samenvattin9 stock-taking of the reliability of M.V.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "samenvattin9 stock-taking of the reliability of M.V."

Transcriptie

1 ttr:.l. 92 ELE

2 stock-taking of the reliability of M.V. cables samenvattin9 In het kader van een stage heb ik gezocht naar modellen die de faalkans respectievelijk de levensduur van middenspanningskabels beschrijven. Ik heb me bij dit zoeken vooral gericht op redelijk recente artikels uit wetenschappelijke tijdschriften. Over het algemeen kan men zowel bij de levensduurrelaties als bij de relaties die de faalkans van kabels beschrijven onderscheid maken in 3 categorieen: relaties die aileen de invloed van de electrische veldsterkte beschrijven bij vaste temperatuur, relaties die aileen de temperatuurafhankelijkheid beschrijven (bij vaste veldsterkte) en relaties die beide invloeden meenemen. Verder zijn er nog artikelen die naast de invloed van veldsterkte en temperatuur ook nog de afmetingen van kabel (samples) verdisconteren. 2

3 Inbou4sopqave 1 Inleidinq biz 4 2 Het falen van kabels 2.1 Belanqrijke oorzaken van het falen van kabels 2.2 De levensduur van een kabel biz biz biz Eendimensionale levensduurkrommen van kabels 3.1 Het inverse power law model 3.2 Andere levensduurkrommen met de veldsterkte als verouderende factor 3.3 Levensduurkrommen met de temperatuur als verouderende factor biz biz biz biz Meerdimensionale levensduurkrommen van kabels 4.1 Modellen voor verouderinq door meerdere factoren 4.2 Grafische voorstellinqen van een aantal modellen biz biz biz De Weibullverdelinq in verband met het falen van kabels 5.1 De Weibullverdelinq in verband met de eerder qevonden levensduurverqelijkinqen 5.2 Opmerkinqen ten aanzien van het qebruik van de Weibullverdelinq biz biz biz De verqelijkinq van kabels me verschillende diameters en lenqten biz 76 7 Parameterbepalinq van de Weibullverdelinqsfunctie biz 99 8 Conclusies 9 Literatuurlijst biz 105 biz 106 Bijlaqe 1: Verslaq van het bibliotheekpraktikum biz 112 3

4 1 Inleidinq Gedurende de afgelopen eeuw is er een enorme toename in het gebruik van electrische energie ontstaan. Om deze energie te transporteren van centrale naar verbruiker zijn in de loop der jaren enorme distributienetten aangelegd. De verbruikers zijn steeds hogere eisen gaan stellen aan de kwaliteit van de geleverde electrische energie. Een van deze eisen is de betrouwbaarheid van de levering. Speciaal bij continue produktieprocessen in onder andere de chemische industrie is een betrouwbare energievoorziening noodzakelijk. Een belangrijk aspect in de electrische energievoorziening is derhalve de betrouwbaarheid van de distributienetten. Deze distributienetten bestaan in Nederland voor het grootste deel uit kabels. De ontwikkeling van nieuwe, meer betrouwbare kabels en kabeltypen is dan ook nog steeds in volle gang. Een beheerder van een distributienet wil graag een zo nauwkeurig mogelijke indicatie hebben van de levensduur van een bepaalde kabel, zodat hij tijdig tot vervanging over kan gaan. Verder moet de levensduur natuurlijk zo groot mogelijk zijn. In dit verband werkt men ook veel met de begrippen faalkans en faalgraad, omdat er binnen elk tijdsinterval een kans is dat een bepaalde kabel faalt. Er zijn de afgelopen jaren verschillende modellen ontwikkeld om de levensduur en de faalkans van een bepaalde kabel of een bepaald kabeltype te bepalen. Het praktisch nut van onderzoek naar levensduren en faalkansen van kabels berust op het feit dat men zo waarschijnlijk nauwkeuriger schattingen kan doen omtrent de betrouwbaarheid van een kabel(netwerk). In de volgende hoofdstukken zal ik de zaken presenteren zoals 4

5 ze ook in de verschillende artikels behandeld worden. Hierbij zal ik over het algemeen proberen zo min mogelijk mijn eigen conclusies te trekken om zo te voorkomen dat ik lezers op het verkeerde spoor zet. In de navolgende hoofdstukken zal ik eerst wat algemene zaken over het falen van kabels aanduiden. Daarna zal ik een aantal in de literatuur gevonden verouderingsmodellen presenteren. Vervolgens zal ik neg een aantal zaken aanduiden die verband houden met de gebruikte kansverdeling, waaronder de vergelijking van kabels met verschillende lengten en diameters. 5

6 2 Bet falen van kabels 2.1 Belangrijke oorzaken van het falen van kabels Een kabel kan falen onder invloed van verschillende oorzaken. Hoge belasting en thermische cycli vormen belangrijke verouderende factoren en maken de kans op falen van de kabel groter. Een veel voorkomende oorzaak van het falen van kabels is het kapottrekken van kabels bij graafwerkzaamheden, maar dit heeft verder weinig uit te staan met de kwaliteit van een kabel en kan in principe met iedere kabel gebeuren. Het vormt een externe oorzaak waar de fabricant van de kabels weinig aan kan doen. De doorslagveldsterkte van goede XLPE kabelisolatie kan hoog zijn wanneer deze veldsterkte gedurende een korte tijd wordt aangeboden. Een lagere waarde van de doorslagveldsterkte wordt veelal veroorzaakt door imperfecties. Deze imperfecties zijn dus van grote invloed op het faalgedrag van een kabel. Enkele van deze imperfecties zijn: defecten in de isolatie (extrusiedefecten bij kunststofisolatie), verontreinigingen in de isolatie en vochtigheid in de grond. Hieronder zal ik het een en ander nader uiteenzetten. Om te beginnen zal ik eerst de algemene opbouw van een kabel in twee plaatjes laten zien om zo ook de benamingen van de verschillende delen al te introduceren bij de lezer. Het eerste plaatje is een plaatje van een kunststofgeisoleerde kabel, het tweede plaatje is een plaatje van een gepantserde papier loodkabel (GPLK) [18]. 6

