Tentamen 8DB00 Beeldvorming en verwerking

Transcriptie

1 Tentamen 8DB00 Beeldvorming en verwerking 11 augustus 2015, 9-12h Dit tentamen bestaat uit 10 opgaven; 5 over beeldvorming en 5 over beeldanalyse. In totaal kun je 100 punten verdienen (50 per deel), dit is uitgesplitst per opgave. Tijdens dit tentamen is het gebruik van een rekenmachine toegestaan. Schrijf de uitwerkingen van de vragen over beeldverwerking op een ander antwoordblad dan die over beeldvorming! Veel succes! Deel 1: Beeldvorming 1) CT: projecties (10 pt) Gegeven is het volgende CT fantoom, waarvan we projecties pp(rr, θθ) gaan maken. Hierbij is θθ de hoek met de positieve xx-as, tegen de wijzers van de klok in. Dit fantoom bestaat uit een cirkel en een vierkant met diameter en ribbe dd, respectievelijk. Wat betreft de lineaire verzwakkingscoefficiënten is gegeven µ 1 < µ 2. a) (1 pt) Geef de formule voor de doorgelaten röntgenintensiteit II als functie van de invallende röntgenintensiteit II 0. b) (1 pt) Wat is de eenheid van de lineaire verzwakkingscoefficiënt µ? c) (4 pt) Schets de projecties pp(rr, 0 ), pp(rr, 45 ), pp(rr, 90 ) en pp(rr, 135 ). Geef bij elke projectie de maximale projectiewaarde aan, geef ook de breedtes van de projecties aan (annoteer bijv de minimale en maximale rr-waardes waarvoor pp 0). d) (2 pt) Vanaf nu nemen we aan dat voor het vierkant geldt µ 2 = xx 2 + yy, de verzwakking neemt dus toe naar rechts en naar boven. Bepaal de projectiewaardes pp( dd, 0 ) en 2 pp(dd, 90 ). 2

2 e) (2 pt) Leg kort uit wat beam hardening is, gebruik de term gemiddelde fotonenergie in je antwoord. a) (1 pt) II = II 0 ee µ(xx)dddd (= II 0 ee pp ) b) (1 pt) µ wordt gegeven per afstand, mogelijke eenheden zijn dus cm -1 of m -1. c) (4 pt) Zie onderstaand figuur: d) (2 pt) Dit is een vertikale en een horizontale projectie, respectievelijk. Er geldt: en verder pp dd dd 2 2, 0 = dd 2 + yy dddd 0 = dd2 4 yy yy2 0 dd = dd dd2 pp dd dd 2, 90 = xx2 + dd 2 dddd = xx3 + dd 2 xx = dd dd2 e) (2 pt) Beam hardening is het verschijnsel dat laag energetische röntgenfotonen sterker worden verzwakt bij interactie met materie dan hoog energetische. Dit betekent dat in het doorgelaten röntgenspectrum het aandeel van laag energetische fotonen relatief sterker afneemt, waardoor de gemiddelde fotonenergie van het spectrum stijgt. 2) Nucleaire imaging (10 pt) a) (2 pt) Leg uit waarom er bij PET imaging geen collimator grid nodig is, en bij SPECT imaging wel. b) (2 pt) Een veel gebruikte PET tracers is fluorodeoxyglucose oftewel 18 F-FDG. Geef de PET vervalreactie van 18 F, gebruik hiervoor onderstaand fragment van het periodiek systeem. dd

