Logistiek Lineair programmeren en optimalisatie van grafen. Internationaal wiskundetoernooi Voorbereidend materiaal

Transcriptie

1 Logistiek Lineair programmeren en optimalisatie van grafen Internationaal wiskundetoernooi Voorbereidend materiaal 1

2

3 Internationaal Wiskundetoernooi 2018 Voorbereidend materiaal Beste deelnemer aan het Wiskundetoernooi 2018, Het internationaal Wiskundetoernooi bestaat uit twee rondes: de Estafette en Sum of Us. Het onderdeel Sum of Us heeft dit jaar als thema Logistiek - Lineair programmeren en optimalisatie van grafen. Dit boekje is gemaakt zodat je jezelf alvast bekend kan maken met dit thema. In de verschillende onderdelen van deze bundel zal telkens eerst een stuk theorie aan bod komen, om vervolgens af te sluiten met een aantal oefenopgaven. De antwoorden van deze oefenopgaven zullen voor aanvang van het toernooi te vinden zijn op Tijdens Sum of Us ga je samen met je team een aantal problemen oplossen. Je mag het voorbereidend materiaal, de oefenopgaven en de uitwerkingen van de oefenopgaven gebruiken. Gezien de tijd raden we je echter aan om deze documenten van tevoren alvast grondig te bestuderen. Hierdoor zul je de opdrachten van Sum of Us sneller en beter begrijpen. Ook mag je tijdens Sum of Us gebruik maken van een rekenmachine. Let op: deze rekenmachine mag niet grafisch zijn! De opgaven en het voorbereidend materiaal zijn gemaakt door Carlijn Mulders (studente wiskunde aan de Radboud Universiteit Nijmegen) onder begeleiding van Wadim Zudilin. Succes! 2

4 Index 1 Inleiding 2 Lineair programmeren Theorie Oefenopgaven Optimalisatie van grafen 12.1 Wat zijn grafen? Theorie Oefenopgaven Dijkstra s kortstepad-algoritme Theorie Oefenopgaven Maximale stroom, minimale snede Theorie Oefenopgaven

5 1 Inleiding Vrijwel alle bedrijven hebben een logistieke afdeling. Binnen die afdeling wordt er gekeken naar de planning, uitvoering en controle van het vervoeren van goederen. Belangrijk hierbij is dat grondstoffen en tijd zo goed mogelijk besteed en zo min mogelijk verspild worden. De logistieke afdeling van een waterbedrijf kan bijvoorbeeld bepalen wat de slimste manier is om water naar huizen te brengen en een distributiecentrum kan berekenen hoe producten het snelste in de supermarkten terecht kunnen komen. Ook in het dagelijkse leven kom je situaties tegen die alles te maken hebben met logistiek, zoals het verdelen van een chocoladereep en het zoeken van de kortste route van school naar huis. Kortom, logistiek is een heel interessant onderwerp met veel verschillende aspecten. Omdat er zo n grote verscheidenheid zit in de vraagstukken, zijn er ook meerdere wiskundige modellen om de logistieke kwesties in kaart te brengen. In deze bundel zullen we beginnen met het toelichten van de methode lineair programmeren. Deze methode is vooral handig om te bepalen hoe je een beperkte hoeveelheid tijd, ruimte, machines, etc. zo goed mogelijk kan gebruiken. Vervolgens gaan we ons richten op optimalisatie van grafen. Grafen zijn namelijk een goed hulpmiddel om wegen en andere methoden van vervoer schematisch weer te geven. We zullen het hoofdstuk over optimalisatie van grafen beginnen met een uitleg wat grafen zijn om vervolgens twee verschillende methodes van optimalisatie aan bod te laten komen.

