Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine bladzijde 6 V- is : 9,... Afgerond op twee decimalen is dat,6. Dus,6 9 9 is : 8,8. Dus,8. Afgerond op twee decimalen is dat,88 8 8 is :,8..., afgerond op twee decimalen is dat, V-a b Hans rondt,8 verkeerd af. Om een getal op vier cijfers achter de komma af te ronden kijk je naar het vijfde cijfer achter de komma. Je rondt naar beneden af als het vijfde cijfer een,,, of is. Als het vijfde cijfer een, 6,, 8 of 9 is rond je naar boven af. Het vijfde cijfer achter de komma is een dus Hans had naar beneden moeten afronden en, opschrijven. Om 8,96 op vier decimalen af te ronden kijk je naar het vijfde cijfer achter de komma. Het vijfde cijfer is 6 dus de 9 op de vierde plaats achter de komma rond je af naar boven tot. Omdat uit twee cijfers bestaat wordt de op de derde plaats met verhoogd tot. De afronding op vier cijfers achter de komma wordt dus 8,. Let op: de laatste nul moet je laten staan anders rond je af op drie decimalen! bladzijde V-a x+ x x+ 6x 9x b a a a a 8a c x+ ( x ) x+ x+ x+ x 6 x 6 d a ( a+ ) a a a a 8 V-a xx ( ) x x x x x b pp ( ) + p p p p p+ p p p p+ p p p p p+ p p p c t ( t + t ) t t + t t t + t d k + k ( k k ) k + k k + k k k + k k V-a De grootste factor in p + p is p want p p p en p p Dit geeft voor h p + p de ontbinding h p(p + ) b De grootste factor in q q is q want q q q en q q 9 Dit geeft voor K q q de ontbinding K q(q + 9) c De grootste factor in W(t),t +,t is,t want,t,t t en,t,t Dit geeft voor W(t),t +,t de ontbinding W(t),t(t + ) d De grootste factor in p q 6 q is q want q 6 q q en q q 6 Dit geeft voor p q 6 q de ontbinding p q (q 6) V-6a Voor de ontbinding van y x + 8x + zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +8. Die getallen zijn + en +6. Dus de ontbinding is y ( x+ )( x + 6) b Voor de ontbinding van fx () x + x+ 9 zoek je twee getallen waarvan het product +9 is en de som +. Die getallen zijn + en +9. Dus de ontbinding is y ( x+ )( x + 9) 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Voor de ontbinding van Nt () t t+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som. Die getallen zijn en. Dus de ontbinding is Nt () ( t )( t ) d Voor de ontbinding van Q( p) p + p+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontbinding is Qp ( ) ( p+ )( p+ ) ( p + ) e Voor de ontbinding van v r r + zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som. Die getallen zijn en. Dus de ontbinding is v ( r )( r ) f fx () + x + x in de juiste volgorde zetten geeft fx () x + x+ Voor de ontbinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontbinding is fx () ( x+ )( x+ ) ( x + ) g hp ( ) p + + pin de juiste volgorde zetten geeft hp ( ) p + p+ Voor de ontbinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontbinding is hp ( ) ( p+ )( p+ ) h Voor de ontbinding van B L L zoek je twee getallen waarvan het product is en de som. Die getallen zijn + en. Dus de ontbinding is B ( L+ )( L ) i k 6 8m+ m in de juiste volgorde zetten geeft k m 8m + 6 Voor de ontbinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product +6 is en de som 8. Die getallen zijn en. Dus de ontbinding is k ( m )( m ) j Voor de ontbinding van gx () x x+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som. Die getallen zijn en. Dus de ontbinding is gx () ( x )( x ) bladzijde 8 a y, x b c Er zijn drie snijpunten met de x-as, dus zijn er ook drie oplossingen. Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan ZERO. Zet de cursor iets links van een snijpunt met de x-as en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ROOT. 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d Bij beide rekenmachines wordt het snijpunt met de x-as nu automatische gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten met de x-as te vinden ga je als volgt te werk: bij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als bij het eerste snijpunt alleen plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. bij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets vind je het vorige snijpunt). Je vindt hiermee als oplossingen: x, ; x, en x, Voor de top bij het maximum: bij de TI rekenmachine: Kies CALC en dan MAXIMUM. Zet de cursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rechts van de top. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G Solv en dan MAX. Bij beide rekenmachines worden de coördinaten van de top nu automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt (in twee decimalen) de coördinaten (,88 ;,6) voor de eerste top. Voor de top bij het minimum: bij de TI rekenmachine: Kies CALC en dan MINIMUM. Zet de cursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rechts van de top. