samenvattin9 stock-taking of the reliability of M.V.

Transcriptie

1 ttr:.l. 92 ELE

2 stock-taking of the reliability of M.V. cables samenvattin9 In het kader van een stage heb ik gezocht naar modellen die de faalkans respectievelijk de levensduur van middenspanningskabels beschrijven. Ik heb me bij dit zoeken vooral gericht op redelijk recente artikels uit wetenschappelijke tijdschriften. Over het algemeen kan men zowel bij de levensduurrelaties als bij de relaties die de faalkans van kabels beschrijven onderscheid maken in 3 categorieen: relaties die aileen de invloed van de electrische veldsterkte beschrijven bij vaste temperatuur, relaties die aileen de temperatuurafhankelijkheid beschrijven (bij vaste veldsterkte) en relaties die beide invloeden meenemen. Verder zijn er nog artikelen die naast de invloed van veldsterkte en temperatuur ook nog de afmetingen van kabel (samples) verdisconteren. 2

3 Inbou4sopqave 1 Inleidinq biz 4 2 Het falen van kabels 2.1 Belanqrijke oorzaken van het falen van kabels 2.2 De levensduur van een kabel biz biz biz Eendimensionale levensduurkrommen van kabels 3.1 Het inverse power law model 3.2 Andere levensduurkrommen met de veldsterkte als verouderende factor 3.3 Levensduurkrommen met de temperatuur als verouderende factor biz biz biz biz Meerdimensionale levensduurkrommen van kabels 4.1 Modellen voor verouderinq door meerdere factoren 4.2 Grafische voorstellinqen van een aantal modellen biz biz biz De Weibullverdelinq in verband met het falen van kabels 5.1 De Weibullverdelinq in verband met de eerder qevonden levensduurverqelijkinqen 5.2 Opmerkinqen ten aanzien van het qebruik van de Weibullverdelinq biz biz biz De verqelijkinq van kabels me verschillende diameters en lenqten biz 76 7 Parameterbepalinq van de Weibullverdelinqsfunctie biz 99 8 Conclusies 9 Literatuurlijst biz 105 biz 106 Bijlaqe 1: Verslaq van het bibliotheekpraktikum biz 112 3

4 1 Inleidinq Gedurende de afgelopen eeuw is er een enorme toename in het gebruik van electrische energie ontstaan. Om deze energie te transporteren van centrale naar verbruiker zijn in de loop der jaren enorme distributienetten aangelegd. De verbruikers zijn steeds hogere eisen gaan stellen aan de kwaliteit van de geleverde electrische energie. Een van deze eisen is de betrouwbaarheid van de levering. Speciaal bij continue produktieprocessen in onder andere de chemische industrie is een betrouwbare energievoorziening noodzakelijk. Een belangrijk aspect in de electrische energievoorziening is derhalve de betrouwbaarheid van de distributienetten. Deze distributienetten bestaan in Nederland voor het grootste deel uit kabels. De ontwikkeling van nieuwe, meer betrouwbare kabels en kabeltypen is dan ook nog steeds in volle gang. Een beheerder van een distributienet wil graag een zo nauwkeurig mogelijke indicatie hebben van de levensduur van een bepaalde kabel, zodat hij tijdig tot vervanging over kan gaan. Verder moet de levensduur natuurlijk zo groot mogelijk zijn. In dit verband werkt men ook veel met de begrippen faalkans en faalgraad, omdat er binnen elk tijdsinterval een kans is dat een bepaalde kabel faalt. Er zijn de afgelopen jaren verschillende modellen ontwikkeld om de levensduur en de faalkans van een bepaalde kabel of een bepaald kabeltype te bepalen. Het praktisch nut van onderzoek naar levensduren en faalkansen van kabels berust op het feit dat men zo waarschijnlijk nauwkeuriger schattingen kan doen omtrent de betrouwbaarheid van een kabel(netwerk). In de volgende hoofdstukken zal ik de zaken presenteren zoals 4

5 ze ook in de verschillende artikels behandeld worden. Hierbij zal ik over het algemeen proberen zo min mogelijk mijn eigen conclusies te trekken om zo te voorkomen dat ik lezers op het verkeerde spoor zet. In de navolgende hoofdstukken zal ik eerst wat algemene zaken over het falen van kabels aanduiden. Daarna zal ik een aantal in de literatuur gevonden verouderingsmodellen presenteren. Vervolgens zal ik neg een aantal zaken aanduiden die verband houden met de gebruikte kansverdeling, waaronder de vergelijking van kabels met verschillende lengten en diameters. 5

