Werkpakket 3.4 Panoramische fotogrammetrie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Werkpakket 3.4 Panoramische fotogrammetrie"

Transcriptie

1 KAHO St-Lieven GENT Thomas More Mechelen 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project 3D4SURE Werkpakket 3.4 Panoramische fotogrammetrie Auteurs: Björn Van Genechten KaHo Sint-Lieven Jasper Wisbecq KaHo Sint-Lieven Wouter Dreessen KaHo Sint-Lieven IWT-TETRAproject 3D4SURE 1 37

2 Inhoud 1. INLEIDING HOE PANORAMAFOTO S MAKEN SOORTEN PANORAMA S CAMERA-INSTELLINGEN PARALLAX NO-PARALLAX POINT TOESTELLEN OM PANORAMISCHE FOTO S TE TREKKEN PANORAMAKOP AUTOMATISCHE PANORAMAKOP PANORAMACAMERA S DE FOTO OPNAME OVERLAP LENSKEUZE STITCHING SOFTWARE PANORAMISCHE FOTO S STITCHEN ALS KALIBRATIEMETHODE BESTAANDE SOFTWAREPAKKETTEN WERKING VAN STITCHING SOFTWARE OPSTELLEN VAN EEN MATHEMATISCH MODEL VOOR PANORAMISCHE FOTOGRAMMETRIE RELATIE TUSSEN SFERISCHE EN CARTESISCHE COÖRDINATEN EQUIRECTANGULAIRE PROJECTIE ORIËNTATIE EN 3D RECONSTRUCTIE Absolute Oriëntatie Relatieve oriëntatie Eigen prototype code Panorama rectificatie Dense Matching volgens Pagani et al. (2011) Meetconfiguratie TESTEN D-RECONSTRUCTIE D.M.V. ABSOLUTE ORIËNTATIE DENSE RECONSTRUCTIES VAN INTERIEURS MET PHOTOSCAN Interieur Sint-Jan-Baptistkerk Gent Interieur Onze-Lieve-Vrouwekerk Alsemberg FISHEYE FOTOGRAMMETRIE Casestudie: Sint-Michielskerk Gent CONCLUSIE BIBLIOGRAFIE Internetbronnen Literatuur IWT-TETRAproject 3D4SURE 2 37

3 1. INLEIDING In dit werkpakket gaan we het potentieel na van panoramische fotogrammetrie voor het maken van 3D modellen en documenteren van architecturale objecten. Fotogrammetrie is een wetenschap die op zich al langere tijd bestaat maar waarbij tot nu voornamelijk uitgegaan wordt van traditionele perspectief beelden gemaakt met een gewone camera. Het maken van panoramische beelden ligt vandaag de dag echter ook binnen handbereik van iedereen, mede dankzij de sterke evolutie in de wereld van de computer visie gedurende de laatste jaren. Enerzijds bestaan er dure, zeer geavanceerde lijn sensor cameras (spheron, eyescan, ) waarmee op een relatief eenvoudige manier zeer hoge resolutie panoramische beelden kunnen gemaakt worden, zelfs in HDR (High Dynamic Range) waardoor we de belichting van de foto later nog kunnen aanpassen. Maar dit zijn echter vaak dure toestellen. Anderzijds bestaan er op dit ogenblik verschillende softwaretools (zowel betalend als gratis) die op basis van verschillende beelden gemaakt met een traditionele camera en een panoramische camerahouder een panoramisch beeld kunnen opbouwen waardoor deze techniek voor iedereen met wat kennis van computers beschikbaar wordt. De panoramische camerahouder, die tegen aantrekkelijke prijs kan aangekocht worden (± 500 euro), zorgt er hierbij voor dat het fototoestel enkel kan roteren rond het brandpunt van de lens en er aldus geen parallax ontstaat. Panoramische beelden bieden als voordeel ten opzichte van perspectief beelden dat ze de volledige ruimte 360 graden rondom het camerastandpunt beschrijven. Dit wil zeggen dat ze veel meer informatie bevatten dan 1 enkele perspectief foto. Bijkomend kunnen de homologe punten voor de oriëntatie veel beter gespreid worden rond de camera s. Deze eigenschap biedt voornamelijk voordelen bij het opmeten van binnenruimtes waarbij de volledige ruimte dient opgemeten worden. Dit wil dus zeggen dat door de interne opbouw van een panoramisch beeld, slechts 3 panoramische beelden nodig zijn om een ruimte op te meten waarbij deze beelden ieder slechts eenmaal door het fotogrammetrisch proces van kalibratie en oriëntatie moeten gaan om gebruikt te worden voor opmetingen. Dit in vergelijking met veel gewone perspectief beelden die hiervoor nodig zouden zijn. Panoramische fotogrammetrie kan in wezen aanzien worden als een effectief, snel en goedkope tool om opmetingen te maken met behulp van foto s. IWT-TETRAproject 3D4SURE 3 37

4 2. HOE PANORAMAFOTO S MAKEN 2.1. SOORTEN PANORAMA S Het woord panorama betekent groothoekig zicht en een panoramafoto is dus in se een foto die een weids zicht geeft. Een 360 -foto is een iets specifiekere beschrijving en wil zeggen dat het om een panoramafoto gaat die compleet rondom aansluit. Nog een stap verder is dan de 360x180-foto (ook wel surround-foto of bolfoto genoemd), deze sluit zowel rondom als naar boven en beneden volledig aan en geeft dus een compleet beeld van de omgeving. Figuur 2-1: van links naar rechts panoramafoto 360foto 360x180foto In dit onderzoek zijn het de 360x180-foto s waarmee gewerkt zal worden, dus om het ons zelf makkelijk te maken gaan we er van uit dat telkens we de term panoramafoto laten vallen, we hier eigenlijk de 360x180-foto mee bedoelen. Verder kan er bij panoramafoto s ook een onderscheid worden tussen multi-foto panorama s en lijncamera panorama s. In het eerste geval worden er een set foto s gemaakt met een conventioneel digitaal fototoestel waarbij er overlap is tussen de foto s onderling. Deze worden dan tot een panoramische mozaïekfoto verwerkt door ze aan elkaar te stitchen via gespecialiseerde software. In het tweede geval wordt er een panoramafoto gemaakt met een gespecialiseerd fototoestel, namelijk een lijncamera. In dit onderzoek zal er gewerkt worden met multi-foto panorama s CAMERA-INSTELLINGEN Het is ook essentieel om de camera-parameters in te stellen (focus, diafragmawaarde, sluitertijd witbalans,) via de manuele modus zodat deze onveranderlijk blijven bij de verschillende aparte foto s. Dat vergemakkelijkt het stitching proces. Dit creëert wel het extra probleem dat niet elk gebied in het panorama correct belicht zal worden. Er zullen bij panorama s namelijk altijd donkere en meer lichte gebieden in beeld komen. Bijvoorbeeld in een binnenruimte met ramen, indien men donkere hoeken correct wil belichten, zullen de ramen overbelicht worden en vice versa. Daarom wordt er meestal aan bracketing gedaan bij panoramafotografie, dit is een techniek waarbij voor elke foto 3 (soms ook meer) opnames worden gemaakt, 1 met een zo correct mogelijke belichting, 1 met onderbelichting en 1 met overbelichting. Op deze manier kunnen panoramafoto s in HDRformaat (High Dynamic Range) gemaakt worden, waarbij de drie belichtingen gemixt worden om een zo goed mogelijk contrast te krijgen over de hele foto PARALLAX Parallax is de schijnbare positieverandering van een voorwerp ten opzichte van een ander voorwerp en/of achtergrond wanneer het vanuit verschillende posities bekeken wordt. Hoe IWT-TETRAproject 3D4SURE 4 37