3 c) (2 pt) De halfwaardetijd van 18 F-FDG is gegeven: TT 1/2 = 110 min. Welke fractie van een begindosis NN 0 is nog over na 300 min? d) (2 p) Wat is de vervalsnelheid (in Bq; desintegraties per seconde) op dit tijdstip tt =300 min? e) (2 pt) Leg uit waarom PET beelden soms onevenredig veel signaal laten zien in de longen en bij de huid. Hoe kan hiervoor gecorrigeerd worden? a) (2 pt) Bij PET ontstaan er per vervalreactie 2 anti-parallele fotonen, deze fotonparen kunnen onderscheiden worden van ruis middels coïncidentie detectie, het simultaan detecteren van een foton in tegenover elkaar liggende detectorelementen. Dit wordt ook wel elektronische collimatie genoemd. Bij SPECT is er daarentegen collimatie nodig om de bijdrage van gescatterde fotonen (die niet loodrecht invallen) te beperken. b) (2 pt) Bij PET vervalt er een proton tot een neutron en een positron; pp nn + ee +. Passen we dit toe op FF, dan krijgen we 9 FF 8 OO + ee +. (Het positron annihileert vervolgens met een elektron uit het weefsel volgens Einsteins ee = mmcc 2, dus ee + + ee 2mm ee cc 2, met mm ee de massa van het electron) c) (2 pt) 1/2 300/110 = Of via de meer gebruikelijke formule NN = NN 0 ee tt/ττ = NN 0 ee ln(2)tt/tt 1/2. We komen dan eveneens op ee ln(2)300/110 = d) (2 pt) dddd dddd = 1 ττ ln(2) NN = NN = ln(2) 0.151NN TT = NN 0, dus NN 0 2 desintegraties/min, dit komt overeen met NN 0 Bq. Dit is dus het aantal fotonparen dat er per seconde ontstaat. e) (2 pt) Omdat de straling van tracer die ophoopt in de longen en de huid door relatief weinig weefsel heen hoeft voordat deze de detectoren bereikt; deze straling ondervindt dus relatief weinig verzwakking voordat deze gedetecteerd wordt. Middels CT kan er een verzwakkingskaart µ(xx, yy) afgeschat worden (deze moet worden afgestemd op de PET fotonenergie), deze kan gebruikt wordt om verschillen in verzwakking voor verschillende posities in het lichaam te corrigeren. 3) Ultrasound imaging (10 pt) a) (1 pt) Wat is het contrastmechanisme van ultrasound imaging? Met andere woorden, wat beelden we bij ultrasound imaging precies af? b) (1 pt) Gegeven zijn 2 ultrasound puntbronnen AA en BB op een horizontale afstand xx. Op een verticale afstand LL van puntbron AA willen we een ultrasoundfocus pp maken via constructieve interferentie. Zie onderstaand figuur.

4 Geef een formule voor de extra afstand dddd die de geluidsgolven vanuit puntbron BB moeten afleggen voordat ze bij pp zijn. c) (2 pt) Geef de formule waaraan dddd moet voldoen om constructieve interferentie te krijgen. Geef ook de formule voor destructieve interferentie. Geef duidelijk aan welke formule welke is, en gebruik de golflengte λλ van de ultrasound golven in je antwoord. d) (3 pt) Geef een formule voor de waardes die xx mag aannemen om constructieve interferentie te krijgen in punt pp van het figuur uit onderdeel b). Druk de formule niet uit in golflengte λλ, maar gebruik de ultrasound frequentie ff. e) (3 pt) Uit opgave d) volgt dat de spacing dddd, dus het verschil tussen de opeenvolgende xxwaardes, niet constant is. In een ultrasound transducer array is dat wel het geval, zie onderstaande (schematische) weergave. Hoe kan men in de praktijk met een dergelijke array tóch een ultrasoundfocus maken? a) (1 pt) Bij US imaging beelden we overgangen in akoestische impedantie ZZ af, dit komt neer op de randen van weefsels/organen met onderling verschillende akoestische impedantie. Ook kleine inhomogeniteiten binnen weefsels leiden tot reflecties, dit resulteert in een zogenaamd speckle patroon, dat informatie bevat over de microstructuur van het weefsel. b) (1 pt) dddd = xx 2 + LL 2 LL c) (2 pt) Constructief: dddd = nnnn, met nn = 0,1,2, Destructief: dddd = nn + 1 λλ met weer nn = 0,1,2, 2 d) (3 pt) Opgaves b) en c) moeten nu gecombineerd worden: xx 2 + LL 2 LL = nnnn. Dit moet herschreven worden naar een uitdrukking voor xx: xx 2 + LL 2 = (nnnn + LL) 2 = nn 2 λλ 2 + 2nnnnnn + LL 2 xx 2 = nn 2 λλ 2 + 2nnnnnn xx = nn 2 λλ 2 + 2nnnnnn We gebruiken nu λλ = cc/ff om te komen tot xx = nn 2 (cc/ff) 2 + 2nnnn(cc/ff) e) (3 pt) Door het aanbrengen van faseverschillen tussen naast elkaar liggende transducerelementen, dit kan aangezien deze onafhankelijk van elkaar aangestuurd kunnen worden. Dit