6 2 Bet falen van kabels 2.1 Belangrijke oorzaken van het falen van kabels Een kabel kan falen onder invloed van verschillende oorzaken. Hoge belasting en thermische cycli vormen belangrijke verouderende factoren en maken de kans op falen van de kabel groter. Een veel voorkomende oorzaak van het falen van kabels is het kapottrekken van kabels bij graafwerkzaamheden, maar dit heeft verder weinig uit te staan met de kwaliteit van een kabel en kan in principe met iedere kabel gebeuren. Het vormt een externe oorzaak waar de fabricant van de kabels weinig aan kan doen. De doorslagveldsterkte van goede XLPE kabelisolatie kan hoog zijn wanneer deze veldsterkte gedurende een korte tijd wordt aangeboden. Een lagere waarde van de doorslagveldsterkte wordt veelal veroorzaakt door imperfecties. Deze imperfecties zijn dus van grote invloed op het faalgedrag van een kabel. Enkele van deze imperfecties zijn: defecten in de isolatie (extrusiedefecten bij kunststofisolatie), verontreinigingen in de isolatie en vochtigheid in de grond. Hieronder zal ik het een en ander nader uiteenzetten. Om te beginnen zal ik eerst de algemene opbouw van een kabel in twee plaatjes laten zien om zo ook de benamingen van de verschillende delen al te introduceren bij de lezer. Het eerste plaatje is een plaatje van een kunststofgeisoleerde kabel, het tweede plaatje is een plaatje van een gepantserde papier loodkabel (GPLK) [18]. 6

7 ~r _ill Fiquur 1: Opbouw van een 30/50 kv XLPE-kabel. GORDElKABEl geleider aderisolatie gordelisolatie loodmantel staalband bewapening bekleding Fiquur 2: Een dwarsdoorsnede van een GPLK. Wat defecten in de isolatie van kabels met kunststof isolatie betreft kan men onderscheid maken in holtes in de isolatie, gaten in de isolatie en uitsteeksels (van geleider- en aderscherm in de isolatie). De uitsteeksels en gaten van het geleiderscherm zijn kritischer dan die van het aderscherm [4]. a) Uitsteeksels van het geleiderscherm. De invloed van uitsteeksels kan geillustreerd worden met behulp van onderstaande formule: 7

8 (1 = (2.1) E a E~x = veldsterkte voor vlakke structuur = veldsterkteverhogingsfactor = veldsterkte op de top van het uitsteeksel (ellipsoide) h - hoogte van het uitsteeksel r = straal van de top van het uitsteeksel Bovenstaande formule geldt aileen voor een ellipsoidevormig uitsteeksel. Hieronder voigt een tabel die aangeeft wat er met a gebeurt als het quotient h/r toeneemt: Tabel 1: De verandering van a h/r. bij een toename van het quotient h/r a 5,8 9, Naar aanleiding van de tabel kan men concluderen dat hoe spitser het uitsteeksel is hoe hoger E~x relatief tot E wordt. Vanwege de hoge veldsterkte ter plaatse van het uitsteeksel is dit uitsteeksel een breakdowngevoeligpunt van de kabel. Deze uitsteeksels worden veroorzaakt bij de fabricage van de kabel door onder meer clustering van koolstofdeeltjes en andere omstandigheden van grote oppervlakteruwheid [4]. b) Holtes en gaten in de isolatie. Wat kunststofisolatie betreft zit het gevaar van gaten en holtes hierin dat deze het ontstaan van bomen in de isolatie kunnen bevorderen en zo breakdown van de kabel kunnen versnel- 8

