Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij

Transcriptie

1 Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE Deliverable 3.2 Hans Cuypers en Henk van der Kooij

2 Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de VWO-WISKUNDE de onderwerpen vaststellen waarvoor binnen het ONBETWIST-project toets-items en toetsen vervaardigd zullen worden. Tevens zullen we een raamwerk voor toetsen beschrijven waarin de diverse aspecten die bij het construeren van een toets van belang zijn aan de orde komen. De volgende vier aspecten van de toetsing komen aan bod: de wiskundige inhoud die wordt getoetst: de kennisdomeinen de niveau's van vaardigheden en de moeilijkheidsgraad van de vragen, het type vraagstelling, samenstelling van toetsen. We sluiten af met een overzicht aan bronnen en studiematerialen waaruit we kunnen putten bij het construeren van toets-items en toetsen. Kennisdomein VWO-WISKUNDE Bij het formuleren van de kennisdomeinen voor algebraïsche vaardigheden is gebruik gemaakt van de (aangepaste) indeling in hoofdstuk 4 van de syllabus voor wiskunde B vwo: Algebra, specifieke en algemene vaardigheden. De meest recente versie daarvan is te vinden op De onderwerpen uit de VWO-WISKUNDE die binnen ONBETWIST aan bod komen zijn: wi B vwo wi A vwo A. breukvormen B. wortelvormen C. bijzondere producten nvt D. exponenten en logaritmen E. goniometrie nvt F. herleiden van vormen uit A - E G. vergelijkingen algemene vormen H. vgl-en standaardfuncties en transformaties

3 I. vgl-en met polynomen via standaardalgoritmen K. vgl-en van het type f(x) = g(x) L. ongelijkheden van het type f(x) g(x) M. differentiëren N. integreren nvt I Mathtax classificatie van wiskundeonderwerpen VWO-WISKUNDE onderwerpen In onderstaande tabel geven we aan waar de onderwerpen passen in de MathTax, de taxonomie die binnen ONBETWIST gebruikt wordt. Alleen de bevraagde onderwerpen zijn hier opgesomd. Onderdelen aangegeven met (*) worden bij vwo A niet bevraagd. Indien nodig, zullen tijdens het constructieproces nog (deel)onderwerpen worden toegevoegd. 1.2 Rekenen Bewerkingen Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Worteltrekken Ontbinden in factoren Eigenschappen van bewerkingen Breuken Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Verhouding en evenredigheid Gelijkwaardige breuken Breuken gelijknamig maken Decimale breuken Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Procenten Vergelijking van getallen

4 1.2.5 Exponenten Vermenigvuldiging Delen Machten Gehele exponenten Negatieve exponenten Rationale exponenten Wortels op standaardvorm 3 Algebra en getaltheorie 3.1 Algebra Algebraïsche bewerkingen Expressies Gelijkheid van expressies Vereenvoudigen Haakjes wegwerken Ontbinden in factoren Merkwaardige producten (*) Breuken Vereenvoudigen Gelijknamig maken en optellen Breuksplitsen Expressies met vierkantswortels Standaardvorm Som van expressies met wortels Product van expressies met wortels Noemers wortelvrij maken Rationale exponenten Positieve exponenten Negatieve exponenten Functies Lineaire functies Nulpunt en snijpunten met de assen Richtingscoëfficiënt Vergelijking van een lijn door een punt en met gegeven richtingscoëfficiënt Vergelijking van een lijn door twee punten Kwadratische functies Nulpunten Veeltermen Basisbegrippen Nulpunten Rationale functies Exponentiële functies Logaritmes Vergelijkingen Eerstegraads vergelijkingen Tweedegraads vergelijkingen Kwadraatafsplitsen De abc-formule Veeltermvergelijkingen Rationale vergelijkingen Exponentiële vergelijkingen Logaritmische vergelijkingen Stelsels vergelijkingen Ongelijkheden Eerstegraads ongelijkheden Tweedegraads ongelijkheden

5 Oplossen met behulp van grafiek 5.9 Goniometrie (*) Goniometrische functies Vergelijkingen 6 Calculus 6.1 Functies van één variabele Functies Bewerkingen Maximum en minimum Differentiëren Afgeleide van standaardfuncties Afgeleide van veeltermfuncties Afgeleide van exponentiële functies Afgeleide van logaritmische functies Afgeleide van goniometrische functies Rekenregels Somregel en vermenigvuldigen met constante Productregel Quotientregel Kettingregel Hogere orde afgeleiden Toepassingen Stijgen en dalen Maxima en minima Buigpunten Integreren (*) Definitie en eigenschappen Bepaalde integraal en oppervlakte Primitieve en onbepaalde integraal Integreren van standaardfuncties Opzet van toetsen en kwaliteitscriteria Niveau van vaardigheden en moeilijkheidsgraad In de literatuur zijn diverse beschrijvingen, alle min of meer gebaseerd op de Bloom taxonomie, bekend van het bevragen van diverse niveau's aan vaardigheden. Voor het NKBW raamwerk is de internationaal breed geaccepteerde indeling van PISA (Program of International Student Assessment) van de OECD als uitgangspunt gekozen (PISA, 2002). In het Framework PISA 2003 worden de volgende drie niveau's onderscheiden: [A] Reproductie Op dit niveau wordt kennis van veel geoefende strategieën in bekende situaties bevraagd: beheersing van de regels en definities en standaardalgoritmen.

