37.8 Het stationaire synchrone vermogen

Transcriptie

1 37.8 Het stationaire synchrone vermogen Alhoewel hoofdstuk 37 als titel dempende en scynchroniserende vermogens heeft, dus over variaties in het vermogen gaat, zijn er veel begrippen die (ook) bij het stationaire synchrone vermogen aan de orde komen. Daarom leidt een behandeling daarvan makkelijker tot meer begrip. De generator levert het vermogen (en daarnaast blindvermogen) naar het net. Daartoe wordt door middel van het ronddraaiende bekrachtigingsveld in de stator de statorbronspanning opgewekt. Indien de generator is aangesloten op het starre net gaat er stroom lopen naar het net, en wordt er vermogen geleverd, als de aandrijving het daarvoor nodige aandrijvend koppel /vermogen levert. In de stationaire toestand wordt op de rotor een aan het aandrijfkoppel gelijk tegenkoppel uitgeoefend; zou dat tegenkoppel er niet zijn dan zou de rotor ongelimiteerd versnellen. Omdat dat meermalen ter sprake komt komt hier als eerste de subparagraaf aan de orde waarin het reluctantievermogen naar voren komt, naast het elektrodynamisch overgebrachte vermogen. De paragraaf is verdeeld in de volgende subparagrafen: Uitwerking van de q-d uitdrukkingen voor het stationaire synchrone vermogen, leidend tot opsplitsing in het elektrodynamisch opgewekt vermogen en het reluctantievermogen. Vervangingsschema ter toelichting op het het ontstaan van de verschillende stroom- en vermogenscomponenten Bepalingen van het stationaire synchrone koppel/vermogen op/aan de rotor Berekeningsvoorbeeld betreffende het stationaire vermogen, inclusief het reluctantievermogen Afleiding van het wijzerdiagram van de synchrone generator voor het geval dat X d en X q van elkaar verschillen (X d > X q ). Wijzerdiagram

2 Uitwerking, voor X d X q, van de algemene q-d uitdrukking voor vermogen, leidend tot opsplitsing in het het elektrodynamische verkregen vermogen en het reluctantievermogen Met U-variabelen: Het volledige synchrone vermogen wordt geschreven als P U0 = U nq0 I q0 + U nd0 I d0 Uit paragraaf 37.1: U nq0 = U ny cosδ qn0 U nd0 = - U ny sinδ qn0 I do = (U nq0 - E fy )/X d I q0 = - U nd0 /X q P U0 = U nq0 I q0 + U nd0 I d0 = U nq0 (- U nd0 /X q ) + U nd0 (U nq0 - E fy )/X d = U nq0 (- U nd0 /X q ) + U nd0 U nq0 /X d - U nd0 E fy /X d = U ny cosδ qno U ny sinδ qn0 /X q - U ny sinδ qn0 U ny cosδ qno /X d - U nd0 E fy /X d = U ny 2 sinδqn0 cosδ qn0 /X q - U ny 2 sinδqn0 cosδ qn0 /X d + U ny E fy sinδ qn0 /X d P U0 = U ny 2 sinδqn0 cosδ qn0 (1/X q - 1/X d ) + E fy U ny sinδ qn0 /X d De uitdrukking kan met sinδ qn0 cosδ qn0 = ½sin2δ qn0 ook geschreven worden als P U0 = ½ U ny 2 sin(2δqn0 )(1/X q - 1/X d ) + E fy U ny sinδ qn0 /X d De linkerterm, teruggedacht naar koppel, is het reluctantiekoppel. In de Duitse literatuur het Reaktionsmoment. Het reluctantiekoppel/-vermogen verandert met de dubbele lasthoek, wordt maximaal bij een lasthoek van 45 en neemt daarna weer af. De rechterterm komt voort uit het door de elektrodynamische werking verkregen synchrone vermogen Pqe zoals hierna in wordt bepaald. Korte notatie: P U0 = Prel + Pqe Bij een cylindrische rotor bedraagt het reluctantievermogen enkele procenten van het synchrone vermogen. Bij rotoren met uitgebouwde polen en daardoor veel grotere verschillen tussen X d en X q kan het percentage 25% bedragen