9 len. De beginspanning van een partiehe ontlading stijgt met afnemende grootte van de hoite. Grote hoites hebben dus een zeer nadelige invloed. Holtes in de isolatie worden meestal veroorzaakt door een slechte verspreiding van de crosslinking vloeistof en slechte extrusiecondities [4]. c) Onderbrekingen in het geleiderscherm. Onderbrekingen in het geleiderscherm kunnen ontstaan tijdens de fabricage vanwege slechte extrusiecondities. Onder normale bedrijfsomstandigheden en bij cyclische belasting zal er een hoite ontstaan bij de onderbreking en er zullen ontladingen optreden die kunnen leiden tot het falen van de kabel [4]. d) Verontreinigingen in de isolatie. Verontreinigingen kunnen ook een behoorlijke invloed hebben. Wanneer ze scherpe randen hebben kunnen ze electrische bomen initieren. Ook zijn ze vaak beter geleidend dan de isolatie waarin ze zich bevinden. Verontreinigingen ontstaan bij het verwerken en behandelen van de compounds [4]. De meest critische gebreken bij kunststofkabels zijn in afnemende mate van belangrijkheid uitsteeksels van het geleiderscherm, verontreinigingen bestaande uit geleidende deeltjes en isolerende deeltjes met een grotere geleidbaarheid dan de isolatie zelf en ruimtes die ontladen bij gebruik van een wisselspanning [4]. De omgeving (vocht, enzovoort) is een factor die invloed heeft op zowel gepantserde papier lood kabels als kunststofgeisoleerde kabels. Verder is voor gepantserde papier loodkabels de zuurtegraad van de grond belangrijk. Zure grond tast de buitenkant (pantsering) van de kabel het hardste aan. De loodmantel van gepantserde papier loodkabels kan corroderen en de loodkristalstructuur kan ongelijkmatig zijn. Daarnaast kaner verkazing (polymerisatie) van de massa optreden. Dit laatste 9

10 is vooral van belang wanneer men een bepaalde kabel wil verleggen [18]. In het algemeen dient men ook aan het (ver) leggen van een kabel de nodige zorg te besteden, daar ook hieruit schade kan voortvloeien. Een slechte loodkristalstructuur ligt over het algemeen aan het fabricageproces (het niet goed vloeien van het lood). Verkazing van de massa treedt veelal op bij hoogbelaste kabels. Corrosie vindt zijn oorzaak in de omgeving [18]. In verband met het uiterlijk van een in bedrijf geweest zijnde gepantserde papier lood kabel kan opgemerkt worden dat ook hier ongerechtigheden zoals gaatjes in de mantel voorkomen [18]. 2.2 De 1evensduur van een kabel De factoren die de levensduur van een kabel beinvloeden verschillen per kabeltype. De omstandigheden waaronder een kabel functioneert zijn daarbij van groot belang. Om de invloed van een bepaalde factor op een gegeven kabel of kabeltype te onderzoeken heeft men getracht door middel van metingen van de levensduur van kabels als functie van een of meer van die factoren modellen af te leiden die de mate van veroudering en het faalgedrag moesten beschrijven. De data die men nodig heeft om bepaalde modellen af te leiden en te controleren bepaalt men meestal in het laboratorium onder optimale condities. Hier past men vaak versnelde veroudering toe. Voorbeelden van (versnelde) veroudering Z1Jn het toedienen van thermische cycli (warm-koud-warm-koud) om een kabel thermisch te verouderen, het toedienen van een hoge veldsterkte, bij een normale grootte van veldsterkte een hoge frequentie toepassen, 10

11 enzovoort [7,9]. Bij dit soort metingen laat men een of enkele factoren die het leven van een kabel kunnen beinvloeden varieren. De invloed van andere factoren probeert men zoveel mogelijk te beperken. Op deze manier kan een model voor thermische veroudering, electrische veroudering, enzovoort worden afgeleid. De afzonderlijke modellen kan men vervolgens combineren. Vervolgens kan men proberen te bepalen hoe de faalkans verandert gedurende een bepaald verouderingsregime. Dit is natuurlijk allemaal statistisch omdat er een behoorlijke spreiding kan zitten in het falen van kabels. Het doel van de bepaling van modellen voor de levensduur en de faalkans van kabels is om door metingen van de parameters die bij het model horen iets te kunnen zeggen over de levensduur en de faalkans van een groep kabels op de lange termijn. 11