6 2 Lineair programmeren 2.1 Theorie Lineair programmeren is één van de eenvoudigste manieren van optimalisatie. Het wordt gebruikt om de optimale oplossing te vinden voor een probleem met bepaalde beperkingen. Deze problemen komen vaak uit het echte leven: het maken van een planning voor alle medewerkers van een bedrijf, het achterhalen hoe machines het meest efficiënt gebruikt kunnen worden, besluiten welke gewassen een boer het beste kan verbouwen, etc. Deze methode kenmerkt zich doordat hij alleen gebruik maakt van lineaire functies. Definitie: Een lineaire functie is een functie f van de vorm f(x) = ax + b waarin a en b constanten zijn. Dit betekent dat een complexe situatie eerst vereenvoudigt moet worden naar een lineair verband om lineair programmeren toe te kunnen passen. Aan de hand van een voorbeeld gaan we kijken hoe dit in de praktijk in zijn werk gaat. We zullen 5 stappen doorlopen die nodig zijn om succesvol een optimale oplossing voor ons voorbeeld te vinden. Daarbij zullen ook verschillende algemene begrippen langskomen. Voorbeeld: Het nieuwe bedrijf Lovechoc gaat voor het eerst chocolade produceren. Ze besluiten te beginnen met maar twee soorten repen, A en B. Beide repen hebben alleen maar cacoa en melk nodig: Voor het produceren van reep A is 1 liter melk en kilo cacoa nodig Voor het produceren van reep B is 1 liter melk en 2 kilo cacoa nodig Het bedrijf heeft momenteel maar 5 liter melk en 12 kilo cacoa. Gelukkig maakt het bedrijf winst per reep die ze verkopen: Een hele reep A levert 6 euro op Een hele reep B levert 5 euro op Je mag aannemen dat als het bedrijf een deel van de reep overhoudt, het deze kan verkopen voor hetzelfde deel van het geld: een halve reep A levert euro op, een vijfde deel van reep B levert 1 euro op, etc. Om het wat overzichtelijker te maken, kunnen we de situatie ook in een tabel zetten (zie hieronder). Melk Cacoa Winst A 1 6 B Totaal 5 12 Tabel 1: Overzicht van de gegevens van het voorbeeld Vraag: Hoeveel repen A en hoeveel repen B moet Lovechoc produceren als het bedrijf zoveel mogelijk winst wil maken? Oplossing: Stap 1: Identificeer de beslissingsvariabelen Laten we voor het gemak drie nieuwe letters invoeren: Het aantal geproduceerde repen A = X Het aantal geproduceerde repen B = Y De totale winst (in euro s) = Z 5

7 De totale winst, Z, hangt af van wat er geproduceerd wordt. Ofwel: Z is afhankelijk van X en Y. Dit betekent dat X en Y onze beslissingsvariabelen zijn en Z de doelvariabele. Stap 2: Opstellen van de doelfunctie Omdat een reep A 6 euro oplevert en een reep B 5 euro, kunnen we de volgende functie opstellen voor de winst: Z = 6X + 5Y Deze lineaire functie is de doelfuntie behorend bij dit voorbeeld. Definitie: Een doelfunctie is een functie die aan alle mogelijke uitkomsten van het experiment een waarde geeft die de winst of de kosten representeert. Voor het berekenen van de maximale winst, moet deze functie gemaximaliseerd worden. Voor het berekenen van de minimale kosten, moet deze functie geminimaliseerd worden. Stap : Opstellen van de randvoorwaarden Nu we de doelfunctie van ons voorbeeld hebben, gaan we de gegeven beperkingen verwerken en er lineaire randvoorwaarden van maken. Definitie: Een randvoorwaarde is een voorwaarde waaraan variabelen moeten voldoen om in aanmerking te komen als oplossing van een of meerdere vergelijkingen. Ten eerste weten we dat we voor zowel reep A als voor reep B 1 liter melk nodig hebben. In totaal hebben we echter maar 5 liter tot onze beschikking. Dit geeft: X + Y 5 Verder geldt dat reep A kilo cacoa en reep B 2 kilo cacoa nodig heeft. De totale hoeveelheid cacoa die beschikbaar is, is 12 kilo. Dit geeft: X + 2Y 12 Als laatste weten we dat we geen negatief aantal kunnen produceren, dus geldt X 0 Y 0 Stap : Opstellen van een grafiek Met behulp van onze randvoorwaarden weten we dat X en Y niet zomaar willekeurig gekozen kunnen worden. Dit brengt ons een stuk dichter bij de oplossing, want we hebben nog maar een beperkt aantal mogelijkheden voor X en Y. Om dit duidelijk in kaart te brengen, zetten we de functies X + Y = 5 (ofwel Y = 5 X) en X + 2Y = 12 (ofwel Y = 6 1.5X) uit in een grafiek. Wegens de opgestelde ongelijkheden van stap, weten we dat we alleen nog maar naar het gebied moeten kijken dat onder beide lijnen ligt én waarvoor geldt dat het rechts van de y-as en boven de x-as ligt. Alleen de punten in dat gebied voldoen namelijk aan alle randvoorwaarden. 6

