Het Queens n 2 graafkleuring probleem

Transcriptie

1 Het Queens n 2 graafkleuring probleem Wouter de Zwijger Leiden Institute of Advanced Computer Science Universiteit Leiden Niels Bohrweg CA Leiden The Netherlands Samenvatting In dit artikel behandelen wij het Queens n 2 graafkleuring probleem. Dit probleem is een uitbreiding op het traditionele n Queens probleem. We zullen voor het Queens n 2 graafkleuring probleem een algoritme presenteren dat gebruikt is in [Vas04]. Verder bediscussiëren we de resultaten van dat artikel. Key words: n Queens problem, Queens n 2 coloring problem, graph coloring, branch and bound algorithm 1 Introductie Het n queens probleem, gebaseerd op het traditionele schaakspel, is een moeilijk oplosbaar probleem. Het n queens probleem bestaat uit het vraagstuk hoe men voor een schaakbord ter grootte van n bij n vakjes n dames kan plaatsen zo dat geen enkele dame een andere dame kan slaan. Een dame in het schaakspel kan zich horizontaal, verticaal en diagonaal voortbewegen. In tegenstelling tot een koning die maar 1 vakje in één van deze richtingen kan verplaatsen, kan een koningin over de hele lijn voortbewegen. Dit probleem is erg lastig aangezien de plaatsing van elke dame veel beperkingen met zich mee brengt voor plaatsen waar andere dames kunnen worden geplaatst. Het n queens probleem bestaat al lang, en er zijn vele algoritme bedacht om dit probleem op te lossen. Maar behalve deze algoritmes zijn er ook veel variaties op het n queens probleem. Deze variaties zijn anders, en vereisen dan ook een andere aanpak. Een zo n variatie is het Queens n 2 graph coloring probleem. In het volgende hoofdstuk zullen we hier uitgebreid op ingaan. Hoofdstuk 3 gaat over een algoritme om dit probleem op te lossen, paragraaf vier over de resultaten van dit algoritme. En tot slot bediscussiëren we de resultaten in de conclusie. 2 Queens n 2 graafkleuring probleem Het Queens n 2 graafkleuring probleem gaat verder dan een enkele n queens oplossing. Het bord wordt vervangen door een graaf, waarbij elke knoop in de graaf een vakje op het bord representeert. Voor een n bij n bord bestaat de

2 2 graaf dus uit n 2 knopen. Omdat elke knoop een vakje op het bord representeert, zullen we vanaf nu de wpprden knoop en vakje of plaats door elkaar gebruiken. Waarbij als we het over vakjes of plaatsen hebben vooral kijken naar de echte schaakbord-representatie en bij knoop meer naar de structuur van de graaf. 2.1 De Queens N 2 graaf Een paar knopen in de graaf wordt met elkaar verbonden als een koningin van het bijbehorende ene vakje het andere vakje kan aanvallen. Aangezien een koningin horizontaal kan aanvallen, zijn voor alle vakjes die op een horizontale lijn liggen de bijbehorende knopen met elkaar verbonden. Het zelfde geld voor vakjes die gezamenlijk op een verticale lijn of diagonale lijn liggen. Zie Figuur 1 om een klein beetje een idee te krijgen hoe een graaf van het speelbord er uit ziet. De connecties in de afbeelding zijn in twee afbeeldingen gesplitst om het nog enigszins overzichtelijk te houden. Figuur 1. De graaf die bij een 5 5 bord hoort. Voor een lijn met verbindingen geld dat elke knoop van die verbinding met elke andere knoop van die verbinding verbonden is. De connecties zijn tussen twee afbeeldingen gesplitst om het overzichtelijker te houden. 2.2 Graafkleurings probleem Bij het graafkleuring probleem is het de bedoeling om een graaf met zo min mogelijk kleuren zo te kleuren dat er geen conflicten zijn. Een graaf, bestaande uit

