Practicumbijeenkomst 1 Statistiek voor Bouwkunde pilot, najaar 2008

Transcriptie

1 Practicumbijeenkomst 1 Statistiek voor Bouwkunde pilot, najaar 2008 Tijdens deze bijeenkomst zullen we kennismaken met het statistisch pakket R. Dit gebeurt door het uitproberen van commando s en het interpreteren van de uitkomsten hiervan. Verder zullen technieken die in de eerste vier delen van het boek zijn geïntroduceerd, worden geïllustreerd. We beginnen met het pakket R. Wanneer u het programma R opstart, verschijnt het commands window waarin op de functie demo wordt gewezen. Verder verschijnt een prompt > waar commando s achter kunnen worden getypt. Typ het volgende commando maar in, gevolgd door enter. > demo(persp) Deze functie laat wat zien van de mogelijkheden in R om functies in drie dimensies te visualiseren. Typ de onderstaande commando s in en zie wat er gebeurt na het aanslaan van de toets enter. > 1+3 > 4*6 > 4*(2+1) > 9/4 > 3^2 > sqrt(12) > sin(1) Deze commando s laten zien hoe de elementaire rekenkundige bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. In feite laten ze zien hoe R kan worden gebruikt als veredelde rekenmachine. Gegevens kunnen ook gemakkelijk worden opgeslagen in een object. Hiertoe moet het toewijzings-symbool worden gebruikt. Het oorspronkelijke toewijzings-symbool in R bestaat uit twee karakters, <-, maar later is hiervoor ook het = -symbool gebruikt. <-1+3 <-c(1,2,4,6,9} De c hier staat voor concatenate, de afzonderlijke getallen worden aaneengeschakeld tot een vector. Op dezelfde manier kunnen vectoreen aaneengeschakeld worden. > y<-1:5 > y > sum(y) > y=seq(4,20,by=2) > y > length(y) > help(seq) > seq() # begrijpt u het resultaat in het licht van de help-file? <-seq(0,10,length=400) > y<-sin(x) > plot(x,y) > plot(x,y,type="l") > plot(x,y,type="l",xlab="x-waarden",ylab="sin(x)",main="mooi!") 1

2 Wanneer u in het grafische window met op de rechtermuisknop klikt, heeft u de mogelijkheid dit plaatje te kopiëren, bijvoorbeeld naar een MS-Word file. We gaan nu per deel van het boek enkele oefeningen doen. In deel I ging het over het ontwerpen van experimenten en het kiezen van een representatieve steekproef uit een populatie. De meest basale methode om een representatieve steekproef te trekken is de aselecte methode. Die kan zowel met- als zonder teruglegging geschieden. 1) Stel we hebben een populatie van 5000 personen en willen hieruit een aselecte steekproef van omvang 20 nemen. We nummeren de mensen van 1 t/m Vervolgens willen we uit deze getallen aselect 20 getallen trekken. Bekijk de help file van de functie sample. Trek vervolgens de steekproef van omvang 20 zonder teruglegging. Doe hetzelfde nog eens, maar nu met teruglegging. Deel II van ons boek gaat over beschrijvende statistiek. We hebben daarin onderscheid gemaakt tussen grafische en numerieke samenvattingen van gegevens. Voordat we zelf data gaan inlezen, gebruiken we eerst gegevens die al in R ingebakken zijn. Het gaat om gegevens met betrekking tot opname van CO2. <-CO2$uptake > hist(x) > hist(x,probability=true,col="lightblue") > hist(x,breaks=c(-10,0,10,20,30,40,50,60),probability=true) Maak, bijvoorbeeld in de directory My Documents een directory Pilot aan. Kies vervolgens in het file-menu van de R interface de optie Change dir, en ga over op de zojuist aangemaakte directory. Maak in diezelfde directory via Notepad een file aan met één kolom met de volgende waarden: Sla deze file op onder de naam data.txt. <-scan("data.txt") > mean(x) > median(x) > SD<-function(x){n<-length(x); sqrt(var(x)*(n-1)/n)} Wanneer de hier gedefinieerde functie SD wordt aangeroepen, met SD(x) voor een vector x, wordt binnen SD eerst de lengte van x bepaald, deze wordt toegekend aan de (lokale) variabele n. Vervolgens wordt de uitkomst van de laatste opdracht (in dit geval sqrt(var(x)*(n-1)/n)) als waarde geretourneerd. In ons boek wordt gebruikgemaakt van de formule SD n = 1 n (x i x n ) n 2 i=1 om de standaarddeviatie van de data x 1,..., x n te berekenen. De R-functie var rekent het volgende uit: 1 n (x i x n ) 2. n 1 i=1 Ga na dat de hierboven zelfgeschreven R-functie SD precies de standaarddeviatie uitrekent die wij gebruiken. > SD(x) We hebben tijdens het college het begrip robuustheid besproken. Om dit begrip te illustreren, voeren we een wijziging in de vector x door: 2