3 In subparagraaf worden voor een bepaalde lasthoek de twee vermogens berekend. Beknopte verklaring van het reluctantievermogen: Bij aansluting op het starre net, wordt door de netspanning een synchroon draaiveld geleverd. Als er geen bekrachtiging is en de rotor vrij kan draaien kiest de rotor de positie waarin de doorgaande flux het grootst is ofwel de magnetische weerstand (reluctantie) het kleinst. De rotor - als hij opgang gebracht is - wordt meegenomen. De d-as staat dan in lijn met het (positief of negatief) maximum van het statorveld. Wordt vervolgens de rotor aangedreven dan verandert de positie van de rotor ten opzichte van de statorflux en ontstaat een rotortegenkoppel. Door de andere positie van de rotor verandert ook de flux door rotor en stator. Men kan de verandering zien als een toevoeging van flux. Deze toegevoegde flux wekt spanningen op in het rotorijzer, daardoor lopen er stromen en wordt via de stator vermogen geleverd, het reluctantievermogen. De stromen in het rotorijzer leiden tot een reluctantietegenkoppel, waar uiteraard de aandrijving een aandrijfkoppel tegenover moet stellen Uitwerking met E-variabelen: : P E0 = E rq0 I q0 + E rd0 I d0 Uit paragraaf 37.2: E rq0 = (X ad /X d ) U nq0 + (X/X d )E fy E rd0 = (X aq /X q ) U nd0 I do = (U nq0 - E fy )/X d I q0 = - U nd0 /X q P E0 = E rq0 I q0 + E rd0 I d0 = {(X ad /X d )U nq0 + (X/X d )E fy }( - U nd0 /X q ) + (X aq /X q ) U nd0 (U nq0 - E fy )/X d = - (X ad /X d X q ) U nq0 U nd0 - (X/X d X q ) E fy U nd0 + (X aq /X q X d ) U nd0 U nq0 - (X aq /X q X d ) E fy U nd0 = (X aq /X q X d - X ad /X d X q )U nq0 U nd0 - (X/X d X q + X aq /X q X d ))E fy U nd0 en met X + X aq = X q = {(X aq /X q X d - (X ad /X d X q } U nq0 U nd0 - E f U nd0 /X d P E0 = U ny 2 cosδqn0 sinδ qn0 (X ad /X d X q - X aq /X q X d ) + E f U ny sinδ qn0 /X d en ook: P E0 = ½ U ny 2 sin(2δqn0 ) (X ad /X d X q - X aq /X q X d ) + E f U ny sinδ qn0 /X d

4 Opmerking: het elektrodynamisch verkregen synchrone vermogen (de rechter term) is gelijk aan dat voor plaats U. De synchrone vermogens en hun variaties veranderen niet met de plaats. Het reluctantiedeel is kleiner, door de factoren X aq /X q en X ad /X d, ofwel met de verhouding tussen de zuivere statorwikkelingreactantie en de totale (lek-) reactantie van de statorketen voor respectievelijk de q- en de d-richting. De verkleinfactoren verschillen echter weinig van elkaar. Het verschil tussen (1/X q - 1/X d ) en (X ad /X d X q - X aq /X q X d ) is nóg kleiner. Doorrekeningen leiden tot een reluctantievermogen op plaats E van 3,061 MW en op plaats U tot 3,062 MW ofwel een verwaarloosbaar verschil van 1 op Vervangingsschema ter toelichting op het het ontstaan van de verschillende stroom- en vermogenscomponenten Alle termen in P u0 zoals hierboven zijn te vatten in een uit drie circuits bestaand vervangingschema: De stromen en spanningen met gelijke fase leveren de vermogens aan het net: Pu0 = IndUnd + InqUnq ofwel: = Ind1Und + Ind2Und + InqUnq = = -EfyUnd/Xd - UnqUnd/Xd + UndUnq/Xq waarin links het elektrodunamisch verkregen vermogen en rechts, met twee termen, het reluctantieverogen De - en + tekens worden mede bepaald door de 90 naijlende faseverschuiving, waardoor de stroomcomponenten in het wijzerdiagram langs een andere as lopen dan de spanning waardoor ze veroorzaakt worden. Zie ook het wijzerdiagram in NB: Uiteraard zijn er in werkelijkheid geen afzonderlijke circuits voor d- en q- componenten (stromen of spanningen). De stroomcomponenten zijn onderdelen van één stroom (I n ) en de spanningscomponenten zijn onderdeel van één spanning (U n )