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G Solv en dan MIN. Bij beide rekenmachines worden de coördinaten van de top nu automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt (in twee decimalen nauwkeurig) de coördinaten (,88;,6) voor de tweede top. a b Op de manier die bij de uitwerking van opdracht c is gegeven vind je de nulpunten p, en p,8. Op de manier die bij de uitwerking van opdracht d is gegeven vind je (in twee decimalen nauwkeurig) de coördinaten (,6 ;,9). a b Susan heeft de grafiek met de standaardinstellingen voor het venster geplot. Carl heeft Xmax van het venster vergroot tot bijvoorbeeld of hij heeft (een aantal keren) uitgezoomd. Kies daarvoor ZOOM en dan ZOOM OUT en ENTER bij de TI. Kies bij de Casio eerst ZOOM en OUT en daarna de EXE knop. Gebruik op je rekenmachine de instellingen Invoer: Y.X^ X 6X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Op de manier die bij de uitwerking van opdracht c is gegeven vind je de nulpunten x,9 ; x en x 6,9 a b Bij de snijpunten van de grafieken f en g hebben de functies ft () en gt () dezelfde uitkomst en geldt dus ft () gt (). De t-waarde bij een snijpunt is dus een oplossing van t + t t + Bij Xmin, Xmax, Ymin en Ymax krijg je wel alle snijpunten in beeld.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan INTERSECT. Zet de cursor iets links van een snijpunt en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ISCT. Bij beide rekenmachines wordt het snijpunt nu automatische gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten te vinden ga je als volgt te werk: bij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als bij het eerste snijpunt alleen plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. bij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets vind je het vorige snijpunt). Je vindt hiermee als oplossingen: t,88 en t,88 bladzijde 9 a. ^ ENTER geeft 6,8968 (( ).) ^ ENTER geeft 6,8968 De oplossingen in het rechtervoorbeeld zijn afrondingen op twee decimalen. Om nauwkeuriger te krijgen heb je (veel) meer decimalen nodig in het antwoord. b Plot met Invoer: Y X^ en Y en de standaardinstellingen. Je ziet dat Y geheel boven de x-as ligt en Y er geheel onder. Dus de grafieken hebben geen snijpunten en de vergelijking heeft geen oplossingen. Een positief of een negatief getal dat je tot de e macht verheft heeft nooit een negatieve uitkomst. Er is dus geen getal voor x mogelijk dat in x de negatieve waarde als uitkomst heeft. c Invoer: Y X^ en Y X^+ Venster: standaardinstellingen Opties: CALC, intersect (TI) Opties: G-Solv, ISCT (Casio) Oplossing: x,8 Merk op dat de grafieken elkaar links in het venster niet snijden. Plot bijvoorbeeld met als vensterinstellingen Xmin, Xmax, Ymin en Ymax om dit te zien. 6a Invoer: Y X +X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x, en x, Toppen: Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (, ) b Invoer: Y X X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x, ; x en x, Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten (,9 ; 9,6) Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (,9 ; 9,6)
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Invoer: Y ^.^X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,6 Toppen: Er zijn geen toppen. d Invoer: Y 8 (8.X+X ) Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,6 en x,6 Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten (,6;,) a Pa () 6, a + 6 b ATAX is voordeliger als de grafiek van de ritprijs onder die van Taxidirect ligt. Plot dus beide grafieken en zoek het snijpunt. Lees dan af waar ATAX goedkoper is. Invoer: Y.X+ en Y.6X+6 Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Opties voor TI: CALC, INTERSECT. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Voor a, snijden de lijnen elkaar. Het is dus voordeliger om vanaf, km voor ATAX te kiezen. 8a x : Invoer: Y X^ en Y Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Er is één oplossing. p : Invoer: Y X^ en Y Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Er zijn geen oplossingen. 6 q : Invoer: Y X^6 en Y Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Er zijn twee oplossingen. b x is steeds stijgend, dus kan maar één keer worden. p kan niet negatief zijn. q 6 daalt eerst naar en stijgt daarna, dus wordt de waarde twee keer bereikt. bladzijde 9a Trek van s + 6 aan beide kanten af. Je houdt dan s 6 over. Deel beide kanten door en je houdt s 6 over. b Vermenigvuldig 6 t aan beide kanten met. Je krijgt dan t 8. Tel aan beide kanten op. Je houdt dan t over. Deel beide kanten door en je houdt t 8 over.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde ( x ) x + x+ 6 x + x x + x x + 6 6x 6 x a a + a ( afgetrokken) a (door gedeeld) b x x x 9 x (met vermenigvuldigd) x x+ (9 opgeteld) x x x+ x (x afgetrokken) x (vereenvoudigd) x (door gedeeld) c ( x ) ( x + ) x+ x + (haakjes uitgewerkt) x+ x+ (vereenvoudigd) x (x en afgetrokken) x (delen door ) d ( x ) 8 x + 6 8 x + 8 x x a y g(x) f(x) O x b Voor het snijpunt geldt fx () gx (), dus los op x+ x +. Dat geeft x x ( afgetrokken) x (x afgetrokken) x (,) Vul dit in bij een van de functies om de y-coördinaat te krijgen. Uit g( ) krijg je + + + 6. De coördinaten van het snijpunt zijn dus (, ) 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde bladzijde a De gele rozen zijn het goedkoopst en daarvan kun je dus de meeste kopen. Voor e, kun je er een bos met :, rozen mee maken. b Tien rode rozen kosten,, euro. Van de euro blijft dus,, euro over voor de gele rozen. Daarvoor kun je er, :, kopen. c De prijs van alle gele rozen