5 dichter het voorwerp bij de waarnemer, hoe groter de parallax wordt. Figuur 2-2: voorbeeld van parallax (http:// telescript.denayer.wenk.be) Aangezien het doel van panoramafotografie is om verschillende aparte foto s aan elkaar te stitchen tot één foto via overlap tussen de foto s, kunnen er dus best geen schijnbare positieveranderingen zijn bij de aparte foto s onderling. Dit maakt het uitlijnen van de foto s op elkaar moeilijk. Dit brengt ons bij het no-parallax point, aangezien dit het punt is waarrond de camera geroteerd zal moeten worden om parallaxloze foto s te maken NO-PARALLAX POINT Om met een gewoon digitaal fototoestel een goede panoramische foto te bekomen is het belangrijk dat het no-parallax point van een camera niet verschuift bij het nemen van de afzonderlijke foto s die achteraf gestitcht worden. Dit is namelijk cruciaal om parallax te voorkomen. Het no-parallax punt is in feite het perspectivisch centrum van de lens en komt overeen met de plaats van de intredepupil. Er is een algemeen verspreid misverstand dat het no-parallax point overeen zou komen met het nodal point maar dit is eigenlijk niet juist, al wordt in de wereld van de panoramafotografie de term nodal point wel meestal gebruikt om het no-parallax punt aan te geven. We gaan er in dit rapport niet verder over uit weiden aangezien deze theoretische discussie voor ons niet belangrijk is zolang we maar het correcte punt kunnen vinden. Voor meer informatie hierover kan het volgende document geraadpleegd worden: Indien we onze camera dus willen bevestigen op een panoramakop (zie hoofdstuk 2.4.1), dan moeten we er dus voor zorgen dat de camera kan roteren rond het no-parallax point, daarom is het belangrijk de locatie van dit punt zo exact mogelijk te kunnen duiden. Hiervoor bestaan 2 manieren: 1. op de empirische manier door twee verticale lijnen op verschillende afstand met elkaar uit te lijnen, of 2. aan de hand van tabellen met data over de afstand van het no-parallax point tot de camerabevestiging EMPIRISCHE METHODE Een makkelijkere methode is om het no-parallax point empirisch te bepalen. Een panoramakop heeft 3 afstandsinstellingen (x,y,z) die ons toelaten om de rotatie-as van de camera te verschuiven. 2 ervan kunnen alvast eenvoudig achterhaald worden door de camera op de panoramakop te bevestigen en loodrecht naar beneden te richten. De panoramakop heeft daar namelijk een schroef staan die horizontaal kan roteren. Het komt er nu op aan om door de zoeker van de camera de centrummarkering van die schroef in je foto te centreren. Dit IWT-TETRAproject 3D4SURE 5 37

6 kan door de 2 horizontale afstandsinstellingen aan te passen. Je kan dit nog controleren door een foto te maken en na te gaan of de centrummarkering ook werkelijk in het midden van de foto ligt. Eens deze zijn bepaald rest er nog één afstandsinstelling te achterhalen, namelijk diegene die ons toelaat om de camera volgens zijn visuele as naar voor of achter te verschuiven. Plaats hiervoor een stok of dunne paal kortbij de camera en zorg dat een verder gelegen verticale referentielijn erachter komt te liggen, bijvoorbeeld de zijkant van een deur of de hoek van een kamer. Richt de camera naar de referentielijn zodat deze in het midden van de foto komt. Plaats daarna de stok ertussen zodat deze uitgelijnd is met de referentielijn bekeken vanuit de camera. Zet de stok liefst iets dichter naar de camera toe dan naar de referentielijn, dan valt de parallax beter op. IWT-TETRAproject 3D4SURE 6 37

7 Als je dit gedaan hebt, roteer je de camera naar rechts totdat de referentielijn links in het zichtveld van de camera komt. Indien de lijnen nog steeds met elkaar uitgelijnd zijn, dan komt het no-parallax point overeen met de rotatie-as van de panorama beugel. Indien de stok rechts van de referentielijn komt te staan, dan wil dit zeggen dat het no-parallax point (en dus de camera) te ver naar achter staan ten opzichte van de rotatie-as. Staat de stok meer naar links, dan staat de camera te ver naar voor. Hierna kan je de camera lichtjes verschuiven en het proces herhalen totdat de stok en de lijn uitgelijnd zijn. Er is ook nog een variant op deze handeling, namelijk twee afstandsinstellingen zoeken die een even grote maar omgekeerde parallax vertonen en daar dan het midden tussen nemen. Op deze manier kan in principe de foutmarge met 50% verkleind worden. In plaats van bij een willekeurige afstandsinstelling te beginnen, schuif nu de camera naar voren tot de achterkant van de lens net boven de rotatie-as van de panoramakop staat en noteer de afstand op de schuifinstelling. Roteer de camera naar rechts totdat de referentielijn links in het zichtveld van de camera komt en maak een foto, roteer dan naar links totdat de referentielijn rechts in het zichtveld staat en maak ook een foto. Er zal op beide foto s een parallax tussen de twee verticale lijnen zichtbaar zijn. Schuif dan de camera helemaal naar achteren, en herhaal het vorige proces. Er zal bij dit IWT-TETRAproject 3D4SURE 7 37

8 fotopaar ook parallax optreden maar dan in omgekeerd richting. Het komt er nu op aan de camera naar voren te schuiven tot het parallaxverschil op beide fotoparen exact omgekeerd qua grootte is. Hierbij kan je dan stellen dat het no-parallax point precies tussen deze beide afstandsinstellingen ligt. Stel deze afstand in en maak voor de zekerheid nog 2 controlefoto s. Hier zou de parallax nu niet meer mogen optreden. Nog enkele tips: -Je controleert de laatste opnames het best op een computerscherm; het schermpje van je camera is te klein om dit nauwkeurig te doen. -De eerste 2 zijn hetzelfde voor een bepaalde body, de derde verandert van objectief tot objectief -Je mag de brandpuntsafstand ook niet wijzigen eens je het no-parallax point hebt ingesteld TABELLEN Zoals reeds gezegd zijn er tabellen te vinden die per cameratype en lenstype de afstanden geven tussen camerabevestiging en de intredepupil, bijvoorbeeld: Eens de afstanden gekend zijn, kunnen deze ingesteld worden op de panoramakop TOESTELLEN OM PANORAMISCHE FOTO S TE TREKKEN In hoofdstuk 2.1. is al uitgelegd dat het no-parallax point van de camera best gebruikt wordt als rotatiepunt voor de camera. Omdat dit handheld niet realiseerbaar is zijn er tegenwoordig al vele toestellen beschikbaar op de markt om dit te vergemakkelijken PANORAMAKOP Een eerste optie is om een statief te gebruiken met daarop een panoramakop bevestigd. Hier kan dan de camera op bevestigd worden om eerst het no-parallax point in te stellen en daarna de camera rond dit punt te kunnen draaien en het 360 -panoramabeeld op te bouwen. IWT-TETRAproject 3D4SURE 8 37

9 Figuur 2-3: nodal ninja AUTOMATISCHE PANORAMAKOP Een automatische panoramakop verzorgt de horizontale en verticale rotaties van de camera met een geschikte overlap door middel van twee servomotortjes. Een voorbeeld hiervan is de GigaPan EPIC PRO (kostprijs 869 EUR). Het werken met een automatische panoramakop wordt bijzonder interessant wanneer er met lenzen met grotere brandpuntsafstanden wordt gewerkt. Dit gezien het groter aantal vereiste foto s door de kleinere beeldhoek. Figuur 2-4: gigapan epic series PANORAMACAMERA S Enerzijds kunnen er foto s gemaakt worden met standaard digitale camera s waarvan de foto s achteraf gestitcht worden, maar er is bestaat ook een alternatief. Een Rotating line camera bestaat uit een CCD lijnsensor (voor elk RGB-kanaal één). Deze lijnsensor wordt vervolgens om een verticale as geroteerd, en aldus wordt het panorama opgebouwd lijn per lijn. De lijnsensor beschrijft tijdens de rotatie een cylinderoppervlak. Bij het cylindrisch model kan de onderkant en bovenkant echter niet waargenomen worden. Deze systemen leveren zeer gedetailleerde panorama s, maar zijn echter zeer duur. In dit IWT-TETRAproject 3D4SURE 9 37