5 Bepalingen van het stationaire synchrone koppel /vermogen op/aan de rotor Het rotortegenkoppel wordt hierna als volgt bepaald: 1) De Lorenzkracht/het Lorenzkoppel Tq op de stroom I F in de bekrachtingswikkeling, lopend in en loodrecht op de component Φ hq van het statorveld. De uitkomst is een fractie kleiner dan hij zou moeten zijn. 2) De Lorenzkracht/het Lorenzkoppel Td op het bekrachtigingsveld Φ f waardoorheen de statorstroomcomponent I q loopt, loodrecht op Φ f. 3) Als variant: Het vermogen dat elektrodynamisch van de rotor naar de stator, en daarmede naar het starre net, wordt overgebracht. De uitkomst is een elektrisch vermogen. De waarde is geheel juist, maar betreft niet direct het gezochte rotorkoppel/ rotorvermogen. De uitkomsten van 1) en 2) verschillen onderling en wijken beide af af van de uitkomst van 3). die doorgaans als de juiste uitdrukking voor het geproduceerde vermogen wordt beschouwd (exclusief het reactantievermogen) Oriëntatie inzake de koppelbepalingen: Terwille van de berekeningen zijn de wikkelingen geconcentreerd gedacht. De statorwikkeling is opgedeeld in een q-deel en een d-deel, waarin de stroomcomponenten I q en I d de statorveldcomponenten in de q-richting en de d- richting leveren. De bekrachtigingsstroom I F levert het veld Φ f in de d-richting. Uiteraard worden reactiekoppels op Φ hq respectievelijk I q uitgeoefend Met statorveld wordt het veld bedoeld dat zijn oorzaak vindt in de statorstroom (dus niet de resultante van statorveld en bekrachtigingsveld). Bekrachtigings- en statorveld roteren in stationaire toestand synchroon ten opzichte van elkaar, maar staan wel in een hoek, de lasthoek, ten opzichte van elkaar

6 Bepaling van het rotortegenkoppel T q op de bekrachtigingswikkeling via de kracht tussen de statorflux flux Φhq en de bekrachtigingsstroom I F Uit T q volgt het rotorvermogen P q door vermenigvuldiging met de synchrone hoeksnelheid ω. Koppel en vernogen bevatten hier niet het reluctantiekoppel/-vermogen. Fig Situatie bekrachtigingssstroom en statorveld voor de stationaire toestand De bekrachtigingspanning U F levert de gelijkstroom I F = U F / R F. I F is constant bij constant gestelde bekrachtigingsspanning. Bepaling van Φhq, Efy en het rotortegenkoppel T qf uitgeoefend op de bekrachtigingswikkeling Toegepast wordt T qf = N F I F Φ hq. N F I F wordt omgerekend naar de daarbij behorende statorbronspanning Efy. Dit geschiedt omdat rekenen en beschouwen met Efy duidelijker is. Index F is toegevoegd ter onderscheid met volgende koppelbepalingen

7 Φhq kan bepaald worden uit de statorbronspanning Erd in het volgende schema. De bijdrage van E fy is in het schema weggelaten omdat de kracht/het koppel volgt uit de werking tussen de bekrachtigingsstroom en het statorveld (en niet tussen bekrachtigingssroom en resulterend veld). Door de rotatie van de flux Φhq t.ov. de stator ontstaat: Erd = - NaqωΦhq Φhq = - Erd / Naqω Stationair, s = 0: Erd0 = X aq X q Und0 Φhq0 = - X aq Und0 X q N aq ω Of: Φhq0 = NaqIq0 /Θ hq = - NaqU nd0 /X q Θhq (Dit komt op hetzelfde neer, met X aq = ωnaq 2 /Θ hq ); Θhq is de mganetische weerstand van het q hoofdcircuit) Om tot een uitdrukking met Efy te komen wordt daarnaar omgerekend: Efy = - NadωΦf (Φf is de bekrachtigingsflux, wordt omvat door Nad statorwindingen rond de d-as en induceert daarin Efy, 90 naijlend op Φf, dus langs de q-as). Met Φf = N F I F Θ hd NadωN F I F Θ hd Efy = - IF = - Efy Θ NadωN hd F en toepassing van T q = N F I F Φhq: T qf = N F Θ hd X aq NadωN F X q Naqω EfyUnd