samen de prijs van één roos (e,) het aantal gele rozen (g), dus, g ofwel,g. De prijs van alle rode rozen samen is,r. De prijs van de bos bestaat uit de prijs van de gele rozen en de prijs van de rode rozen bij elkaar opgeteld. Dat is,g +,r. De prijs van de bos mag euro zijn, dus er moet gelden,g +,r. d De grafiek bij de formule kun je niet plotten want er staan twee variabelen in in plaats van één. Je kunt de formule niet invoeren in je rekenmachine in de vorm Y waarbij je alleen de X als variabele gebruikt. e r 8 6 g 8 6 g 6 8 6 8 6 r a, g+, r. Als g een functie van r moet zijn dan moet je de formule zó schrijven dat er alleen maar g links van het isgelijkteken komt te staan. Dus, g, r (, afgetrokken) g, r (met vermenigvuldigd) Het antwoord is dus g, r b De plot komt overeen met de tekening van de tabel in opdracht b. a Als a op de horizontale as komt moet je b als functie van a schrijven. b a b a+ b, a+,
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde b a b 8 b a 8 b, a 6 x+ y 8 y x+ 8 y x+ 8 y x+ en x y y x+ y x Voor het snijpunt zijn beide y-waarden gelijk, dus moet gelden x+ x x+ 8 x x+ 8 x (met vermenigvuldigd) x x De y-waarde hierbij is het gemakkelijkst te bereken uit de tweede formule: y De coördinaten van het snijpunt zijn dus (, ) Controle: invullen van x in de eerste formule geeft ook. a b c Er kunnen : zwarte dakpannen die dag gemaakt worden. Eén rode dakpan weegt kg, dus R rode dakpannen wegen R kg. Eén zwarte dakpan weegt kg, dus Z zwarte dakpannen wegen Z kg. Samen wegen de rode en zwarte dakpannen dus R + Z kg. Dat moet gelijk zijn aan de totale hoeveelheid verwerkte klei van kg, dus moet gelden R + Z. Als het totale aantal geproduceerde dakpannen is geldt R + Z. Maar er moet ook gelden R+ Z. De waarden van R en Z die hieraan voldoen liggen bij het snijpunt van de grafieken van de formules (zie ook opdracht 6). Schrijf bij beide formules R als functie van Z en bereken de coördinaten van het snijpunt. Dat geeft: R+ Z R Z R 6 Z R+ Z R Z Voor het snijpunt geldt 6 Z Z Z 9 Z Z 6 Z 6 De waarde van R bereken je het eenvoudigst uit R Z en geeft R 6. Er zijn dus rode en 6 zwarte dakpannen geproduceerd. Controle: de waarde van R berekend uit R 6 Z geeft eveneens.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde bladzijde 8a De nulpunten van fx ()zijn de waarden van x waarvoor de uitkomst van fx ()de waarde nul geeft. De grafiek van f snijdt dan de x-as. Met de rekenmachine vind je de waarden x en x. Gebruik de volgende instellingen: Invoer: Y X +X Venster: standaardinsteling Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) b Invoer: Y X 6X+ Venster: standaardinsteling Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) Oplossing in twee decimalen: x, en x,8 c Invoer: Y X +X en Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Oplossing: x en x d Invoer: Y X +X en Y X 6X+ Venster: standaardinsteling Oplossing: de andere oplossing is x 9a Invoer: Y X X Venster: standaardinsteling Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) Oplossing: x en x b Voor het ontbinden in factoren van x x zoek je twee getallen die als product leveren en als som. Die getallen zijn + en. Het voorschrift wordt dus fx () ( x+ )( x ) c Voor de nulpunten geldt fx (). In het voorschrift staat een vermenigvuldiging van ( x + ) met ( x ). De uitkomst is dus nul als ( x + ) of ( x ). De nulpunten vind je dus door ( x + ) en ( x ) op te lossen. De oplossingen hiervan zijn direct af te lezen als x en x. a x x 6 x x ( x+ )( x ) x + of x x of x b x + 6x+ 9 ( x+ )( x+ ) x + x c q q q q ( q+ )( q ) q + of q q of q 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d t t+ t t+ 6 ( t )( t ) t of t t of t e t 8 t 8 t 8, t, of t, f a 8 8a a + 8a 8 a + 6a 6 ( a )( a+ 6) a of a + 6 a of a 6 a x + x ( x )( x+ 6) x of x + 6 x of x 6 De nulpunten kloppen met de plot b Invoer: Y X +X Y X X+6 Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax 6 Opties: CALC, INTERSECT (TI) G-Solv, ISCT (Casio) De oplossingen x 6 en x worden ook gevonden door de rekenmachine.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Functie gx () is functie fx ()vermenigvuldigd met de waarde. Als fx () nul is dan is fx ()ook nul. De nulpunten van fx ()zijn dus ook nulpunten van fx ()ofwel van gx (). Je kunt dit ook aan de ontbinding in factoren van gx () zien: x x + 6 ( x + x ) ( x )( x + 6) ( x )( x+ 6) (delen door!) x of x + 6 x of x 6 xx ( ) x x xx x x x x x xx ( ) x of x x of x bladzijde a x + x 8 ( x )( x+ ) x of x + x of x b ss ( ) 6 ss ( ) s s s s ( s+ )( s ) s + of s s of s c x x x x a, b en c D b ac ( ) x + of x d ( b+ )( b ) b + of b b of b b of b e 9x + x+ 9 a 9, b en c 9 D ( ) 9 9 x + 8 8 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde f ( A+ )( A ) A 8A+ A A A A A+ a, b en c D ( ) A + + A g f 6f f + 6f a, b 6 en c D 6 8 f 6+ 8 6 of of f 6 8 6 h 8x x 8x x+ a 8, b en c D ( ) 8 9 De discriminant is negatief, dus er zijn geen oplossingen. a x + x 8 ( x )( x+ 6) x of x + 6 x of x 6 b x + x 8 x + x a, b en c D 6 x + 6 of x 6 a Invoer: Y (X+) en Y Venster: standaardinstellingen Oplossingen: ( 6, ; ) en (,6 ; ) b ( x + ) ( x+ )( x+ ) x + x+ x + 6 x + 8x+ 6 x + 8x+ a, b 8 en c D 8 x 8+ of x 8 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Als je een bordje legt op x + dan krijg je (...). Dus... of.... Haal je het bordje weer weg dan krijg je x + of x +. Dus x of x. Met de rekenmachine kun je narekenen dat de antwoorden bij b en c gelijk zijn. d 6a Voor de snijpunten geldt van f met de lijn y x+ geldt x 6x x +. Oplossen geeft x 6x x x x a, b en c D ( ) x + of x De y-waarden van de snijpunten vind je het gemakkelijkst door deze oplossingen in te vullen in de vergelijking van de lijn. Dat geeft de coördinaten ( +, + + ) en (, + ). b Voor de snijpunten geldt van f met de lijn y x geldt x 6x x. Oplossen geeft x 6x x + x x+ a, b en c D ( ) De discriminant is positief, dus er zijn twee oplossingen. Er zijn dus ook twee snijpunten. e manier (ontbinden in factoren): x x x x x x 6 ( x+ )( x 6) x + of x 6 x of x 6 e manier (abc-formule): x x x x a, b en c D ( ) 96 x + 96 + 6 of x 96 e manier (grafische rekenmachine, snijpunten bepalen): Invoer: Y X X en Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Oplossingen: x en x 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde e manier (grafische rekenmachine, nulpunten bepalen): Invoer: Y X X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) Oplossingen: x en x 6 bladzijde 8 Het antwoord van Anne goed. Yasser heeft het antwoord van Anne benaderd in twee decimalen. 9a en, verschillen, % 8, % van elkaar. b De antwoorden van Anne zijn goed. Die geven exact als uitkomst. a 8 x ; x 8 ; x 8 b 6 p ; p p p 6 ; of. Omdat, de exacte waarde is van mag je hier ook voor schrijven p, of p,. a,,9, dus, 9, is juist. b,999 is een benaderde waarde in decimalen nauwkeurig, dus, 9, 999 is juist. a De zijde van het kleine vierkant is de schuine zijde van een driehoek. De andere zijden van een driehoek hebben lengte. Met de stelling van Pythagoras krijg je dus + als lengte. b, 6... In drie decimalen nauwkeurig is dat, bladzijde a omtrek cirkel π r. Met r, geeft dat π,, π π In een exact antwoord moet je π laten staan want π kun je niet exact in cijfers uitdrukken! b π, 96... 9, c oppervlakte cirkel πr π, π,, πof π a b De diameter is r 8 km, dus de straal r 6 km. De evenaar is de omtrek van een cirkel met r 6 km. Uit de formule Omtrek cirkel πr volgt de lengte 8π, 896... km. In kilometers nauwkeurig is dat km. De exacte omtrek is niet zinvol want de diameter is ook niet exact bekend. Als je een benaderde waarde in een berekening gebruikt kan de uitkomst nooit exact zijn. a De tweedegraads vergelijking y x + x heeft een positieve waarde voor de discriminant ( b ac ) dus er zijn twee nulpunten. b Door de tabel uit te breiden vind je als tweede oplossing,
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde 6a ( x ) + 6x x + 6x x 6 x 6 b πr r, π π c t t t t ( t+ )( t ) t+ of t t of t d ( x+ )( x ) 8 x x+ x 8 x 8 x 8+ x of x a Toyota: de huurprijs voor vier weken is e, e, de benzinekosten zijn e,9 a Samen: K + 9, a Renault: de huurprijs voor vier weken is e, e 6, de benzinekosten zijn e, a Samen: K 6 +, a b De auto s zijn even duur als de kosten gelijk zijn, dus los op + 9, a 6 +, a + 6, a 6 6, a a :,6,... afgerond op tientallen kilometers is dat km bladzijde 6 8a x + x x x b c x + De waarde van de wortel is altijd nul of groter. De plot begint voor X bij Y en wordt alleen maar kleiner. De waarde wordt dus nooit bereikt. De waarde van de wortel is nooit negatief. Als je de wortel dus vermenigvuldigd met kan er nooit de positieve waarde uitkomen zoals in stap zou moeten.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde 9a x x x x (kwadrateren) x x ( x+ )( x ) x+ of x x of x b ( ) +, klopt () 6, klopt a x x x ( x) x x+ x x+ x x x+ ( x )( x ) x of x x of x Controle: voor x :, klopt voor x :, klopt niet! De controle toont aan dat alléén x een oplossing is. b y g(x) f(x) O x Uit de plot en de schets van de grafieken van f en g blijkt dat ze maar één snijpunt hebben. Bij het snijpunt hebben de functies dezelfde uitkomst, dus daar geldt fx () gx () ofwel x x. Er is maar één snijpunt, dus is er ook maar één oplossing. bladzijde a x + x x 9 x Controle: + 9 + +, klopt b + x + x + Er zijn geen oplossingen want een wortel kan nooit negatief worden. x + kan dus nooit worden.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c + x + + x + x + x x Controle: + + + + + d x 9 x 9 x 9 6 x 6 x 6 : 8 Controle: 8 9 6, klopt, klopt a x x x ( x ) x x x + x x+ ( x )( x ) x of x x of x Controle: ;, klopt niet! ;, klopt De oplossing is alleen x b x x x x x x xx ( ) x of x x of x Controle:, klopt, klopt c x x x x x ( x ) x x ( x )( x ) x x 9x 6x 6x + x x 9x x+ x + x a, b en c D ( ) 9 x + 9 + 8 8 of x 9 Controle: () ;, 8..., 8..., klopt niet!. ; ;, klopt Alleen x is een oplossing.