10 onderzoek zullen we hier dan ook verder niet op ingaan maar enkele voorbeelden van dit type camera s zijn: -Panoscan mark III Figuur 2-5: panoscan mark III -sensorgrootte: trilineair 72mm 12 micron pixels -resolutie: maximum: 9000 x pixels -lens: 22,5mm to 300mm -output: TIFF, adobe DNG -Spheron Figuur 2-6 -sensorgrootte: not given -resolutie: maximum: 5300 x pixels -lens: 16 mm -output: JPEG, TIFF, GIF, BMP, PNG, TGA IWT-TETRAproject 3D4SURE 10 37

11 Bij de Spheron wordt een (kleine) ruimte opgemeten door 2 panorama s boven elkaar te nemen, met een gekende gekalibreerde verticale tussenafstand. In de software kunnen dan de 3D-coordinaten van een pixel opgevraagd worden. -Eyescan m3 -Fovex -sensorgrootte: not given -resolutie: maximum: 7500 x pixels -lens: 23 mm, 45mm, 60mm, 80mm -output: PANORAMA ADHV MEERDERE CAMERA S BINNEN BEHUIZING Voorbeelden hiervan zijn de Ladybug3 en de nctech istar. Resolutie is vaak eerder beperkt DE FOTO OPNAME Tijdens het nemen van sferische panorama s (met panoramakop) moet de brandpuntsafstand behouden worden. Deze dient dus gekozen en gefixeerd te worden voor het starten van de opnames. Om geen parallaxverschuivingen te hebben wanneer de camera roteert, dient de rotatie uitgevoerd te worden rond het no-parallax point. Een voorafgaande kalibratie op de panoramakop is vereist voor elke combinatie van camerabody en lens. Het is een goede vuistregel om naburige foto s minstens 25-30% te laten overlappen OVERLAP IWT-TETRAproject 3D4SURE 11 37

12 Figuur 2-7: overlap voor panoramafoto s horizontaal en verticaal (Wissam Wahbeh, 2011) LENSKEUZE De lenskeuze heeft invloed op 2 belangrijke parameters, namelijk de pixeldichtheid en de beeldhoek (en bijgevolg ook het aantal foto s dat nodig is per panorama). We hebben 3 lenzen ter beschikking voor onze canon eos 5D, namelijk een 8mm fisheyelens, een 24mm of een 50mm. We zullen deze daarom met elkaar vergelijken -resolutie per hoek van 1 op een bepaalde afstand -om deze berekeningen automatisch te doen: FISHEYE LENS - type lens: Sigma EX DG Fisheye 8mm -horizontale beeldhoek =180 -aantal pixels in breedte = 5616 pixels Aantal foto s nodig voor een volledige 360x180 foto met een overlap van 30%: - totaal aantal foto s met 8mm lens: 8 - camera wordt gebruikt in portretmodus op de nodal ninja -6 foto s op 0 (evenaarsvlak) foto op 90 en -90 (naar boven/beneden) MM LENS -type lens = Sigma 24-70mm F2.8 EX DG IF HSM compact Canon -horizontale beeldhoek = 73,74 -aantal pixels in breedte = 5616 pixels -berekening pixeldichtheid: -pixels voor 360 panorama: -pixeldichtheid in /pixel: -pixeldichtheid in mm/pixel: 5616 pixels 73,74 73, pixels 2 π 10000mm 27406,08 pixels 360 = 27406,08 pixels 3600 =47,3 /pixel = 2,2mm/pixel (op afstand van 10m) IWT-TETRAproject 3D4SURE 12 37

13 Aantal foto s: -aantal foto s met 24 mm lens: 30 -beeldhoek horizontaal: 73,74 -beeldhoek verticaal: 53,13 -camera wordt gebruikt in portretmodus dus we moeten beiden omwisselen! -12 foto s op foto s op 45 en foto op 90 en MM LENS - type lens: Canon 50mm -horizontale beeldhoek = 39,60 -aantal pixels in breedte = 5616 pixels -pixels voor 360 panorama: -pixeldichtheid in /pixel: -pixeldichtheid in mm/pixel: 5616 pixels 39,6 39, pixels 2 π 10000mm 51054,54 pixels 360 = 51054,54 pixels 3600 = 25,4 "/pixel = 1,2mm/pixel (op afstand van 10m) Nagaan hoeveel foto s we nodig hebben voor een volledige 360x180 foto. Probeer een overlap van 25% te handhaven. -Aantal foto s met 50 mm lens: 110 -beeldhoek horizontaal: 39,6 -beeldhoek verticaal: 26,9 -camera wordt gebruikt in portretmodus dus we moeten beiden omwisselen! -24 foto s op foto s op 30 en foto s op 60 en foto op 90 en -90 In geval van de 24mm en de 50mm lens wordt al snel duidelijk dat het aantal foto s zeer groot wordt. Voor de fisheye lens kan dus een gewone panoramakop gebruikt worden, maar voor betere pixeldichtheden lijkt een automatische panoramakop aangewezen omdat het anders zeer lang duurt om alle foto s te nemen, zeker omdat dit ook nog eens langer duurt omwille van de bracketing STITCHING SOFTWARE PANORAMISCHE FOTO S STITCHEN ALS KALIBRATIEMETHODE Na de stitching kunnen de bekomen panorama s als distortievrij worden beschouwd. De distortiecomponenten worden geschat en gecorrigeerd in de stitching software (Fangi, 2013). IWT-TETRAproject 3D4SURE 13 37

14 BESTAANDE SOFTWAREPAKKETTEN Om multifoto panorama s te maken zijn er een aantal commerciële softwarepakketten beschikbaar. Onderstaand lijstje geeft een overzicht van enkele van deze softwarepakketten. Ptgui Kolor Autopano Photoshop GigaPan Stitch Hugin (gratis) Windows Ice (gratis) Uit onze ervaring bleek dat indien de ene stitcher geen goed resultaat geeft, een andere dat misschien wel goed doet en omgekeerd. Ptgui geeft meestal goede resultaten, maar is trager bij hogere resoluties. Windows Ice en Autopan werken sneller. GigaPan Stitch is de software die bij de GigaPan panoramakop wordt geleverd en gezien de gekende opnamevolgorde kan deze ook tot een snel resultaat komen WERKING VAN STITCHING SOFTWARE Bij het aan elkaar linken van de verschillende foto s worden de volgende stappen uitgevoerd: Input: ongeordende reeks afbeeldingen -Herkenningspunten uit alle afbeeldingen halen. -Vinden van de afbeeldingen die het meeste overlappen. -Voor elke afbeelding: selecteer de foto die de meeste overeenkomstige herkenningspunten ermee heeft; vinden van geometrische consistentie voor de homografie tussen de twee foto s; controleren van de overeenkomsten met behulp van het probabilistische model. -Vinden van verbonden onderdelen tussen gelinkte afbeeldingen. -Voor elke verbonden component: uitvoeren van bundle adjustment om de rotaties en de focusafstand van de camera op te lossen; genereren van het panorama met behulp van multi-band blending. Output: panoramische afbeelding (Wissam Wahbeh, 2011). Wanneer het geheel aan foto s is georiënteerd, wordt deze 360 panoramafoto geprojecteerd op een bol. De sferische coördinaten kunnen worden afgeleid uit de horizontale en verticale hoeken. De horizontale en verticale hoeken zijn de hoeken die zouden worden gemeten wanneer er in het midden van de bol een theodoliet wordt geplaatst i.p.v. een camera (H. Haggrén, H. Hyyppä, O. Jokinen, A. Kukko, M. Nuikka, T. Pitkänen, P. Pöntinen, P. Rönnholm). Deze bol kan vervolgens worden geprojecteerd om tot een vlakke voorstelling van het panorama te komen. IWT-TETRAproject 3D4SURE 14 37

