diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten )

Transcriptie

1 diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten ) G.A.L. Delvigne en M. Karelse verslag literatuuronderzoek R895-2 Inni 11111, 11! _ AIIu ~1~11' 'IIIM ' 'MIIISCIIIIP, IIIMF december 1978 lig ri toegepast onderzoek waterstaat

2 INHOUD Lijst van symbolen Lijst van tabellen Lijst van figuren blz. 1 Inleiding ! Aanleiding onderzoek., Opdracht f 1.3 Indeling rapport Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding Algemeen Moleculaire diffusie en convectie , Turbulente diffusie en convectie Dispersie en advectie , , Menging Basisvergelijkingen....., Turbulente stromingen g Tweedimensionale beschouwingen, : , Vertikaal vlak 11 stroomrichting , Twee horizontale dimensies , Turbulente stroming in pijpen , Eendimensionale beschrijvingswijze Quasi.-stationaire beschrijvingswijze Moleculaire dif fusie , Turbulente diffusie Algemeen Turbulente viskositeit * Turbulente stof- of warmtediffusie in een richting J- wandi Tangentiële massa-/warmtediffusie in pijpen , Stationaire vrije turbulente stromingen

3 INHOUD (vervolg) 6,.,Dwarsdispersie , Dwarsdiffusie in tweedimensionale gesloten leidingen of 30 open kanalen , Dwarsdispersie in stationaire kanaal- pf rivierstroming Dwarsdispersie in getijstroming , blz. 7 Eendimensionale dispersie ,...., Eêndimensionale dispersire in stationaire stromen.., : Analytische berekening van dispersie Experimenteel bepaalde dispersie..., Tweedimensionale stroming......, Driedimensionale stroming ,..,.., , Dispersie in getijstromingen, *.....,...., Dispersie in homogene oscillerende stromingen Dispersie in niet-homogene, smalle estuaria Vlekdiffusie in estuaria en zeeën......, ,1. Algemene beschouwing Estuaria Zeeën , Vlekdiffusie Wet van Fi.ck, ltichardson's 4/3 wet, principe van Kolmogorov ;.. ' Verband tussen diffusie en variantie Variantie van een rotatiesymmetrisch systeem Variantie van een niet-rotatiesymmetrisch systeem Variantie en diffusiekoëfficiënt in een turbulent diffusief systee ,...~ Variantie en diffusiekoëfficiënt in een dispersief systeem Empirische bepaling van de diffusiekoëfficiënt voor absolute en relatieve diffusie Tweedimensionale, radiaalsymmetrische diffusie., Driedimensionale diffusie , Experimenten Numerieke en hydraulische diffusiemodellen., Numerieke modellen

4 . INHOUD (vervolg) Inleiding * blz, 84 ' Eéndimensionaal (x) model :.., Tweedimensionaal (xy) model Tweedimensionaal (xz) model Driedimensionaal (xyz) model., ', Hydraulische modellen, Menging door wind- en go lven....,.,...* , Turbulente diffusiekoëfficiënt, dis ersiekoëfficiënt....., Dispersiekoëffici9nt in formulevortit,.. : :.,...,.., Dispersiekoëffici9nt in getalvorm Goten, kanalen, rivieren Longitudinale dispersiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt ,....,...,.....,., Vertikale dispersiekoëfficiënt,.....,.,., Getijrivieren, estuaria, zandzeeën ,1 Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt Vertikale diffusiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt , Zeeën, meren Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt , Dwarsdispersiekoëfficiënt ,., Vertikale diffusiekoëfficiënt Enige opmerkingen- over diffusie in gelaagde systemen...., Samenvatting en konklusies , Referenties 128 Tabellen 151 Figuren