3 3 knopen en verbindingen tussen de knopen, kan gekleurd worden door elke knoop een kleur te geven. Het is echter de bedoeling dat wanneer er een verbinding is tussen twee knopen, deze knopen niet dezelfde kleur hebben. We spreken van een conflict als dit wel het geval is. Het achterhalen of er voor een bepaald aantal kleuren voor een bepaalde graaf een oplossing is is NP-volledig. 2.3 Queens n 2 graafkleurings probleem Het graafkleuring probleem van de Queens n 2 graaf is het vinden van de minimale hoeveelheid kleuren die nodig is om deze graaf te kleuren zonder dat er conflicten ontstaan. Hierbij is elke kleur een set van dames die elkaar niet mogen slaan. Een kleur komt dus overeen met een n Queens oplossing, en een graafkleuring met een verzameling n Queens oplossingen die bij elkaar het hele bord vullen met één dame op elk veld. Omdat een rij van vakjes altijd bijbehorende knopen hebben die met elkaar verbonden zijn, zijn er altijd minstens het aantal kleuren als het speelbord breed is nodig voor een geldige oplossing. Voor de Queens n 2 graaf zijn er dus minimaal n kleuren nodig voor een geldige oplossing. Het vinden van de minimale hoeveelheid kleuren is een optimalisatie-probleem. Het beslissingsprobleem is of het mogelijk is om de graaf voor een n bij n bord met n kleuren volledig te dekken zonder conflicten. Dit komt overeen met n n- queens oplossingen voor dit bord, waarbij elke oplossing alleen koninginnen op vakjes heeft waar de vakjes leeg zijn voor alle andere n 1 n-queens oplossingen. Volgens Gardner [Gar95] is dit alleen het geval dan en slechts dan als n niet deelbaar is door 2 of 3. Wanneer dit het geval is zijn n kleuren voldoende om de Queens n 2 graaf te kleuren zonder conflicten. Gardner geeft echter geen bewijs waarom dit zou gelden. 3 Een algoritme voor het Queens n 2 graafkleuring probleem Zoals in hoofdstuk 2.3 is uitgelegd, zijn voor een n bij n bord minimaal n verschillende kleuren nodig. Het beslissingsprobleem waarvoor we een algoritme laten zien werpt zich dan ook op de vraag of die n kleuren voor een bepaalde n voldoende zijn om de Queens n 2 graaf correct te kleuren. Het algoritme zal gebruik maken van bepaalde eigenschappen van de Queens n 2 graaf om het zoekgebied te beperken. 3.1 Branch and bound Het algoritme dat we zullen gebruiken voor het oplossen van het Queens n 2 probleem is een branch and bound algoritme [Cla99]. Dit algoritme zoekt het hele zoekgebied systematisch af, maar kan vele stukken van het zoekgebied schrappen zonder het te onderzoeken door gebruik te maken van bepaalde eigenschappen.

4 4 Het branch and bound algoritme in het algemeen doorloopt het zoekgebied als een boomwandeling. In het begin is het gebied het hele zoekgebied, en het branch and bound algoritme kiest een kind in de boom om dat verder te doorzoeken. Dit wordt gedaan aan de hand van upper en lower bounds. Deze worden ook gebruikt om te bepalen of het überhaupt wel zin heeft om een bepaald deelgebied te onderzoeken. In het algemeen is een branch and bound algoritme op zoek naar een optimale oplossing, en worden deelgebieden niet meer onderzocht als een bound aangeeft dat in dit deelgebied het niet mogelijk is om tot een betere oplossing te komen. Om door een zoekgebied heen te lopen als een boom moet het dus mogelijk zijn om het zoekgebied op te splitsen in deelgebieden die samen het hele zoekgebied dekken. Dit splitsen leidt uiteindelijk tot een boom waarin gezocht kan worden. Vervolgens is er een methode nodig om te bepalen welke takken door het algoritme onderzocht worden. Dit wordt aan de hand van de lower en higher bound gedaan. Een lower bound geeft aan wat de waarde van een deelgebied minimaal voor waarde kan hebben, en een higher bound geeft aan wat de maximale waarde is die dit deelgebied kan hebben. Voor een minimalisatie-probleem worden alle deelgebieden geschrapt en niet verder onderzocht als de lower bound van deze gebieden hoger is dan de higher bound van een ander gebied. Dit geeft namelijk aan dat deze gebieden gegarandeerd een slechter resultaat geven dan het gebied met een upper bound lager dan de lower bounds van deze gebieden. Het laten afvallen van zoekgebieden door deze simpele checks van bounds heet prunen. Belangrijk bij de bepaling van upper en lower bounds is dat deze niet worden overschat. 3.2 Independent sets Het algoritme dat de Queens n 2 graafkleuring gaat oplossen maakt voor het beperken van het zoekgebied en het prunen gebruik van bepaalde eigenschappen van de graaf. De independent set is een belangrijke deelverzameling van een set van knopen van een graaf. Alle knopen in een independent set zijn niet met elkaar verbonden in de graaf. Aangezien knopen die niet met elkaar verbonden zijn voor een legale graafkleuring dezelfde kleur mogen hebben, en alle knopen in de independent set niet met elkaar verbonden zijn, is het mogelijk om alle knopen in een independent set dezelfde kleur te geven. Voor het voledig kleuren van een Queens n 2 graaf met slechts n kleuren, zijn er dus n independent sets nodig, waarbij elke independent set een andere kleur heeft. Minder independent sets hebben zou betekenen dat we met minder dan n kleuren de graaf zouden kunnen kleuren; we hebben echter al aangetoond dat dit niet mogelijk is in hoofdstuk 2.3. De vereniging van independent sets moet samen de gehele graaf dekken om een geldige oplossing te zijn. Een independent set is maximaal n groot. Een independent set kan niet groter zijn, omdat alle knopen uit een rij op het schaakbord met elkaar verbonden zijn. Een independent set heeft dus maximaal één knoop uit een rij. Er zijn n rijen, en dus kan een independent set bestaan uit maximaal n knopen.

