GOOCHELEN EN WISKUNDE HERMAN DUFRAING EN GILBERTE VERBEECK

Transcriptie

1 GOOCHELEN EN WISKUNDE HERMAN DUFRAING EN GILBERTE VERBEECK

2 INLEIDING Hé, hoe is dat mogelijk?, klinkt het door de zaal wanneer de goochelaar aan het werk is een gevoel van verbazing en verwondering. Deze navorming is ontstaan uit een wisselwerking met professioneel goochelaar Herman Dufraing. Dit en een samenwerking tussen Jarno Depoorter, Michel Roelens en Gilberte Verbeeck leidde tot een artikel in het tijdschrift Uitwiskeling (UW 28.2). Alle drie waren we geïnteresseerd in de inspiratie die goochelaars vonden in wiskunde. Toen we de zoektocht startten naar goocheltrucs met een wiskundige invalshoek, stuitten we op eerdere artikels in Uitwiskeling. In UW 26.1 is Job van de Groep aan het woord die er de truc 1089 uit zijn boekje Gegoochel met getallen voorstelt. In UW 22.2 staat een andere getallentruc. In UW 17.4 verklaart de driehoek van Pascal een kaarttruc. De interesse in het goochelen en zijn wiskundige invalshoek was gestart. Michel schreef goocheltrucs uit in UW 31.1 en UW 31.4, Gilberte volgde met een artikel in UW Het hoofdartikel dat in 2012 in 28.2 verscheen en de artikels van een latere datum zijn opgenomen in deel 2 van deze cursus. In deel 1 presenteren we nieuwe trucs. Het is verrassend hoeveel wiskunde er in heel wat trucs verborgen zit en hoe goed ze soms bij leerstof kunnen aansluiten. Alle trucs kunnen ingezet worden in opdrachten rond onderzoeksvaardigheden, in het leren oplossen van problemen wat we onze leerlingen graag aanleren vanaf het eerste jaar dat ze met wiskunde in aanraking komen. De navorming start met een kort optreden van Herman Dufraing. We zoeken welke wiskundige principes er achter de trucs zitten en hoe je ze kunt inzetten in een wiskundeles. Tijdens het tweede deel leren we een tiental goocheltrucs aan en zoomen in op de wiskundige achtergrondinformatie. Na de navorming kan je de volgende dag de klas instappen en je leerlingen verrassen als een echte goochelaar. Goochelaars gebruiken rekenkundige trucjes of wiskundige principes. Door de wijze van presenteren krijgen die op zich vaak eenvoudige foefjes een magische uitstraling en roepen nieuwsgierigheid en verwondering op. In het laatste deel komt het verschil tussen een wiskunde truc en een goocheltruc aan bod. Dit deel is het geheim van de goochelaar. Sinds internet de wereld veroverde, is geheimhouding veel moeilijker geworden. In de volgende pdf op de site van de Universiteit van Amsterdam vind je inspiratie hoe een goochelaar de truc met het Gilbreath principe magisch maakt. Je kan je verder specialiseren door boeken te lezen. The Tit-Tat-Toe Trick in Mathematics, Magic and Mystery van Martin Gardner is een truc die een riffle shuffle combineert met een magisch vierkant en het spel geen drie op een rij tot een magische goocheltruc. Veel lees- en goochelplezier met je klas Herman en Gilberte 2

3 INHOUD Inleiding... 2 DEEL 1: Herman goochelt Dobbelen met denkbeeldige dobbelstenen Detective Gilbreath principe Voorspelling som willekeurige getallen Negenrij De Erfenis Kaart terugvinden in een rechthoek Magisch vierkant...13 DEEL 2: Iedereen goochaar Het wondergetal De laatste drie Symbool voorspellen Rekentrucjes Ik lees je gedachten: optelsom of product Snel rekenen met de rij van Fibonnaci De vijf dobbelstenen De krachtige drie Meetkundig verdwijnen Fibonacci en verdwijnen Kaart raden Het rekenwonder (Michel Roelens) Goochelen met speelkaarten en Flavius Josephus (Michel Roelens) Goocheltruc weer op volgorde Goocheltruc de drenkeling In de klas Aantal kaarten voorspellen (Gilberte Verbeeck)...47 Tot slot...49 Bronnen

4 DEEL 1: HERMAN GOOCHELT In wat volgt beschrijven we de trucs die gebaseerd zijn op wiskundige principes. Herman legt ze ons voor wat zit erachter? Hoewel Herman jullie niet als leerlingen behandelt, zijn ze beschreven in de leerling leraar vorm. 1 DOBBELEN MET DENKBEELDIGE DOBBELSTENEN Voorbereiding Deze truc vereist geen enkele voorbereiding. Uitvoering Laat een leerling dobbelen met 2 denkbeeldige dobbelstenen. Hij moet de ogen van elke dobbelsteen goed in zich opnemen. De ogen van de dobbelsteen die het dichts bij hem ligt vermenigvuldigt hij met 2 en telt er dan 5 bij op. Dit getal moet de leerling opnieuw met 5 vermenigvuldigen. Tenslotte laat je de leerling de ogen van de dobbelsteen die het verst van hem verwijdert ligt bij zijn resultaat optellen. Je vraagt welk getal de leerling nu gevonden heeft. Verras je leerling door de ogen van de worp op beide dobbelstenen zonder aarzelen te geven. Variant: laat verschillende leerlingen met echte dobbelstenen werpen en doe de oefening door hen allemaal één voor één hun resultaat te laten geven. Uitleg Aan de hand van een willekeurig voorbeeld, merk je snel hoe de truc werkt. Stel dat de ogen van de worp 5 (ogen van de dobbelsteen die dichtbij ligt) en 3 (ogen van de dobbelsteen die verder ligt) zijn. 5 2 = 10, = 15, 15 5 = 75, = 78. Trek 25 af van 78 en je vindt 53, een getal gevormd door de ogen van de dobbelsteen het dichts bij de leerling en de ogen van de worp van de dobbelsteen het verst van hem. Wiskunde achter de uitleg Door de getallen te vervangen door x en y, krijgen we een eenvoudige algebraïsche uitwerking die de truc verklaart: (x ).5 + y = 10x y Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc past perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. Je kan de leerlingen varianten laten bedenken. Enkele voorbeelden : (x ).5 + y = 20x y of (x )2 + y = 10x y of (x )5 + y = 30x y. Je kan de uitvoering die hierboven beschreven werd nog mysterieuzer maken door elke leerling een andere berekening te laten uitvoeren. Het is wel belangrijk om in dat geval goed te onthouden welke formules je voor welke leerling nodig hebt. 4

5 2 DETECTIVE Voorbereiding Voor deze truc moet de leraar een vraag bedenken waarvan hij voor alle leerlingen uit de klas het antwoord weet. Uitvoering Vraag vier leerlingen uit de klas die meewerken. Deel hen het volgende mee: We gaan Cluedo spelen waarbij ik de detective ben en de moordenaar zal identificeren. Twee van jullie zijn leugenaars die altijd liegen, de andere twee spreken altijd de waarheid. Eén van jullie is bovendien de moordenaar. Ik draai me om en jullie spreken af wie de leugenaars zijn en wie de moordenaar is. Zorg ervoor dat het publiek (de klas) dit ziet, maar ik mag het niet weten. Je show begint en je verkondigt met de nodige stijl: Ik weet niet wie liegt en wie moordenaar is. Ik ga drie vragen aan iedereen stellen. Jullie antwoorden volgens jullie rol van leugenaar of waarheidspreker. Mijn eerste vraag is: Heb jij de moord gedaan? Mijn tweede vraag is: Deze tweede vraag moet een vraag zijn waarvan de detective (de leraar) het antwoord kent. Mijn derde vraag is: Op welke dag ben je jarig? Uitleg Na de eerste vraag zijn er twee mogelijke situaties: Als de moordenaar een leugenaar is, wordt er drie keer neen geantwoord. We weten dat diegene die ja antwoordt geen leugenaar is. Deze leerling stuur je weg. Er blijven één leugenaar en twee leerlingen die de waarheid spreken in de running. Als de moordenaar geen leugenaar is, antwoorden 2 leerlingen ja. De leerling die neen zegt, liegt niet en kan je wegsturen. Er blijven twee leugenaars en één waarheidspreker over. Na de tweede vraag ken je de moordenaar. Je weet voor de drie leerlingen het antwoord op de tweede vraag. Voor beide situaties is het vervolg dan: Als de moordenaar een leugenaar is, is de enige leerling die liegt de moordenaar. Als de moordenaar geen leugenaar is, is de enige leerling die de waarheid zegt de moordenaar. De derde vraag is misleiding en heb je niet nodig om de moordenaar te vinden. Wiskunde achter de uitleg Het zoeken naar de verklaring van deze truc zet het logisch denkvermogen van de leerlingen in werking. Oplossingsstrategieën als het maken van een figuur, aan schema, het zoeken van een patroon of het onderzoeken van concrete gevallen kunnen hier aangewend worden. Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc is kort en vraagt weinig of geen voorbereiding. Hij kan dienen als probleempje op het einde van een les, waar leerlingen over kunnen denken naar de volgende les toe. 5

6 3 GILBREATH PRINCIPE Voorbereiding Deze truc vereist een spel speelkaarten dat vooraf gerangschikt is: rood-zwart-rood-zwart-rood-zwart. (alle 52 kaarten). Uitvoering Laat een leerling een stapeltje (ongeveer de helft) afnemen zodat hij twee stapeltjes vormt. Laat de leerling ze in elkaar schudden via het faro of riffle -schudden. Toon de leerlingen het spel kaarten. Wijs hen erop dat er enerzijds 2 kaarten van dezelfde kleur naast elkaar liggen en anderzijds ook 2 kaarten van verschillende kleur zoals in de figuur hieronder. Leg het hele spel met de rugzijde naar boven. Neem telkens kaarten in paren af en toon ze aan het publiek. Het blijkt dat je altijd twee kaarten hebt met kaarten van een verschillende kleur ondanks het feit dat je de stapel toonde waarbij twee kaarten van eenzelfde kleur naast elkaar zaten. Variante: Geef elke leerling 2 kaarten tot de stapel op is, blijkt dat elke leerling twee kaarten kreeg met een verschillende kleur. Uitleg Norman Gilbreath publiceerde in 1958 in een goochelvakblad een truc gebaseerd op een voor die tijd compleet nieuw principe. In een spel kaarten liggen de rode en de zwarte kaarten om en om. Rood, zwart, rood, zwart enz. De goochelaar coupeert het spel en zorgt er voor dat de onderste kaarten van beide helften een verschillende kleur hebben, de volgorde van de kleuren is in stapel twee dus precies omgekeerd t.o.v. in stapel één. Gilbreath s principe zegt dat na het kaartspel te riffle-schudden een duo kaarten, van bovenaf het spel genomen, altijd een rode en een zwarte kaart zal zijn. Wiskundigen en goochelaars vonden allerlei varianten. Zo kan men een kaartspel dat op volgorde zit in twee gelijke stapels verdelen door van de ene stapel één na één 26 kaarten af te tellen en op tafel te leggen (de volgorde wordt gedraaid. Schud de kaarten volgens riffle. Elke 13 kaarten die men dan van de stapel afneemt, zullen telkens een set zijn van 13 opeenvolgende kaarten, zij het met verschillende kleuren. Het Gilbreath principe leidde tot een manier van kaarten schudden. De goochelaar kan de toeschouwer misleiden door zijn manier van kaarten schudden. De toeschouwer heeft het gevoel dat de kaarten helemaal door elkaar geschud worden maar in werkelijkheid is dat niet het geval. De volgorde van de kaarten kan bewaard worden of de goochelaar kan een bepaalde kaart manipuleren bij het schudden 6