15 3. OPSTELLEN VAN EEN MATHEMATISCH MODEL VOOR PANORAMISCHE FOTOGRAMMETRIE 3.1. RELATIE TUSSEN SFERISCHE EN CARTESISCHE COÖRDINATEN Aangezien de panoramafoto in eerste instantie bestaat uit een boloppervlak worden de pixels erop aangeduid via sferische coördinaten. Deze bepalen de positie van een punt in een driedimensionale ruimte gebaseerd op een afstand ρ tot het centrum van een bol en twee hoeken θ en ф. Figuur 3-1: sferische coördinaten (www.mathinsight.org) Op de bovenstaande tekening zijn de sferische coördinaten van het punt P te zien. De coördinaat ρ is de afstand van het punt P tot de oorsprong van het x, y, z assenstelsel. Als het punt Q de projectie is van het punt P in het xy-vlak, dan is θ de hoek tussen de positieve x- as en het lijnsegment van het centrum tot Q. ϕ is de hoek tussen de positieve z-as en het lijnsegment van het centrum tot P. Door gebruik te maken van driehoeksmeetkunde kan de relatie tussen de cartesische en de sferische coördinaten worden gevonden. x = ρ sin(ϕ) cos (ϑ) y = ρ sin(ϕ) sin (ϑ) z = ρ cos(ϕ) Figuur 3-2: relatie tussen cartesische en sferische coördinaten (www.mathinsight.org) IWT-TETRAproject 3D4SURE 15 37

16 Wanneer bij sferische coördinaten de coördinaat ρ constant wordt gehouden, wordt er een bolprojectie verkregen waarvan de straal gelijk is aan ρ. Bij het wiskundig model dat gebruik maakt van sferische coördinaten om panoramische beelden te beschrijven, is ρ dus een constante en de straal ρ die wordt gebruikt bij sferische fotogrammetrie is hier dan gelijk aan de brandpuntsafstand van de lens EQUIRECTANGULAIRE PROJECTIE Allereerst is het belangrijk een onderscheid te maken tussen de verschillende coördinatensystemen. Om een panoramisch beeld te benaderen via sferische coördinaten worden er namelijk vier coördinatensystemen gedefinieerd (Danilo Schneider, Ellen Schwalbe). -Object of wereldcoördinatensysteem: Dit is het eerste coördinatensysteem, de assen (X, Y, Z) hangen vast aan de positie van de werkelijke punten. Dit is een rechtshandig orthonormaal assenstelsel, waarvan de afstanden worden gemeten in meter. -Camera coördinatensysteem: Het tweede coördinatensysteem (x, y, z) is dit van de camera, waarin het centrum van dit assenstelsel het projectiecentrum van de camera is. Ook dit is een rechtshandig orthonormaal assenstelsel, waarvan de afstanden worden gemeten in meter. -Sferisch camera coördinatensysteem: Dit is de bol waarop de foto wordt geprojecteerd. Dit wordt beschreven door de hoeken θ, ζ en de straal R. Dit coördinatensysteem heeft hetzelfde centrum als het camera coördinatensysteem. De afstanden worden gemeten in meter. -Beeld coördinatensysteem: Het laatste coördinatensysteem is dit van de foto. In tegenstelling tot de vorige drie coördinatensystemen wordt er hier in pixels (x, y ) gemeten i.p.v. in meter. Figuur 3-3: coördinatenstelsels Zoals reeds gezegd worden bij een panoramafoto de verschillende foto s geprojecteerd op een bol. IWT-TETRAproject 3D4SURE 16 37

17 Figuur 3-4: Projectie van afzonderlijke foto's op een bol (Wahbeh, 2011) Deze bol wordt dan teruggeprojecteerd naar een plat vlak door middel van een cartografische projectie, meestal kiest men voor de equirectangulaire projectie (ook wel equidistante cilinderprojectie genoemd). Dit is een kaartprojectie die een boloppervlak omzet tot een vlakke kaart met een vierkant graadnet een waarop de afstanden van de meridianen gelijk blijven als ze naar verticale lijnen omgezet worden. Voor de breedtecirkel blijft enkel de middelste breedtecirkel gelijk in afstand, de andere kleinere breedtecirkels worden in de projectie allemaal uitgerekt tot de zelfde lengte als de middelste breedtecirkel. Uit deze projectie kunnen de horizontale en verticale hoeken, zoals ze met een theodoliet zouden worden opgemeten, gemakkelijk afgeleid worden. Figuur 3-5: equirectangulaire projectie (Wahbeh, 2011) Wanneer het punt P nu wordt voorgesteld in een equirectangulaire projectie, dan kan de relatie tussen de hoeken θ, φ en de pixelcoördinaten x en y gevonden worden (Fangi, 2007). Figuur 3-6: Relatie tussen hoeken θ, φ en de pixelcoördinaten x = r θ y = r φ (ϴ in radialen) (φ in radialen) De straal r van de bol kan worden gehaald uit de breedte van de vlakke projectie, dit is gelijk aan het aantal pixels die de breedte van de panoramische foto heeft. Wordt de breedte van de vlakke projectie gelijk gesteld aan a, dan kan hieruit r worden gehaald (Fangi, 2007). r = a 2π Wanneer r gekend is, dan kunnen de hoeken θ en φ worden berekend (Fangi, 2007). IWT-TETRAproject 3D4SURE 17 37

18 θ = x r φ = y r De hoeken θ en φ die hier worden berekend zijn dezelfde hoeken als de hoeken die zouden worden gemeten met een theodoliet vanuit het midden van de bolprojectie. De hoek θ gaat van 0 tot 360 en de hoek φ gaat van 0 tot 180. Wel is er bij deze benadering geen rekening gehouden met de eventuele scheefstand van de camera. Wanneer een 360 panorama wordt gebruikt ter vervanging van een theodoliet moeten er namelijk twee rotatiehoeken (een horizontale en een verticale) worden ingevoerd. Deze rotatiehoeken zijn nodig om de verticale as even precies te kunnen opstellen als bij een theodoliet. Om de hoeken θ en φ te corrigeren, wordt eerst de relatie tussen het camera assenstelsel (x, y, z) en het object assenstelsel (X, Y, Z) gezocht. x = X X 0 y = Y Y 0 z = Z Z 0 Met (X 0, Y 0, Z 0 ) = Coördinaten van het cameramidden in het object coördinatensysteem. (X, Y, Z) = Coördinaten van een object punt. (x, y, z) = Coördinaten van een object punt in het camera coördinatensysteem. In het sferische camera coördinatensysteem worden de coördinaten van het punt P weergegeven door: X = r sin(φ) sin (θ) Y = r sin(φ) cos (θ) Z = r cos (φ) Met (X *, Y *, Z * ) = 3D cartesische coördinaten van het punt P in het camera assenstelsel. φ = Verticale hoek van de sferische coördinaten. θ = Horizontale hoek van de sferische coördinaten. r = Straal van de bolprojectie IWT-TETRAproject 3D4SURE 18 37

