < M + m, dus zal µ nooit nul worden omdat de elektrostatische afstoting dan te groot wordt en de lading er dan niet meer bij kan komen. Zo geldt dat ook voor J, Als het impulsmoment te groot wordt kan het deeltje ook 15

16 niet meer op het Zwarte Gat vallen. Hij zal er dan gewoon voorbij vliegen. Ook zijn er vele andere configuraties waarbij je bijvoorbeeld spinnende deeltjes langs de rotatie-as van het roterende Zwarte Gat laat vallen, en ook geladen deeltjes langs de as er in laten vallen, of zelfs magnetische monopolen in een electrische geladen Zwart Gat laten vallen. Maar bij al deze gedachten-experimenten wordt uiteindelijk een afstotende kracht groter dan de aantrekkende kracht gevonden waardoor je nooit µ = kunt bereiken. Er is dus echt geen enkele manier om in een eindig aantal stapjes de oppervlakte gravitatie, κ, naar nul te krijgen. 5.5 van Analogie naar werkelijke Thermodynamica Wat we tot nu toe gedaan hebben, is de verschijnselen van Zwarte Gaten in zo een vorm opgeschreven dat ze lijken op Thermodynamische systemen, maar dat wil nog niet zeggen dat ze ook werkelijke thermodynmica volgen. Bijvoorbeeld wordt de oppervlakte gravitatie als een analogie van de temperatuur beschouwd, maar dat wil niet zeggen dat een Zwart Gat ook werkelijk een Temperatuur heeft. Maar de analogie wordt werkelijkheid op het moment dat Hawking bewijst dat Zwarte Gaten wel degelijk straling uitzenden met het spectrum van zwarte lichaam stralers bij een bepaalde temperatuur. En dat die grootheden evenredig zijn met de voorspelde grootheden uit de voorgaande paragrafen. Hiervoor bekijken we eerst het effect gevonden door Bill Unruh in Unruh temperatuur [1][5][8][9] Bij het Unruh effect wordt er gekeken naar het vacuum, en hoe dat wordt gezien vanuit verschillende waarnemers. Een waarnemer die zich in hetzelfde inertiaalsysteem bevindt als het vacuum dat we bekijken zal niets vreemds zien. Daarentegen zal een waarnemer die ten opzichte van dat systeem een eenparige versnelling ondergaat, zal geen vacuum meer zien maar een thermische straling alsof er zich een zwartlichaam straler bevindt. Met andere woorden zal de quantum toestand, die voor de ene waarnemer de grondtoestand het vacuum) is, voor de versnellende waarnemer een toestand zijn van thermisch evenwicht. Hiervoor gaan we proberen een gequantiseerd scalar veld in de Minkowski ruimtetijd te beschrijven vanuit een eenparig versnellende waarnemer. Hierbij negeren we het feit dat zo een versnelling niet voor altijd kan doorgaan omdat een waarnemer nooit sneller dat de lichtsnelheid kan gaan. Laten we beginnen met het beschrijven van enkele definities waar we rekening mee moeten houden bij onze afleiding. Ons probleem bestaat namelijk uit 3 verschillende referentie kaders: laboratorium stelsel, het inertiaalstelsel, beschreven met de coördinaten x µ = t, x, y, z), wat stil staat ten opzichte van de aarde. 16

17 acceleratie stelsel, het niet-inertiaalstelsel waarin de accelererende waarnemer zich altijd in de oorsprong bevindt. En wordt beschreven met de coördinaten τ, ξ), waarin τ de eigentijd is en ξ de afstand gemeten door de accelererende waarnemer is. comoving stelsel, het inertiaalstelsel dat met dezelfde snelheid beweegt ten opzichte van het labstelsel als het acceleratie stelsel op tijdstip t = t. Hierdoor is het comoving stelsel steeds een ander stelsel als je op een ander tijdstip, t, kijkt, terwijl de vorige