8 De getalswaarden van Nad en Naq zijn precies gelijk en hun produkt kan daarom als een kwadraat van één van deze genoteerd worden. De magnetische weerstand bepaalt vervolgens welke reactantie het wordt: Nad 2 ω Θ hd = L ad ω = X ad Und0 = - Uny sinδqn0 X aq X aq T qf = - EfyUnysinδqn0 Vermogen: P qf = EfyUnysinδqn0 X ad X q ω X ad X q Opmerking: voor de vermogensuitdrukking is, en wordt hierna, afgezien van het - teken. Omdat we onder P qf het afgegeven vermogen verstaan wordt met de positieve uitdrukking de juiste betekenis aangegeven. Voor het rotortegenkoppel geeft het - teken de juiste betekenis. Om beter aan te sluiten met volgende bepalingen wordt de uitdrukking met Xd vermenigvuldigd en gedeeld, waarmede vermogensuitdrukking wordt P qf = X d X aq X q X ad 1 X d EfyUnysinδqn0 In de eerste factor is het product van X d /X ad en X aq /X q vrijwel 1 (in de voorbeeldconfiguratie * 0, = 0,978890). Bij een kortere verbinding tussen generator en net komt het product dichter bij 1. De uitdrukking is, met het ongeveer gelijk teken, te schrijven als P qf 1 X d EfyUnysinδqn0 Opmerkingen: 1) De uitkomst bevat niet het reluctantievermogen 2) Het lijkt vreemd dat de uitkomst zou betekenen dat het benodigde aandrijfvermogen iets kleiner is dan het geleverde elektrisch vermogenvermogensberekening volgens Met de volgende koppelbepaling wordt het tekort ruischoots aangevuld, zij het met overblijvende vragen

9 Bepaling van het rotortegenkoppel TqFb en rotorvermogen P qfb uit de kracht tussen de bekrachtigingflux Φf en de statorstroomcomponent I q Toegepast wordt: T qfb = N ad Φ f I q0 I q0 = - U nd0 /X q E fy = - NadωΦf Φf = - E fy / Nadω T qfb = N ad Φ f I q T qfb = N ad (- E fy / Nadω)(- U nd0 /X q ) = (E fy / ω)( U nd0 /X q ) = E fy U nd0 /X q ω Met Und0 = - Uny sinδqn0 volgt: 1 1 T qfb = - EfyUnysinδqn0 Vermogen: P qfb = EfyUnysinδqn0 X q ω X q

10 Ook hier wordt de vermogensuitdrukking met X d vermenigvuldigd en gedeeld; daarmee ontstaat: PqFb = X d X q 1 X d EfyUnd0 De eerste factor wordt hier met de gegevens van de voorbeeldconfiguratie 1,1. Dit is ongeveer 10% hoger dan het rotortegenkoppel uit voorgaande subparagraaf en ook 10% hoger dan elektrodynamisch verkregen vermogen uit de volgende paragraaf, De daar gevonden uitdrukking wordt algemeen aanvaard ter bepaling van het vermogen van de synchrone generator. De factor X d /X q is op zich goed te verklaren: de flux Φ f ondervindt een kleinere magnetische weerstand vergeleken met de flux Φ hq in de bepaling van P qf in hiervoor. De twee uitkomsten uit en grijpen op de rotor aan langs de q-as en langs de d-as. In werkelijkheid, met een langs de omtrek verdeelde statorwikkeling, zal het koppel per winding langs de omtrek varieren. Het gemiddelde koppel / vermogen kan als het resulterend koppel/vermogen beschouwd worden. Voor de voorbeeldconfiguratie wordt dit gemiddelde (0,979+ I 1,1)/2 = 1,039 EfyUnd/Xd. Het "teveel" van 3,9 % zou qua grootte kunnen worden toegeschreven aan het reluctantievermogen maar hiervoor is geen bewijs of afleiding gevonden. Eerder het tegengestelde: het teveel varieert wel met de lasthoek, maar niet - ten dele- met het dubbele van de lasthoek, zoals dat het geval is met het reluctantievermogen Er is geen oplossing gevonden voor de onvolkomenhedenof onzekerheden in de resultaten voor de bepaling van het stationaire koppel op de rotor. Een excuus moge zijn dat gerenommeerde literatuur zich niet bezighoudt met een directe bepaling van het rotorkoppel

