Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad

Transcriptie

1 Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad 3 Het basisvenster 1 Downloaden van GeoGebra - GeoGebra is een gratis wiskundepakket dat meetkunde of geometrie en algebra combineert. Elk meetkundig object correspondeert met een algebraïsche uitdrukking en omgekeerd. Het pakket wordt ontwikkeld door Markus Hohenwarter aan de Florida Atlantic University voor het wiskundeonderwijs in de middelbare scholen. - GeoGebra 4.2 is gratis te downloaden via Kies dan voor Software en daarna bij Geogebra Desktop voor Windows. Kies bij het installeren voor taal Nederlands. Bevestig dat je akkoord gaat met de licentievoorwaarden. Kies voor de standaardinstallatie en de knop Installeren. De installatie wordt nu voltooid, waarna je GeoGebra 4.2 kan opstarten. Om na te gaan over welke versie je beschikt, kan je het nummer opvragen via Help, About/Licentie. - Een voorlopige demoversie van GeoGebra 5.0 met een onderdeel voor ruimtemeetkunde kun je downloaden via het forum op de website Ga naar het onderdeel Bètatests Kies daar voor: en daarna voor: en dan voor: Kies nu voor de laatste beschikbare Installer versie. Bij mij was dit: Merk op dat de versie 5 eigenlijk een 4.9 versie is. De rest van de installatie gebeurt zoals bij GeoGebra Gebruik van GeoGebra - Je kunt GeoGebra gebruiken in de lessen meetkunde (werken met punten, rechten, lijnstukken, cirkels, hoeken, lengte en oppervlakte, eigenschappen onderzoeken van vlakke figuren, werken met transformaties van het vlak, congruentie en gelijkvormigheid, ), in de lessen getallenleer (numerieke berekeningen, uitwerken en ontbinden van algebraïsche vormen, oplossen van vergelijkingen, omvormen van formules, werken met tabellen, staafdiagrammen en grafieken, berekenen van gemiddelde en mediaan, ). Met de proefversie van GeoGebra 5.0 kun je ook aan ruimtemeetkunde doen. - GeoGebra kan gebruikt worden: - door de leraar om theorie (begrippen en eigenschappen) of oefeningen in de klas te demonstreren, - door de leerlingen om zelfstandig de theorie te verwerken aan de hand van een bestaande applet, - door de leerlingen om de resultaten van een oefening te controleren aan de hand van een bestaande applet of door zelf een applet op te bouwen, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze gebruik maken van een bestaande applet of webpagina, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze zelf de applet opbouwen. Wanneer je GeoGebra opstart krijg je bovenstaand beeld. - Bovenaan zie je de menubalk ( Bestand, Bewerken,...). We bespreken de menubalk onder 4. - Daaronder vind je werkbalk of de knoppenbalk. Hier vind je een aantal tekenopdrachten waarmee je constructies kunt uitvoeren in het tekenvenster. Terzelfdertijd worden de overeenkomstige coördinaten, vergelijkingen,... getoond in het algebravenster. We bespreken de werkbalk verder in 8. - Daaronder zie je twee vensters: links het algebravenster en rechts het tekenvenster. De schikking van deze vensters kan gewijzigd worden. In het algebravenster wordt onderscheid gemaakt tussen vrije objecten en afhankelijke objecten. Vrije objecten kunnen rechtstreeks gewijzigd worden. Dit is niet het geval voor afhankelijke objecten. In het tekenvenster staat een assenstelsel getekend. Dit assenstelsel kun je ook weglaten. - Helemaal onderaan vind je de invoerlijn (zie 6). Hier kun je rechtstreeks objecten, functies en commando's invoeren. Onmiddellijk na het indrukken van ENTER worden alle overeenkomstige objecten in het tekenvenster en het algebravenster getoond. Ook dit bespreken we verder in 8. 4 De menubalk 4.1 Bestand Nieuw venster Nieuw Openen Open webpagina Open recente Bestanden Opslaan (als) Broncode kopiëren Creëert een 2de, 3de,... venster om in te werken. Je start opnieuw met een leeg venster. Je kunt al of niet het vorige venster opslaan. Hiermee kun je een bestand inladen en openen. Hiermee kun je applets van het internet inladen en openen Hiermee kun je bestanden openen die je recent gebruikt hebt. Hiermee kun je een bestand opslaan (onder een bepaalde naam). Hiermee kun je applets invoeren vanuit Geogebra Wiki. 1 2

2 Exporteren Afdrukvoorbeeld Sluiten 4.2 Bewerken Hiermee kun je een dynamisch werkblad als webpagina maken 1. Je kunt ook het tekenvenster of een deel ervan kopiëren naar bijv. een Wordbestand. Laat je een afdrukvoorbeeld zien. Je kunt op voorhand een deel van het tekenvenster selecteren. Hiermee sluit je GeoGebra af. Toetsenbord Hiermee kun je een toetsenbord al dan niet zichtbaar maken. Het toetsenbord is zeer handig bij het gebruik van een e-board. Invoerveld Hiermee kun je het invoerveld zichtbaar of onzichtbaar maken. Lay-out Dit geeft opnieuw het menu Voorkeuren (zie 4.2). Vernieuwen Alle sporen (zie 5.3) worden verwijderd. Alles opnieuw Alle berekeningen worden opnieuw uitgevoerd. berekenen Ongedaan maken Hiermee kun je een vorige bewerking ongedaan maken. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk. Opnieuw Hiermee kun je het ongedaan maken opnieuw annuleren. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk Kopiëren Hiermee kun je de geselecteerde elementen kopiëren. Plakken Hiermee kun je de gekopieerde elementen plakken op een willekeurige plaats in hetzelfde of een ander venster. Tekenvenster Hiermee kun je het tekenvenster of een deel ervan kopiëren, bijv. naar een kopiëren Wordbestand. Afbeelding Hiermee kun je op een willekeurige plaats van het scherm een afbeelding invoeren uit invoegen van een bestand of van het klembord. Eigenschappen Dit brengt je in het menu voorkeuren. Je kan dit menu ook oproepen met de knop rechts van de werkbalk. Met het eerste ikoontje ( ) kun je één of meerdere objecten aanduiden in de linkerkolom en daarvan de eigenschappen wijzigen. We leggen dit uit in 5.3. Met het tweede ikoontje ( ) kun je het tekenvenster opmaken. We leggen dit uit in 5.2. Met het ikoontje kun je het invoerveld, de werkbalk en de titelbalk al dan niet zichtbaar maken. Met het ikoontje kun je een aantal voorkeuren instellen voor punten, rechten, Met het laatste ikoontje ( ) ten slotte kun je een aantal voorkeuren instellen voor de hoekeenheid, de stijl van de rechte hoek, de aanduiding van de coördinaten, Alles selecteren Hiermee kun je alle objecten uit het tekenvenster selecteren. Toon/verberg Hiermee kun je alle geselecteerde objecten tonen of verbergen. objecten Toon/verberg Hiermee kun je van alle geselecteerde objecten de labels tonen of verbergen. labels Verwijderen Hiermee kun je alle geselecteerde objecten verwijderen. 4.3 Beeld Algebravenster Hiermee kun je het algebravenster al dan niet zichtbaar maken 2. Rekenblad Hiermee kun je het rekenblad al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het rekenblad in 7. CAS Hiermee kun je het CAS-venster al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het CAS-venster in 11. Tekenvenster Hiermee kun je het tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Tekenvenster 2 Hiermee kun je een 2de tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Overzicht Hiermee verschijnt er rechts een venster met een overzicht van de verschillende constructiestappen constructiestappen. Je kan hier ook nog kiezen: - wat er bij elke stap getoond wordt (naam, icoon van de werkbalk, definitie, commando, waarde, titel en al of niet stoppunt), - of alle stappen of enkel de stoppunten moeten getoond worden, Je kan het overzicht van de constructiestappen wegschrijven als webpagina en je kan het afdrukken. Heel interessant is ook dat hier bij het vraagteken een ondersteuning staat bij Geogebra 4.2 (voorlopig enkel in het Engels). 4.4 Opties Algebraïsche beschrijvingen Magnetische roosterpunten Afronden Labels Bij waarde wordt van elk object in het algebravenster de waarde weergegeven, bijv. H=(3,2). Bij definitie wordt van elk object in het algebravenster de definitie weergegeven, bijv. H=snijpunt van h A en h B. Bij commando wordt van elk object in het algebravenster het commando weergegeven, dat het object genereerde, bijv. H=snijpunten[h A, h B ]. Hiermee kan je punten niet, min of meer of volledig binden aan roosterpunten. Uit : de punten zijn niet gebonden aan de roosterpunten. Vastmaken aan rooster (1): als je een punt aanduidt in de onmiddellijke omgeving van een roosterpunt, dan zal dit roosterpunt gekozen worden. Vastmaken aan rooster (2): gelijk waar je een punt aanduidt in het tekenvenster wordt altijd het dichtstbijzijnde roosterpunt gekozen. Automatisch : als het rooster niet aanstaat is dit gelijk aan Uit, als het rooster wel aanstaat is dit gelijk aan Vastmaken aan rooster (1). Hiermee kun je het aantal decimale cijfers (van 0 tot 15) of het aantal beduidende cijfers (van 3 tot 15) kiezen. Hierbij kun je al of niet namen zetten bij de objecten in het tekenvenster. Automatisch betekent dat er een label gezet wordt bij elk nieuw object als het algebravenster ingeschakeld is en geen label als het algebravenster niet ingeschakeld is. Hier kun je de lettergrootte in het tekenvenster kiezen. Hier kies je de taal waarin de opdrachten verschijnen. Lettergrootte Taal Geavanceerd Hier kom je weer in het menu Voorkeuren terecht (zie 4.2) Instellingen opslaan Dit slaat al de huidige instellingen op. Standaardinstellingen Zo keer je terug naar de standaardinstellingen van GeoGebra 4.2. herstellen 4.5 Macro's Hiermee kun je door enkele muisklikken een vooraf ingegeven constructie opnieuw laten uitvoeren. We leggen dit verder uit in 10 aan de hand van een voorbeeld. Verder kun je hier knoppen toevoegen of uitschakelen op de knoppenbalk. 4.6 Venster Hiermee kun je een nieuw venster openen. 4.7 Help Help Hiermee open je de GeoGebra Help (voor GeoGebra 4.2 voorlopig enkel in het Engels). Handleidingen Hier vind je heel wat handleidingen van GeoGebra. GeoGebraforum Hiermee open je een forum waar je vragen kan stellen over het gebruik van GeoGebra. GeoGebraTube Hier vind je heel wat dynamische applets die je in de lessen kunt gebruiken. Info/Licentie Hier kun je o.a. zien met welke versie van GeoGebra je werkt. 1 Je kiest dan voor het tabblad Exporteer als webpagina. Je vult de titel in en plaatst de tekst van de opgave boven of onder de constructie. In het tabblad Geavanceerd kun je kiezen of de menubalk, de werkbalk en/of de invoerlijn moeten getoond worden. Als je dan klikt op exporteren is de webpagina klaar voor gebruik. 2 Je kan de schermindeling ook aanpassen met behulp van het kleine driehoekje helemaal rechts in het midden van het scherm. Je kan hier kiezen voor (1) algebravenster + tekenvenster, (2) een basistekenvenster, (3) enkel het meetkundevenster, (4) rekenblad + tekenvenster, (5) CAS-venster + tekenvenster. 3 4