5 5 Als de Queens n 2 graaf gekleurd kan worden met slechts n kleuren, dan moet deze graaf dus n independent sets hebben, waarbij elke set n groot is: n kleuren betekent immers n independent sets, die samen n 2 vakjes moeten dekken. Een set kan niet groter zijn dan n, dus moet elke set minimaal n zijn om toch alle vakjes te dekken. Verder mag er geen overlap zijn tussen de independent sets. Als dit namelijk wel het geval is, dan is het mogelijk om een bepaald vakje verschillende kleuren te geven, maar vervolgens is er een ander vakje dat niet in een van de n independent sets zit en dus niet wordt gekleurd. Een Queens n 2 graaf is te kleuren met n kleuren dan en slechts dan als er n independent sets bestaan die samen de gehele Queens n 2 graaf dekken. De independent sets zijn dus allemaal n groot en hebben geen knopen gemeenschappelijk. Om uit te zoeken of er n independent sets bestaan die hier samen aan voldoen, moeten eerst alle independent sets IS n die n groot zijn gevonden worden. Dit wordt gedaan door middel van een depth first search. Voor elk vakje van de bovenste rij van het bord wordt gekeken of er independent sets bestaan van grootte n. Als een vakje in de bovenste rij gekozen wordt voor nader onderzoek, worden alle vakjes die op een verticale of diagonale lijn ten opzichte van dit vakje liggen verwijderd. Vervolgens wordt een vakje uit de tweede rij gekozen en op dezelfde manier vakjes verwijderd als in de eerste rij. Dit proces gaat door totdat er een vakje uit de laatste rij is geselecteerd, of er geen vakjes meer in een rij zijn om uit te kiezen. Wanneer een vakje uit de laatste rij is gekozen is deze verzameling van vakjes een independent set van n vakjes. Wanneer de vakjes om uit te kiezen op zijn of er een oplossing is gevonden, gaat het algoritme een rij terug en kiest een ander vakje. Dit gaat door tot alle mogelijke independent sets gevonden zijn. Doordat de oplossing van het Queens n 2 kleuring probleem zal worden gezocht door middel van de independent sets, is het zoekgebied een stuk kleiner dan wanneer er zou worden gezocht naar een oplossing aan de hand van de graaf zelf. Immers voor het oplossen van het probleem kan elke knoop in de graaf gekleurd worden door n verschillende kleuren. Dit resulteert in een zoekgebied van n n n mogelijkheden. Aan de andere kant, door gebruik te maken van de independent sets, is het een kwestie van het vinden van een samenstelling van independent sets die samen de gehele graaf dekken. Een independent set uit IS n zit er dus wel of niet in. Het totale zoekgebied is nu 2 IS n groot. Dit is een aanzienlijk verschil. Neem bijvoorbeeld n = 5; dan zijn er dus combinaties zonder gebruik te maken van independent sets. Maar IS 5 = 10, en dus er zijn slechts 2 ISn = 1024 combinaties als er alleen gezocht wordt welke independent sets wel en niet in de verzameling zitten. 3.3 Branch and bound met independent sets Met de independent sets IS n is het zoekgebied van een graaf die gekleurd moet worden veranderd in het vinden van een combinatie independent sets. Een algoritme kan nu met behulp van backtracking door alle mogelijke combinaties van deze independent sets gaan. Echter wordt dit door middel van een branch and bound algoritme gedaan waardoor het niet nodig is om alle combinaties te