11 Bepaling van het stationaire synchrone vermogen uit het elektrodynamisch vermogen dat naar de stator, en vandaar naar plaats U wordt overgebraccht. De uitkomst bevat niet het reluctantievermogen I F = U F /R F Φf = N F I F Θ hd De plaatsaanduiding is nu gemengd: R vanwege de bekrachtiging en bekrachtigingsflux, U omdat het vermogen wordt bepaald dat wordt afgeleverd op plaats U (door te vermenigvuldigen met U nd ). Φ f draait met synchrone snelheid rond en induceert E fy = - Naq.ω.Φ f in het q-deel van de statorwikkeling. Door Efy ontstaat in het d-statorcircuit, inclusief de verbinding naar het starre net, de stroom I d1 = E fy /X d. Het daaraan verbonden geleverd vermogen is U nd I d1 = E fy U nd /X d. Dit vermogen komt vanuit de rotor, via het op de rotorwikkeling uitgeoefend tegenkoppel Tq (tegen het aandrijfkoppel in - hier echter zonder het deel dat besteed wordt aan het reluctantietegenkoppel c.q. het reluctantievermogen). Men ziet de directe transformatie van mechanisch vermogen, koppel x hoeksnelheid, in elektrisch vermogen. De stator ziet het passerende (sinusvormig gestelde) bekrachtigingsveld als een wisselveld. Het lijkt bijna een transformatorische vermogensoverdracht. Men zou van een overzetverhouding I d1 /I F = N F /N ad tussen statorwikkeling en bekrachtigingswikkeling kunnen spreken. Dit is een ideale transformatie, omdat het

12 vermogen dat nodig is voor het opwekken van het magnetisch veld wordt geleverd door de gelijkstroombron van I F. Het op deze wijze bepaalde, naar de stator overgedragen, vermogen wordt, met U nd = - U ny sinδ qn, en voor het rotortegenkoppel (- teken) deling door de nominale hoeksnelheid ω van van de rotor: 1 1 P qe = EfyUnysinδqn T qe = - EfyUnysinδqn X d X d ω Index qe vanwege het elektrodynamisch proces in de afleiding van de vermogensopwekking. Beschouwing over de verkregen vermogensuitdrukking: 1) De uitkomst is geheel juist, en zonder enige verwaarlozing gevonden 2) Hiervoor, onder , staat naast het reluctantievermogen ook een vermogensterm gelijk aan de vorm zoals hierboven. Het is dan toch wel vrij dwingend om te stellen dat die vermogensterm niet het reluctantievermogen bevat. 2) In wordt vastgesteld dat het totale stationaire synchrone rotorvermogen exact gelijk is aan P qe + P rel Opmerkingen: 1) de index q bij alle vermogens in deze subparagraaf is gekozen omdat ook in paragrafen 37.1 en 37.2 de termen met U nd( Δ) en de tijdconstanten τ q tot de q-richting zijn gerekend. Overigens hebben krachten, koppels en vermogens eigenlijk geen asrichting. 2) Er is geen reden om inzake het stationaire synchrone vermogen nog onderscheid naar plaats te maken. Er zijn over het circuit van R naar U alleen maar zuivere reactanties aanwezig en daarin treedt geen vermogensverlies op 3) In de afleiding van P qe komt X q op geen enkele plaats voor. Wat niet wil zeggen dat het q-wikkelingsdeel niet belangrijk is. Onder andere wordt Efy in de q-as ontwikkeld

13 Berekeningsvoorbeeld met lijnspanning 21kV, bekrachtigingsbronpanning 42kV, Xd en Xq zoals van de voorbeeldgenerator en - configuratie. Spannings- en stroomwaarden zijn fasewaarden. Berekening van het stationaire synchrone vermogen uit de bepaling op plaats R/U (de elektrodynamische werking) aangevuld met de bepaling van het reluctantievermogen. Lasthoek