8 6 5 X + Y = 5 X + 2Y = 12 Gebied toegestane oplossingen Y X Stap 5: Aflezen van de grafiek (optie 1: kommagetallen toegestaan) Met behulp van bovenstaande grafiek zien we niet alleen het gebied van toegestane oplossingen, maar we kunnen zelfs achterhalen hoeveel repen A en repen B Lovechoc precies moet maken om de maximale winst te behalen. Hiervoor zijn twee definities en de fundamentele stelling van lineair programmeren van belang. Definitie: komen. Een knooppunt of vertex is een punt waar twee rechte stukken van een veelhoek bij elkaar Definitie: Een hoekpunt is een knooppunt van het gebied van toegestane oplossingen. In ons voorbeeld zijn vier hoekpunten te vinden: bij (0,0), (0,5), (,0) en bij (2,). Stelling: Als er een oplossing is voor een lineair programmeerprobleem, dan zal deze plaatsvinden op een hoekpunt of op de lijn tussen twee hoekpunten. Het wiskundige bewijs van deze stelling is vrij abstract en zullen we dan ook niet verder toelichten. Maar met behulp van een plaatje en ons voorbeeld kan het wel duidelijker worden dat de stelling waar is. Het is namelijk de winst, Z = 6X +5Y, die we maximaal willen krijgen. Dit kunnen we herschrijven naar de functie Y = 1 5 Z 6 5X. In deze functie beschouwen we Z als een constante die we zo hoog mogelijk willen krijgen zonder uit het gebied van toegestane oplossingen te gaan. We krijgen dan als het ware een bewegende lijn met richtingscoëfficiënt 6 5. Dit ziet er als volgt uit: 7

9 6 5 X + Y = 5 X + 2Y = 12 Gebied toegestane oplossingen Y X Hoe hoger Z wordt, hoe verder de grijze stippellijn van de oorsprong afgaat. De meeste rechtse lijn heeft dus de hoogste waarde voor de winst. Deze komt slechts in één punt nog in het gebied van toegestane oplossingen: bij een hoekpunt. Er zijn vrijwel altijd meerdere hoekpunten te vinden (zoals eerder gezegd, zijn er in dit voorbeeld vier). De bewegende lijn van onze doelfunctie is een goed hulpmiddel om te bepalen welk hoekpunt daadwerkelijk het de oplossing geeft. Er geldt namelijk dat het hoekpunt waar de lijn als laatste mee in contact komt, het hoekpunt is dat de optimale oplossing biedt voor je probleem. Mocht er een minimum gevraagd worden, dan wil je Z zo klein mogelijk hebben. In dat geval moet je dus kijken welk hoekpunt de bewegende lijn als eerste raakt. Let op! Als er een lijn is met dezelfde richtingscöefficiënt als de bewegende lijn, dan kan het zo zijn dat er twee hoekpunten als eerste danwel laatste geraakt worden. In dat geval geldt dat zowel beide hoekpunten als het lijnstuk tussen deze hoekpunten de oplossing geeft. Nu hebben we alle kennis om antwoord te geven op de vraag hoevel repen A en hoeveel repen B Lovechoc moet maken om zoveel mogelijk winst te behalen. Met behulp van de grafiek weten we namelijk dat het snijpunt van de rode en blauwe lijn de beste waarde voor X en Y aangeeft. We zouden dit snijpunt af kunnen lezen, maar het is nauwkeuriger om het uit te rekenen. Dit heeft daarom altijd de voorkeur. We moeten de vergelijkingen X + Y = 5 en X + 2Y = 12 aan elkaar gelijk stellen. Dit gaat als volgt in zijn werk: X + Y = 5 Y = 5 X Dit invullen in X + 2Y = 12 geeft: X + 2(5 X) = 12 X = 2 Dit invullen in Y = 5 X geeft: Y = Kortom, Lovechoc moet 2 repen A en repen B maken om de maximale winst Z = = 27 euro te behalen. 8

10 Stap 5: Aflezen van de grafiek (optie 2: kommagetallen niet toegestaan) Vrijwel altijd mag je in je antwoord kommagetallen gebruiken. Als dit niet mag, staat dit expliciet in de opgave gemeld. Laten we nu de situatie van ons voorbeeld een klein beetje aanpassen, om te kijken hoe we dan te werk moeten gaan. In dit geval zeggen we dat het bedrijf alleen maar hele repen kan maken en verkopen (dus kommagetallen in het antwoord zijn niet toegestaan) en dat het in plaats van 5 liter melk, maar.5 liter tot zijn beschikking heeft. Dan krijgen we de volgende grafiek: 8 X + Y =.5 Gebied toegestane oplossingen X + 2Y = 12 6 Y X We kunnen op dezelfde manier als bij Stap 5, optie 1 nagaan waar het hoekpunt zit dat een maximale waarde geeft. Zo zien we dat de optimale oplossing te vinden is in het punt (, 1.5). Dit is echter geen geldige oplossing, want we kunnen geen halve reep B maken. Daarom moeten we onze strategie aanpassen. Met behulp van de grafiek kunnen we alle mogelijke opties op een rijtje zetten en per optie uitreken wat het oplevert: X Y Z = 6X + 5Y Tabel 2: Tabel die per optie de winst aangeeft 9