3 5 Opmaak binnen de vensters 5.1 Opmaak van het algebravenster Bovenaan links staat een driehoekje. Daarmee kun je het de opmaakwerkbalk daaronder zichtbaar of onzichtbaar maken. Om het algebravenster niet te overladen, kun je bepaalde objecten aanduiden als hulpobjecten. Met deze knop kun je de hulpobjecten al dan niet zichtbaar maken in het algebravenster. Hiermee kun je de indeling van de objecten wijzigen - onafhankelijke en afhankelijke objecten (en eventueel hulpobjecten), - objecten geordend per soort (punten, rechten, lijnstukken, cirkels,...) - objecten in de volgorde van de constructie Met de ikoontjes rechtsboven kun je: - het algebravenster losmaken van of integreren in de andere vensters. - het algebravenster uitschakelen. 5.2 Opmaak van het tekenvenster De ikoontjes bovenaan links en rechts hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het assenstelsel in en uit te schakelen, - om het rooster in en uit te schakelen, Naargelang het gebruik van de knoppen van de werkbalk komen op de opmaakwerkbalk nog andere knoppen te voorschijn: voor kleur en transparantie, puntstijl en puntgrootte, gebruik van labels, lijnstijl en lijndikte, label, achtergrondkleur, vetjes en cursief, tekstgrootte,... Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in een leeg deel van het tekenvenster. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Assen Hiermee kun je de x-as en de y-as zichtbaar of onzichtbaar maken. Rooster Hiermee kun je het coördinatenrooster zichtbaar of onzichtbaar maken. Navigatiebalk Hiermee kun je de navigatiebalk zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je een overzicht van de constructie geven (als een film afspelen of stap per stap). Met het ikoontje, rechts op de navigatiebalk, kun je een overzicht van de constructiestappen krijgen (zie 4.3). Zoom Hiermee kun je in- of uitzoomen met een zeker percentage 3. x-as : y-as Hier kun je de verhouding van de eenheden op de x-as en de y-as instellen. Toon alle objecten Het assenstelsel wordt aangepast zodat alle objecten getoond worden. Standaardbeeld Hiermee kun je terugkeren naar de standaardinstellingen op de x-as en de y-as. Tekenvenster Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 2de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het tekenvenster. Met dit menu kun je allerlei instellingen doen. - Basis: dimensies (interval op x-as en y-as, verhouding eenheden op x-as en y-as,...), assen (toon assen, kleur, lijnsoort), navigatiebalk voor constructieoverzicht (al dan niet tonen, knop voor het afspelen, ), achtergrondkleur,... - x-as: toon x-as, toon getallen op de assen, enkel positieve assen, afstand, onderverdelingen, label, eenheid, verplaatsing van de x-as (bijv. 'Assenstelsel bij 5.0' betekent dat de x-as door het punt (0, 5) getekend wordt),... - y-as: analoog als voor x-as - Rooster: toon rooster, soort rooster (cartesiaans, isometrisch), afstand tussen de roosterlijnen, kleur, lijnsoort, Opmaak van objecten Als je met de rechter muisknop klikt op een object in het algebravenster of het tekenvenster, dan krijg je het een snelmenu, dat afhangt van de aard van het object. Bij punten verkrijg je het volgende: Poolcoördinaten/Cartesische Hiermee kun je switchen tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten. Coördinaten Object tonen Het object wordt al of niet getoond. Je kan dit ook regelen met het knopje dat vóór het object staat in het algebravenster. Label tonen Het label van het object wordt al of niet getoond. Spoor aan Stel dat de ligging van het punt B afhankelijk is van de ligging van het punt A. Als je het spoor van punt B aanzet, dan zal dit punt een spoor achterlaten als je het punt A verplaatst. Naam wijzigen Hiermee kun je de naam van een object wijzigen. Eigenschappen Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 1ste ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van objecten. 3 Je kan ook inzoomen op een bepaald gebied van het tekenvenster. Daartoe maak je een zoomvenster met de muis door rechtsklikken en slepen. 5 6

4 6 De invoerlijn Met het ikoontje rechts van de invoerlijn, kun je Griekse letters én allerlei symbolen invoeren. Helemaal rechts onderaan vind je het ikoontje voor invoerhulp. Als je daarop klikt krijg je alle functies en commando's van GeoGebra. Klik je een commando aan, dan vind je onderaan de syntax ervan. Voorbeeld Klik je op KGV (kleinste gemeen veelvoud), dan vind je onderaan als syntax: Met dit venster kun je de naam, de kleur, de tekenstijl, van het object wijzigen. Je kunt in de linker kolom ook verschillende objecten tegelijk aanduiden (bijv. alle punten door op Punt te klikken) en ze tegelijk wijzigen. Enkele onderdelen uit dit menu voor een punt. - In het tabblad Basis kun je: - de naam van het object wijzigen - het object een titel geven, - aangeven of je het object wilt tonen, - aangeven of je het label bij het object wil tonen; je kan daarbij kiezen tussen Naam, Naam en waarde, Waarde en Titel, - of het object een spoor moet achterlaten in het tekenvenster, - of het object moet gefixeerd worden in het tekenvenster, - of het object al dan niet een hulpobject moet zijn. - In het tabblad Stijl kun je de puntgrootte en de puntstijl aanpassen. - In het tabblad Algebra kun je kiezen welk soort coördinaten je wil en kan je de stapgrootte wijzigen. - In het tabblad Geavanceerd kun je bijv. een voorwaarde aangeven voor welke het object mag getoond worden. Onder de syntax vind je twee knoppen, nl. Plakken en Toon Online Help. - Met Plakken breng je het commando over naar de invoerlijn. - Met Toon Online Help krijg je informatie over het commando (voorlopig enkel in het Engels). Bij rechten kun je - in het tabblad Stijl de lijndikte en de lijnsoort kiezen, Bij veelhoeken en cirkels kun je - in het tabblad Kleur de (on)doorzichtigheid aanpassen: 0 = volledig doorschijnend, 100 = volledig ondoorschijnend. enz 7 8