12 3 Ben4imensiona1e 1evens4uurkro..en van kabe1s 3.1.et inverse power law.04e1 Bet zogenaamde inverse power law model is een veel gebruikte relatie om het verband aan te geven tussen de levensduur van een kabel en de aangelegde spanning (veldsterkte). In formulevorm ziet het er als voigt uit [9]: (3.1) waarbij L de levensduur voorstelt, V de aangelegde spanning en C en n constanten zijn. Meestal zet men meetwaarden langs logarithmische assen uit. Men krijgt dan een rechte lijn als de meetwaarden kloppen met het model. Vaak komt men formule 3.1 in een iets andere vorm tegen [9]: (3.2) In bovenstaande formule is V vervangen door E en heeft de constante C uit formule 3.1 een waarde gekregen uitgedrukt in de constanten Eo en to (toeo"=constant). Referenties [9,20] geven aan dat Eo als grenswaarde geinterpreteerd kan worden waaronder electrische veroudering niet of nauwelijks meer optreedt en bovenstaand verband niet meer geldt, iets wat anderen niet doen [34]. Zij zien Eo als referentieveldsterkte. Er zijn verschillende pogingen ondernomen om bovenstaande relatie af te leiden. Ik zal er nu een paar laten zien. 12

13 Referentie [17] toont een chemische variant van formules 3. 1 en 3 2 uitgaande van een formule die gebruikt wordt bij de theorie van chemische reactiesnelheden. Dit is de volgende relatie: _ dc = kc N dt waarbij c de concentratie van het resterende reagent is,en k en N constanten. Bovenstaande formule stelt dat de afname van de concentratie van een reagent recht evenredig is met de concentratie van het overblijvende reagent tot de macht N. k geeft de snelheid aan van de reactie. De constante N is een maat voor het aantal functionele groepen dat deelneemt aan de reactie. N wordt vaak de orde van de reactie genoemd. Voor N=1 ziet de oplossing van de functie er als voigt uit: c Co = e-kt Voor N>1 voigt: Co is de concentratie op t=o. uit deze formule voigt dan weer: ( ) N-l ~ [1+ko(N-1) CON-lot] = 1 13

14 Naar het einde van de reactie toe, dus voor qrote waarden van t, wordt (N-1)kc~-1t»1 en is de volqende benaderinq qeidiq: Bovenstaande benaderinq qeidt voor een reactie van orde N. Voor een reactie van de orde N+1 vindt men: Deze formule vertoont zeer qrote qeiijkenis met formules 3.1 en 3.2. De anaioqie qeeft aan dat electrische verouderinq een chemische reactie is van de orde N+1. De afleidinq impliceert ook dat formule 3.1 slechts een benaderinq is van de ware verouderinqsrelatie. Vervolqens Ieidt de auteur van [17] met behulp van formule 3.1 een verouderinqsrelatie voor een test met een constante veidsterkte. Formule 3.1 kunnen we schrijven als (waarbij L vervanqen is door t): t- 1 = V n C- 1 Door differentiatie volqt: 14

15 en dv = _-.!... Vn+1 dt nc Met -.!... = k voigt: nc _ dv = kvn+l dt In een test met constante veldsterkte is V een maat voor de dielectric strength S. Daardoor krijgt men dan: _ ds = ksn+1 dt De dielectric strength S in bovenstaande formule is gelijk aan de toegevoerde veldsterkte aan het einde van de levensduur van de isolatie. Men kan de vergelijking als voigt oplossen: _ ds = kdt Sn+l met de beginvoorwaarde S=80 voor t=o voigt: 15

16 Uiteindelijk volgt dan: Ooor te stellen 1 nks n o = to krijgt de verouderingsrelatie een simpele vorm: oit is de verouderingsrelatie voor een constante spanning. Bij een constante spanning S hoort een levensduur t. Voor t»to kan men dit benaderen door: oit is weer een vorm van de inverse power law. Ook in referentie [31] wordt geprobeerd relaties zoals 3.1 en 3.2 af te leiden. Er wordt uitgegaan van een zekere eigenschap met een in de tijd afnemend verloop, hoewel men voor een stijgend verloop maar weinig aan de afleiding hoeft te veranderen. Hoe dit verloop er precies uitziet hangt af van de eigenschap en de factor die het verloop veroorzaakt. c = C geeft de relatieve waarde van bedoelde eigen Co 16

