diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten )

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten )"

Transcriptie

1 diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten ) G.A.L. Delvigne en M. Karelse verslag literatuuronderzoek R895-2 Inni 11111, 11! _ AIIu ~1~11' 'IIIM ' 'MIIISCIIIIP, IIIMF december 1978 lig ri toegepast onderzoek waterstaat

2 INHOUD Lijst van symbolen Lijst van tabellen Lijst van figuren blz. 1 Inleiding ! Aanleiding onderzoek., Opdracht f 1.3 Indeling rapport Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding Algemeen Moleculaire diffusie en convectie , Turbulente diffusie en convectie Dispersie en advectie , , Menging Basisvergelijkingen....., Turbulente stromingen g Tweedimensionale beschouwingen, : , Vertikaal vlak 11 stroomrichting , Twee horizontale dimensies , Turbulente stroming in pijpen , Eendimensionale beschrijvingswijze Quasi.-stationaire beschrijvingswijze Moleculaire dif fusie , Turbulente diffusie Algemeen Turbulente viskositeit * Turbulente stof- of warmtediffusie in een richting J- wandi Tangentiële massa-/warmtediffusie in pijpen , Stationaire vrije turbulente stromingen

3 INHOUD (vervolg) 6,.,Dwarsdispersie , Dwarsdiffusie in tweedimensionale gesloten leidingen of 30 open kanalen , Dwarsdispersie in stationaire kanaal- pf rivierstroming Dwarsdispersie in getijstroming , blz. 7 Eendimensionale dispersie ,...., Eêndimensionale dispersire in stationaire stromen.., : Analytische berekening van dispersie Experimenteel bepaalde dispersie..., Tweedimensionale stroming......, Driedimensionale stroming ,..,.., , Dispersie in getijstromingen, *.....,...., Dispersie in homogene oscillerende stromingen Dispersie in niet-homogene, smalle estuaria Vlekdiffusie in estuaria en zeeën......, ,1. Algemene beschouwing Estuaria Zeeën , Vlekdiffusie Wet van Fi.ck, ltichardson's 4/3 wet, principe van Kolmogorov ;.. ' Verband tussen diffusie en variantie Variantie van een rotatiesymmetrisch systeem Variantie van een niet-rotatiesymmetrisch systeem Variantie en diffusiekoëfficiënt in een turbulent diffusief systee ,...~ Variantie en diffusiekoëfficiënt in een dispersief systeem Empirische bepaling van de diffusiekoëfficiënt voor absolute en relatieve diffusie Tweedimensionale, radiaalsymmetrische diffusie., Driedimensionale diffusie , Experimenten Numerieke en hydraulische diffusiemodellen., Numerieke modellen

4 . INHOUD (vervolg) Inleiding * blz, 84 ' Eéndimensionaal (x) model :.., Tweedimensionaal (xy) model Tweedimensionaal (xz) model Driedimensionaal (xyz) model., ', Hydraulische modellen, Menging door wind- en go lven....,.,...* , Turbulente diffusiekoëfficiënt, dis ersiekoëfficiënt....., Dispersiekoëffici9nt in formulevortit,.. : :.,...,.., Dispersiekoëffici9nt in getalvorm Goten, kanalen, rivieren Longitudinale dispersiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt ,....,...,.....,., Vertikale dispersiekoëfficiënt,.....,.,., Getijrivieren, estuaria, zandzeeën ,1 Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt Vertikale diffusiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt , Zeeën, meren Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt ,., Vertikale diffusiekoëfficiënt Enige opmerkingen- over diffusie in gelaagde systemen...., Samenvatting en konklusies , Referenties 128 Tabellen 151 Figuren

5 Lijst van symbolen A oppervlakte van een dwarsdoorsnede m2 b,b breedte m c,c koncentratie, gemiddeld over turbulente tijdschaal variabel C Chézy-koëfficiënt m i 2/S D energiedissipatiesnelheid m2/s3 e,ex,ey,ez dispersiekoëfficiënt, in x-, y- en z-richting m2 /s exy horizontale dispersiekoëfficiënt e xy(r) horizontale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd over de z-richting 2 m /s ex(y,z),etc. longitudinale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd over de dwarsdoorsnede, etc. koncentratietransport m2/s g versnelling van de zwaartekracht MIS 2 h (water)diepte m hr diepteverhouding model en prototype k wrijvingskoëfficiënt - 1,1x,1y,1 z mengweglengte, x-, y- en z-richting lengteverhouding lr model en prototype - L karakteristieke lengtemaat variabel n L P,P P d Pr Pr t Q, R Re Ri Sc Set t t 1 T T TL u. z horizontale schaalfaktor druk, gemiddeld over turbulente tijdschaal N/m 2 diffusiesnelheid MIS Prandtl-getal turbulent Prandtl-getal - debiet of momentane hoeveelheid m 3, /s, kg radiale koprdinaat straal Reynoldsgetal Richardsongetal Schmidtgetal - turbulent Schmidtgetal - tijdvariabele dispersie tijdschaal s karakteristieke tijd 5 temperatuur ok,oc lagrange tijdschaal s snelheidskomponenten u, v, w m/s