5 7 Het rekenblad 7.1 Het rekenblad Met de menuknop Beeld kun je het rekenblad zichtbaar of onzichtbaar maken. Het rekenblad bestaat uit een cellen. Elke cel heeft een naam. Zo heeft de cel in kolom A en rij 1 de naam A1. Deze celnamen kun je gebruiken in uitdrukkingen en bevelen. 7.3 Werkbalk van het rekenblad Als het rekenblad geactiveerd is, verschijnt er bovenaan ook een nieuwe werkbalk. 7.2 Opmaak van het rekenblad De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het invoerveld al dan niet te tonen, - om de stijl te wijzigen naar vetjes of cursief, - om links of rechts uit te lijnen of te centreren, - om de achtergrondkleur in te stellen, - om de stijl voor de randen te bepalen. Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in het rekenblad. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Kopiëren Plakken Knippen Verwijderen Importeren databestand Opties van rekenblad Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad kopiëren. Hiermee kun je geknipte of gekopieerde gegevens op een willekeurige plaats in het rekenblad plakken. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad knippen. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad verwijderen. Hiermee kun je bijv. tekstbestanden in het rekenblad importeren. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 3de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het rekenblad. We bekijken slechts enkele knoppen. Onderzoek één variabele Maak een lijst Maak een lijst van punten Maak een tabel Maak een veelhoeklijn Som Bereken gemiddelde van geselecteerde cellen Tel het aantal waarden in de gekozen cellen Bepaal maximale waarde in de geselecteerde cellen Bepaal minimale waarde in de geselecteerde cellen Selecteer een reeks cellen. Als je op deze knop drukt, kan je met het tabblad Analyseer een onderzoeksvenster openen voor dataanalyse. We leggen dit verder uit in 7.4. Selecteer een reeks cellen. Met deze knop creëer je in het algebravenster een lijst met de gesorteerde inhoud van de geselecteerde cellen. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met Creëer lijst. Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een reeks van punten met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met Creëer puntenlijst. Selecteer in het rekenblad een rechthoek van data. Met deze knop creëer je in het tekenvenster een tabel met de gegeven data. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met Creëer tabel. Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een gebroken lijn die de punten verbindt met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met Creëer veelhoekslijn. Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je de som van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het gemiddelde van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het aantal getallen per kolom. Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het maximum van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het minimum van die getallen (per kolom). 9 10

6 7.4 Onderzoeksvenster voor statistiek In GeoGebra zit ook een apart onderzoeksvenster voor statistiek ingebouwd: de Data analyse. Hiernaast vinden we de resultaten van 30 leerlingen bij een toets op 20 punten. De resultaten zijn ingebracht in de cellen A1 tot C10 van het rekenblad. Om de gegevens te analyseren, klikken we de gegevens aan en openen we een apart onderzoeksvenster met de knop (onderzoek één variabele) uit de werkbalk van het rekenblad. We kiezen daarna voor het tabblad Analyseer. In het menu, waar staat Histogram kiezen we voor Staafdiagram. Verder klikken we de knoppen en aan. We krijgen dan het volgende beeld. Rechts zien we het staafdiagram van de gegevens. Links zien we o.a. het aantal gegevens (n), het gemiddelde en de mediaan van de gegevens. In het midden zie je opnieuw de lijst van de gegevens. Hier kan je gegevens wegvinken zodat ze niet meer meegeteld worden. Zo kun je bijv. het effect van uitschieters op het gemiddelde en de mediaan illustreren. Je kan het staafdiagram heel eenvoudig naar het tekenvenster overbrengen door op het staafdiagram met de rechtermuistoets te klikken. Door Kopieer naar tekenvenster te kiezen, wordt het staafdiagram weergegeven in het tekenvenster Functies en commando's 4 Enkele opmerkingen over algebraïsche invoer - Als je de - toets indrukt krijg je op de invoerlijn de laatst ingevoerde regel terug. - Als je in het algebravenster een object aanklikt en dan op Alt-F3 drukt, dan krijg je de definitie van dit object terug op de invoerlijn. 8.1 Functies functie betekenis Functie betekenis sqrt(x) Berekent de positieve vierkantswortel van x. floor(x) Berekent het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan het getal a. cbrt(x) Berekent de derdemachtswortel van x. ceil(a) Berekent het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan het getal a. abs(x) Berekent de absolute waarde van x. round(x) Rondt het getal a af tot op de eenheid. sgn(x) Geeft resp. 1, 0 en -1 als x > 0, x = 0 en x < 0. random() Geeft een willekeurig getal tussen 0 en Organisatie Objecten Het object wordt verplaatst door met de - - verplaatsen ( Ruststand ) muis te slepen. Dit kan je ook verkrijgen door de Esc - toets in te drukken. Schuifknop Klik op een willekeurige plaats in het - - tekenvenster om een schuifknop voor een getal- of een hoekwaarde te creëren. De schuifknop is de grafische representatie voor een getal of een hoekwaarde. 5 Je kan de schuifknop animeren door er met de rechtermuisknop op te klikken en daarna te klikken op Animatie aan. Traag plotten SlowPlot[f] Plot traag de grafiek van de functie f van links naar rechts. De voortgang wordt getoond op een schuifbalk. Je kan de animatiesnelheid en de herhaling wijzigen. 4 De functies en commando s worden beperkt tot wat nodig is in de eerste graad. Een overzicht van alle commando s (in het Engels) kan je terugvinden in Hier vind je ook reeds de commando s bij de Beta-versie van Geogebra 5 (met ruimtemeetkunde). 5 Als je bij een getal of een hoek, die je ingevoerd hebt, het object zichtbaar maakt, dan krijg je eveneens een schuifknop bij dit object in het tekenvenster. 12

7 Aanvinkvakje om objecten te tonen of te verbergen Actieknop Invulvak Tekst invoegen 6 Tekst als breuk afbeelden Lengte van een tekst Naam van een object Object met gegeven naam Wanneer je in deze modus in het tekenvenster klikt, creëer je een aanvinkvakje dat kan gebruikt worden om objecten te tonen of te verbergen. Er verschijnt een venster waarin je de objecten kunt aanduiden waarvan de zichtbaarheid aan dit aanvinkvakje gekoppeld wordt. Met dit instrument kun je een reeks van GeoGebra-bevelen uitvoeren met één druk op de knop. Deze bevelen worden opgesomd in een GeoGebrascript. Met dit instrument kun je de definitie van objecten wijzigen. Je creëert een invulvak in het tekenvenster, dat gekoppeld is aan een object. Als je de knop activeert, kun je iets invullen, dat opgeslagen wordt in het gekoppelde object. Met deze opdracht kan je teksten creëren. We leggen dit apart uit in Invulvak[] Invulvak[gelinkt object] Tekst[object] of Tekst[object, true] Tekst[object,false] Tekst[object o,(a,b)] of Tekst[object o,(a,b), true] Tekst[object o,(a,b), false] TekstAlsBreuk[getal a] TekstAlsBreuk[punt P] Creëert een invulvak in het tekenvenster. Creëert een invulvak in het tekenvenster, gekoppeld aan een object. Geeft het object als een tekst in het tekenscherm. De variabelen worden vervangen door hun waarde. Idem, maar de variabelen worden niet vervangen door hun waarde. Idem als de bovenstaande, maar het object o wordt als een tekst geplaatst in het tekenscherm op de positie (a, b). Geeft het getal a als breuk in het tekenvenster. Geeft de coördinaat van het punt P in breukvorm in het tekenvenster Lengte[tekst t] Geeft het aantal karakters van tekst t (spaties inbegrepen) Naam[object A] Zet de naam van het object A in het tekenvenster Object[naam A] Plaatst het object met de naam A in het tekenvenster. 6 Je kan ook een item uit het algebravenster slepen naar het tekenvenster als tekst. Als je het item uit het algebravenster wijzigt, wordt ook de tekst in het tekenvenster gewijzigd. 13 Afbeelding invoegen Hoekpunt van een afbeelding Pen Met deze opdracht kan je afbeeldingen creëren: - klik in het tekenvenster om de positie van de linkerbenedenhoek van de afbeelding te bepalen 7, - kies uw afbeelding en klik op "open" Hoekpunt[afbeelding a, getal n] Genereert het n-de hoekpunt van een afbeelding. Zo kun je met de vrije hand een - - tekening maken. Vrije vorm Zo kun je een functie of een meetkundige vorm met de vrije hand tekenen. - - Gedefinieerd Gedefinieerd[object A] Geeft true als het object gedefinieerd is en false als het niet gedefinieerd is. Ikonen afbeelden in het tekenvenster ToolIMage[nummer n] Beeldt het ikoontje met toolnumber n af in het tekenvenster. Relatie tussen 2 objecten Selecteer twee objecten. Er verschijnt een venster met informatie over hun onderlinge relatie Relatie[object a, object b] Toont een venster waarin de relatie tussen de objecten a en b wordt beschreven. Verplaats tekenvenster Inzoomen Klik op een willekeurige plaats in het teken- venster en sleep. De positie van het teken-venster in de oorsprong wordt gewijzigd. Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om in te zoomen Uitzoomen Toon/verberg object Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om uit te zoomen. Klik op een object om het te tonen of te verbergen. Alle verborgen objecten worden in een dikke lijnsoort weergegeven. De wijzigingen worden uitgevoerd zodra je een andere opdracht in de werkbalk kiest Door achteraf rechts te klikken op de afbeelding kun je via eigenschappen de grootte en de positie van de afbeelding wijzigen. Hoekpunt 1 is de linkerbenedenhoek, hoekpunt 2 is de rechterbenedenhoek en hoekpunt 4 is de linkerbovenhoek van de afbeelding. 14