7 zodat hij precies weet waar de kaart in het pak steekt. Er zijn verschillende manieren van schudden. We overlopen er 6: De riffle shuffle: Verdeel de kaarten in twee stapeltjes die je met de duimen optilt, laat de kaarten een voor een op tafel vallen. De faro schuffle: Verdeel de kaarten in twee stapeltjes. Leg ze op tafel gespreid in twee komommen naast elkaar of houdt ze boven elkaar zodat je ze in elkaar kan schuiven. Schuif de tweel stapels in elkaar. De overhand shuffle: Het kaartspel is in je linkerhand. Neem een stapeltje kaarten van de onderkant van de stapel in je rechterhand en leg daarvan steeds een aantal van de bovenste kaarten bovenop de stapel in je linkerhand tot het hele kaartspel weer in je linkerhand is. De pile shuffle: Leg de kaarten in een aantal stapeltjes op de tafel en leg ze weer bovenop elkaar. De cut: Verdeel de stapel kaarten in tweeën en leg de onderste helft bovenop. De Gilbreath shuffle: Neem de stapel kaarten in één hand en maak een stapeltje op de tafel door één voor één een aantal kaarten van de stapel op elkaar op de tafel te leggen. Riffle dit nieuwe stapeltje met de stapel in je hand. Deze schudmethode verschilt van de riffle doordat eerst twee stapels gevormd worden waarbij in de ene de volgorde van de kaarten wijzigt. Wiskunde achter de uitleg Bij de riffle shuffle heb je twee stapeltjes kaarten, niet noodzakelijk met evenveel kaarten. Uit de twee stapels maak je een nieuwe door telkens willekeurig de onderste van een van de twee oude stapels op de nieuwe stapel te laten vallen. Pas de riffle shuffle toe op twee stapels die allebei de eigenschap hebben dat rode en zwarte kaarten om en om liggen, terwijl van de twee stapels de onderste kaarten verschillende kleur hebben. Neem ook aan dat het totaal aantal kaarten in de twee stapels even is (doorgaans 52). Als we de eerste twee kaarten hebben laten vallen om de nieuwe stapel te vormen, dan zijn er drie mogelijkheden voor die twee kaarten: 1. ze komen allebei uit stapel 1; 2. ze komen allebei uit stapel 2; 3. er is eentje uit elke stapel gekomen. In alle drie de gevallen zal het om een rode en een zwarte kaart (volgorde onbelangrijk) gaan. Bovendien zullen de twee stapels die nog niet geriffled zijn nog steeds de eigenschappen hebben uit de begintoestand: in beide stapels rode en zwarte om en om, de onderste van beide stapels hebben verschillende kleur, totaal aantal kaarten even. Door op deze manier door te redeneren zien we in dat in de nieuwe stapel elke twee volgende kaarten (van onder af gerekend) weer verschillende kleur moeten hebben. Dit is de verklaring van het Gilbreath Principle. We kunnen nog meer opmerken over het pak kaarten dat we verkregen door de riffle shuffle. Kaarten 1 en 2, 3 en 4, 5 en 6 hebben een verschillende kleur. Dit kunnen we veralgemenen naar: Voor elke k hebben de kaarten in posities 2k 1 en 2k daar verschillende kleur. Dus twee opeenvolgende kaarten kunnen alleen maar gelijke kleur hebben als ze in posities 2k en 2k + 1 liggen. Dat hoeft zeker niet voor elke k waar te zijn, maar het is zeer onwaarschijnlijk dat het voor geen enkele k waar is. Als we couperen tussen twee kaarten van dezelfde kleur en dan de deelstapel die eerst boven lag nu onder leggen, dan zullen alle paren 2k 1, 2k nog steeds verschillende kleur hebben. Stel nu eens dat we in het oorspronkelijke spel met kaarten rood en zwart om en om er bij het couperen niet op letten of de onderste kaarten van beide stapels verschillende kleur hebben. Het kan dan dus voorkomen dat we twee stapels hebben met rood en zwart om en om maar de twee onderste kaarten in de stapels van zelfde kleur. Wat voor effect heeft de riffle shuffle dan? Nadat er een kaart gevallen is hebben de onderste kaarten van de twee stapels verschillende kleur. We kunnen dan dezelfde redenering toepassen. In de nieuwe stapel zullen de kaarten 2, 3 verschillende kleur hebben, en evenzo 4, 5 en 6, 7,... in het algemeen zullen de kaarten 2k en 2k + 1 van verschillende kleur zijn. De bovenste 7

8 kaart in de nieuwe stapel zit niet in zo n paar. Maar omdat er evenveel rode als zwarte kaarten zijn, zullen de bovenste en de onderste kaart van de nieuwe stapel dan verschillende kleur moeten hebben. We zien nu dus dat twee opeenvolgende kaarten alleen dezelfde kleur kunnen hebben als ze posities 2k 1 en 2k hebben. Dat hoeft zeker niet voor elke k waar te zijn, maar het is zeer onwaarschijnlijk dat het voor geen enkele k waar is. Als we couperen tussen twee kaarten van dezelfde kleur en dan de deelstapel die eerst boven lag nu onder leggen, dan zullen we de gewenste situatie bereiken dat alle paren 2k 1, 2k verschillende kleur hebben. We geven nog een verklaring op de variante waarbij we 2 sets van 5 kaarten beschouwen. Zie onder een voorstelling waarbij de 2 sets twee stapeltjes vormen in omgekeerde volgorde. Door ze in elkaar te rifflen zullen telkens de rechtse kaarten, linkse kaarten met hetzelfde cijfer verdringen in een nieuwe set van 5 kaarten. Tel je van de samengevoegde stapel 5 kaarten af, dan zal je steeds 5 verschillende kaarten hebben (maar wellicht met verschillende kleuren). TEKENINGEN OVERGENOMEN VAN Dit geeft een veralgemening van het Gilbreath principe. We vertrekken van een stapel kaarten met een totaal aantal kaarten dat een veelvoud is van k (bijv. k = 4). De kaarten zijn oplopend geordend. Door de eerste stap van de Gilbreath shuffle te doen maken we twee stapels waarbij in de ene stapel de kaarten oplopend geordend zijn en in de andere stapel aflopend. Als we uit de twee stapels groepjes van 4 beschouwen dan merken we het volgende. De eerste i kaarten van stapel 1 samen met de eerste k i kaarten van stapel 2 zijn allemaal verschillend. Voorbeeld: Stapel 1: / / 14 / Stapel 2: 10 / / / 2 1 We merken dat de eerste 3 kaarten van stapel 1 verschillend zijn van de eerste kaart van stapel 2, enz. Door de twee stapels te rifflen krijgen we bv / / / Dus kaarten komen in nieuwe volgorde Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc leent zicht tot een les waar leerlingen via de kaarten simulaties kunnen doen. Vanuit concrete situaties kunnen ze een principe dat door een wiskundige goochelaar (Gilbreath) begrijpen en abstract leren formuleren. 8

9 4 VOORSPELLING SOM WILLEKEURIGE GETALLEN Voorbereiding Deze truc vereist een set speelkaarten met enkel kaarten van aas tot negen. Verdeel deze negen kaarten in hoopjes van 3. Onthoud dat je in het ene hoopje de getallen als de honderdtallen van een getal van 3 cijfers zal nemen, het tweede hoopje als de tientallen en het derde als de eenheden. Je schrijft vooraf een getal op een papiertje, nl. de som van alle mogelijke getallen die met deze 3 cijfers gevormd kunnen worden. Uitvoering Je geeft 3 leerlingen elk 3 van de 9 speelkaarten. Je vraagt elke leerling één kaart te kiezen uit zijn 3 kaarten. Op deze manier vorm je een getal. De eerste leerling levert het honderdtal, de tweede het tiental en de derde de eenheid. Je herhaalt dit 2 keer zodat er drie getallen van drie cijfers gevormd worden. Elk getal bevat dus een cijfer van elke leerling. Laat de leerlingen de drie getallen optellen. De uitkomst is vooraf door de goochelaar voorspeld. Toon je briefje met je voorspelling. Uitleg Stel dat leerling één kaarten 3, 5 en 7 krijgt, leerling twee 1, 9 en 4 en leerling drie krijgt 2, 6 en 8. De eenheden opgeteld levert 16, de tientallen levert 14 en de honderdtallen levert 15. Dit geeft een som van Als leerling één 3,7 en 8 krijgt, leerling twee 1, 4 en 5 en leerling drie 9, 6 en 2 dan zal de som steeds 1817 zijn. Wiskunde achter de uitleg Basisrekenen Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc is kort en vraagt weinig of geen voorbereiding. Hij kan dienen als probleempje op het einde van een les, waar leerlingen over kunnen denken naar de volgende les toe. 9

10 5 NEGENRIJ Voorbereiding Voor deze truc zijn de kaarten van 1 tot 9 nodig uit een stok kaarten. De kleuren maken niet uit. Ideaal is om over grote kaarten te beschikken. Uitleg Leg 9 kaarten in een rij in volgorde omgedraaid op tafel. Verschillende leerlingen mogen één na één een aantal kaarten verplaatsen in volgorde van de linkerkant van de rij naar de rechterkant. De goochelaar (leraar) doet dit één keer voor. Hij verplaatst een aantal kaarten. Hij laat de leerlingen bepalen hoeveel kaarten hij moet verplaatsten, bv 3. Vervolgens draait hij één kaart om en dat is een 3, precies de kaart die aangeeft hoeveel kaarten hij verplaatste. Hij laat nu één leerling uit klas komen om een aantal kaarten te verplaatsen zonder dat hij ziet hoeveel. Als de leerling klaar is, draait hij de kaart om waar precies het aantal verplaatste kaarten op staat. Een 9 komt overeen met 0 of 9 verplaatste kaarten. De leraar doet dit een aantal keer en draait telkens de juist kaart om die het aantal verplaatste kaarten aangeeft. Wiskunde achter die uitleg De eerste stap is belangrijk. De kaarten liggen op volgorde van 1 tot 9 van links naar rechts. Als het publiek wil dat de goochelaar 3 kaarten verplaatst, zal bij de eerste stap de kaart met een 3 op de laatste plaats in de rij liggen, waar voordien 9 lag. 9 zelf ligt op plaats 3+1 als we van rechts beginnen tellen wordt Het aantal kaarten dat men bij een volgende stap verplaatst zal dan liggen op plaats 4 als we van rechts beginnen tellen (de plaats waar nu de 9 ligt). Stel dat men geen kaarten verplaatst, dan draait de goochelaar 9 om en dat staat voor 0. Stel dat men 5 kaarten verplaatst dan zal de 5 de plaats van de 9 ingenomen hebben wordt Bij de volgende stap zal het aantal kaarten op plaats 4+5 liggen van rechts te tellen, nl. op de 9 de plaats van rechts. We volgen dus waar 9 ligt. De goochelaar moet telkens de 2 vorige posities onthouden en optellen. Stel dat we 4 kaarten verplaatsen dan ligt 4 op de 9 de positie van rechts te tellen. Bruikbaarheid in wiskundelessen Animatie of probleem oplossend denken wordt

11 6 DE ERFENIS Voorbereiding Niets of maak (een tekening van) 11 kamelen en een magiër om je verhaal visueel te maken. Uitleg Vertel het volgende verhaal. Een vader verdeelt zijn erfenis van 11 kamelen als volgt: zoon 1 krijgt de helft, zoon 2 krijgt ¼ en zoon 3 krijgt 1/6. Het lukt niet om dit te verdelen tot er een magiër langskomt. Hij stelt zijn kameel ter beschikking. Zoon 1 krijgt nu 6 kamelen, zoon 2 krijgt er 3 en de laatste zoon 2. De magiër vertrekt met zijn kameel en iedereen is tevreden. Wiskunde achter de uitleg Reken de verdeling na: = 11(6+3+2) = < 11 en 11 = = Als de vader zijn 11 kamelen op deze manier verdeelt, heeft hij nog een restant van 11 van zijn 11 kamelen. De magiër voegt 1 kameel bij om er 12 te hebben. Hij voegt dus aan de erfenis bij en krijgt zijn deel nadien gewoon zelf terug. We kunnen het ook anders bekijken als we vertrekken van 12 kamelen, blijft er ook 1 kameel over om weg te schenken = = 11 Een variante las ik op de site vermeld onder 2.3.1: 17 is ook het aantal, dat een sjeik met 3 zonen in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel. Hoe gaan ze dat regelen? = 17( ) 18 = < 17 Bruikbaarheid in de wiskundeles De leerlingen kunnen nadenken over de werking van de truc in een les rond problem solving. De tips passen verder in het thema rekenen met breuken. 11

12 7 KAART TERUGVINDEN IN EEN RECHTHOEK Voorbereiding Deze truc vereist 16 kaarten uit een kaartspel. Uitvoering Een leerling kiest 1 van de 16 speelkaarten uit en laat ze niet aan je zien. Je laat de kaart bovenop de stapel van de 16 kaarten leggen en schud ze. Je geeft het stapeltje kaarten terug aan de leerling. Deze mag de 16 kaarten willekeurig met de rugzijde naar boven in een vierkant rangschikken: 4 rijen van 4. Jij draait enkele kaarten met de beeldzijde naar boven. Laat de leerling het vierkant sluiten door ofwel een buitenste rij, of buitenste kolom naar binnen te draaien (zoals men een boek zou sluiten). Laat je leerling dit proces herhalen tot er maar 1 stapeltje overblijft. Alle kaarten liggen nu ofwel met de rugzijde boven of met de beeldzijde, behalve de gekozen kaart. Deze laatste ligt anders dan alle andere kaarten. Uitleg Als de leerling de kaart bovenop de stapel legde, schud je de kaarten op een manier dat je weet waar de kaart zich bevindt: bv bovenaan de stapel of onderaan de stapel of de derde kaart van boven. Dit kan via de overhand shuffle. Terwijl de leerling de kaarten legt in het vierkant let je goed op zodat je weet waar de kaart ligt. In het vierkant kan je twee hoofddiagonalen onderscheiden. En telkens twee evenwijdige schuine lijnen volgens de hoofddiagonaal. Bekijk op welke hoofddiagonaal of evenwijdige de gekozen kaart ligt. De gekozen kaart draai je niet om. Alle andere kaarten die op de deze hoofddiagonaal of evenwijdige draai je om. Vervolgens laat je de leerling het vierkant sluiten zoals hierboven beschreven en zoals de foto s hieronder. Hier ligt de gekozen kaart Hier ligt de gekozen kaart 12