6 Lijst van symbolen (vervolg) u schuifspanningssnelheid m/s windsnelheid Uw u,v,w, stroomsnelheid in x--, y- en z-richting MIS U,V,W, stroomsnelheid,gemiddeld over turbulente tijdschaal in x-, y- en z-richting x horizontale (longitudinale) koórdinaat m y horizontale (dwars)koórdinaat m. : z vertikale koórdinaat m S vertikale schaalfaktor turbulente e,em massadiffusiekoëfficiënt m/s m2 /s schijnbare e diffusiekoëfficiënt a m2 /s turbulente eu impulsdiffusiekoëfficiënt (eddy viscosity) e x,y,z turbulente diffusiekoëfficiënt in x-, y- en z- richting m2/s exy horizontale turbulente diffusiekoëfficiënt m2 /s r, dynamische viskositeir Ns/m2 hoekkoórdinaat rc konstante van Von Kárman (n 0,4) kinematische vu viskositeit (moleculaire impulsdiffusiekoëfficiënt) moleculaire vh warmtediffusiekoëfficiënt moleculaire vm (massa)diffusiekoëfficiënt p dichtheid 62 standaarddeviatie (voor de koncentratie) van Qr een diffunderende vlek horizontale variantie voor hek systeem rotatiesymmetrisch csx,6y,6z variantie in de richting, van x-, y- en z--koórdinaat u2 m2. xy x y rad m2 /s m2 /s m2 /s kg/m3 schuifspanning NIM2 2 Coriolisparameter s -l. m 2 m 2.

7 Lijst van symbolen (vervolg) t tijdsmiddeling (zodanig dat turbulente fluktuaties verdwenen zijn) ruimtelijke middeling (over één of meer ruimtelijke koórdinaten) óf middeling over getijperiode turbulente deel van de beschouwde grootheid tijdsmiddeling over de getijperiode

8 Lijst van tabellen 4.1 Moleculaire diffusiekoëffieiënten voor water Moleculaire diffusiekoéfficiënten voor lucht Turbulente viskositeiten e u iturbulente diffusiekoëfficignten loodrecht op de wand Turbulente diffusiekoëfficiënten in richting // wand Turbulent Prandtl- of Schmidtgetal Dwarsdispersiekoëfficiënten in leidingen en goten Dwarsdispersiekoëfficiënten in modellen Dwarsdispersiekoëfficiënten in rivieren Dwarsdispersiekoëfficiënten in kanalen en rivieren Experimentele gegevens over de déndimensionale dispersie in open kanalen Experimentele waarden van ex(yz) in de Missouri Berekende en waargenomen horizontale dispersiekoëfficiënten blz. voor enkele Amerikaanse rivieren en estuaria Horizontale dispersiekóëfficiënten voor enkele Amerikaanse estuaria "Overall" horizontale dispersiekoëfficiënten voor enkele. Britse estuaria en randzeeën Experimentele vertikale diffusiekoéfficiënten in estuaria en randzeeën Experimentele vertikale diffusiekoëfficiënten in zeeën en meren 121

9 Lijs t van -figuren 4.1 Variatie dynamische viskositeit van water met zoutko'ncentratie en temperatuur 5.1 Schematisch verloop turbulente schuifspanning en totale schuifspanning 5.2 Vergelijking van uitdrukkingen voor em 5.3 Re-invloed op de turbulente viskositeit 5.4 Turbulente viskositeit, vergelijking theorie en experiment 5.5 Variatie van-.het turbulente Prandtl-getal volgens Jenkins (1952) 5.6 Variatie van het turbulente Prandtl-getal volgens Azer en Chao (1960) 5.7 Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal 5.8 Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal volgens metingen van Quarmby (1969 en 1972) 5.9 Variatie van turbulent Prandtl-getal uit metingen. van Abbrecht, Sleicher en Page 5.10 Variatie van turbulent Prandtl- en Schmidtgetal, als funktie van Pr- en Sc-getal 5.11 Variatie van de massadiffusie met afstand tot de bodem in de open kanaalstroming 5.12 Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie(voor lucht) 5.13 Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie bij verschillende waarden van Pr of Se 5.14 Verdeling van schuifspanning en turbulente viskositeit in een vlakke zogstroom 5.15 Verdeling van turbulente viskositeit in een ronde straal 5.16 Variatie van het Prt -getal in een ronde straal 6.1 Variatie van de dwarsdiffusie in een open kanaalstroming als funktie van de afstand tot de bodem 6.2 Variatie van de dwarsdiffusiekoëffici~nt met de breedte/diepteverhouding in een open kanaalstroming 6.3 Variatie van de dwarsdiffusiekogfficiënt als funktie van de kanaalruwheid 6.4 Variatie van é met de ruwheid ṁpih11/4 Y B u'h \ Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt in meanderende stromen 6.6 Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie

10 Lijst van figuren (vervolg) 6.7 Variatie van de getijgemiddelde dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie 7.1 Toelichting ééndimensionale dispersie 7.2 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Holley e.a. 7.3 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Taylor III 7.4 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt met T/Tz 7.5 Toename van de dispersiekoëfficiënt ten gevolge van gravitatie~ cirkulatie met toenemende Richardsongetal 7.6 Korrelatie tussen de dispersieparameters en mate van gelaagdheid 8.1 Rhodamineverdeling 7 uur na lozing in het Fal-estuarium (U.K.) 8.2 Dispersiekoëfficiënten voor het Tees-estuarium (U.K.) als funktie van de longitudinale x-koórdinaat 8.3 a. Vlek 270 uur na puntlozing in centrale Noordzee b. Vlek 6,5 uur na puntlozing bij Suffolk kust 8.4 Lijnen van gelijke koncentratie bij een momentlozingsexperiment 8.5 Vertikaal koncentratieprofiel op 1400 en 4350 m afstand van een kontinue bron in een stromend medium 8.6 Aanpassing van diverse diffusievergelijkingen met experimentele RHENO-resultaten ; waarnemingen na 5, 11 en 19 dagen van diffusie 8.7 Empirische diffusiekoëfficiënt voor het RHENO-experiment 8.8 Horizontale dispersiekoëfficiënten versus diffusieschaal 8.9 Horizontale diffusiekoëfficiënten vergeleken met e ti L4/3-curve 8.10 Variantie Q2 versus diffusietijd vergeleken met G2 % t3-relatie oxy - t (variantie versus diffusietijd)-waarnemingen bij momentlozingen in zeeën, kustwateren en estuaria 8.12 Relatieve maximale koncentratie versus diffusietijd voor momentpuntlozingen in de Noordzee 9.1 Longitudinale koncentratieverdeling voor het Tees-estuarium, berekend volgens een- en tweedimensionaal model 10.1 Vertikaal wind- en waterstromingsprofiel (schematisch) 10.2 Door wind gegenereerde stroming als funktie van de waterdiepte 10.3 Ontwikkeling gemiddelde stroomsnelheid in de tijd, veroorzaakt door wind