5 Lijst van symbolen A oppervlakte van een dwarsdoorsnede m2 b,b breedte m c,c koncentratie, gemiddeld over turbulente tijdschaal variabel C Chézy-koëfficiënt m i 2/S D energiedissipatiesnelheid m2/s3 e,ex,ey,ez dispersiekoëfficiënt, in x-, y- en z-richting m2 /s exy horizontale dispersiekoëfficiënt e xy(r) horizontale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd over de z-richting 2 m /s ex(y,z),etc. longitudinale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd over de dwarsdoorsnede, etc. koncentratietransport m2/s g versnelling van de zwaartekracht MIS 2 h (water)diepte m hr diepteverhouding model en prototype k wrijvingskoëfficiënt - 1,1x,1y,1 z mengweglengte, x-, y- en z-richting lengteverhouding lr model en prototype - L karakteristieke lengtemaat variabel n L P,P P d Pr Pr t Q, R Re Ri Sc Set t t 1 T T TL u. z horizontale schaalfaktor druk, gemiddeld over turbulente tijdschaal N/m 2 diffusiesnelheid MIS Prandtl-getal turbulent Prandtl-getal - debiet of momentane hoeveelheid m 3, /s, kg radiale koprdinaat straal Reynoldsgetal Richardsongetal Schmidtgetal - turbulent Schmidtgetal - tijdvariabele dispersie tijdschaal s karakteristieke tijd 5 temperatuur ok,oc lagrange tijdschaal s snelheidskomponenten u, v, w m/s

6 Lijst van symbolen (vervolg) u schuifspanningssnelheid m/s windsnelheid Uw u,v,w, stroomsnelheid in x--, y- en z-richting MIS U,V,W, stroomsnelheid,gemiddeld over turbulente tijdschaal in x-, y- en z-richting x horizontale (longitudinale) koórdinaat m y horizontale (dwars)koórdinaat m. : z vertikale koórdinaat m S vertikale schaalfaktor turbulente e,em massadiffusiekoëfficiënt m/s m2 /s schijnbare e diffusiekoëfficiënt a m2 /s turbulente eu impulsdiffusiekoëfficiënt (eddy viscosity) e x,y,z turbulente diffusiekoëfficiënt in x-, y- en z- richting m2/s exy horizontale turbulente diffusiekoëfficiënt m2 /s r, dynamische viskositeir Ns/m2 hoekkoórdinaat rc konstante van Von Kárman (n 0,4) kinematische vu viskositeit (moleculaire impulsdiffusiekoëfficiënt) moleculaire vh warmtediffusiekoëfficiënt moleculaire vm (massa)diffusiekoëfficiënt p dichtheid 62 standaarddeviatie (voor de koncentratie) van Qr een diffunderende vlek horizontale variantie voor hek systeem rotatiesymmetrisch csx,6y,6z variantie in de richting, van x-, y- en z--koórdinaat u2 m2. xy x y rad m2 /s m2 /s m2 /s kg/m3 schuifspanning NIM2 2 Coriolisparameter s -l. m 2 m 2.

7 Lijst van symbolen (vervolg) t tijdsmiddeling (zodanig dat turbulente fluktuaties verdwenen zijn) ruimtelijke middeling (over één of meer ruimtelijke koórdinaten) óf middeling over getijperiode turbulente deel van de beschouwde grootheid tijdsmiddeling over de getijperiode

8 Lijst van tabellen 4.1 Moleculaire diffusiekoëffieiënten voor water Moleculaire diffusiekoéfficiënten voor lucht Turbulente viskositeiten e u iturbulente diffusiekoëfficignten loodrecht op de wand Turbulente diffusiekoëfficiënten in richting // wand Turbulent Prandtl- of Schmidtgetal Dwarsdispersiekoëfficiënten in leidingen en goten Dwarsdispersiekoëfficiënten in modellen Dwarsdispersiekoëfficiënten in rivieren Dwarsdispersiekoëfficiënten in kanalen en rivieren Experimentele gegevens over de déndimensionale dispersie in open kanalen Experimentele waarden van ex(yz) in de Missouri Berekende en waargenomen horizontale dispersiekoëfficiënten blz. voor enkele Amerikaanse rivieren en estuaria Horizontale dispersiekóëfficiënten voor enkele Amerikaanse estuaria "Overall" horizontale dispersiekoëfficiënten voor enkele. Britse estuaria en randzeeën Experimentele vertikale diffusiekoéfficiënten in estuaria en randzeeën Experimentele vertikale diffusiekoëfficiënten in zeeën en meren 121