13 Wiskunde achter de uitleg Op één na (de gekozen kaart) liggen alle kaarten afwisselend met het beeld naar boven of naar onder. Door de kaarten te draaien, spiegelt men ze telkens over een horizontale of verticale as. Door deze opeenvolgende spiegelingen komen alle kaarten op elkaar liggen met de beeldzijde in dezelfde richting, dit op de ene gekozen kaart na. Bruikbaarheid in de wiskundeles Deze truc sluit aan bij een les over diagonalen in een vierkant of rechthoek en bij een les over spiegelingen. 8 MAGISCH VIERKANT Voorbereiding Deze truc vereist dat je vooraf een bepaald schema van getallen instudeert. Uitvoering Laat een leerling een getal bepalen (bijv. tussen 25 en 75). De goochelaar schrijft in een vierkant, verdeeld in 16 vakjes in elk van de vakjes een getal. Bij optelling van de getallen van elke rij, kolom en diagonaal blijkt dat de som dezelfde is, nl. het getal dat de leerling bepaald. Uitleg We noemen het getal dat de leerling bepaalde G. Het volgende magische vierkant moet je instuderen: 2 A B 7 10 C 4 D

14 Hierbij is A=G-23, B=G-24, C=G-21 en D=G-22. Schrijf eerst de getallen in het vierkant die vastliggen. Zo kan je de som per rij nemen en aanvullen met een getal tot het getal dat de leerling gaf. Het wordt natuurlijk iets magischer als je de getallen ofwel ad random noteert of rij per rij. Wiskunde achter de uitleg Als we het magische vierkant als matrix beschouwen merken we dat de getallen A, B, C en D telkens alleen voorkomen in een bepaalde rij of kolom. De overige getallen in de rij en kolom waarin de onbekende getallen staan, geven telkens dezelfde som. Het is deze som die men van het getal G moet aftrekken om het getal A, B, C of D te vinden. Het getal A vinden we bijvoorbeeld in de eerste rij en tweede kolom. De som van de overige getallen in deze rij/kolom is =8+10+5=23. Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc kan gebruikt worden in een les waarin leerlingen patronen moeten ontdekken die enkel gebaseerd zijn op optellen en aftrekken. Je zou leerlingen kunnen uitdagen en hen vragen om zelf een magisch vierkant te ontwerpen. Een voorbeeld van een manier om een magisch 4x4 vierkant te ontwerpen beschrijven we hieronder. Deze methode past in een les rond de eigenschappen van een vierkant (diagonalen, symmetrie-assen) en/of spiegelen. Methode om een 4x4 magisch vierkant te maken: 1. rangschik de getallen van 1 tot 16 in het vierkant; 2. trek de diagonalen in het vierkant; 3. spiegel ofwel de getallen op de diagonaal ofwel de getallen die niet op de diagonaal staan. Het resultaat is een vierkant waarvan de som op rijen, kolommen en diagonalen steeds 34 is. Magisch vierkant 1: hierbij zijn de getallen op de ene diagonaal gespiegeld met als spiegel-as de andere diagonaal. Magisch vierkant 2: hierbij zijn de getallen buiten de diagonaal tweemaal gespiegeld, eerst volgens een horizontale spiegel-as en dan volgens een verticale spiegel-as. Beide spiegelassen lopen door de middens van de zijden van het vierkant Startvierkant Magisch vierkant 1 Magisch vierkant 2 In Uitwiskeling 28.2 werkten we onderstaande uit op het thema Magisch vierkant. Je vindt enkele gelijkenissen en verschillen met bovenstaande. Voorbereiding Voor de volgende truc heb je enkel schrijfmateriaal nodig. Je moet als leraar wel een schema uit het hoofd kennen (zie uitleg verderop). Teken op een bord een vierkant van 4 bij 4, zoals hiernaast staat aangegeven. 14

15 Uitvoering Laat een leerling een getal kiezen tussen 22 en 99. In het verdere verloop van de uitleg zullen we dit getal x noemen. Vertel de klas dat je zo meteen een uitmuntend staaltje van wiskundige magie zult laten zien. Je gaat een poging ondernemen om het wereldrecord snelrekenen te verbreken. Om het effect te vergroten, kun je een leerling vragen om je te timen. Als je er klaar voor bent, mag de leerling met de timer aftellen van 3 naar 1 en mag de andere leerling het gekozen getal zeggen. Vul vervolgens het vierkant in. Roep stop als je klaar bent en vraag naar de tijd. Natuurlijk heb je het wereldrecord verbroken! Bedank de leerlingen en doe alsof je het vierkant wil wegvegen. Op het laatste nippertje stop je en vraag je: Zien jullie eigenlijk wat ik gedaan heb? Laat hen vervolgens de magie van het vierkant zien. Als je de getallen op één rij optelt, zul je telkens het gekozen getal x verkrijgen. Dit geldt zowel horizontaal als verticaal. Maar dat is niet alles! Ook als je de getallen op een diagonaal optelt, krijg je het gekozen getal! En zelfs dan is er nog meer te ontdekken. De som van de vier getallen op de hoeken is eveneens x. Er zijn nog meer mogelijkheden, maar daarvoor verwijzen we naar de uitleg hieronder. Uitleg Doorheen de geschiedenis heeft menige wiskundige gezocht naar magische vierkanten. Volgens de legende van Lo Shu ontstond het eerste magische vierkant in China rond 650 voor Christus en sindsdien is het een gevestigde waarde in de wiskunde. Ook op de gravure Melencolia I van Albrecht Dürer is een magisch vierkant terug te vinden. Een magisch vierkant van 2 orde n is een schema met n getallen die zo gerangschikt zijn, dat je telkens dezelfde waarde M uitkomt als je de getallen van elke rij, elke kolom of elke diagonaal bij elkaar optelt. Als, zoals bij Dürer, alle getallen van 1 tot en met n 2 juist één keer voorkomen, hangt deze magische constante M enkel af ( ² 1) van n en wordt die gegeven door: M nn. Bij Dürer is dus M = Er zijn verschillende versies van magische vierkanten en de variant die we hier gebruiken is speciaal aangepast om er snel en eenvoudig mee te kunnen goochelen. We baseren ons op het volgende schema. Je merkt dat dit een variante is op het vorige vierkant. Kies hierbij 22 x 99 A Ax 20 MELENCOLIA I VAN ALBRECHT DÜRER 11 8 D 2 B A C CB 1 4 B 6 9 D A 1 Als leerkracht vul je het vierkant in met deze getallen, maar doe dit wel in een willekeurige volgorde om het effect te vergroten. De waarden van A, B, C en D zijn afhankelijk van het gekozen getal x. De truc meerdere malen herhalen met enkel dit schema zal snel argwaan opwekken bij de leerlingen. Ze zullen vrij snel zien dat bepaalde getallen altijd op dezelfde plaats staan. Daarom kan je best af en toe een variant van het schema gebruiken. 15

16 Wiskunde achter de uitleg Vanwege de ordening van getallen kun je in dit magisch vierkant de volgende magische eigenschappen ontdekken. De som van de getallen op een rij De som van de getallen in een kolom De som van de getallen op een diagonaal De som van de getallen in een vierkant van 2 op 2 (in de hoeken en in het midden) De som van de getallen op twee overstaande kleine diagonalen De som van de getallen op de hoeken van een vierkant van 3 op 3 is telkens gelijk aan het gekozen getal x. Laten we enkele van deze eigenschappen verifiëren. Bijvoorbeeld: de som van de getallen op een verticale rij is gelijk aan het gekozen getal x. Voor de eerste rij wordt dit: A112 7 ( x 20) 20 x. De som van de getallen in een vierkant van 2 op 2 is gelijk aan het gekozen getal x. A D C 4 B 6 9 Laten we hier het vierkant rechtsonder bekijken: C x. Als je weet dat A x 20, B A1 en C B 1, dan kun je in het linkerlid aan de slag gaan: C ( B 1) 18 B 19 ( A1) 19 A 20 ( x 20) 20 x De som van de getallen op twee overstaande kleine diagonalen is gelijk aan het gekozen getal x. A ? 11 8 D C 4 B 6 9 Laten we hier de bovenstaande situatie beschouwen waarbij we nagaan of B B 19 ( A1) 19 A 20 ( x 20) 20 x B x:? 16

17 Bruikbaarheid in de wiskundelessen Gezien de bewijzen (zie hierboven) past deze truc als opwarmer voor de lessen rond rekenen met letters in de eerste graad. Het is haalbaar om die bewijsjes door de leerlingen zelf te laten vinden. Zo n magisch vierkant kan ook gebruikt worden als opwarmer bij verwerkingslessen of als leuke inleidende oefening. 17

18 DEEL 2: IEDEREEN GOOCHELAAR De deelnemers oefenen een goocheltruc in, zodat iemand deze kan uitvoeren. Ze zoeken de wiskunde achter de truc. In wat volgt vind je een beschrijving van alle gepresenteerde trucs. 1 HET WONDERGETAL Voorbereiding Deze truc vereist geen enkele voorbereiding tenzij je de variant aanbiedt. Voor deze laatste moet je vooraf in een boek dat in je klas ligt een woord opzoeken. Uitvoering Laat een leerling een willekeurig getal van 3 cijfers bedenken, een andere leerling dit getal omdraaien en weer een andere leerling moet het kleinste van het grootste getal aftrekken. Laat dit laatste getal weer omdraaien en deze laatste twee getallen met elkaar optellen. Doe alsof je gedachten leest en onthul deze laatst bekomen som. Om de show nog wat completer te maken, kan je een variant doen. Je vraagt je publiek om in het boek dat je achteloos aan iemand geeft, het negende woord op de achtste regel van bladzijde tien te zoeken. Verrassend maar waar: dit bord staat op de achterkant van je bord geschreven. Uitleg Aan de hand van een willekeurig voorbeeld, merk je snel dat we steeds hetzelfde getal vinden. Bedenk een getal van drie cijfers: 782. Draai het om: 287. Trek het kleinste af van het grootste: 495. Draai het om: 594. Tel de laatste twee getallen op: Wiskunde achter de uitleg We stellen de cijfers van het getal voor door letters. Het getal wordt dan abc en kunnen we ook voorstellen door 100a + 10b + c. Als we dit getal omdraaien tot cba wordt dit 100c + 10b + a. Het verschil van beide getallen kunnen we nu voorstellen door 100(a c) + (c a) = 99(a c). Neem deze 99-vouden eens onder de loep: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. We bekijken enkel die getallen met drie cijfers en merken dat een getal met zijn omgedraaide getal voorkomt. Het tweede cijfer is altijd een 9. Bovendien is de som van het eerste en het laatste ook altijd 9. In de laatste stap moeten we twee 99-vouden optellen die elkaars omgedraaide zijn. De som van de eenheden en van de honderdtallen zal dus 9 zijn en de tientallen bij beide getallen is 9, met een som van 18. We krijgen = Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc past perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. Door de truc voor verschillende getallen uit te voeren, merkt men al snel dat het resultaat altijd 1089 is. De basisvraag aan de leerlingen is: Kun jij een verklaring bedenken? De leerstof van de eerste graad volstaat, maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven. 18