11 Lijst van figuren (vervolg) 10.4 Horizontale diffusiekoëfficiënt 6x in voortplantingsrichting van golven in veld met brekende golven, versus Hb xb /T 10.5 Ontwikkeling in de tijd van door wind geinduceerde stroming 11.1 Longitudinale verspreiding door getij-invloeden in een systeem met "oeverkommen" 11.2 a. Overzicht Tay-estuarium met meetstations b. Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus zoetwaterafvoer c. Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus afstand tot monding 11.3 Gevoeligheidstest van diffusiekoëfficiënt op koncentratieverloop in een getijrivier 11.4 Longitudinale dispersiekoëfficiënt gedurende een getijperiode in een estuarium, berekend volgens vergelijking 11, Metingen en berekeningen van het koncentratieverloop bij een kontinue lozing in een getij-estuarium 11.6 Horizontale diffusiesnelheid als funktie van de vertikale stromingsstruktuur 11.7 Vertikale diffusiekoëfficiënt E z als funktie van U2N- w ; waarnemingen in kustwateren 11.8 Dwarsdiffusiekoëfficiënt als funktie van de diffusieschaal, gemeten uit de pluimverbreding bij een kontinue lozing in stromend kustwater 12.1 Schema circulatiestroming in tweedimensionaal estuarium met dichtheidsgradiënt

12 1 Inleiding 1.1 Aanleiding onderzoek Ter beschrijving van de snelheids-, koncentratie- of temperatuurverdeling in een medium (gas of vloeistof) als funktie van de plaats en de tijd is het noodzakelijk om het transport van impuls, materie of warmte in het medium te kennen. Het transport van een fysische eigenschap impuls, koncentratie of warmtekoncentratie ( : : temperatuur)] wordt onderscheiden in twee typen, die komplementair zijn dat wil zeggen de som van beide typen transport in een bepaalde richting is gelijk aan het totale transport in de beschouwde richting : convectie~type -transport, dat gericht is volgens de stroomrichting en. waarvan de grootte per eenheid van een loodrecht op de stroomrichting staand vlak gelijk is aan het produkt van de stroomsnelheid en de fysische eigenschap in het beschouwde punt. Het mechanisme van dit type transport is de meevoering van de fysische eigenschap met het bewegende medium. diffusie type- transport, dat bepaald wordt door de grootte en richting van de (plaats)gradignt in de fysische eigenschap. Als er een gradiënt in de fysische eigenschap aanwezig is wordt dit transport als enige transport waargenomen door een met het medium meebewegende waarnemer. De evenredigheidskonstante tussen dit zogenaamde diffusieve transport en de gradiënt is de diffusiekoëfficiënt. Bij impulsoverdracht wordt veelal van viskositeit gesproken. De kontinuiteitsvergelijking, de bewegingsvergelijking(en) en de balansvergelijking voor de beschouwde stof of voor warmte vormen een gesloten stelsel vergelijkingen, indien voor de diffusieve transporten de grootte van de kogfficignten gegeven zijn. Dit betekent dat in dat geval de snelheids- en koncentratie- of temperatuurverdeling te berekenen zijn als ook de rand- en beginkondities gegeven zijn. Er is veel literatuur over diffusiemechanismen en over de grootte van de diffusiekoëfficiënten in verschillende stroomsituaties beschikbaar. 1.2 Opdracht In het kader van het TOW-onderzoek stromen en transportverschijnselen werd

13 door de Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging van Rijkswaterstaat opdracht gegeven tot het uitvoeren van een literatuurstudie.naar de diffusieen dispersiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, getijrivieren en randzeeën. De studie zou zich in hoofdzaak beperken tot stromen zonder dichtheidsverschillen. Deze studie werd uitgevoerd door twee personen. Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren en smalle estuaria behandeld werd geschreven door drs. M. Karelse. Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in brede estuaria en Delvigne. randzeeën behandelt werd geschreven door dr. G.A.L. 1.3 Indeling rapport Het rapport kan globaal in drie delen gesplitst worden. In het eerste deel worden de voor de verspreiding van een fysische eigenschap belangrijke begrippen behandeld (hfdst. 2) en wordt de wiskundige beschrijvingswijze van turbulente stromen gegeven (hfdst. 3), In het tweede deel (hfdst. 4 t/m 10) wordt nader ingegaan op de beschrijving van diffusiemechanismen en wordt de grootte van de diffusiekoëfficiënten, zoals die volgt uit de theorie en experimenten, gegeven. De grootte van de moleculaire diffusiekoëfficiënten voor lucht en water wordt in hoofdstuk 4 gegeven. De turbulente diffusie kanalen komt in hoofdstuk 5 aan behandeld die samenhangt met de in pijpen, gesloten leidingen en in open de orde. In hoofdstuk b wordt dwarsdispersie tweedimensionale schematisatie. In hoofdstuk, 7 wordt de ééndimensionale schematisatie van diverse stromingen als uitgangspunt genomen om de verspreiding van warmte of stof te beschrijven. In hoofdstuk 8 komt de "vlek"diffusie aan bod, waarbij meer speciaal aan diffusie op zee wordt gedacht. De invloed door wind en golven op de diffusie wordt behandeld in hoofdstuk 9. Hoofdstuk 10 is gewijd aan diffusieproblemen in hydraulische modellen. In het laatste deel van dit rapport wordt een opsomming gegeven van de theoretische en experimenteel bepaalde waarden van de diffusiekoëfficiënten in diverse omstandigheden (hfdst. 11), wordt het onderzoek samengevat en worden de belangrijkste konklusies op een zij gezet (hfdst 13).