5 heet elektronic beam steering. 4) Nucleaire imaging (10 pt) a) (2 pt) Stel een potje met PET-tracer is opgesteld naast een detector. Gedurende een meting van 1 uur detecteren we gemiddeld 3 fotonen per seconde. Wat is de kans dat we bij een meting van 5 seconden 12 fotonen meten? Gegeven is de Poisson verdeling voor het meten van nn fotonen terwijl we er rr verwachten: pp rr (nn) = (ee rr rr nn )/nn! b) (3 pt) We plaatsen nu een blokje tussen het potje met tracer bb en de detector dd, zie onderstaand figuur. Voor de verzwakkingscoefficiënt van het blokje geldt µ(xx) = xx, met xx in cm. Het blokje is 4 cm lang. Wat is nu de kans om eveneens 12 fotonen te meten gedurende 5 seconden? Rond tussendoor af op een volledig aantal fotonen. c) (2 pt) Geef een voordeel en een nadeel van het toepassen van een dikkere collimator grid bij nucleaire beeldvorming. d) (3 pt) Stel we doen een nucleaire scan met een bepaalde dosis NN 0. We scannen gedurende 1 karakteristieke vervaltijd τ en dit levert een beeld met een bepaalde signaal-ruis-verhouding (SNR) op. Wat zou de SNR zijn geweest als we een dosis 2 NN 0 hadden genomen, en gedurende 2 τ hadden gescand? Hint: bereken eerst met welke factor het aantal vervallen deeltjes stijgt. a) (2 pt) Gedurende 5 s verwachten we rr = 5 3 = 15 fotonen. We komen dus op een kans van pp 15 (12) = b) (3 pt) Eerst moeten we de verzwakking van het blokje bepalen; deze is ee µ(xx)dddd met 4 µ(xx) dddd = xx dddd = [0.1xx xx 2 ] = = Dus de verzwakking wordt ee = Hiermee komt het aantal verwachte fotonen op rr = Het antwoord is dus pp 5 (12) = c) (2 pt) Voordeel: minder invloed van gescatterde fotonen; nadeel: eveneens minder signaal (en dus effectief een lagere SNR). d) (3 pt) De hint geeft aan dat het handig is eerst voor beide scans het aantal vervallen deeltje dddd = NN 0 NN(tt) te bepalen. Voor de eerste scan is dit dddd 1 = NN 0 NN 0 ee ττ/ττ. Voor de tweede scan komen we op dddd 2 = 2NN 0 2NN 0 ee 2ττ/ττ. Het aantal vervallen deeltjes stijgt dus met een factor dddd Aangezien de SNR stijgt met de wortel van het aantal vervallen deeltjes wordt de SNR dus keer zo hoog. = 2 2ee 2 dddd 1 1 1ee