8 Toon/verberg label Stijl kopiëren Object verwijderen Klik op een object om respectievelijk het label te tonen of te verbergen. De aard van het label kun je instellen in de eigenschappen van een object. Kopieert de zichtbare eigenschappen van een object zoals kleur, afmetingen, lijntype,... Kies eerst het object waarvan je de zichtbare eigenschappen wil kopiëren. Klik daarna op alle objecten waarvan je wil dat ze deze eigenschappen overnemen. Klik op een object om het te verwijderen Verwijder[object a] Verwijdert een object a en alle van dit object afhankelijke objecten. Spoor verwijderen Inzoomen[1] Verwijdert alle sporen. Nummer constructiestap Constructiestap[] Constructiestap[object a] Geeft het nummer van de huidige constructiestap. Geeft het nummer van de constructiestap, waarbij object a gecreëerd werd. Stap op de assen MarkeringX[] MarkeringY[] 8.3 Logica Geeft de stapgrootte op de x-as, resp. de y-as. Relaties tussen objecten Relatie[object a, object b] Geeft de relatie tussen twee objecten a en b. Dit bevel laat je toe te vinden of - twee rechten evenwijdig zijn of loodrecht op elkaar staan, - twee objecten gelijk zijn, - een punt op een rechte of op een kegelsnede ligt, - een rechte een cirkel snijdt of raakt. Als... dan Als[voorwaarde v, object a,object b] Als[voorwaarde v, object a] Tellen met een voorwaarde Geeft object a of b naargelang aan de voorwaarde v al dan niet voldaan is. Geeft object a als aan de voorwaarde voldaan is en niets als aan de voorwaarde niet voldaan is TelAls[voorwaarde v, lijst L] Telt het aantal elementen in lijst L die aan de voorwaarde voldoen. 15 Behoud... als BehoudAls[voorwaarde v, lijst L] Maakt een nieuwe lijst, waarbij de elementen van lijst L, die aan de voorwaarde v voldoen, bewaard blijven. Gedefinieerd? Gedefinieerd[object o] Geeft true als o gedefinieerd is en false als o niet gedefinieerd is. Geheel getal? Geheel[getal a] Geeft true als a een geheel getal is en false als a geen geheel getal is. Ligt een punt in een regio? 8.4 Getallenleer en algebra IsInRegio[punt P, regio a] Geeft true als het punt P in de regio a ligt en false als P niet in de regio a ligt. Getal a = 3 Creëert een getal met waarde 3. Bij dit getal hoort als object een schuifknop. Euclidische deling Deling[a,b] Geeft een lijst met het quotiënt én de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Omzetten naar een ander talstelsel NaarBasis[getal a, basis b] VanBasis[getal a als tekst, basis b] Zet het decimaal getal a om naar het talstelsel met basis b. Het resultaat verschijnt in het tekenvenster. Zet het getal a (gegeven als een tekst) om van het talstelsel met basis b naar een decimaal getal. Quotiënt bij Euclidische deling Quotiënt[a,b] Berekent het quotiënt van de Euclidische deling van de getallen a en b. Rest bij Euclidische deling Mod[a,b] Berekent de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Aantal delers Delers[getal a] Geeft het aantal delers van a. Delers van een getal Delerslijst[getal a] Geeft een lijst met de delers van a. Som van de delers Delerssom[getal a] Geeft de som van de delers van a. van een getal Minimum Min[getal a, getal b] Min[lijst L] Min[interval i] Berekent het minimum van a en b. Berekent het minimum van de getallen in lijst L. Berekent het minimum van een interval i. Bij open intervallen is dit het infimum. 16

9 Maximum Max[getal a, getal b] Max[lijst L] Grootste gemene deler Kleinste gemeen veelvoud Is een getal een priemgetal? Priemgetal volgend op of voorafgaand aan Max[interval i] GGD[geheel getal a, geheel getal b] GGD[lijst L] KGV[geheel getal a, geheel getal b] KGV[lijst L] Berekent het maximum van a en b. Berekent het maximum van de getallen in lijst L. Berekent het maximum van een interval i. Bij open intervallen is dit het supremum. Berekent de grootste gemene deler van de getallen a en b. Berekent de grootste gemene deler van de getallen in lijst L. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen a en b. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen in lijst L IsPriemgetal[geheel getal a] Geeft true als het getal een priemgetal is en false als het getal geen priemgetal is VolgendPriemgetal[geheel getal Geeft het eerste priemgetal dat volgt op a] het getal a. VorigPriemgetal[geheel getal a] Geeft het priemgetal dat onmiddellijk voorafgaat aan het getal a. Priemfactoren Priemfactoren[geheel getal a] Geeft de lijst van de priemfactoren van het getal a. Ontbinden Ontbinden[veelterm f(x)] Ontbindt de veelterm f(x) in factoren en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie. Factoren Factoren[geheel getal a] Factoren[veelterm f(x)] Ontbindt het getal a in priemfactoren en geeft het resultaat in de vorm van een matrix. Ontbindt de veelterm f(x) in factoren in de vorm van een matrix en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie. Uitwerken van veeltermproducten Uitwerken[expressie] Werkt de expressie uit en tekent het resultaat als een functie. Vereenvoudig Vereenvoudig[functie f] Vereenvoudigt het functievoorschrift van de functie f indien mogelijk Meetkunde Punten Nieuw punt Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren. (a,b) P=(a,b) Creëert het punt met coördinaat (a, b). Creëert het punt P met coördinaat (a, b). Punt op object Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd. Punt[rechte a] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Punt[vector v] Punt[pad p] Punt binnen regio Puntbinnen[cirkel c] Puntbinnen[veelhoek v] Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op de cirkel c, op de veelhoek v, op de vector v of op het pad p. Creëert een willekeurig punt binnen de cirkel c of de veelhoek v. Vasthechten/losmaken van punt Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten Midden Met deze knop bind je een vrij punt aan een pad of een gebied, of maak je een gebonden punt terug vrij. In het eerste geval moet je op een vrij punt én op een lijnobject of een gebied klikken, in het tweede geval moet je enkel op een gebonden punt klikken. Klik achtereenvolgens op twee objecten om alle mogelijke snijpunten van deze objecten te bepalen Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen. - - Snijpunten[object a, object b] of Doorsnede[object a, object b] Midden[punt A, punt B] Midden[lijnstuk c] Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van twee grafieken van veeltermfuncties met de namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [ AB ]. Creëert het midden van het lijnstuk c. Zwaartepunt Zwaartepunt[veelhoek v] Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Ligt een punt in een regio? IsInRegio[punt A, regio r] Geeft true als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel, ) ligt en false als het punt A niet in de regio r ligt. 18