14 2 Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding 2.1 Algemeen Wordt door middel van een momentlozing een hoeveelheid kleurstof (tracer) aan een ontvangend watersysteem toegevoegd binnen een beperkt gebied van het totale watervolume, dan zal door diverse oorzaken de kleurstofvlek veranderingen in de tijd ondergaan. De veranderingen van de vlek en zijn positie kunnen gesplitst worden in toeneming van de omvang, vervorming en verplaatsing. Diverse transportverschijnselen als diffusie en convectie zijn verantwoordelijk voor deze veranderingen. In het hiernavolgende zullen deze transportverschijnselen nader aan de orde komen. Opmerking In de literatuur worden de begrippen (turbulente) diffusie, dispersie, advec- tie en convectie niet altijd op gelijke wijze gebruikt. De betekenissen die er in dit rapport aan worden gehecht, zullen in de komende paragrafen nog nader aangeduid worden. Reeds nu zij opgemerkt dat in dit rapport de begrippen moleculaire diffusie, turbulente diffusie en dispersie een duidelijke betekenis hebben, terwijl het in de literatuur vaak verschillend behandelde begrip diffusie in dit rapport op alle drie termen kan slaan en synoniem kan worden gesteld aan verspreiding. 2.2 Moleculaire diffusie en convectie De stroming van vloeistoffen of gassen kan zeer regelmatig zijn ; de vloeistofof gaspakketjes volgen dan banen evenwijdig aan de stroomrichting (laminaire stromin). Het transport van met de stroom meegevoerde deeltjes is gelijk uraan het convectieve transport. Daarnaast kunnen er diffusieve transporten optreden tengevolge van de moleculaire warmtebeweging : diffusieve stofstroom indien er een koncentratiegradiënt aanwezig is, diffusie van warmte in een temperatuurgradiënt en diffusieve impulsstroom in een snelheidsgradiënt. In niet-stromende media is dit moleculaire diffusieve transport het enige transport mechanisme. In hoofdstuk 4 wordt de moleculaire diffusie uitvoeriger behandeld.

15 2.3 Turbulente diffusie en convectie Het turbulente deel van stromingen bestaat uit die stromingen die in de tijd onregelmatig zijn in richting en in snelheid, terwijl ze gemiddeld over een zekere tijd (langer dan de "turbulentietijd") nul zijn. Het transport tengevolge van deze stromingen wordt het turbulent diffusief transport genoemd. Onder convectie wordt verstaan de (lokale) meevoering in de stroomrichting, waarbij ervan uitgegaan wordt dat er een zekere tijdgemiddelde (gemiddeld over de turbulentietijd) stroomrichting te definiëren is. De turbulente beweging van de waterdeeltjes kan men opgebouwd denken uit wervelbewegingen. (Denk hierbij aan de wijze waarop in de Fourier-analyse een golfbeweging wordt samengesteld uit sinusfunkties met verschillende frekwenties en amplitudes). De afmetingen van deze turbulente wervels kunnen lopen van grootte-orde 1 mm tot een zekere markante afmeting van het systeem (denk aan Prandtl-mengweglengte). De "levensduur" van een wervel is ten hoogste de turbulentietijd : de bewegingsrichtingen en snelheden van een deeltje op twee tijdstippen, langer dan de turbulentietijd van elkaar verwijderd, is ongekorreleerd. Of een transport als turbulent diffusie of convectie wordt beschouwd, hangt niet alleen af van de "werkelijke" aard van de stroming, maar zal vaak afhankelijk zijn van het diffusie-experiment zelf en van de beschrijvingswijze die men kiest. Een zeer grote turbulente wervel zal bij de beschrijving van diffusie op veel kleinere schalen als een convectieve stroming tot uiting komen, daar noch de grootte, noch de vorm van de vlek door deze wervel belangrijk gewijzigd wordt. Grootschalige wervels veroorzaken slechts een verplaatsing van een vlek of een meanderend effekt van een pluim. Ook qua definitie is geen scherp onderscheid te maken tussen turbulente en convectieve transporten, zeker niet bij anisotrope turbulentie. In estuaria en randzeeën laat de altijd nabije aanwezigheid van oppervlak, bodem en wanden principieel geen random-richting van stromingen toe. Zowel de dempende invloed van een grensvlak, als de genererende eigenschappen (bijv. stromingen veroorzaakt door de wind via het wateroppervlak) zijn altijd richtingsgevoelig. Volkomen isotrope turbulentie komt dus, in een bepaalde grootteklasse van de wervels, alleen voor in een systeem met neutrale gelaagdheid op grote afstand (groot ten opzichte van karakteristieke wervelafmeting) van grensvlakken. Dit geldt bijvoorbeeld zowel voor de volgens het turbulentiespektrum regulier aanwezige, maar anisotrope turbulentie vlak bij het wateroppervlak, maar ook voor de van

