ONTWERP VAN EEN LESSENSERIE VOOR KLAS 2 VWO VANUIT EEN GRAFISCH-ALGEBRAISCH PERSPECTIEF PAPER 1: ONTWERPPLAN ERNST WACKWITZ Maart 2012 Interfacultaire Lerarenopleiding Universiteit van Amsterdam Begeleiders: Lidy Elzinga en Mariska Min Verslag van een door Ernst Wackwitz (10143742) ontworpen en uitgevoerde lessenserie voor 2 klassen 2VWO van het College Hageveld te Heemstede. De lessen vormen samen een blok van 5 weken waarin kwadratische vergelijkingen langs grafisch-algebraïsche weg in een gestructureerd schema worden gegoten. Trefwoorden: Wiskunde, kwadratisch, vergelijking, Geogebra, grafisch Ernst Wackwitz (2012). Lessenserie voor kwadratische vergelijkingen klas 2VWO. Amsterdam: ILO UVA
2 Ernst Wackwitz Inhoudsopgave Inleiding. 3 Beschrijving van het probleem. 3 Onderbouwing van het probleem.. 5 Verklaring van het probleem. 6 Oplossing van het probleem.. 7 Resultaat: Ontwerphypothese. 8 Ontwerpregels. 8 Onderzoeksvragen 9 Planning van de lessen.. 9 Planning ontwerponderzoek 11 Bronnen.. 12
Kwadratische vergelijkingen 3 Inleiding Sinds anderhalf jaar geef ik les aan College Hageveld in Heemstede. Na 25 jaar in het bedrijfsleven heb ik het mooie vak Wiskunde weer opgepakt. Met veel plezier heb ik vorig schooljaar geprobeerd leerlingen uit de klassen 2, 4 (Wiskunde AC) en 5 (zowel Wiskunde A als B) zo veel mogelijk wiskundige kennis bij te brengen. Dit schooljaar geef ik les aan 3 brugklassen, 2 tweede klassen, een Wiskunde 4AC klas en een Wiskunde 5B klas. In de tweede helft van het vorig schooljaar ben ik gestart met de opleiding aan het ILO; dat betrof vooral de algemene didactiek, pedagogiek etc. Vakdidactiek was om roostertechnische redenen nog niet mogelijk. Dat heb ik het eerste semester van dit schooljaar opgepakt. Mijn eerste jaar werd op veel gebieden gekenmerkt door naïviteit. Steeds weer nadenken over wat er gebeurt in de lessen, waardoor dat komt en hoe daarvan te leren. Zo ook in periode 5 van het vorig schooljaar (op het College Hageveld is het schooljaar verdeeld in 6 periodes, die ieder afgesloten worden met een proefwerkweek). Op het menu van klas 2 stond Hoofdstuk 7 uit Getal en Ruimte 2VWO: Kwadratische vergelijkingen (Reichard et al. (2005)). Als beginnend docent begin je natuurlijk voor in het hoofdstuk.. Beschrijving van het probleem Dat hoofdstuk begon met de paragraaf 7.1 Buiten haakjes halen. Leerlingen leren daar een vaardigheid (ontbinden in factoren) die absoluut noodzakelijk is voor hun wiskundige toekomst. Alleen: het boek vertelt niet waarom je dit moet leren. Dat leidt bij leerlingen tot de reactie: Maar Ernst, in periode 1 hebben we geleerd hoe we de haakjes moesten wegwerken en nu moeten we ze er weer instoppen; dat is toch onzin? En vanuit hun standpunt en beleving hebben ze daar groot gelijk in. Pas later in het hoofdstuk krijgen de leerlingen te horen waarom ze dit moeten kunnen. Aan het einde van de periode was ik tot de conclusie gekomen dat dit hoofdstuk in een andere volgorde behandeld kan (of moet) worden. Op dat moment (mei 2011) waren mijn voornaamste bezwaren: - De volgorde waarin de stof wordt behandeld - Het ontbreken van een gestructureerde aanpak waarmee leerlingen een kwadratische vergelijking konden typeren; deze typering zou de ingang zijn tot een schema dat de volgende elementen omvatte: o Algemene vorm van dit type kwadratische vergelijking o De beste oplossingsmethode o De valkuilen die bij deze oplossingsmethode behoren