10 8.5.2 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Rechte door twee punten Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten. Rechte[punt A, punt B] Creëert een rechte door A en B. Lijnstuk tussen twee punten Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte Halfrechte door twee punten Vector (georiënteerd lijnstuk) tussen twee punten Vector met beginpunt Loodlijn Evenwijdige rechte Middelloodlijn Bissectrices Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op een punt dat je als beginpunt van een lijnstuk kiest. Vul daarna in het venster de lengte van het lijnstuk in. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn. Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte. Klik op een rechte en op een punt A en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten en creëer zo de middelloodlijn van het lijnstuk bepaald door die twee punten. Klik op drie punten om de bissectrice te creëren van de hoek bepaald door die punten. Het middelste punt is het hoekpunt, of Klik op twee rechten om de bissectrices te creëren van de hoeken bepaald door deze rechten. Lijnstuk[punt A, punt B] Creëert het lijnstuk [ AB ] Lijnstuk[punt A, getal a] Creëert het lijnstuk met beginpunt A en lengte a. Halfrechte[punt A, punt B] Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Halfrechte[punt A, vector v] Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Vector[punt A, punt B] Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Vector[punt A] Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Punt[punt A, vector v] Verschuift het punt A over de vector v. Loodlijn[punt A, rechte r] Loodlijn[punt A, vector v] Rechte[punt A, rechte g] Middelloodlijn[punt A, punt B] Middelloodlijn[lijnstuk a] Bissectrices[punt A, punt B, punt C] Bissectrices[rechte a, rechte b] Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g. Creëert de middelloodlijn van [ AB ]. Creëert de middelloodlijn van het lijnstuk a. Creëert de bissectrice van de hoek AB ˆ C ; B is het hoekpunt. Creëert de bissectrices van de hoeken bepaald door de rechten a en b Veelhoeken Veelhoek Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren. Veelhoek[punt A, punt B,...] Veelhoek[lijst L] Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Creëert een veelhoek, waarvan de hoekpunten in lijst L staan. Starre veelhoek Regelmatige veelhoek Pad, gebroken lijn of veelhoekige lijn Omtrek van een veelhoek Oppervlakte van een veelhoek Doorsnede van twee veelhoeken Cirkels Cirkel met middelpunt door punt Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt. Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven. Klik op twee punten en creëer zo de zijde van een regelmatige veelhoek. In het venster geef je het aantal zijden van de veelhoek op. Klik op een aantal punten A, B, C,... en sluit op het punt A. De gebroken lijn ABC... wordt getekend. Starre veelhoek[punt A, punt B,...] Veelhoek[punt A, punt B, getal n] Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...] Veelhoekslijn[lijst L] Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt. Creëert een regelmatige veelhoek met n zijden en waarvan de punten A en B twee opeenvolgende hoekpunten zijn. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het punt A naar het laatste punt. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het eerste punt van lijst L naar het laatste punt Omtrek[veelhoek p] Berekent de omtrek van de veelhoek p. - - zie oppervlakte in DoorsnedeRegio[veelhoek p, veelhoek q] Geeft de doorsnede van twee veelhoeken p en q. Klik op twee punten en creëer een cirkel met Cirkel[punt M, punt A] het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal. Creëert een cirkel met M als middelpunt die door het punt A gaat. 20

11 Cirkel met middelpunt en straal Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in. Cirkel[punt M, getal r] Cirkel[punt M, lijnstuk s] Creëert een cirkel met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal. Passer Cirkel door drie punten Klik op een lijnstuk (of op twee punten die een lijnstuk bepalen) en daarna op een punt. Je verkrijgt een cirkel met het lijnstuk als straal en het punt als middelpunt. Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten. - - Cirkel[punt A, punt B, punt C] Creëert de cirkel door de punten A, B en C (de omgeschreven cirkel aan driehoek ABC) Middelpunt van een cirkel Klik op een cirkel om het middelpunt te bepalen Middelpunt[cirkel c] Creëert het middelpunt van de cirkel c. Straal van een cirkel Omtrek van een cirkel Halfcirkel door twee punten Straal[cirkel c] Berekent de straal van de cirkel c OmtrekKegelsnede[kegelsnede c] Klik op twee punten. Je verkrijgt de halfcirkel Halfcirkel[punt A, punt B] met deze punten als eindpunten. Berekent de omtrek van een cirkel c. Creërt een halfcirkel met de punten A en B als eindpunten. Cirkelboog met middelpunt door twee punten Cirkelboog door drie punten Cirkelsector met middelpunt door twee punten Cirkelsector door drie punten Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de boog. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als beginpunt, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelsector met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de sector. Klik op drie punten. Je verkrijgt een sector, met het eerste punt als beginpunt van de boog, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt van de boog. CirkelboogMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B] CirkelboogDriePunten[punt A, punt B, punt C] CirkelsectorMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B] CirkelsectorDriePunten [punt A, punt B, punt C] Creëert een cirkelboog met M als middelpunt en A als beginpunt. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelboog met A als beginpunt, door B en met C als eindpunt. Creëert een cirkelsector met M als middelpunt en A als beginpunt van de boog van de sector. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelsector, waarvan de boog A als beginpunt heeft, door B gaat en C als eindpunt heeft Hoeken, lengte en oppervlakte Hoek Je creëert - de hoek bepaald door drie punten, waarvan het tweede het hoekpunt is, - de hoek bepaald door twee lijnstukken, - de hoek bepaald door twee rechten, - alle hoeken van een veelhoek. Hoek[punt A, punt B, punt C] Hoek[lijnstuk a, lijnstuk b] Hoek[rechte a, rechte b] Hoek[vector u, vector v] Hoek[vector v] Hoek[veelhoek p] Berekent en kleurt de hoek bepaald door de halfrechten [BA en [BC. Berekent en kleurt de hoek bepaald door de lijnstukken a en b. Berekent en kleurt de hoek tussen de richtingsvectoren van a en b. Berekent en kleurt de hoek tussen de vectoren u en v. Berekent en kleurt de hoek tussen de vector v en de x-as. Berekent en kleurt alle inwendige hoeken (punten in tegenwijzerzin) of uitwendige hoeken (punten in wijzerzin) van de veelhoek p. Hoek met gegeven grootte Klik op twee punten A en B. Vul daarna in het venster de grootte van de hoek in. Je creëert een derde punt C en een hoek ABC ˆ met de opgegeven grootte. Creëert - de afstand tussen twee punten, - de afstand tussen een punt en een rechte, - de afstand tussen twee evenwijdige rechten. Hoek[punt A, punt B, hoeka] Creëert een hoek met waarde a en [BA als beginbeen. Creëert ook een nieuw punt, nl. A = Rotatie[A,a, B]. Afstand Afstand[punt A, punt B] Berekent de afstand tussen twee punten A en B. Afstand[punt A, rechte r] Berekent de afstand tussen het punt A en de rechte r. Afstand[rechte a, rechte b] Berekent de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b. Dichtste punt DichtstePunt[pad p, punt P] Bepaalt het punt op het pad p dat het Lengte Lengte[vector v] Lengte[punt A] Oppervlakte Berekent de oppervlakte van een veelhoek. Oppervlakte[punt A, punt B, punt C,...] Oppervlakte[veelhoek p] Oppervlakte[cirkel c] Oppervlakte[cirkelsector c] dichtst bij het punt P ligt. Berekent de lengte van de vector v. Berekent de lengte van de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Berekent de oppervlakte van de veelhoek ABC... Berekent de oppervlakte van de veelhoek p. Berekent de oppervlakte van de cirkel c. Berekent de oppervlakte van de cirkelsector c. 22