twee stelsels hetzelfde stelsel blijven. Het voordeel hiervan is dat de acceleratie van de waarnemer op een tijdstip wordt gegeven door zijn 3- acceleratie, a in dit stelsel. De coördinaten dan dit stelsel worden gegeven door: x µ = t, x, y, z ) Laten we nu eens proberen de baan van de waarnemer door de Minkowski ruimttijd te beschrijven door x µ τ). Door de baan te parameteriseren met de eigentijd, τ, geldt: u µ u µ = 1, met u µ = dxµ 52) dτ En er bestaat een verband tussen de 4-versnelling in het lab-stelsel, en de 3-versnelling in het comoving stelsel, namelijk: a µ = duµ dτ = d2 x µ dτ 2 53) a µ a µ = a 2 54) waarin a de acceleratie van de waarnemer is in het comoving stelsel. Om dit te laten zien kijken we naar het comoving stelsel waarin u µ τ ) 1,,, ) en dus o.a.: u τ ) = dtc dτ = 1 55) τ=τ Maar we willen de acceleratie in dit stelsel weten: [ ] d 2 x µ dτ d dτ dx µ dt c = 56) τ=τ dt c dτ dt c dτ τ=τ [ ] 1 d 1 dx µ = 57) u τ ) dτ u τ ) dτ τ=τ = d [ ] dx µ 58) dτ dτ τ=τ d 2 x µ = dτ 2 59) τ=τ = a µ τ ) 6) waarbij we bij de derde stap gebruik hebben gemaakt van vergelijking 55. Over de eerste term van de acceleratie kunnen we wat meer zeggen door vergelijking 55 te differentieren naar τ: a τ ) = du τ ) dτ = d dτ 1 = 61) 17

18 waardoor dus: a µ τ ) = ), d2 x 1, d2 x 2, d2 x 3 =, a 1, a 2, a 3 ) 62) dt c dt c dt c Hierdoor geldt dus vergelijking 54 in het comoving stelsel, en vanwege het Lorentz invariante inproduct dus ook in alle andere inertiaalstelsels. Met de vergelijkingen 52 en 54 kunnen we nu de baan bepalen van de waarnemer. Voor het gemak laten we de versnelling alleen in de positieve x-richting staan a = aˆx), zodat de waarnemer vanuit x = + richting x = x op t = t ) beweegt daar stil komt te staan en dan weer versnelt richting x = +. Waardoor alleen xτ) en tτ) berekend moeten worden. Dit doen we door het stelsel van vergelijkingen vgl 52 en vgl 54) op te lossen: Hierdoor krijg je: u µ u µ = u ) 2 u 1 ) 2 = t 2 x 2 = 1 63) ) a µ du 2 ) du 1 2 ) 2 ) 2 dt dx a µ = = = a 2 64) dτ dτ dτ dτ xτ) = x 1 a + 1 a cosh aτ, tτ) = t + 1 sinh aτ 65) a Door nu de volgende randvoorwaarden: x = 1, t = 66) a te nemen, wat betekend dat de waarnemer op t = stil staat op x = 1/a. Wordt vergelijking 65: xτ) = 1 a cosh aτ, tτ) = 1 sinh aτ 67) a de wereldlijn van dit pad voldoet dus aan: x 2 t 2 = 1/a 2, wat te zien is in figuur 8: Om nu een beschrijving kunnen te geven van velden in het lab-stelsel gezien vanuit de accelererende waarnemer moeten we de coördinaten t en x laten afhangen van τ en ξ, en vica versa. Hiervoor laten we de accelererende waarnemer een stok vast houden van lengte ξ zodat deze mee versneld. In het comoving stelsel zal het uiteinde van de stok dan beschreven worden door de 4-vector τ, ξ ), door nu deze 4-vector te beschrijven in coördinaten t, x) vind je een relatie tussen de twee coördinatenstelsels. De stok wordt in het comoving stelsel beschreven door de 4-vector s µ com =, ξ ) die het verschil is tussen de eindpunten τ, ) en τ, ξ ). Omdat dit comoving stelsel een inertiaal stelsel is van het lab-stelsel met 4-snelheid u µ τ) = dx µ /dτ, kun je een inverse Lorentz-transformatie uitvoeren om de coördinaten van de stok in het lab-stelsel s µ lab te vinden. ) ) ) s lab γ γβ s com = s 1 γβ γ lab s 1 com hierin zijn s µ lab de t, x)coördinaten van het eindpunt van de stok, en sµ com =, ξ ) de coördinaten van het eindpunt van de stok in het comoving stelsel. Dus: t = γ + γβ ξ = γβξ 68) x = γβ + γ ξ = γξ 69) 18