4 Ernst Wackwitz De opvatting dat er veel te verbeteren valt aan de aanpak van dit onderwerp is alleen nog maar versterkt door het lezen van de katernen Denken over wiskunde leren en onderwijzen (van Streun (2008)) en Vergelijkingen vergelijken (Drijvers & Kop (2008)) uit het Handboek Didactiek van de Wiskunde. De verschillende representatievormen van een vergelijking komen wel aan bod, maar in een aparte paragrafen en dus niet geïntegreerd. Ook ICT wordt niet of nauwelijks gebruikt. Het hoofdstuk schiet m.i. op de volgende terreinen tekort: 1) Het begint met twee paragrafen gericht op reproductieve vaardigheden als factoren buiten haakjes halen en ontbinden in factoren aan te leren; nergens wordt verduidelijkt waarom dit nodig is. Vervolgens worden deze vaardigheden ingezet voor het oplossen van vergelijkingen (in de opzet van A B = 0) en het gebruiken van vergelijkingen om praktijkproblemen op te lossen. In termen van van Streun (2008) komen de Weten dat, Weten hoe en Weten waarom activiteiten wel allemaal aan bod, maar niet parallel. 2) Tenslotte volgen twee paragrafen ( x 2 = getal en Vergelijkingen en grafieken die er voor de leerlingen een beetje bijhangen. Het verband met de voorgaande stof wordt onvoldoende duidelijk gemaakt. Jammer omdat deze twee onderwerpen heel krachtig kunnen zijn voor het begrip van de materie. 3) Nergens besteedt het hoofdstuk aandacht aan de expliciete ontwikkeling van een schema van kwadratische vergelijkingen (zoals in Drijvers & Kop (2008) gepropageerd wordt, blz 14); vorig jaar heb ik zelf een schema opgesteld dat de kwadratische vergelijkingen ax 2 + bx + c = 0 classificeert naar de waardes van de parameters van a, b en c. Aan iedere klasse van vergelijkingen werd een oplossingsmethodiek en een valkuil bij het oplossen gekoppeld.
Kwadratische vergelijkingen 5 Onderbouwing van het probleem Zijn de punten 2) en 3) in het bovenstaande overzicht een probleem? Dit wil ik toelichten middels twee invalshoeken: een analyse van de fouten gemaakt tijdens het proefwerk van vorig jaar en vanuit literatuur. Er waren 6 vragen waarbij meer dan 30% van het mogelijk aantal fouten gescoord werd: Vraag Omschrijving Fout % Totaal 736 van de 2856 25,8% 1f Ontbind in factoren 56,0% 4a Bereken de lengte van een schuine zijde van een rechthoekige 36,0% driehoek, met lengtes van de rechthoekszijden 4b Bereken de oppervlakte van diezelfde driehoek 53,3% 5a Los op. 44,6% 5b Los op 44,6% 6e Bereken de snijpunten van een lineaire en een kwadratische grafiek 35,1% De vragen 1f, 5a, 5b en 6e betreffen allemaal onderwerpen uit de laatste twee paragrafen. Vraag 1d (ontbind in factoren: ) is de enige vraag die over deze laatste paragrafen gaat die niet in het lijstje voorkomt. En ook bij deze, toch zeer elementaire opgave, werd nog een foutpercentage van 17,3% gescoord. Bij vraag 4a betreft 40% van de gemaakte fouten het niet gebruiken van haakjes bij het kwadrateren van de lengtes van de rechthoekszijden; bij vraag 4b wordt 30% veroorzaakt door het niet maken van de opgave en 25% door een verkeerde formule voor het berekenen van de oppervlakte. We zien dat de vragen waarin veel fouten gemaakt werden vooral de twee onderwerpen betroffen die er een beetje bijhingen aan het einde van de paragraaf. In de literatuur die aangeboden werd tijdens het college vakdidactiek vinden we ook steun voor de probleemstelling: - De regel is een visueel niet saillante regel en levert daarom meer problemen op, zelfs als er veel aandacht aan besteed wordt (Kirshner (2004)) - De grafische representatie van een vergelijking (snijpunt van twee grafieken) levert een grote bijdrage tot het begrijpen van de betekenis van een algebraïsche expressie (Drijvers & Kop (2008), blz 14) - Het ontwikkelen van schema s bevordert het ontwikkelen van cognitieve schema s door de leerlingen; dit wordt in het hetzelfde artikelen nog eens benadrukt als volgt: Wat in de schoolboeken echter ontbreekt is een expliciete vergelijking van de verschillende typen vergelijkingen en de bijbehorende oplossingsstrategieën (Drijvers en Kop (2008) blz. 14 resp. 17).