9 Lijs t van -figuren 4.1 Variatie dynamische viskositeit van water met zoutko'ncentratie en temperatuur 5.1 Schematisch verloop turbulente schuifspanning en totale schuifspanning 5.2 Vergelijking van uitdrukkingen voor em 5.3 Re-invloed op de turbulente viskositeit 5.4 Turbulente viskositeit, vergelijking theorie en experiment 5.5 Variatie van-.het turbulente Prandtl-getal volgens Jenkins (1952) 5.6 Variatie van het turbulente Prandtl-getal volgens Azer en Chao (1960) 5.7 Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal 5.8 Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal volgens metingen van Quarmby (1969 en 1972) 5.9 Variatie van turbulent Prandtl-getal uit metingen. van Abbrecht, Sleicher en Page 5.10 Variatie van turbulent Prandtl- en Schmidtgetal, als funktie van Pr- en Sc-getal 5.11 Variatie van de massadiffusie met afstand tot de bodem in de open kanaalstroming 5.12 Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie(voor lucht) 5.13 Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie bij verschillende waarden van Pr of Se 5.14 Verdeling van schuifspanning en turbulente viskositeit in een vlakke zogstroom 5.15 Verdeling van turbulente viskositeit in een ronde straal 5.16 Variatie van het Prt -getal in een ronde straal 6.1 Variatie van de dwarsdiffusie in een open kanaalstroming als funktie van de afstand tot de bodem 6.2 Variatie van de dwarsdiffusiekoëffici~nt met de breedte/diepteverhouding in een open kanaalstroming 6.3 Variatie van de dwarsdiffusiekogfficiënt als funktie van de kanaalruwheid 6.4 Variatie van é met de ruwheid ṁpih11/4 Y B u'h \ Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt in meanderende stromen 6.6 Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie

10 Lijst van figuren (vervolg) 6.7 Variatie van de getijgemiddelde dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie 7.1 Toelichting ééndimensionale dispersie 7.2 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Holley e.a. 7.3 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Taylor III 7.4 Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt met T/Tz 7.5 Toename van de dispersiekoëfficiënt ten gevolge van gravitatie~ cirkulatie met toenemende Richardsongetal 7.6 Korrelatie tussen de dispersieparameters en mate van gelaagdheid 8.1 Rhodamineverdeling 7 uur na lozing in het Fal-estuarium (U.K.) 8.2 Dispersiekoëfficiënten voor het Tees-estuarium (U.K.) als funktie van de longitudinale x-koórdinaat 8.3 a. Vlek 270 uur na puntlozing in centrale Noordzee b. Vlek 6,5 uur na puntlozing bij Suffolk kust 8.4 Lijnen van gelijke koncentratie bij een momentlozingsexperiment 8.5 Vertikaal koncentratieprofiel op 1400 en 4350 m afstand van een kontinue bron in een stromend medium 8.6 Aanpassing van diverse diffusievergelijkingen met experimentele RHENO-resultaten ; waarnemingen na 5, 11 en 19 dagen van diffusie 8.7 Empirische diffusiekoëfficiënt voor het RHENO-experiment 8.8 Horizontale dispersiekoëfficiënten versus diffusieschaal 8.9 Horizontale diffusiekoëfficiënten vergeleken met e ti L4/3-curve 8.10 Variantie Q2 versus diffusietijd vergeleken met G2 % t3-relatie oxy - t (variantie versus diffusietijd)-waarnemingen bij momentlozingen in zeeën, kustwateren en estuaria 8.12 Relatieve maximale koncentratie versus diffusietijd voor momentpuntlozingen in de Noordzee 9.1 Longitudinale koncentratieverdeling voor het Tees-estuarium, berekend volgens een- en tweedimensionaal model 10.1 Vertikaal wind- en waterstromingsprofiel (schematisch) 10.2 Door wind gegenereerde stroming als funktie van de waterdiepte 10.3 Ontwikkeling gemiddelde stroomsnelheid in de tijd, veroorzaakt door wind