19 Figuur 8: de wereldlijn van een uniform accelererende waarnemer in een Minkowski ruimte-tijd. De gestreepte lijn is de licht kegel, en de waarnemer kan de gebeurtenissen P en Q niet waarnemen en kan zelf geen signalen zenden naar punt R Het verschil tussen het begin- en eindpunt van de stok wordt dus gegeven door t, x) = γβξ, γξ ). Nu weten we uit hoofdstuk 3 dat γ = dt = dτ u en het is ook duidelijk dat β = v = dx = u1 waardoor vergelijkingen 68 en 69 veranderd naar: dt u t = u 1 ξ, x = u ξ 7) Aangezien het beginpunt van de stok wordt vast gehouden door de versnelde waarnemer beweegt die over het pad x µ τ), waardoor je nu dus voor elke lengte van de stok, ξ, de coördinaten kunt opschrijven in het lab-stelsel: tτ, ξ) = 1 a sinh aτ + dx1 τ) ξ dτ 71) xτ, ξ) = 1 a cosh aτ + dx τ) ξ dτ 72) We lossen nu deze vergelijking op met de begincondities: x ) =, x 1 ) = a 1, voor het bepalen van de relatie tussen de coördinaatstelsels en hun inverse vergelijkingen): tτ, ξ) = 1+aξ a xτ, ξ) = 1+aξ a sinh aτ cosh aτ τt, x) = 1 x+t ln 2a x t ξt, x) = 1 2a + x 2 t 2 19

20 Met deze coördinaten τ, ξ) wordt maar een deel van de Minkowski ruimte-tijd gedekt. Zoals volgt uit de transformatie vergelijkingen hier boven, namelijk: < τ < + en a 1 < ξ < + wat overeen komt met x > t in Minkowski coördinaten zoals te zien is in figuur 9. De accelererende versneller kan dus in zijn coördinaten stelsel geen gebeurtenissen beschrijven buiten dit gebied. Zo zal hij nooit de gebeurtenissen P en Q kunnen beschrijven omdat deze geen informatie kunnen verzenden richting de waarnemer omdat deze altijd buiten hun lichtkegel valt. Wel kan er informatie van gebeurtenis R bij de waarnemer komen, maar volgens de waarnemer lijkt het signaal niet van R te komen maar van ξ = a 1 op t =. De waarnemer lijkt een horizon te hebben bij ξ = a 1, want hij kan onmogelijk informatie verkrijgen van gebeurtenissen in het gebied ξ < a 1. Een andere manier om in te zien dat er een horizon moet zijn bij ξ = a 1 is door te kijken naar een lijn met constante eigenlengte, ξ = ξ > a 1 uit de transformatie vergelijkingen hier boven blijkt dan dat zulke paden worden beschreven door x 2 t 2 = constant en een eigen-acceleratie van: a 1 x2 t 2 = ξ + a 1 ) 1 73) Zoals te zien heeft een beweging langs een pad met ξ = a 1 een oneindige acceleratie nodig, wat niet mogelijk is. Figuur 9: Het eigen coördinaten systeem van een uniforme accelererende waarnemer in de Minkowski ruimte-tijd. De hyperbolen zijn lijnen van constante eigenafstand ξ, de hyperbool met de pijlen is de wereldlijn van de waarnemer; ξ = of x 2 t 2 = a 2. De lijnen met constante τ worden gegeven door rechte gestippelde lijnen. De gestreepte lijn stelt de licht kegel voor, ξ = a 1. De gebeurtenissen P, Q en R worden niet beschreven door de eigencoördinaten 2

21 Rindler ruimte Door dit nieuwe coördinatenstelsel veranderd ook de metriek van de normale Minkowski metriek naar een nieuwe metriek: ds 2 = dt 2 dx 2 = 1 + aξ) 2 dτ 2 dξ 2 74) Om quantum velden theorie toe te kunnen passen in deze ruimte-tijd, kunnen we hem beter eerst omschrijven naar een wat mooiere vorm. Hierbij hebben dτ 2 en dξ 2 dezelfde factor, om dit te verkrijgen introduceren we, dξ = 1 + aξ)d ξ 75) Wat betekend voor ξ: ξ 1 ln1 + aξ) 76) a we zien nu ook dat waar het gebied van ξ: ξ > a 1 was, daar het gebied van ξ; < ξ < + is. En dat de