6 [B] Verbindingen Op dit niveau is/zijn (denk) stappen nodig voordat de bekende aanpakken van niveau A kunnen worden toegepast: het gebruik van bekende strategieën in een minder bekende situatie. [C] Reflectie Op dit niveau is geen pasklare strategie voorhanden: het bepalen van een eigen strategie in een minder bekende situatie. Ook binnen ONBEWIST project zullen we gebruik maken van deze indeling. Binnen een niveau van bevraging kan ook een moeilijkheidsgraad worden benoemen. De discussie over complexiteit van een opgave is al opgepakt in NKBW1en NKBW2. Daar is geconstateerd dat het niet eenvoudig is om complexiteit eenduidig te definiëren. Wij hebben gekozen voor moeilijkheidsgraad (met trapjes 1-4). Bij PISA wordt de moeilijkheidsgraad van een opgave eenvoudig bepaald aan de hand van de gemiddelde score en deze wordt dus pas bepaald nadat de toets is afgenomen. Voor de toetsconstructie hebben wij gekozen om een moeilijkheidsgraad vooraf vast te leggen. Hierbij maken we gebruik van de expertise van de opstellers van de vragen. Deze moeilijkheidsgraad kan echter aan de hand van bijvoorbeeld resultaten uit afgenomen toetsen aangepast worden. Het lijkt op zijn plaats om te benadrukken dat de drie niveaus A, B en C op zich geen binding hebben met moeilijkheidsgraad. Een opgave in de categorie C kan minder moeilijk zijn (of worden gevonden) dan een opgave in de categorie A of B. Type vraagstellingen Uiteraard is de vraagvorm van belang: een open vraag die om een eigen uitwerking vraagt toetst vaak andere vaardigheden dan een multiple choice vraag (m.c.). Binnen het VO en HO zijn bij wiskunde multiple choice vragen ongebruikelijk. Mede daarom worden de toetsen zoveel mogelijk in de open vraagvorm gesteld. Echter, door de beperkingen, die digitale toetsing met zich meebrengt, zien we ons genoodzaakt zowel open vragen als ook multiple choice vragen op te stellen. Voor zover mogelijk streven ernaar, beide varianten van de opgaven aan te bieden. De toetsen Binnen het project ONBETWIST streven we ernaar dat docenten zelf toetsen kunnen samenstellen uit een grote collectie van items. De redactie zal een aantal voorbeeldtoetsen samenstellen. Hierbij streven naar toetsen waarin de drie niveaus A, B en C op gelijke wijze en met vergelijkbare moeilijkheidsgraad vertegenwoordigd zijn. Ook is een spreiding van de moeilijkheidsgraad gewenst. Afhankelijk van de doelgroep kan deze variëren van 1 t/m 3 tot 2 t/m 4.

7 Bestaande materialen Boeken De standaard lesboeken gebruikt op de middelbare scholen leveren een grote bron van opgaven, evenals het boek Basiswiskunde van Jan van de Craats. Nkbw toetsen Binnen de nkbw-projecten hebben al een verzameling opgaven en toetsen opgeleverd die zeer bruikbaar zijn binnen ONBETWIST. Deze toetsen zijn in verschillende systemen beschikbaar. Online materiaal Binnen het Wortel TU/e-project (wortel.tue.nl) is reeds een groot aantal interactieve opgaven op het gebied van de vwo-wiskunde gemaakt. Deze opgaven worden aangeboden via de e-learning omgeving wortel.tue.nl. Ze zijn vervaardigd in het MathDox format. De door ons gekozen onderwerpen worden voor een(groot) deel overdekt door de in Wortel TU/e aanwezige opgaven. De opgaven in Wortel TU/e zijn echter veelal oefenopgaven, maar zullen deels omgezet kunnen worden naar toetsopdrachten. Ook is een collectie opdrachten te vinden op en op Deze laatste collecties bestaat uit opgaven in MapleTA format. Een collectie MapleTA opgaven is eveneens beschikbaar op Deze opgaven zijn vrij beschikbaar en kunnen gebruikt worden binnen het project. Ook op de WIMS server is een aantal toetsen te vinden waarin de gekozen onderwerpen aan bod komen. Deze toetsen kunnen als inspiratie dienen. Verder bieden verschillende repositories materialen die mogelijk bruikbaar zijn: etc. Het betreft hier echter losse documenten.