6 Ernst Wackwitz Verklaring van het probleem Samenvattend leidt dit tot de volgende probleemstelling: als hoofdproblemen onderken ik: 1) Er is in het hoofdstuk van Getal en Ruimte onvoldoende aandacht voor de grafische representatie van een vergelijking 2) Er wordt geen aandacht besteed aan een schema voor kwadratische vergelijkingen als nevenproblemen onderken ik: 3) De vergelijking van het type leidt tot veel problemen bij de leerlingen 4) Er wordt nauwelijks gebruik gemaakt van ICT; bij dit onderwerp kan ICT dienen als tool voor de begripsontwikkeling (Drijvers & Zwaneveld (2008), blz 10) Door het bovenstaande kan het volgende optreden: als gevolg van de hoofdproblemen: 1) De leerlingen krijgen onvoldoende inzicht in het verband tussen grafische en algebraïsche representatie van een vergelijking; dit verband geeft o.a. ook inzicht in de situatie 2) Leerlingen krijgen onvoldoende expliciet inzicht in de verschillende soorten kwadratische vergelijkingen en de daarbij behorende oplossingsmethode als gevolg van de nevenproblemen 3) Veel fouten in dit type vergelijking 4) Leerlingen worden onvoldoende in de gelegenheid gesteld om zelf eigenschappen te ontdekken, kennis op te doen, te experimenteren De verklaring voor het probleem is feitelijk in de vorige bladzijdes aan de orde gekomen: - Te weinig geïntegreerde (d.w.z het combineren van de algebraïsche en grafische representatie) behandeling van de stof - De mogelijk lastigste (want visueel niet saillante) vorm wordt achter in het hoofdstuk behandeld - Een cognitief schema wordt niet expliciet ontwikkeld - Nog niet eerder genoemd is het feit dat de toepassingen in een aparte paragraaf behandeld worden; dit valt niet onder de noemer van gevarieerde en geïntegreerde oefening, waarin inzicht en automatisme hand-in-hand gaan en waarin basisvaardigheid en symbol sense simultaan worden aangesproken (Drijvers & Kop (2008), blz 17).