11 Lijst van figuren (vervolg) 10.4 Horizontale diffusiekoëfficiënt 6x in voortplantingsrichting van golven in veld met brekende golven, versus Hb xb /T 10.5 Ontwikkeling in de tijd van door wind geinduceerde stroming 11.1 Longitudinale verspreiding door getij-invloeden in een systeem met "oeverkommen" 11.2 a. Overzicht Tay-estuarium met meetstations b. Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus zoetwaterafvoer c. Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus afstand tot monding 11.3 Gevoeligheidstest van diffusiekoëfficiënt op koncentratieverloop in een getijrivier 11.4 Longitudinale dispersiekoëfficiënt gedurende een getijperiode in een estuarium, berekend volgens vergelijking 11, Metingen en berekeningen van het koncentratieverloop bij een kontinue lozing in een getij-estuarium 11.6 Horizontale diffusiesnelheid als funktie van de vertikale stromingsstruktuur 11.7 Vertikale diffusiekoëfficiënt E z als funktie van U2N- w ; waarnemingen in kustwateren 11.8 Dwarsdiffusiekoëfficiënt als funktie van de diffusieschaal, gemeten uit de pluimverbreding bij een kontinue lozing in stromend kustwater 12.1 Schema circulatiestroming in tweedimensionaal estuarium met dichtheidsgradiënt

12 1 Inleiding 1.1 Aanleiding onderzoek Ter beschrijving van de snelheids-, koncentratie- of temperatuurverdeling in een medium (gas of vloeistof) als funktie van de plaats en de tijd is het noodzakelijk om het transport van impuls, materie of warmte in het medium te kennen. Het transport van een fysische eigenschap impuls, koncentratie of warmtekoncentratie ( : : temperatuur)] wordt onderscheiden in twee typen, die komplementair zijn dat wil zeggen de som van beide typen transport in een bepaalde richting is gelijk aan het totale transport in de beschouwde richting : convectie~type -transport, dat gericht is volgens de stroomrichting en. waarvan de grootte per eenheid van een loodrecht op de stroomrichting staand vlak gelijk is aan het produkt van de stroomsnelheid en de fysische eigenschap in het beschouwde punt. Het mechanisme van dit type transport is de meevoering van de fysische eigenschap met het bewegende medium. diffusie type- transport, dat bepaald wordt door de grootte en richting van de (plaats)gradignt in de fysische eigenschap. Als er een gradiënt in de fysische eigenschap aanwezig is wordt dit transport als enige transport waargenomen door een met het medium meebewegende waarnemer. De evenredigheidskonstante tussen dit zogenaamde diffusieve transport en de gradiënt is de diffusiekoëfficiënt. Bij impulsoverdracht wordt veelal van viskositeit gesproken. De kontinuiteitsvergelijking, de bewegingsvergelijking(en) en de balansvergelijking voor de beschouwde stof of voor warmte vormen een gesloten stelsel vergelijkingen, indien voor de diffusieve transporten de grootte van de kogfficignten gegeven zijn. Dit betekent dat in dat geval de snelheids- en koncentratie- of temperatuurverdeling te berekenen zijn als ook de rand- en beginkondities gegeven zijn. Er is veel literatuur over diffusiemechanismen en over de grootte van de diffusiekoëfficiënten in verschillende stroomsituaties beschikbaar. 1.2 Opdracht In het kader van het TOW-onderzoek stromen en transportverschijnselen werd