17 schap. Er wordt aangenomen dat algemeen geldt: de dt = -ked In dit geval wordt de vergelijking als voigt opgelost: c f -e-dde = fkdt = kt 1 0 t c stel f -e-dde = J We kunnen dan schrijven: J = kt.er geldt dat 1 J = F(e) en k = k(s) Wanneer J constant is krijgt men: J = k(s) t Deze formule zou men zo kunnen modelleren dat men formule 3.1 krijgt. Ik heb deze methode om het verouderingsproces heel formeel te bekijken meegenomen omdat er heel sterke overeenkomsten zijn met de benaderingswij ze volgens de chemische reactietheorie van referentie [17]. Beide dienen om de vorm van bepaalde levensduurrelaties (de inverse power law) aannemelijk te maken. In referentie [4] probeert men een uitdrukking te vinden voor de constante C in formule 3.1. Men stelt dat het begin van een voltage breakdown bepaald wordt door de in de isolatie heen en weer vloeiende ladingen die een ionisatiestroom veroorzaken in 17

18 de isolatie in de gebieden met hoge veldsterkten. Oe formule voor de ionisatiestroom i is als voigt: met: i = ac stroom in amperes A = een constante Enu = de maximale veldsterkte bij een imperfectie Eo = de beginveldsterkte van ionisatie van een imperfectie n = een exponent die het verband aangeeft tussen ionisatiestroom en veldsterkte Ken neemt aan dat de isolatie maar gedurende een bepaalde tijd een bepaalde ionisatiestroom kan verdragen. Dus de factor i t is bepalend. Ken noemt dit de critische lading Ocr. In formulevorm krijgt men dan: O = i't = A ( Ji' - E ) n.t cr -max 0 Voor veldsterkten kleiner dan de beginveldsterkte Eo is de levensduur van de kabel oneindig. Eo functioneert als een soort drempel waaronder veroudering van de kabel geen rol speelt. Voor E.x»Eo kan men bovenstaande uitdrukking als voigt reduceren: oit doet weer sterk denken aan 3.2. Verder kan men dan nog de volgende formule beschouwen: 18

19 met: E heid = veldsterkte in de buurt van de imperfectie in afwezigvan de imperfectie = de gemiddelde veldsterkte in de isolatie y = de veldversterkingsfactor van de imperfectie Met behulp van deze formule kan men vinden: E not = C = -"9' Deze formule geeft een mogelijke uitdrukking voor C in formule 3.2. Oat de inverse power law volgens formules 3.1 en 3.2 in de praktijk goed voldoen laten de volgende plaatjes zien waarvan ik de eerste 2 plaatjes heb overgenomen uit referentie [1] en het laatste plaatje uit referentie [9]. 19

20 ! >M :::: 30 t' '"., 20 '"~ 15 '0 > ~ 10 o ~ m t c> IOOr-r--r--'---'---r~r-, r----r----r---, ~, loo,..--r r---r----r----,-, ,---r-,.---, po ~ e Threshold Le.el J 1~0.:7."""'--~l0:-:'.2,-'----'-----l.-1'-;02-; I. O...""...L...-L,""":'---.J j 1 10 ' years: T;!Tle' to Brel!lkdown - H1nutes years: Time to Breakdown - Minutes Fiquur 3: Voorbeelden van de inverse power law in grafiek. " ~:~ ~. :;:':t --~ L "---~---'-----"""'"" '.t ;r:". ;c2 Ie" Electrische veroudering veroorzaakt een afname in electric strength met toenemende tijd. In referentie [27] is hiervoor een formule terug te vinden. Deze ziet er als voigt uit: l_(~)n+l = (~)n...!.. ~o ~o to (3.3) waarbij S de electric strength (na prestress) op een zekere tijd t voorstelt, So is de initiehe waarde van de electric strength (voor prestress), E is de electrische veldsterkte, to is de tijd tot falen wanneer een constante veldsterkte gelijk aan de initiehe waarde van de electric strength wordt aangelegd en n is een fundamentele coefficient die vaak "voltage endurance coefficient" wordt genoemd. Voor een juiste toepas- 20