19 2 DE LAATSTE DRIE Voorbereiding Neem een standaard spel kaarten, maar haal hier de eventuele jokers en extra kaarten uit. Uitvoering Neem de kaarten in de hand en schud het pakje voldoende. De volgorde van de kaarten in de stapel moet willekeurig zijn om het effect bij de leerlingen te vergroten. Geef het pakje speelkaarten aan een van de leerlingen. Vraag hem om drie willekeurig gekozen kaarten uit het pak te halen en goed te bekijken. Hij mag ze jou echter niet tonen! De overige kaarten neem je terug in de hand. Tip: laat de leerling de kaarten op een blad papier noteren om discussie te voorkomen op het einde van de truc. Schema Terwijl de leerlingen de kaarten bekijken en memoriseren, K = kaarten in de stapel maak je drie stapeltjes: een stapeltje met tien kaarten en L = kaarten van de leerling twee stapeltjes met elk vijftien kaarten. Deze drie stapels Op tafel liggen naast elkaar: leg je gedekt op de tafel. De overige negen kaarten hou je in je hand. In eerste instantie kun je deze stapeltjes stiekem maken, zodat de leerlingen niet meteen weten hoeveel kaarten er in elk stapeltje zitten. Als ze dan later zelf op zoek gaan naar een verklaring, kun je ze best inlichten over 10 K 15 K 15 K 9 K deze verdeling. Laat de leerling een van zijn kaarten op het stapeltje van tien leggen. Vervolgens mag hij de tweede stapel (één van de stapels van vijftien kaarten) willekeurig snijden en het afgenomen deel op de stapel van tien (plus de eerste gekozen kaart) leggen. Vervolgens neemt de leerling zijn tweede kaart en plaatst die op de stapel die hij net gesneden heeft. Hij plaatst deze stapel zo op de eerste stapel. Hij snijdt de derde stapel en legt het afgenomen deel op de tweede stapel die bovenop de eerste ligt. Tot slot plaatst hij zijn derde kaart op de overgebleven kaarten. Deze stapel wordt op de andere geplaatst, waardoor er enkel een grote stapel overblijft met daarin de drie gekozen kaarten. Jij legt de negen kaarten uit jouw hand bovenop de stapel. Hierdoor, kun je nu vertellen, zijn de kaarten op willekeurige manier bedolven in de grote stapel. Ik zal ze nu tevoorschijn toveren, maar eerst moeten er drie kaarten van boven naar beneden. Die staan symbool voor jullie drie gekozen kaarten. Vervolgens moet er nog een vierde kaart van boven naar beneden, omdat er blijkbaar storing zit op de telepathische verbinding. Als je dat gedaan hebt, start de onthulling van de drie geselecteerde kaarten. Opstelling vóór het verplaatsen van de vier kaarten 9K 1L (15 j) K j K 1L (15 i) K i K 1 L 10 K Opstelling na het verplaatsen van de vier kaarten 5K 1L (15 j) K j K 1L (15 i) K i K 1 L 14 K Draai de bovenste kaart om. We zeggen dat je de kaart in de zogenaamde op-positie plaatst. Hierbij ziet iedereen de bedrukte kant van de kaart. De volgende kaart leg je gedekt neer naast de vorige kaart. De derde kaart draai je opnieuw in de op-positie en plaats je op de eerste kaart in deze positie. Dit blijf je herhalen. Zo draai je afwisselend kaarten in de op- en neer-positie en creëer je twee stapels: 19

20 een op- en neer-stapel. Als je alle kaarten doorlopen hebt, schuif je de stapel kaarten in de op-positie aan de kant en herhaal je het proces met de kaarten in neer-positie. Let hierbij goed op dat je telkens de bovenste kaart in de op-positie brengt. Na een tijdje hou je drie kaarten in de neer-positie over. Laat ze aan de leerlingen zien. Als alles goed is verlopen, zijn dat de gekozen kaarten van je leerling. Uitleg Vóór je de vier kaarten naar beneden verhuisde, bestond de stapel uit, van boven naar onder, 9 kaarten, de derde leerling kaart, 15 kaarten, de tweede leerling kaart, 15 kaarten, de eerste leerling kaart en tot slot 10 kaarten. Het snijden van de hoopjes maakt niets uit. Door de vier kaarten naar beneden te sturen, zorg je ervoor dat de gekozen kaarten op de, van boven gezien, zesde, tweeëntwintigste en achtendertigste plaats belanden. Er zullen steeds 15 kaarten tussen zowel gekozen kaart twee en drie, als tussen gekozen kaart twee en één zitten. De reden waarom we de kaarten net op die posities inbrengen, wordt in de volgende paragraaf duidelijk. Wiskunde achter de uitleg We kiezen hier niet zomaar voor het op-neer-proces. Tijdens de eerste uitvoering scheiden we de kaarten op even en oneven posities. De kaarten op een even positie komen in de neer-positie terecht. Tegelijk is de volgorde omgewisseld: kaart 2 ligt onderaan, daarop ligt kaart 4... en bovenaan ligt kaart 52. De kaarten in de op-positie schuif je aan de kant en je werkt dus verder met kaarten die op even posities zaten. Met deze kaarten herhalen we het proces. We verdelen de stapel dus opnieuw in twee. De kaarten op de viervoud-posities (52, 48, 44,..., 4) komen nu in de op-positie en worden geëlimineerd. De kaarten waar we mee verder werken (neer-positie) zijn nu, van boven naar onder: 2, 6, 10, 14, 18,...,50. De posities zijn de even getallen die geen viervoud zijn, anders gezegd, de getallen van de vorm 4k + 2 met k = 0, 1, 2,..., 12. Vervolgens worden de kaarten 2, 10, 18,..., 42, 50 geëlimineerd (achtvouden plus 2) en werken we verder met, van boven naar onder: 46, 38,..., 14, 6 (de achtvouden plus 6). Uiteindelijk elimineer je ook 46, 30 en 14 (de 16-vouden plus 14) en blijven de 16-vouden plus 6 over. Dit zijn precies de kaarten die oorspronkelijk op positie 6, 22 en 38 zaten. Dat zijn de kaarten die door de leerling gekozen werden. Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze truc kun je perfect gebruiken als opwarmer voor de lessen rond deelbaarheid of euclidische deling in de eerste graad (A-stroom). Het zal je les een zekere aantrekkelijkheid geven en, ondanks de moeilijkheidsgraad, kun je zelfs de leerlingen uitdagen om de truc zelf te verklaren. Hiertoe moet je ze misschien enkele tips geven, bv. dat ze moeten letten op het aantal kaarten tussen de gekozen kaarten. Een leuke aanvulling is de leerlingen varianten te laten bedenken. Zijn er misschien andere mogelijkheden, zoals bijvoorbeeld 13 kaarten tussen de gekozen kaarten? Heb je dan steeds 52 kaarten nodig? 20

21 3 SYMBOOL VOORSPELLEN Voorbereiding Voor je aan deze truc kunt beginnen, heb je het onderstaande schema nodig. Uitvoering Laat je leerling een getal kiezen dat uit twee cijfers bestaat. Laat hem de som van de cijfers nemen en van het gekozen getal aftrekken. Bijvoorbeeld: de leerling kiest 73. Dan berekent hij: 73 (7 + 3). Toon het schema en laat hem het symbool memoriseren dat bij zijn uitkomst hoort. Je kunt nu de show starten. Zeg de leerling goed te denken aan het symbool. Doe alsof je je concentreert om zijn gedachten te lezen. Neem een stukje krijt of een pen en teken het symbool. Uitleg De berekening levert altijd een negenvoud op. De leerling is zo gefocust op zijn getal en het bijbehorende symbool, dat hij in eerste instantie de tabel niet grondig zal bestuderen. Doet hij dit wel, dan zal het al snel opvallen dat bij de negenvouden behalve bij 90 telkens hetzelfde symbool getekend staat. Je moet dus, voor het uitvoeren, enkel kijken welk symbool er bij de negenvouden staat. Als je de truc meer dan één keer uitvoert, zorg je best voor verschillende versies van het schema om te vermijden dat hetzelfde symbool telkens weer uit de bus komt. Je kunt de schema s afdrukken van de website Mindreader nine (zie biografie). In een klas met internet kun je ook de versie van deze website gebruiken; het schema verandert dan automatisch. Wiskunde achter de uitleg De leerling kiest een willekeurig getal met twee cijfers; dit kunnen we voorstellen door 10a +b. Hiervan 10a b a b 9a, moet hij a + b aftrekken (de som van de cijfers) en dat levert het volgende op: een negenvoud. Bij alle negenvouden vind je in het bovenstaande schema een zeshoek. Bij 90 is dit niet nodig omdat de leerling nooit 90 als uitkomst zal krijgen. 21

22 Bruikbaarheid in de wiskundelessen De verklaring van deze truc laat de kracht zien van het rekenen met letters, een belangrijk onderwerp in de eerste graad. Door de cijfers voor te stellen door letters a en b, voer je de berekening in feite uit voor alle getallen van twee cijfers tegelijk. Het is ook belangrijk dat de leerlingen leren om het getal te schrijven als 10a + b en niet als ab (want dit stelt het product van de cijfers voor). Je kunt de leerlingen begeleiden met het aanbieden van verschillende tips. Je kunt bv. fiches uitdelen waarop je, aangepast aan het niveau van de leerlingen, meer of minder informatie prijsgeeft. Fiche 1 Fiche 2 Stel het getal voor m.b.v. letters. Stel de twee cijfers van het getal voor door twee verschillende letters. Schrijf dan het getal als een formule, rekening houdend met tientallen en eenheden. Fiche 3 Je kunt een getal met twee verschillende cijfers a en b als volgt voorstellen: 10a + b. Herhaal nu op deze voorstelling van je getal de bewerking die je moest uitvoeren. Fiche 4 Schrijf voor een vijftal getallen uit wat je doet en vergelijk de uitkomsten die je krijgt met elkaar. Zie je een verband tussen deze uitkomsten? Bekijk de tabel nauwkeurig. Welk symbool staat er bij alle vijf de uitkomsten? Tracht nu de truc te doorgronden en schrijf je bevinding uit in enkele verstaanbare zinnen. 4 REKENTRUCJES 4.1 IK LEES JE GEDACHTEN: OPTELSOM OF PRODUCT Voorbereiding Deze truc vereist geen enkele voorbereiding. Uitvoering Laat een leerling een willekeurig natuurlijk getal groter dan 2 in gedachten nemen. Laat hem zowel de voorganger van het getal als het volgende getal erbij optellen. Vraag hem de uitkomst. Doe alsof je zijn gedachten leest en onthul zijn gekozen getal. Meestal zullen de leerlingen vragen de truc te herhalen. Om de truc niet meteen te moeten verklaren, kun je terugvallen op een variant van deze truc. Laat één of alle leerlingen opnieuw een natuurlijk getal kiezen groter dan 2, maar ditmaal moeten ze de voorganger van het getal vermenigvuldigen met de opvolger van het getal. Laat enkele leerlingen hun uitkomst meedelen. Je kunt weer het oorspronkelijke getal raden. Uitleg 1. De uitkomst die de leerling verkrijgt, is het drievoud van het gekozen getal. Je moet dus enkel delen door drie om zo de gedachten te lezen. 2. Tel bij het antwoord van de leerling 1 op en neem dan de vierkantswortel. Dit zal het oorspronkelijke gekozen getal zijn. 22

23 Wiskunde achter de uitleg De wiskunde achter deze truc is vrij eenvoudig te achterhalen. De leerling telt in feite driemaal hetzelfde getal op. De voorganger van het gekozen getal en de opvolger van dat gekozen getal vormen samen het tweevoud van het gekozen getal. Je vindt hiernaast een visualisatie. Je kunt er ook voor kiezen om dit n 1 n n 1 3n. probleempje door letters voor te stellen: De variant van deze truc is ook eenvoudig te verklaren. Stel dat de leerling het getal zeven kiest, hij zal dan krijgen. Door de bewerking krijg je steeds één minder dan het kwadraat van het gekozen getal. Hiernaast vind je weer een visualisatie. Het product van de voorganger en de opvolger kun je voorstellen als een rechthoek van stippen waarvan de lengte 2 meer is dan de breedte. Mits toevoeging van een eenheid kun je de rechthoek tot een vierkant herschikken. Algebraïsch is dit een mooie toepassing op een merkwaardig product: 2 Bruikbaarheid in de wiskundelessen n 1 n 1 n 1. Je kunt een les voor de eerste graad opbouwen met tips op verschillende niveaus. De leerlingen kunnen ervoor kiezen om het probleem zonder tips op te lossen of met een hulpfiche. Hierbij kunnen ze kiezen uit de volgende drie fiches. Fiche 1 Stel het getal voor door n. Fiche 2 Stel het getal voor door n. Stel vervolgens de voorganger en de opvolger voor. Maak voor truc 1 de som van de getallen, wat vind je? Maak voor truc 2 het product van de voorganger en de opvolger, wat vind je? Fiche 3 Vul de volgende tabel aan. Onderaan in de tabel probeer je te veralgemenen wat je vond. kies een getal voorganger opvolger som van de drie getallen product voorganger en opvolger verband met het getal dat je koos N 23