13 door de Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging van Rijkswaterstaat opdracht gegeven tot het uitvoeren van een literatuurstudie.naar de diffusieen dispersiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, getijrivieren en randzeeën. De studie zou zich in hoofdzaak beperken tot stromen zonder dichtheidsverschillen. Deze studie werd uitgevoerd door twee personen. Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren en smalle estuaria behandeld werd geschreven door drs. M. Karelse. Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in brede estuaria en Delvigne. randzeeën behandelt werd geschreven door dr. G.A.L. 1.3 Indeling rapport Het rapport kan globaal in drie delen gesplitst worden. In het eerste deel worden de voor de verspreiding van een fysische eigenschap belangrijke begrippen behandeld (hfdst. 2) en wordt de wiskundige beschrijvingswijze van turbulente stromen gegeven (hfdst. 3), In het tweede deel (hfdst. 4 t/m 10) wordt nader ingegaan op de beschrijving van diffusiemechanismen en wordt de grootte van de diffusiekoëfficiënten, zoals die volgt uit de theorie en experimenten, gegeven. De grootte van de moleculaire diffusiekoëfficiënten voor lucht en water wordt in hoofdstuk 4 gegeven. De turbulente diffusie kanalen komt in hoofdstuk 5 aan behandeld die samenhangt met de in pijpen, gesloten leidingen en in open de orde. In hoofdstuk b wordt dwarsdispersie tweedimensionale schematisatie. In hoofdstuk, 7 wordt de ééndimensionale schematisatie van diverse stromingen als uitgangspunt genomen om de verspreiding van warmte of stof te beschrijven. In hoofdstuk 8 komt de "vlek"diffusie aan bod, waarbij meer speciaal aan diffusie op zee wordt gedacht. De invloed door wind en golven op de diffusie wordt behandeld in hoofdstuk 9. Hoofdstuk 10 is gewijd aan diffusieproblemen in hydraulische modellen. In het laatste deel van dit rapport wordt een opsomming gegeven van de theoretische en experimenteel bepaalde waarden van de diffusiekoëfficiënten in diverse omstandigheden (hfdst. 11), wordt het onderzoek samengevat en worden de belangrijkste konklusies op een zij gezet (hfdst 13).

14 2 Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding 2.1 Algemeen Wordt door middel van een momentlozing een hoeveelheid kleurstof (tracer) aan een ontvangend watersysteem toegevoegd binnen een beperkt gebied van het totale watervolume, dan zal door diverse oorzaken de kleurstofvlek veranderingen in de tijd ondergaan. De veranderingen van de vlek en zijn positie kunnen gesplitst worden in toeneming van de omvang, vervorming en verplaatsing. Diverse transportverschijnselen als diffusie en convectie zijn verantwoordelijk voor deze veranderingen. In het hiernavolgende zullen deze transportverschijnselen nader aan de orde komen. Opmerking In de literatuur worden de begrippen (turbulente) diffusie, dispersie, advec- tie en convectie niet altijd op gelijke wijze gebruikt. De betekenissen die er in dit rapport aan worden gehecht, zullen in de komende paragrafen nog nader aangeduid worden. Reeds nu zij opgemerkt dat in dit rapport de begrippen moleculaire diffusie, turbulente diffusie en dispersie een duidelijke betekenis hebben, terwijl het in de literatuur vaak verschillend behandelde begrip diffusie in dit rapport op alle drie termen kan slaan en synoniem kan worden gesteld aan verspreiding. 2.2 Moleculaire diffusie en convectie De stroming van vloeistoffen of gassen kan zeer regelmatig zijn ; de vloeistofof gaspakketjes volgen dan banen evenwijdig aan de stroomrichting (laminaire stromin). Het transport van met de stroom meegevoerde deeltjes is gelijk uraan het convectieve transport. Daarnaast kunnen er diffusieve transporten optreden tengevolge van de moleculaire warmtebeweging : diffusieve stofstroom indien er een koncentratiegradiënt aanwezig is, diffusie van warmte in een temperatuurgradiënt en diffusieve impulsstroom in een snelheidsgradiënt. In niet-stromende media is dit moleculaire diffusieve transport het enige transport mechanisme. In hoofdstuk 4 wordt de moleculaire diffusie uitvoeriger behandeld.