21 sing van de theorie is het noodzakelijk om de electric strength te definieren als de waarde van constante veldsterkte die doorslag veroorzaakt in een vastgestelde tijd. Met 5=0 en wordt t gelijk aan de tijd tot falen (= de levensduur L). Feitelijk betekent 5=0 dat de isolatie gefaald heeft. De vergelijking wordt dan: Dit doet weer sterk denken aan formule 3.2 en is weer een vorm van de inverse power law. Het een en ander wordt in referentie [27] naar m~jn mening nogal slecht uitgelegd. Het begrip prestress wordt bijvoorbeeld eigenlijk niet eens gedefinieerd. De aandachtige lezer raad ik dan ook aan om het een en ander zelf in referentie [27] na te lezen. 3.2 Andere levensduurkrommen.et de veldsterkte als verouderende factor In tegenstelling tot het voorafgaande wordt er in de life modellen meestal een of andere drempelwaarde verwacht waarbeneden de veroudering niet of nauwelijks meer optreedt. In de hiervoor beschreven inverse power law kwam geen drempel voor. Toch kan men in dit model een drempel introduceren. In referentie [20] heeft men een electrische drempel geintroduceerd door n afhankelijk te maken van E en in zekere mate van T. In formulevorm ziet het er als voigt uit: n = 1- E0 -E)'f ( Eo-E T (3.4) 21

22 waarbij E de electrische veldsterkte voorstelt, ET is de electrische drempel bij een temperatuur T, Eo is een referentieveldsterkte (de hoogste waarde op de levensduurkromme bij een temperatuur T), nc is de initiele endurance coefficient die afhankelijk is van T (nc=n(eo,to», v is een vormfactor en to is de tijd tot falen bij een veldsterkte Eo. De formule is geldig voor E>ET~El. El is de grenswaarde van de electrische veldsterkte waarbeneden de levensduur aileen afhangt van de temperatuur. De temperatuurafhankelijkheid van formule 3.4 zit opgesloten in v = v (T), n c = n (Eol to> die functies van T zijn en de electrische drempel ET Het plaatje dat men van formule 3.2 in combinatie met formule 3.4 kan tekenen ziet er uit zoals in figuur 4. tog' E. '. Figuur 4: Electrische life lines volgens formules 3.2 en 3.4. Naast bovenstaande modellen gebruikt men ook vaak een exponentiele relatie tussen veldsterkte E en Ievensduur L [7,9J. Deze relatie ziet er als voigt uit: Le hb = C of L = L e- hb o (3.5) Bovenstaande relatie gebruikt men omdat in de praktijk de levensduurkromme vaak sterk daalt (sterker dan gesuggereerd wordt door de inverse power law) bij Iage veldsterkten. In deze relatie is naast Cook h een constante. ook in deze 22

23 relatie heeft men getracht een drempel aan te brengen, omdat zeer lage veldsterkten weinig invloed hebben op de levensduur van een kabel. De relatie komt er dan als voigt uit te zien: (3.6) In bovenstaande formule treedt Eo als benedengrens op waaronder diilectrische veroudering niet optreedt. Voor gebruik in de formule moet dus gelden: E>Eo. Een belangrijk verschil van formule 3.5 met formule 3.2 is de eindige levensduur voor E~O. Ook in referentie [29] heeft men getracht een drempel aan te brengen in de exponentiele relatie, omdat ook zij afwijkingen hadden gevonden voor lage veldsterkten. Zij kwamen tot een volgende relatie: L = _CX_e-hB E-E T (3.7) a en h in deze relatie zijn constanten. Er is weer de drempelwaarde van de veldsterkte. Als opmerking kan gemeld worden dat men met behulp van deze vergelijking probeert een betere benadering te vinden voor lage veldsterkten, maar dat de volgens het model resulterende oneindig grote levensduur L bij E~Er niet overeenstemt met experimentele data. Het model wordt dan ook geldig geacht voor E>Er Voor E<Er worden aileen andere factoren dan de electrische veldsterkte (bijvoorbeeld temperatuur) geacht verantwoordelijk te zijn voor het falen van een kabel. 23

24 3.3 Lavansduurkro..an.at da temparatuur a1s varoudarenda factor Omdat er ook andere oorzaken zijn van veroudering heeft men ook life curves met andere parameters getracht te bepalen. Een belangrijke parameter is de temperatuur. In het voorafgaande, bij de beschrijving van sommige modellen met de veldsterkte expliciet als verouderende factor, werd al gesteld dat sommige "constanten", zoals de drempelwaarde van de veldsterkte, temperatuurafhankelijk waren. Hoe de afhankelijkheid van de temperatuur van deze "constanten" verloopt is per materiaal verschillend. Zo is bijvoorbeeld de eenvoudige relatie n = no-bet,met no de voltage endurance coefficient bij kamertemperatuur, ct de conventionele thermische belasting en been coefficient die de reactie van het materiaal onder gecombineerde belasting verdisconteert, slechts voor bepaalde materialen in beperkte temperatuurgebieden geldig. Men heeft ook relaties afgeleid voor de temperatuur als expliciete verouderende factor. ZO bestaat er een formule van Arrhenius. Deze luidt als voigt: -B R e = Ae T (3.8) A en B z1jn constantes, R t geeft de mate van veroudering aan en T is de temperatuur. Aangezien de levensduur van een kabel omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering geldt: L B = ke T (3.9) Men kan deze uitdrukking als voigt herschrijven. Stel dat La de levensduur is bij een temperatuur To dan vindt men voor k [29]: 24