6 5) MRI (10 pt) Gegeven is de volgende MR imaging sequentie: a) (2 pt) Geef de functie van de positieve gradiënt A, en die van de daarop volgende negatieve gradiënt B. Vertel in je antwoord in elk geval waarom ze een tegengesteld teken hebben. b) (2 pt) De gradiënten B en C worden hier na elkaar toegepast, zou je ze ook tegelijkertijd mogen toepassen? Leg uit waarom wel/niet. c) (2 pt) We verwaarlozen de breedte (tijdsduur) van de RF pulsen, zodat we kunnen stellen dat de 90 o puls plaatsvindt op tt = 0, en de 180 o puls op tt = ττ. Op welk tijdstip vindt dan de echo plaats? Licht je antwoord toe. d) (2 pt) Is deze sequentie T 2 of T 2* gewogen? Leg uit waarom, gebruik de term gradiënt echo of de term spin echo in je antwoord. e) (2 pt) Gegeven is nu ττ =20 ms, T 2=45 ms, T 2*=27 ms en M 0=1. Wat is dan de maximale echoamplitude (dat wil zeggen, in het midden van de read-out)? a) (2 pt) A is de plakselectie gradiënt, deze zorgt ervoor dat de precessie-frequentie yyafhankelijk wordt, en de 90 o puls (met een bepaalde BW) dus alleen spins op een bepaalde range aan yy-waardes raakt ; dit is plakselectie in yy-richting. Als ongewenst bij-effect resulteert deze gradiënt in defasering in yy-richting, gradiënt B compenseert hiervoor (refocussering). b) (2 pt) Ja dat mag, de refasering in yy en de fase-codering in xx zijn onafhankelijk van elkaar (loodrecht op elkaar staande richtingen; anders gezegd, de xx en yy positie zijn onafhankelijk). c) (2 pt) Op tt = 2ττ; na de 90 o puls gaan de spins defaseren door (intrinsieke) T 2 relaxatie en het effect van veldinhomogeniteiten (samen is dit T 2*). Vanaf de 180 o puls wordt de defasering door (stationaire) veldinhomogeniteiten gecompenseerd (T 2 relaxatie gaat gewoon door), dus een extra tijdsduur τ later is deze compensatie volledig, dit komt neer op tijdstip tt = 2ττ. d) (2 pt) Zie vraag c); dit is een spin-echo sequentie waarbij het effect van statische veldinhomogeniteiten gecompenseerd wordt, oftewel een T 2 gewogen sequentie. Zie ook de stippellijnen; de snel dalende lijn geeft aan dat de FID T 2* verval volgt, de traag dalende lijn geeft het T 2 verval van de echo weer. e) (2 pt) Dit komt simpelweg neer op MM 0 ee 2ττ/TT 2 = ee 40/

7 Schrijf de uitwerkingen van de vragen over beeldverwerking op een ander antwoordblad dan die over beeldvorming! Belangrijk: Grijswaardenafbeeldingen worden afgebeeld volgens de volgende conventie: lage pixelwaarden worden weergegeven met donkere grijswaarden en hoge pixelwaarden worden weergegeven met lichte grijswaarden. Voor binaire afbeeldingen geldt daarentegen de conventie: het object of de voorgrond wordt weergeven in zwart met waarde 1 en de achtergrond wordt weergeven in wit met waarde (a) (2 punten) Je laadt de afbeelding uit Figuur 1 (A) in een software pakket (bijv. Matlab). Deze afbeelding wordt gerepresenteerd als een matrix van positieve gehele getallen (integers) met waarden van 0 tot 255. Vervolgens voer je een aantal rekenkundige bewerkingen uit op de afbeelding (bijvoorbeeld optellen bij een andere afbeelding) en visualiseer je het resultaat. De afbeelding bevat veel meer witte pixels dan dat je verwachtte doordat er overflow opgetreden is. Hoe had je dit kunnen voorkomen? Figuur 1: (A) CT afbeelding van een hoofd van een patiënt. (B) Bewerkte versie van de afbeelding. (C) Bijbehorende matrix van grijswaarden. Antwoord: Om het mogelijk te maken om met zowel positieve als negatieve waarden van willekeurige grootte te werken, moet je de integers converteren naar rele getallen voordat je de bewerkingen uitvoert, en na uitvoeren van de bewerkingen de waarden schalen tussen gewenste begin en eindwaarden (bijvoorbeeld weer 0 en 255, of tussen 0 en 1). (b) (2 punten) De afbeelding in Figuur 1 (A) wordt op twee manieren gediscretiseerd zodat de afbeelding in Figuur 1 (B) verkregen wordt. Geef de namen van de twee discretizatie processen. Antwoord: Sampling (bemonsteren) en quantization (kwantizatie). (c) (2 punten) Geef het aantal grijswaarden van de afbeelding in Figuur 1 (B) (met bijbehorende matrix in 1 (C)) in absolute waarde N en in aantal bits n. Antwoord: n = 3 (8 grijswaarden, 2 3 = 8)

