Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie

Transcriptie

1 Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie Inleveren: uiterlijk maandag 6 februari bij Marianne Jonker (Kamer: R3.46) Afspraken De opdrachten maak je in tweetallen. Schrijf duidelijk de namen, adressen en studentnummers op het werk. Overschrijven of kopiëren van antwoorden is niet toegestaan en zal worden bestraft. Werk de opdrachten uit en schrijf een overzichtelijk verslag. Het verslag moet te begrijpen zijn voor iemand die de opdrachten niet gelezen heeft. De R-code komt in een bijlage. Ik wil een uitgeprinte versie; INLEVEREN PER IS NIET MOGELIJK! Tip: Lees het document Enkele vaardigheden in R gegeven op de website van dit vak. Opgave 3.1 Snelheid van een speelgoedautootje We bestuderen met behulp van een fotocamera de beweging van een speelgoedautootje over een baan, die zodanig is geplaatst dat de snelheid van het autootje constant is. Langs de baan is een meetlint bevestigd; de afstand die het autootje heeft afgelegd kan worden bepaald door een foto te nemen en op de foto de positie van het autootje op het meetlint af te lezen. Het doel van het experiment is om de snelheid van het autootje te bepalen. Op vaste tijdstippen maken we een foto van het autootje en bepalen we zijn positie. Het tijdstip van de eerste foto noemen we t = 0. De afgelegde afstand s op tijdstip t bepalen we door de afgelezen positie op tijdstip 0 steeds af te trekken van de afgelezen positie op tijdstip t. Als we de snelheid van het autootje noteren met v, wordt het verband tussen s en t gegeven door s = vt. De waarnemingen zijn in onderstaande tabel weergegeven. tijd (s) afstand (cm) (a) Stel een lineair regressiemodel op voor de waarnemingen; geef daarbij onder andere duidelijk aan welke aannames je over de meetfouten doet. Heeft jouw model een intercept? 1

2 (b) Schat de snelheid van het autootje met de kleinste-kwadratenmethode. Teken de meetpunten en de gefitte regressielijn in een grafiek. Bepaal ook de onzekerheid (standaard deviatie) in de schatting van de snelheid. R-tips: Volg de aanwijzingen in het document Enkele vaardigheden in R.Gebruik de functie lm. De gefitte lijn kun je gemakkelijk tekenen door de functie abline toe te passen op het object dat de functie lm uitvoert. (Zie eventueel help(abline), bij het argument reg.) Je kunt de lijn opmaken door aan abline het extra argument lty="solid" meetegeven(zieenkele vaardigheden in R). Op het eerste gezicht lijkt het gebruikte model goed te passen bij de data. In een plot van de residuen van de regressie tegen de tijd, lijkt er echter een systematisch effect zichtbaar te zijn in de residuen: op vroege tijdstippen zijn de residuen gemiddeld groter dan op latere tijdstippen. Dit kan veroorzaakt zijn door toeval, maar het zou ook kunnen dat er een systematische meetfout is gemaakt, bijvoorbeeld doordat de positie op t = 0 niet goed is bepaald. We kunnen de mogelijke aanwezigheid van een systematische meetfout onderzoeken door een intercept aan het regressiemodel toe te voegen: s = s 0 + vt, waarbij de regressieparameter s 0 de systematische meetfout modelleert. (c) Voer opnieuw een regressie uit, nu met het regressiemodel met intercept. Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor s 0. Zit 0 in het interval? Is er bewijs dat er een systematische meetfout is? Leg uit. Stel dat we dit experiment over zouden kunnen doen, waarbij we de tijdstippen waarop de foto s worden genomen zelf mogen kiezen (het is mogelijk om enkele foto s zeer kort na elkaar te nemen). Je kunt echter slechts 8 foto s maken. De keuze van de tijdstippen is van invloed op de conclusies die we uit het experiment kunnen trekken. (d) Veronderstel dat je zeker weet dat het autootje met constante snelheid beweegt, en dat je geen systematische fout maakt in de bepaling van de beginpositie. Leg uit hoe je de tijdstippen dan moet kiezen om de snelheid zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. Opgave 3.2 Lineaire regressie, alleen voor de MNW-studenten In de data-set Zoon.txt en Dochter.txt op de website van dit vak staan in de eerste kolom de lengtes (in centimeter) van 100 volwassen zonen en 100 volwassen dochters, respectievelijk, en de tweede kolom de gemiddelde lengte van hun ouders. In deze opgave gaan we regressie-modellen schatten om de eindlengte voor jongens en meisjes te voorspellen op basis van de gemiddelde lengte van hun ouders. De eindlengte is de maximale lengte die een persoon haalt; de lengte als een persoon is uitgegroeid. 2