12 8.5.6 Transformaties Roteren Selecteer eerst het centrum van de rotatie. - - Daarna kun je objecten t.o.v. dit cen- trum roteren door met de muis te slepen Asspiegeling Klik op het object dat je wilt spiegelen. Spiegeling[object o, rechte a] Spiegelt het object o t.o.v. de rechte a. Klik daarna op de spiegelas. B= Spiegeling[object o, rechte a] Puntspiegeling Selecteer het object dat je wilt spiegelen. Spiegeling[object o, punt A] Spiegelt het object o t.o.v. het punt A. Klik daarna op het punt ten opzichte waarvan je het object wil spiegelen. B= Spiegeling[object o, punt A] Rotatie met centrum over een bepaalde hoek 8 Rotatie[object o, hoeka,punt A] Roteert het object o over de hoek a rond het punt A. Verschuiving over een vector 9 Homothetie 8.6 Lijsten en rekenblad Klik op het object dat je wilt roteren. Klik vervolgens op het centrum van de rotatie. Vul daarna in het venster de rotatiehoek in. Hierbij kan je nog kiezen tussen uurwijzer ten tegenwijzerzin. Klik op het object dat je wilt verschuiven. Klik daarna op de verschuivingsvector. Klik eerst op het object dat je wilt vergroten of verkleinen. Klik daarna op het centrum van de homothetie en geef ten slotte de factor aan. B= Rotatie[object o, hoek a, punt A] Verschuiving[object o, vector v] B= Verschuiving[object o, vector v] Homothetie[object o,getal f, punt C] Verschuift het object o volgens de vector v. Voert op het object o een homothetie uit met als factor f en als centrum C. Gegevens naar rekenblad Stel dat het punt P afhankelijk is van het punt P. Selecteer het punt P en laat het punt P bewegen. De variërende coördinaten van P verschijnen in het rekenblad Om een object te zien draaien over een hoek α, kunnen we het object laten draaien over de hoek r. α, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie. 9 Om een object te zien verschuiven over een vector v, kunnen we het object laten draaien over de hoek r. v, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie. 23 Nummer van een kolom uit het rekenblad Naam van een kolom uit het rekenblad Naam van een rij uit het rekenblad Lijst maken van gegevens in het rekenblad Gegevens van een lijst naar het rekenblad brengen Objecten naar het rekenblad brengen CelKolom[B3] Geeft het nummer van de kolom (hier dus de 2de) waarin cel B3 voorkomt CelKolomNaam[B3] Geeft de naam van de kolom (hier B) in het tekenvenster CelRij[B3] Geeft het nummer van de rij (hier dus 3) waarin cel B3 voorkomt Celbereik[A1,A10] Creërt een lijst van de getallen in cel A1 tot cel A KolomVullen[getal n, lijst L] RijVullen[getal n, lijst L] CelVullen[B2, lijst L] Brengt de gegevens van lijst L naar kolom n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar rij n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar het rekenblad rechts van cel B CellenVullen[A1:C6, object o] Brengt het object o naar de cellen A1 tot C6 van het rekenblad. Lengte van een lijst Lengte[lijst L] Geeft het aantal elementen van lijst L. Toevoegen aan een lijst Toevoegen[lijst L, getal n] Toevoegen[getal a, lijst L] Vult het getal n aan op het einde van lijst L. Vult het getal a aan vooraan in lijst L. Invoegen in een lijst Invoegen[getal a, lijst L, geheel getal n] Invoegen[lijst M, lijst L, geheel getal n] n-de element van een lijst Eerste elementen van een lijst Laatste elementen van een lijst Deellijst maken van een lijst Voegt het getal a in op de n-de positie van lijst L. Voegt lijst M in op de n-de positie van lijst L Element[lijst L, geheel getal n] Geeft het n-de element van lijst L Eerste[lijst L] Laatste[lijst L] Eerste[lijst L, geheel getal n] Laatste[lijst L, geheel getal n] Neem[lijst L, geheel getal m, geheel getal n] Geeft een lijst die enkel het eerste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de eerste n elementen van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel het laatste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de laatste n elementen van lijst L bevat. Maakt een nieuwe lijst met het m-de tot het n-de element van de oorspronkelijke lijst L. 24

13 Deel van een lijst dat aan een voorwaarde voldoet Omkeren van een lijst BehoudAls[voorwaarde v, lijst L] Maakt een nieuwe lijst van getallen. Deze nieuwe lijst bevat enkel de getallen van de oorspronkelijke lijst L die voldoen aan de voorwaarde Omkeren[lijst L] Maakt een nieuwe lijst, waarin de elementen in de omgekeerde volgorde staan van lijst L Samenvoegen[lijst L, lijst M] Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt. Samenvoegen van twee lijsten Unie van twee lijsten Unie[lijst L, lijst M] Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt en de gemeenschappelijke elementen verwijdert. Doorsnede van twee lijsten Doorsnede[lijst L, lijst M] Creëert een nieuwe lijst die de gemeenschappelijke elementen geeft van de lijsten L en M. Som van een rij Som[lijst L] Som[lijst L, geheel getal n] Geeft de som van de getallen in lijst L. Geeft de som van de eerste n getallen van lijst L. Product van een rij Product[lijst L] Geeft het product van de getallen in lijst L. Paren van getallen omzetten in koppels Puntenlijst[lijst L van paren] Zet de lijst L om in een lijst M van koppels. Tabellen in het tekenvenster plaatsen Sorteren van getallen Maximum en minimum van een lijst TabeLT[{x^2,4},{x^3,8},{x^4,16}] TabeLT[Rij[i^2,i,1,10]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16}] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"vr"] ] Creëert in het tekenvenster een tabel met 3 rijen en twee kolommen. Al de gegevens van de tabel zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met één rij. Al de gegevens zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 4 rijen en 2 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn rechts uitgelijnd Sorteer[lijst L] Rangschikt de getallen in lijst L van klein naar groot Max[lijst L] Berekent het maximum, resp. het Min[lijst L] minimum van lijst L. 25 Tellen met een voorwaarde Frequentie van een element in een tabel TelAls[voorwaarde v, lijst L] Telt het aantal elementen in lijst L die aan de voorwaarde voldoen Frequentie[lijst L] Geeft de frequenties van de elementen van lijst L. De elementen worden numeriek of alfabetisch gesorteerd. Frequentie[true, lijst L] Idem, maar geeft de cumulatieve frequenties. Frequentie[lijst G, lijst L] Geeft de frequenties van elke klasse. De klassengrenzen staan in de lijst G, de ruwe gegevens in lijst L. Frequentie[true, lijst G, lijst L] Idem, maar geeft cumulatieve frequenties. Frequentie[lijst G, lijst L, true, Geeft de frequentie van elke klasse. De getal f] klassengrenzen staan in de lijst G en de ruwe gegevens in lijst L. f is de schaalfactor. Als f gelijk is aan B/N (B = klassenbreedte, N = effectief), dan worden de relatieve frequenties aangegeven; is f gelijk aan 1/N, dan worden de frequentiedichtheden aangegeven. Frequentie[lijst G, lijst L, true, Idem, maar geeft de cumulatieve getal f] frequenties. 8.7 Statistiek Frequentietabel Frequentietabel[lijst L] Creëert een frequentietabel van de gegevens in lijst L. Staafdiagram Staafdiagram[lijst L, getal w] Staafdiagram[lijst L, lijst F] Tekent een staafdiagram van de ruwe gegevens in lijst L, waarbij elke staaf een breedte w heeft. Tekent een staafdiagram van de gegevens in lijst L 10 en de frequenties uit lijst F. 10 De lijst van gegevens moet een lijst zijn met een constante toename. 26

14 Staafdiagram[lijst L, lijst F, getal w] Staafdiagram[getal a, getal b, lijst H] Staafdiagram[getal a, getal b, expressie e, getal k, getal c, getal d, getal e] Gemiddelde Gemiddelde[lijst L] Gemiddelde[lijst G, lijst F] GemiddeldeX[lijst L] GemiddeldeY[lijst L] Mediaan Mediaan[lijst L] Mediaan[lijst G, lijst F] Idem, maar elke staaf heeft een breedte w. Tekent een staafdiagram tussen de x- waarden a en b met de hoogtes uit lijst H. Tekent een staafdiagram in het interval éë a, bùû. De hoogtes van de staven worden berekend d.m.v. de expressie e, waarbij het getal k gaat van c tot d met een stapgrootte e. Berekent het gemiddelde van de getallen in lijst L1. Berekent het gewogen gemiddelde van de getallen in lijst G. De frequenties van elk getal staan in lijst F. Berekent het gemiddelde van de eerste coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent het gemiddelde van de tweede coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Veeltermregressie VeeltermRegr[lijst L, getal n] Geeft de veeltermregressielijn van graad n van de punten in lijst L Invoeren van tekst in het tekenvenster 9.1 Invoeren van tekst - Om een tekst in te voeren in het tekenvenster maak je gebruik van de knop Tekst invoegen (10de knop op de werkbalk). Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je de tekst wil hebben. Je krijgt dan het volgende scherm Hiernaast vind je het invoervak. Links van LaTeXformule vind je een aanvinkvakje om de tekst te interpreteren als LaTeXcode. Onder Symbolen zit een uitgebreide keuzelijst met speciale tekens. Met Objecten kun je de GeoGebra-objecten uit de applet in een dynamisch geheel plaatsen. Daaronder vind je een lijst met de laatst gebruikte speciale tekens. Hiernaast verschijnt onmiddellijk de tekst, zoals hij er zal uitzien als je op OK drukt. - Je kan ook gegevens van het algebravenster verslepen als tekst naar het tekenvenster. 9.2 Eigenschappen van teksten - Klikken we met de rechtermuisknop op een tekst in het tekenvenster of in het algebravenster, dan kunnen we de eigenschappen van de tekst aanpassen. Via het tabblad Eigenschappen krijgen we de volgende mogelijkheden. - Met het tabblad Basis kunnen we het object al dan niet tonen, het al of niet fixeren en er al of niet een hulpobject van maken. - Met het tabblad Tekst kunnen we kiezen voor het lettertype, de grootte van de letter, al dan niet vetjes, al dan niet cursief. 28

