Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, exponentiële functies en logaritmen Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen A. Ontbinden in factoren 1. Bij het oplossen van een tweedegraads vergelijking reken je in feite de nulpunten uit; o9ewel de x- waarden van de coördinaten van de snijpunten met de x-as. De grafiek hiervan ziet er zo uit: y = x 2 7x +12 (3, 0) (, 0) De oplossing zou dus de waarden 3 en moeten opleveren, want dat zijn de x-waarden van de coördinaten van de snijpunten met de x-as. De y-waarden van deze coördinaten zijn overigens alijd 0. 2. Nu zijn er meerdere manieren om een tweedegraads vergelijking op te lossen. In dit deel beginnen we met de methode ontbinden in factoren. Ontbinden in factoren is het anders schrijven van de vergelijking, zodat je in feite meteen de x-waarden kunt herkennen. Ontbinden in factoren is trouwens niet alijd mogelijk; de vergelijking moet zich er voor lenen. Daar kom je achter door te proberen. 3. We gaan uit van een tweedegraads vergelijking met deze vorm: y = ax 2 + bx + c. Op de plek van a, b en c komen getallen te staan, bijvoorbeeld: a=3, b=6 en c= 9 a=2, b= en c= 6 a=1, b=5 en c=6 y = 3x 2 + 6x 9 y = 2x 2 x 6. Bij ontbinden in factoren is het sowieso handig dat a=1. Dus vooraan in de vergelijking staat alleen:. Daarna kijken we naar de getallen b en c. De grote vraag is nu: Kun je twee getallen vinden die keer elkaar c zijn; en plus elkaar b? x 2 2017 H.J. Riksen!1
We zien dat b = 5 en c = 6. Vraag: Kun je twee getallen vinden die keer elkaar 6 zijn; en plus elkaar 5? Ja hoor, dat zijn de getallen 2 en 3; want: 2 3 = 6 en 2 + 3 = 5. We schrijven de vergelijking nu anders op: = (x + 2)(x + 3) Hier staat dus precies hetzelfde. Want als je de haakjes weer zou wegwerken, krijg je: 3 (x + 2)(x + 3) 1 2 1 2 3 = x x + x 3 + 2 x + 2 3 = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6 5. Wat heb je er nou aan dat je de vergelijking anders schrij9? Dat gaan we zo zien. Eerst even oefenen. Zoek bij de volgende vergelijkingen steeds de juiste getallen en schrijf de vergelijking dan anders. a) y = x 2 + 8x +12 = (x + 6)(x + 2) want: 6 2 = 12 en 6 + 2 = 8. b) y = x 2 + 7x + 6 = (x + 6)(x +1) want: 6 1= 6 en 6 +1= 7. c) y = x 2 +11x +18 = (x + 9)(x + 2) d) y = x 2 +12x + 20 = e) y = x 2 +16x +15 = 6. En nu ook met negaieve getallen: want:. a) y = x 2 + 5x 6 = (x + 6)(x 1) want: 6 1= 6 en 6 1= 5. b) y = x 2 + 2x 8 = (x + )(x 2) c) y = x 2 2x 8 = d) y = x 2 + 6x 16 = e) y = x 2 2x 15 = want:. 7. Nu gaan we de nulpunten vinden. Daarvoor moeten we de vergelijking gelijkstellen aan 0: ax 2 + bx + c = 0. Vervolgens schrijven we de vergelijking anders en stellen dat ook gelijk aan 0. x 2 + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 Nu hebben we een keersom waar 0 uitkomt, namelijk (x + 2) (x + 3) = 0. En dat betekent dat minimaal één van beide factoren 0 moet zijn, dus: (x + 2) = 0 of (x + 3) = 0 Nu weten we meteen ook wat x kan zijn, namelijk 2 of 3. Immers: ( 2 + 2) = 0 of ( 3+ 3) = 0 2017 H.J. Riksen!2