metriek veranderd naar: en de relatie tussen de coördinaten stelsels wordt nu: ds 2 = e 2a ξdτ 2 d ξ 2 ) 77) tτ, ξ) = a 1 e a ξ sinh aτ, xτ, ξ) = a 1 e a ξ cosh aτ 78) Dit beschrijft de ruimte-tijd die met de Rindler ruimte-tijd wordt aangeduid. Nu kunnen we echt gaan kijken naar velden in deze Rindler ruimte-tijd, met aangepaste coördinaten. Ons doel daarbij is om een scalar veld, φ, in het stelsel van de waarnemer, τ, ξ), te quantiseren. Voor het gemak kijken we nog steeds naar 1+1 dimensionale ruimte-tijd, en naar een massaloos scalarveld. Omdat onze metriek 77) heel erg lijkt op de gewone Minkowski metriek, alleen dan op een fasefactor e a ξ na, kun je zeggen dat de actie integraal in allebei de stelsels dezelfde vorm heeft ook te bewijzen door gewoon de coördinaten transformatie toe te passen op de actie integraal). We kennen de actie integraal in Minkowski ruimte-tijd: S[φ] = 1 2 [ tφ) 2 xφ) 2] dtdx 79) Waardoor de actie integraal in de aangepaste Rindler ruimte-tijd: S[φ] = 1 2 [ τ φ) 2 ξ φ)2] dtdx 8) wordt. De bewegingsvergelijkingen die daaruit volgen moeten dan voldoen aan: 2 φ t 2 2 φ x 2 =, 2 φ τ 2 φ = 81) 2 ξ 2 Algemene opplossingen van deze vergelijkingen worden gegeven door: φt, x) = At x) + Bt + x), φτ, ξ) = P τ ξ) + Qτ + ξ) 82) 21

22 Waar A, B, P en Q willekeurige gladde functies zijn. Let wel op dat de twee oplossingen totaal verschillend kunnen zijn, aangezien ze uit een totaal ander coördinaten stelsel komen. We gaan de velden, φ, nu proberen te quantiseren en de twee verschillende oplossingen uit de twee stelsels met elkaar vergelijken. Laten we eerst kijken naar φt, x) in het lab-stelsel, we kunnen het veld opschrijven als een integraal over alle gecreërde en geannihileerde deeltjes in het systeem, met daarin gesubstitueerd ω k = k : ˆφt, x) = dk 1 ] [e ikt kx) â 2π) 1/2 k + e ikt kx) â + k 2 k Met de normalisatiefactor 2π) 1/2 die wordt gebruikt in een 1+1 dimensionaal stelsel in plaats van de factor 2π) 3/2 die wordt gebruikt in een 3+1 dimensionaal systeem. â ± k zijn de creatie en annihilatie operatoren, van deeltjes die in de positieve x-richting bewegen k > ) of in de negatieve x-richting bewegen k < ). Om maar weer eens de symetrie van de twee ruimte-tijd stelsels te gebruiken kunnen we dit ook doen voor φτ, ξ): ˆφτ, ξ) = dk 1 [ ikτ k e ξ)ˆb 2π) 1/2 k + e 2 k ikτ k ξ)ˆb+ k Hierin geldt weer de substitutie ω k = k, maar zoals te zien is zijn de creatie-, annihilatie operatoren â ± k en ˆb ± k wel degelijk verschillend. Voor beide velden kun je nu een vacuum opschrijven namelijk: ] 83) 84) â k M =, ˆb k R = k 85) Hierin staat M voor het Minkowski vacuum en R voor het Rindler vacuum. En deze zijn ook zeker verschillend omdat de creatie- en annihilatie operatoren verschillend zijn. Maar nu is de vraag welke van de twee is het echte vacuum? Om hier een antwoord op te vinden moeten we eerst bepalen wat de twee vacua nu eigenlijk zijn. Stel dat je een apparaat hebt die het quantum veld in de laagst mogelijke toestand brengt. Als je deze nu in het lab-stelsel en in een accelererend ruimtschip plaatst zullen ze twee verschillende toestanden maken, M en R. Als je nu met een detector metingen gaat doen aan deze twee toestanden, zul je zien dat een detector die in rust is ten opzichte van het ruimteschip de R toestand zal zien als de minst energetische, en daarom de M als een aangeslagen toestand hij detecteerd dus wel deeltjes in dit