11 We zien nu dat de winst Z maximaal is als we repen A en 0 repen B maken. De winst is op dat punt 2 euro. De stappen die in het voorbeeld doorlopen zijn, vormen samen de methode van lineair programmeren. Deze stappen kunnen altijd op dergelijke vragen toegepast worden. 2.2 Oefenopgaven 1. (a) Maximaliseer de doelfunctie z = x 1 +x 2 met de volgende randvoorwaarden: x 1 + x x 1 + x 2 16 x 1 + x 2 x 1 0, x 2 0 Maak gebruik van een grafiek. (b) Maximaliseer de doelfunctie z = 2x 1 +5x 2 met de volgende randvoorwaarden: x 1 + x 2 6 6x 1 + 2x 2 2 x 1 + x 2 8 x 1 0, x 2 0 Maak gebruik van een grafiek. (c) Minimaliseer de doelfunctie z = x 1 +x 2 met de volgende randvoorwaarden: x 1 + 2x 2 8 x 1 x 2 2x 1 + x 2 10 x 1 0, x 2 0 Maak gebruik van een grafiek. 2. Een bakker maakt twee producten: bruin en wit brood. Voor allebei de broden gebruikt hij alleen maar bloem en water. In de tabel hieronder staat per type brood aangegeven hoeveel bloem en hoeveel water nodig is. Ook de opbrengst van het brood is aangegeven. Product Bloem (kg) Water (liter) Opbrengst (euro) Bruin brood ,- Wit brood ,- Tabel : Tabel behorende bij vraag 2 Omdat de bakker het beste brood wil, gebruikt hij in plaats van kraanwater overheerlijk bronwater. Deze koopt hij in flessen van 1 liter voor 2 euro. De zakken bloem van een kilo kosten euro per stuk. In totaal heeft de bakker 5 euro te besteden. Waar hij ook nog rekening mee moet houden, is dat zijn brood vers het lekkerst is. Daarom wil hij voor de zekerheid niet meer dan 6 broden in totaal bakken. Hoe kan de bakker ervoor zorgen dat hij zoveel mogelijk winst maakt? Hoeveel bruine broden en hoeveel witte broden moet hij dan bakken? Let op! Hij kan alleen maar hele broden bakken! Tip: Probeer zoveel mogelijk de stappen van het voorbeeld uit te werken.. Een boer heeft een mooie boomgaarde van 110 hectaren gekocht. Hij heeft besloten zowel appels als peren te verbouwen. Hij wil besluiten hoeveel oppervlakte hij moet gebruiken appels en hoeveel voor peren. In de volgende tabel staan enkele gegevens die hem kunnen helpen zijn beslissing te maken: 10

12 Fruitsoort Kosten (euro/hectare) Nettowinst (euro/hectare) Manuren (/hectare) Appels Peren Tabel : Tabel behorende bij vraag De boer heeft een startbudget van euro en 5 werknemers. Al zijn werknemers werken 8 uur per dag en zijn 0 dagen beschikbaar. Hoe kan hij zijn boomgaarde het beste inrichten als hij zoveel mogelijk winst wil maken?. Sara heeft morgen een drukke dag: ze heeft een proefwerk wiskunde en een overhoring Engels gepland staan. Vanavond is echter ook een leuk feestje waar ze het liefst zo snel mogelijk naartoe gaat. Daarom is het belangrijk dat ze haar tijd zo efficiënt mogelijk indeelt. Voor het proefwerk wiskunde heeft ze verschillende sommen die ze zou kunnen oefenen. Over elke som doet ze 9 minuten. Voor Engels hebben ze woorden opgekregen om te leren. Voor het perfect leren van een woordje, heeft ze 5 minuten nodig. Sara denkt dat het nodig is dat het aantal sommen dat ze maakt plus twee keer het aantal woordjes dat ze leert minstens 0 is. Verder wil ze dat het aantal woordjes dat ze leert plus twee keer het aantal sommen dat ze maakt minstens 0 is. Als laatste wil ze dat twee keer het aantal sommen dat ze maakt maar maximaal meer is dan het aantal woordjes dat ze leert. Hoe kan Sara ervoor zorgen dat ze zo snel mogelijk naar het feestje kan gaan, zonder te weinig geleerd te hebben? Hoeveel tijd moet ze minimaal besteden aan het leren? 11