3 [3]<-500 > mean(x) > median(x) > SD(x) Vergelijk deze waarden met de eerder verkregen waarden op basis van de oorspronkelijke x. Strookt deze vergelijking met uw idee van robuustheid? Tijdens het college hebben we gezien dat het gemiddelde en de mediaan lokatie equivariant zijn en de SD lokatie equivariant. Doorloop de volgende stappen en zie dat deze eigenschappen kloppen. [3]<-2.5 # herstel van de oude x > y<-x+5 > mean(y) > median(y) > SD(y) > z<-3*x > mean(z) > median(z) > SD(z) 2) Doe opgave H5A [2] uit het boek, gebruikmakend van de functies mean en SD. Vaak is het handig gebruikte code te bewaren, en vanuit een script file te runnen. Maak via het file-menu van de R interface een new script aan, en sla deze op in de zojuist gemaakte directory. Code, ingevoerd in zo n script file, kunnen we m.b.v. de linkermuisknop laten oplichten. Via de toetsencombinatie Ctrl-R, wordt die regel in het commandswindow uitgevoerd. Met name als er typefouten worden gemaakt of als code later nog een keer van pas kan komen, is het aan te raden via een script file te werken. In hoofdstuk 5 hebben we de normale dataverdeling gezien. Ook hadden we enkele vuistregels voor percentielen van de standaard normale verdeling. <-seq(-4,4,length=400) > plot(x,dnorm(x),type="l",xlab="",ylab="dichtheid") > plot(x,pnorm(x),type="l",xlab="",ylab="primitieve van") Deze laatste figuur laat de functie zien die voor iedere waarde van x de oppervlakte onder de dichtheid op het interval (, x] laat zien. De oppervlakte onder de dichtheid tussen 1 en 1 kan dan als volgt worden berekend: > pnorm(1)-pnorm(-1) Leg het verband tussen de geleerde vuistregels en de commando s > pnorm(2)-pnorm(-2) > pnorm(3)-pnorm(-3) 3) Doe opgaven H5B [1] uit het boek, gebruikmakend van de functie pnorm. 4) Doe opgave H5B [3], gebruikmakend van de functie qnorm (gebruik de helpfunctie in R om te zien wat qnorm doet). 5) Doe opgave H5C [1]. 6) Doe opgave H5Rev [7]. 3