25 -B k... Lc,e 2'0 Door nu te stellen: 4T =...!._..! = T-To To T TI'o volqt: L = L e- BAT o (3.10) Een plaatje van data die voldoet aan de Arrhenius relatie staat in figuur 5 [9]. tol.. :::>..l... C "".. 0 '" til :::> 0 :c J ; JOO TEMPERATURE loci Figuur 5: Voorbeelddata van de Arrhenius relatie. De Arrhenius relatie wordt soms vervanqen door een iets andere die qevonden is door Eyrinq [31]. Die relatie luidt: -B R e = A'T"e" 25

26 A', B en w zijn constanten. Meestal maakt men in de literatuur qebruik van de Arrhenius relatie. Men neemt deze relatie ook reqelmatiq als een van de uitqanqsrelaties om een qecombineerd thermisch-electrisch verouderinqsverband af te leiden. 26

27 4 Heerdi.eDsioDale levedsduurkro..ed van kabels 4.1 HodelleD voor verouderidq door.eerdere factored In het voorgaande hoofdstuk zijn een aantal in de literatuur afgeleide en gebruikte life curves van kabels als functie van een expliciete verouderende factor genoemd. Er zijn echter meerdere verouderende factoren van invloed op het leven van een kabel. Men heeft dan ook regelmatig geprobeerd verschillende factoren simultaan in een model onder te brengen. Over het algemeen zijn dit modellen met de electrische veldsterkte en de temperatuur als verouderende factoren. Veelal is de vraag bij gecombineerde verouderingsfactoren hoe deze met elkaar gecombineerd moeten worden om de totale veroudering te geven. Een eenvoudige optelsom van bijvoorbeeld thermische en electrische veroudering klopt niet, want dit resulteert in een kleinere mate van veroudering en dus een grotere levensduur dan uit experimenten voigt [29]. Men heeft in de literatuur verschillende verbanden afgeleid. a) In referentie [11] maakt men gebruik van de zogenaamde Eyring relatie. Men drukt deze relatie uit in termen van K(T) en net) bij een willekeurige temperatuur. Dit levert dan: (4.1) Net als in formule 3.11 is AT =...!._.! = T-To To T ITo Aan K(T) en net) is nog een iets exactere invulling gegeven: 27

28 Uiteindelijk kan men uitdrukkinq 4.1 uitschrijven tot: (4.2) Opmerkinq: voor I:. T -constant (dus constante temperatuur) krijqt men een vorm van de inverse power lawen voor E-constant krijqt men de Arhenius-relatie. Dit ziet men vaker dat de inverse power lawen de Arhenius-relatie als een soort randvoorwaarden functioneren binnen de modellen met qecombineerde thermisch-electrische belastinq. b) In hetzelfde artikel [11] qebruikt men ook een exponentieel model met de volqende formule: A(E) + B(E) ) ( L = e T (4.3) Men veronderstelt weer een lineaire afhankelijkheid van de veldsterkte voor A en B : A(E) = ~+~ E opmerkinq: Az en Bz zullen praktisch neqatief zijn omdat het intuitief duidelijk is dat de levensduur L af moet nemen bij toenemende electrische veldsterkte E. Door uitschrijven vindt men de volqende formule: 28

29 (4.4) met A = eat Voor constante veldsterkte E krijgen we weer de Arheniusrelatie terug. Voor constante T krijgt men een aan formule 3.5 gelijkvormige vorm. c) In referentie [29] is een algemene uitdrukking gegeven voor de mate van veroudering als functie van E en T die er als voigt uit ziet: -B (.+,E)fCB) R = Ae T e T (4.5) A, B, a en b z1jn van tijd temperatuur en veldsterkte onafhankelijke constanten en f (E) is een nog niet nader gespecificeerde functie van de veldsterkte E. Wanneer men bovenstaande relatie beschouwd dan ziet men dat met f(e)=o de Arrhenius relatie overblijft. Omdat levensduur omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering voigt in geval van het exponentiele model met f(e)=e: 1 ~ -(.+,E)B L = -e T e A T Gebruikmakend van de levensduur ~ (bij kamertemperatuur) T-T, zonder electrisch veld en AT = 0 voigt door vergelijking ITo 29