3 R-tip: Om de gegevens in R in te lezen, download je eerst de twee bestanden van de website naar je computer (bijvoorbeeld naar de map C:\My Documents\Statistiek\). Open beide bestanden en verwijder de eerste regel met tekst, sla de gewijzigde bestanden op. Met het commando zoon=matrix(scan("c:/my Documents/Statistiek/Zoon.txt"),ncol=2,byrow=T) kun je de eesrste data-set inlezen. Bekijk nu de matrix zoon en controleer of de data is ingelezen zoals je dat zou verwachten! (a) Teken een scatter-plot waarin de lengte van de zoon wordt uitgezet tegen de gemiddeldelengtevanzijnouders. Doehetzelfdevoordedochters. Zetdescatter-plots in je verslag en beschrijf wat je ziet. Is een lineair regressie model zinvol? Leg uit? (b) Stel voor beide data-sets een lineair regressie model op en schat voor beide modellen de regressie-parameters met de kleinste kwadraten schatters. Gebruik hiertoe in R de functie lm; in het document Enkele vaardigheden in R vind je informatie over het gebruik van deze functie. (c) Stel nu één lineair regressie model op voor de gecombineerde data-set voor jongens en meisjes. De afhankelijke variabele is de eindlengte van zoon of dochter en de verklarende variabelen (of onafhankelijke variabelen) zijn de gemiddelde lengte van de ouders en het geslacht van zoon/dochter. Je moet nu dus een variabele opnemen die aangeeft wat het geslacht van het kind is. Hoe kies je deze? Leg uit. Schat de regressie-parameters met de kleinste kwadraten schatters. (d) Artsen gebruiken de formule verwachte eindlengte = gemiddelde lengte ouders voor jongens en verwachte eindlengte = gemiddelde lengte ouders 6.5 voor meisjes. Schrijf deze voorspelde eindlengte in de vorm van een lineair regressie model met de gemiddelde ouder-lengte en geslacht als verklarende variabelen. Vergelijk de waarden van de regressiecoëfficiënten met de waarden die jij hebt gevonden. Verschillen de waarden veel? (e) Vergelijk nu de voorspellingen van dit model met de voorspellingen van jouw geschatte model. Past het model dat gebruikt wordt door artsen ook goed bij de data? Leg uit. Opgave 3.3 Foto-elektrisch effect, alleen voor Natuurkunde-studenten Het foto-elektrisch effect is het verschijnsel dat sommige metalen elektronen uitzenden als zij met licht worden bestraald. De verklaring voor dit verschijnsel is dat elektronen uit de geleidingsband van het metaal kunnen ontsnappen doordat het metaal een foton absorbeert. Als W de potentiaal is waarmee het elektron aan het metaal is gebonden, en hf de energie van het geabsorbeerde foton (met f de frequentie van het licht en h de constante van Planck), dan kan 3

4 hetelektronontsnappenindienhf > W. Het elektron komt dan vrij met kinetische energie E kin = hf W. A + e K V licht E Het foto-elektrisch effect kan worden onderzocht met een opstelling zoals geschetst in onderstaande figuur. In deze opstelling worden de bij de anode (A) vrijkomende elektronen afgeremd in een tussen de anode en kathode (K) aangelegd elektrisch veld. Door de spanning V steeds groter te maken worden de elektronen steeds meer afgeremd, en zullen uiteindelijk zelfs de snelste elektronen (die, waarvoor de bindingspotentiaal W het kleinst is) de kathode niet meer bereiken. Bij die spanning zal de elektrometer E plotseling geen elektronen meer detecteren. Laat, voor vast gekozen frequentie f van het licht, V 0 de spanning zijn waarbij de elektrometer geen elektronen meer detecteert, en schrijf W 0 voor de bindingsenergie van de minst gebonden elektronen in het metaal. Dan geldt ev 0 = hf W 0, waarbij e de elektronlading is. Experimenteel kan door gebruik te maken van monochromatische lichtbronnen V 0 gemeten worden als functie van f. Met zo n experiment kan de zogenaamde uittree-energie W 0 van het betreffende metaal bepaald worden, alsmede de waarde van de constante van Planck, als we de waarde van de elementaire lading e als gegeven beschouwen. In een experimentele opstelling zoals hierboven geschetst meet men bij licht van verschillende golflengtes de spanning V 0. De resultaten staan in onderstaande tabel. golflengte (nm) V 0 (V)

5 De frequentie van het licht f is te bepalen uit de relatie f = c/λ met λ de golflengte en c de lichtsnelheid, m/s. (a) Zet de metingen uit in een grafiek, met V 0 op de verticale as tegen f op de horizontale as. Vergeet niet een label bij de assen te plaatsen. De golflengtes zijn bepaald met een verwaarloosbare onnauwkeurigheid. De onnauwkeurigheid in V 0 is niet te verwaarlozen. We nemen aan dat de variantie van de verdeling van de meetfout in V 0 bij elke meting even groot is, maar een onbekende waarde heeft. (b) Definieer een geschikt lineair regressiemodel voor de metingen. Geef onder andere aan wat de verdeling van de meetfouten is. (c) Gegeven is e = C. Schat de parameters W 0 en h met de kleinstekwadraten-methode. Vergeet niet om de eenheden te vermelden. Teken de gefitte lijn in de grafiek van opgave (a). R-tips: Volg de aanwijzingen in het document Enkele vaardigheden in R.Gebruik de functie lm. De gefitte lijn kun je gemakkelijk tekenen door de functie abline toe te passen op het object dat de functie lm uitvoert. (Zie eventueel help(abline), bij het argument reg.) Je kunt de lijn opmaken door aan abline het extra argument lty="solid" meetegeven(zieenkele vaardigheden in R). (d) Bepaal de onzekerheden (standaardafwijking) in de schatters voor W 0 en h. (e) Plot in een nieuwe grafiek de (ongeschaalde) residuen op de verticale as, tegen f op de horizontale as. Is er een systematisch effect te zien? ( f) Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor h. Zit de uit de literatuur bekende waarde van de constante van Planck, h = Js in het betrouwbaarheidsinterval? Geef commentaar. (g) Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor W 0. 5