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d x x (beide kanten vermenigvuldigen met x ) 9 x x Controle:, klopt ( ) a r + 9, cm π b 6, O + 9 π 6, O + 9 π O π 6, 9 c O π( 6, 9) 9, cm r O + 9 π r O +9 π O r π 9 O π( r 9) d Stel de koppelingsplaat van de bromfiets is cm. De straal die daarbij hoort is volgens opdracht a ongeveer, cm. Voor de auto geldt O cm. De straal die daarbij hoort is volgens de formule r + 9 6, 9 cm. π Dat is niet twee keer zo groot als, cm. a b c Gebruik je rekenmachine om het snijpunt te vinden tussen de grafieken met vergelijking y h+ 6 h+ h en y 6. Invoer: Y X+ (6 X+X ) Y 6 Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Snijpunten vind je voor h,686... en h,98... Uit de plot lees je af dat de inhoud tussen deze punten meer dan 6 m bedraagt. Het antwoord is dus, < h <, 98 meter waarbij afgerond is op cm nauwkeurig. Gebruik je rekenmachine om het maximum te vinden tussen de snijpunten. Invoer: Y X+ (6 X+X ) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Opties: CALC, MAXIMUM (TI) of G-Solv, MAX (Casio) Je vindt de top op X.898 en Y. De maximale inhoud is de Y-waarde en bedraagt m afgerond. De X-waarde is de hoogte bij de maximale inhoud en bedraagt, m afgerond.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d De lengte van het zeil dat schuin hangt is meter min de hoogte h van de tentstokken. Je kunt het aanzicht van de houtopslag verdelen in een rechthoek met zijden en h, en een driehoek met zijde en schuine zijde h. Zie de tekening hiernaast. De hoogte waarop het zeil aan de schutting gemonteerd moet worden is h+ ( h). Voor h, m volgt hieruit een hoogte van,6 m h h h ( h) bladzijde 8 a Hema: K, +, n Kruidvat: K 88, +, 9n b Kies bijvoorbeeld Xmin, Xmax, Ymin en Ymax De lijnen lopen bijna even steil waardoor je het snijpunt maar matig in beeld kunt krijgen. c De kosten zijn gelijk als, +, n 88, +, 9n. Oplossen geeft, n, 8 n 8,, d Kies een waarde boven n om te zien wie goedkoper wordt boven dit aantal. Neem bijvoorbeeld n, dan is de prijs bij de Hema, +, 8, euro en de prijs bij het Kruidvat,88 + 9, 9,88 euro. De Hema wordt dus voordeliger boven de afdrukken. Het Kruidvat is goedkoper dan de Hema als je of minder afdrukken maakt. De grafiek bij het Kruidvat ligt tot en met n lager dan de grafiek van de Hema. 6a Voor de snijpunten geldt fx () gx (), dus los op x + x x + x x 6 (herleiden op ) x x ( x+ )( x ) x+ of x x of x De x-coördinaten van de snijpunten zijn dus x en x b De grafiek van f is een parabool en van g een lijn. Plot f en g op je rekenmachine en kijk waar de parabool boven de lijn ligt. Invoer: Y X +X Y X+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De x-waarden van de snijpunten zijn x en x. Voor x < en x > ligt de grafiek van f hoger dan de grafiek van g. c Als de grafiek van f boven de grafiek van g ligt is f > g, dus de ongelijkheid x + x > x + hoort daarbij. 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde a Uit de tekening lees je snijpunten van f met g af voor x, x en x. Voor fx () > gx () ligt de grafiek van f hoger die van g. Aflezen geeft de intervallen ; of ;. b Voor fx () gx () ligt de grafiek van f lager die van g of valt ermee samen. Aflezen geeft de intervallen, ] of [, ]. bladzijde 9 8a Los op: x> x Plot de grafieken van y x en y x Invoer: Y /X Y X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Lees de oplossing af waar Y (de dalende lijn) hoger dan Y ligt. Je vindt de benaderde oplossing x <, b Los op: p+ p + p Plot de grafieken van y p+ en y p + p Invoer: Y X+ Y X +X Venster: standaardinstellingen Lees de oplossing af waar Y (de lijn) lager dan Y (de parabool) ligt of ermee samenvalt. Je vindt de benaderde oplossingen p 9, of p, 9 c Los exact op: n n Los eerst de gelijkheid op: n n n ( n) (kwadrateren, dus controleer de oplossing!) n n+ 6n 6n n+ a 6, b en c D ( ) 6 8 n + 8 9 of n 8 6 Controle: alleen n voldoet. Plot de grafieken van y n en y n Invoer: Y (X) Y X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De opties dienen als extra controle. Lees de oplossing af waar Y (de kromme) lager dan Y (de lijn) ligt of ermee samenvalt.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde Je vindt de exacte oplossingen n (bedenk dat de waarde onder de wortel niet negatief mag zijn, dus n ) d Los exact op: ( p ) p Los eerst de gelijkheid op: ( p ) p p p+ p p p+ ( p )( p 6) p of p 6 p of p 6 Plot de grafieken van y ( p ) en y p Invoer: Y (X ) Y X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De opties dienen als extra controle. Lees de oplossing af waar Y (de parabool) lager dan Y (de lijn) ligt of ermee samenvalt. Je vindt de exacte oplossingen p 6 9a De totale opbrengst is de prijs van één strippenkaart keer het aantal verkochte strippenkaarten. In formules uitgedrukt wordt dat TO P A P( P+ 9, ) P + 9, P. De eenheid van TO is de eenheid van P A, dat is euro s miljoenen miljoenen euro s. b miljard miljoen, dus bereken P + 9, P met de rekenmachine: Plot de grafieken van y P + 9, P en y Invoer: Y X +9.X Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Lees de snijpunten af bij P,6 en P,9. De grafiek van TO ligt tussen deze punten boven de lijn y. Als de prijs dus tussen e,6 en e,9 ligt is de opbrengst groter dan miljard euro. c Je kunt nog in centen betalen dus de kosten wil je in centen nauwkeurig weten. Dat zijn twee decimalen. a Voor cd s geldt q. De totale kosten zijn TK + 9,, dus e 9,. De cd s brengen 8 8 euro op. b Totale opbrengst in euro s opbrengst per cd in