24 4.2 SNEL REKENEN MET DE RIJ VAN FIBONNACI Voorbereiding Geen voorbereiding nodig. Je hebt bord, krijt, papier en pen nodig. Uitvoering Vraag een leerling om op het bord onder elkaar twee willekeurige getallen kleiner dan 10 te schrijven. Ga met je rug naar het bord staan zodat je niet kunt zien wat je leerling noteert. Geef de volgende rekenopdrachten: Tel de twee getallen op en schrijf deze som onder de twee getallen. Tel nu het tweede en het derde getal op en schrijf dit onder de drie vorige. Blijf dit doen tot je dertien getallen onder elkaar hebt staan in een verticale kolom. Als je leerling klaar is draai je je om, trek een lijn onder de tien eerste getallen en vraag de leerling de som te maken van deze tien getallen. Ondertussen schrijf jij op een andere plek van het bord of op een papiertje een getal en geef het aan een andere leerling. Wat blijkt het door jou genoteerde getal is de gevraagde som. Uitleg Je trekt van het voorlaatste getal (het twaalfde) het tweede getal af. Het dertiende getal laat je enkel opschrijven om de aandacht van de truc af te leiden. De wiskunde achter die uitleg De leerling creëert een rij van getallen die doet denken aan de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 waarbij telkens de som gemaakt wordt van de twee voorgaande getallen in de rij. We kunnen deze rij voorstellen als de rij { t i } met als recursief voorschrift: tn2 tn tn 1 waarbij t1 t 2 1. Bij een willekeurige rij van Fibonacci zijn de eerste twee termen niet noodzakelijk één of gelijk. De rij die de leerling hierboven vormt is dus een willekeurige rij van Fibonacci { f i } met als recursief voorschrift: f f f. Eén van de identiteiten voor getallen uit elke rij van Fibonacci is de volgende: n2 n n1 f f f f f (1) 1 2 n n2 2 De som van de eerste tien getallen is dus inderdaad het twaalfde getal min het tweede. Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc is geschikt als inleiding voor een les over rijen. Zo vindt hij een plaats in de tweede graad of als warmmaker bij een herhalingsles in de derde graad. De leerlingen moeten de volgende begrippen in de vorige lessen geleerd hebben: recursief voorschrift van een rij en de som van een eindig aantal termen van een meetkundige rij. Het is juist deze som die de verklaring levert voor de truc. De rij van Fibonacci komt in heel wat toepassingen voor en vormt een geschikte context om leerlingen te leren bewijzen (zie bv. Zebra boekje De gulden snede ). De getallen uit de rij voldoen aan identiteiten zoals (1) waarvan de bewijzen toegankelijk zijn voor de leerlingen uit gemiddeld tot sterk wiskundige richtingen. Andere identiteiten leveren mogelijks input voor varianten van de truc. Wat t t t t t t t t t als goochel- denk je van n1 2 inspiratie? t t t t t of 2 n n1 2n 2n 24

25 Een vraag die je aan leerlingen kunt stellen is precies om varianten te bedenken. De identiteit (1) levert er alvast een aantal. Je kunt immers eender welke eindige som laten maken en snel het resultaat vinden. Zo is de som van een rij van vijftien getallen, het zeventiende getal min het tweede (zie Gegoochel met getallen ). Een variant op bovenstaande truc die je in Gegoochel met getallen vindt, is toegankelijk voor leerlingen van de eerste graad. Hierbij laat je de leerling stoppen na het tiende getal en de som maken van deze getallen. Om snel de som te vinden, onthoud je enkel het vierde getal geteld vanaf het onderste en vermenigvuldig je dat met elf. In een les rekenen met letters kun je de leerlingen de rij getallen laten veralgemenen als volgt: a en b zijn de willekeurige getallen van de leerling. De tien getallen die gevormd worden, zijn de volgende: a, b, a b, a 2 b, 2a 3 b, 3a 5 b, 5a 8 b, 8a 13 b,13a 21 b, 21a 34b. Nemen we de som van deze tien getallen dan vinden we inderdaad 11 maal het vierde laatste getal: a b a b a 2b 2a 3b 3a 5b 5a 8b 8a 13b 13a 21b 21a 34b b a 55a88b 11 5a8b Laten we de lesmogelijkheden van de goocheltruc voor de tweede graad verder bestuderen. We kunnen de identiteit f1 f2 fn fn2 f 2 op verschillende manieren bewijzen. Een eerste mogelijk bewijs steunt op een bewijstechniek waarbij identiteiten lid aan lid opgeteld worden om zo een nieuwe identiteit te creëren. f f f f f f f f f f f f n n2 n1 f f f f f f f f f f 1 n n2 n1 n1 n f f f f 1 n n2 2 Een tweede mogelijk bewijs steunt op het expliciete voorschrift van de rij van Fibonacci en de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij. Het expliciete voorschrift is heel wat moelijker dan het recursieve en komt in de handboeken vaak niet aan bod. 1 n t 1 n n met hierin , de gulden snede. Dit tweede bewijs is enkel bedoeld voor leerlingen die deze expliciete formules al eens zijn tegengekomen. Voor de rij van Fibonacci wordt de identiteit (1): t 1 t 2 t t 2 1. n n 25

26 n n 1 i t1 t2 tn ti 1 i1 i1 5 1 n1 n n 1 1 n i i i i i n n n n n2 n tn In de getallenrij f i komt de rij van Fibonacci als volgt bovendrijven: a, t b, t a t b, t a t b,, t a t b, f t a t b voor i 3 met f a en f b of i i2 i1 1 2 In de truc moet de leerling de getallen optellen. Laat nu s n de som van de eerste n Fibonacci-termen zijn. Dan vinden we voor de som die de leerling maakte de volgende veralgemening: f f f a t t t b t t t t a s b s 1 2 n 1 2 n2 1 2 n2 n1 n2 n1 a t b t a t b t b f f n n1 n n1 n2 2 Hiermee hebben we opnieuw de identiteit (1) aangetoond. De voorlaatste stap van het bewijs hierboven levert aan Fibonacci-specialisten een variant. Als je de termen van de rij van Fibonacci goed van buiten kent, dan kun je elke willekeurige som van een willekeurige Fibonacci-rij snel berekenen f f f a t b t. van zodra je leerling zijn eerste getallen gekozen heeft: 1 2 n n n1 1 5 DE VIJF DOBBELSTENEN Voorbereiding Je hebt voor deze truc vijf dobbelstenen nodig zoals op de foto hiernaast. Elke dobbelsteen heeft een welbepaalde kleur met op elk zijvlak een ander getal: Blauw Eigeel Rood Zwart Groen

27 Uitvoering Familiebezoek bij een redactielid. Luc vertelt: Gisteren kwam mijn jongste nichtje, Lotte, op bezoek. Ze was geïnteresseerd in mijn oude goocheldoos, die uit de speelgoedkast gehaald werd. De meeste van de trucs kon ik nog uitleggen zonder in de handleiding te kijken. Maar de truc met de vijf dobbelstenen is niet voor de hand liggend. Je werpt ermee en je kunt meteen de som zeggen... sneller zelfs dan iemand de getallen kan intikken op een rekenmachine. Uitleg Om uit te leggen hoe het werkt, nemen we het voorbeeld van de foto. Tel de laatste cijfers op: Daarna trek je dit getal van 50 af: De gezochte som is Je gelooft het niet? Reken maar na. Wiskunde achter de uitleg Het eerste wat opvalt is dat het tweede cijfer, dat van de tientallen, enkel afhangt van de dobbelsteen en niet van welk zijvlak bovenaan ligt. De som van de tweede cijfers van de vijf dobbelstenen is 30. Dit geeft een vast aandeel van 300 in de som van de vijf getallen. Het volstaat dus te kijken naar de buitenste cijfers, die van de honderdtallen en de eenheden. De som van deze buitenste cijfers is ook weer enkel afhankelijk van de dobbelsteen. Bij blauw is de som 13, bij eigeel 10, bij rood 7, bij zwart 8 en bij groen 9. De volledige som zal bijgevolg enkel afhangen van de som van de laatste cijfers. Laten we dit eens in detail narekenen. Noem de laatste cijfers volgens de kleur van de dobbelsteen b, e, r, z en g. Dan is het eerste cijfer van blauw 13 b en analoog ken je nu alle cijfers voor de honderdtallen. De som van de vijf getallen is: b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g Hiermee is de truc aangetoond: maak de som van de laatste cijfers, trek dit getal af van 50. Dit laatste getal vermenigvuldigd met 100 levert de eerste twee cijfers van de uitkomst. Tel hierbij de som van de eenheden op en dit geeft de totale som. Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc past weer perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. De basisvraag aan de leerlingen is: Kun jij een verklaring bedenken voor de werking van deze stenen? De leerstof van de eerste graad volstaat, maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven. 27

28 6 DE KRACHTIGE DRIE Voorbereiding Neem een gewoon pak met 52 speelkaarten. Haal de koningen, dames en boeren uit het pakje. Uitvoering Overhandig de kaarten aan een van de leerlingen en laat hem de kaarten schudden. Vertel de leerling dat hij zo meteen drie kaarten uit het pakje moet trekken. Draai je om zo dat je niet ziet welke kaarten er getrokken worden. Stel dat hij, zoals op de figuur hiernaast, de kaarten drie, vijf en acht trekt. Vervolgens moet de leerling de waarde van elke kaart vermenigvuldigen met drie. Hierbij heeft de aas de waarde één. Vertrekken we van het voorbeeld, dan moet de leerling drie vermenigvuldigen met drie en verkrijgt hij negen. Laat de leerling een kaart met waarde negen uit het pak nemen en die op de volgende rij leggen. Als je vijf vermenigvuldigt met drie, krijg je vijftien. Helaas is hier geen speelkaart voor. In zulke gevallen moet de leerling de waarde vormen met meerdere kaarten. Dat doet hij als volgt: vijftien wordt gevormd door een aas en een vijf, vierentwintig door twee en vier. Laat de leerling de eerste drie kaarten terug in het hoopje kaarten steken. Daarna moet hij de kaarten die op tafel liggen, schudden en één voor één op de tafel leggen. Laat hem de vorige stap (het vermenigvuldigen met drie) herhalen. In de figuur hieronder zie je het resultaat na de tweede vermenigvuldiging. Mogelijk heb je voor deze bewerking meer azen nodig dan er voorzien zijn in het spel. Je mag twee azen dan vervangen door een twee of drie azen door een drie. Tot slot mag de leerling de bovenste rij kaarten weer wegsteken en de laatste rij kaarten schudden zoveel hij wil. Hij kiest uit deze kaarten één kaart en legt deze gedekt op tafel (de grijze kaart hieronder). De overige kaarten blijven liggen. Jij bekijkt wat er op tafel ligt en voorspelt de waarde van de gedekte kaart! 28

29 Uitleg Je moet enkel de zichtbare kaarten optellen en deze som aftrekken van het eerst volgende negenvoud. Het verschil zal automatisch de waarde van de gedekte kaart zijn. In het voorbeeld hierboven krijg je vierentwintig als je alle zichtbare kaarten optelt. Vierentwintig is geen negenvoud en het eerst volgende negenvoud is zevenentwintig. De gedekte kaart heeft dus waarde drie. De eerste drie gekozen kaarten zijn van geen belang. Je mag dus nooit zeggen dat je die kaarten zal voorspellen! Nee, zeg eerder: Kies drie willekeurige kaarten uit het pak. Ik zal de waarde van één kaart voorspellen. Maar iedereen heeft zijn lievelingskaarten, dus zou het niet eerlijk zijn om nu de drie kaarten in je hand te voorspellen. Dat is trouwens te eenvoudig voor mij, als goochelaar! Je gaat enkele bewerkingen moeten uitvoeren en de kaart die je dan uitkomt, zal ik voorspellen! Wiskunde achter de uitleg Zoals je in de uitleg kon lezen, zijn de eerste drie kaarten van geen belang. Wat echter wel belangrijk is, is dat de leerling op een verdoken manier vermenigvuldigt met negen. Door het opsplitsen van de truc in kleine stappen/onderdelen (er is twee keer met drie vermenigvuldigd), valt dit minder op. Laten we de eerste drie kaarten willekeurig voorstellen door a, b en c. De eerste stap van de truc is het vermenigvuldigen van elke waarde met drie. Dit geeft ons: 3a, 3b en 3c. Na deze stap heeft de leerling dan tussen de drie en de zes kaarten. De kaarten die na deze stap op tafel liggen, stellen de cijfers voor van de drievouden 3a, 3b en 3c. Als je deze allemaal optelt, krijg je een drievoud. Vervolgens mag de leerling de verkregen kaarten schudden, waardoor de volgorde van de kaarten willekeurig wordt. De leerling vermenigvuldigt elk cijfer met drie en legt kaarten die overeenstemmen met de cijfers van deze nieuwe drievouden. Er is nu geen directe relatie meer met de oorspronkelijke getallen a, b en c. Tellen we echter de waarden van de laatste rij kaarten op, dan vinden we een negenvoud. De kaart die bedekt is, moet bijgevolg de waarde hebben van de som van de zichtbare kaarten afgetrokken van het eerstvolgende negenvoud. Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze truc kan gebruikt worden tijdens de lessen rond veelvouden of de kenmerken van deelbaarheid in de eerste graad. Daarnaast wordt er ook gebruik gemaakt van het rekenen met letters. We geven hieronder twee mogelijkheden om in de klas rond wiskundige vaardigheden te werken, vertrekkend van deze truc. We werken eerst rond deelbaarheid en we gebruiken het concrete voorbeeld (zie hoger) om op te redeneren. De drievouden van de oorspronkelijke getallen 3, 5 en 8 zijn respectievelijk 9, 15 en 24. Als we van elk drievoud de cijfers optellen, krijgen we 9, 6 en 6. Dit zijn allemaal veelvouden van 3 en illustreert het deelbaarheidskenmerk Een getal is deelbaar door drie als en slechts als de som van de cijfers deelbaar is door drie. Elke som kunnen we dus voorstellen als 3n met n een natuurlijk getal. Zo is 9 3 n, m en 2 4 3p. In het vervolg van de truc beschouwen we de cijfers waaruit deze 29