16 - 5 buiten ingebrachte stromingen door golven. Hier is de orbitaalbeweging zeker geen turbulentie, maar zou onder de convectieve waterbeweging moeten vallen. Bij de beschrijving van diffusie op grotere schaal (groter dan de golflengte van de oppervlaktegolven) is het echter handiger deze waterbeweging bij turbulentie onder te brengen. Het resultaat is dan wel dat de turbulentiegraad plaatsafhankelijk en anisotroop is. Turbulentie kenmerkt zich door fluktuerende waarden van c en ui (i duidt richting aan) om over een zekere zogenaamde turbulente tijdschaal gemiddelde waarde Ct en U t zodat op tijdstip t geldt : waarbij overigens zowel Ct en Ut als c' en ui plaats en tijdsafhankelijk kunnen zijn (getijbeweging). Het convectieve transport wordt gedefinieerd door : Fconv = Ut Ct (2.2) dit is een lokale grootheid. Het turbulent diffusieve transport wordt gedefinieerd als : Fturb,i ' u rt (2.3) (-t : gemiddeld over turbulentietijdschaal). 2.4 Dispersie en advectie Van de begrippen convectie, advectie, turbulente diffusie en dispersie hebben slechts turbulente diffusie en convectie een duidelijke fysische betekenis. Daarentegen komen de begrippen advectie en dispersie te voorschijn uit een wiskundige middeling van grootheden. Convectie en turbulente diffusie hebben te maken met lokale waarden van snelheid en koncentratie, en leiden derhalve tot lokale transporten. Ruimtelijke middeling over één of meer ko3rdinaten van de snelheid en de koncentratie leidt tot het advectieve transport :

17 Fadv = U C (2.4) waarbij boven een grootheid de middeling over één of meer ruimtelijke koórdina(a)t(en) aanduidt. voor dispersie is middeling over tenminste één ruimtekoórdinaat noodzakelijk. Het begrip leidt, evenals advectie bij vereenvoudiging van een driedimensionaal systeem tot een twee- of ééndimensionaal systeem. Het dispersieve transport wordt in dit rapport gedefinieerd als : Fdisp U C - U C + Fturb (2.5) Het totale transport is nu Ftot - U C + F disp - U C + Fturb (2.b) Fadv + Fdisp Opmerking Uit vergelijking (2.5) blijkt dat Fdisp - Fturb als U en/of C homogeen verdeeld is over de integratiekoërdinaat. 2.5 Menging Werkelijke menging wordt slechts veroorzaakt door moleculaire diffusie. Convectie en turbulente diffusie zorgen slechts voor een verspreiding van de beschouwde stof over een groter volume, zodat de koncentratie gemiddeld over het vergrote volume daalt. Deze koneentratievermindering is dus evengoed mogelijk bij niet-mengbare vloeistoffen. Op zeer kleine schaal blijven ook na turbulente beweging koncentratiegradiënten bestaan, daar de kleinste turbulentieklasse (waar de energie tengevolge van viskeuze krachten gedissipeerd wordt) van de orde van millimeters is. Op kleinere schaai zorgt de moleculaire diffusie (en voor colloidale oplossingen de Brownse beweging) voor een homogene verdeling van de koncentratie. Aansluitend aan het normale woordgebruik zal evenwel de koncentratiegradiëntvermindering door turbulente diffusie ook als menging worden aangeduid.

18 3 Wiskundige formulering van turbulente- stromingen 3.1 Basisvergelij kingen De beschrijving van een turbulente stroming berust op de Navier-Stokesvergelijkingen. In deze literatuurstudie wordt de vloeistof als een inkompressibel, kontinu medium beschreven. Mikroskopische invloeden worden daartoe verwerkt in moleculaire diffusiekoëfficiënten. Behalve de zwaartekracht worden geen andere uitwendige krachten in beschouwing genomen. uitgaande van een koórdinatensysteem x, y, z met een vertikaal omhooggerichte z-as worden de balansvergelijkingen voor de impuls bij konstante dichtheid p : au + a 2 (U ) + a (uv ) + a (uw) } 1 alp + v a 2u + a u + a2u az at a ay pax u az2 ax 2 ay2 _av _a(uv) av2 3(vw) _1 a a2v a 2v _v 82 at + ax + ay *az +py+vu ax2+ a y 2+ a z2 O (3.2) _aw + a(uw) + a(vw) + a(w2 ) + ~. + + a 2w a2w a2w at ax ay az p az g vu ax 2 + ay2 + az2 - (3.3) Deze vergelijkingen gelden momentaan voor tijden < turbulentietijd. De kontinulteitsvergelijking voor een niet-samendrukbare vloeistof luidt áx + av+ á~ =o y (3.4) Hierin zijn u, v, w snelheidskomponenten in x-, y- en z-richting t p g tijd druk gravitatieversnelling v kinematische viskositeit. u De termen met vu zijn op te vatten als de moleculaire impulstransporttermen met vu als impulsdiffusiekoëfficiënt (zie hfdst. 4). Voor de hoeveelheid opgeloste stof geldt een balansvergelijking van de vorm ac + a(uc) + a(vc) + a(wc) - v -WC at ax ay am [a"c X_2 yc + a 2c + aic a Z2 (3.S)

19 waarin c koncentratie, hoeveelheid opgeloste stof of warmte per volume-eenheid moleculaire vm diffusiekoëfficiënt voor opgeloste stof (index m) of warmte (index h). Indien de moleculaire diffusiekoëfficiënten vu en vm (of vh) bekend zijn (stof konstanten), is er sprake van een gesloten stelsel van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden (u, v, w, p en c). Enkele empirische bepaalde waarden van deze koëfficiënten zijn gegeven in hoofdstuk 4. In een laminaire stroming is, indien de begin- en randkondities bekend zijn, net stelselvergelijking oplosbaar. 3.2 Turbulente stromi ngen In de praktijk van de turbulente stromingen werkt men met statistische grootheden als de over een zekere tijdschaal gemiddelde snelheid of koncentratie. De momentane waarden worden gesplitst in een gemiddeld deel (met t aangeduid) en een fluktuerend deel (met ' aangeduid) u =Ut +u' p=p t + p, en c = C t + c' enz.. In het vervolg wordt er slechts over gemiddelde grootheden en de momentane afwijking daarvan gesproken. Daarom wordt in het verdere verhaal de t boven de gemiddelde grootheid weggelaten. Toepassing van de middelingsprocedure op de vergelijkingen (3.1) t/m (3.5) levert : au + a(u2 ) + a(uv) + a(uw) L ap 1 at xx + - { DTxy + DT xz át ax áy az p a p ( ax ay az 0 (3.6) av + a (uv) aa aa 1 at at (~2 ) + (ap + 1 at át ax ay az 2 y + `y.m + z y z p ay aa = 0 (3.7) + vw) - _ (VW) 1 ap - 1 at + axw + aazw2) (9TXZ + ~ y + atz ' z Z) y p az g p ax ay az (3.8) áx + á v+ á~ =0 Y (3.9) ac + a (UC) + a (VC) + a (WC) at ax ay az + af x +, afy + afz - ax ay az 0 (3.10)