6 6 evalueren omdat sommige stukken kunnen worden geschrapt aan de hand van bounds. Aangezien de independent sets elkaar niet mogen overlappen, is er een bound die voorkomt dat meerdere gekozen independent sets hetzelfde vakje bevatten. Dit wordt gehandhaafd door elke keer als een IS gekozen wordt, de set IS n alle independent sets verliest die overlap hebben met de gekozen IS. Op deze manier worden er dus geen pogingen gedaan om een oplossing te vinden die geen kans van slagen heeft. Elk vakje op het bord zit in een aantal independent sets. Wanneer een independent set gekozen wordt, vermindert dit het aantal beschikbare independent sets. Om te voorkomen dat sommige vakjes al vrij snel niet meer kunnen worden bedekt door de independent sets, is het het best om eerst de vakjes te dekken die in weinig independent sets voorkomen. Voor de zoekboom wordt het aantal independent sets bepaalt voor elk ongekleurd vakje. Een vakje is gekleurd als dit al in een gekozen independent set zit. De tak die nu genomen wordt in het algoritme hangt af van het vakje met de minste independent sets. Dit vakje wordt gekozen, en vervolgens zal de zoekboom sequentieel over het vakjes independent sets gaan lopen. Wanneer alle IS voor een vakje zijn geëvalueerd, dan wordt er terug gegaan naar het vorige gekozen vakje en hier de volgende independent set van geëvalueerd. Merk op dat de zoekboom niet binair is. De breedte hangt af van de hoeveelheid independent sets die een gekozen vakje dekken. 3.4 Dynamisch filteren met behulp van cliques Het zoekgebied kan worden beperkt door het te filteren tijdens het doorzoeken van de zoekboom. Een conditie die voor deze filtering zorgt moet snel berekenbaar zijn en het zoekgebied beperken door onnodige mogelijkheden uit te sluiten. Dit maakt het zoekgebied kleiner en het algoritme sneller. Het filteren voor dit algoritme wordt gedaan door middel van klieken. Een kliek is een groep knopen uit een graaf waarbij elke knoop uit de kliek verbonden is met elke andere knoop uit de kliek. Voor het kleuren van een graaf betekent dit dat elke knoop in een kliek een andere kleur moet hebben. Immers alle knopen zijn met elkaar verbonden in de kliek, en verbonden knopen mogen bij een graafkleuring niet dezelfde kleur hebben. Wanneer in het algoritme voor het vinden van een geldige kleuring van de Queens n 2 graaf i independent sets zijn geselecteerd, dan zijn er nog n i independent sets over om tot een geldige oplossing te komen. Zoals eerder uitgelegd zijn er namelijk n independent sets nodig om de hele graaf te kleuren. Voor elke kliek van grootte n i hebben alle knopen een andere kleur nodig. Dit kan alleen als elk van deze knopen in een aparte independent set terecht komt. Hiervoor zijn dus n i independent sets nodig. Aangezien er nog i independent sets over zijn, moet elke independent set dus een plaats in de kliek bevatten. Er kan dus gefilterd worden op independent sets die geen plaatsen hebben in de kliek. Aangezien de independent sets zelf al van elke rij en kolom een plaats bevatten zullen voor i = 0 deze klieken niet tot beperkingen leiden. Echter de diagonalen wel, want niet elke independent set bevat een plaats op de betreffende diagonaal.

7 7 Figuur 2. Klieken op een 10 bij 10 bord waarop gefilterd wordt. De zwarte lijnen geven klieken van grootte n aan, en de grijze lijnen klieken van grootte n 1. In het begin zullen dus independent sets worden uitgesloten die geen plaatsen bevatten die op de twee hoofddiagonalen liggen. Wanneer i = 1 zullen ook de diagonalen van lengte n 1 mee genomen worden in het filter. Dit zijn dus de diagonalen net boven en onder de hoofddiagonalen. Zie ook Figuur Voorbeeld Aan de hand van een voorbeeld laten we nu zien hoe het algoritme werkt. We nemen n = 10 voor het beslissingsprobleem of er een geldige oplossing is voor het Queens n 2 graafkleuring probleem. De graaf die bij dit probleem hoort bestaat dus uit knopen, die met elkaar verbonden zijn als een dame op de ene knoop een stuk op de andere knoop zou kunnen slaan. Allereerst worden de independent sets van kengte n bepaalt. Deze sets zijn gelijk aan n queens oplossingen. Dit wordt gedaan door een depth-first search waarbij per rij steeds een vakje wordt gekozen en alle vakjes die op een verticale of diagonale lijn ten opzichte van dit vakje liggen worden verwijderd. Dit gaat door tot een geldige oplossing gevonden is of er geen vakjes over zijn, en vervolgens wordt er een ander vakje gekozen in de vorige rij. Dit proces levert uiteindelijk alle independent sets op voor een bord. Vervolgens gaat het branch and bound algoritme lopen. Eerst wordt bepaalt hoeveel independent sets elk vakje bedekt. zie ook Figuur 3. Er wordt een vakje gekozen dat het minst wordt bedekt door de independent sets. Hier hebben deze vakjes waarde 36. Er zijn meerdere vakjes met deze laagste waarde, en we kiezen daarvan de eerste, omdat hier verder geen onderscheid wordt gemaakt in het algoritme. Dit vakje bevindt zich op de eerste rij en tweede kolom. Nu wordt de zoekboom uitgebreid met alle independent sets IS min die dit vakje bevatten, en gaat hier sequentieel doorheen worden gelopen. De eerste independent set