13 Optimalisatie van grafen.1 Wat zijn grafen?.1.1 Theorie Voornamelijk voor bedrijven die zich bezig houden met het vervoeren van producten of mensen (pakketbezorgers, NS, waterbedrijven, etc.) kan het nuttig zijn om gebruik te maken van grafen. Om een idee te krijgen van wat grafen zijn, pakken we er eerst een figuur bij: Figuur 1: Voorbeeld van een graaf Een graaf is dus een schematische weergave van een aantal punten (bijvoorbeeld huizen, plaatsen, stations, etc) die met elkaar verbonden worden door lijnen (bijvoorbeeld wegen, leidingen, rails). We kunnen hier ook een formele wiskundige definitie van maken. Definitie: Een graaf G is een paar (K,L) waarbij K een verzameling met een eindig aantal elementen is en L een verzameling van paren uit K. De elementen uit K noemen we knopen van G en de elementen uit L noemen we de lijnen van G. We zullen nu nog enkele begrippen behandelen, die in het vervolg relevant zijn. Definitie: De graad van een knoop k is het aantal keer dat deze k het uiteinde van een lijn is. We noteren de graad van een knoop met gr(k). Voorbeeld: In figuur 1 geldt gr(a) =, gr(b) = 1 en gr(e) =. Definitie: Een pad tussen twee knopen k en m is een rijtje knopen waarvan k het begin en m het einde is (of andersom). Tussen twee opeenvolgende knopen in het rijtje bestaat steeds een lijn en elke lijn mag 12

14 hoogstens één keer voorkomen. Voorbeeld: Twee paden tussen A en G van figuur 1 zijn: A,C,D,E,G en A,C,D,F,H,I,H,E,G. Definitie: Een graaf is samenhangend als er tenminste één pad is tussen elk paar punten. De graaf van figuur 1 is een samenhangende graaf. Als de lijn (B,C) er niet was geweest, was het geen samenhangende graaf geweest: er was dan geen pad mogelijk geweest naar B. We zullen alleen maar werken met samenhangende grafen. Definitie: Een cykel is een pad waarvan het begin- en eindpunt hetzelfde zijn. Voorbeeld: In figuur 1 zien we de cykel D,F,H,G,E,D. Definitie: Een boom is een samenhangende graaf die geen cykels bevat (zie figuur 2) Figuur 2: Voorbeeld van een boom.1.2 Oefenopgaven 1. Bestaat er een samenhangende graaf, zonder lussen en dubbele lijnen, met 8 knopen en 6 lijnen? Hoeveel lijnen zijn er minimaal nodig om de graaf samenhangend te maken? 2. Hoeveel verschillende paden lopen er maximaal tussen elk tweetal knopen in een boom?. De boom in figuur 2 bevat 6 knopen en 5 lijnen. Als je nog een lijn toe zou voegen, ontstaat er hoe dan ook een cykel. In het algemeen geldt dat een graaf met n knopen en minstens n lijnen altijd een cykel bevat. Dit geeft de stelling: een boom met n knopen heeft n 1 lijnen. Deze stelling kan ook formeel bewezen worden. Doorloop hiervoor de volgende stappen: Laat zien dat de stelling geldt als n = 1 Neem aan dat de stelling geldt voor een zekere (hoge waarde van) n. daadwerkelijk getal in te vullen! Bewijs nu met behulp van deze aanname, dat de stelling ook geldt voor n + 1 Let op: je hoeft geen 1

15 Deze vorm van bewijzen wordt inductie genoemd. Als je de laatste stap succesvol hebt gedaan, heb je bewezen dat de stelling geldt voor alle natuurlijke getallen.. Bekijk een graaf met 5 knopen. Stel dat de graden van de knopen als volgt zijn:,2,2,1,1. Bevat deze graaf, zonder lussen en dubbele lijnen, dan altijd een cykel? 1

