Intro. Ludolphs π. Grieken. Motivatie. Conclusie

Transcriptie

1 1

2 2

3 3 Van Ceulenjaar Meester Ludolph

4 4

5 5 Van Cirkelkwadraturen Recht en Krom Steven Wepster Departement Wiskunde Universiteit Utrecht NWD, 5 Feb 2010

6 6

7 7 Ludolph van Ceulen Hildesheim 1610 Leiden Scherm- en reken-meester in Delft en Leiden Later docent aan de Duytsche Mathematique Vooral bekend door zijn π -benaderingen

8 8 π-benaderingen Vanden Circkel cijfers Fondamenten grafsteen Jamshīd al-kāshī Adriaan v. Roomen François Viète

9 9 π in Vanden Circkel Principe: π insluiten tussen in- en omgeschreven veelhoeken (met de nadruk op veel) door herhaald verdubbelen van het aantal hoeken

10 10 Verdubbelen Gegeven zijde CE = i n van n-hoek Gevraagd zijde BC = i 2n van 2n-hoek C A D B E

11 10 Verdubbelen Gegeven zijde CE = i n van n-hoek Gevraagd zijde BC = i 2n van 2n-hoek C BC 2 = CD 2 + BD 2 = CD 2 + (AB AD) 2 = CD 2 + (AB AC 2 CD 2 ) 2 A D B E

12 10 Verdubbelen Gegeven zijde CE = i n van n-hoek Gevraagd zijde BC = i 2n van 2n-hoek C BC 2 = CD 2 + BD 2 = CD 2 + (AB AD) 2 = CD 2 + (AB AC 2 CD 2 ) 2 Invullen: A D B BC = i 2n CD = 1 2 i n AB = AC = 1 E

13 Verdubbelen Gegeven zijde CE = i n van n-hoek Gevraagd zijde BC = i 2n van 2n-hoek C BC 2 = CD 2 + BD 2 = CD 2 + (AB AD) 2 = CD 2 + (AB AC 2 CD 2 ) 2 Invullen: A D B BC = i 2n CD = 1 2 i n AB = AC = 1 E Geeft (na wat gemanipuleer): i 2n = 2 4 in 2 10

14 11 Ingeschreven 6-12-etc-hoek i 2n = 2 4 i 2 n toepassen: i 6 = 1 i 12 = 2 3 i 24 = i 48 = i 96 = dus π > 48i 96 >

15 12 Van in- naar omgeschreven veelhoek Gegeven zijde CE = i n van ingeschreven n-hoek Gevraagd zijde FG = u n van omgeschreven n-hoek C F A D B E G

16 12 Van in- naar omgeschreven veelhoek Gegeven zijde CE = i n van ingeschreven n-hoek Gevraagd zijde FG = u n van omgeschreven n-hoek C F Gelijkvormigheid: FG : AB = CE : AD A D B E G

17 12 Van in- naar omgeschreven veelhoek Gegeven zijde CE = i n van ingeschreven n-hoek Gevraagd zijde FG = u n van omgeschreven n-hoek C F Gelijkvormigheid: FG : AB = CE : AD Pythagoras: A D B AD = AC 2 CD 2 = 1 ( 1 2 i n) 2 4 in 2 = 1 2 E G

18 12 Van in- naar omgeschreven veelhoek Gegeven zijde CE = i n van ingeschreven n-hoek Gevraagd zijde FG = u n van omgeschreven n-hoek C F Gelijkvormigheid: FG : AB = CE : AD Pythagoras: A D B AD = AC 2 CD 2 = 1 ( 1 2 i n) 2 4 in 2 = 1 2 E G dus: u n = 2i n 4 i 2 n

19 13 Cirkel insluiten u n = 2in 4 i 2 n toegepast op de ingeschreven 96-hoek i 96 = u 96 = waaruit volgt: < 48i 96 < π < 48u 96 < Archimedes (250 vchr): < π < 3 1 7

20 14 Nog even doorrekenen... Van Ceulen begint met een 15-hoek en verdubbelt 31 keer. Dan heeft hij de zijde van een in- en om-geschreven hoek en hij concludeert: Als den Diameter eenes Circkels doet 1 / dan moet syn omloop meer zijn als ende min als Die lust heeft can naerder comen...

21 15

22 16 Uitstapje naar de Griekse oudheid 3 klassieke problemen: Gegeven een hoek: verdeel in 3 gelijke hoeken Gegeven een kubus: maak kubus met dubbel volume Gegeven een cirkel: maak vierkant met gelijk oppervlak

23 17 Kwadratuur rectificatie Het was al bekend dat cirkelopp = 1 2 omtrek straal.

24 17 Kwadratuur rectificatie Het was al bekend dat cirkelopp = 1 2 omtrek straal. Ook bekend: Gegeven een driehoek: maak een vierkant met gelijk opp.

25 17 Kwadratuur rectificatie Het was al bekend dat cirkelopp = 1 2 omtrek straal. Ook bekend: Gegeven een driehoek: maak een vierkant met gelijk opp. Dus vierkant-constructie is gelijkwaardig met omtrek-constructie.