8 Figuur 2: (A) Afbeelding van een orka. (B) bijbehorend histogram. (C) herschaalde versie van de afbeelding in (A). (d) (2 punten) In Figuur 2 (A) is een afbeelding van een orka weergegeven samen met het bijbehorende histogram. Beschrijf in woorden hoe dit histogram tot stand is gekomen, oftewel, wat er in een histogram aangegeven staat. Antwoord: Een histogram is een frequentie-plot van de grijswaarden in een afbeelding. Op de x-as staan de grijswaarden en op de y-as hoe vaak een bepaalde grijswaarde voorkomt in de afbeelding. Grijswaarden zijn meestal gebint. (Eventueel bonus punt geven voor dit laatste.) (e) (2 punten) In Figuur 2 (C) is de afbeelding van de orka weergegeven met een bepaalde window/level setting. Teken de grafiek van de schalingsfunctie die de originele afbeelding (A) transformeert tot afbeelding (C) of geef de window en level aan in een schets van het histogram. Geef (schattingen van) de relevante waarden aan in de functie of in de schets. Antwoord: Alle lichte delen van de afbeelding zijn wit geworden, en slechts de lage grijswaarden zijn weergegeven. Het window lag over de eerste piek heen in het histogram. De schalingsfunctie loopt op x-as van 0 tot ong. 25, en op y-as van 0 tot (a) (3 punten) Geef de formule van een randzoeker (edge detector) of beschrijf stap voor stap in detail de operaties die uitgevoerd moet worden. Je mag zowel discrete of continue formulering gebruiken. Geef hierbij aan waar elke variabele voor staat. Tot slot, leg uit hoe deze operator een rand detecteert. Antwoord: Een vaak voorkomend voorbeeld van een randzoeker op een afbeelding f is de absolute waarde van de gradiënt: ( f ) 2 ( ) f 2 f = +. x y In discrete formulering kunnen we de volgende formule gebruiken: f = (k x f) 2 + (k y f) 2,

9 waar k x en k y afgeleide filters zijn b.v. de Sobel filters hieronder k x = 2 0 2, k y = In het algemeen betekent een grote f een steile helling in de intensiteit in de richting van f. Hoge waarden van f betekenen dus steile hellingen en duiden zo de randen aan. Een andere manier van edge detection is om de nuldoorgangen (zero-crossings) van Laplacian (of van Laplacian of Gaussian) te berekenen. (b) (2 punten) Beschouw de volgende matrix g van een grijswaardenafbeelding en een filter f: g = 0 1 0, f = Bereken de convolutie f g en gebruik hiervoor mirroring om gangbare intensiteiten op de virtuele pixels buiten de afbeelding te krijgen (zie de illustratie hiervan in Figuur 3). Laat het resultaat zien als een matrix. Figuur 3 Antwoord: (c) (2 punten) Is de afbeelding g van de vorige opgave na de convolutie met f scherper of vager geworden? Leg uit. Antwoord: Vager omdat de filter f een zogenoemde mean filter is die afbeeldingen gladder en waziger maakt. Dit is ook te zien van de verschillen tussen de verkregen waarden die allemaal lager dan 0.5 zijn (in de originele afbeelding is het grootste verschil nog 2).