7 ~r _ill Fiquur 1: Opbouw van een 30/50 kv XLPE-kabel. GORDElKABEl geleider aderisolatie gordelisolatie loodmantel staalband bewapening bekleding Fiquur 2: Een dwarsdoorsnede van een GPLK. Wat defecten in de isolatie van kabels met kunststof isolatie betreft kan men onderscheid maken in holtes in de isolatie, gaten in de isolatie en uitsteeksels (van geleider- en aderscherm in de isolatie). De uitsteeksels en gaten van het geleiderscherm zijn kritischer dan die van het aderscherm [4]. a) Uitsteeksels van het geleiderscherm. De invloed van uitsteeksels kan geillustreerd worden met behulp van onderstaande formule: 7

8 (1 = (2.1) E a E~x = veldsterkte voor vlakke structuur = veldsterkteverhogingsfactor = veldsterkte op de top van het uitsteeksel (ellipsoide) h - hoogte van het uitsteeksel r = straal van de top van het uitsteeksel Bovenstaande formule geldt aileen voor een ellipsoidevormig uitsteeksel. Hieronder voigt een tabel die aangeeft wat er met a gebeurt als het quotient h/r toeneemt: Tabel 1: De verandering van a h/r. bij een toename van het quotient h/r a 5,8 9, Naar aanleiding van de tabel kan men concluderen dat hoe spitser het uitsteeksel is hoe hoger E~x relatief tot E wordt. Vanwege de hoge veldsterkte ter plaatse van het uitsteeksel is dit uitsteeksel een breakdowngevoeligpunt van de kabel. Deze uitsteeksels worden veroorzaakt bij de fabricage van de kabel door onder meer clustering van koolstofdeeltjes en andere omstandigheden van grote oppervlakteruwheid [4]. b) Holtes en gaten in de isolatie. Wat kunststofisolatie betreft zit het gevaar van gaten en holtes hierin dat deze het ontstaan van bomen in de isolatie kunnen bevorderen en zo breakdown van de kabel kunnen versnel- 8

9 len. De beginspanning van een partiehe ontlading stijgt met afnemende grootte van de hoite. Grote hoites hebben dus een zeer nadelige invloed. Holtes in de isolatie worden meestal veroorzaakt door een slechte verspreiding van de crosslinking vloeistof en slechte extrusiecondities [4]. c) Onderbrekingen in het geleiderscherm. Onderbrekingen in het geleiderscherm kunnen ontstaan tijdens de fabricage vanwege slechte extrusiecondities. Onder normale bedrijfsomstandigheden en bij cyclische belasting zal er een hoite ontstaan bij de onderbreking en er zullen ontladingen optreden die kunnen leiden tot het falen van de kabel [4]. d) Verontreinigingen in de isolatie. Verontreinigingen kunnen ook een behoorlijke invloed hebben. Wanneer ze scherpe randen hebben kunnen ze electrische bomen initieren. Ook zijn ze vaak beter geleidend dan de isolatie waarin ze zich bevinden. Verontreinigingen ontstaan bij het verwerken en behandelen van de compounds [4]. De meest critische gebreken bij kunststofkabels zijn in afnemende mate van belangrijkheid uitsteeksels van het geleiderscherm, verontreinigingen bestaande uit geleidende deeltjes en isolerende deeltjes met een grotere geleidbaarheid dan de isolatie zelf en ruimtes die ontladen bij gebruik van een wisselspanning [4]. De omgeving (vocht, enzovoort) is een factor die invloed heeft op zowel gepantserde papier lood kabels als kunststofgeisoleerde kabels. Verder is voor gepantserde papier loodkabels de zuurtegraad van de grond belangrijk. Zure grond tast de buitenkant (pantsering) van de kabel het hardste aan. De loodmantel van gepantserde papier loodkabels kan corroderen en de loodkristalstructuur kan ongelijkmatig zijn. Daarnaast kaner verkazing (polymerisatie) van de massa optreden. Dit laatste 9

10 is vooral van belang wanneer men een bepaalde kabel wil verleggen [18]. In het algemeen dient men ook aan het (ver) leggen van een kabel de nodige zorg te besteden, daar ook hieruit schade kan voortvloeien. Een slechte loodkristalstructuur ligt over het algemeen aan het fabricageproces (het niet goed vloeien van het lood). Verkazing van de massa treedt veelal op bij hoogbelaste kabels. Corrosie vindt zijn oorzaak in de omgeving [18]. In verband met het uiterlijk van een in bedrijf geweest zijnde gepantserde papier lood kabel kan opgemerkt worden dat ook hier ongerechtigheden zoals gaatjes in de mantel voorkomen [18]. 2.2 De 1evensduur van een kabel De factoren die de levensduur van een kabel beinvloeden verschillen per kabeltype. De omstandigheden waaronder een kabel functioneert zijn daarbij van groot belang. Om de invloed van een bepaalde factor op een gegeven kabel of kabeltype te onderzoeken heeft men getracht door middel van metingen van de levensduur van kabels als functie van een of meer van die factoren modellen af te leiden die de mate van veroudering en het faalgedrag moesten beschrijven. De data die men nodig heeft om bepaalde modellen af te leiden en te controleren bepaalt men meestal in het laboratorium onder optimale condities. Hier past men vaak versnelde veroudering toe. Voorbeelden van (versnelde) veroudering Z1Jn het toedienen van thermische cycli (warm-koud-warm-koud) om een kabel thermisch te verouderen, het toedienen van een hoge veldsterkte, bij een normale grootte van veldsterkte een hoge frequentie toepassen, 10