vacuum). Daarentegen zal een detector die zich in rust bevindt ten opzichte van het lab-stelsel geen deeltjes meten in de M toestand, maar wel deeltjes in de R toestand. Tot nu toe hebben ze allebei gelijk, maar de keuze voor het echt vacuum wordt maar weer eens bepaald door het gezichts punt van de mens. Aangezien metingen van het vacuum om ons heen volgens ons het echte vacuum is, en dat dat toevalligerwijs in hele goede benadering een Minkowski ruimte-tijd is. Daarom is besloten dat M het ëchte vacuumïs, de deeltjes die gedetecteerd worden door de detector in het ruimteschip zijn puur een gevolg van het zogenaamde Unruh-effect. Om nu een idee te krijgen van wat de distributie is van deeltjes die gedetecteerd worden door een versnellende waarnemer in het vacuum, proberen we een relatie te vinden tussen de operatoren â ± k en ˆb ± k uit de twee verschillende stelsels. Dit doen we door gebruik te maken van de gepaste Bogolyubov coëficiënten. Deze berekening geeft ons 22

23 de mogelijkheid om het Minkowski vacuum het vacuum) te schrijven als een superpositie van aangeslagen toestanden boven op het Rindler vacuum. Eerst gaan we het ons zelf wat makkelijker maken, door over te gaan naar lichtkegel coördinaten zoals we ook gedaan hebben bij de Eddington-Finklestein coördinaten zie paragraaf 4.2): ū t x, v t + x; 86) u τ ξ, v τ + ξ 87) hierdoor worden de relaties tussen de coördinaten stelsels een stuk eenvoudiger: en de metrieken worden dan: ū = a 1 e au, v = a 1 e av 88) ds 2 = dūd v = e av u) dudv 89) Ook de veldvergelijkingen en hun oplossingen moeten dan omgeschreven worden: 2 φū, v) = ū v, φū, v) = Aū) + B v); 9) 2 φu, v) = u v, φu, v) = P u) + Qv) 91) Vergelijkingen 83 en 84 kunnen worden omgeschreven naar lichtkegel coördinaten, daarvoor moet je ze wel eerst opsplitsen in delen met positieve k en negatieve k, we beginnen met het veld in het lab-stelsel: ˆφt, x) = + dk 1 ] [e ikt+kx) â 2π) 1/2 k + e ikt+kx) â + k 2 k dk 1 ] [e ikt kx) â 2π) 1/2 k + e ikt kx) â + k 2k Nu veranderen we de integratie variabele naar ω = k in het interval < ω < +, en doen de coördinaten transformatie: ˆφū, v) = dω 1 ] [e iωū â 2π) 1/2 ω + e iωū â + ω + e iω v â ω + e iω v â + ω 2ω Het is nu inderdaad ook duidelijk dat het veld wordt opgedeeld in een functie van ū plus een functies van v zoals in vergelijking 91, hierdoor worden de functies: Âū) = ˆB v) = dω 1 ] [e iωū â 2π) 1/2 ω + e iωū â + ω 2ω dω 1 [e iω v â 2π) 1/2 ω + e iω v â + ω 2ω ] 92) 93) 94) 95) 96) 23

24 Dit alles kunnen we natuurlijk ook doen voor het veld beschreven vanuit het accelererende stelsel, dan volgt daaruit dat: ˆφu, v) = ˆP u) + ˆQv) 97) dω 1 [ ] ˆP u) = e iωuˆb 2π) 1/2 Ω + e iωuˆb+ Ω 98) 2Ω ˆQv) = dω 1 [ e iωvˆb 2π) 1/2 Ω + e iωvˆb+ Ω 2Ω Hier is ω vervangen door Ω om onderscheid te houden tussen het accelererende stelsel en het Minkowski stelsel. Wel moet men in gedachte houden dat formules 98 en 99 alleen geldig zijn in het gebied x > t omdat daar de Rindler coördinaten alleen maar geldig zijn, dus de vergelijking van de twee velden geldt alleen in dat deel van de Minkowski ruimte. ] 99) Om nu eindelijk ˆb ± ±Ω te kunnen uitdrukken in â± ±Ω voeren we een Bogolyubov transformatie uit. We hebben het veld opgeschreven in twee verschillende coördinaten systemen, maar als we in het ene stelsel de coördinaten omschrijven in de andere zijn deze twee representatie van het veld aan elkaar gelijk: ˆφu, v) = Âū) + ˆB