15 - Met het tabblad Kleur kunnen we de kleur van de tekst bepalen. - Met het tabblad Positie kunnen we de tekst koppelen aan een punt. - Met het tabblad Geavanceerd kunnen we o.a. een voorwaarde bepalen waarop de tekst zichtbaar is, kunnen we de laag bepalen van de tekst en kunnen we bepalen in welk(e) tekenvenster(s) de tekst moet komen. - Met het tabblad Scripting kunnen we een script toevoegen aan de tekst (zie 13). 9.3 Invoeren van dynamische teksten Stel dat je in het tekenvenster de tekst "De diameter van een cirkel van een cirkel is..." wilt zetten, waarbij op de puntjes de waarde van de variabele diameter d van een cirkel moet komen. Je klikt in het tekenblad waar je de tekst wilt hebben. Je typt dan in het invoervak eerst de tekst "De diameter van de cirkel is gelijk aan" Dan klik je in het keuzelijstje Objecten op d. In het voorbeeld zie je dat dan de waarde van d, in dit geval 6 wordt ingevuld. Om de tekst naar het tekenblad te verhuizen, klik je ten slotte op OK. 9.5 Roteren van teksten Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC. We willen nu bij de schuine zijde de tekst schuine zijde plaatsen zó dat de tekst evenwijdig staat met de schuine zijde van de driehoek. Hiervoor plaatsen we eerst een tekst schuine zijde op een willekeurige plaats in het scherm. De naam van deze tekst is tekst1. Daarna roteren we tekst1 door het commando RoteerTekst[tekst1,-β]. We slepen deze nieuwe tekst (tekst2) naar de juiste plaats in het scherm. Ten slotte verbergen we tekst1. We kunnen de geroteerde tekst ook rechtstreeks invoeren. We illustreren dit met een voorbeeld. We tekenen in het tekenvenster de rechten en. We willen nu de vergelijkingen van beide rechten in het tekenvenster zetten als teksten die evenwijdig staan met de respectievelijke rechten. Dit kan opnieuw door het GeoGebracommando RoteerTekst[Tekst,hoek]. We voeren dit commando nu echter in als een tekst met LaTeXformule én plaatsen hem in een dynamisch kadertje, m.a.w. we beschouwen hem als Object. I.p.v. de tekst eerst in te voeren en hem daarna te verslepen naar de juiste plaats, kunnen we de tekst ook koppelen aan een punt op de rechte, een punt dat je daarna verbergt. Het resultaat zie je hieronder rechts 9.4 Gebruik van een tekst in LaTeX-code Als je op het tekenscherm de tekst " omtrek " wil invoeren, dan gebruik je een diameter LaTeXformule. Je zet hiertoe een vinkje bij LaTeXformule. Op de invoerlijn verschijnen twee dollartekens. De tekst in LaTeX-code komt tussen deze twee tekens. Je klikt nu op LaTeXformule en kiest bij Wortels en breuken voor a b. 9.6 Teksten als breuken schrijven Nemen we opnieuw de vorige oefening. Wanneer we het label van het snijpunt S van de rechten a en b zichtbaar maken, dan krijgen we Je vervangt nu op de invoerlijn a door omtrek en b door diameter. Ten slotte klik je weer op OK

16 We willen nu echter de coördinaten van S als breuken weergeven. Daartoe koppelen we aan het punt S een tekst die er als volgt uitziet: Het resultaat is dan: We willen nu steeds maar opnieuw de middens nemen van de laatst gevormde driehoek en daarmee een nieuwe driehoek vormen. Daarom stoppen we deze constructiestappen samen in een macro. Hiervoor gaan we als volgt te werk: - We selecteren 'Nieuwe macro s aanmaken in het menu Macro's. - We selecteren de eindobjecten. Dit zijn de punten D, E en F, de lijnstukken [ DE ], [ EF ] en [ DF ] en de driehoek DEF. - We selecteren de beginobjecten. Dit zijn de punten A, B en C. - We geven een naam aan de macro, bijv. fractaal. - We kiezen een icoon voor de macro. Wanneer we nu de macro op de werkbalk aanklikken en daarna drie punten aanklikken, zal er telkens een nieuwe gelijkzijdige driehoek getekend worden. Zo verkrijgen we achtereenvolgens: Merk op dat we de tekst weer als een LaTeXformule weergeven en dat zowel de letter S als de beide breuken in een dynamisch kadertje zitten, m.a.w. als object beschouwd worden. 10 Macro's Indien je bij een constructie steeds dezelfde reeks van bewerkingen moet uitvoeren, is het interessant om hiervoor een macro te maken. We maken als voorbeeld een fractaal van in elkaar ingesloten gelijkzijdige driehoeken. We vertrekken van een gelijkzijdige driehoek ABC. 11 Het CAS-venster 11.1 Het CAS-venster Met de menuknop Beeld kun je het CAS-venster zichtbaar of onzichtbaar maken Invoer via de cellen en de werkbalk Je tikt eerst op de invoerlijn de uitdrukking in waarop de bewerking moet uitgevoerd worden. Daarna druk je op de juiste knop van de werkbalk Bereken exact Werk de haakjes uit We nemen de middens van elke zijde en vormen daarmee een nieuwe gelijkzijdige driehoek DEF. Bereken numeriek Bewaar de invoer Substitueer een deel van de uitdrukking door Los exact op Ontbind in factoren Los numeriek op 11.3 Invoer via de cellen Met CAS-commando s kunnen een hele reeks rekenkundige en algebraïsche bewerkingen uitgevoerd worden. In 11.4 zie je een aantal voorbeelden. Er zijn wel een aantal verschillen met de gewone invoerlijn. - We kunnen om het even welke variabele gebruiken, zonder dat deze op voorhand gedefinieerd is, bijv.. - Het gelijkheidsteken wordt gereserveerd voor vergelijkingen. Om een waarde toe te kennen aan een 31 32

17 variabele moeten we := gebruiken, bijv. a:=3. - Een vermenigvuldiging moet expliciet met een * aangegeven worden - Om een uitdrukking exact te berekenen, druk je op Enter. - Om een uitdrukking numeriek te berekenen, druk je op Ctrl-Enter. - Om een uitdrukking te bewaren, druk je op Alt-Enter. - Met een spatie verkrijg je de vorige output. - Met = verkrijg je de vorige input. - #3 wordt in een formule vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is statisch en verandert niet als rij 3 gewijzigd wordt. - $3 wordt in een formule eveneens vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is echter dynamisch en wordt aangepast als rij 3 gewijzigd wordt. - Je kan vermijden dat er een output gegeven wordt door na een uitdrukking een ; te plaatsen Voorbeelden 12 Bepaal het quotiënt van 144 door 7 13 Bepaal het quotiënt en de rest bij deling van 144 door 7 14 Schrijf als een gemengd getal 15 Los de vergelijking op 1 Bereken exact: 16 Werk uit: 2 Bereken numeriek: 3 Bepaal het aantal delers van Geef de lijst van de delers van Bereken 18 Werk uit: 19 Bereken exact: 5 Bepaal de som van de delers van Bereken numeriek: 6 Onderzoek of 2013 een priemgetal is 21 Los op naar t : 7 Bepaal het eerstvolgend priemgetal na Bepaal de lijst van de priemfactoren van Isoleer in de formule 9 Bepaal de priemfactoren van 144 met hun exponenten 10 Bepaal de grootste gemene deler van 40, 48 en Werk uit: 24 Werk uit: 11 Bepaal het kleinste gemeen veelvoud van 40,48 en Ontbind in factoren: 26 Ontbind in factoren: 33 34