Kwadratische vergelijkingen 7 Oplossing van het probleem Een korte rondgang rond andere methodes leert dat deze het onderwerp ieder anders aanpakken: - Moderne Wiskunde (de Bruijn et al (2008)) integreert vaardigheden, grafieken en toepassingen meer dan Getal en Ruimte; ook hier wordt begonnen met ontbinden in factoren; de situatie krijgt geen specifieke aandacht (wel even in de voorkennis paragraaf); zelf vind ik het oefenen op de basisvaardigheid binnen deze methode te weinig aandacht krijgen - De Wageningse Methode (van den Broek et al (2009)) begint met heuristiek: het zoeken van oplossingen vooral voor de situaties. Van daaruit wordt de stap gemaakt naar het product is 0 en naar het systematische oplossen van vergelijkingen en het opstellen ervan. De grafische representatie komt eigenlijk niet aan bod. Het genoemde probleem zou ik willen oplossen door een combinatie van de ingangen van de drie methodes. Een lessenserie van 12 lessen waarin: 1) Vaardigheid, grafische weergave en probleem oplossen geïntegreerd worden aangeboden 2) Er een expliciet schema wordt opgebouwd voor soorten kwadratische vergelijkingen, de daarbij behorende oplossingsmethodiek en valkuilen Daarnaast zijn aandachtspunten: 3) Er wordt gestart met aanhaken aan voorkennis op het gebied van wortels (dus de situatie ); vanuit deze situatie kan via het verschil van twee kwadraten de overgang naar het ontbinden in factoren bewerkstelligd worden 4) Meer gebruik van ICT, met name ook voor het verkennen en ontdekken van de problematiek van kwadratische vergelijkingen; het tool dat ik hiervoor wil gebruiken is Geogebra Op deze manier voldoet de lessenserie over het onderwerp beter aan de zes aspecten van het oplossen van vergelijkingen (Drijvers & Kop (2008), blz. 13-14): 1) Dualiteit proces-object (Geogebra, schema) 2) Visuele kenmerken van expressies (Geogebra) 3) Basisvaardigheid en symbol sense (koppeling naar voorkennis) 4) Betekenis van algebraïsche expressies (toepassingen) 5) Oefenen van vaardigheden 6) Ontwikkeling van schema s (schema kwadratische vergelijkingen)
8 Ernst Wackwitz Resultaat: Ontwerphypothese Door het aanbieden van een lessenserie die voldoet aan bovenstaande uitgangspunten verwacht ik dat: 1) Leerlingen door het geïntegreerd aanbieden van de algebraïsche representatie en de grafische representatie gecombineerd met toepassingsopdrachten een beter inzicht krijgen in het totaalbeeld van kwadratische vergelijkingen 2) Leerlingen door het bewust bouwen van een schema voor kwadratische vergelijkingen een beter inzicht krijgen in welke oplossingsmethode gevolgd moet worden; ik verwacht dat dit met name bij de zwakkere leerlingen kan optreden omdat zij houvast krijgen in duidelijk zichtbare kenmerken van de vergelijking Er zal tevens, naar mijn verwachting, nog een ander effect optreden: 3) Leerlingen door het gebruik van ICT meer gemotiveerd zullen worden om aan de materie te beginnen Hoe ik de hypothese wil toetsen volgt verderop in deze Paper (bij de Onderzoeksvragen) Ontwerpregels 1) De lessen hebben de vorm van een serie van 12 lesbrieven Algebraïsche en grafische representatie dienen zo veel mogelijk in iedere les aan de orde te komen; Er wordt twee maal met een computerpracticum gewerkt: de ICT-lessen zijn met bedoeld om het grafische element goed zichtbaar te maken en te gebruiken bij het verkennen van de materie aan het begin van de lessenserie wordt expliciet de relevante voorkennis benoemd en opgehaald; waar nodig gebeurt dit ook nog in de latere lesbrieven 2) De lessen hebben tot doel een coherent schema (op basis van de parameters van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0) te bouwen op het gebied van kwadratische vergelijkingen; dit schema kan nog niet compleet zijn omdat de ABC-formule pas in klas 3 aan bod komt. 3) De lessen passen binnen het bestaande curriculum van College Hageveld (uitvoering in periode 5, dwz van tweede helft maart tot eerste helft mei).