v) = ˆP u) + ˆQv) 1) en omdat in de transformatie formules 88) de coördinaten niet mixen gelden de twee volgende vergelijkingen: Laten we gewoon beginnen met de eerste: Âū) = Âūu)) = ˆP u), ˆB vv)) = ˆQv) 11) dω 1 ] [e iωū â 2π) 1/2 ω + e iωū â + ω 2ω dω 1 [ ] = e iωuˆb 2π) 1/2 Ω + e iωuˆb+ Ω = ˆP u) 12) 2Ω als we nu de functie ūu) invullen kunnen we deze vergelijking oplossen door aan allebei de kanten de Fourier getransformeerde te nemen, laten we eerst de rechter kant doen: { + du e iωu 1 ˆb ˆP u) = Ω, Ω > ; 2π 2 Ω ˆb+ Ω, Ω < ; De Fourier transformatie van de linkerkant geeft: du 2π e iωu Âū) = dω + 2ω du 2π [eiωu iωū â ω + e iωu+iωū â + ω ] dω 2ω [F ω, Ω)â ω + F ω, Ω)â + ω ], 13) Hierbij hebben we in de laatste stap gebruik gemaakt van de volgende definitie: F ω, Ω) du 2π eiωu iωū = du [ 2π exp iωu + i ω a e au] 14) 24

25 door nu beide kanten aan elkaar gelijk te stellen krijg je, voor positieve Ω de relatie: ˆb Ω = met de coëfficiënten α ωω en β ωω: α ωω = Ω F ω, Ω), βωω = ω dω[α ωωâ ω + β ωωâ + ω ], 15) Ω F ω, Ω); ω ω >, Ω >. 16) Om ˆb + Ω te vinden moet je zoals gewoonlijk de Hermitisch geconjugeerde nemen van ˆb Ω, waarbij je gebruik maakt van: F ω, Ω) = F ω, Ω) 17) De vergelijkingen die deze relatie geven voor negatieve impuls kunnen gevonden worden op dezelfde manier maar dan door de vergelijking ˆB v) = ˆQv) op te lossen. Nu is het eindelijk gelukt om de creatie- en annihilatie operatoren uit de Rindler ruimte-tijd te schrijven als functie van de creatie- en annihilatie operatoren uit de Minkowski ruimte-tijd. En omdat het veld een lineaire combinatie daarvan is, wordt het veld beschreven vanuit het accelererende stelsel alsof het een veld is die niet in de grondtoestand zit maar in een willekeurige combinatie van aangeslagen toestanden. Maar wat zegt dat ons over de toestand die waargenomen wordt door de versnellende waarnemer, om iets meer te weten te komen over deze waargenomen toestand proberen we er achter te komen wat het gemiddeld aantal deeltjes is in die toestand. Dit komt overeen met de verwachtingswaarde van de telopperator, ˆNΩ = ˆb + Ωˆb Ω : ˆN Ω M ˆb + Ωˆb Ω M 18) = M dω[αωωâ + ω + βωωâ ω ] dω [α ω Ωâ ω + β ω Ωâ + ω ] M = dω β ωω 2 19) = dω Ω ω F ω, Ω) 2 11) Het is mogelijk om de coëfficiënten β ωω expliciet te bereken maar het is een stuk makkelijk om met behulp van een truc in een keer de intgraal uit te rekenen. Daarvoor kijken we eerst kijken we eerst naar de commutatie relaties van de creatie- en annihilatieoperatoren uit beide stelsels: [â ω, â + ω ] = δω ω ), [ˆb Ω, ˆb + Ω ] = δω Ω ), 111) Hieruit volgt een belangrijke algemene vergelijking: [ˆb Ω, ˆb + + Ω ] = dω[α ωωâ ω + β ωωâ + ω ] dω[α ωω â+ ω + β ωω â ω ] 25 dω[α ωω â+ ω + β ωω â ω ] dω[α ωωâ ω + β ωωâ + ω ]

26 = = = = dω [ α ωωα ωω â ω â + ω â + ω â ω ) + β ωωβ ωω â+ ω â ω â ω â + ω ) ] dω [ α ωωα ωω βωωβ ωω )â ω â + ω â + ω â ω ) ] dω [ α ωωα ωω βωωβ ωω )[â ω, â + ω ] ] dωα ωωα ωω βωωβ ωω ) = δω Ω ) 112) Om nu iets meer te kunnen zeggen over vergelijking 11 vullen we in de vergelijking 112 de definities van de coëfficiënten vgl 16) in: δω Ω ΩΩ ) = dω F ω, Ω)F ω, Ω ) F ω, Ω)F ω, Ω ) ) 113) ω 2 Nu kun je deze vergelijking versimpelen door F ω, Ω) om te schrijven in een functie van F ω, Ω): F ω, Ω) = F ω, Ω)e πω a, ω >, a > 114) Om dit even te laten zien pakken we er de definitie van F ω, Ω) vgl 14) bij, en vullen ω = ω in: F ω, Ω) = = = = = du [ 2π exp iωu + i ω a e au] 115) du [ 2π exp iωu + i ω a eiπ e au] 116) du [ 2π exp iωu + i ω iπ )] a e au a 117) [iωu + iπa ) + i ωa ] e au du 2π exp = F ω, Ω) exp 118) du [ 2π exp iωu + i ω a e au] e πω a 119) ) πω a 12) In de derde stap hebben we hier een verschuiving van de coördinaten u u + iπ/a gedaan, dit mag omdat de complete functie nog steeds onder het integratie interval ligt. Hierdoor versimpeld vergelijking 113 tot: δω Ω ) = [ exp πω + πω a ) ] ΩΩ 1 dω ω F ω, Ω )F ω, Ω). 