16 .2 Dijkstra s kortstepad-algoritme.2.1 Theorie Definitie: Een algoritme is een rijtje stappen dat je uit kan voeren om een bepaalde uitkomst te krijgen. Binnen de grafentheorie zijn er veel algoritmes te vinden, waarvan enkele helpen bij optimalisatieproblemen. Eén zo n algortime is Dijkstra s kortstepad-algoritme. Dijkstra s kortstepad-algoritme kan bijvoorbeeld helpen om de kortste route voor een bezorger te bepalen. Het idee van dit algoritme is dat we de knopen zogenaamde labels geven en daarbij telkens het kleinste label kiezen. We maken daarbij tijdelijke (lichtgrijze) en permanente (donkergrijze) labels. Een tijdelijk label geeft de tot dan toe kortste afstand van A tot die knoop. De stappen die we erna maken, kunnen ervoor zorgen dat dit tijdelijke label nog kleiner wordt. We maken een tijdelijk label permanent als we hebben vastgesteld dat er geen korter pad naar die knoop bestaat. Voor we het algoritme in concrete stappen gaan beschrijven, zijn eerst nog twee definities van belang. Definitie: Twee knopen heten buren als ze met elkaar verbonden zijn door ten minste één lijn. Definitie: Een graaf heet een gewogen graaf als aan elke lijn een gewicht is toegevoegd: een bepaald getal dat de waarde van die lijn weergeeft (bijvoorbeeld een afstand). Het daadwerkelijke algoritme zullen we behandelen aan de hand van een voorbeeldvraag. Voorbeeld: Figuur : Schematische weergave pakketbezorger Een pakketbezorger moet een pakketje afleveren. Hieronder in figuur is de situatie schematisch weergegeven in een gewogen graaf. De bezorger vertrekt vanaf knoop A en moet het pakketje afleveren bij knoop G. De knopen zijn kruispunten en de getallen langs de lijnen geven de afstand van dat deel aan. Vraag: Om benzine te besparen, wil hij de kortst mogelijke route nemen. de afstand hiervan? Wat is deze route en wat is 15

17 Oplossing: 1. Geef knoop A het permamente label 0 2. Bekijk alle buren van knoop A. In ons voorbeeld zijn dat B en C. Deze buren krijgen een tijdelijk label met de waarde van de lijn tussen A en deze buur. Kies van deze tijdelijke labels het kleinste label en maak deze permanent. Indien er meerdere labels het kleinst zijn, mag je één van deze kleinste labels kiezen. In ons voorbeeld is het label van B met een waarde van het kleinste, dus deze wordt permanent gemaakt (zie figuur ). Figuur : Figuur behorende bij stap 2 van de oplossing 16

18 . Kijk nu naar de buren van B die nog geen permanent label hebben. In ons voorbeeld zijn dat C, D en E. Geef deze knopen nieuwe tijdelijke labels. De waarde van een nieuw label kan op twee manieren bepaald worden: De knoop houdt de waarde van een tijdelijk label dat hij eerder gekregen heeft. De knoop krijgt de waarde van het huidige label plus de waarde van de lijn die hem met knoop B verbindt. Er geldt dat altijd het minimum van deze twee gekozen moet worden. Voor knoop C moet het nieuwe tijdelijke label dus het minimum van + 2 = 5 en 6 worden. Kortom, C krijgt het tijdelijke label 5. Als er knopen zijn die buur zijn van A, maar niet van B (in dit geval zijn dat er geen), behouden deze hun tijdelijke label. Maak nu weer het kleinste tijdelijke label permanent (dit kan dus ook een eerder aangemaakt tijdelijk label zijn). In dit geval is dat C (zie figuur 5). Figuur 5: Figuur behorende bij stap van de oplossing. Herhaal stap : Geef nieuwe tijdelijke labels aan de buren van C en maak het kleinste tijdelijke label in de graaf permanent (zie figuur 6). 5. Blijf stap herhalen totdat alle knopen, inclusief G, een permanent label hebben. Dit label is dan de totale lengte van het kortste pad van A naar G. De daadwerkelijke route is nu wellicht nog niet meteen duidelijk. In de figuren, 5 en 6 is telkens de tot dan toe kortste route vetgedrukt. Echter kan de route na het permanent maken van een nieuwe knoop weer veranderen. Daarom kan het duidelijker zijn om het in een tabel bij te houden (zie tabel 5). Bedenk hierbij goed per label hoe hij aan zijn permanente waarde is gekomen (dus welke lijnen daarvoor gebruikt zijn). Soms zijn er meerdere oplossingen mogelijk. Als de bezorger bijvoorbeeld de kortste route van A naar D zou willen bepalen, dan zouden zowel het pad A,B,D als A,B,C,E,D met een lengte van 10 een oplossing zijn. Bij oefenopgave 1 mag je zelf de laatste stappen uitvoeren voor dit voorbeeld en daarmee de kortste route vinden voor de pakketbezorger. 17