19 Figuur 3-7: Scheefstand van de panoramafoto De sferische coördinaten die worden bekomen, zijn berekend met de ongecorrigeerde hoeken θ en φ. Ze moeten dus nog worden gecorrigeerd. Om naar de gecorrigeerde coördinaten over te gaan moet er een rotatiematrix R ingevoerd worden met de correctiehoeken dα x, dα y en dα z in. De gecorrigeerde coördinaten worden gegeven door onderstaande vergelijking. X [ Y ] = [ Z 1 dα z dα y dα z 1 dα x dα y dα x 1 r sin(θ) sin (φ) ] = [ r cos(θ) sin (φ)] Z Z 0 r cos (φ) X X 0 ] [ Y Y 0 Om de uitdrukking voor de gecorrigeerde hoek θ te vinden, wordt de eerste rij gedeeld door de tweede rij. En uit de derde rij kan de uitdrukking voor φ worden gehaald. θ = atg ( X Y ) θ = atg( 1 (X X 0) + dα z (Y Y 0 ) + ( dα y ) (Z Z 0 ) dα z (X X 0 ) + 1 (Y Y 0 ) + dα x (Z Z 0 ) ) θ = atg( x dα z y dα y z dα z x + y + dα x z ) φ = acos ( z r ) φ = acos ( dα y (X X 0 ) + ( dα x ) (Y Y 0 ) + 1 (Z Z 0 ) ) r φ = acos ( dα y x + dα x y + z ) r De waarde van de correctiehoeken dα x, dα y en dα z wordt geschat. Dit wordt gedaan door eerst een waarde te schatten die in de buurt ligt van de werkelijke waarde, daarna wordt verder IWT-TETRAproject 3D4SURE 19 37

20 gewerkt met de standaard procedure. De voorgaande vergelijkingen zijn de juiste vergelijkingen van de horizontale hoek θ en de verticale hoek φ. Het bepalen van deze scheefstand is in het ideale geval, wanneer alle verschillende foto s die nodig zijn om een 360 panorama te maken vanuit exact hetzelfde punt zijn genomen, niet nodig. Wanneer echter de foto s niet steeds vanuit hetzelfde punt zijn genomen, zal er op de horizontale en verticale hoeken een kleine fout zitten als de camera scheefstaat ORIËNTATIE EN 3D RECONSTRUCTIE Om de verschillende panorama s t.o.v. elkaar te oriënteren zijn er twee mogelijke werkwijzen. Ofwel kan er gebruik gemaakt worden van een absolute oriëntatie (elk panorama wordt op basis van GCP s rechtstreeks georiënteerd in het wereldassenstelsel) ofwel van een relatieve oriëntatie (elk panorama wordt eerst ten opzichte van de andere panorama s georiënteerd). Nadat de verschillende panorama s georiënteerd zijn, kan de 3D-reconstructie volgen Absolute Oriëntatie De relatie tussen het camera-assenstelsel van het panorama (x,y,z) en het wereldassenstel (X,Y,Z) wordt beschreven door een projectiematrix P. Deze matrix P combineert een rotatiematrix R met een translatiecomponent t. x X X [ y] = [R t] [ Y ] = P [ Y ] Z Z z 1 1 Voor de scheef symmetrische matrix van het camera-assenstelsel geldt: En dus: 0 z y x [ z 0 x] [ y] = 0 y x 0 z 0 z y X [ z 0 x] [R t] [ Y ] = 0 Z y x 0 1 Indien men nu de 3x4 matrix P uitschrijft als een vector [P11, P12,, P34] bekomt men de vergelijkingen van dit stelsel. Elk GCP levert 3 vergelijkingen voor 12 onbekenden, wat neerkomt op minimaal 4 GCP s om de projectiematrix P te kunnen oplossen. Met A P 11 P 12 P 13 P 14 [ P 34 ] = 0 IWT-TETRAproject 3D4SURE 20 37

Het maken van panorama foto s en de keuze van het correcte rotatiepunt van de camera.

Het maken van panorama foto s en de keuze van het correcte rotatiepunt van de camera. Het maken van panorama foto s en de keuze van het correcte rotatiepunt van de camera. Definitie Een panoramafoto maak je door meerdere opnames van de scène samen te voegen tot één panoramafoto. De verschillende

Nadere informatie

Photomodeler Scanner: Workflow

Photomodeler Scanner: Workflow KAHO St-Lieven GENT Thomas More MECHELEN 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project Photomodeler Scanner: Workflow Inhoud 01. Importeren foto s en automatische oriëntatie 02. geometrie

Nadere informatie

3D4SURE. Werkpakket 2.6 Imaging stations. Auteurs: Bjorn Van Genechten KaHo Sint-Lieven Wouter Dreessen KaHo Sint-Lieven

3D4SURE. Werkpakket 2.6 Imaging stations. Auteurs: Bjorn Van Genechten KaHo Sint-Lieven Wouter Dreessen KaHo Sint-Lieven KAHO St-Lieven GENT Thomas More Mechelen 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project 3D4SURE Werkpakket 2.6 Imaging stations Auteurs: Bjorn Van Genechten KaHo Sint-Lieven Wouter Dreessen

Nadere informatie

HDR- FOTOGRAFIE. Inleiding. Het digitale beeld - Bijlage

HDR- FOTOGRAFIE. Inleiding. Het digitale beeld - Bijlage HDR- FOTOGRAFIE Inleiding Wanneer je door de zoeker van je al dan niet spiegelreflex camera kijkt en een prachtige scène hebt waargenomen en vastgelegd, dan is er naderhand soms enige teleurstelling wanneer

Nadere informatie

Aandachtspunten voor terrestrische foto-opname bij bouwkundig en archeologisch erfgoed

Aandachtspunten voor terrestrische foto-opname bij bouwkundig en archeologisch erfgoed KAHO St-Lieven GENT Thomas More MECHELEN 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project Aandachtspunten voor terrestrische foto-opname bij bouwkundig en archeologisch erfgoed Inhoud 1. Keuze

Nadere informatie

Werkpakket 4.2 Handleiding ter bevordering van de nauwkeurigheid en efficiëntie

Werkpakket 4.2 Handleiding ter bevordering van de nauwkeurigheid en efficiëntie KAHO St-Lieven GENT Thomas More Mechelen 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project 3D4SURE Werkpakket 4.2 Handleiding ter bevordering van de nauwkeurigheid en efficiëntie Auteurs: Jasper

Nadere informatie

Deel 1. Wat is HDR fotografie?.

Deel 1. Wat is HDR fotografie?. Deel 1. Wat is HDR fotografie?. Inleiding. Met het intrede van de digitale fotografie is ook de beeldbewerkingsoftware in een stroomversnelling geraakt. Eén van de meest recente ontwikkelingen is de High

Nadere informatie

WP5 Vergelijking van de verwerkingspakketten met aandacht voor de vereisten van de eindgebruiker

WP5 Vergelijking van de verwerkingspakketten met aandacht voor de vereisten van de eindgebruiker KAHO St-Lieven GENT Thomas More MECHELEN 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project WP5 Vergelijking van de verwerkingspakketten met aandacht voor de vereisten van de eindgebruiker Auteurs:

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

De fotogrammetrie bij het NGI

De fotogrammetrie bij het NGI De fotogrammetrie bij het NGI 1. Inleiding De fotogrammetrie is de techniek die toelaat metingen te verrichten vanaf foto s (of volgens de ontwikkelingen gedurende de laatste jaren metingen te verrichten

Nadere informatie

Informatie over Lenzen

Informatie over Lenzen Informatie over Lenzen Camera CCD Sensor: De grootte van de camerabeeld sensor (CCD) beïnvloed ook de kijkhoek, waarbij de kleinere beeldsensoren een smallere kijkhoek creëren wanneer gebruikt met eenzelfde