20 VT~F waarin de (Reynoldse) schuifspanningen gedefinieerd worden volgens T _xx_ p _au - t 2Uu (ur)2 ax TX~ Y p vu -au ay } _av) - ax UV p. av _ 2v u áy (vr)2t TxZ aw v (r * urwr t p u az ax (3.11) T _zz aw t 29 p u áz _ (wr)2 3 p u (av 3z + 2a-,Y-, vwt De diffusieve massatransporten worden, aannemend dat er sprake is van een gradiënt-type transport, gedefinieerd als F x = u,c, t - v ac 1 m áx - -t- vm acy (3.12) F = w r c rt - _ac z m az De vergelijkingen (3.6) t/m (3.10) hebben dezelfde vorm als de basisvergelijkingen. De middelingsprocedure levert extra transporttermen nl. de turbulente transporttermen in vergelijkingen [(3.11) en (3.]2)]. Het grote aantal termen in de bovenstaande vergelijkingen wordt in het algemeen gereduceerd door middel van orde van grootte-beschouwingen b.v. - moleculaire diffusie is verwaarloosbaar klein ten opzichte van turbulente diffusie in turbulente stromingen - normale turbulente druk is verwaarloosbaar klein ten opzichte van de normale drukterm P >> (u,)2 Z (Vr)2 : (r)z. Ter berekening van de snelheids-, koncentratie- of temperatuursverdeling met mathematische modellen is het noodzakelijk de grootte van de diffusie (of dispersie)koëfficiënten te kennen. Zonder deze kennis overtreft het aantal onbekende grootheden het aantal beschikbare vergelijkingen. Daar de kennis van de turbulente struktuur van stromingen gering is voor de meeste turbulente stromen wordt de grootte van de diffusie- of dispersiekoëfficiënten experimenteel bepaald uit de snelheids- en koncentratieverdeling in ruimte en tijd.

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige Hoofdstuk 3 Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen

Nadere informatie

Het drie-reservoirs probleem

Het drie-reservoirs probleem Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................

Nadere informatie

Week 5 Convectie nader bekeken

Week 5 Convectie nader bekeken Wee 5 Convectie nader beeen ogeschool Wertuigbouwunde/E52/'03-'04/ wee5 1 Convectie nader beeen Onderscheid in beschrijvingswijze voor enerzijds geleiding/straling en anderzijds convectie Bij convectie

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Vallen Wat houdt je tegen?

Vallen Wat houdt je tegen? Wat houdt je tegen? Inleiding Stroming speelt een grote rol in vele processen. Of we het nu hebben over vliegtuigbouw, de stroming van bloed door onze aderen, formule 1 racing, het zwemmen van vissen of

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,

Nadere informatie

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld?

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld? 5. Stromingsleer De belangrijkste vergelijking in de stromingsleer is de continuïteitsvergelijking. Deze is de vertaling van de wet van behoud van massa: wat er aan massa een leiding instroomt moet er

Nadere informatie

Samenvatting. Stromingsleer. Turbulentie

Samenvatting. Stromingsleer. Turbulentie Samenvatting Stromingsleer Reeds in 1822 en 1845 werden door Navier en Stokes de vergelijkingen geformuleerd waaraan stroming van vloeistoffen en gassen voldoet. Deze vergelijkingen, die de Navier- Stokes

Nadere informatie

Meteorologie en Luchtkwaliteit

Meteorologie en Luchtkwaliteit EXAMEN Meteorologie en Luchtkwaliteit 0 december 001, 14.00-17:00 uur E E R S T D I T L E Z E N!! 1. Vermeld duidelijk je NAAM, REGISTRATIENUMMER, JAAR VAN AANKOMST en STUDIERICHTING in de linkerbovenhoek

Nadere informatie

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 tentamen Wie minimum 10/20 heeft behaald op het tentamen is vrijgesteld van het

Nadere informatie

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Deze online uitgave mag, onder duidelijke bronvermelding, vrij gebruikt worden voor

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte.

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte. 1 Materie en warmte Onderwerpen - Temperatuur en warmte. - Verschillende temperatuurschalen - Berekening hoeveelheid warmte t.o.v. bepaalde temperatuur. - Thermische geleidbaarheid van een stof. - Warmteweerstand

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005 Uitwerking tentamen Stroming 5 juli 005 Opgave Hydrostatica : Manometer ρ A = 890 kg/m3 g= 9.8 m/s ρ B = 590 kg/m3 ρ ZUIGER = 700 kg/m3 D ZUIGER = m ha= 30 m hb= 5 m pb= 50000 Pa (overdruk) Vraag : Hoogte

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 21 juni 2010 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit Hoofdstuk 2 Elektrostatica Doelstellingen 1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit 2.1 Het elektrisch

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Hogeschool Rotterdam Instituut voor Engineering and Applied Science Studierichting Autotechniek Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Auteur: Versie 0.05 31 oktober 2012,

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 20 juni 2011 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

4. NUMERIEKE INTEGRATIE

4. NUMERIEKE INTEGRATIE 4. NUMERIEKE INTEGRATIE Uit het voorgaande is gebleken dat oppervlakken, volumina, zwaartepunten, statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 10 juni 09 tijd: 9.00-12.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar mee.