8 8 Figuur 3. Het bord voor de Queens 10 2 graaf. Elk vakje heeft de waarde van het aantal independent sets die dit vakje dekken. Figuur 4. Het bord voor de Queens 10 2 graaf nadat het tweede vakje uit de eerste rij en een bijbehorende independent set is gekozen. Elk vakje heeft de waarde van het aantal independent sets die dit vakje dekken. a van IS min wordt gekozen. Vervolgens wordt de verzameling van beschikbare independent sets verkleind door alle independent sets eruit te gooien die een plaats gemeenschappelijk hebben met a. Ook worden alle independent sets eruit gegooid die niet aan het dynamisch filter-criterium voldoen, dat wil zeggen geen plaats bevatten in de klieken van grootte n 1. Nu wordt voor het kiezen van de volgende independent set wederom voor elke plaats gekeken hoeveel independent sets deze plaats bevat. De plaatsen die in a zaten, worden niet meer berekend, deze zijn immers al door een independent set bedekt, en dus gekleurd. Zie ook Figuur 4. Vervolgens zal het vakje gekozen worden met de kleinste hoeveelheid independent sets beschikbaar. In dit geval is die hoeveelheid 13 en het eerste vakje met die waarde is in de tweede rij en eerste kolom. Het proces blijft zich herhalen tot er ofwel een oplossing is gevonden (in dat geval is het antwoord van het beslissingsprobleem dus ja ), of tot er geen independent sets meer over zijn om de rest van de plaatsen te kleuren. In het laatste geval word er een stap terug in de zoekboom gedaan en een andere independent set voor de vorige geselecteerde plaats onderzocht. 4 Resultaten van het algoritme Het algoritme weet op een Pentium 4 (1.7 GHz en 512 Mb geheugen) met een maximale draaitijd van twee weken per probleem de oplossingen te geven voor

9 9 n 14. Tot n = 12 is het algoritme snel, daarna wordt het heel gauw erg traag. Queens 10 2 is niet te kleuren met 10 kleuren. Queens 11 2 kan in 11 kleuren, dus kan Queens 10 2 dat ook, door de oplossing van Queens 11 2 te nemen en de laatste kolom en rij te verwijderen. Dan blijft namelijk een bord over met elf kleuren en geen conflicten. Queens 12 2, Queens 13 2 en Queens 14 2 kunnen respectievelijk met 12, 13 en 14 kleuren gekleurd worden. 5 Conclusie Het Queens n 2 is een graafkleuring probleem gebaseerd op het n queens probleem. Er is een branch and bound algoritme beschreven dat beslist of deze graaf met n kleuren kan worden gekleurd. Het algoritme maakt gebruik van de speciale eigenschappen van de queens-graaf, en met name van independent sets en klieken. Het gebruik van independent sets vereist wel dat voor de bordgrootte die wordt bestudeerd eerst alle mogelijke n queens formaties worden gevonden. Verder wordt het zoekgebied beperkt door eigenschappen van klieken in de graaf. Het algoritme is tot n = 12 snel maar wordt erna snel traag. Het zou misschien leuk zijn om te kijken hoe goed andere graafkleuring algoritmes zijn voor de Queens n 2 graaf. En te kijken hoe eventuele aanpassingen aan dit bestaande graafkleuring algoritme het vinden van een oplossing kan versnellen. Referenties [Cla99] J. Clausen. Branch and bound algorithms - principles and examples. Dept. of Comp. Sc., University of Copenhagen, [Gar95] M. Gardner. Further mathematical diversions: The paradox of the unexpected hanging and others. Mathematical Association of America, [Vas04] M. Vasquez. New result on the queens n 2 graph coloring problem. Journal of Heuristics, 10: , 2004.