10 (d) (3 punten) Schrijf op in pseudocode hoe je een afbeelding scherper kan maken door unsharp masking. Gebruik hiervoor b.v. de Laplacian filter: L = Antwoord: Pseudocode voor unsharp masking: 1. correleer de afbeelding f met Laplacian filter L om een hoogdoorlaat gefilterde afbeelding f # te krijgen. 2. voeg een portie λ (0 < λ < 1) van f # toe aan de originele f (dus f new = f +λf # ). 3. zonodig normaliseer je afbeelding f new om voor negatieve of gesatureerde waarden te corrigeren. 8. (a) (2 punten) Noem twee categorieën van segmentatietechnieken en geef een korte beschrijving van elke categorie. Antwoord: Threshold based segmentation: Het histogram van een afbeelding wordt gebruikt om een of meerdere grijswaarden te selecteren op basis waarvan de afbeelding gesegmenteerd wordt. Een voorbeeld is slicing. Edge based segmentation: Objecten worden geïdentificeerd aan de hand van de gedetecteerde randen omdat die de grenzen van het te segmenteren object weergeven. Region based segmentation: Regios worden geïdentificeerd aan de hand van gelijke eigenschappen. Twee benaderingen: splitting en merging. Figuur 4: (A) CT afbeelding van de borstkas van een patiënt. (B) Gesegmenteerde linkerlong. (C) Bewerkte versie van afbeelding (B). (b) (3 punten) Figuur 4 laat een CT afbeelding zien van een borstkas (A) samen met een binaire afbeelding van de gesegmenteerde linkerlong (B). Deze segmentatie kan niet verkregen worden met simpel thresholding. Een segmentatietechniek waarbij als startpunt een punt wordt gedefinieerd in de long kan hiervoor wel gebruikt worden. Geef de naam van deze segmentatietechniek en beschrijf deze met behulp van pseudocode.

11 Antwoord: Region growing. Uitleg: (c) (1 punt) De afbeelding van de gesegmenteerde long in Figuur 4 (B) bevat nog kleine artefacten. In Figuur 4 (C) zijn deze verwijderd. Geef de naam van een morfologische operatie waarmee je deze kleine artefacten kan verwijderen zonder de rest van de segmentatie aan te tasten, met als resultaat Figuur 4 (C). Antwoord: Closing (d) (1 punt) Hoe kan je het structuurelement aanpassen om ervoor te zorgen dat ook het nog aanwezige gat in Figuur 4 (C) verwijderd wordt? Antwoord: Vergroten (e) (3 punten) Voer een opening by reconstruction uit op de afbeelding in Figuur 5 met een 3x3 structuurelement (met oorsprong in het midden) en de originele afbeelding als controle afbeelding. Beschrijf de stappen die je uitvoert en geef eventuele tussenresultaten in de vorm van een matrix met 1 en en 0 en. Figuur 5 Antwoord: Opening by reconstructie is een erosie gevolgd door een geodesische dilatatie. Het resultaat hiervan is dat alle kleine structuren verwijderd worden en de grote structuren blijven bestaan. Na opening met het gegeven SE blijft een marker image over (zie Figuur 6). Deze wordt vervolgens gedilateerd tot aan de grens van de originele afbeelding en alleen de structuur linksboven blijft over. 9. Een discrete Fourier transformatie van f(x) in 1-D is gegeven als F (u) = N 1 u x=0 f(x)e i2π Door een Fourier transformatie kunnen we beelden in het frequentiedomein verwerken. N 1 dx. (a) (2 punten) De Fourier transformatie van een reële functie kan complexe getallen als uitkomst hebben. Hoe kan je een grijswaardenafbeelding hiervan krijgen? Leg uit. Antwoord: Meestal kijkt men naar de magnitude oftewel absolute waarden van de Fourier getransformeerde (eventueel complexe) waarden.