30 getallen opgebouwd zijn: 9, 1, 5, 2 en 4. Als we deze cijfers optellen (niet nodig in de truc) krijgen we 21 en dit is uiteraard een veelvoud van 3. Met de notatie hierboven maken we dit mooi visueel: n 3m 3p 3n m p. In de volgende stap vermenigvuldigen we elk cijfer nogmaals met 3. Zo levert 9 levert het getal 27, de cijfers 1 en 5 geven de getallen 3 en 15 en de cijfers 2 en 4 worden vermenigvuldigd tot de getallen 6 en 12. De som van deze getallen is een veelvoud van 9: n m p 9 q. We kunnen naar aanleiding van deze truc ook het kenmerk van de deelbaarheid door 9 aantonen voor een getal met een vast aantal cijfers. Het veralgemenen van het voorstellen van getallen m.b.v. cijfers is een zinvolle techniek om in een wiskundeles te behandelen. Hieronder vind je een bewijs waarbij we vertrekken van een getal bestaande uit vier cijfers a, b, c en d. Merk op dat deze cijfers niets meer te maken hebben met de kaartengetallen hierboven. a b c.10 + d = a( ) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d = a + b + c + d + 999a + 99b + 9c = a + b + c + d + 9(111a + 11b + c) Als nu de som van de cijfers een negenvoud is, is het getal zelf de som van twee negenvouden en dus zelf ook een negenvoud. Omgekeerd, als het getal een negenvoud is, dan is de som van de cijfers een negenvoud (als verschil van twee negenvouden): a b c.10 + d 9(111a + 11b + c) = a + b + c + d. 30

31 7 MEETKUNDIG VERDWIJNEN Voorbereiding De hele truc is opgebouwd rond een doosje dat in totaal 7 eenheden lang, 6 eenheden breed en 1 eenheid hoog is zoals op de coverfoto. In het doosje zitten puzzelstukjes die het geheel opvullen. Verder heb je twee extra puzzelstukjes nodig: een balkje van 2 op 1 op 1 en kubusje van 1 op 1 op 1. In de figuur hiernaast tekenen we de tweedimensionale variant (het bovenaanzicht) waarop we in het vervolg van deze paragraaf verder redeneren. De puzzelstukjes hebben een welbepaalde vorm, zoals je op de afbeelding kunt zien. Leg het doosje zichtbaar voor de klas. Stop vooraf de twee extra blokjes in je jas- of broekzak. Goochelaars dragen vaak jassen met mouwen en zakken waar ze vooraf een en ander in verstoppen. Fig. 1 Uitvoering Je vertelt dat je op de zolder van een oud huis in een houten doosje-met-schuifdeksel een bijzondere houten legpuzzel gevonden hebt. Er zat een briefje bij waarop stond dat de puzzel eigenlijk onoplosbaar is en dat hij moeilijk weer in elkaar gelegd kan worden. Uiteraard ben je uitgedaagd en heb jij de puzzel gevonden. Benieuwd of de leerlingen even snugger zijn. Om na te gaan of dat inderdaad zo is, keer je het doosje om, zodat de stukjes op tafel vallen en roer je ze door elkaar. Roep de hulp van een leerling in en daag hem uit om met de stukjes weer een rechthoek te maken die in het doosje past. Laat de leerling zijn gang gaan. Wellicht vindt hij na een tijdje de puzzel. Maar je voelt in je broek-, vest- of jaszak en wat merk je? Je vindt nog een balkvormig puzzelstukje. Dat zou er nog bij moeten. De leerling bekijkt alles en vermoedt wellicht dat het stukje er niet bij zal kunnen het doosje is immers vol. Kieper het doosje terug om, begin aan de puzzel en tot grote verbazing maak jij opnieuw een rechthoek in het doosje met het extra puzzelstukje er bij. Je voelt opnieuw in je zakken en wat vind je? Inderdaad, nog een stukje en wel een kubusje. Je maakt de puzzel nogmaals en krijgt hem na wat proberen netjes terug in het doosje. Hoe kan dat? Uitleg Het doosje in de beginsituatie ziet eruit als figuur 1 hierboven. Het is goed gevuld met 9 puzzelstukjes. Als je de eerste maal de stukjes op de tafel gooit, neem je onopvallend een stukje (a) weg. Dit is een stukje van 3 op 1. Je vult dus het doosje met slechts 8 stukjes. De oppervlakte verkleint van 42 (oppervlakte)eenheden naar 39 eenheden. De leerling of jij maakt de puzzel zoals in figuur 2 van de volgende bladzijde. De blokjes zullen nu iets losser in de doos zitten door het kleine verschil in gevulde oppervlakte. Vervolgens is het verhaal dat de twee puzzelstukjes (b) en (c) netjes de ruimte van (a) kunnen opvullen. De puzzel is zo gemaakt dat dit op twee manieren kan gebeuren. Het maakt niet uit welk blokje je eerst uit je broekzak tovert. In figuur 3 hieronder zie je de puzzel als eerst blokje (b) bijgevoegd wordt, in figuur 4 is blokje (c) eerst uit de broekzak getoverd. Wanneer we beide blokjes toevoegen, krijgen we terug de situatie uit figuur 1. 31

32 De wiskunde achter die uitleg Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Het geheel is gebaseerd op gezichtsbedrog. De doos blijft natuurlijk even groot, maar de rechthoek gevormd door de puzzelstukken verandert (lichtjes) van oppervlakte. De rechthoek in figuur 2 heeft de kleinste oppervlakte, gevolgd door de rechthoeken in figuur 4 en figuur 3. Wanneer zowel (b) als (c) zijn toegevoegd, heeft de rechthoek terug de oorspronkelijke oppervlakte als in figuur 1. Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze puzzel kan gebruikt worden in de eerste graad om de leerlingen te laten nadenken over de verdwenen oppervlakte. Enkele vragen die je kan stellen bij figuur 2. Hoeveel kleiner is de oppervlakte van de totale rechthoek als rechthoek (a) is weggenomen? Wat is de oppervlakte van rechthoek (a)? Welke breedte heeft een rechthoek met lengte 7 en dezelfde oppervlakte als rechthoek (a)? Bij figuren 3 en 4 kun je analoge vragen stellen. De puzzel is nauw verwant met Curry s Paradox [12.2], waarop we nu ingaan. Hij is genoemd naar Paul Curry, een amateurgoochelaar uit New York die de paradox verzon. De puzzel is inzetbaar bij lessen in alle graden. Hij biedt concreet materiaal voor leerstofonderdelen van de tweede graad en uitbreiding in de derde graad. We zien in elke figuur hieronder drie driehoeken A, B en C. In figuur 2 zijn driehoeken B en C van plaats verwisseld t.o.v. in figuur 1. In figuur 2 zijn er echter 16 gearceerde vierkantjes en in figuur 1 slechts 15. Fig. 1 Fig. 2 Bekijken we de figuren hieronder, dan merk je dat de twee gearceerde rechthoeken van figuren 1 en 2 in 2 stukken D en E verdeeld zijn. Het maakt het geheel tot iets merkwaardigs. Als we de driehoeken B en C en de stukken D en E herschikken, krijgen we een figuur met een gat in, zoals in figuur 4. Fig. 3 Fig. 4 De paradox vindt zijn verklaring bij het leerstofonderdeel vergelijkingen van rechten. We bekijken figuren 1 en 2 grondiger en definiëren een assenstelsel zodat het punt X als coördinaat 5,2 heeft en 32

33 Y als coördinaat 8,3. Het lijkt alsof X en Y beide op de diagonaal van de rechthoek liggen. In werkelijkheid is dat echter niet het geval. Fig. 5 Fig. 6 Je kunt dit behandelen in een les over de richtingscoëfficiënt van een rechte. We beschouwen enkel figuur 5. Door ruitjes te tellen, kun je de richtingscoëfficiënt van de diagonaal aflezen. Die is 5 0,3846. Door de rechten OX en XP door X te beschouwen, kunnen we nagaan dat deze niet in 13 elkaars verlengde liggen en dus niet samenvallen met de diagonaal. De richtingscoëfficiënt van de rechte OX is gelijk aan 2 0,4 5 en de rechte XP heeft richtingscoëfficiënt 3 0,375. We merken 8 onmiddellijk dat de richtingscoëfficiënten verschillend zijn. Je kunt evengoed in een les over de vergelijkingen van rechten, alle vergelijkingen laten opstellen en de leerlingen de opdracht geven op deze figuur een goed gekozen assenstelsel te plaatsen. De O 0,0 en P 13,5 en de andere zonder naam hoekpunten van de rechthoek krijgen de coördinaten 5 13,0 en 0,5. De vergelijking van de diagonaal is y x. Het punt X 5,2 ligt niet op de diagonaal omdat 2 1,92. Aangezien 2 1,92 weet je bovendien dat X boven de diagonaal ligt. 13 De puzzelstukjes overlappen dus. Het verschil is echter minimaal, net zoals de oppervlaktes die verdwijnen of bijkomen in het doosje hierboven. Het knelt een beetje. De redenering op figuur 6 is analoog. Het hoekpunt Y van de gearceerde rechthoek zal er onder de diagonaal liggen. Waar in figuur 2 of 5 het gezichtsbedrog zit in een hoekpunt dat eigenlijk boven de diagonaal uitkomt en er dus oppervlakte te veel is om een rechthoek van 5 op 13 te vullen, is er in figuur 1 of 6 oppervlakte te weinig.. In figuur 5 overlappen de puzzelstukken elkaar over een bepaalde oppervlakte net boven de diagonaal. In figuur 6 is er een langgerekte opening over een bepaalde oppervlakte net onder de diagonaal. Beide oppervlaktes zijn omwille van de symmetrie even groot en vormen samen het mysterieuze verdwenen extra vierkantje. Het ligt als het ware uitgespreid over de diagonaal. Je vindt hiervan een mooie illustratie op [12.6]. Via formules uit de analytische meetkunde kun je in de klas de leerlingen laten berekenen dat de oppervlakte van de OPX 0,5 (oppervlakte)eenheid is. 2 2 OP opp OXP d X, OP Op een analoge manier vind je dat de oppervlakte van OPY gelijk is aan 0,5. 33

34 8 FIBONACCI EN VERDWIJNEN Benodigdheden Ruitjespapier, een liniaal, een pen en een schaar. Voorbereiding Geen, tenzij je niet te veel tekentijd wilt verliezen in je les. Dan kun je het volgende werk al thuis doen. Knip voor elke leerling uit ruitjespapier een vierkantje van 13 op 13 met de lijnen zoals op de figuur hiernaast. Het vierkant is eerst verdeeld in twee rechthoeken beide met lengte 13 en met breedte 5 en 8. Vervolgens is de kleinste rechthoek in twee even grote driehoeken verdeeld en de grootste in twee even grote trapezia met kleinste breedte 5.s Uitleg Geef je leerlingen de volgende instructie. Knip de driehoeken en trapezia uit en herschik ze tot een rechthoek van 8 op 21. Vergelijk nu oppervlakte van vierkant en rechthoek. Op mysterieuze wijze is er één vierkantje, een eenheid verdwenen. Hoe kan dat? Wiskunde achter de uitleg Het is inderdaad zo dat de oppervlakte van het vierkant 169 eenheden is en die van de rechthoek 168. Voor de verklaring verwijzen we naar de truc meetkundig verdwijnen. De diagonaal in de rechthoek is geen echte diagonaal. In die zin kun je eenzelfde verklaring opbouwen. Martin Gardner besteedt in zijn boek twee hoofdstukken aan ditzelfde onderwerp. Wij hebben hier enkel het thema Square variation aangeraakt waarbij we bovendien vertrekken van de rij van Fibonacci. 8, 13 en 21 zijn immers opeenvolgende getallen uit deze rij. Bruikbaarheid in de wiskundelessen De truc kun je koppelen aan een les over rijen of vierkantsvergelijkingen in de tweede graad. Daarnaast kan hij als onderzoeksopdracht gepresenteerd worden in de tweede of derde graad. Je kunt de leerlingen zelf analoge puzzels laten ontwerpen en zo hun eigen goocheltruc laten uitvinden. De volgende onderzoeksopdracht sluit aan bij het bovenstaande. Ontwerp vierkanten en rechthoeken zoals de figuren hierboven voor een aantal andere getallen van de rij van Fibonacci en tracht een verband, een wetmatigheid, een eigenschap te ontdekken. Controleer je eigenschap voor voldoende voorbeelden, zonder speciale gevallen uit het oog te verliezen. Formuleer je bevindingen met juiste wiskundige symbolen. Zoek tenslotte naar een bewijs. Mogelijks gaan je leerlingen als volgt te werk. In dit voorbeeld is het getal 13 geflankeerd door de 2 getallen 8 en 21 in de rij van Fibonacci. We merken dat Het volgende getal voldoet aan Door voldoende vierkanten te onderzoeken kan men een eerste versie van de eigenschap formuleren: als je het kwadraat neemt van een willekeurig getal van de rij van Fibonacci, 34