11 enzovoort [7,9]. Bij dit soort metingen laat men een of enkele factoren die het leven van een kabel kunnen beinvloeden varieren. De invloed van andere factoren probeert men zoveel mogelijk te beperken. Op deze manier kan een model voor thermische veroudering, electrische veroudering, enzovoort worden afgeleid. De afzonderlijke modellen kan men vervolgens combineren. Vervolgens kan men proberen te bepalen hoe de faalkans verandert gedurende een bepaald verouderingsregime. Dit is natuurlijk allemaal statistisch omdat er een behoorlijke spreiding kan zitten in het falen van kabels. Het doel van de bepaling van modellen voor de levensduur en de faalkans van kabels is om door metingen van de parameters die bij het model horen iets te kunnen zeggen over de levensduur en de faalkans van een groep kabels op de lange termijn. 11

12 3 Ben4imensiona1e 1evens4uurkro..en van kabe1s 3.1.et inverse power law.04e1 Bet zogenaamde inverse power law model is een veel gebruikte relatie om het verband aan te geven tussen de levensduur van een kabel en de aangelegde spanning (veldsterkte). In formulevorm ziet het er als voigt uit [9]: (3.1) waarbij L de levensduur voorstelt, V de aangelegde spanning en C en n constanten zijn. Meestal zet men meetwaarden langs logarithmische assen uit. Men krijgt dan een rechte lijn als de meetwaarden kloppen met het model. Vaak komt men formule 3.1 in een iets andere vorm tegen [9]: (3.2) In bovenstaande formule is V vervangen door E en heeft de constante C uit formule 3.1 een waarde gekregen uitgedrukt in de constanten Eo en to (toeo"=constant). Referenties [9,20] geven aan dat Eo als grenswaarde geinterpreteerd kan worden waaronder electrische veroudering niet of nauwelijks meer optreedt en bovenstaand verband niet meer geldt, iets wat anderen niet doen [34]. Zij zien Eo als referentieveldsterkte. Er zijn verschillende pogingen ondernomen om bovenstaande relatie af te leiden. Ik zal er nu een paar laten zien. 12

13 Referentie [17] toont een chemische variant van formules 3. 1 en 3 2 uitgaande van een formule die gebruikt wordt bij de theorie van chemische reactiesnelheden. Dit is de volgende relatie: _ dc = kc N dt waarbij c de concentratie van het resterende reagent is,en k en N constanten. Bovenstaande formule stelt dat de afname van de concentratie van een reagent recht evenredig is met de concentratie van het overblijvende reagent tot de macht N. k geeft de snelheid aan van de reactie. De constante N is een maat voor het aantal functionele groepen dat deelneemt aan de reactie. N wordt vaak de orde van de reactie genoemd. Voor N=1 ziet de oplossing van de functie er als voigt uit: c Co = e-kt Voor N>1 voigt: Co is de concentratie op t=o. uit deze formule voigt dan weer: ( ) N-l ~ [1+ko(N-1) CON-lot] = 1 13

14 Naar het einde van de reactie toe, dus voor qrote waarden van t, wordt (N-1)kc~-1t»1 en is de volqende benaderinq qeidiq: Bovenstaande benaderinq qeidt voor een reactie van orde N. Voor een reactie van de orde N+1 vindt men: Deze formule vertoont zeer qrote qeiijkenis met formules 3.1 en 3.2. De anaioqie qeeft aan dat electrische verouderinq een chemische reactie is van de orde N+1. De afleidinq impliceert ook dat formule 3.1 slechts een benaderinq is van de ware verouderinqsrelatie. Vervolqens Ieidt de auteur van [17] met behulp van formule 3.1 een verouderinqsrelatie voor een test met een constante veidsterkte. Formule 3.1 kunnen we schrijven als (waarbij L vervanqen is door t): t- 1 = V n C- 1 Door differentiatie volqt: 14

15 en dv = _-.!... Vn+1 dt nc Met -.!... = k voigt: nc _ dv = kvn+l dt In een test met constante veldsterkte is V een maat voor de dielectric strength S. Daardoor krijgt men dan: _ ds = ksn+1 dt De dielectric strength S in bovenstaande formule is gelijk aan de toegevoerde veldsterkte aan het einde van de levensduur van de isolatie. Men kan de vergelijking als voigt oplossen: _ ds = kdt Sn+l met de beginvoorwaarde S=80 voor t=o voigt: 15

16 Uiteindelijk volgt dan: Ooor te stellen 1 nks n o = to krijgt de verouderingsrelatie een simpele vorm: oit is de verouderingsrelatie voor een constante spanning. Bij een constante spanning S hoort een levensduur t. Voor t»to kan men dit benaderen door: oit is weer een vorm van de inverse power law. Ook in referentie [31] wordt geprobeerd relaties zoals 3.1 en 3.2 af te leiden. Er wordt uitgegaan van een zekere eigenschap met een in de tijd afnemend verloop, hoewel men voor een stijgend verloop maar weinig aan de afleiding hoeft te veranderen. Hoe dit verloop er precies uitziet hangt af van de eigenschap en de factor die het verloop veroorzaakt. c = C geeft de relatieve waarde van bedoelde eigen Co 16