15 2.3 Turbulente diffusie en convectie Het turbulente deel van stromingen bestaat uit die stromingen die in de tijd onregelmatig zijn in richting en in snelheid, terwijl ze gemiddeld over een zekere tijd (langer dan de "turbulentietijd") nul zijn. Het transport tengevolge van deze stromingen wordt het turbulent diffusief transport genoemd. Onder convectie wordt verstaan de (lokale) meevoering in de stroomrichting, waarbij ervan uitgegaan wordt dat er een zekere tijdgemiddelde (gemiddeld over de turbulentietijd) stroomrichting te definiëren is. De turbulente beweging van de waterdeeltjes kan men opgebouwd denken uit wervelbewegingen. (Denk hierbij aan de wijze waarop in de Fourier-analyse een golfbeweging wordt samengesteld uit sinusfunkties met verschillende frekwenties en amplitudes). De afmetingen van deze turbulente wervels kunnen lopen van grootte-orde 1 mm tot een zekere markante afmeting van het systeem (denk aan Prandtl-mengweglengte). De "levensduur" van een wervel is ten hoogste de turbulentietijd : de bewegingsrichtingen en snelheden van een deeltje op twee tijdstippen, langer dan de turbulentietijd van elkaar verwijderd, is ongekorreleerd. Of een transport als turbulent diffusie of convectie wordt beschouwd, hangt niet alleen af van de "werkelijke" aard van de stroming, maar zal vaak afhankelijk zijn van het diffusie-experiment zelf en van de beschrijvingswijze die men kiest. Een zeer grote turbulente wervel zal bij de beschrijving van diffusie op veel kleinere schalen als een convectieve stroming tot uiting komen, daar noch de grootte, noch de vorm van de vlek door deze wervel belangrijk gewijzigd wordt. Grootschalige wervels veroorzaken slechts een verplaatsing van een vlek of een meanderend effekt van een pluim. Ook qua definitie is geen scherp onderscheid te maken tussen turbulente en convectieve transporten, zeker niet bij anisotrope turbulentie. In estuaria en randzeeën laat de altijd nabije aanwezigheid van oppervlak, bodem en wanden principieel geen random-richting van stromingen toe. Zowel de dempende invloed van een grensvlak, als de genererende eigenschappen (bijv. stromingen veroorzaakt door de wind via het wateroppervlak) zijn altijd richtingsgevoelig. Volkomen isotrope turbulentie komt dus, in een bepaalde grootteklasse van de wervels, alleen voor in een systeem met neutrale gelaagdheid op grote afstand (groot ten opzichte van karakteristieke wervelafmeting) van grensvlakken. Dit geldt bijvoorbeeld zowel voor de volgens het turbulentiespektrum regulier aanwezige, maar anisotrope turbulentie vlak bij het wateroppervlak, maar ook voor de van

16 - 5 buiten ingebrachte stromingen door golven. Hier is de orbitaalbeweging zeker geen turbulentie, maar zou onder de convectieve waterbeweging moeten vallen. Bij de beschrijving van diffusie op grotere schaal (groter dan de golflengte van de oppervlaktegolven) is het echter handiger deze waterbeweging bij turbulentie onder te brengen. Het resultaat is dan wel dat de turbulentiegraad plaatsafhankelijk en anisotroop is. Turbulentie kenmerkt zich door fluktuerende waarden van c en ui (i duidt richting aan) om over een zekere zogenaamde turbulente tijdschaal gemiddelde waarde Ct en U t zodat op tijdstip t geldt : waarbij overigens zowel Ct en Ut als c' en ui plaats en tijdsafhankelijk kunnen zijn (getijbeweging). Het convectieve transport wordt gedefinieerd door : Fconv = Ut Ct (2.2) dit is een lokale grootheid. Het turbulent diffusieve transport wordt gedefinieerd als : Fturb,i ' u rt (2.3) (-t : gemiddeld over turbulentietijdschaal). 2.4 Dispersie en advectie Van de begrippen convectie, advectie, turbulente diffusie en dispersie hebben slechts turbulente diffusie en convectie een duidelijke fysische betekenis. Daarentegen komen de begrippen advectie en dispersie te voorschijn uit een wiskundige middeling van grootheden. Convectie en turbulente diffusie hebben te maken met lokale waarden van snelheid en koncentratie, en leiden derhalve tot lokale transporten. Ruimtelijke middeling over één of meer ko3rdinaten van de snelheid en de koncentratie leidt tot het advectieve transport :