12 Figuur 6 (b) (2 punten) Beschrijf hoe je een convolutie van afbeelding g met een filter f kan berekenen met behulp van Fourier transformatie. Antwoord: Door eerst de Fourier transformaties (F (g) en F (f)) van allebei te berekenen, daarna met elkaar vermenigvulden (F (g) F (f)) en als laatste de inverse transformatie hiervan nemen (F 1 (F (g) F (f))). (c) (2 punten) Je hebt een 1-D afbeelding met 4 pixels: [sin(π 0), sin(π 1), sin(π 2), sin(π 3)]. Wat is de Fourier transformatie hiervan op frequentie u = 0? Antwoord: F (0) = N 1 x=0 f(x)e i2π 0 N 1 dx = sin(π 0) + sin(π 1) + sin(π 2) + sin(π 3) = 0. (d) (2 punten) Beschrijf wat een median filter is, hoe het werkt en waarom dit filter bijzonder goed kan werken tegen zout & peper ruis. Antwoord: Een median filter werkt op dezelfde manier als een mean filter in opgave 6 b), maar gebruikt de median van de neighborhood in plaats van de gemiddelde. Median is de middenste waarde van de gesorteerde getallen. Als een redelijk homogene omgeving een zwarte of witte outlier-pixel heeft, worden deze genegeerd. (e) (2 punten) Je wil een vector (0, 2, 3, 4, 0) convolueren met een filter (1, 2, 0), maar je primitieve rekenmachine kan alleen correlaties uitrekenen. Wat moet je doen om een convolutie uit te voeren? Antwoord: Keer je vector om: (0, 2, 1). dan is de correlatie gelijk aan convolutie met (1, 2, 0). 10. (a) (2 punten) In Figuur 7 zie je de resultaten van verschillende transformaties van het originele punt p = (1, 2). Welke van de punten A, B, C is het resultaat van de volgende

13 transformatie: cos( π 2 ) sin( π 2 ) 1 sin( π 2 ) cos( π 2 ) Figuur 7 Antwoord: B (b) (2 punten) Je past een compass operator toe op je afbeelding. Welke afbeelding krijg je als resultaat? Een afbeelding met voor elk pixel A de hoogste van alle gradiënt magnitudes in 8 verschillende richtingen; B een van de 8 richtingen waar de grootte van gradiënt het sterkst is; C de optelsom van de gradiënt magnituden in 8 verschillende richtingen. Antwoord: A (c) (2 punten) Om een rechte lijn in twee dimensionale ruimte te definiëren, kunnen we in plaats van de bekende parameters: helling (a) en y-asafsnede (b) de volgende parameters gebruiken: afstand tot de oorsprong (ρ) en de hoek (θ) zoals in Figuur 8. Dan krijgt de standaard vergelijking van een rechte lijn (y = ax + b) de volgende vorm: y = cos θ sin θ x + ρ sin θ. Alle rechte lijnen door een vast punt (x, y) volgen een sinusoide ρ = y sin θ + x cos θ. Wat betekent het als twee sinusoides ρ = y sin θ + x cos θ en ρ = v sin θ + w cos θ elkaar snijden op het punt (θ 0, ρ 0 )?

14 Dit betekent dat A er een lijn is tussen de punten (x, y) en (v, w); B de lijn die door (x, y) en (v, w) getrokken kan worden parameters θ 0 en ρ 0 heeft; C er een cirkel door de punten (x, y) en (v, w) getekend kan worden. Figuur 8 Antwoord: B (d) (2 punten) Histogram equalizatie wordt gebruikt voor A segmentatie; B contrast verbetering; C blurring/vervaging. Antwoord: B (e) (2 punten) Je hebt een afbeelding g met de volgende waarden op gegeven pixels g(0, 0) = 18, g(1, 0) = 9, g(0, 1) = 4.5, en g(1, 1) = 4.5. Als je bi-lineaire interpolatie gebruikt, wat is de waarde van g op coördinaten ( 2 3, 2 3 ) (aangegeven met het zwarte rondje)? A 4.5; B 11.5; C 7. Antwoord: C (B.v. gebruikmakend van Figuur 9 krijg je = 7.) EINDE

15 Figuur 9