26 18 Quadratrix D Deinostratos (ca. 335 vchr) had het probleem opgelost A P B

27 18 Quadratrix D Deinostratos (ca. 335 vchr) had het probleem opgelost boogdb : AB = AB : AP en dus AP = 2 π A P B

28 19

29 20 Van Ceulens motivatie I Simon van der Eycke 1584: π = ( )

30 20 Van Ceulens motivatie I Simon van der Eycke 1584: π = ( ) Adriaan Anthoniszoon: onzin! π afgeleid uit < π <

31 20 Van Ceulens motivatie I Simon van der Eycke 1584: π = ( ) Adriaan Anthoniszoon: onzin! π afgeleid uit < π < Hij betrekt Van Ceulen erbij. Die laat zien: De omgeschreven 192-hoek is al kleiner dan Vander Eyckes cirkel!

32 21 Van Ceulens motivatie II Vander Eycke probeert het opnieuw (1586) met een meetkundige constructie die neerkomt op: π =

33 21 Van Ceulens motivatie II Vander Eycke probeert het opnieuw (1586) met een meetkundige constructie die neerkomt op: π = Dat is nog slechter! Meer versuft dan vernuft, oordeelt Van Ceulen.

34 21 Van Ceulens motivatie II Vander Eycke probeert het opnieuw (1586) met een meetkundige constructie die neerkomt op: π = Dat is nog slechter! Meer versuft dan vernuft, oordeelt Van Ceulen. Kort daarna verdiept hij zich in Archimedes.

35 22 Wat bezielt Vander Eycke? Simon vander Eycke = Du Chesne Geboren in Dôle, Bourgondië Rekenmeester te Delft Bezig met cirkelkwadratuur 1595 Verkrijgt octrooi inzake lengtevinding (=geografische lengte op zee) 1603 Verkrijgt octrooi inzake windmolens

36 22 Wat bezielt Vander Eycke? Simon vander Eycke = Du Chesne Geboren in Dôle, Bourgondië Rekenmeester te Delft Bezig met cirkelkwadratuur 1595 Verkrijgt octrooi inzake lengtevinding (=geografische lengte op zee) 1603 Verkrijgt octrooi inzake windmolens... Hij heeft duidelijk veel belangstelling voor grote problemen

37 22 Wat bezielt Vander Eycke? Simon vander Eycke = Du Chesne Geboren in Dôle, Bourgondië Rekenmeester te Delft Bezig met cirkelkwadratuur 1595 Verkrijgt octrooi inzake lengtevinding (=geografische lengte op zee) 1603 Verkrijgt octrooi inzake windmolens... Hij heeft duidelijk veel belangstelling voor grote problemen Overigens: Antoniszoon en anderen brengen in verband met Nikolaus Cusanus...

38 23 Nikolaus Cusanus Nikolaas van Cusa (aan de Moezel) Filosoof en theoloog; kardinaal Heeft grote belangstelling voor het oneindige

39 23 Nikolaus Cusanus Nikolaas van Cusa (aan de Moezel) Filosoof en theoloog; kardinaal Heeft grote belangstelling voor het oneindige Produceert een stortvloed aan cirkelkwadraturen (waarvan er veel al waren weerlegd)

40 24 Een kwadratuur van Cusanus A E B G F D C Kies G zo dat AG = 2 DF

41 24 Een kwadratuur van Cusanus A E B G F D C Kies G zo dat AG = 2 DF Verleng CB zo dat DE = 4 DF

42 24 Een kwadratuur van Cusanus A E B G F D C Kies G zo dat AG = 2 DF Verleng CB zo dat DE = 4 DF Bewering: ED = boog BAC EAD = opp. BACD

43 24 Een kwadratuur van Cusanus A E B G F D C Kies G zo dat AG = 2 DF Verleng CB zo dat DE = 4 DF Bewering: ED = boog BAC EAD = opp. BACD Enig rekenwerk laat zien dat ED = 320 8

44 25 Etcetera Van Ceulen weerlegt nog een aantal andere exacte kwadraturen: Cusanus, Bouvelle, Barbel, Reimers, Scaliger,.... Steeds is zijn argument dat de valse π-waarden buiten zorgvuldig bepaalde grenzen liggen.

45 26 Cirkelquadratuur was een populaire liefhebberij, waarbij vaak het verschil tussen exact en benadering vergeten werd.

46 26 Cirkelquadratuur was een populaire liefhebberij, waarbij vaak het verschil tussen exact en benadering vergeten werd. Van Ceulen treedt op tegen foutieve redeneringen, als de waakhond der wiskunde.

47 26 Cirkelquadratuur was een populaire liefhebberij, waarbij vaak het verschil tussen exact en benadering vergeten werd. Van Ceulen treedt op tegen foutieve redeneringen, als de waakhond der wiskunde. π insluiten tussen nauwe grenzen is Ludolphs wapen tegen onwisse wiskonstenaars en andere dolenden.