Nadere informatie

Autodesk Recap Photo: Workflow

Autodesk Recap Photo: Workflow KAHO St-Lieven GENT Thomas More MECHELEN 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project Autodesk Recap Photo: Workflow Inhoud 01. Inloggen 02. Foto s uploaden 03. Creëer een voorlopig 3D-model

Nadere informatie

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Sofie De Cooman 21 December 2006 Stagebedrijf: Interne begeleider: Externe begeleider: BarcoView Koen Van De Wiele

Nadere informatie

Werkpakket 4.1 Evalueren van de 3D modellen

Werkpakket 4.1 Evalueren van de 3D modellen KAHO St-Lieven GENT Thomas More Mechelen 3D PHOTOGRAMMETRY FOR SURVEYING ENGINEERING IWT TETRA project 3D4SURE Werkpakket 4.1 Evalueren van de 3D modellen Auteurs: Jasper Wisbecq KaHo Sint-Lieven Björn

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

2IV10 Instructie 3: Transformaties en viewing

2IV10 Instructie 3: Transformaties en viewing 2IV0 Instructie 3: Transformaties en viewing. Gegeven een vierkant met ribbe, waarvan de linkeronderhoek in de oorsprong ligt. α s O C B A a. Geef een transformatiematrix waarmee dit vierkant wordt getransformeerd

Nadere informatie

Het gebruik van filters bij landschapsfotografie. Myriam Vos

Het gebruik van filters bij landschapsfotografie. Myriam Vos Het gebruik van filters bij landschapsfotografie Waarom zijn er filters nodig? Het dynamisch bereik van een camera is de verhouding van het felste licht tot het zwakste licht dat nog kan worden waargenomen.

Nadere informatie

Hoe maak je een HDR-foto?

Hoe maak je een HDR-foto? Hoe maak je een HDR-foto? De eerste vraag is natuurlijk; wat is HDR. HDR staat voor High Dynamic Range en betekent niets meer en minder dat je gewoon een heel groot verschil van donker naar licht in je

Nadere informatie

SENSOR op stof en vlekken controleren

SENSOR op stof en vlekken controleren SENSOR op stof en vlekken controleren Camera: Jpeg. Om sneller te kunnen kijken op de computer. ISO op 100. Brandpuntsafstand 50 mm of meer. Scherpinstelling op handmatig (MF). a. Effen wit vel: Scherpstelling

Nadere informatie

Handleiding Optiekset met bank

Handleiding Optiekset met bank Handleiding Optiekset met bank 112110 112110 112114 Optieksets voor practicum De bovenstaande Eurofysica optieksets zijn geschikt voor alle nodige optiekproeven in het practicum. De basisset (112110) behandelt

Nadere informatie

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie

Nadere informatie

IWT-TETRA PROJECT 120162 GEBRUIKERSGROEPVERGADERING IV 21 FEBRUARI 2014

IWT-TETRA PROJECT 120162 GEBRUIKERSGROEPVERGADERING IV 21 FEBRUARI 2014 IWT-TETRA PROJECT 120162 GEBRUIKERSGROEPVERGADERING IV 21 FEBRUARI 2014 STATUS Project WP3: Optimalisatie WP4: Evaluatie van de 3D puntenwolk WP5: Toepassingsmatrix Afgerond Afronding nabij Resultaten

Nadere informatie

Fotografie: van opname tot archivering deel 1. Bruno Vandermeulen

Fotografie: van opname tot archivering deel 1. Bruno Vandermeulen Fotografie: van opname tot archivering deel 1 Bruno Vandermeulen 6 7 8 9 10 11 12 1 3 Wat is een camera? Zwarte doos: camera obscura Sensor Sluiter Objectief Diafragma Sensor Pixels Grootte 15 16 Camera

Nadere informatie

Een panoramafoto maken in Photoshop CS2

Een panoramafoto maken in Photoshop CS2 Een panoramafoto maken in Photoshop CS2 Marc Cielen - Versie 1.0 - Februari 2006 - Alle foto s en illustraties: marc-en-ciel Alles uit deze uitgave mag vrij verspreid en gekopieerd worden, mits vermelding

Nadere informatie

Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie

Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie Inleiding Energie-efficiëntie is zelden de primaire zorg bij het programmeren van een robot. Hoewel er in onderzoek reeds methodes werden ontwikkeld

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Lessen over Cosmografie

Lessen over Cosmografie Lessen over Cosmografie Les 1 : Geografische coördinaten Meridianen en parallellen Orthodromen of grootcirkels Geografische lengte en breedte Afstand gemeten langs meridiaan en parallel Orthodromische

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien?

Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien? Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien? Michael H.F. Wilkinson Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Les voor technasium, 5 februari 2008 Informatica aan de RUG Informatica

Nadere informatie

Gebruikersgroep vergadering III 15 oktober 2013

Gebruikersgroep vergadering III 15 oktober 2013 Onderwerp: Verslag derde gebruikersgroepvergadering van 3D4SURE Plaats: Katholieke Hogeschool Gent Datum: 15 oktober 2013 1. Aanwezigen 1.1 Projectleden Liesbet Cockx (Lessius Mechelen), Bjorn van Genechten

Nadere informatie

Hoe maak ik een panoramafoto?

Hoe maak ik een panoramafoto? Hoe maak ik een panoramafoto?. Benodigdheden voor een panoramafoto Om een panoramafoto te maken die perfect te plakken is in je software leg ik hier uit hoe je een panoramafoto maakt met behulp van een

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

PANORAMA FOTOGRAFIE. Syllabus behorende bij de workshop panorama fotografie

PANORAMA FOTOGRAFIE. Syllabus behorende bij de workshop panorama fotografie PANORAMA FOTOGRAFIE Syllabus behorende bij de workshop panorama fotografie Rob van Kralingen, februari 2014 1 PANORAMA FOTOGRAFIE APP, 3 x 420 mm, bonenzak, cilindrische projectie Inleiding: De doelstelling

Nadere informatie

Een Panoramafoto maken Twee of meerdere foto s aan elkaar plakken.

Een Panoramafoto maken Twee of meerdere foto s aan elkaar plakken. Workshop 10 Micdigital Deel 1. Een Panoramafoto maken Twee of meerdere foto s aan elkaar plakken. In deze workshop gaan we twee foto s aan elkaar plakken en de helderheid aanpassen. Soms wil je van een

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 5

OEFENINGEN PYTHON REEKS 5 Vraag 1: Interpoleren (vervolg) OEFENINGEN PYTHON REEKS 5 Bouw verder op je code van Reeks 3, vraag 4. Voeg vier constanten toe aan je code: X0 = 280, Y0 = 0, Z0 = 50 en SIZE = 8. a) Teken een kubus met

Nadere informatie

Figuur 1: gekleurde pixels op een digitale sensor

Figuur 1: gekleurde pixels op een digitale sensor Wat zijn megapixels en waarom moet ik mij daar druk om maken? De afgelopen jaren zijn alle camera fabrikanten bezig geweest met een zogenaamde Megapixel oorlog. De ene fabrikant adverteerde met de nieuwste

Nadere informatie

In dit artikel laat ik aan de hand van een paar recente voorbeelden zien hoe je zelf je eigen panoramafoto s kunt nemen en bewerken.