14 Afleiding van het wijzerdiagram van de synchrone generator bij verschillende X d en X q (X d > X q ). Wijzerdiagram. Hoewel niet direct tot het onderwerp van deze paragraaf behorend kan op deze plaats ook een andere uitwerking worden gemaakt, met als doel het wijzerdiagram van de synchrone gererator te kunnen construeren. Daartoe wordt het diagam opgedeeld in een voorconstructie met voor zowel de d- als de q-richting een reactantie X q, en daarna in de q-richting een aanvulling met I d (X d - X q ). Met de voorconstructie wordt vooral de richting van E fy bepaald. De opslitsing in twee delen gebeurt door in de formule voor voor E fy I d0 X q negatief en positief toe te voegen: E fy = U nq0 - I d0 X d = U nq0 - I d0 X q - I d0 X d + I d0 X q = U nq0 - I d0 X q - I d0 (X d - X q ) Met wijzers en de wijzeroperator j geschreven en rekening houdend met de richtingen van de variabelen: E fy = U nq0 + j I d0 X q + j I d0 (X d - X q ) 0 = U nd0 + j I q0 X q + E fy = U n + j I n X q + j I d0 (X d - X q ) Met E fyʼ = U n + j I n X q kan de voorconstructie uitgevoerd worden. Daaruit volgt E fyʼ en daarmee ook de richting van E fy. Vervolgens kan E fy = E fyʼ + j I d0 (X d - X q ) bepaald worden en is in principe het volledig wijzerdiagram verkregen. In de figuur zijn de waarden gebruikt uit het berekeningsvoorbeeld daarna. Bovenaan is echter ook een driehoekje toegevoegd, weergegeven is de kleine cirkel, en vergroot weergegeven in de grote cirkel. Het driehoekje heeft betrekking op het reluctantievermogen. Het driehoekje is gelijkvormig aan de overstaande driehoek met de zijden I n X q, I nd X q en I nq X q. In het driehoekje krijgen de zijden dan de waarden I n (Xd - X q ), I nd (Xd - X q ) en I nq (Xd - X q ) = U nd (Xd - X q )/Xq, zoals aangegeven in de vergroting

15 Alle zijden die in het oorspronkelijke wijzerdiagram een spanning weergeven geven na vermenigvuldiging met U nd /Xd het bijbehorende vermogen weer, met als belangrijkste geval het middels de bekrachtigingsflux opgewekte vermogen P qe = E fy U nd /X d = EfyU ny sinδ qn0 /X d. Om het reluctantievermogen in het diagram terug te vinden moet niet met U nd /Xd vermenigvuldigd worden maar met U nq /Xd, dit is de stroom I nd2 die door U nq in de positieve d-richting wordt gestuurd, als deel van de totale I nd die in het wijzerdiagram voorkomt: I nd = (U nq - E fy )/Xd. Met de vermenigvuldiging ontstaat U nq U nd (X d - X q )/X d X q ofwel Prel(uctantie) = 2 U ny cosδqn0 sinδ qn0 (1/X q - 1/X d ). Nu is vermenigvuldigen met U nq /Xd niet hetzelfde als met U nd /Xd. Daardoor is de lengte van het liggende pijltje van het driehoekje niet gelijkwaardig in het weergeven van vermogen ten opzichte van de andere zijden die spanningen weergeven. Omdat U nq in de hier weergeven situatie groter is dan U nd is het reluctantievermogen hier dus relatief groter dan het horizontale pijltje suggereert. Wijzerdiagram op de volgende bladzijde. Het is getekend met de waarden van het berekeningsvoorbeeld in voorgaande subparagraaf Opmerking: de constructie met het driehoekje is een vertaling van de voornamelijk goniometrische afleiding van het reluctantievermogen in Bödefeld und Sequenz (lit. 13, 6 e druk (1962), blz )

16 NB: Om in overeenstemming te blijven met eerder getekende d-q assenstelsels heeft de d-as hier naar rechts de negatieve richting. Het assenstelsel staat linksom gekanteld t.o.v. dat in o.a. hoofdstuk 17 waaruit vele uitdrukkingen zijn afgeleid. fig Wijzerdiagram van de synchrone generator bij Xd > Xq met verbinding naar het starre net. O.a. toevoeging van reluctantiedriehoek