30 met formule 3.5: a+~ = h. Nu kan men schrijven: To L = L e (-S-AT-hB+bA7'.&') o (4.6) Ken kan deze uitdrukkinq iets overzichtelijker noteren: L = LeL. e (beat) L o met L = L e- S - AT en L = L e- hb to. 0 Bovenstaande relatie drukt de afhankelijkheid van L van de levensduren onder thermische en electrische invloed, Lt: en Le uit. Voor Lt: is de Arrhenius relatie qebruikt (formule 3.11). Voor Le is formule 3.5 qebruikt. Door nu te stellen k c = ~ krijqt men: (4.7) We hebben nu een relatie waarmee we 2 een levensduurkromme kunnen bepalen voor elke eendimensionale levensduurkrommen. tweedimensionale combinatie van d) Wanneer we nu voor Le de inverse power law nemen wordt fee) uit formule 4.5 qelijk aan l~ ~). Door wederom 1.0 te intro- 30

31 duceren en te stellen dat a+.e.. =n vindt men de volqende uit To drukkinq: L = L o 6 (-S"A2') ~ ( ) - (n-b-a2') (4.8) Bovenstaande functie wordt qelijk aan de inverse power law voor constante temperatuur. Voor constante veldsterkte krijqen we weer de aan Arrhenius ontleende relatie. e) Om de bovenstaande modellen volqens formules te verbeteren en aan te passen aan laqe sterktes van de verouderende factoren zou men onder andere drempels kunnen aanbrenqen. Dit heeft men dan ook qepooqd. Voor de te introduceren drempel veronderstelt men het volqende eenvoudiqe temperatuurverband: (4.9) To Tr To Tro met AT r =---- en AT ro =---, ETo is de drempelwaarde bij kamertemperatuur To. Voor Le qebruikte men in het betreffende artikel [29] formule 3.7: L e = _Cl_6-blf E-E r (3.7) 31

32 Wanneer formule 3.7 beschouwd wordt als de electrische levensduur bij kamertemperatuur moet de drempel volgens formule 4.9 aangegeven worden met ETo. Dus: e-bb L = (1- - II E-E ro (4.10) Bovenstaande relatie 4.10 heeft men nog iets aangepast. Men gaat er namelijk van uit dat voor tests met korte tijden de drempel nauwelijks invloed heeft, omdat in dit geval de electrische veldsterkten meestal groot zijn (veel groter dan veldsterkten die nooit veroudering veroorzaken). Men neemt aan dat voor L=to de waarde van de breakdown veldsterkte E B volgens formule 4.10 hetzelfde is als volgens het eenvoudige exponentiele model (formule 3.5). Dus: Hieruit voigt: Uiteindelijk kan men dan formule 4.10 aanpassen tot: (4.11) Voor de tweedimensionale levensduurkromme krijgt men dan de volgende uitdrukking: 32

33 e (-B-.iT-bB+bE-.i7? L = Lo (E-E T ) (ES-E TO ) waarbij voor de thermische levensduur Lt de Arheniusrelatie is qenomen. Voor E T in bovenstaande formule geldt vergelijking 4.9. Door deze verqelijking in te vullen ontstaat de volgende formule: (4.12 ) Wanneer men nu probeert middels E=O de levensduur voor aileen thermische veroudering te vinden dan krijgt men een uitdrukking waarin E B en ETo voorkomen. Dit komt door de extra veronderstelling voor de electrische levensduur (formule 4.11) dat de short-time karakteristieken gelijk blijven bij de afwezigheid van een drempel. Wanneer nu het model symmetrisch moet zijn voor E en T moet er een soortgelijke veronderstelling gedaan worden voor de thermische levensduur. Dus wanneer de temperatuur naar oneindig gaat (resulterend in een erg korte levensduur) moet het Arrhenius model en het nieuwe model (formule 4.10) dezelfde levensduur qeven. Dus er moet gelden: 33