121) 2 En dit is waar we op gewacht hebben, want als je deze nu omschrijft en Ω = Ω invult krijg je: dω Ω [ ) 1 2πΩ ω F ω, Ω) 2 = exp 1] δ) 122) a 26

27 Hiermee hebben we dan eindelijk de verwachtingswaarde van de teloperator gevonden: ˆN Ω = dω Ω [ ) 1 2πΩ ω F ω, Ω) 2 = exp 1] δ) 123) a δ) staat hier voor het volume van de hele ruimte waar je naar kijkt, omdat het gemiddeld aantal deeltjes toeneemt met de grote van de ruimte. De andere term staat dan voor de dichtheid van deeltjes met impuls Ω in dat volume: n Ω = [ exp 2πΩ a ) 1] 1 124) Dit is een heel belangrijk resultaat verkregen door Bill Unruh, want het komt overeen met een Bose-Einstein distributie: [ ) 1 E ne) = exp 1] 125) kt Waarbij E = Ω de energie van het deeltje is en T de temperatuur van het Bose- Einstein gas, en k de Boltzmann-constante. Wat dus betekend dat een versnelde waarnemer die naar het Minkowski vacuum kijkt helemaal geen vacuum ziet, zoals we eerder al opgemerkt hadden, maar juist een distributie van deeltjes die overeen komt met een Bose-Einstein gas met een temperatuur, de Unruh temperatuur: 2πΩc a = Ω kt Hawking straling [9][1] T U a 2πkc 126) 127) Klassieke Zwarte Gaten werden gezien als hele massieve objecten die zo zwaar zijn dat niets eruit kan ontsnappen zelfs niet het licht. Maar door combinatie met de Quantum Mechanica, kan zelfs een Zwart Gat straling uitzenden. Het straalt dan alsof het een zwartlichaam is met een bepaalde temperatuur. Een intuitieve manier om een idee te krijgen van hoe er energie in de vorm van deeltjes) vanuit het Zwarte Gat kan komen en richting r = vertrekt is door gebruik te maken van het wel bekende Quantum Mechanische effect van de paarcreatie. Hierbij wil het wel eens gebeuren dat per toeval er een virtueel paar gecreerd wordt op de rand van de waarneemhorizon, zodat het ene deeltje zich net binnen de Schwarzschildstraal en het andere er net buiten bevind. Het binnenste deeltje is dan gedoemd om in de singulariteit te verdwijnen, terwijl het andere deeltje energie ontleent aan de enorme zwaartkracht enorme kromming van de ruimte-tijd) waarmee het paar uit elkaar getrokken wordt zodat het virtueel paar veranderd in een reëel paar. Dit buitenste deeltje heeft dan genoed energie vergaard om te kunnen vertrekken richting r =. En er is een deeltje uitgestraald. Een andere manier om over de temperatuur van een Zwart Gat na te denken is het onvermogen van een Zwart Gat om straling met te lage energie te absorberen. Net als ieder ander object met een temperatuur kan het geen energie opnemen van straling met een lagere temperatuur. Een bepaald Zwart Gat met straal R zal geen straling kunnen opnemen die een veel langere golflengte heeft dan zijn straal. Hieruit kun je dan concluderen dat straling met energiën E c/r zeer waarschijnlijk niet door het Zwarte Gat geabsorbeerd worden. Van buiten af lijkt het dan net dat straling vanaf een bepaalde temperatuur pas wordt geabsorbeerd en daar onder niet, wat dus 27