18 12 Het gebruik van 3D 12.1 Het 3D tekenvenster In de proefversie van GeoGebra 5.0 Beta, beschik je in de menubalk over een knop die een 3D tekenvenster opent. De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster en het rekenblad. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om de assen te tonen of te verbergen, - om het rooster in het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het beeld al dan niet te laten roteren rond de z-as; de snelheid pas je aan met de schuifknop, - om terug te keren naar het standaardbeeld, - om een bovenzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,y)-vlak, - om een vooraanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,z)-vlak, - om een zijaanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (y,z)-vlak, - om de clipping box aan en af te zetten en te vergroten of te verkleinen, - om de projectie te kiezen: - loodrechte parallelprojectie ( parallel projection ), - perspectiefprojectie ( perspective projection ) - anaglyphen of 3D zicht, te bekijken met een 3D bril ( projection for glasses ) - scheve parallelprojectie ( oblique projection ). Om het vertrouwde Cavalièreperspectief te verkrijgen, klik je eerst op, en daarna op (de 4 de mogelijkheid van de laatste knop ). Als je met de rechtermuisknop klikt in het tekenvenster, krijg je ook hier een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster. Ook hier kan je de assen, het rooster en het (x,y)-vlak tonen of verbergen. Verder beschik je over een aantal voorkeuren onder de titel tekenvenster. Dit menu Voorkeuren is echter nog volop in ontwerp. In het 3D tekenvenster heb je een aparte werkbalk. Je vindt hier een aantal commando s terug uit het 2D tekenvenster, naast een aantal nieuwe, typische 3D commando s. Uiteraard is ook hier algebraïsche invoer mogelijk. Hiervoor beschik je over een aantal nieuwe 3D commando s naast de vertrouwde 2D commando s. Let er echter op dat niet alle commando s uit 2D werken in 3D. Op de volgende bladzijden vind je een overzicht van de belangrijkste commando s. Het is voorlopig niet mogelijk om in het 3D tekenvenster te werken met schuifknoppen en actieknoppen of met de navigatiebalk. Dit kan echter omzeild worden door deze elementen te tonen in het 2D tekenvenster Commando s in het 3D tekenvenster Punten Nieuw punt Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren in het (x,y)-vlak. Je kan het punt nu verslepen in het Oxy-vlak. Klik op het punt met de linkermuisknop. Nu kan je de z-coördinaat van het punt wijzigen. Nogmaals klikken op het punt laat een horizontale verplaatsing toe in een vlak, evenwijdig met het (x,y)-vlak. (a,b,c) P=(a,b,c) Creëert het punt met coördinaat (a, b, c). Creëert het punt P met coördinaat (a, b, c). Punt op object Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd. Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten Klik achtereenvolgens op twee objecten om de snijpunten of de doorsnede van deze objecten te bepalen Midden Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen. Punt[rechte a] Punt[lijnstuk b] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Snijpunten[object a,object b] of Doorsnede[object a, object b] Midden[punt A,punt B] Midden[lijnstuk c] Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op het lijnstuk b, op de cirkel c of op de veelhoek v. Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van een rechte en een vlak of van 2 vlakken, met namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [ AB ]. Creëert het midden van het lijnstuk c. Zwaartepunt Zwaartepunt[veelhoek v] Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Ligt een punt in een regio? IsInRegio[punt A, regio r] Geeft true als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel, ) ligt en false als het punt A niet in de regio r ligt. Top Top[kegel k] Geeft de top van een kegel k. 11 Alle constructies die uitgevoerd worden in het 2D-tekenvenster verschijnen automatisch in het Oxy-vlak van het 3D-tekenvenster. Omgekeerd zullen elementen in het 3D-tekenvenster, die in het Oxy-vlak liggen, ook verschijnen in het 2D-tekenvenster. 36

19 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Rechte door twee punten Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten. Rechte[punt A, punt B] Creëert een rechte door A en B. Loodlijn Evenwijdige rechte Lijnstuk tussen twee punten Halfrechte door twee punten Vector Vector met beginpunt Veelhoeken Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte. Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn. Loodlijn[punt A, rechte r] Loodlijn[punt A, vector v] Rechte[punt A, rechte g] Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g. Lijnstuk[punt A,punt B] Creëert het lijnstuk [ AB ] Halfrechte[punt A, punt B] Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Halfrechte[punt A, vector v] Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Vector[punt A, punt B] Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Vector[punt A] Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Punt[punt A, vector v] Verschuift het punt A over de vector v. Veelhoek Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een Veelhoek[punt A,punt B,...] Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. veelhoek te creëren Omtrek van een Omtrek[veelhoek poly] Berekent de omtrek van de veelhoek poly. veelhoek Oppervlakte van een veelhoek - - zie oppervlakte Pad, gebroken lijn of veelhoekslijn Cirkels Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...] Creëert een pad van het punt A naar het laatste punt. Cirkel door drie punten Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten. Cirkel[punt A,punt B,punt C] Creëert de cirkel door de punten A, B en C. Cirkel met middelpunt en straal Cirkel met as door een punt Cirkel met middelpunt, straal en richting - - Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in. Klik op een rechte en op het een punt en creëer een cirkel met de rechte als as die door het punt gaat. Klik op een punt, selecteer een richting en geef een getal in en creëer een cirkel met het punt als middelpunt, een as met de gegeven richting en het getal als straal Cirkel[punt M,getal r] Cirkel[punt M,lijnstuk s] Cirkel[rechte a,punt A] Cirkel[punt M, richting a, getal r] Grondvlak Grondvlak[cilinder c] Grondvlak[kegel k] Ends Ends[cilinder c] Ends[kegel k] Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)- vlak met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)- vlak met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal. Creëert een cirkel met a als as die door het punt A gaat. Creëert een cirkel met M als middelpunt, een as met richting a en r als straal. Creëert het grondvlak van de cilinder c of de kegel k. Creëert het grondvlak en het bovenvlak van de cilinder c. Creëert het grondvlak van de kegel k Vlakken Klik op drie niet collineaire punten en Vlak[punt A, punt B, punt C] creëer zo het vlak door die punten. Vlak door 3 punten Creëert een rechte door de punten A, B en C. Vlak door een punt en een rechte Klik op - drie niet collineaire punten - op een punt en op een rechte, die niet door dit punt gaat - op twee snijdende of evenwijdige rechten Vlak[punt A, punt B, punt C] Vlak[punt A, rechte a] Vlak[rechte a, rechte b] Creëert een rechte door de punten A, B en C. Creëert een vlak door het punt A, dat de rechte a omvat. Creëert een vlak dat de rechten a en b 38

20 Evenwijdig vlak Loodvlak - op een veelhoek om een vlak te creëren. Vlak[veelhoek v] Klik op een vlak en op een punt en creëer Vlak[punt A, vlak α] zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op een vlak en op een punt en creëer Loodvlak[punt A, rechte a] zo het loodvlak door het punt op de rechte. Loodvlak[punt A, vector v] Middelloodvlak Deelvlak[punt A, punt B] Deelvlak[lijnstuk a] omvat. Creëert het vlak waarin de veelhoek v ligt. Creëert een vlak door het punt A evenwijdig met het vlak α. Creëert een loodvlak op de rechte a door het punt A. Creëert een loodvlak op de vector v door het punt A. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk [AB]. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk a Kubus, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol Kubus Kubus[punt A, punt B, richting r] Kubus[punt A, punt B] met AB evenwijdig aan het (x,y)-vlak Creëert een kubus met [AB] als ribbe. - Is de richting r een rechte, een halfrechte, een lijnstuk of een vector die loodrecht staat op [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en loodrecht op de richting. - Is de richting r een vlak evenwijdig aan [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en evenwijdig aan dit vlak. Creëert een kubus met [AB] als ribbe en een zijvlak evenwijdig aan het (x,y)-vlak. Prisma Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een prisma met als grondvlak de veelhoek en als bovenvlak een vlak door het punt. Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een prisma te creëren. Prisma[punt A, punt B,, punt F, punt Q] Prisma[veelhoek v, punt Q] Prisma[veelhoek v, getal h] Creëert een prisma met grondvlak AB F en ribbe [AQ]. Creëert een prisma met grondvlak v en Q als een punt van het bovenvlak. Creëert een prisma met grondvlak v en hoogte h. Piramide Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een piramide met als grondvlak de veelhoek en het punt als top. Piramide[punt A, punt B,, punt F, punt T] Piramide[veelhoek v, punt T] Creëert een piramide met grondvlak AB F en top T. Creëert een piramide met grondvlak v en top T. 39 Cilinder Kegel Bol met middelpunt door een punt Bol met middelpunt en straal Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een piramide te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een cilinder. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede het middelpunt van het bovenvlak; het getal is de straal van het grondvlak en het bovenvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een cilinder te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een kegel. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede de top, het getal is de straal van het grondvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een kegel te creëren. Klik op twee punten en creëer een bol met het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal. Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de bol in. Piramide [veelhoek v, getal h] Cylinder[cirkel c, getal h] Cylinder[punt M, punt N, getal r] Kegel[cirkel c, getal h] Kegel[punt M, punt T, getal r] Bol[punt M, punt A] Bol[punt M, getal r] Zijde Zijde[cilinder c] Zijde[kegel k] Creëert een piramide met grondvlak v en hoogte h. Creëert een cilinder met grondvlak c en hoogte h. Creëert een cilinder met straal r. M en N zijn resp. de middelpunten van het grondvlak en het bovenvlak. Creëert een kegel met grondvlak c en hoogte h. Creëert een kegel met T als top en een cirkel (M, r) als grondvlak. Creëert een bol met middelpunt M die door het punt A gaat. Creëert een bol met middelpunt M en straal r. Creëert de mantel van de cilinder c of de kegel k Doorsneden DoorsnedeRegio[veelvlak a, vlak α] Doorsnede van een veelvlak en een vlak Creëert de doorsnede van het veelvlak a met het vlak α. Doorsnede van een cilinder, kegel of bol met een vlak Doorsnede[vlak α, cilinder c] Doorsnede[vlak α, kegel c] Doorsnede[vlak α,bol c] Creëert de doorsnede van het vlak α met de cilinder, kegel of bol c. 40