17 schap. Er wordt aangenomen dat algemeen geldt: de dt = -ked In dit geval wordt de vergelijking als voigt opgelost: c f -e-dde = fkdt = kt 1 0 t c stel f -e-dde = J We kunnen dan schrijven: J = kt.er geldt dat 1 J = F(e) en k = k(s) Wanneer J constant is krijgt men: J = k(s) t Deze formule zou men zo kunnen modelleren dat men formule 3.1 krijgt. Ik heb deze methode om het verouderingsproces heel formeel te bekijken meegenomen omdat er heel sterke overeenkomsten zijn met de benaderingswij ze volgens de chemische reactietheorie van referentie [17]. Beide dienen om de vorm van bepaalde levensduurrelaties (de inverse power law) aannemelijk te maken. In referentie [4] probeert men een uitdrukking te vinden voor de constante C in formule 3.1. Men stelt dat het begin van een voltage breakdown bepaald wordt door de in de isolatie heen en weer vloeiende ladingen die een ionisatiestroom veroorzaken in 17

18 de isolatie in de gebieden met hoge veldsterkten. Oe formule voor de ionisatiestroom i is als voigt: met: i = ac stroom in amperes A = een constante Enu = de maximale veldsterkte bij een imperfectie Eo = de beginveldsterkte van ionisatie van een imperfectie n = een exponent die het verband aangeeft tussen ionisatiestroom en veldsterkte Ken neemt aan dat de isolatie maar gedurende een bepaalde tijd een bepaalde ionisatiestroom kan verdragen. Dus de factor i t is bepalend. Ken noemt dit de critische lading Ocr. In formulevorm krijgt men dan: O = i't = A ( Ji' - E ) n.t cr -max 0 Voor veldsterkten kleiner dan de beginveldsterkte Eo is de levensduur van de kabel oneindig. Eo functioneert als een soort drempel waaronder veroudering van de kabel geen rol speelt. Voor E.x»Eo kan men bovenstaande uitdrukking als voigt reduceren: oit doet weer sterk denken aan 3.2. Verder kan men dan nog de volgende formule beschouwen: 18

19 met: E heid = veldsterkte in de buurt van de imperfectie in afwezigvan de imperfectie = de gemiddelde veldsterkte in de isolatie y = de veldversterkingsfactor van de imperfectie Met behulp van deze formule kan men vinden: E not = C = -"9' Deze formule geeft een mogelijke uitdrukking voor C in formule 3.2. Oat de inverse power law volgens formules 3.1 en 3.2 in de praktijk goed voldoen laten de volgende plaatjes zien waarvan ik de eerste 2 plaatjes heb overgenomen uit referentie [1] en het laatste plaatje uit referentie [9]. 19

20 ! >M :::: 30 t' '"., 20 '"~ 15 '0 > ~ 10 o ~ m t c> IOOr-r--r--'---'---r~r-, r----r----r---, ~, loo,..--r r---r----r----,-, ,---r-,.---, po ~ e Threshold Le.el J 1~0.:7."""'--~l0:-:'.2,-'----'-----l.-1'-;02-; I. O...""...L...-L,""":'---.J j 1 10 ' years: T;!Tle' to Brel!lkdown - H1nutes years: Time to Breakdown - Minutes Fiquur 3: Voorbeelden van de inverse power law in grafiek. " ~:~ ~. :;:':t --~ L "---~---'-----"""'"" '.t ;r:". ;c2 Ie" Electrische veroudering veroorzaakt een afname in electric strength met toenemende tijd. In referentie [27] is hiervoor een formule terug te vinden. Deze ziet er als voigt uit: l_(~)n+l = (~)n...!.. ~o ~o to (3.3) waarbij S de electric strength (na prestress) op een zekere tijd t voorstelt, So is de initiehe waarde van de electric strength (voor prestress), E is de electrische veldsterkte, to is de tijd tot falen wanneer een constante veldsterkte gelijk aan de initiehe waarde van de electric strength wordt aangelegd en n is een fundamentele coefficient die vaak "voltage endurance coefficient" wordt genoemd. Voor een juiste toepas- 20

21 sing van de theorie is het noodzakelijk om de electric strength te definieren als de waarde van constante veldsterkte die doorslag veroorzaakt in een vastgestelde tijd. Met 5=0 en wordt t gelijk aan de tijd tot falen (= de levensduur L). Feitelijk betekent 5=0 dat de isolatie gefaald heeft. De vergelijking wordt dan: Dit doet weer sterk denken aan formule 3.2 en is weer een vorm van de inverse power law. Het een en ander wordt in referentie [27] naar m~jn mening nogal slecht uitgelegd. Het begrip prestress wordt bijvoorbeeld eigenlijk niet eens gedefinieerd. De aandachtige lezer raad ik dan ook aan om het een en ander zelf in referentie [27] na te lezen. 3.2 Andere levensduurkrommen.et de veldsterkte als verouderende factor In tegenstelling tot het voorafgaande wordt er in de life modellen meestal een of andere drempelwaarde verwacht waarbeneden de veroudering niet of nauwelijks meer optreedt. In de hiervoor beschreven inverse power law kwam geen drempel voor. Toch kan men in dit model een drempel introduceren. In referentie [20] heeft men een electrische drempel geintroduceerd door n afhankelijk te maken van E en in zekere mate van T. In formulevorm ziet het er als voigt uit: n = 1- E0 -E)'f ( Eo-E T (3.4) 21