19 Figuur 6: Figuur behorende bij stap van de oplossing Stap Tijdelijke labels Permanent gemaakt Pad 1 A,0 A 2 C,6 B, AB E,12 D,10 C,5 ABC F,11 D,10 E,7 ABCE Tabel 5: Tabel behorende bij voorbeeldvraag.2.2 Oefenopgaven 1. Maak het voorbeeld af. Vind het kortste pad en de bijbehorende lengte van A naar G. 18

20 2. Vind van onderstaande graaf het kortste pad en de bijbehorende lengte van A naar H. A B C D E F G H Vind in onderstaande graaf het kortste pad van A naar M. A B C D E F G H I J K L M

21 . Maximale stroom, minimale snede..1 Theorie In dit hoofdstuk zullen we ons gaan toespitsen op een speciaal type grafen. Definitie: Een gerichte graaf is een graaf waarbij de lijnen een bepaalde richting hebben. Definitie: Een (transport) netwerk is een gerichte graaf met de volgende eigenschappen: Er is een unieke knoop waarvoor geldt dat er geen lijnen naartoe gaan. Deze knoop heet de bron. Er is een unieke knoop waarvoor geldt dat er geen lijnen uit gaan. Deze knoop heet de put. De graaf is een gewogen graaf. Daarbij staat elke gewicht voor de capaciteit van de lijn: de maximale hoeveelheid die door die lijn kan gaan. Voor een voorbeeld van een transport netwerk, zie figuur 7. Figuur 7: Schematische weergave van een netwerk. Voor elke lijn is de capaciteit gegeven. Definitie: Een stroom van een graaf is de hoeveelheid die daadwerkelijk door de graaf gaat. Een stroom moet aan de volgende eigenschappen voldoen: De stroom moet in elke lijn kleiner of gelijk zijn aan de capaciteit. In elke knoop (behalve de bron en de put) moet de hoeveelheid die er naartoe stroomt hetzelfde zijn als de hoeveelheid die er vanaf stroomt. Er kan zich dus geen water onderweg ophopen. In elke lijn moet de stroomrichting gelijk zijn aan de voorgeschreven richting. Een mogelijke stroom door het netwerk van figuur 7 is gegeven in figuur 8. Je kunt zelf nagaan dat aan alle eisen van een stroom voldaan wordt. Ook nu gaan we ons weer richten op optimalisatie van dergelijke grafen. Voor waterbedrijven, afvoerbedrijven, etc. is het namelijk belangrijk hun buizen zo efficiënt mogelijk te gebruiken. Aan de hand van het voorbeeld van figuur 7 gaan we laten zien hoe de maximale stroom bepaald kan worden. 20

22 Figuur 8: Schematische weergave van een mogelijke stroom door het netwerk Voorbeeld: Een waterbedrijf wil zoveel mogelijk water naar een woonwijk voeren. Neem aan dat de capaciteit zoals gegeven in figuur 7 aangeeft hoeveel water maximaal per minuut door de betreffende buis gevoerd kan worden. Vraag: Hoeveel water kan er per minuut maximaal door het netwerk stromen? Oplossing: 1. Laten we onze stroom van figuur 8 als uitgangspunt nemen. Deze stroom benut nog niet de volle capaciteit van de kanalen (zie figuur 9). Figuur 9: Schematische weergave van de overgebleven capaciteit 2. Benut de resterende capaciteit door een stroomvermeerderend pad van de bron naar de put te maken (rekening houdend met de eisen van een stroom). Een voorbeeld van zo n stroomvermeerderend pad 21

23 is gegeven in figuur 10. Deze extra stroom kan je optellen bij de eerdere stroom zonder de capaciteit te overschrijden. Figuur 10: Voorbeeld van een stroomvermeerderend pad. Blijf op deze manier doorgaan met stroomvermeerderende paden zoeken totdat er geen meer te vinden zijn.. Als er op deze manier geen stroomvermeerderende paden meer te vinden zijn, kan het nog wél zo zijn dat we de stroom kunnen vermeerderen. Laten we hiervoor een voorbeeld erbij pakken. Figuur 11: Links: de capaciteit. Midden: mogelijke stroom. Rechts: resterende capaciteit We zien hier een eenvoudig netwerk. In het middelste figuur is een mogelijke stroom getekend met een waarde van 5. Als we kijken naar de resterende capaciteit, de meest rechtse afbeelding, zien we dat beide kanten met capaciteit al verzadigd zijn. Er kan hier dus niet meer doorheen stromen dan dat nu al gebeurt. Kortom: er kan geen stroomvermeerderend pad meer gevonden worden. Toch is er eenvoudig een stroom te vinden met een waarde van 6 (zie je hoe?). De oorzaak hiervan is dat de stroom met waarde 1 door de lijn (A,B) niet slim is. Om dit aan te passen kunnen we een stroom met waarde 1 laten lopen door het pad: bron,b,a,put. Op de lijn (B,A) gaat dit tegen de richting in. Het gevolg is dat we nu op dit pad een stroom van 1 met de richting mee hebben en een stroom van 1 tegen de richting in. Dit heft elkaar op. Bij de lijnen (bron,a) en (B,put) gaat de stroom met de richting mee, en bij deze stroom mag nu 1 erbij geteld worden. Nu hebben we de maximale stroom van 6 gevonden. 22