17 Fadv = U C (2.4) waarbij boven een grootheid de middeling over één of meer ruimtelijke koórdina(a)t(en) aanduidt. voor dispersie is middeling over tenminste één ruimtekoórdinaat noodzakelijk. Het begrip leidt, evenals advectie bij vereenvoudiging van een driedimensionaal systeem tot een twee- of ééndimensionaal systeem. Het dispersieve transport wordt in dit rapport gedefinieerd als : Fdisp U C - U C + Fturb (2.5) Het totale transport is nu Ftot - U C + F disp - U C + Fturb (2.b) Fadv + Fdisp Opmerking Uit vergelijking (2.5) blijkt dat Fdisp - Fturb als U en/of C homogeen verdeeld is over de integratiekoërdinaat. 2.5 Menging Werkelijke menging wordt slechts veroorzaakt door moleculaire diffusie. Convectie en turbulente diffusie zorgen slechts voor een verspreiding van de beschouwde stof over een groter volume, zodat de koncentratie gemiddeld over het vergrote volume daalt. Deze koneentratievermindering is dus evengoed mogelijk bij niet-mengbare vloeistoffen. Op zeer kleine schaal blijven ook na turbulente beweging koncentratiegradiënten bestaan, daar de kleinste turbulentieklasse (waar de energie tengevolge van viskeuze krachten gedissipeerd wordt) van de orde van millimeters is. Op kleinere schaai zorgt de moleculaire diffusie (en voor colloidale oplossingen de Brownse beweging) voor een homogene verdeling van de koncentratie. Aansluitend aan het normale woordgebruik zal evenwel de koncentratiegradiëntvermindering door turbulente diffusie ook als menging worden aangeduid.

18 3 Wiskundige formulering van turbulente- stromingen 3.1 Basisvergelij kingen De beschrijving van een turbulente stroming berust op de Navier-Stokesvergelijkingen. In deze literatuurstudie wordt de vloeistof als een inkompressibel, kontinu medium beschreven. Mikroskopische invloeden worden daartoe verwerkt in moleculaire diffusiekoëfficiënten. Behalve de zwaartekracht worden geen andere uitwendige krachten in beschouwing genomen. uitgaande van een koórdinatensysteem x, y, z met een vertikaal omhooggerichte z-as worden de balansvergelijkingen voor de impuls bij konstante dichtheid p : au + a 2 (U ) + a (uv ) + a (uw) } 1 alp + v a 2u + a u + a2u az at a ay pax u az2 ax 2 ay2 _av _a(uv) av2 3(vw) _1 a a2v a 2v _v 82 at + ax + ay *az +py+vu ax2+ a y 2+ a z2 O (3.2) _aw + a(uw) + a(vw) + a(w2 ) + ~. + + a 2w a2w a2w at ax ay az p az g vu ax 2 + ay2 + az2 - (3.3) Deze vergelijkingen gelden momentaan voor tijden < turbulentietijd. De kontinulteitsvergelijking voor een niet-samendrukbare vloeistof luidt áx + av+ á~ =o y (3.4) Hierin zijn u, v, w snelheidskomponenten in x-, y- en z-richting t p g tijd druk gravitatieversnelling v kinematische viskositeit. u De termen met vu zijn op te vatten als de moleculaire impulstransporttermen met vu als impulsdiffusiekoëfficiënt (zie hfdst. 4). Voor de hoeveelheid opgeloste stof geldt een balansvergelijking van de vorm ac + a(uc) + a(vc) + a(wc) - v -WC at ax ay am [a"c X_2 yc + a 2c + aic a Z2 (3.S)