22 waarbij E de electrische veldsterkte voorstelt, ET is de electrische drempel bij een temperatuur T, Eo is een referentieveldsterkte (de hoogste waarde op de levensduurkromme bij een temperatuur T), nc is de initiele endurance coefficient die afhankelijk is van T (nc=n(eo,to», v is een vormfactor en to is de tijd tot falen bij een veldsterkte Eo. De formule is geldig voor E>ET~El. El is de grenswaarde van de electrische veldsterkte waarbeneden de levensduur aileen afhangt van de temperatuur. De temperatuurafhankelijkheid van formule 3.4 zit opgesloten in v = v (T), n c = n (Eol to> die functies van T zijn en de electrische drempel ET Het plaatje dat men van formule 3.2 in combinatie met formule 3.4 kan tekenen ziet er uit zoals in figuur 4. tog' E. '. Figuur 4: Electrische life lines volgens formules 3.2 en 3.4. Naast bovenstaande modellen gebruikt men ook vaak een exponentiele relatie tussen veldsterkte E en Ievensduur L [7,9J. Deze relatie ziet er als voigt uit: Le hb = C of L = L e- hb o (3.5) Bovenstaande relatie gebruikt men omdat in de praktijk de levensduurkromme vaak sterk daalt (sterker dan gesuggereerd wordt door de inverse power law) bij Iage veldsterkten. In deze relatie is naast Cook h een constante. ook in deze 22

23 relatie heeft men getracht een drempel aan te brengen, omdat zeer lage veldsterkten weinig invloed hebben op de levensduur van een kabel. De relatie komt er dan als voigt uit te zien: (3.6) In bovenstaande formule treedt Eo als benedengrens op waaronder diilectrische veroudering niet optreedt. Voor gebruik in de formule moet dus gelden: E>Eo. Een belangrijk verschil van formule 3.5 met formule 3.2 is de eindige levensduur voor E~O. Ook in referentie [29] heeft men getracht een drempel aan te brengen in de exponentiele relatie, omdat ook zij afwijkingen hadden gevonden voor lage veldsterkten. Zij kwamen tot een volgende relatie: L = _CX_e-hB E-E T (3.7) a en h in deze relatie zijn constanten. Er is weer de drempelwaarde van de veldsterkte. Als opmerking kan gemeld worden dat men met behulp van deze vergelijking probeert een betere benadering te vinden voor lage veldsterkten, maar dat de volgens het model resulterende oneindig grote levensduur L bij E~Er niet overeenstemt met experimentele data. Het model wordt dan ook geldig geacht voor E>Er Voor E<Er worden aileen andere factoren dan de electrische veldsterkte (bijvoorbeeld temperatuur) geacht verantwoordelijk te zijn voor het falen van een kabel. 23

24 3.3 Lavansduurkro..an.at da temparatuur a1s varoudarenda factor Omdat er ook andere oorzaken zijn van veroudering heeft men ook life curves met andere parameters getracht te bepalen. Een belangrijke parameter is de temperatuur. In het voorafgaande, bij de beschrijving van sommige modellen met de veldsterkte expliciet als verouderende factor, werd al gesteld dat sommige "constanten", zoals de drempelwaarde van de veldsterkte, temperatuurafhankelijk waren. Hoe de afhankelijkheid van de temperatuur van deze "constanten" verloopt is per materiaal verschillend. Zo is bijvoorbeeld de eenvoudige relatie n = no-bet,met no de voltage endurance coefficient bij kamertemperatuur, ct de conventionele thermische belasting en been coefficient die de reactie van het materiaal onder gecombineerde belasting verdisconteert, slechts voor bepaalde materialen in beperkte temperatuurgebieden geldig. Men heeft ook relaties afgeleid voor de temperatuur als expliciete verouderende factor. ZO bestaat er een formule van Arrhenius. Deze luidt als voigt: -B R e = Ae T (3.8) A en B z1jn constantes, R t geeft de mate van veroudering aan en T is de temperatuur. Aangezien de levensduur van een kabel omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering geldt: L B = ke T (3.9) Men kan deze uitdrukking als voigt herschrijven. Stel dat La de levensduur is bij een temperatuur To dan vindt men voor k [29]: 24

25 -B k... Lc,e 2'0 Door nu te stellen: 4T =...!._..! = T-To To T TI'o volqt: L = L e- BAT o (3.10) Een plaatje van data die voldoet aan de Arrhenius relatie staat in figuur 5 [9]. tol.. :::>..l... C "".. 0 '" til :::> 0 :c J ; JOO TEMPERATURE loci Figuur 5: Voorbeelddata van de Arrhenius relatie. De Arrhenius relatie wordt soms vervanqen door een iets andere die qevonden is door Eyrinq [31]. Die relatie luidt: -B R e = A'T"e" 25

26 A', B en w zijn constanten. Meestal maakt men in de literatuur qebruik van de Arrhenius relatie. Men neemt deze relatie ook reqelmatiq als een van de uitqanqsrelaties om een qecombineerd thermisch-electrisch verouderinqsverband af te leiden. 26

27 4 Heerdi.eDsioDale levedsduurkro..ed van kabels 4.1 HodelleD voor verouderidq door.eerdere factored In het voorgaande hoofdstuk zijn een aantal in de literatuur afgeleide en gebruikte life curves van kabels als functie van een expliciete verouderende factor genoemd. Er zijn echter meerdere verouderende factoren van invloed op het leven van een kabel. Men heeft dan ook regelmatig geprobeerd verschillende factoren simultaan in een model onder te brengen. Over het algemeen zijn dit modellen met de electrische veldsterkte en de temperatuur als verouderende factoren. Veelal is de vraag bij gecombineerde verouderingsfactoren hoe deze met elkaar gecombineerd moeten worden om de totale veroudering te geven. Een eenvoudige optelsom van bijvoorbeeld thermische en electrische veroudering klopt niet, want dit resulteert in een kleinere mate van veroudering en dus een grotere levensduur dan uit experimenten voigt [29]. Men heeft in de literatuur verschillende verbanden afgeleid. a) In referentie [11] maakt men gebruik van de zogenaamde Eyring relatie. Men drukt deze relatie uit in termen van K(T) en net) bij een willekeurige temperatuur. Dit levert dan: (4.1) Net als in formule 3.11 is AT =...!._.! = T-To To T ITo Aan K(T) en net) is nog een iets exactere invulling gegeven: 27