In dit artikel laat ik aan de hand van een paar recente voorbeelden zien hoe je zelf je eigen panoramafoto s kunt nemen en bewerken. Panoramafoto s maken en bewerken DOOR Kenneth Verburg Ondanks de komst van ultra-groothoek lenzen kan het soms toch lastig zijn om de kijker een idee te geven van de schaal van grote landschappen. Niet

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen

Nadere informatie

Diafragma, hoe werkt het

Diafragma, hoe werkt het Diafragma, hoe werkt het DOOR KENNETH VERBURG IN BASISCURSUS - 172 REACTIES Onderdeel van de serie 1. Basiskennis Starten met een spiegelreflexcamera Diafragma, hoe werkt het De beste sluitertijd kiezen

Nadere informatie

Fotografie tips voor betere landschapsfoto's

Fotografie tips voor betere landschapsfoto's Fotografie tips voor betere landschapsfoto's Dit artikel geeft je 10 praktische fotografie tips omtrent compositie, camera instellingen en belichting, die je zullen helpen betere landschapsfoto's te maken.

Nadere informatie

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht INLEIDING Een aantal jaar geleden leerde ik een nieuw spel kennen: geocaching. Dit is in feite een zoektocht waarbij je gebruik maakt van GPS-coördinaten. Op

Nadere informatie

SCHERPSTELLEN DIGITALE FOTOGRAFIE VAN OPNAME TOT AFDRUK HOOFDSTUK 3

SCHERPSTELLEN DIGITALE FOTOGRAFIE VAN OPNAME TOT AFDRUK HOOFDSTUK 3 3 SCHERPSTELLEN HOOFDSTUK 3 DIGITALE FOTOGRAFIE VAN OPNAME TOT AFDRUK Dit is hoofdstuk 3 van het boek waarin de volledige workflow voor de digitaal werkende fotograaf wordt behandeld. Wanneer u op de hoogte

Nadere informatie

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde Vak : Inleiding Optica (146012) Datum : 5 november 2010 Tijd : 8:45 uur 12.15 uur TENTAMEN Indien U een onderdeel van een vraagstuk

Nadere informatie

SCHERPTEDIEPTE EN EXPOAPERTURE 2

SCHERPTEDIEPTE EN EXPOAPERTURE 2 SCHERPTEDIEPTE EN EXPOAPERTURE 2 Inleiding Een aantal factoren speelt een rol bij het maken van een goede foto. In de eerste plaats het onderwerp en dan vooral de manier waarop het onderwerp is ingekaderd.

Nadere informatie

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

Verscherpen van foto s (Adobe Photoshop CS3)

Verscherpen van foto s (Adobe Photoshop CS3) Verscherpen van foto s (Adobe Photoshop CS3) Ga je voor de beste kwaliteit van je foto, in webpresentatie of afdruk? Lees dan verder, want het verscherpen van beeldmateriaal is een kritische stap in de

Nadere informatie

Het doel. is om een eerste inzicht te geven in de basis van de digitale fotografie.

Het doel. is om een eerste inzicht te geven in de basis van de digitale fotografie. De Basis 1 Het doel is om een eerste inzicht te geven in de basis van de digitale fotografie. Hoe je het juiste objectief moet kiezen, op welke wijze je de basisfuncties van je camera optimaal kan instellen.

Nadere informatie

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

mailgroep photoshop Copyright

mailgroep photoshop Copyright http://psdtuts.com/tutorials/drawing/how-to-create-a-classic-guitar-from-scratch-in-photoshop/ Gitaar tekenen In deze les leer je een Klassieke Gitaar tekenen. Iedere vorm en effect wordt in Photoshop

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Lenzen. Welke lens moet ik kiezen en voor welk doel?

Lenzen. Welke lens moet ik kiezen en voor welk doel? Lenzen Welke lens moet ik kiezen en voor welk doel? Soorten lenzen Zoom lenzen (b.v. 24-70mm) Superzooooom lenzen (b.v. 18-300mm) Vast lenzen (b.v. 50mm) Soorten lenzen Macro lenzen (b.v. 100mm) (Super)

Nadere informatie

oplossen. Door meerdere belichtingen te maken en ze samen te voegen in Photoshop vergroot je de dynamiek in je foto.

oplossen. Door meerdere belichtingen te maken en ze samen te voegen in Photoshop vergroot je de dynamiek in je foto. Een DRI maken: Hoofdstuk 1: Wat is een DRI DRI staat voor dynamic range increase en is een techniek om meer dynamiek in je foto aan te brengen. Een normale foto rechtstreek uit je (digitale of analoge)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Hoe kan ik panoramafoto s maken?

Hoe kan ik panoramafoto s maken? 38 Foto Hoe kan ik panoramafoto s maken? De indrukwekkende sfeer van eindeloze stranden en een overweldigend berglandschap krijg je meestal niet vastgelegd op één foto. Met panoramafoto s lukt het wel.

Nadere informatie

Hoe maak je een 360-graden-foto?

Hoe maak je een 360-graden-foto? Hoe maak je een 360-graden-foto? Een foto voor internet waarbij je naar links kunt kijken, naar rechts, naar boven en naar onderen. Alle kanten, echt 360 graden rondom. Het ziet er leuk uit en het is eigenlijk

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Het is James Clerk Maxwell geweest die het hele spectrum wiskundig heeft beschreven.

Het is James Clerk Maxwell geweest die het hele spectrum wiskundig heeft beschreven. 1. Inleiding Even heel kort een aantal begrippen. Licht behoort tot het elektromagnetische veld. In onderstaande afbeelding is een deel hiervan schematisch weergegeven. Het is James Clerk Maxwell geweest

Nadere informatie

Proefbeschrijving optiekset met bank 112110

Proefbeschrijving optiekset met bank 112110 112114 Optieksets voor practicum De bovenstaande optieksets zijn geschikt voor alle nodige optiekproeven in het practicum. De basisset () behandelt de ruimtelijke optiek en de uitbreidingset (112114) de

Nadere informatie

Overwegingen bij het kopen van een digitale foto camera.

Overwegingen bij het kopen van een digitale foto camera. Overwegingen bij het kopen van een digitale foto camera. Prijs, vorm, kleur en koopmoment. Digitale fotocamera's met verwisselbare lens t.o.v. camera's met vaste lens. Minimum aantal pixels. Lengte breedte

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN. Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN. Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN Vak : Inleiding Optica (19146011) Datum : 9 november 01 Tijd : 8:45 uur 1.15 uur Indien U een onderdeel van een vraagstuk

Nadere informatie

Bestandsformaten in de digitale fotografie: RAW of JPeg

Bestandsformaten in de digitale fotografie: RAW of JPeg Bestandsformaten in de digitale fotografie: RAW of JPeg De digitale camera is een waar rekenwonder. Het licht dat op de beeldsensor valt, wordt door een beeldprocessor (of zelfs twee processors) omgezet

Nadere informatie

HDR: de digitale Ansel Adams

HDR: de digitale Ansel Adams HDR: de digitale Ansel Adams In bepaalde (vaak Duitse) fotokringen is een nieuwe trend gaande: HDR-fotografie. HDR staat voor High Dynamic Range: een groot dynamisch bereik. HDR is de digitale tegenhanger

Nadere informatie

SketchUp L. 5.2 Scenes en Animaties

SketchUp L. 5.2 Scenes en Animaties 5.2 Scenes en Animaties Uw SketchUp-bestand kan één of meer scènes bevatten. Een scène bestaat uit uw model en een reeks scènespecifieke instellingen, zoals specifieke gezichtspunten, schaduwen, weergave-instellingen

Nadere informatie

HANDLEIDING SIMI AKTISYS

HANDLEIDING SIMI AKTISYS LESKIST SPORT EN BEWEGING HANDLEIDING SIMI AKTISYS Deze handleiding hoort bij de leskist Sport en Beweging. Onderdeel van deze leskist is het softwarepakket Simi Aktisys, met de bijbehorende hardware (o.a.