euro s aantal verkochte cd s Vervang de termen door formules: Totale opbrengst in euro s TO opbrengst per cd in euro s 8 aantal verkochte cd s q Vul dit in voor de termen: 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde TO 8 q TO 8, q (delen door ) c Los op: TO > TK ofwel, 8q> + q Plot de grafieken van y, 8q en y + q Invoer: Y.8X Y + (X) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Lees het snijpunt af bij q,6. Vanaf 6 cd s is de opbrengst groter dan de kosten en maakt de rockgroep winst. Tel bij de ongelijkheid p aan beide kanten p + op en je krijgt dezelfde ongelijkheid als uit opdracht 8b: p+ p + p + p+ p + p Net als bij vergelijkingen verandert de oplossing van ongelijkheden niet als je aan beide kanten iets optelt of aftrekt. Let op: dit geldt bij ongelijkheden ALLEEN voor optellen en aftrekken en in het algemeen NIET voor vermenigvuldigen en delen! bladzijde a Elke zijde van cm van het vierkant is even lang als de lengte van twee armen plus de breedte van één arm. In formulevorm dus x + breedte van één arm Daaruit volgt: breedte van één arm x. b Het rode deel bestaat uit de vier armen. Elke arm heeft lengte x en breedte x. De oppervlakte van één arm is lengte breedte x ( x). De totale oppervlakte van het rode deel is dus Kx () x( x) x 8x cm c Het gele deel bestaat uit de vier grote vierkanten met zijde x en het middelste vierkant met zijde x. De oppervlakte van deze vijf vierkanten geeft de totale oppervlakte. In formulevorm dus G() x x + ( x) d Kx () + Gx () ( x 8x ) + ( x + ( x)) x 8x + x + x+ x a Om de lijn te kunnen plotten moet je eerst y als functie van x schrijven: y, x Voer de plot uit met Invoer: Y X(X 8) Y. X Venster: Xmin en Xmax 9 Ymin en Ymax b De lengte van lijnstuk AB is het verschil in y-waarden van f en l bij x 6. Punt A ligt boven, dus op de grafiek van f, en heeft y-waarde f( 6) 66 ( 8). Punt B ligt op de lijn en heeft y-waarde, 6 9,. De lengte van AB is dus 9,, 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c Het verschil in y-waarde van f en l is de lengte van het lijnstuk AB. Er geldt AB ( xx ( 8) (, x) als je dit uitwerkt krijg je AB x + 6x, + x AB x + 8x, Zoek hiervan met je rekenmachine het maximum. Gebruik Invoer: Y X +8X. Venster: Xmin en Xmax 9 Ymin en Ymax Opties: CALC, MAXIMUM (TI) of G-Solv, MAX (Casio) aflezen geeft x,. Deze waarde ligt tussen de snijpunten van de grafieken en is dus de oplossing. a b c d Bij de HP9 zijn de kosten voor kleurenafdrukken,6 8 euro. Er is euro beschikbaar per jaar maar daar moet de afschrijving van de printer per jaar nog vanaf. De HP9 kost 6 euro per vier jaar dus de afschrijving per jaar is 6 :, euro. Van de euro blijft dus, 98, euro over voor het afdrukken. Er is al 8 euro besteed voor de kleurenafdrukken, er blijft dus 98, 8 68, euro over voor de zwart-wit afdrukken. Eén zwart-wit afdruk kost,6 euro. Er kunnen dus nog 68, :,6, van gemaakt worden. Uitgedrukt in gehele aantallen afdrukken geeft dit afdrukken. Bij de HP96 krijg je op deze manier berekend ( 9 :, ):,, ofwel afdrukken. Vul bij de berekening voor de HP96 de gegeven waarden en variabelen voor de HP9 in. Dat geeft ( 6 k 6, ):, 6 zw Uitwerken geeft zw ( 98, k, 6):, 6 zw 98, 6, k 6, 6, zw 98 6 6 6 k zw 99 9 6 k Voor de HP96 wordt de berekening ( 9 k, ):, zw zw ( 96, k, ):, zw 96,, k,, zw 96 k zw 6 k Je kunt meer zwart-wit afdrukken maken met de HP96 dan met de HP9 als de grafiek die hoort bij de zw van de HP96 boven de grafiek voor de HP9 ligt. In formulevorm: los de ongelijkheid 6 k > 99 9 k op. 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde Plot beide grafieken en zoek het snijpunt op. Gebruik Invoer: Y 6..X Y (99+/6) (9+/)X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Tot aan het snijpunt hoort de bovenste lijn bij de HP96. Het snijpunt vind je voor k, maar de zw-waarde hierbij is negatief. Het aantal zwart-wit afdrukken moet natuurlijk altijd een positief getal zijn, dus de grafieken hebben alleen betekenis boven de horizontale as. Daar loopt de grafiek voor de HP96 steeds boven de grafiek voor de HP9. Je kunt dus altijd de meeste zwart-wit afdrukken maken met de HP96, ongeacht het aantal afdrukken in kleur. bladzijde a b De ader heeft een straal van, cm en in de formule wordt d in centimeters uitgedrukt. Het bloed stroomt altijd binnen de ader dus d moet liggen tussen en, v v(d),, d O c Los op: (, d) d d d, d,, of d,, alleen de positieve waarde heeft betekenis, dus op ongeveer, cm vanuit het midden van de ader is de stroomsnelheid cm/s. d De top van de grafiek ligt bij d. Dat is in het centrum van de ader. De stroomsnelheid is daar (, ) cm/s. 6a De afstand naar B volgt uit de stelling van Pythagoras: + 8 8, km Bij een snelheid van gemiddeld km/u doet de man er, :,6 uur over. Hij moet om half vijf in B zijn en heeft daarvoor, uur de tijd. Hij haalt het dus net niet op tijd. b De afstand naar C volgt uit de stelling van Pythagoras: + 8 8, km Hier doet hij 8, :, uur over. De afstand CB is 9 km. Hier doet de man 9 : 6, uur over. De reis op deze manier duurt dus, +,,6 uur. Dat nog steeds iets langer dan, dus ook nu haalt de man het net niet. c De afstand tot de wal is x + 8 x + 6 km. Met een gemiddelde snelheid van km/s duurt dat x + 6 uur. De afstand CB is x en lopende duurt dat 6 ( x ) uur. In T()staat x de totale tijd als optelling van deze tijden.