Kwadratische vergelijkingen 9 Onderzoeksvragen De drie voornaamste vragen die ik wil onderzoeken zijn: 1) Is er een effect merkbaar in de resultaten bij het proefwerk door gebruik van een andere aanpak? 2) Treedt er een verandering op bij het aantal gemaakte fouten bij de benoemde probleemgebieden? Gaat dit eventueel ten koste van andere elementen? 3) Is er een verschil tussen de klassen van dit jaar (2 van mij en 2 van andere docenten) in beleving van de methode die gevolgd is Het onderzoek wil ik als volgt uitvoeren: 1) Vergelijken van de resultaten uit mijn beide tweede klassen met de zes klassen die bij collega s de volgorde van het boek volgen; vergelijking gebeurt niet op basis van absoluut cijfer maar op rangorde (waarbij de proefwerkcijfers uit de eerste 4 periodes dienen als nulmeting) 2) Een analyse uit te voeren van het soort fouten dat door leerlingen gemaakt wordt; ik zou hiervoor in een aparte les mijn leerlingen van dit jaar het proefwerk van vorig jaar (als Schriftelijke Overhoring) laten maken 3) Het inzetten van het learner-report (Janssen (2011) op een aantal momenten in de lessenserie; ik wil het learner-report gebruiken als een tweesnijdend zwaard: - Voor de leerlingen als reflectie tool op de bestudeerde stof - Voor mijzelf als analyse tool voor het effect van de lessenserie op het leren en op de motivatie van de leerlingen Voor de vergelijkingen met parallelklassen zou ik alleen het learner-report dat ik laat maken aan het einde van de periode gebruiken. Op eerdere moment is de situatie nog niet goed vergelijkbaar. Planning van de lessen In vogelvlucht zouden de 12 lessen er als volgt moeten komen uit te zien: Blok 1 Ophalen voorkennis & introductie: o Herleiden (met nadruk op som-product methode) o Formules, vergelijkingen & grafieken o Standaardvorm lineaire en kwadratische vergelijkingen 1 les Blok 2 De vorm cq. 3 lessen o ICT les met: Onderzoek ax 2 + c in Geogebra Aantal snijpunten met een horizontale lijn (m.n. ook de x-as) Onderzoek naar translaties
10 Ernst Wackwitz o Twee papieren lessen met: Oplossen van vergelijkingen incl. voorbeelden van grafische representatie hiervan herschrijven naar standaard vorm en plaatsen in overkoepelend schema valkuilen bij oplossen van vergelijking oplossen met substitutie (dwz (x-3) 2 = 5 hoef je niet uit te schrijven). Blok 3 Schrijven als product; inleiding op ontbinden in factoren; buiten haakjes halen 2 lessen o introductie product van factoren is 0: voor herkennen van merkwaardig product (verschil van kwadraten) en vertaling naar naar A.B = 0 product van twee factoren is 0: betekenis ervan; oplossen maar ook herleiden van een aantal situaties o oplossen door een factor buiten haakjes te halen standaardvergelijkingen verstopte kwadratische vergelijkingen (dwz in vergelijkingen van een hogere macht dan 2 zit de kwadratische vergelijking verstopt Blok 4 Ontbinden in factoren: som-product methode 4 lessen o ICT les met nadruk op verschillende vormen om formule te schrijven (van Streun (2008), blz 44]) o Drie papieren lessen met algebraïsche vaardigheid: Ontbinden in factoren, grafische representatie, problemen oplossen Verstopte kwadratische vergelijkingen herschrijven naar standaard vorm en plaatsen in overkoepelend schema Blok 5 Alles door elkaar / afronding o afronden totaalschema o oefenen van gecombineerde opgaves o oefenen van opgaves door elkaar heen 2 lessen De dertiende les die deze periode beschikbaar is kan ik gebruiken om het proefwerk van vorig jaar door mijn klassen te laten maken. Learner reports worden ingevuld aan het einde van de periodes 2 t/m 5.