Nadere informatie

Gebruikershandleiding. Real-Time Tachymetermodule

Gebruikershandleiding. Real-Time Tachymetermodule Gebruikershandleiding Real-Time Tachymetermodule juli 2005 Inhoudstabel INHOUDSTABEL...2 INLEIDING :...3 BEPALEN VAN HET STANDPUNT :...4 LOKALE STATIONERING :...4 DE REFLECTORHOOGTE :...5 DE PROTOCOL FILE

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Tentamen Beeldverwerking TI2716-B Woensdag 28 januari 2015 14.00-17.00

Tentamen Beeldverwerking TI2716-B Woensdag 28 januari 2015 14.00-17.00 Tentamen Beeldverwerking TI2716-B Woensdag 28 januari 2015 14.00-17.00 De 2D Gaussische fimctie e-' = 037 e'^ =0.14 e"'' = 0.082 e-' =0.018 deze toets bestaat uit 4 opgaven en 8 pagina's Opgave 1 en 2

Nadere informatie

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van

Nadere informatie

Kleurmodel en Bestandsoutput van de kamera.

Kleurmodel en Bestandsoutput van de kamera. Van kamera tot print Intentie. In dit verhaal wordt belicht hoe je vanaf je kamera komt tot een eind-product. Dit eindproduct zal in ons geval zijn een te printen foto op formaat (bij benadering) 40x30

Nadere informatie

In Photoshop kun je afbeeldingen bewerken en aanpassen door de diverse toevoegingen en effecten die je wilt toepassen op aparte lagen uit te voeren.

In Photoshop kun je afbeeldingen bewerken en aanpassen door de diverse toevoegingen en effecten die je wilt toepassen op aparte lagen uit te voeren. PhotoShop Les 2 Werken met lagen, kleuren en transparantie Een digitale foto is een eigenlijk een simpel ding. Als je hem van heel erg dichtbij bekijkt is het niets meer dan een aantal rijen en kolommen

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001. Hoe werkt het? Beeldvormende radar maakt het mogelijk om dag en nacht, ook in bewolkte omstandigheden, het aardoppervlak waar te nemen vanuit satellieten. De radar zendt duizenden pulsen per seconde uit,

Nadere informatie

Bij de meeste camera s is de keuze van de belichtingsregelingen met een zogenaamd programmakeuzewiel

Bij de meeste camera s is de keuze van de belichtingsregelingen met een zogenaamd programmakeuzewiel Belichtingsregelingen: Basisgebruik Bij de meeste camera s is de keuze van de belichtingsregelingen met een zogenaamd programmakeuzewiel I uitgevoerd. De uitleg over functies wordt in twee delen gebracht,

Nadere informatie

Cursus KeyCreator. Oefening 13: Audiocassette

Cursus KeyCreator. Oefening 13: Audiocassette Cursus KeyCreator Oefening 13: Audiocassette Tekenen van een audiocassette Men dient hiervoor verschillende functies te gebruiken: - Tekenen van rechthoeken, lijnen en cirkels. - Trimmen, dubbeltrimmen

Nadere informatie

Gevorderde onderwerpen

Gevorderde onderwerpen Hoofdstuk 5 Gevorderde onderwerpen Doelstellingen 1. Weten wat M-cirkels voorstellen en de functie ervan begrijpen 2. Bodediagram van een algemene transfertfunctie kunnen tekenen 3. Begrijpen dat een regelaar

Nadere informatie

hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding).

hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding). hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding). 5.1 Drie soorten lichtbundels Als lichtstralen een bundel vormen kan dat op drie manieren. 1. een evenwijdige bundel. 2. een convergerende bundel 3. een divergerende bundel.

Nadere informatie

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Gestelde vragen en antwoorden 1. Kan er ook een webinar gegeven worden op het gebruik van een plaat met ribben. Dit voorstel is doorgegeven, en al intern

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

ThermaSkirt gebruiksaanwijzing

ThermaSkirt gebruiksaanwijzing ThermaSkirt gebruiksaanwijzing Stap 1 Teken de buitenste lijnen van de gehele kamer Klik op Start of ga naar Bestand en klik vervolgens op Nieuw of Openen om het programma te starten. Door op Start of

Nadere informatie

hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding).

hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding). hoofdstuk 5 Lenzen (inleiding). 5.1 Drie soorten lichtbundels Als lichtstralen een bundel vormen kan dat op drie manieren. 1. een evenwijdige bundel. 2. een convergerende bundel 3. een divergerende bundel.

Nadere informatie

De voordelen van de belichtingsregelingen onder creatief gebruik zijn in de meeste gevallen een juist belichte en creatievere foto.

De voordelen van de belichtingsregelingen onder creatief gebruik zijn in de meeste gevallen een juist belichte en creatievere foto. Belichtingsregelingen: Creatief gebruik Dit tweede deel, over het programmakeuzewiel, behandelt het creatief gebruik van belichtingsregelingen. Deze geavanceerde belichtingsregelingen zijn tegenwoordig

Nadere informatie

Tutorial exposure blending. Myriam Vos

Tutorial exposure blending. Myriam Vos Tutorial exposure blending Waarom blending? Het dynamisch bereik van een camera is de verhouding van het felste licht tot het zwakste licht dat nog kan worden waargenomen. Als mens kunnen we met onze ogen

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Digitale camera's. digitale camera's 1

Digitale camera's. digitale camera's 1 Digitale camera's digitale camera's 1 Categorieën (Ultra) compact Spiegelreflex lijkend Spiegelreflex Digitale achterwanden digitale camera's 2 (Ultra) compact Geschikt voor de meeste mensen Overal mee

Nadere informatie

Productfotografie in je eigen thuisstudio

Productfotografie in je eigen thuisstudio Productfotografie in je eigen thuisstudio Kenneth Verburg De feestdagen zitten er weer aan te komen en dus vallen er wekelijks tientallen folders met aanbiedingen door de brievenbus waarin de laatste producten

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

jaar: 1994 nummer: 12

jaar: 1994 nummer: 12 jaar: 1994 nummer: 12 Een vrouw staat vóór een spiegel en kijkt met behulp van een handspiegel naar de bloem achter op haar hoofd.de afstanden van de bloem tot de spiegels zijn op de figuur aangegeven.

Nadere informatie

Georeferentie in 3D fotogrammetrie

Georeferentie in 3D fotogrammetrie Campus De Nayer Departement Industriële Ingenieurswetenschappen Master in de industriële wetenschappen: Bouwkunde afstudeerrichting Landmeten Georeferentie in 3D fotogrammetrie Masterproef voorgedragen

Nadere informatie

Opdracht 1 bladzijde 8

Opdracht 1 bladzijde 8 Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume

Nadere informatie

HOVO statistiek November 2011 1

HOVO statistiek November 2011 1 Principale Componentenanalyse en hockeystick-short centring Principale Componentenanalyse bedacht door Karl Pearson in 1901 Peter Grünwald HOVO 31-10 2011 Stel we hebben een grote hoeveelheid data. Elk

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Daglengte. hoek (graden): 0 30 60 90 sinus: 0. 3 1 sinus afgerond: 0 0.50 0.87 1. 3 4 = 12 ± 3, 46 en 12 ± 4. Dat levert de volgende tabel.

Daglengte. hoek (graden): 0 30 60 90 sinus: 0. 3 1 sinus afgerond: 0 0.50 0.87 1. 3 4 = 12 ± 3, 46 en 12 ± 4. Dat levert de volgende tabel. Daglengte 22 december, de kortste dag, nog geen 8 uur. Maar van nu af gaan de dagen lengen; eerst heel langzaam, maar allengs sneller. En rond 21 maart is elke dag welhaast mekrbaar langer dan de vorige.

Nadere informatie