Nadere informatie

TENTAMEN NATUURKUNDE

TENTAMEN NATUURKUNDE CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN NATUURKUNDE TENTAMEN NATUURKUNDE tweede voorbeeldtentamen CCVN tijd : 3 uur aantal opgaven : 5 aantal antwoordbladen : 1 (bij opgave 2) Iedere opgave dient op een afzonderlijk

Nadere informatie

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur EINDEXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELIJK ONDERWIJS IN 1977 Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming

Nadere informatie

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Magnetisch Inductieve/ Vortex/ Ultrasone en Coriolis Massa Flowmeters

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Magnetisch Inductieve/ Vortex/ Ultrasone en Coriolis Massa Flowmeters Basics flowmetingen De basis informatie over: Magnetisch Inductieve/ Vortex/ Ultrasone en Coriolis Massa Flowmeters Erik Stokman Sales Manager KROHNE Nederland Kerkeplaat 14 3313 LC Dordrecht Tel.: +31

Nadere informatie

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009,

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009, Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) 544 6 april 009,.0 7.00 AANWIJZINGEN Geef duidelijke toelichtingen bij de stappen die je neemt en noem eventuele aannames. Bekritiseer je uitkomsten als

Nadere informatie

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters

Basics flowmetingen. De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters Basics flowmetingen De basis informatie over: Thermal Mass / Positive Displacement / Turbine / Verschildruk en VA Flowmeters Thermische Flowmeters (in-line & by-pass principe) Thermische massa flowmeter

Nadere informatie

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275 Open Inhoud Universiteit Appendix B Wiskunde voor milieuwetenschappen Werken met eenheden Introductie 275 Leerkern 275 1 Grootheden en eenheden 275 2 SI-eenhedenstelsel 275 3 Tekenen en grafieken 276 4

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2005-I Modderstroom Er zijn vulkanen die geen lava uitspuwen, maar een constante stroom modder geven. De koude modder stroomt als een rivier langzaam de helling af (zie foto 1). Aan de rand van deze stroom droogt

Nadere informatie

Meerzone luchtstroomodellen

Meerzone luchtstroomodellen luchtstroommodellen Meerzone luchtstroomodellen Kennisbank Bouwfysica Auteur: Ruud van Herpen MSc. 1 Principe van een meerzone luchtstroommodel Inzicht in de druk- en volumestroomverdeling binnen een bouwwerk

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

koper hout water Als de bovenkant van het blokje hout zich net aan het wateroppervlak bevindt, is de massa van het blokje koper gelijk aan:

koper hout water Als de bovenkant van het blokje hout zich net aan het wateroppervlak bevindt, is de massa van het blokje koper gelijk aan: Fysica Vraag 1 Een blokje koper ligt bovenop een blokje hout (massa mhout = 0,60 kg ; dichtheid ρhout = 0,60 10³ kg.m -3 ). Het blokje hout drijft in water. koper hout water Als de bovenkant van het blokje

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260)

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) 9 maart 2009, 9.00 12.00 uur MOTIVEER ALLE ANTWOORDEN DE NORMERING EN EEN FORMULEBLAD ZIJN BIJGEVOEGD Ogave 1: Drukverdeling in een centrifuge Een cilindrisch

Nadere informatie

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 a De trekkracht volgt uit: F t A f s 10 100 235 235000 N 235 kn b De kracht kan als volgt worden bepaald: 1 l l l E l F E A F EA l 2,1 10 5 10 100 10/2000

Nadere informatie

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen 1. Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid en dnamische viscositeit

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Samenvatting Dit verslag gaat over of een simulatie uitgevoerd in Open FOAM voldoende nauwkeurigheid bied en tevens uitvoerbaar is op een gewone computer. Er

Nadere informatie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie TENTMEN Van Quantum tot Materie Prof. Dr. C. Gooijer en Prof. Dr. R. Griessen Vrijdag 22 december 2006 12.00-14.45 Q105/ M143/ C121 Dit schriftelijk tentamen bestaat uit 5 opdrachten. Naast de titel van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Afleiding van de basisvergelijking voor de constructie van een zelf-luchtaanzuigende branderkop

Afleiding van de basisvergelijking voor de constructie van een zelf-luchtaanzuigende branderkop Afleiding van de basisvergelijking voor de constructie van een zelf-luchtaanzuigende branderkop Intellectueel eigendom van: Odin verbindings technieken, Hasmi Propaan gereedschappen Auteur: P.R. van t

Nadere informatie

AAN DE SLAG Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1)

AAN DE SLAG Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1) Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1) Is de arbeid die moet verricht worden op een voorwerp om dat voorwerp over een afstand h omhoog te brengen, afhankelijk van de gevolgde weg? Kies een van

Nadere informatie

Foutenberekeningen Allround-laboranten

Foutenberekeningen Allround-laboranten Allround-laboranten Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE... 2 LEERDOELEN :... 3 1. INLEIDING.... 4 2. DE ABSOLUTE FOUT... 5 3. DE KOW-METHODE... 6 4. DE RELATIEVE FOUT... 6 5. GROOTHEDEN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN....

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

1ste ronde van de 19de Vlaamse Fysica Olympiade 1. = kx. = mgh. E k F A. l A. ρ water = 1,00.10 3 kg/m 3 ( θ = 4 C ) c water = 4,19.10 3 J/(kg.