Kwadratische vergelijkingen 11 Planning ontwerponderzoek Voor het vervolgtraject van dit Ontwerponderzoek zie ik de volgende stappen: 1) opstellen MDA-lesplan voor ieder van de 12 lessen, incl. verantwoording van de keuzes van de didactische aanpak; 2) opstellen onderzoeksopzet voor evaluatie van onderzoek (zie voor inhoudelijke deel de Onderzoeksvragen); 3) uitwerken leerlingenmateriaal lessenmateriaal; 4) uitwerken docentenmateriaal (incl. antwoordboekje) lessenmateriaal; Stap 1), 3) en 4) vormen samen al het materiaal voor Paper 2. Schematisch gezien ziet de planning er als volgt uit: Activiteit Afronden Paper 1 met terugkoppeling input onderwijskundige Afronden globaal MDA-lesplan voor de 12 lessen zodat rode draad van de lessen zichtbaar is; lesplannen kunnen tijdens het ontwikkelen van het lesmateriaal nog aangescherpt worden Vaststellen uitgangspunten voor onderzoek Eerste opzet voor Paper 2 (onderbouwing keuzes etc) Leerlingenmateriaal, docentenmateriaal, antwoordenboekje maken Paper 2 compleet Eerste opzet voor Paper 3 (onderbouwing onderzoek) Uitwerking onderzoek; Paper 3 Goedkeuring Paper 2 en start lessenserie Goedkeuring Paper 3 voor start onderzoek Uitvoeren deel 1 van het onderzoek in laatste twee weken van de uitvoering Einde lessenserie met proefwerkweek Uitvoering deel 2 van het onderzoek na bekend zijn van resultaten Afronden Paper 4 en Paper 5 Datum deadline 1 maart 1 maart 23 februari 1 maart 1 maart 8 maart 15 maart 19 maart 2 april 9-20 april 27 april 15 mei 15 juni De deadlines van Paper 1, 2 en 3 lopen niet parallel met de planning van het ILO omdat de lessenserie al veel vroeger moet beginnen. Daarom wordt Paper 2 ook eerder afgerond en beoordeeld dan Paper 3.
12 Ernst Wackwitz Bronnen Broek, L. van den, Geurtz, T, Hombergh, D. van den, Houting, M. den, Piekaar, A, Slettenaar, J, Smaalen, D. van (2009). de Wageningse Methode wiskunde havo/vwl deel 2b. Ede: Iddink Voortgezet Onderwijs. Bruijn, I. de, Eijk, E. van der, Greefkens, S, Koens, T, Kok, D, Nauta, E, Sinkeldam, R (2008). Moderne Wiskunde VWO deel 2B, 9 e editie. Groningen: Noordhoff. Drijvers, P. & Kop, P. (2008). Handboek didactiek van de Wiskunde, Katern 1: Vergelijkingen vergelijken. Geraadpleegd via http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/2008-10- 13VergelijkingenVergelijken.pdf. Drijvers, P. & Zwaneveld, B. (2008). Handboek didactiek van de Wiskunde, Katern 5: Van knoppen naar kennis. Geraadpleegd via http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/2008-10- 13KnoppenKennis.pdf. Janssen, Tanja (2011). Het learner report als onderzoekinstrument. Powerpoint presentatie. Geraadpleegd via http://blackboard.ic.uva.nl/bbcswebdav/pid-3172211-dt-content-rid- 667754_1/xid-667754_1. Kirshner, David (2004). Visual Salience of Algebraic Transformations, Journal for Research in Mathematics Education, 35(4), 224-257. Reichard, L.A, Rozemond, S, Dijkhuis, J.H, Admiraal, C.J, Vaarwerk, G.J. te, Jong, G. de, Braak, J. van (2005). Getal en Ruimte 2 vwo 2, eerste druk, 5 e oplage (2008). Houten: EPN. Streun, A. van (2008). Handboek didactiek van de Wiskunde, Katern 0: Denken over wiskunde leren en onderwijzen. Geraadpleegd via http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/lerenonderwijzeneindversienovember2008.pdf.