24 Kortom: we moeten ook op zoek gaan naar stroomvermeerderende paden die gedeeltelijk tegen de richting ingaan. Bij de mee-pijlen wordt dan extra stroom opgeteld, en bij de tegen-pijlen wordt de extra stroom afgehaald. Bij oefenopgave 1 mag je zelf deze stap uitvoeren voor de voorbeeldvraag van het waterbedrijf. 5. Controleer dat je daadwerkelijk alle stroomvermeerderende paden hebt gevonden. Hierbij kunnen twee dingen helpen. Ten eerste is er geen stroomvermeerderend pad meer te vinden als elk pad van de bron naar de put ofwel een lijn doorloopt in de richting van de pijl waar de stroom al gelijk is aan de capaciteit, ofwel een lijn doorloopt tegen de richting van de pijl in waar de stroom al 0 is. Voor het tweede hulpmiddel moeten we eerst een belangrijke definitie en stelling behandelen. Definitie: Een snede in een netwerk is een stel lijnen dat na verwijdering geen gericht pad van de bron naar de put in de graaf overlaat. De grootte van een snede is de som van de capaciteiten van de lijnen in deze snede. Als we kijken naar het voorbeeld weergegeven in figuur 11, zien we dat een mogelijke snede bestaat uit de lijnen (bron,a) en (B,put). De grootte van deze snede is 6. Stelling: In elk netwerk geldt: de maximale stroom is gelijk aan de minimale snede (de maximale stroom-minimale snedestelling). Het officiële bewijs hiervoor is wat abstract, maar intuïtief is het wellicht wel duidelijk. De minimale snede kijkt namelijk naar hoeveel stroom echt mogelijk is door het netwerk en dat is precies de maximale stroom. Het nuttige hiervan is dat je kunt controleren of je de maximale stroom hebt door te kijken of je een snede van dezelfde grootte kan vinden. Als jouw stroom kleiner is dan de kleinst mogelijke snede, dan is er nog een stroomvermeerderend pad te vinden. Ook de minimale snede van de voorbeeldvraag mag bekeken worden bij oefenopgave 1. We hebben gezien dat de richting van de lijnen erg handig is bij het oplossen van dergelijke optimalisatieproblemen. Toch kunnen we ook bij ongerichte grafen bovenstaande stappen doorlopen. De simpele stap die we dan extra moeten maken, is elke lijn in de graaf te vervangen door twee gerichte lijnen (één in elke richting). Beiden krijgen de gegeven capaciteit. In het voorbeeld hieronder zie je hoe dat in zijn werk gaat. Bij het zoeken van de maximale stroom, zul je zien dat altijd maar één van de twee richtingen benut wordt (waarom?). Figuur 12: Links: een ongerichte graaf. Rechts: een gerichte graaf 2

25 ..2 Oefenopgaven 1. Maak de voorbeeldvraag over het waterbedrijf af: vind de maximale stroom. Wat is de grootte van deze stroom? Geef tevens de minimale snede en de grootte hiervan. 2. In onderstaande graaf hebben alle lijnen een capaciteit van 15. (a) De getallen die langs de lijnen staan geven de hoeveelheid water door die lijn aan. Bij sommige lijnen staat echter een letter in plaats van een cijfer. Welke waarden moeten deze letters krijgen om ervoor te zorgen dat er een geldige stroom door dit netwerk loopt? (b) Wat is de grootte van deze stroom? (c) Vind 5 snedes met een grootte van 5. bron 1 A F r 11 t q p C E B D s G x 2 y H 1 n put. Vind van onderstaande graaf de maximale stroom en de minimale snede. Wat is de grootte van deze stroom en snede? 2

26 bron S R Q P T U put Vind van onderstaande graaf de maximale stroom van de bron A naar de put G en de minimale snede. Geef van de maximale stroom ook de richting weer. Wat is de grootte van deze stroom en de minimale snede? A B C D E F G H