35 dan is dat gelijk aan het product van de voorganger en de opvolger van dit getal plus of min één. De vraag is nu of er een regelmaat inzit. Het volgende rekenblad toont deze regelmaat. n 1 1 t 2 n t t n n1 tn Nemen we een getal uit de rij van Fibonacci dat op een even plaats staat (dus 2 de, 4 de, 6 de in de rij) als zijde van het vertrekvierkant, dan heeft de (omgevormde) rechthoek één vierkantje meer. Getallen op een oneven plaats leveren een vierkantje verlies op voor de rechthoek (zie het bovenstaande voorbeeld). Op deze manier ontdekken we een eigenschap van de getallen uit de rij van Fibonacci: 2 t t t n. n n1 n1 1 Een bewijs kan als uitbreiding gegeven worden door volledige inductie. We bewijzen dat de eigenschap geldt voor de eerste getallen uit de rij: t t t Stel dat de eigenschap geldt voor n: t t t 2 n + 1: 1 t t t n n n n n n n n ; we tonen aan dat ze ook geldt voor n1 n2 1 1 RL t t t t t n n n1 2 tn tn tn n 1 1 n 1 1 t t t t n1 n1 n n1 t t t n n1 n1 n t 2 n1 LL Als we nog verder gaan variëren, stuiten we op stelsels en vierkantsvergelijkingen. We vertrekken dan van een willekeurige rij van Fibonacci, die ook in paragraaf 11 aan bod kwam. Nemen we bijvoorbeeld uit de rij 2, 4, 6, 10, 16, 26 drie opeenvolgende getallen waarmee we een analoog patroon opstellen als hierboven, dan zullen er meer vierkantjes verloren of gewonnen worden. Vertrekken we van een vierkant met zijde 10 dat we opdelen in twee driehoeken en twee trapezia en dat we vervolgens herschikken in een rechthoek van 6 op 16, dan verliezen we bij de herschikking 4 vierkantjes: De getallen 10, 16 en 26 voldoen aan de identiteit Een vierkant met n n 35

36 zijde 16 herschikken in een rechthoek van 10 op 26, zorgt voor 4 vierkantjes meer. Als goocheltruc is dit niet subtiel genoeg. 4 vierkantjes meer of minder kunnen we immers niet zomaar verdoezelen. We zijn aan ons wiskundig zijsprongetje begonnen. We veralgemenen het bovenstaande. We stellen daartoe het volgende probleem: gegeven B en X, ontwerp een rechthoek met breedte A en lengte C waarbij we X vierkantjes verliezen of winnen tegenover het vierkant met zijde B. Hierbij zijn A, B en C drie opeenvolgende getallen uit een willekeurige rij van Fibonacci. Dit vertaalt zich in het volgende stelsel: A B C 2 B AC X Door voor B en X willekeurige getallen te kiezen kunnen we eender welk verschil of winst in vierkantjes, koppelen aan eender welke zijde van het grote vierkant en zo de bijbehorende rechthoek opstellen. Dit leidt tot een vierkantsvergelijking die de zijden A en C van de rechthoek geeft, horende bij het gekozen vierkant met zijde B. De rechthoek heeft X vierkantjes verloren als B 2 AC X en X vierkantjes gewonnen als B 2 AC X. We geven enkele voorbeelden van opgaven. Opgave 1 Hoe kun je een vierkant van 7 op 7 opsplitsen zo dat er 5 vierkantjes verdwijnen? Welke Fibonacci-rij zit hier achter? Oplossing A 7 C A7 C A 7 C C 11 C 4 of 7 A A AC 5 A 7A 44 0 A 4 A 11 Antwoord: alleen de opsplitsing van 7 als 4 3 is correct, met een herschikking naar een rechthoek van 4 op 11. De veralgemeende Fibonacci-rij is dan 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 Opgave 2 Hoe kun je een vierkant van 12 op 12 opsplitsen zo dat er 5 vierkantjes verdwijnen? Oplossing A 12 C A12 C A 12 C 12 A A AC 5 A 12A C , 23 C of A , 23 A Antwoord: het stelsel van diophantische vergelijkingen heeft geen oplossingen. Het getal 12 kan niet opgesplitst worden in gehele delen zodat er 5 vierkantjes verdwijnen. Het kan wel opgesplitst worden in irrationale delen, en De rechthoek heeft dan breedte en De veralgemeende rij van Fibonacci, als we vertrekken van twee positieve getallen, is dan: , , , ,18 5 7, 6 5 7, 12, 6 5 7, Opgave 3 Neem de 4 de, 5 de en 6 de term uit de volgende veralgemeende Fibonacci-rij: 2, 2 2, 3 2, Hoeveel vierkantjes winst of verlies zijn er als we van een vierkant met zijde 8 2 een rechthoek met zijden 5 2 en 13 2 maken? 36

37 Antwoord: er zijn 2 vierkantjes gewonnen ( ). Merk op dat de vierkanten en rechthoeken die we op deze manier opbouwen gelijkvormig zijn met deze uit de onderzoeksopdracht. Vermits de oppervlakte door de gelijkvormigheidsfactor 2 zal 2 verdubbelen, volgt het bovenstaande ook uit de eigenschap t t t n. n n1 n1 1 9 KAART RADEN Voorbereiding Neem een spel kaarten. Maak het volgende schema beschikbaar: Uitvoering Laat een kaart kiezen of trekken zonder dat jij de kaart ziet. Spreek je af wat de getalwaarde is van de beelden: boer = 11; dame = 12; heer = 13. Geef als instructie: Tel het getal op met het volgende getal. Vermenigvuldig het resultaat met 5. Tel er de kleur bij volgens het schema. Zeg je einduitkomst. Hiermee kun je gemakkelijk achterhalen wat de kaart was. Uitleg Veronderstel dat de deelnemer een ruiten 3 trekt. Hij krijgt na de berekeningen het getal: (3 + 4) = 43. Bekijk de cijfers apart en vind = 8 wat staat voor ruiten en 4 1 = 3. De deelnemer had dus ruiten 3. Veronderstel dat de deelnemer schoppen 10 trekt. Hij krijgt na de berekeningen het getal: ( ) = 111. Bekijk de cijfers apart en vind = 6 wat staat voor schoppen en 11 1 = 10. De deelnemer had dus schoppen 10. De wiskunde achter die uitleg Veronderstel dat de deelnemer een kleur n trekt. We noemen k, een getal dat eigen is aan de kleur, en 5 + k is het cijfer dat in het schema staat bij de kleur. We zetten de berekeningen om in de volgende algebraïsche bewerking: (n + (n + 1)) 5 + (5 + k) = (2n + 1) k = 10n k = 10n k = 10(n + 1) + k Bruikbaarheid in de wiskundelessen Rekenen met letters De volgende 3 trucs zijn beschreven in artikels van UItwiskeling en zijn integraal overgenomen. 37

38 10 HET REKENWONDER (MICHEL ROELENS) In dit artikeltje beschrijf ik een kleine goocheltruc die verband houdt met de periode in een decimale vorm van een rationaal getal. Het was één van de trucs die Gilberte Verbeeck en ik gepresenteerd hebben tijdens de workshop Goochelen in de wiskundeles op een congres in Mechelen op 14 maart laatstleden. Eerst komt de uitleg over hoe jij de truc kunt uitvoeren (of hoe je leerlingen dit kunnen). Daarna ga ik in op een verklaring en tot slot leg ik een verband met de leerstof van het derde jaar. Instructies Je schrijft het getal op het bord. Als je geheugen dit toelaat, leer je dit getal op voorhand van buiten en doe je alsof je een totaal willekeurig groot getal opschrijft. Je vraagt het publiek een getal te geven tussen 2 en 16. Je vermenigvuldigt deze twee getallen supersnel: onmiddellijk schrijf je het product op. Je laat het resultaat controleren met een computer. Hoe vind je zo snel het product? Noem w het wondergetal dat je opgeschreven hebt en x het getal van het publiek. Als 1 < x 7: ga in w op zoek naar het kleinste getal van twee cijfers dat groter is dan 5x. Schrijf vanaf daar de cijfers van w op tot je rond bent en vul aan met een nul. Bv. als x = 6, dan is 5x = 30. Het kleinste getal van twee cijfers groter dan 30 is 35. Dus = Als 8 x 14: ga in w op zoek naar het op één na kleinste getal van twee cijfers dat groter is dan 5x. Schrijf vanaf daar de cijfers van w op tot je rond bent en vul aan met een nul. Bv. als x = 13, dan is 5x = 65. Nu moet je niet starten bij 70 maar bij 76. Dus = Voor x = 15 of 16 is het analoog maar ga je op zoek naar het op twee na kleinste getal van twee cijfers dat net groter is dan 5x. Verklaring Deel 1 door 17. Met een rekenmachine vind je 1 cijfers zien. Bv. met Wolfram Alpha: 17 0, Met een computer kun je meer 1 = 0, Ons wondergetal w is één periode van de decimale voorstelling van als je deze periode niet bij 0 maar met 5 laat beginnen. Of nog: w = [ ], het geheel gedeelte van van honderd biljard. Het is dus alles behalve een willekeurig getal. Om er zicht op te krijgen, voer ik even een staartdeling uit om door 17 te delen

39 Alle mogelijke resten 1, 2, 3, 16 komen één keer voor. Daardoor heeft het quotiënt een periode van lengte 16. Voor elk getal n heeft 1 een periode waarvan de lengte kan variëren van n 1 tot n 1; voor n = 17 heeft de periode dus maximale lengte. Stel dat het getal x waarmee je het wondergetal wilt vermenigvuldigen, 6 is. Dit komt neer op het delen van door 17. De opeenvolgende resten, en dus ook de opeenvolgende cijfers van het quotiënt, zijn dezelfde behalve dat alles start bij rest 6 (en dus bij quotiëntcijfer 3). De decimale cijfers van 6/17 vormen op die manier een cyclische permutatie van de decimale cijfers van 1/17 en het zesvoud van het wondergetal w is dan ook een cyclische permutatie van w zelf. Dit geldt natuurlijk analoog voor andere factoren x dan 6. Het volstaat het begincijfer te vinden in w. Op Mathpuzzle worden deze instructies door een mooi rad gevisualiseerd in de volgende figuur. Volgens de instructies vermenigvuldigt de goochelaar het getal x van het publiek met 5. Wat is die 5 precies? Welnu, om het begin van de cyclische permutatie te vinden moet je in dit voorbeeld 600 delen door 17 en naar beneden afronden (zie staartdeling). Dit betekent dat je 6 keer 100 (of 5,8) moet nemen en naar beneden afronden. Sterk naar beneden afgerond komt dit neer op 6 keer 5. In plaats van 5 zou 5,8 beter zijn maar dit rekent niet handig voor de goochelaar. Doordat 5 eigenlijk te klein is, moet in sommige gevallen niet gestart worden bij het kleinste getal dat groter is dan 5x maar bij het op één na of op twee na kleinste. Hoe groter het 17 39