4 Deel III van het boek gaat over correlatie en regressie. Grafisch kunnen we een 2- dimensionale dataset weergeven met behulp van een scatterplot. Het produceren van een scatterplot (puntenwolk) in R gaat eenvoudig met de plot functie. Daar hebben we al een voorbeeld van gezien. Als we in een bestaande plot lijnen of punten willen toevoegen, kan dat met de functies lines en points. Lees de volgende vectoren in: x = (4.33, 3.84, 6.38, 3.33, 2.75, 2.20, 3.00, 3.91, 4.55, 5.00) en y = (2.40, 1.74, 0.24, 2.50, 3.38, 2.56, 3.20, 1.90, 2.16, 1.27). Voer vervolgens de onderstaande bewerkingen uit met R en begrijp wat er gebeurt. > plot(x,y) > lines(c(3,6),c(3,0.5)) > as<-seq(2,6.5,length=100) > lines(as,2+sin(as),lty=3) > abline(6,-1) De ontstane plot geeft al duidelijk het teken van de correlatie aan. Ook valt al in te schatten of de absolute waarde van de correlatiecoëfficiënt groot (dichtbij 1) of klein (dichtbij nul) zal zijn. De correlatiecoëfficiënt kan eenvoudig worden berekend. Ga na of uw intuïtie klopt. > cor(x,y) > cor(3*x+2,6*y-3) 7) Voeg de SD-lijn aan dit plaatje toe. Gebruik hiervoor de functie abline, waarbij de juiste slope en intercept worden gekozen. Om regressie analyse uit te voeren op de gegeven dataset, kan de R-functie lm (staat voor lineair model) worden gebruikt. Deze functie wil echter dat de verklarendeen responsvariabele samen een een zogenaamd dataframe staan. De analyse kan als volgt worden uitgevoerd. ydat<-data.frame(x=x,y=y) # hier wordt het dataframe aangemaakt > plot(xydat) # plot weet hier dus ook weg mee y.lm<-lm(y~x,data=xydat) Het zo ontstane object xy.lm bevat informatie over het gefitte lineaire model. Met behulp van de functie summary kan deze informatie worden bekeken. Onder andere de gezochte coëfficiënten. [m (slope) en b (intercept) in het boek]. De hierboven al gebruikte functie abline kan vervolgens gebruikt worden om de regressielijn aan de plot toe te voegen. > summary(xy.lm) > abline(xy.lm) 8) Tijdens het college zijn wat verbanden tussen verschillende grootheden gegeven. In deze opgaven willen we die verbanden nagaan. a) We zagen dat bij de enkelvoudige regressieanalyse het percentage verklaarde variantie van de KK schatter gelijk is aan de gekwadrateerde correlatiecoëfficiënt tussen de verklarende- en de responsvariabele: R 2 = r 2. Controleer of deze gelijkheid geldt voor de zojuist bekeken dataset. b) Ga voor deze dataset ook de gelijkheid m = r SD y SD x na, waar m de kleinste kwadratenschatter voor de richtingscoëfficiënt is. 4

5 Al in het eerste deel, waar methoden voor het trekken van een steekproef zijn besproken, hebben we gebruikgemaakt van aselecte trekkingen. Het vaasmodel van deel IV bouwt op dat idee voort. Dit model (de doos of vaas met de tickets, kaartjes) kan heel eenvoudig worden nagebootst met behulp van R. Daarvoor kan de eerder gebruikte functie sample worden gebruikt. Er wordt een vector aangemaakt met precies die waarden die op de kaartjes moeten staan en met sample kunnen hier aselecte steekproeven met- en zonder teruglegging uit worden getrokken. 9) Maak een vector met de elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6 en trek hieruit met teruglegging aselect 10 elementen. Het is duidelijk waarvoor dit experiment staat. In deel 4 hebben we de binomiale verdeling leren kennen. Met behulp van die verdeling kunnen we de kans berekenen dat er in 10 herhalingen van een dobbelsteenworp, een kans is van ( 10 3 ) ( 1 6 ) 3 ( ) 7 5 = 6 10! 57 3! 7! ) Bereken de hierboven beschreven kans in R via de gegeven formule (waarbij de faculteitsfunctie in R factorial heet) en met behulp van de functie dbinom. Verzoek: willen jullie knelpunten in deze practicumopgaven aan mij doorgeven, met mogelijk suggesties tot verbetering? G.Jongbloed@tudelft.nl Bij voorbaat dank! 5