8. Samenvaeend kijken we naar de volgende voorbeelden waarbij we de nulpunten vinden door middel van ontbinden in factoren: a) y = x 2 + 8x +12 x 2 + 8x +12 = 0 (x + 6)(x + 2) = 0 (x + 6) = 0 of (x + 2) = 0 x = 6 of x = 2 nulpunten : ( 6,0) en ( 2,0) b) y = x 2 + 5x 6 x 2 + 5x 6 = 0 (x + 6)(x 1) = 0 (x + 6) = 0 of (x 1) = 0 x = 6 of x = 1 nulpunten : ( 6,0) en (1,0) 9. Oefeningen: 1. y = x 2 + x + 2. y = x 2 + 7x + 12 3. y = x 2 + 6x + 9. y = x 2 + 7x + 10 5. 6. y = x 2 + 7x + 6 7. y = x 2 + x 12 8. y = x 2 + 3x 10 9. y = x 2 x 6 10. y = x 2 8x + 7 11. 12. y = x 2 + 11x + 28 13. y = x 2 19x + 60 1. y = x 2 + 12x + 32 15. y = x 2 + 16x + 8 16. y = x 2 8x + 15 17. y = x 2 x 56 18. y = x 2 + 9x + 20 19. y = x 2 + 18x + 32 20. y = x 2 15x + 5 21. y = x 2 + 12x + 35 22. y = x 2 + 23x + 60 23. y = x 2 + 3x 70 2. y = x 2 10x + 21 25. y = x 2 x 72 2017 H.J. Riksen!3
B. De abc-formule Soms is ontbinden in factoren niet mogelijk, omdat er geen twee getallen bestaan die keer elkaar c zijn; en plus elkaar b. In dat geval kun je gebruik maken van de abc-formule om de nulpunten te vinden. Maar voordat we daar aan toekomen eerst iets over de discriminant. Discriminant De discriminant is een stukje uit de abc-formule waarmee je kunt bepalen of een vergelijking wel nulpunten hee9, en zo ja, hoeveel. Dat is handig, want als een vergelijking geen nulpunten hee9, hoef je dus niet verder te rekenen. D > 0 twee nulpunten D = 0 één nulpunt D < 0 geen nulpunten Discriminant: b 2 ac Bereken van de onderstaande parabolen de Discriminant en geef aan of de parabool één nulpunt, twee nulpunten of géén nulpunten hee9. a) y = 2x 2 + x + 2 b) y = 2x 2 +x 6 c) y = 2x 2 5x + 5 d) y = 3x 2 3x 1 e) y = 2x 2 7x 8 f) y = 2x 2 + 8x 8 g) y = 10x 2 + 5x 1 h) y = 3x 2 3x 2 i) y = 5x 2 20x + 20 abc-formule De abc-formule: = b ± b2 ac 2a y = 2x 2 + 8x + 6 In deze vergelijking geldt: a=2, b=8 en c=6. Als je deze waarden invult in de abc-formule, krijg je: = b ± b2 ac 2a Dit verder uitwerken gee9: = 8 ± 6 8 nu splitsen in x 1 en x 2: x 1 = 8 + = 8 ± 82 2 6 2 2 De nulpunten zijn dus: ( 1, 0) en ( 3, 0). = 8 ± 16 = 1 en x 2 = 8 = 8 ± = 3 2017 H.J. Riksen!
Rekenmachine Let op bij het gebruik van de rekenmachine en de abc-formule. Er staat zowel een wortelteken als een breukstreep in de formule. Je moet dus zorgvuldig met haakjes werken. Bovendien moet je soms het kwadraat van een negaief getal uitrekenen. Ook daarvoor moet je haakjes gebruiken. van de abc-formule in de rekenmachine: Gegeven is de vergelijking: y = 2x 2 12x +16 ( ( )) 2 2 In de rekenmachine ziet dat er zo uit: 12 + ( 12) 2 2 16. Hierna vervang je de + door een ; zo krijg je de tweede x-waarde. ( ) Oefeningen Bereken van de onderstaande parabolen de nulpunten met behulp van de abc-formule. a) y = 2x 2 + 10x + 8 b) y = 2x 2 +x 16 c) y = 2x 2 20x d) y = 2x 2 12x e) y = 2x 2 12x + 16 f) y = 3x 2 6x g) y = 3x 2 + 18x +2 h) y = 3x 2 + 30x + 8 i) y = 6x 2 + 12x + 8 j) y = 6x 2 12x + 8 k) y = 3x 2 + 18x 2 l) y = x 2 + 2x m) y = x 2 + 2x + 32 n) y = 5x 2 + 30x 0 o) y = 5x 2 10x 0 p) y = 5x 2 10x 0 q) y = x 2 8x + 32 r) y = x 2 +8x + 32 s) y = 7x 2 + 1x t) y = 7x 2 28 2017 H.J. Riksen!5