28 Uiteindelijk kan men uitdrukkinq 4.1 uitschrijven tot: (4.2) Opmerkinq: voor I:. T -constant (dus constante temperatuur) krijqt men een vorm van de inverse power lawen voor E-constant krijqt men de Arhenius-relatie. Dit ziet men vaker dat de inverse power lawen de Arhenius-relatie als een soort randvoorwaarden functioneren binnen de modellen met qecombineerde thermisch-electrische belastinq. b) In hetzelfde artikel [11] qebruikt men ook een exponentieel model met de volqende formule: A(E) + B(E) ) ( L = e T (4.3) Men veronderstelt weer een lineaire afhankelijkheid van de veldsterkte voor A en B : A(E) = ~+~ E opmerkinq: Az en Bz zullen praktisch neqatief zijn omdat het intuitief duidelijk is dat de levensduur L af moet nemen bij toenemende electrische veldsterkte E. Door uitschrijven vindt men de volqende formule: 28

29 (4.4) met A = eat Voor constante veldsterkte E krijgen we weer de Arheniusrelatie terug. Voor constante T krijgt men een aan formule 3.5 gelijkvormige vorm. c) In referentie [29] is een algemene uitdrukking gegeven voor de mate van veroudering als functie van E en T die er als voigt uit ziet: -B (.+,E)fCB) R = Ae T e T (4.5) A, B, a en b z1jn van tijd temperatuur en veldsterkte onafhankelijke constanten en f (E) is een nog niet nader gespecificeerde functie van de veldsterkte E. Wanneer men bovenstaande relatie beschouwd dan ziet men dat met f(e)=o de Arrhenius relatie overblijft. Omdat levensduur omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering voigt in geval van het exponentiele model met f(e)=e: 1 ~ -(.+,E)B L = -e T e A T Gebruikmakend van de levensduur ~ (bij kamertemperatuur) T-T, zonder electrisch veld en AT = 0 voigt door vergelijking ITo 29

30 met formule 3.5: a+~ = h. Nu kan men schrijven: To L = L e (-S-AT-hB+bA7'.&') o (4.6) Ken kan deze uitdrukkinq iets overzichtelijker noteren: L = LeL. e (beat) L o met L = L e- S - AT en L = L e- hb to. 0 Bovenstaande relatie drukt de afhankelijkheid van L van de levensduren onder thermische en electrische invloed, Lt: en Le uit. Voor Lt: is de Arrhenius relatie qebruikt (formule 3.11). Voor Le is formule 3.5 qebruikt. Door nu te stellen k c = ~ krijqt men: (4.7) We hebben nu een relatie waarmee we 2 een levensduurkromme kunnen bepalen voor elke eendimensionale levensduurkrommen. tweedimensionale combinatie van d) Wanneer we nu voor Le de inverse power law nemen wordt fee) uit formule 4.5 qelijk aan l~ ~). Door wederom 1.0 te intro- 30

31 duceren en te stellen dat a+.e.. =n vindt men de volqende uit To drukkinq: L = L o 6 (-S"A2') ~ ( ) - (n-b-a2') (4.8) Bovenstaande functie wordt qelijk aan de inverse power law voor constante temperatuur. Voor constante veldsterkte krijqen we weer de aan Arrhenius ontleende relatie. e) Om de bovenstaande modellen volqens formules te verbeteren en aan te passen aan laqe sterktes van de verouderende factoren zou men onder andere drempels kunnen aanbrenqen. Dit heeft men dan ook qepooqd. Voor de te introduceren drempel veronderstelt men het volqende eenvoudiqe temperatuurverband: (4.9) To Tr To Tro met AT r =---- en AT ro =---, ETo is de drempelwaarde bij kamertemperatuur To. Voor Le qebruikte men in het betreffende artikel [29] formule 3.7: L e = _Cl_6-blf E-E r (3.7) 31

32 Wanneer formule 3.7 beschouwd wordt als de electrische levensduur bij kamertemperatuur moet de drempel volgens formule 4.9 aangegeven worden met ETo. Dus: e-bb L = (1- - II E-E ro (4.10) Bovenstaande relatie 4.10 heeft men nog iets aangepast. Men gaat er namelijk van uit dat voor tests met korte tijden de drempel nauwelijks invloed heeft, omdat in dit geval de electrische veldsterkten meestal groot zijn (veel groter dan veldsterkten die nooit veroudering veroorzaken). Men neemt aan dat voor L=to de waarde van de breakdown veldsterkte E B volgens formule 4.10 hetzelfde is als volgens het eenvoudige exponentiele model (formule 3.5). Dus: Hieruit voigt: Uiteindelijk kan men dan formule 4.10 aanpassen tot: (4.11) Voor de tweedimensionale levensduurkromme krijgt men dan de volgende uitdrukking: 32