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d Om in, uur te reizen moet gelden T() x., Gebruik de rekenmachine om x + 6 + 6 ( x). op te lossen met Invoer: Y (X +6)/+( X)/6 Y. Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Voor x 6 en x 8, vind je snijpunten. Er zijn dus twee plaatsen op de wal waar hij naartoe kan roeien om op tijd te komen. De ene plaats ligt op 6 km afstand van A en de andere op 8, km van A. Welke plaats hij kiest hangt af of hij liever wat langer roeit of liever wat langer loopt. bladzijde I-a Het vastrecht moet altijd betaald worden dus ook als er geen verbruik is. Bij een verbruik van m ligt de grafiek van Firma A hoger dan de grafiek van Firma B. Dus Firma A rekent het hoogste vastrecht. b Hoe steiler de lijn loopt des te hoger is de prijs per m gas. De lijn van Firma B loopt het steilst dus Firma B rekent de hoogste prijs per kubieke meter. c De firma s zijn even duur bij het snijpunt. Met de trace-functie vind je de waarde 9,6 m. Zoom eventueel (sterk) in rond het snijpunt met behulp van het vergrootglas-icoon en het hand-icoon voor je de trace-functie gebruikt. d Vanaf het snijpunt ligt de grafiek van Firma B hoger dan de grafiek van Firma A, dus vanaf 9,6 m is Firma B het duurste, e I-a f( ) is het punt Q en g( ) is het punt P. Punt Q ligt lager dan punt P dus f() < g(). b f( ) is het punt R en g( ) is het punt S. Punt R ligt hoger dan punt S dus f( ) > g( ). c x f... g > > < < < > > d Voor de snijpunten geldt fx () gx (), dus los op x + x x +. Uitwerken geeft x + x x x x 6 ( x x ) x x ( x+ )( x ) x+ of x x of x e Voor x < en x > ligt de grafiek van f hoger dan die van g. In de intervalnotatie schrijf je dit als, en,.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde bladzijde I-a Uit de tekening lees je snijpunten van f met g af voor x, x en x. Voor fx () > gx () ligt de grafiek van f boven die van g. Aflezen geeft de intervallen, of,. b Voor fx () gx () ligt de grafiek van f onder die van g of valt ermee samen. Aflezen geeft de intervallen, ] of [, ]. c De functies f en g zijn overal ongelijk aan elkaar, behalve in de snijpunten. De oplossing is dus, of, of,. I-a g (x) f (x) b x + 8x x + x x + 8x x x+ x + 6x x( x ) x of x x of x c fx () > gx () als de grafiek van f hoger ligt dan de grafiek van g. Je leest uit de plot af dat dat tussen de snijpunten is. De oplossing is dus, I-a Los exact op: x + < Los eerst de gelijkheid op: x + x x x of x Plot de grafieken van y x + en y Invoer: Y X + Y Venster: standaardinstellingen De opties dienen als extra controle. Lees de oplossing af waar Y (de parabool) onder Y (de lijn) ligt. Je vindt de exacte oplossingen x< of x>
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde b Los exact op: ( x )( x+ ) x + x+ Los eerst de gelijkheid op: ( x )( x+ ) x + x+ ( x + x x ) x + x + x x + x + x x a, b en c D ( ) 9 x + 9 of x 9 Plot de grafieken van y ( x )( x + ) en y x + x + Invoer: Y (X )(X+) Y X +X+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De opties dienen als extra controle. Lees de oplossing af waar Y hoger dan Y ligt of ermee samenvalt. Je vindt de exacte oplossingen x of x c Los exact op: x x+ 8< x + Los eerst de gelijkheid op: x x+ 8 x + x x+ 8 x x 6x+ ( x x+ ) x x+ ( x )( x ) x of x x of x Plot de grafieken van y x x + 8 en y x+ Invoer: Y X x+8 Y X+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De opties dienen als extra controle. Lees de oplossing af waar Y (de parabool) onder Y (de lijn) ligt. Je vindt de exacte oplossing < x < I-6a Vink twee functies aan uit de functies f, g, h en p. Kijk of ze snijpunten hebben voor x en x. In dat geval kun je een ongelijkheid opschrijven. Schrijf de functie waarvan de grafiek het hoogst ligt vóór het groter dan-teken (>). Of schrijf de functie waarvan de grafiek het laagst ligt vóór het kleiner dan-teken (<). Staat in de intervalnotatie een vierkante haak ([ of ]) dan gebruik je ook het isgelijkteken in de ongelijkheid. a Voor [, ] vind je g f of f g b Voor, vind je gx ()> c Voor, vind je p> h of h< p
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d Voor, vind je p> f of f < p e Voor [ 8, px () f Voor, en, vind je f > h of h< f bladzijde 6 T-a Invoer: Y X 8X+ Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,9 en x,6 Toppen: Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (, ). Dit is een minimum. b Invoer: Y X^ 8X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: t,6, t en t,6 Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten: (, ;,89). Dit is een maximum. Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (, ;,89). Dit is een minimum. c Invoer: Y ^X X Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: p,, p en p Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten: (,9 ;,6). Dit is een maximum. Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (, ;,). Dit is een minimum. d Invoer: Y + ( X ) Venster: Xmin, Xmax, Ymin, Ymax Nulpunten: Er zijn geen nulpunten. Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten: (, ). Dit is een maximum. T-a b c Na 6 minuten is er 6 9 liter koud water in het bad gestroomd. Er stroomt daarna in minuten nog 9 6 liter warm water in het bad. Dus stroomt er 6 : liter water per minuut uit de warmwaterkraan. Bij liter/min uit de koudwaterkraan is er na 6 minuten 6 6 liter koud water in het bad gestroomd. Om in minuten het bad vol te krijgen moet er nog 6 9 liter warm water bij. De warmwaterkraan moet nu dus 9 : 8 liter water per minuut leveren. De koudwaterkraan levert in 6 minuten tijd k 6 liter water. De warmwaterkraan levert in minuten tijd w liter water. Samen leveren de kranen k 6 + w liter water. De totale hoeveelheid water die ze moeten leveren om het bad te vullen is liter, dus moet gelden k 6 + w ofwel 6k+ w
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde d w 6k w k e Vervang de 6 en de in de formule bij opdracht c nu door en, en je krijgt k+, w als het tweede verband. f De stroomsnelheden k en w van beide kranen blijven hetzelfde. Druk bij het tweede verband ook w uit in k:, w k w k Omdat w dezelfde waarde houdt als bij de formule w k moet je de vergelijking k koplossen. Dat geeft k+ k 8 k k 8 8, liter/min 8 8 Invullen hiervan in w k of w k geeft w, liter/min. T-a Ontbinden in factoren kun je alleen x + 6x 8. Ook x en x x kun je zonder abc-formule oplossen. De oplossing van x + 6x 8: x + 6x+ 8 ( x+ )( x+ ) x+ of x+ x of x De oplossing van x : x of x De oplossing van x x: x x xx ( ) x of x x of x b De oplossing van x + x 6 : a, b en c 6 D 6 x + 6, of x 6, De oplossing van x x+ : a, b en c D ( ) De discriminant is negatief dus er zijn geen oplossingen. De oplossing van x + 9 x: x x+ 9 (herleiden op nul) a, b en c 9 D ( ) 9 x 8 6
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde T-a ( x ) x+ 9 x x+ 9 x x : b 8( x + ) ( x + ) x+ of x+ x + of x c 6x 8 ( x 9) 6x x 6x x+ a 6, b en c D ( ) 6 De discriminant is negatief dus er zijn geen oplossingen. d t + 9,, 8 Invoer: Y +.^.9^X Y 8 Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Oplossing: t 8, e x + x 8x + Invoer: Y X^+X 8X+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) Oplossingen: x,6, x, en x,86 f x 6x x+ 6x x 9 x bladzijde T-a + x + 6 x + x +, x +,, x, Controle: +, + 6, klopt b x x x x () 6 9 9 x 9 9 x 9 Controle:, klopt 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde c x x x ( x ) x ( x )( x ) x x x x+ x x x + x x+ (herleiden op nul) a, b en c D ( ) 8 d x + 8 6 8 8 of x 8 8 8 Controle: 6 6, klopt, klopt niet! alleen x 6 is een oplossing. x + 8 x + 8 x + 8 x + 8 x 9 x 6 Controle: 6 + 8, klopt T-6a Los op: x x> x 8 Plot de grafieken van y x x en y x 8 Invoer: Y X^ X Y X 8 Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De snijpunten vind je voor x, ; x en x, Lees de oplossing af waar Y (de kromme) hoger dan Y (de lijn) ligt. Je vindt de benaderde oplossing, ; en, ; b Los op: x > x Plot de grafieken van y x en y x Invoer: Y (X) Y X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Er zijn geen snijpunten. De wortelfunctie begint pas bij x! Lees de oplossing af waar Y (de kromme) hoger dan Y (de lijn) ligt. Je vindt de oplossing [, c Los exact op: x+ > x+ Los eerst de gelijkheid op: x+ x+ x+ ( x+ ) x+ x + x + 9 x + x+ 6 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde a, b en c 6 D 6 x + 6 8 of x 6 8 8 8 Controle: + +, klopt + +, klopt niet alleen x is een oplossing. Plot de grafieken van y x+ en y x+ Invoer: Y (X+) Y X+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De opties dienen als extra controle. De wortelfunctie begint bij x! Lees de oplossing af waar Y (de wortelfunctie) hoger dan Y (de lijn) ligt. Je vindt de exacte oplossing [,. Let op: de waarde voor x doet ook mee dus gebruik daar in de notatie een vierkante haak! T- De tweede formule geeft een hogere tellerstand indien geldt 6t+ > 8t Plot de grafieken van y 6t+ en y 8t Invoer: Y (6X+) Y 8X Venster: Xmin en Xmax 6 Ymin en Ymax De snijpunten liggen bij t en t, Lees de oplossing af waar Y (de kromme) hoger dan Y (de lijn) ligt. Je vindt in aantallen minuten het interval, ]. T-8a b c d Na seconden heeft de laag vloeistof een straal van Los op: t π t π t π t π De benaderde waarde hiervan is 6,8 seconden. R t π t 8 π, cm. R π t πr Verdubbel je de seconden uit opdracht a tot 6 seconden dan wordt de straal 6 9,. Dat is geen verdubbeling van,8 dus de straal verdubbelt niet. π 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde T-9a De standaardinstellingen zijn gebruikt, dus Xmin en Xmax, en Ymin en Ymax. b Zoom in tot bijv. Xmin en Xmax, en Ymin en Ymax. Gebruik de INTERSECT optie om de snijpunten te vinden. Je vindt een snijpunt voor x en x,. Er zijn dus twee snijpunten. c Los op:, x, x, x x+ (vermenigvuldigen met en herleiden op ) a, b en c D ( ) x +, of x De y-waarde bij x is,,,. De y-waarde bij x, is,,,, 6. De exacte coördinaten van de snijpunten zijn dus (;,) en (, ;,6) T-a ( x ) 6 en ( x )( x + ) b Door aan beide kanten a + a op te tellen verandert de eerste ongelijkheid in de tweede. Net als bij vergelijkingen verandert daardoor de oplossing niet.