40 getal x waarmee vermenigvuldigd wordt, hoe meer het verschil tussen 5 en 100 wordt opgeblazen zodat er meer kans is dat ook andere getallen van twee cijfers uit het wondergetal er tussen geraken... Je vraagt je wellicht af of er nog getallen zijn zoals 17, getallen n zo dat 1 een maximale periode heeft. Jazeker: n n = 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, (Merk op: 2 hoort er strikt genomen ook bij want 1 = 0,50000 heeft een maximale periode, namelijk van 2 lengte 1.) De getallen 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, zijn allemaal priemgetallen. Merk op: het zijn zeker niet alle priemgetallen. Bv. 1 = 0, heeft een periode van lengte 6. En de periode 13 van 1 11 = 0, is nog veel korter! Je zou dezelfde goocheltruc dus ook kunnen uitvoeren met de periode van het omgekeerde van één van die andere getallen. Het getal 1 heeft periode 6: niet spectaculair genoeg. En 1 is zeker wel spectaculair genoeg, 7 17 vandaar dus. Maar stel dat je de truc meer dan één keer wilt uitvoeren met een overlapping in het publiek, dan kun je overwegen om de volgende keer 1 of 1 te nemen Verband met getaltheorie 1 = 0, = 0, Hier is nog meer over te vertellen. Deze paragraaf is echter niet essentieel voor het begrijpen van de truc. De lengte van de periode van 1 n is het kleinste getal λ N 0 zo dat de rest bij deling van 10 λ door n gelijk is aan 1, of anders gezegd zo dat 10 λ 1 mod n. Dit is nog eenvoudig in te zien, want als je de staartdeling uitvoert, begint alles opnieuw zodra de rest 1 is... Opdat 1 een maximale periode zou hebben, moet λ gelijk zijn aan n 1. Lezers die kaas gegeten hebben van n getaltheorie, zullen opmerken dat 10 n 1 1 mod n voldaan is voor alle priemgetallen behalve 2 en 5. Dit is de kleine stelling van Fermat. Maar: dit betekent nog niet dat n 1 de kleinste exponent van 10 is waarvoor dat geldt! Dat is wat misloopt bij 11 en 13. Bovendien geldt het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat niet; er zijn ook pseudopriemgetallen, getallen n die wel voldoen aan 10 n 1 1 mod n maar die niet priem zijn. Persoonlijk wist ik niet of er ook pseudopriemgetallen zijn waarvan het omgekeerde een maximale periode heeft. Maar, toegegeven, van getaltheorie heb ik enkel een beetje smeerkaas gegeten... Een collega binnen de redactie, die van getaltheorie wat harde Parmezaanse kaas heeft gegeten, kon er een antwoord op geven: het moeten wel degelijk priemgetallen zijn! De uitleg is te zoeken in de theorie van de groep Z n,. De elementen van deze eindige multiplicatieve groep zijn de restklassen modulo n van de gehele getallen m waarvoor ggd(m, n) = 1. Opdat de decimale vorm van 1 een maximale periode zou hebben, moet de n restklasse van 10 een voortbrenger (of primitieve wortel ) zijn van deze groep en moet deze groep bovendien juist n 1 elementen hebben. Deze laatste voorwaarde impliceert dat n een priemgetal moet zijn. Verband met de leerstof In het derde jaar ontdekken de leerlingen het bestaan van irrationale getallen: getallen die niet als een breuk te schrijven zijn, of nog: getallen waarvan de decimale vorm geen periode bevat. Het getal 1 is een goed 17 voorbeeld om te laten zien dat je die periode niet altijd zomaar met je rekenmachine kunt vinden. De rekenmachine geeft niet genoeg cijfers. De decimale vorm lijkt wel afkomstig van een irrationaal getal. En toch is 1 overduidelijk een breuk. Met de hand kun je die periode wel bepalen (zie staartdeling hogerop)

41 Deze goocheltruc kan de interesse voor de staartdeling en de periode van een decimale vorm verhogen of opwekken! Bronnen Depoorter, J., Roelens, M., Verbeeck, G. (2012). Goochelen in de wiskundeles. Uitwiskeling 28/2, Dufraign, H., goochelaar. Mathpuzzle. Wolfram Alpha GOOCHELEN MET SPEELKAARTEN EN FLAVIUS JOSEPHUS (MICHEL ROELENS) Titus Flavius Josephus is een naam die onze collega s geschiedenis, godsdienst en Latijn wellicht kennen. Hij was immers een belangrijke Joods-Romeinse historicus in de 1 ste eeuw n.c.; buiten de evangelieschrijvers was hij wellicht de eerste auteur die Jezus Christus vermeldde. Zijn naam is ook gegeven aan een welbepaalde manier om een stapel speelkaarten te schudden. Je houdt de stapel vast met de beelden naar onder. De bovenste kaart steek je onderaan de stapel, de volgende kaart leg je op de tafel, de volgende onderaan de stapel, de volgende weer op de tafel, bovenop de vorige, enz. Je blijft dit herhalen tot alle kaarten op de tafel liggen. Dit noemen we schudden op zijn Josephus. Hieronder beschrijven we twee eenvoudige goocheltrucs die gebaseerd zijn op deze manier om de kaarten te schudden. We verklaren de trucs en we gaan in op de wiskunde die erachter zit. In een volgend nummer zal Gilberte Verbeeck een meer spectaculaire goocheltruc beschrijven die ook op deze manier van schudden gebaseerd is GOOCHELTRUC WEER OP VOLGORDE Instructies Maak een stapel van 8 kaarten, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in die volgorde, zoals op figuur 1 (1 ligt bovenaan als de beelden naar onder liggen). Je toont aan het publiek dat ze op volgorde zitten. Je zegt dat je van orde houdt. Deze kaarten moeten absoluut op volgorde blijven! Figuur 1 Stapel kaarten vóór het schudden Je schudt de stapel op zijn Josephus (zie hoger). Je wilt laten zien dat ze op volgorde gebleven zijn, maar: dat is niet het geval. Je laat ontgoocheling blijken en je probeert nog eens (met de stapel zoals die nu is). Nu moet het lukken!, zeg je. Maar neen, ze liggen weer niet op volgorde. Schakel nu de grote middelen in: een toverspreuk, een toverstok... En schud de stapel nog eens op dezelfde manier... Je toont de kaarten: nu is het wel gelukt. Dat komt natuurlijk door die toverspreuk (of -stok). 41

42 Verklaring Hoe komt het dat de kaarten na drie keer weer op volgorde zitten? Een tip om op het spoor te komen van een verklaring: vergelijk de beginposities van de kaarten met de posities na één keer schudden (figuur 2). Op welke plaats is elke kaart terecht gekomen? Figuur 2 Na één keer schudden De eerste kaart is op zijn plaats gebleven. De tweede kaart is naar de achtste plaats gegaan; de derde kaart naar de vierde plaats, enz. We stellen dit voor door het volgende schema. oorspronkelijke plaats plaats na schudden ( Als we dit schema nauwkeurig analyseren, stellen we het volgende vast. De kaarten 1 en 6 blijven op hun plaats ) De kaart op plaats 2 gaat naar plaats 8, die op plaats 8 naar plaats 5 en die op plaats 5 naar plaats 2. De kaart op plaats 3 gaat naar plaats 4, die op plaats 4 naar plaats 7 en die op plaats 7 naar plaats 3. Na drie keer schudden zullen de kaarten 1 en 6 nog steeds op hun plaats zitten en zullen ook de andere kaarten weer op hun plaats terecht komen (figuur 3) Hiermee is de goocheltruc verklaard. Wiskundige achtergrond Figuur 3 Schematische voorstelling Kaarten schudden komt altijd neer op een permutatie van de kaarten. Men kan bewijzen dat elke permutatie van een eindige verzameling bestaat uit disjuncte cycli. Bij het schudden van 8 kaarten op zijn Josephus hebben we twee cycli van lengte 1 en twee van lengte 3. Deze permutatie kan ook zo genoteerd worden: (1)(6)(2 8 5)(3 4 7). Bij een ander aantal elementen zijn de cycli vaak langer. Bijvoorbeeld: schudden op zijn Josephus met 9 kaarten levert de volgende permutatie op: ( ) = ( ), één lange cyclus van lengte 9. Hier moet je dus 9 keer schudden vooraleer de kaarten weer op volgorde zitten. Nog een voorbeeld: bij het schudden op zijn Josephus met 10 kaarten hebben we: 42

43 ( ) = (1 3 5)( ). 6 Hier hebben we een cyclus van lengte 3 en een cyclus van lengte 7. Pas na 21 keer schudden zitten de tien kaarten weer op volgorde. Het aantal keer dat je moet schudden is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de lengten van de cycli. Het voordeel van 8 kaarten is dat dit k.g.v. slechts 3 is; je mag het geduld van het publiek niet te sterk op de proef stellen GOOCHELTRUC DE DRENKELING Instructies Voor deze truc heb je 22 kaarten nodig, namelijk elf paren (bv. harten dame en ruiten dame, schoppen drie en klaveren drie,...). Kies ze verder willekeurig zodat niets opvalt. Op voorhand plaats je ze zo in een stapel dat de afstand tussen de maatjes 11 is (anders gezegd: dat er telkens 10 andere kaarten tussen zijn). Je toont snel de kaarten zodat het publiek denkt dat ze totaal willekeurig zijn. Je zegt niet hoeveel kaarten het zijn en ook niet dat ze uit paren bestaan. Je legt de stapel op de tafel, beeld naar onder. Iemand van het publiek mag de stapel couperen (een deelstapel afnemen en de reststapel erop leggen). Je neemt dan de bovenste kaart, je legt die op de tafel (of op een tekening van een vijver) en je vertelt dat die aan het verdrinken is. Help! Help! Enkel zijn maatje kan hem redden. Je vraagt aan het publiek: Welke kaart is zijn maatje? Wellicht komt er een juist antwoord; anders zeg je het zelf. Je schudt de kaarten op zijn Josephus (zie hoger). Oefen vooraf zodat je dit snel en correct kunt. Je toont de laatste kaart: het maatje, nog net op tijd voor de reddingsoperatie! Verklaring Door de kaarten voor te stellen als punten op een cirkel, is het gemakkelijker om te zien wat er gebeurt. Kaarten die je op de tafel legt, vallen weg uit die kring en wanneer je de bovenste kaart onderaan de stapel steekt, draai je verder in de kring. Bij het couperen verandert er niets aan de volgorde van de punten; enkel het beginpunt verandert. In figuur 4 zijn de paren {A, A }, {B, B } Figuur 4 Stapel kaarten in een kring Zonder de algemeenheid te schaden, kunnen we veronderstellen dat kaart A de drenkeling is. Die is van bij het begin niet meer in de kring. De bovenste kaart in de stapel is B. Die wordt onderaan gestoken en blijft in de kring. De volgende kaart, C, schrappen we want die wordt op de tafel gelegd. En zo gaat het verder: D blijft, E wordt geschrapt... Als je dit blijft doen, zie je dat A, het maatje van de drenkeling A, inderdaad als laatste overblijft (zie figuur 5) 43

44 Figuur 5 Na één ronde schrappen, na twee ronden en op het einde Meer over Flavius Josephus Figuur 6 Flavius Josephus Tijdens de Joodse opstand tegen de Romeinen was Flavius Josephus de aanvoerder van een groep Joodse rebellen. In zijn boek De Joodse oorlog vertelde hij later dat hij op een dramatisch moment met 40 andere rebellen vast zat in een grot. Liever dan zich aan de Romeinse vijand over te geven, beslisten ze samen te sterven. Omdat zelfmoord door de Joodse godsdienst verboden is, spraken ze af dat ze een kring zouden vormen, dat de eerste de tweede zou vermoorden, dat de derde de vierde zou vermoorden, enz. tot er maar één rebel zou overblijven. Flavius Josephus was blijkbaar op de juiste plaats in de kring gaan staan, want hij overleefde dit bloedig tafereel. Volgens Graham e.a. (1994) wijkt het oorspronkelijke verhaal hier een tikje van af: elke derde persoon werd vermoord en ze waren met twee kompanen die op die manier de slachting overleefden. Wat er ook van zij: wiskunde kan je leven redden! Hun bloedige werkwijze (waarbij elke tweede persoon wordt gedood) komt precies overeen met het schudden van een stapel speelkaarten op zijn Josephus ( op de tafel = dood). Hiermee is de naam van deze wijze van schudden verklaard. De relevante vraag is: op welke plaats moet je in de kring gaan staan, afhankelijk van het aantal rebellen, om als laatste over te blijven? Of, wat op hetzelfde neerkomt: waar in de stapel moet je een kaart steken opdat die bij het schudden op zijn Josephus als laatste zou overblijven? Hieronder pakken we dit wiskundig aan. Wiskundige achtergrond Noem J(n) de oorspronkelijke plaats van de kaart die als laatste zal overblijven, bij een stapel van n kaarten. Uiteraard geldt: J(1) = 1. We bekijken eerst het geval waarbij n even is. Stel n = 2m. We schrappen nummer 2, 4, 6... Na één ronde blijven er m kaarten over. We kunnen ze hernummeren: nummer 3 is nu de tweede, nummer 5 de derde... en nummer 2m 1 de m-de (zie figuur 7). 44