33 e (-B-.iT-bB+bE-.i7? L = Lo (E-E T ) (ES-E TO ) waarbij voor de thermische levensduur Lt de Arheniusrelatie is qenomen. Voor E T in bovenstaande formule geldt vergelijking 4.9. Door deze verqelijking in te vullen ontstaat de volgende formule: (4.12 ) Wanneer men nu probeert middels E=O de levensduur voor aileen thermische veroudering te vinden dan krijgt men een uitdrukking waarin E B en ETo voorkomen. Dit komt door de extra veronderstelling voor de electrische levensduur (formule 4.11) dat de short-time karakteristieken gelijk blijven bij de afwezigheid van een drempel. Wanneer nu het model symmetrisch moet zijn voor E en T moet er een soortgelijke veronderstelling gedaan worden voor de thermische levensduur. Dus wanneer de temperatuur naar oneindig gaat (resulterend in een erg korte levensduur) moet het Arrhenius model en het nieuwe model (formule 4.10) dezelfde levensduur qeven. Dus er moet gelden: 33

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

Willem van Ravenstein 2007

Willem van Ravenstein 2007 Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e!

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e! Case 1 en Simulink 1. Diodefactor bepalen Om de diodefactor te berekenen werden eerst een aantal metingen gedaan met het zonnepaneel en de DC- motor. Er werd een kring gemaakt met het zonnepaneel en een

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Het tablet is om vele redenen een populaire toedieningsvorm van geneesmiddelen. Het gebruikersgemak en het gemak waarmee ze grootschalig kunnen worden geproduceerd zijn slechts twee van de

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s O p le i d i n g: M a s t e r P u b l i c M a n a g e m e n

Nadere informatie

ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO

ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO ZUUR-BASE BUFFERS Samenvatting voor het VWO versie december 2014 INHOUDSOPGAVE 1. Vooraf 2. Wat is een buffer? 3. Hoe werkt een buffer? 4. Geconjugeerd zuur/base-paar 5. De ph van een buffer De volgende

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur EINDEXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELIJK ONDERWIJS IN 1977 Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Tijdens dit tentamen is het gebruik van het studieboek van Feynman toegestaan, en zelfs noodzakelijk. Een formuleblad is bijgevoegd. Ander studiemateriaal

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Theorie Stroomtransformatoren. Tjepco Vrieswijk Hamermolen Ugchelen, 22 november 2011

Theorie Stroomtransformatoren. Tjepco Vrieswijk Hamermolen Ugchelen, 22 november 2011 Theorie Stroomtransformatoren Tjepco Vrieswijk Hamermolen Ugchelen, 22 november 2011 Theorie Stroomtransformatoren 22 november 2011 Onderwerpen: - Theorie stroomtransformatoren - Vervangingsschema CT -

Nadere informatie

Stochastische loadflow

Stochastische loadflow Stochastische loadflow 7-43 pmo 6 november 27 Phase to Phase BV Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arnhem T: 26 352 37 F: 26 352 379 www.phasetophase.nl 2 7-43 pmo Phase to Phase BV, Arnhem, Nederland. Alle

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur natuurkunde 1,2 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 1 tot en met 17. In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

SEMESTER 1, BLOK B SIMULATIE

SEMESTER 1, BLOK B SIMULATIE INLEIDING In deze workshop gaan we met behulp van Excel een simulatie uitvoeren die betrekking heeft op chemische omzettingen en het schoonspoelen van een reactorsysteem. We bekijken dan wat er gebeurt

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2007-I Restzetels Op 2 maart 1994 vonden er in Nederland gemeenteraadsverkiezingen plaats. In de gemeente Enschede werden 67 787 stemmen uitgebracht. De verkiezingsuitslag is weergegeven in tabel 1. In de tweede

Nadere informatie

BUFFEROPLOSSINGEN. Inleiding

BUFFEROPLOSSINGEN. Inleiding BUFFEROPLOSSINGEN Inleiding Zowel in de analytische chemie als in de biochemie is het van belang de ph van een oplossing te regelen. Denk bijvoorbeeld aan een complexometrische titratie met behulp van

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275 Open Inhoud Universiteit Appendix B Wiskunde voor milieuwetenschappen Werken met eenheden Introductie 275 Leerkern 275 1 Grootheden en eenheden 275 2 SI-eenhedenstelsel 275 3 Tekenen en grafieken 276 4

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W +

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + D o e l m a t i g h e i d s t o e t s v o o r g e b i e d e n w a a r v o o r g e e n b o d e m b e h e e r p l a n i s v a s t g e s

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch

Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch Naam: Klas: Practicum soortelijke warmte van water Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch Doel van de proef Het bepalen van de soortelijke warmte van water

Nadere informatie

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef.

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef. Practicum 1: Meetonzekerheid in slingertijd Practicum uitgevoerd door: R.H.M. Willems Hoe nauwkeurig is een meting? Onderzoeksvragen Hoe groot is de slingertijd van een 70 cm lange slinger? Waardoor wordt

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN HERTENTAMEN FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN Vakcode: 435084 Docent: dr. J.N.M. Commandeur Datum: 27 augustus 2008 Tijd: 12-14 uur Zaal: S.111 Aantal vragen: 5 Zet op elk vel (incl. millimeterpapier)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Maken van een practicumverslag

Maken van een practicumverslag Natuur-Scheikunde vaardigheden Maken van een practicumverslag Format Maken van een tabel met word 2010 2 Havo- VWO H. Aelmans SG Groenewald Maken van een diagram Inleiding. Een verslag van een practicum

Nadere informatie

Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst?

Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst? Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst? Milieu is een hot topic. En terecht. Het is nu dat er moet gediscussieerd worden om onze huidige levenskwaliteit

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Alternator 1. De functie van de wisselstroomgenerator of de alternator 2. De werking/ basisprincipe van de wisselstroomgenerator

Alternator 1. De functie van de wisselstroomgenerator of de alternator 2. De werking/ basisprincipe van de wisselstroomgenerator Alternator In dit hoofdstuk zal ik het vooral hebben over de functie is van de alternator in de wagen. En hoe het basisprincipe is van deze generator. 1. De functie van de wisselstroomgenerator of de alternator

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die

Nadere informatie

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN

FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN TENTAMEN FARMACOKINETIEK EN ADME-PROCESSEN Vakcode: 435084 Docent: dr. J.N.M. Commandeur Datum: 25 juni 2010 Tijd: 12-14 uur Zaal: Q.105 Zet op elk vel (incl. millimeterpapier) je naam en studentnummer

Nadere informatie

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN 4 Soorten berekeningen 12 AUGUSTUS 2013 IR. PAUL DURLINGER Durlinger Consultancy Management Summary In dit paper worden vier methoden behandeld om veiligheidsvoorraden te

Nadere informatie

Zoutafleiding Bijlage bij de RWS Standaard

Zoutafleiding Bijlage bij de RWS Standaard Zoutafleiding Bijlage bij de RWS Standaard In opdracht van: Project: Ministerie van Verkeer Waterstaat Directoraat-Geraal Rijkswaterstaat Rijkswaterstaat Meetnet Infrastructuur (RMI) Versie: 1.0 November

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 1 tot en met 12. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer niet wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 1 tot en met 12. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer niet wordt gebruikt. Examen VWO 2007 tijdvak 1 vrijdag 1 juni totale examentijd 3,5 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 1 tot en met 12 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer niet wordt gebruikt. Bij dit

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Eenvoud bij tekenen en rekenen

Eenvoud bij tekenen en rekenen Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b

Nadere informatie

3 Veranderende krachten

3 Veranderende krachten 3 Veranderende krachten B Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics NLT-module Het lesmateriaal bij deze paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Modellen VWO. Wat gaan

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

SOFTWARE RELIABILITY

SOFTWARE RELIABILITY SOFTWARE RELIABILITY 1. Inleiding Het software-bedrijf MathWorks ontwikkelt wiskundige software voor bedrijven en overheidsinstellingen. Op dit moment is de software voor het statistische pakket StatWorks

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde C vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde C vwo 2011 - I Autobanden De meeste personenauto s hebben 4 banden. Als een auto 1160 kg zwaar is, moet elke band 290 kg dragen. Van een auto die bijvoorbeeld 1800 kg zwaar is, moet elke band 450 kg dragen. Een zwaardere

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

XIII. Samenvatting. Samenvatting

XIII. Samenvatting. Samenvatting XIII In dit werk wordt de invloed van dimethyldisulfide (DMDS) en van zeven potentiële additieven op het stoomkraken van n-hexaan onderzocht aan de hand van experimenten in een continu volkomen gemengde

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

SDWT verlichtingsinstallatie met conventionele voorschakelunit

SDWT verlichtingsinstallatie met conventionele voorschakelunit Onderhoudsprotocol SDWT verlichtingsinstallatie met conventionele voorschakelunit the shop lighting company Onderhoudsprotocol SDWT KVG juni 2013 1 Naast het schoonmaken van reflectoren en beschermingsglazen

Nadere informatie

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding Waterweerstand 1 Inleiding Een bewegend vaartuig ondervindt altijd weerstand van het langsstromende water: het water oefent een wrijvingskracht uit

Nadere informatie

oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1.

oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1. Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1. Elektrisch veld In de vacuüm gepompte beeldbuis van een TV staan twee evenwijdige vlakke metalen platen

Nadere informatie

io ATerinzagelegging 7906913

io ATerinzagelegging 7906913 Octrooiraad io ATerinzagelegging 7906913 Nederland @ NL @ fj) @ @ Werkwijze en inrichting voor het tot stand brengen van een ionenstroom. Int.CI 3.: H01J37/30, H01L21/425. Aanvrager: Nederlandse Centrale

Nadere informatie

Samenvatting in het nederlands

Samenvatting in het nederlands Samenvatting in het nederlands Wat voorkennis Stel dat van een oppervlak in de ruimte een golffront komt - het kan om licht gaan, of om geluid. Is het oppervlak een ellipsoide en breidt de golf zich uit

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

. Vermeld je naam op elke pagina.

. Vermeld je naam op elke pagina. Tentamen: Elektriciteit en Magnetisme Docent: J. F. J. van den Brand R. J. Wijngaarden Datum: 30 Mei 2006 Zaal: Q112/M143 Tijd: 15:15-18.00 uur. Vermeld je naam op elke pagina.. Vermeld je collegenummer..

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2

Examen VWO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit Hoofdstuk 2 Elektrostatica Doelstellingen 1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit 2.1 Het elektrisch

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

Meten aan E+PV installaties

Meten aan E+PV installaties Meten aan E+PV installaties Hoe en waarom meten aan E+PV installaties? KWx BV - 2013 1 #zonnepanelen trending topic KWx BV - 2013 2 #zonnepanelen trending topic KWx BV - 2013 3 Zonnestroom is elektrotechniek!

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2005-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2005-I Eindexamen natuurkunde - vwo 005-I 4 Beoordelingsmodel Opgave Schommelboot uitkomst: m De slingertijd T,67, s. Dit ingevuld in de slingerformule T 7,. 9,8 Hieruit volgt: m. levert g gebruik van slingerformule

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I Eindexamen vwo natuurkunde pilot 0 - I Opgave Lichtpracticum maximumscore De buis is aan beide kanten afgesloten om licht van buitenaf te voorkomen. maximumscore 4 De weerstanden verhouden zich als de

Nadere informatie