19 waarin c koncentratie, hoeveelheid opgeloste stof of warmte per volume-eenheid moleculaire vm diffusiekoëfficiënt voor opgeloste stof (index m) of warmte (index h). Indien de moleculaire diffusiekoëfficiënten vu en vm (of vh) bekend zijn (stof konstanten), is er sprake van een gesloten stelsel van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden (u, v, w, p en c). Enkele empirische bepaalde waarden van deze koëfficiënten zijn gegeven in hoofdstuk 4. In een laminaire stroming is, indien de begin- en randkondities bekend zijn, net stelselvergelijking oplosbaar. 3.2 Turbulente stromi ngen In de praktijk van de turbulente stromingen werkt men met statistische grootheden als de over een zekere tijdschaal gemiddelde snelheid of koncentratie. De momentane waarden worden gesplitst in een gemiddeld deel (met t aangeduid) en een fluktuerend deel (met ' aangeduid) u =Ut +u' p=p t + p, en c = C t + c' enz.. In het vervolg wordt er slechts over gemiddelde grootheden en de momentane afwijking daarvan gesproken. Daarom wordt in het verdere verhaal de t boven de gemiddelde grootheid weggelaten. Toepassing van de middelingsprocedure op de vergelijkingen (3.1) t/m (3.5) levert : au + a(u2 ) + a(uv) + a(uw) L ap 1 at xx + - { DTxy + DT xz át ax áy az p a p ( ax ay az 0 (3.6) av + a (uv) aa aa 1 at at (~2 ) + (ap + 1 at át ax ay az 2 y + `y.m + z y z p ay aa = 0 (3.7) + vw) - _ (VW) 1 ap - 1 at + axw + aazw2) (9TXZ + ~ y + atz ' z Z) y p az g p ax ay az (3.8) áx + á v+ á~ =0 Y (3.9) ac + a (UC) + a (VC) + a (WC) at ax ay az + af x +, afy + afz - ax ay az 0 (3.10)

20 VT~F waarin de (Reynoldse) schuifspanningen gedefinieerd worden volgens T _xx_ p _au - t 2Uu (ur)2 ax TX~ Y p vu -au ay } _av) - ax UV p. av _ 2v u áy (vr)2t TxZ aw v (r * urwr t p u az ax (3.11) T _zz aw t 29 p u áz _ (wr)2 3 p u (av 3z + 2a-,Y-, vwt De diffusieve massatransporten worden, aannemend dat er sprake is van een gradiënt-type transport, gedefinieerd als F x = u,c, t - v ac 1 m áx - -t- vm acy (3.12) F = w r c rt - _ac z m az De vergelijkingen (3.6) t/m (3.10) hebben dezelfde vorm als de basisvergelijkingen. De middelingsprocedure levert extra transporttermen nl. de turbulente transporttermen in vergelijkingen [(3.11) en (3.]2)]. Het grote aantal termen in de bovenstaande vergelijkingen wordt in het algemeen gereduceerd door middel van orde van grootte-beschouwingen b.v. - moleculaire diffusie is verwaarloosbaar klein ten opzichte van turbulente diffusie in turbulente stromingen - normale turbulente druk is verwaarloosbaar klein ten opzichte van de normale drukterm P >> (u,)2 Z (Vr)2 : (r)z. Ter berekening van de snelheids-, koncentratie- of temperatuursverdeling met mathematische modellen is het noodzakelijk de grootte van de diffusie (of dispersie)koëfficiënten te kennen. Zonder deze kennis overtreft het aantal onbekende grootheden het aantal beschikbare vergelijkingen. Daar de kennis van de turbulente struktuur van stromingen gering is voor de meeste turbulente stromen wordt de grootte van de diffusie- of dispersiekoëfficiënten experimenteel bepaald uit de snelheids- en koncentratieverdeling in ruimte en tijd.