1ste ronde van de 19de Vlaamse Fysica Olympiade 1. = kx. = mgh. E k F A. l A. ρ water = 1,00.10 3 kg/m 3 ( θ = 4 C ) c water = 4,19.10 3 J/(kg. ste ronde van de 9de Vlaamse Fysica Olympiade Formules ste onde Vlaamse Fysica Olympiade 7 9de Vlaamse Fysica Olympiade Eerste ronde De eerste ronde van deze Vlaamse Fysica Olympiade bestaat uit 5 vragen

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie

Viscositeit. par. 1 Inleiding

Viscositeit. par. 1 Inleiding Viscositeit par. 1 Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Eindronde practicumtoets A. 5 juni beschikbare tijd: 2 uur (per toets A of B)

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Eindronde practicumtoets A. 5 juni beschikbare tijd: 2 uur (per toets A of B) NATONALE NATUURKUNDE OLYMPADE Eindronde practicumtoets A 5 juni 00 beschikbare tijd: uur (per toets A of B) Bepaling van de grootte van het gat tussen de geleidingsband en de valentieband in een halfgeleider

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 23 januari 2009, academiejaar 08-09 IW2 en BIW2 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/4) vraag 2 (/4) vraag 3 (/5) vraag 4 (/4) vraag 5 (/3) TOTAAL (/20)

Nadere informatie

Sterrenkundig Practicum 2 3 maart Proef 3, deel1: De massa van het zwarte gat in M87

Sterrenkundig Practicum 2 3 maart Proef 3, deel1: De massa van het zwarte gat in M87 Proef 3, deel1: De massa van het zwarte gat in M87 Sterrenkundig Practicum 2 3 maart 2005 Vele sterrenstelsels vertonen zogenaamde nucleaire activiteit: grote hoeveelheden straling komen uit het centrum.

Nadere informatie

Cursus Vacuümtechniek. Kenniscentrum Mechatronica Eindhoven

Cursus Vacuümtechniek. Kenniscentrum Mechatronica Eindhoven Cursus Vacuümtechniek Kenniscentrum Mechatronica Eindhoven Naslagwerken Vacuümtechniek L.Wolterbeek Muller: Vacuümtechniek, beginselen en toepassingen, ISBN 90-2012203-7, Uitg.: Kluwer Technische Boeken

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

5 Stromingsleer. 5.1 Inleiding

5 Stromingsleer. 5.1 Inleiding 190 5 Stromingsleer 5.1 Inleiding In hoofdstuk 1 zijn balansen geïntroduceerd; deze bleken daar, en ook later in de volgende hoofdstukken, uitermate handig bij het oplossen van allerlei transportproblemen.

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Wijzigingsvoorstel (RfC) op Aquo-lex Wijzigen diverse definities

Wijzigingsvoorstel (RfC) op Aquo-lex Wijzigen diverse definities Wijzigingsvoorstel (RfC) op Aquo-lex Wijzigen diverse definities Auteur: IDsW> Kenmerk: W 0908-0026> Documentbeheer Wijzigingshistorie Datum Versie Auteur Wijziging 18 aug 2009 0.9 Hinne Reitsma Initieel

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2

Examen HAVO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 86 punten te behalen; het eamen bestaat uit 22 vragen. Voor elk

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Viscositeit. par. 1 Inleiding

Viscositeit. par. 1 Inleiding Viscositeit par. 1 Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

College 1 Polymeerverwerking (4K550)

College 1 Polymeerverwerking (4K550) College 1 Polymeerverwerking (4K550) prof.dr.ir. Patrick D. Anderson p.d.anderson@tue.nl Website Mate: http://www.mate.tue.nl Website voor college: http://www.mate.tue.nl/~anderson onder kopje Polymeerverwerking.

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland

Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland Document code: RvA-Tk-2.27 Datum vaststelling: 14 september 2004 Een RvA-Toelichting beschrijft het beleid en/of de werkwijze van

Nadere informatie

aluminium 2,7 0, ,024 ijzer 7,9 0, ,012

aluminium 2,7 0, ,024 ijzer 7,9 0, ,012 DEZE TAAK BESTAAT UIT 36 ITEMS. Mulo III kandidaten maken item 1 t/m 30 Mulo IV kandidaten maken item 1 t/m 36 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Het tablet is om vele redenen een populaire toedieningsvorm van geneesmiddelen. Het gebruikersgemak en het gemak waarmee ze grootschalig kunnen worden geproduceerd zijn slechts twee van de

Nadere informatie

Polarisatie. Overig Golven, Polarisatie,

Polarisatie. Overig Golven, Polarisatie, Polarisatie Elektromagnetische golven Elektromagnetische golven bestaan uit elektrische en magnetische velden die zich met grote snelheid door de ruimte verplaatsen. De figuur hiernaast geeft een lichtstraal

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) vrijdag 9 januari 2009, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat

Nadere informatie

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV CONSULT aan Rijkswaterstaat MOGELIJKE VERMINDERING VAN HET BENZINEVERBRUIK DOOR DE INSTELLING VAN SNELHEIDSBEPERKINGEN R-7~-3 Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid

Nadere informatie

Voorwoord. Na het ontstaan van het Heelal is de basale verhouding van de afmetingen van materie tot de afstand tussen die materie constant.

Voorwoord. Na het ontstaan van het Heelal is de basale verhouding van de afmetingen van materie tot de afstand tussen die materie constant. --------------------------------------------------------------- 13-11-2015 ( www.serverhans.nl ) ( j.eitjes@upcmail.nl) Voorwoord. In dit werkstuk wil ik uiteenzetten waarom mijn inziens het Heelal stabiel

Nadere informatie

Tentamen Verbrandingstechnologie d.d. 9 maart 2009

Tentamen Verbrandingstechnologie d.d. 9 maart 2009 Tentamen Verbrandingstechnologie d.d. 9 maart 2009 Maak elke opgave op een afzonderlijk vel papier Diktaat mag gebruikt worden, aantekeningen niet Succes! Opgave 1: Diversen (a) Geef de algemene reactie

Nadere informatie